matematica elementar apostila

2009

MATEMTICA ELEMENTAR II:situaes de matemtica do ensino mdio no dia a dia

Marcelo GorgesOlmpio Rudinin Vissoto Leite

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L55m

Leite, Olmpio Rudinin Vissoto.Matemtica elementar II: situaes de matemtica do ensino mdio no dia a

dia. / Olmpio Rudinin Vissoto Leite, Marcelo Gorges. Curitiba, PR: IESDE, 2009.

444 p.

Sequncia de: Matemtica elementar IISBN 978-85-387-0414-0

1. Matemtica (Ensino mdio). I. Gorges, Marcelo. II. Inteligncia Educacional e Sistemas de Ensino. III. Ttulo.

09-3612. CDD: 510CDU: 51


Mestre em Gesto de Negcios pela Universidade Catlica de

Santos. Graduado em Licenciatura em Matemtica pela USP.

Olmpio Rudinin Vissoto Leite

Licenciado em Matemtica pela Pontifcia Universidade Catlica

do Paran.

Marcelo Gorges


Nmeros e operaesOlmpio Rudinin Vissoto Leite

Nmeros naturaisLigados principalmente contagem de situaes ocorridas na natureza, esses

nmeros foram chamados de naturais e podem ser reunidos em um conjunto indi-cado pela letra :

= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,...}

Exemplo:Num certo pas, as placas de automveis so codificadas com trs letras e qua-

tro algarismos, como por exemplo:(B

ON

GIO

VAN

NI;

VISS

OTO

; LA

URE

AN

O. M

atem

tic

a e

Vida

, 2.

grau

, vol

ume

1.)

Nessas condies, quantas placas diferentes podem ser confeccionadas?

Soluo:Na formao das placas, podemos usar as 26 letras do alfabeto e os 10 algaris-

mos do sistema de numerao.


Matemtica Elementar II: situaes de matemtica do ensino mdio no dia a dia12

Cada placa deve conter trs letras e quatro algarismos, num total de sete caracteres.

Assim, esse problema pode ser solucionado multiplicando entre si as possibi-lidades associadas a cada caractere da placa:

(BO

NG

IOVA

NN

I; VI

SSO

TO; L

AURE

AN

O.

Mat

emt

ica

e Vi

da, 2

. gr

au, v

olum

e 1.

)

possibilidades

caracteres alfabticos

caracteres numricos

26 . 26 . 26 . 10 . 10 . 10 . 10 = 175 760 000

Logo, nas condies exigidas, possvel confeccionar 175 760 000 chapas diferentes.

Exerccios1. Beatriz tem cinco blusas, quatro calas e trs tnis. De quantas maneiras dife-

rentes ela pode se vestir?


Nmeros e operaes 13

2. Quantos nmeros naturais de dois algarismos voc pode escrever, usando os algarismos 1, 2, 3, 4, e 5?

3. Quantos nmeros naturais de dois algarismos diferentes voc pode escrever, usando os algarismos 1, 2, 3, 4, e 5?

4. Quantos nmeros naturais de trs algarismos voc pode escrever, usando os algarismos 1, 2, 3, 4, e 5?

5. Quantos nmeros naturais de trs algarismos diferentes voc pode escrever, usando os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5?



Nmeros inteirosOs nmeros negativos, o zero e os nmeros positivos constituem o conjunto

dos nmeros inteiros, indicado pela letra :

= {..., 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,...}

Como todos os nmeros naturais tambm so inteiros, dizemos que um subconjunto de . Ou ainda, que est contido em . Indicamos ( est contido em ). Esse fato mais bem visualizado na representao em diagrama.

N

Exerccios6. Em cada item, a letra representa um nmero inteiro. Descubra mentalmente

esse nmero:

a + 3 = 10 a)

x + 5 = 5b)

y + 5 = 3 c)

d 2 = 4d)

b 4 = 2e)

f 2 = 4f)


Nmeros e operaes 15

7. Calcule:

30 (5 6) 13a)

(13) + (45)b)

130(15105)c)

(3 500 4 000) (300 200)d)

8. noite, a temperatura em Porto Alegre (RS) chegou a 3C. Se ao amanhecer ela subiu 5C, com quantos graus amanheceu a capital gacha?

9. Em Contabilidade, os crditos so representados por nmeros positivos e os dbitos por nmeros negativos. Use nmeros inteiros para representar as se-guintes operaes contbeis:

Crdito de R$10.000,00 mais crdito de R$20.000,00.a)



Crdito de R$10.000,00 mais dbito de R$20.000,00.b)

Dbito de R$10.000,00 mais crdito de R$20.000,00.c)

Dbito de R$10.000,00 mais dbito de R$20.000,00.d)

10. Em cada item, as letras representam nmeros inteiros. Quais so esses nmeros?

a > 5 7 a)

b < 4 + 7 b)

x + 1 > 6 c)

y + 1 < 6d)

m 5 e) 0

n + 5 f) 0


Nmeros e operaes 17

Nmeros racionaisOs nmeros que podem ser escritos como quociente de dois nmeros intei-

ros formam o conjunto dos nmeros racionais, indicado pela letra :

= ab / a , b e b 0

Todo nmero racional ab

possui uma representao decimal, com a vrgula

para separar a parte inteira da parte decimal.

Nos nmeros racionais escritos em notao decimal, a parte decimal pode apresentar uma quantidade finita ou infinita de algarismos. Quando a quantidade for infinita, os algarismos repetem-se periodicamente.

Exemplos:Escrever o nmero racional 1. 5

8 usando a notao decimal.

Soluo:Efetuando a diviso de 5 por 8, obtemos 0,625. Assim, 5

8 = 0,625 que

um decimal exato.

Escrever o nmero racional 2. 139

usando a notao decimal.

Soluo:A diviso de 13 por 9 no exata, isto , nunca termina. No quociente obti-

do, o algarismo 4 repete-se indefinidamente, caracterizando uma dzima peridi-ca. Assim:

139

= 1,4444... = 1,4

Quantos nmeros racionais h entre 0 e 1?

Entre dois nmeros racionais h sempre infinitos nmeros racionais.

Exemplo:0,1; 0,03; 0,555...; 0,6895; 0,89; 0,545454... e 0,0000001 so alguns dos infinitos

nmeros racionais entre 0 e 1.



Observe que todo nmero inteiro racional. Por exemplo, 6 = 61

. Assim, .

Lembrando que todo natural inteiro, temos: . Veja o diagrama:

NQ

Exerccios11. Observando o diagrama, atribua um valor para a, b e c:

N ab c

Q

12. Escreva os nmeros racionais indicados em cada item na notao decimal:

cinco dcimos.a)

cinco dcimos negativos.b)


Nmeros e operaes 19

sete inteiros e trs dcimos negativos.c)

nove inteiros e vinte e sete centsimos.d)

trezentos inteiros e trezentos e doze milsimos negativos.e)

13. Determine:

o dobro de 1,5a)

a metade de 0,8b)

o triplo de 1,2c)

a tera parte de 6d)

14. Escreva usando a notao decimal, os seguintes nmeros racionais:

83

a)



1128

b)

1115

c)

199

d)

15. Escreva os nmeros na forma ab

, onde a e b so nmeros inteiros:

0,7a)

0,09b)

2,45c)

23,4d)

Nmeros reaisO conjunto dos nmeros irracionais tal que:

= {x / x dzima no peridica}


Nmeros e operaes 21

A representao decimal de um nmero irracional apresenta, sempre de-pois da vrgula, infinitas casas que no formam perodo.

Por exemplo: 2 = 1,41421356237309504880...

p = 3,14159265358979323846...

O conjunto que rene todos os nmeros racionais e irracionais chamado de conjunto dos nmeros reais e indicado pela letra .

Assim, . Veja em diagrama:

NQ I

R

A reta dos nmeros reaisA reta, na qual os nmeros reais esto representados, chamada reta real ou

eixo real. Essa reta muito til na comparao de dois nmeros reais quaisquer. Ve-jamos como obt-la.

Traamos uma reta, supondo que ela se prolongue indefinidamente, em am-bos os sentidos:

Elegemos, a seguir, dois pontos da reta 0 e 1:

0 1

A distncia entre 0 e 1 a unidade que permite marcar outros pontos:

0 1

unidade



A seguir, associamos os nmeros inteiros a esses pontos:

4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

Subdividindo as unidades, poderemos associar reta outros nmeros racio-nais e, tambm, irracionais, de modo que:

A cada ponto da reta corresponda exatamente um nmero real; A cada nmero real corresponda exatamente um ponto da reta.

Exerccios16. Sendo (1, 4142135...)2 = 2, determine um valor aproximado de 2:

com uma casa decimal.a)

com duas casas decimais.b)

com trs casas decimais.c)

17. Sendo (1, 732050...)2 = 3, determine um valor aproximado de 3 :

com uma casa decimal depois da vrgula.a)

com duas casas decimais depois da vrgula.b)


Nmeros e operaes 23

18. O teorema de Pitgoras, diz o seguinte: Em todo tringulo retngulo, a me-dida da hipotenusa ao quadrado igual soma dos quadrados das medidas dos catetos (tomados todos na mesma unidade de comprimento).

hipotenu

sa

cateto oposto

cateto adjacenteA B

C

Num tringulo retngulo os catetos medem 6cm e 8cm. Use o teorema de Pitgoras para calcular a medida da hipotenusa.

19. Verifique se um tringulo retngulo pode ter lados medindo:

6cm, 8cm e 9cm.a)

6cm, 8cm e 11cm.b)

5cm, 12cm e 13cm.c)



20. Desenhe um tringulo retngulo qualquer. A seguir, mea os lados desse tri-ngulo e comprove a validade do teorema de Pitgoras. Os resultados so aproximados.

PorcentagemA loja Tem Tudo oferece 10% de desconto nas compras vista.

Os combustveis aumentaram 15%.

Cada vez mais, frases como essas, fazem parte do nosso dia a dia. O smbolo % tornou-se, assim, um elemento indispensvel nos meios de comunicao.

O smbolo % remete a uma frao, cujo denominador 100.

Exemplos:15% = 1. 15

100 = 0,15

37% = 2. 37100

= 0,37

0,5% = 3. 0,5100

= 0, 005

200% = 4. 200100

= 2

Escrever os nmeros dados usando o smbolo %.5.

a) 0,25

b) 3

c) 45

d) 13


Nmeros e operaes 25

Soluo:a) 0,25 = 25

100 = 25%

b) 3 = 30100

= 300%

c) 45

= 0,8 = 0,80 = 80100

= 80%

d) 13

= 0, 3333... 0, 3333, portanto, 13

33,33%

Porcentagem de um nmeroQuanto vale 15% de 200?

Como 15% = 15100

= 0,15, temos:

15% de 200 = 15100

. 200 = 0,15 . 200 = 30

Exemplos:40% de 700 = 1. 40

100 . 700 = 0,40 . 700 = 280

7,5% de 1 000 = 2. 7,5100

. 1 000 = 0,075 . 1 000 = 75

Porcentagem de um nmero em relao a outroQue porcentagem 50 de 200?

Soluo:Determinamos a razo entre 50 e 200 e a escrevemos com o smbolo %

50200

= 0,25 = 25%, portanto 50 25% de 200.



Fator de aumentoO fator de aumento (F) dado por F = 1+ i, onde i a taxa de aumento.

Exemplos:

Valor sem aumento (A)

Taxa de aumento (i)

Fator de aumento (F) F = 1 + i

Valor aps o aumento (N)

N = F . A

400 15%F = 1 + 15%F = 1 + 0,15F = 1,15

N = 1,15 . 400N = 460

2 000 5%F = 1 + 5%F = 1 + 0,05F = 1,05

N = 1,05 . 2 000N = 2 100

Conhecido o fator de aumento F, a taxa i do aumento percentual i = F 1.

Exemplos:

Valor com aumento (N)

Valor sem aumento (A)

Fator de aumento (1 + i)

Taxa de aumento percentual (i)

500 400500400

= 1,25 i = 1,25 1i = 0,25i = 25%

2 750 2 0002 7502 000

= 1,375 i = 1,375 1i = 0,375i = 37,5%


Nmeros e operaes 27

Fator de reduoO fator de reduo (F) dado por F = 1 i. Onde i a taxa de reduo.

Valor sem reduo (A)

Taxa de reduo (i)

Fator de reduo (F) F = 1 i

Valor aps a reduo (N)

N = F . A

400 15%F = 1 15%F = 1 0,15F = 0,85

N = 0,85 . 400N = 340

2 000 5%F = 1 5%F = 1 0,05F = 0,95

N = 0,95 . 2 000N = 1 900

Exerccios21. Complete o quadro escrevendo o nmero na notao fracionria, na notao

decimal e usando o smbolo %.

Frao Decimal Porcentagem

12 0,50 50%

34 ? ?

? 0,20 ?

? ? 25%



22. O Banco Mundial vai emprestar US$600 milhes a trs pases subdesenvol-vidos. O primeiro pas receber 35%; o segundo 40%; e o terceiro, a quantia restante. Quanto caber a cada pas?

23. Descubra que porcentagem o nmero 40 de:

100a)

200b)

400c)

800d)

24. Dos trs mil casos de AIDS ocorridos no Brasil, num certo ano, 600 foram no Rio de Janeiro e 1 800 em So Paulo. Reproduza essa informao usando por-centagem.


Nmeros e operaes 29

25. Determine os nmeros, sabendo que:

10% do nmero igual a 60.a)

20% do nmero igual a 100.b)

25% do nmero igual a 250.c)

8% do nmero igual a 140.d)

26. A escola de Joo Paulo tinha, no ano passado, mil alunos. Este ano est com 1 350 alunos. Responda:

Qual foi o fator de aumento de um ano para outro?a)

De quanto foi o aumento percentual?b)

27. Sabendo que os preos sofreram um aumento de 8%, determine o preo de um bem que antes custava:

R$10.000,00a)



R$200.000,00b)

28. O salrio de Joo reajustado de acordo com a inflao. Sabendo que ele ganhou R$10.000,00 no ms de janeiro, descubra o salrio de fevereiro, consi-derando que a inflao de janeiro foi de:

5%a)

10%b)

29. Uma empresa deseja aumentar a venda de um determinado produto e, para isso, decidiu reduzir o preo desse produto em 10%. Sabendo que o preo do produto antes da reduo era de R$150,00, determine:

O fator de reduo.a)

O valor do preo aps a reduo.b)

30. Um objeto que custava R$170,00 no incio do semestre teve seu preo reajus-tado pela taxa semestral de inflao. Determine o preo desse objeto no final do semestre, sabendo que nesse perodo a taxa de inflao foi de 100%.


Nmeros e operaes 31

31. Em um certo dia de frias, um hotel de lazer estava 90% ocupado e a diria cobrada foi de R$100,00. Considerando que o hotel tem 200 quartos, calcule:

Quantos quartos estavam ocupados?a)

Qual foi a receita nesse dia, ou seja, qual foi a quantia que o hotel recebeu b) pelas dirias?

Aps a temporada de frias, o gerente do hotel notou que, para manter um nvel aceitvel de hspedes, necessrio cobrar um preo menor pela diria. Ele estabeleceu um desconto de 10% na diria, mas ainda assim a ocupao do hotel diminuiu de 90% para 70% de sua capacidade. Calcule ento:

Quantos quartos esto ocupados aps a temporada de frias?c)

Qual a receita atual do hotel em um dia?d)



32. Em uma empresa, foram analisados todos os processos concludos em um ms. O setor 01 concluiu 25% desses processos, o setor 02 concluiu 60% e o setor 03, 15% do total. Se houve atraso em 10% dos processos dos setores 01 e 02 e em 5% dos processos do setor 03, qual a porcentagem de processos concludos com atraso na empresa?


Gabarito

Gabarito

Nmeros e operaes

1. 5 . 4 . 3 = 60 (60 maneiras diferentes)

2. 5 . 5 = 25 (25 nmeros naturais dife-rentes)

3. 5 . 4 = 20 (20 nmeros naturais dife-rentes)

4. 5 . 5 . 5 = 125 (125 nmeros naturais diferentes)

5. 5 . 4 . 3 = 60 (60 nmeros naturais di-ferentes)

6.

a = 7a)

x = 0b)

y = 2c)

d = 6d)

b = 2e)

f = 2f)

7.

18a)

13b)

100c)

0d)

8. +2C

9.

crdito de R$30.000,00a)

dbito de R$10.000,00b)

crdito de R$10.000,00c)

dbito de R$30.000,00d)

10.

1, 0, 1, 2, 3, 4 , ...a)

2, 1, 0, 1, 2, 3, ...b)

6, 7, 8 , 9, 10, 11, ...c)

8, 9, 10, 11, 12, ...d)

5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...e)

5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...f)

11. a = 7 (um nmero natural qualquer)

b = 5 (um nmero inteiro no a) natural, isto , um nmero inteiro negativo)

c = 3,5 (um nmero racional no b) inteiro)

12.

0,5a)

0,5b)

7,3c)

9,27d)

300,312e)

13.

2 . (1,5) = 3a) 12

b) . (0,8) = 0,40


Matemtica Elementar II: situaes de matemtica do ensino mdio no dia a dia

3 . (1,2) = 3,6c) 13

d) . (6) = 2

14.

2, 666... a) 2,7

0,0078125b)

0,7333... c) 0,7

0,010101010... d) 0,01

15.

a) 710

b) 9100

c) 245100

d) 23410

16.

2a) 1,4

2b) 1,41

2c) 1,414

17.

3a) 1,7

3b) 1,73

18. 10cm

19.

No, pois 9a) 2 62 + 82 , isto , 81 36 + 64

No, pois 11b) 2 62 + 82, isto , 121 36 + 64

Sim, pois 13c) 2 = 52 + 122, isto , 169 = 25 + 144

20. Resposta pessoal.

21. 34

= 0,75 = 75% ; 0,20 = 20100

= 20%;

25% = 25100

= 0,25

22. 1. pas: 35% de 600 000 000 = 0,35 . 600 000 000 = 210 000 000

2. pas: 40% de 600 000 000 = 0,40 . 600 000 000 = 240 000 000

3. pas:

* 1. soluo: 100% 35% 40% = 25% , logo: 25% de 600 000 000 = 0,25 . 600 000 000 = 150 000 000

** 2. soluo: 600 000 000 210 000 000 240 000 000 = 150 000 000

23.40

100a) = 40%

40200

b) = 0,20 = 20%

40400

c) = 0,10 = 10%

40800

d) = 0,05 = 5%

24. Como 6003000

= 0,20 = 20% e 18003000

=

0,60 = 60% ento : Dos casos ocorri-dos de AIDS no Brasil, num certo ano, 20% foram no Rio de Janeiro e 60% foram em So Paulo.

25.

10% de x = 60, ento 0,10 . x = 60 . a)

Logo, x = 600,10

= 600

20 % de x = 100, ento b)

0,20 . x = 100. Logo, x = 1000,20

= 500


Gabarito

25% de x = 250, ento c)

0,25 . x = 250. Logo, x = 2500,25

= 1 000

8% de x = 140, ento d)

0,08 . x = 140. Logo, x = 1400,08

= 1 750

26.

1000 . F = 1350, onde F = 1,35a)

F = 1,35 = 1 + i onde: i = 0,35 = 35%b)

27. Fator de aumento: F = 1 + i = 1 + 8% = 1 + 0,08 = 1,08.

Assim, temos:

10 000 . 1,08 = 10 800. Portanto, a) R$10.800,00;

20 0000 . 1,08 = 216 000. Portanto, b) R$216.000,00.

28. Fator de aumento (ou de correo) = 1 + i , isto , F = 1 + i . Assim:

F = 1 + 5% = 1 + 0,05 = 1,05. Logo: c) 10 000 . 1,05 = 10 500. Portanto, R$10.500,00 ;

F = 1 + 10% = 1 + 0,10 = 1,10. Logo: d) 10 000 . 1,10 = 11 000. Portanto, R$11.000,00.

29.

F = 1 ia)

F = 1 10%

F = 1 0,1

F = 0,90

N = F . Ab)

N = 0,90 . 150

N = 135

Portanto, o preo aps a reduo de R$135,00.

30. Fator de correo: F = 1 + 100% = 1 + 1 = 2 . Logo: 170 . 2 = 340, isto : o preo no final do semestre foi de R$340,00.

31.

O hotel est com 90% de ocupa-a) o e sua capacidade total de 200 quartos. Ento:

N nmero de quartos ocupados

N = 0,90 . 200

N = 180

Portanto, 180 esto ocupados.

R b) receita

P preo

R = N . P

R = 180 . 100

R = 18 000

Portanto, a receita nesse dia foi de R$18.000,00.

N c) nmero de quartos ocupados

R receita

N = 0,70 . 200

N = 140

P d) novo preo

R receita

P = 0,90 . 100

P = 90

R = 90 . 140

R = 12 600

A nova receita foi de R$12.600,00.

32.

Setor 01 25% do total de processos



Matemtica Elementar II: situaes de matemtica do ensino mdio no dia a dia


Atrasos:

Setor 01 10% de 25% 0,10 . 25% = 2,5%

Setor 02 10% de 60% 0,10 . 60% = 6%

Setor 03 5% de 15% 0,05 . 15% = 0,75%

Percentual total de atrasos: 2,5% + 6% + 0,75% = 9,25%


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