submÓdulo iv noÇÕes de matemÁtica
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SUBMÓDULO IV NOÇÕES DE MATEMÁTICA. SUBMÓDULO IV: NOÇÕES DE MATEMÁTICA. Estrutura do Submódulo. Unidade 1 – Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1); Unidade 2 – Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2); Unidade 3 – Introdução à Álgebra. Unidade 1 - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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SUBMÓDULO IV
NOÇÕES DE MATEMÁTICA
SUBMÓDULO IV
NOÇÕES DE MATEMÁTICA
2
Estrutura do Submódulo Estrutura do Submódulo
SUBMÓDULO IV: NOÇÕES DE MATEMÁTICA
Unidade 1 – Revisão Geral dos Conceitos Básicos
(Parte 1);
Unidade 2 – Revisão Geral dos Conceitos Básicos
(Parte 2);
Unidade 3 – Introdução à Álgebra.
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Unidade 1
Revisão Geral dos
Conceitos Básicos (Parte 1)
Unidade 1
Revisão Geral dos
Conceitos Básicos (Parte 1)
4
Apresentação
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
Esta unidade tem como objetivo introduzir o aluno nos conceitos básicos da matemática, abrangendo: •Operações com números inteiros;•Operações com números negativos;•Potenciação;•Lei distributiva;•Ordem das operações.
Avançar no uso da matemática é pré-requisito para a continuidade dos estudos profissionalizantes ou universitários.
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1. Introdução: Operações com Números Inteiros
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
1.1 Adição (+) e Subtração (-)
Comutativo:•Nome matemático dado a certas operações;•Significa que se pode fazer a operação em qualquer ordem;•A adição é comutativa, pois que:
2 4 significa a mesma coisa que 4 2 •A subtração não é comutativa, pois:
21 6 não significa a mesma coisa que 6 21
6
1. Introdução: Operações com Números Inteiros
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
1.1 Adição (+) e Subtração (-) Pode-se rearranjar a ordem de uma soma envolvendo adições e subtrações, mas é preciso manter o número com o sinal exato que o precede.
Por exemplo:a)3 5 3 4 7 3 3 3 3 4 5 7
b) 6 7 10 2 1 2 6 7 2 10 1 2
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1. Introdução: Operações com Números Inteiros
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
1.2 Multiplicação (x ou ) e Divisão (, / ou )
•A multiplicação é uma operação comutativa:
a) 3 4 5 5 4 3•A justaposição indica a multiplicação quando se utilizam letras para representar quantidades:
a) 3a significa 3 a e xy significa x y
b) ab3a 3aab •A divisão não é comutativa, pois 4 2 2 4.
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1. Introdução: Operações com Números Inteiros
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
1.3 Índices ou Potências•Notações abreviadas;•Quantas vezes um número é multiplicado por si mesmo:
a)
b) •Um índice negativo indica que a potência deve estar no denominador, com o número um no numerador:
a)
b)
000.1101010103
3
4
4 XXXXX
100
1
1010
1
10
110
22
yyyyy
11
33
9
1. Introdução: Operações com Números Inteiros
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
1.4 Regras Adicionais Associadas com Multiplicação e Divisão
Zero:• Qualquer quantidade multiplicada por zero é zero;
• O zero multiplicado por qualquer quantidade é
zero; a)
b)
c)
08008
00456
21
456
210
03003 aa
10
1.Introdução: Operações com Números Inteiros
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
1.4 Regras Adicionais Associadas com Multiplicação e Divisão
Zero:• O zero dividido por qualquer quantidade é zero:
• A operação de dividir por zero “não é definida”. Assim:
020 0200 08
0 a
definidos são não 016 e 0
35b
11
1. Introdução: Operações com Números Inteiros
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
1.4 Regras Adicionais Associadas com Multiplicação e Divisão
Um:• A multiplicação de qualquer número por um
significa que seu valor permanece o mesmo:a)
b)
c)
aaa 11
51515
1098
4781
1098
4781
1098
478
12
2. Operações com Números Negativos
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
Adição e subtração:•Quando se subtrai um número positivo (ou se soma um número negativo), se move o ponto para a esquerda e se obtém um número menor.
•A representação abaixo é da operação 3 5 2.
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2. Operações com Números Negativos
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
Adição e subtração:•Quando se soma um número positivo (ou se subtrai um número negativo), se move o ponto para a direita e se obtém um número maior.
•A representação abaixo é da operação: 3 7 4.
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2. Operações com Números Negativos
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
• Subtrair um número positivo e adicionar um número negativo resulta em um movimento à esquerda;
• Adicionar um número positivo e subtrair um número
negativo resulta em um movimento à direita:
62 que do resultado mesmo o dá 62
410 que do resultado mesmo o dá 410
b)
a)
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2. Operações com Números Negativos
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
Multiplicação e divisão:•Veja o que acontece com o sinal:
a) 4 5 20 e 4 5 20
b)4 5 20
•Então:
) ) ) ) ) ) ) ) 623 exemplopor
623 exemplopor
623 exemplopor
623 exemplopor
abba
abba
abba
abba
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2. Operações com Números Negativos
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
• Da mesma forma, tem-se:
• Multiplicar ou dividir duas quantidades com o mesmo sinal dá um resultado positivo;
• Multiplicar ou dividir duas quantidades com sinais diferentes dá um resultado negativo.
) )
) )
) )
) ) 248 exemplopor
248 exemplopor
248 exemplopor
248 exemplopor
b
aba
b
aba
b
aba
b
aba
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3. Potenciação
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
O sistema numérico:•Para a esquerda, aumenta em potências de 10;•Para a direita, diminui em potências de 10.
No número 123.456,78:•O número 1 diz quantos 100.000 existem,•O número 4 indica o número de centenas (100),•O número 7 indica o número de dezenas (10).
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3. Potenciação
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
• Ao multiplicar dois números juntos, tal como:200 3.000
• Usa-se o sistema do lugar do valor para representar:(2 100) (3 1.000)
• Pode-se reescrever como: ) ) ) )
000.600000.3200
000.1006000.3200
000.110032000.3200
000.131002000.3200
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3. Potenciação
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
3.2 Informações sobre as Calculadoras
A notação científica:•Quando o número for muito grande ou muito pequeno;•Consiste de escrever o número em duas partes:•A primeira parte é um número entre 1 e 10;•A segunda parte é a potência de 10.
Exemplos:•2 milhões (2.000.000) seria escrito como 2 106.•0,00345 seria escrito como 3,45 10-3.
20
3. Potenciação
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
Exemplos:•2 milhões (2.000.000) seria escrito como 2 106.•0,00345 seria escrito como 3,45 10-3.
No caso de 1 987654321, tem-se que:1 987654321 1,0125-09 0,0000000010125
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4. Lei Distributiva
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
Suponha que você tenha quatro crianças e que cada criança requer um penal ($ 2,50), uma régua ($ 1,25), um livro de exercícios ($ 2,25) e um conjunto de lápis coloridos ($ 12) para a escola. Uma forma de calcular o custo é multiplicar cada item por 4 e somar o resultado:
) ) ) ) 72$48$9$5$10$00,12$425,2$425,1$450,2$4
22
4. Lei Distributiva
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
Mas, não seria mais fácil calcular o custo de uma criança e então multiplicá-lo por 4?
sendo que:
A Lei Distributiva na matemática:•O cálculo envolvendo parênteses,•Calcula-se primeiro o que está dentro dos parênteses.
) 72$400,18$412$25,2$25,1$50,2$
) ) ) ) ) 412$25,2$25,1$50,2$00,12$425,2$425,1$450,2$4
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5. Ordem das Operações
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
Considere a seguinte situação. Você trabalhou das 14h00 às 21h00 em um projeto. Como lhe foi exigido que a tarefa fosse concluída no dia seguinte, você pode pedir horas-extras. As taxas das 9h00 às 17h00 são de $ 25,00 por hora e das 17h00 até a meia noite aumentam para $ 37,50. Matematicamente, isso pode ser expresso como. Quanto você ganhou?
Cálculo 1 Cálculo 2
) )00,225$ 50,962.2$
50,37$4$25,003 50,37$475
5037400253 50,37$400,25$3
,$,$
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5. Ordem das Operações
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
A resposta certa é a do cálculo 2 ($ 225,00).
Convenções estabelecidas: •Parênteses: avaliar a expressão que está dentro dos parênteses primeiro. Ex.:•Potências: avaliar as expressões elevadas à potência.
Ex.:•Divisão e multiplicação: dividir ou multiplicar da esquerda para a direita. Ex.:•Adição e subtração: somar ou subtrair da esquerda para a direita. Ex.:
) 853
) 6453 2
10330356
11474294254
25
6. Conclusões
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
O exercício de qualquer atividade profissional exige conhecimentos básicos de matemática.
Nesta unidade, foram explorados:•Conhecimentos básicos sobre operações com números inteiros, negativos, potenciação;•Algumas regras sobre a condução de operações, a partir da lei distributiva e da ordem das operações.
Tais conhecimentos evitam o uso indevido da matemática e aumentam as chances de que o indivíduo seja absorvido pelo mercado.
26
Unidade 1: Exercícios de Fixação
1) Responda às seguintes questões com verdadeiro (V) e falso (F):a. ( ) A soma é uma operação comutativa.b. ( ) A subtração é uma operação comutativa.c. ( ) A ordem dos fatores altera o produto.d. ( ) A divisão é uma operação comutativa.e. ( ) A operação comutativa está relacionada com a ordens dos elementos para a realização dos cálculos.
2) Resolva as seguintes questões, apresentando os cálculos correspondentes: a. 55
R.: b. 5-5
R.:
27
Unidade 1: Exercícios de Fixação
c. R.: d. R.: e. R.: f. Represente a operação 10 500.000 na forma geral e na forma reduzida.R.:
0000.000.1
000.000.20
0000.000.2
28
Unidade 1: Exercícios de Fixação
g. Você tem quatro trabalhadores em sua empresa e terá de comprar um par de botas ($ 100,00), um uniforme ($ 120,00) e um capacete ($ 50,00) para cada um. Utilizando-se a lei distributiva, demonstrar quanto você irá desembolsar.
R.: h) O trabalhador tem seu expediente na fábrica das 14h00 às 22h00,
pelo qual recebe $ 10,00 por hora. Quando faz hora extra, o indivíduo recebe 50% adicionais por hora trabalhada. Digamos que você tenha trabalhado um turno completo e feito mais duas horas extras, quanto você recebeu no final deste dia?
R.:
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Unidade 2
Revisão Geral dos
Conceitos Básicos (Parte 2)
Unidade 2
Revisão Geral dos
Conceitos Básicos (Parte 2)
30
Apresentação
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
Esta unidade tem como objetivo introduzir o aluno nos conceitos básicos da matemática, abrangendo: •Cálculos envolvendo decimais;•Cálculos envolvendo frações;•Cálculos de porcentagens;•Intercambiando frações, decimais e porcentagens.
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1. Introdução: Cálculos Envolvendo Decimais
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
Os zeros à direita de um ponto decimal não têm valor:
No entanto, tais números têm determinada precisão:•10,4 diz que esse número tem a precisão decimal,•o número 10,400000 tem uma precisão em milionésimos.
400000,1040,104,10
32
1. Introdução: Cálculos Envolvendo Decimais
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
1.1 Arredondamentos
Arredondamento de 1,25687 para duas casas decimais:1.Olhar a casa decimal que está após o número para o qual se deseja o arredondamento. Nesse caso, é a terceira casa;2.Se o número é 6, 7, 8 ou 9, arredondar para cima. No exemplo, o número arredondado resulta em: 1,26;3.Se o número é 0, 1, 2, 3 ou 4, o arredondar para baixo.
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1. Introdução: Cálculos Envolvendo Decimais
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
1.1 Arredondamentos
Arredondamento de 2,47568 para três casas decimais:1.Se o número na casa decimal após a casa para a qual se deseja arredondar é o número 5, olhar para os números que o seguem. No exemplo, os números 568.2.Se o número 568 estiver mais próximo de 600, arredondamos o 5 para cima, caso contrário, para baixo. Dessa forma, o número será arredondado para 2,476.3.Se somente um 5 seguir a casa na qual se está interessado, arredondar ou para cima ou para baixo, pois ele está exatamente no meio termo entre 0 e 10.
34
1. Introdução: Cálculos Envolvendo Decimais
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
1.2 Adição e Subtração de DecimaisPara somar ou subtrair números decimais, deve-se primeiro alinhar o ponto decimal. Por exemplo:
775,52
250,2
77529 025,0
6,475 500,25
250,36 000,25
47562536 e 252025052525
,
,,,,,
35
1. Introdução: Cálculos Envolvendo Decimais
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
1.3 Multiplicação de DecimaisDuas decimais são multiplicadas juntas, da mesma forma como o são dois números inteiros:•Primeiramente, proceder a multiplicação, ignorando as casas decimais;•Então, contar o número de dígitos após o ponto decimal em ambos os números e somá-los em conjunto;•Finalmente, retorne o ponto decimal à posição apropriada no produto através da contagem para trás a partir do dígito do lado direito.
36
1. Introdução: Cálculos Envolvendo Decimais
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
1.3 Multiplicação de Decimais
Por exemplo: calcular1.Multiplicar 26 por 5: 26 5 130;2.Contar o número de dígitos após o ponto decimal 1 + 3 4;3.Retornar o ponto decimal para o produto, quatro casas antes do dígito do lado direito, somando zeros, se for necessário:
005,06,2
4
0130,0
37
1. Introdução: Cálculos Envolvendo Decimais
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
1.4 Divisão de DecimaisPara dividir números com decimais por números inteiros:•Colocar o ponto decimal na resposta, exatamente onde ele ocorre no número decimal. Por exemplo: •Mover o ponto decimal no divisor (denominador) à direita, o suficiente para que ele se torne um número inteiro;•Mover o ponto decimal no dividendo (numerador) o mesmo número de casas à direita (somando zeros se necessário);•Realizar a divisão. Alguns exemplos:
034,07238,0
5005250005,025
8,034,23,024,0
b)
a)
38
2. Cálculos Envolvendo Frações
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
39
2. Cálculos Envolvendo Frações
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
2.1 Alterar Números Mistos para Frações Impróprias
•A fração pode ser expressa como , pois existem 15
quintos em 3 inteiros mais 4 quintos.•Isso pode ser feito pela multiplicação do número inteiro pelo denominador e somando o numerador
5
43
5
19
)19453
40
2. Cálculos Envolvendo Frações
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
2.2 Alterar Frações Impróprias para Números Mistos
•As frações impróprias são frações nas quais o numerador é
maior do que o denominador, como por exemplo:•O processo para chegar no número misto apropriado é o seguinte:
5
12
5
22
5
12
:então5
2 restam 2512
41
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
2.3 Multiplicação de Frações•Representar as frações em sua forma•Multiplicar os numeradores juntos e, então, multiplicar os denominadores juntos. Por exemplo:
2.4 Divisão de Frações•É o mesmo que multiplicar por sua recíproca.•A recíproca de uma fração é a fração . Assim, o recíproco de é , o recíproco de é e o recíproco de 5 é .•Logo, para dividir por é o mesmo que multiplicar por
Por exemplo:
b
a
5
41
5
9
10
18
52
181
5
18
2
1
5
33
2
1
b
a
a
b
4
3
3
4
2
1
1
2
5
1
3
2
2
3
7
6
14
12
27
34
2
3
7
4
3
2
7
4
42
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
2.5 Adição e Subtração de Frações•Converter as frações, para que tenham o mesmo denominador.•Duas frações são equivalentes se elas representam a mesma parte de um inteiro.• é equivalente a , pois elas representam a mesma quantia.•Para encontrar as frações equivalentes, multiplicar o topo e a base de uma fração pela mesma quantia. Por exemplo:
Encontrar as frações equivalentes para cada parte da soma, e, então, somar ou subtrair os numeradores, como por exemplo:
3
2
6
4
21
6
37
32
42
12
67
62
14
4
27
22
7
2
12
5
12
49
12
4
12
9
43
41
34
33
3
1
4
3
21
13
21
76
21
7
21
6
73
71
37
32
3
1
7
2
b)
a)
43
3. Cálculos de Porcentagens
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
• Porcentagens são frações com o denominador de 100;
• Às vezes não há 100 elementos para expressar uma fração ou uma porcentagem, encontrar uma
• Encontrar uma fração equivalente de 100, multiplicando por 100, que é o mesmo que multiplicar por 1, como nos exemplos:
%40%5
200100
5
2
5
2ou %40
100
40
205
202
5
2
%30%10
300100
10
3
10
3ou %30
100
30
1010
103
10
3
%5%20
100100
20
1
20
1ou %5
100
5
520
51
20
1
%
%
%
c)
b)
a)
44
3. Cálculos de Porcentagens
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
Para encontrar uma porcentagem, primeiro encontrar a fração. Se existem 15 homens, 13 mulheres e 22 crianças em um grupo, a fração de homens no grupo é de , pois existem 50 pessoas (15+13+22) no grupo. Você pode multiplicar por 100% e verificar que os homens correspondem a 30% do grupo
%30%50
1500%100
50
15
45
4. Intercambiando Frações, Decimais e Porcentagens
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
4.1 Transformando Frações em Decimais•Para expressar uma fração como uma decimal, dividir o número do topo (numerador) pelo número da base (denominador).•Assegurar-se de colocar um ponto decimal depois do numerador e somar alguns zeros, como por exemplo:
75,0400,3 como expressadoser pode 4
3
46
4. Intercambiando Frações, Decimais e Porcentagens
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
4.2 Transformando Frações em Porcentagens•Deve-se expressar a fração como uma decimal e, então, multiplicar o resultado por 100%.•Isso pode ser feito mudando o ponto decimal para duas casas à direita, como por exemplo: •Quando o denominador da fração a ser convertida segue uniformemente a 100, a porcentagem pode ser encontrada usando frações equivalentes:
%5,37%1003750800038
3 ,,
%60%100600,0100
60
20
20
5
3
100
60
5
3
47
4. Intercambiando Frações, Decimais e Porcentagens
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
4.3 Transformando Porcentagens em Decimais•Para converter uma porcentagem em uma decimal, divide-se por 100.•Isso pode ser feito mudando-se o ponto decimal duas casas à esquerda.•Se não existe um ponto decimal, colocar um ponto decimal à direita do número inteiro, como por exemplo:
07,0%0,7%7 e 005,0%5,0 e 458,0%8,45
48
4. Intercambiando Frações, Decimais e Porcentagens
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
4.4 Ordenando Frações, Decimais e Porcentagens•Para comparar números é usual fazer a conversão em decimais, •Escrever os números abaixo um do outro, alinhando-os pelos pontos decimais.•Preencher todos os espaços com zeros.•Comparar primeiro o alinhamento dos números inteiros,•então comparar o lado da fração.
Por exemplo, para expressar os números na ordem dos menores para os maiores: 3 ;
100
46 ;
5
3 47%; 0,54; 5,3%; 0,5;
49
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
Passos:1.Converter todos os números em decimais:
2.Alinhar os números:
3.Preencher todos os espaços com zeros:
3 0,46; 0,6; 0,47; 0,54; 0,053; 0,5;
3
0,46
0,6
0,47
0,54
0,053
0,5
000
0
00
0
0
00
3,
0,46
0,6
0,47
0,54
0,053
0,5
50
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
4. Comparar os números inteiros. Se existe um alinhamento, comparar o lado das frações. Como seis dos números começam com zero, podemos comparar o lado direito:
5. Expressar os números do menor para o maior:
60054050047046053
3;5
3;540;50%;47;
100
46%;35 , , ,
51
5. Conclusões
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
Nesta unidade, foram explorados:•Conhecimentos básicos sobre operações com decimais, frações, porcentagens;•Conhecimentos de como que tais elementos podem ser combinados nos cálculos.
Tais conhecimentos são básicos para que o indivíduo aumente suas chances de ser absorvido pelo mercado.
52
Unidade 2: Exercícios de Fixação
1) Resolva as seguintes questões, apresentando os cálculos correspondentes: a.Calcular as somas incluindo decimais:
R.: b. Calcular a multiplicação incluindo decimais:
R.: c. Calcular a divisão incluindo decimais:
R.:
475564504 e 2510025257555 ,,,,,
0125,08,15
5555,0
53
Unidade 2: Exercícios de Fixação
d. Expressar a fração imprópria para um número misto.
R.: e. Expressar o número misto em uma fração imprópria.
R.: f. Proceder a multiplicação de frações:
R.: g. Proceder a divisão de frações:
R.:
150
200
550
4002
5
12
2
1
4
1
3
7
54
Unidade 2: Exercícios de Fixação
h. Formule a porcentagem:
R.: i.Formule a porcentagem:
R.: j: Transformar a fração em porcentagem.
R.: k: Transformar a porcentagem em decimal.
R.:
20
10
20
110
89
12
%77
55
Unidade 3
Introdução à Álgebra
Unidade 3
Introdução à Álgebra
56
Apresentação
Unidade 3: Introdução à Álgebra
Este tópico dá continuidade ao resgate dos conceitos matemáticos básicos, visando aumentar a qualificação e aumentar as chances do indivíduo no mercado de trabalho. Esta unidade tem como objetivo introduzir o aluno no uso da álgebra como forma de representar os cálculos matemáticos, reduzindo sua complexidade e ampliando seu alcance.
57
1. Introdução: Regra de Três
Unidade 3: Introdução à Álgebra
Procedimento para resolver problemas que envolvam grandezas relacionadas, onde se determina por proporções (frações) o valor de uma destas, conhecendo a relação desta proporção com a proporção das demais grandezas.
Grandeza abrange tudo aquilo que pode ser medido ou contado.
58
1. Introdução: Regra de Três
Unidade 3: Introdução à Álgebra
Regra de três simples:Um avião voando a 800 km/h demora duas horas para percorrer uma distância de 1.600 km. Qual a distância será percorrida por esse avião, nessas condições, em 4 horas?
Para resolver esse problema, basta arranjamos as proporções:
x4
600.12
2 Grandeza1 Grandeza
DistânciaTempo
59
1. Introdução: Regra de Três
Unidade 3: Introdução à Álgebra
200.32
400.6
:equação a se-resolve e
400.620400.6
1
1
2
: oisolar agora, Podemos,
0400.6
2
04600.1
2
:frações das çãomultiplica aprocessar se pode Agora,
0600.14
2
:local de da transferifoi que fração da
ordem a alternando zero, o isolamos arranjo, o Após
600.1
4
2
x
xx
x
x
x
x
x
60
1. Introdução: Regra de Três
Unidade 3: Introdução à Álgebra
Uma forma mais simples de se proceder, é:
R.: em quatro horas de voo a 800 km/h, serão percorridos 3.200 km.
Nesse caso, as duas grandezas são diretamente proporcionais, pois ao aumento da magnitude da grandeza tempo reflete o aumento da magnitude da grandeza distância.
) )
200.32
400.6
400.62
:equação a se-resolve e
4600.12
:função a se-formula arranjo, o Após
600.1
4
2
x
x
x
x
61
1. Introdução: Regra de Três
Unidade 3: Introdução à Álgebra
Regra de três composta:Para descarregar 10 carrocerias em uma hora são necessários 5 trabalhadores. Calcular quanto tempo os 10 trabalhadores levarão para descarregar 60 carrocerias?
R.: serão necessárias 3 horas para que 10 trabalhadores descarreguem 60 carrocerias.
1060
5101
(unidades) (unidades) (hora)
x
resTrabalhadosCarroceriaTempo
) )
3100
300
300100
:equação a se-resolve e
56011010
:função a se-Formula 3)
ores trabalhadaos alproporcion teInversamen
scarroceria às alproporcion eDiretamentTempo
:alidadeproporcion de relação aVerificar 2)10
5
60
101
:(frações) proporções das Arranjo 1)
x
x
x
x
62
1. Introdução: Regra de Três
Unidade 3: Introdução à Álgebra
Relação entre as grandezas dos elementos:•O denominador da fração contendo o x foi multiplicado pelo numerador da fração de grandeza diretamente proporcional e multiplicado pelo denominador da fração de grandeza inversamente proporcional •A mesma lógica seguirá os demais elementos da relação apresentada
Para obter o número de funcionários para descarregar 120 carrocerias em 6 horas, tem-se:
)1010x
)5601
x1206
5101
(unidades) (unidades) (hora) resTrabalhadosCarroceriaTempo
63
1. Introdução: Regra de Três
Unidade 3: Introdução à Álgebra
) )
osfuncionári 1060
600
60060
:equação a se-resolve e
51201610
:função a se-Formula 3)
ores trabalhadaos alproporcion teInversamen
scarroceria às alproporcion eDiretamentTempo
:alidadeproporcion de relação aVerificar 2)
5
120
10
6
1
:(frações) proporções das Arranjo 1)
x
x
x
x
64
2. Representação Algébrica
Unidade 3: Introdução à Álgebra
• A álgebra é utilizada para expressar, por meio de letras, a relação que existe entre elementos, como as grandezas;
Por exemplo, o perímetro de um retângulo é de duas vezes o comprimento mais duas vezes a altura. Isso pode ser expresso pela função , onde:
• P representa o perímetro,• l representa o comprimento,• h representa a altura.• Se o comprimento do retângulo é 4 e a altura é 7, então:
• No caso da regra de três, representa-se por x.
hlP 22
65
2. Representação Algébrica
Unidade 3: Introdução à Álgebra
Outro exemplo:22148
7242
:se- temse,-dosubstituin
22
7
4
P
P
hlP
h
l
)
121
10021
25421
5473
:se- temse,-dosubstituin
43
quando encontrar , 7 e 5 seja
2
2
z
z
z
z
xyz
zyx
66
3. Resolvendo Equações Algébricas
Unidade 3: Introdução à Álgebra
Na resolução de uma equação algébrica para z, a questão é saber qual é o valor de z, considerando a informação restante que está do outro lado da equação.
A relação funcional entre os elementos da equação continuará a mesma:•Caso se multiplique, ou se divida todos os valores de ambos os lados por um mesmo valor,•Ou quando se soma ou se subtrai o mesmo valor de ambos os lados da equação.
67
3. Resolvendo Equações Algébricas
Unidade 3: Introdução à Álgebra
Outro exemplo:
5
31533
153
419443
:4 número pelo equação da lado cada de Subtração
1943
y
y
y
y
y
68
4. Traçando Gráficos
Unidade 3: Introdução à Álgebra
Considerando a tabela contendo a altura média de crianças em diferentes idades:
•Duas linhas retas perpendiculares (uma linha horizontal e uma vertical);•Por convenção, a variável x é colocada ao longo do eixo horizontal e a variável y ao longo do eixo vertical;•No eixo horizontal tem-se a variável independente e no eixo vertical tem-se a variável dependente;
x : Idade (anos) 2 3 4 5 6 7 8 9y : Altura (cm) 85 95 100 110 115 122 127 132
69
4. Traçando Gráficos
Unidade 3: Introdução à Álgebra
• Logo a relação funcional padrão é a de que o valor de y é função (depende) do valor de x:
• Escolha apropriada da escala nos dois eixos, sendo que ela pode ser diferente para cada eixo;
• Costuma conter o maior e o menor valor da série de dados.
• A escala para a variável x, cuja grandeza é a idade, contém os valores 2 e 9;
• A escala para a variável y, cuja grandeza é a altura, contém os valores 85 e 132.
)xfy
70
4. Traçando Gráficos
Unidade 3: Introdução à Álgebra
y : Altura (cm) 160
120
80
40
0 2 3 4 5 6 7 8 9x : Idade (anos)
71
4. Traçando Gráficos
Unidade 3: Introdução à Álgebra
Traçando os pontos dos pares ordenados (x, y), forma-se um gráfico de dispersão, como o seguinte:
020406080
100120140160
0 2 4 6 8 10
Altura (cm) das Crianças em Diferentes Idades (anos)
72
4. Traçando Gráficos
Unidade 3: Introdução à Álgebra
A altura das crianças cresce de acordo com a idade, de acordo com a seguinte relação funcional:
•As grandezas são diretamente proporcionais,•A relação funcional é positiva,•Quando a idade aumenta ao longo do eixo horizontal, a altura também aumenta ao longo do eixo vertical.
) )crianças das idadecrianças das altura f
xfy
020406080
100120140160
0 2 4 6 8 10
Altura (cm) das Crianças em Diferentes Idades (anos)
73
5. Algumas Notações Matemáticas Comuns
Unidade 3: Introdução à Álgebra
Algumas abreviações e símbolos usados na matemática: Sinal Significado Sinal Significado
Adição Subtração
Multiplicação Divisão
Igual 2 Quadrado
> Maior que < Menor que
Maior ou igual a Menor ou igual a
Aproximadamente igual a
Diferente
Raiz quadrada Consequentemente
74
6. Conclusões
Unidade 3: Introdução à Álgebra
Os conhecimentos introdutórios sobre a álgebra, explorados nesta unidade, são úteis para que o indivíduo possa continuar seus estudos.
A matemática é utilizada nos mais diversos campos de estudos, como:
• Contabilidade,• Economia,• Finanças,• Administração,
• Engenharia,• Estatística,• Ciências em geral.
75
Unidade 3: Exercícios de Fixação
1) Considere o exemplo do avião, que foi apresentado no texto. O avião voa a 800 km/h e demora duas horas para percorrer uma distância de 1.600 km. Se o avião mudar a velocidade para 1.000 km/h, quanto tempo ele levará para percorrer a distância de 1.600 km? A proporção entre a velocidade e a distância é direta ou inversamente proporcional? Por quê?
R.:
76
Unidade 3: Exercícios de Fixação
2) Considere o exemplo do descarregamento de carga, que foi apresentado no texto. Para descarregar 10 carrocerias em uma hora são necessários 5 trabalhadores. Calcular quantos funcionários são necessários para descarregar as 10 carrocerias em meia hora?
R.:
77
Unidade 3: Exercícios de Fixação
3) Resolva as seguintes equações algébricas: a.
R.: b. R.:
.44 quando encontrar , 17 e 15 eja 3xyzzyxS
.85 quando encontrar , 5 e 5 eja 31 xyzzyxS
78
Unidade 3: Exercícios de Fixação
4) Trace o gráfico correspondente ao aumento da temperatura média anual de uma cidade em relação ao tempo e responda que tipo de relação proporcional existe entre esses dois elementos.
79
Bibliografia de Referência
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações. 3 vols. São Paulo: Ática, 2003.
DANTE, Luiz Roberto. Tudo é Matemática. 4 vols. São Paulo: Ática.