disciplina: matemática para o ensino básico...

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Disciplina: Matemática para o Ensino Básico III Prof. Lenimar Nunes de Andrade

Curso de Matemática – UFPBVIRTUAL [email protected]

Ambiente Virtual de Aprendizagem: Moodle ( www.ead.ufpb.br )

Site do Curso: ( www.mat.ufpb.br/ead ) Site da UFPBVIRTUAL www.virtual.ufpb.br

Telefone UFPBVIRTUAL (83) 3216 7257

Carga horária: 60 horas Créditos: 04

Ementa

Conjuntos, Combinatória, Probabilidade, Noções de Estatística, Tratamento da Informação, Geometria Espacial.

Descrição

Nesta disciplina é apresentada uma seqüência de definições, propriedades e principais resultados básicos relacionados com diversos temas: conjuntos, contagem, probabilidade, estatística e geometria.

O programa da disciplina divide-se em seis unidades. Na primeira unidade é apresentada a linguagem e simbologia da Teoria dos Conjuntos. A segunda unidade apresenta as técnicas básicas de contagem, fundamentais para a terceira unidade em que é apresentada a definição de Probabilidade. A quarta unidade apresenta algumas noções de Estatística tais como cálculo de média, mediana, desvio padrão e variância. Na quinta unidade é dada ênfase à utilização de tabelas e gráficos nos assuntos relacionados com as três unidades anteriores. Por fim, na sexta unidade é feita uma introdução aos principais conceitos da Geometria envolvendo objetos tridimensionais tais como prismas, pirâmides, cilindros, cones e esferas.

Objetivos

Ao final do curso, espera-se que o aluno

Compreenda o significado matemático de conjuntos, bem como as operações básicas relacionadas: união, interseção, diferença e complementar;

Saiba utilizar o Princípio Fundamental da Contagem em problemas de contagem e calcular os números de elementos de agrupamentos combinatórios tais como combinações, arranjos e permutações;

Aplique os conceitos de Probabilidade e Estatística em situações cotidianas simples, interpretando-as e representando-as através de gráficos e tabelas;

Conheça os principais sólidos geométricos, bem como o cálculo de suas áreas laterais e volumes.

Unidades Temáticas Integradas

Unidade I Conjuntos

• Noções primitivas • Diagramas de Venn • Subconjuntos

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• União, interseção e diferença de conjuntos • Complementar de um conjunto • Conjunto de conjuntos • Conjuntos numéricos • Intervalos • Princípio de indução finita

Unidade II Combinatória

• Princípio Fundamental da Contagem • Combinações, arranjos e permutações • Fatorial • Triângulo de Pascal • Binômio de Newton

Unidade III Probabilidade

• Experimento aleatório e espaço amostral • Eventos, evento união, evento complementar • Probabilidade • Soma de probabilidades • Probabilidade condicional • Eventos independentes

Unidade IV Noções de Estatística

• Dados estatísticos • Intervalos de classes • Representação gráfica de dados • Histogramas • Medidas de localização • Medidas de dispersão

Unidade V Tratamento da Informação

• Exemplos

Unidade VI Geometria Espacial

• Conceitos primitivos • Posições relativas de retas e planos • Projeção ortogonal • Distâncias e ângulos • Prismas e pirâmides • Área lateral e área total • Volumes • Princípio de Cavalieri • Tronco de pirâmide • Cilindro, cone e esfera • Tronco de cone • Volume da esfera • Área da superfície esférica • Poliedros convexos

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Unidade I Conjuntos

1. Situando a Temática

Nesta unidade, definimos algumas noções básicas sobre conjuntos e apresentamos os conjuntos numéricos dos naturais, racionais, irracionais e reais. As notações utilizadas são fundamentais não só nesta disciplina, como também em todos os estudos posteriores. Enunciamos e exemplificamos uma importante propriedade dos números naturais que pode ser usada para verificar a validade de vários tipos de fórmulas.

2. Problematizando a Temática

O conhecimento da notação de conjuntos, bem como as operações binárias envolvendo eles, é indispensável para o entendimento de diversos temas de Matemática, sejam eles tópicos de Álgebra, Cálculo ou Geometria, entre outros.

3. Conhecendo a Temática

3.1 Introdução

3.1.1 Noções primitivas

Os conceitos de conjunto, elemento e pertinência costumam ser aceitos sem definição e, por isso, são chamados noções primitivas. A noção matemática de conjunto que se usa é praticamente a mesma do idioma comum, ou seja, é o mesmo que agrupamento, classe, coleção.

Um conjunto é qualquer coleção de objetos. Os objetos que compõem a coleção são chamados elementos. Os elementos pertencem à sua respectiva coleção. Convencionamos representar conjuntos por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas. Um conjunto fica determinado quando:

Listamos todos os seus elementos. Neste caso, usaremos vírgulas separando cada elemento e os agruparemos entre chaves. Por exemplo, { }, , , ,V a e i o u= representa o conjunto das vogais do nosso alfabeto.

Indicamos alguma propriedade que seja característica dos seus elementos. Por exemplo, { }| é um inteiro positivo par P x x= .

P é o conjunto formado pelos elementos 2, 4,6,8… . As reticências denotam que a listagem dos elementos tem continuidade.

Usaremos a notação x A∈ para indicar que o elemento x pertence ao conjunto A e x A∉ em caso contrário, ou seja, indicando que x não pertence a A.

Exemplo: Se { }1, 2,3, 4A = e { }4,3, 4,3,1,1, 2B = então temos que são conjuntos iguais, ou seja, A = B. 3.1.2 Diagramas de Venn

É usual representar os conjuntos por curvas fechadas, sem auto-interseção, contendo no seu interior

pontos que representam os seus elementos. Elementos que não pertencem ao conjunto são representados por pontos no exterior da curva. Por exemplo, na Figura 3.1 representamos um conjunto { , , , , }A x y z u w= . A figura indica que , a A b A∉ ∉ e c A∉ .

Lê-se: “P é o conjunto dos x tais que x é um inteiro positivo par” .

Dois conjuntos são iguais quando tiverem os mesmos elementos. Equivalentemente, dois conjuntos A e B serão considerados iguais quando todo elemento de A for elemento de B e todo elemento de B também for elemento de A. Para simplificar que um conjunto A é igual a um conjunto B, usaremos a notação A = B. Não importa se há repetição de elementos e nem a ordem em que os elementos são listados.

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Essa forma de representação de conjuntos é chamada diagrama de Euler-Venn ou, simplesmente, diagrama de Venn. Figura 3.1: Diagrama representando um conjunto

Ampliando o seu Conhecimento 3.1.3 Conjunto unitário, conjunto vazio, conjunto universo

Exemplo: { }X = | é um número par positivo e primox x Fazemos distinção entre um conjunto unitário { }X = x e o seu único elemento x . Neste caso, escrevemos

{ }x x∈ e consideramos sem sentido igualdades do tipo { }x x= .

Ao estudarmos determinados conjuntos, admitimos a existência de um conjunto U, ao qual

pertencem todos os elementos de todos os conjuntos envolvidos. Neste contexto, esse conjunto U é chamado conjunto universo.

É comum a solução de um problema depender do conjunto universo utilizado. Exemplo: Resolvendo a equação 2 5 6 0x x+ + =

Se usarmos como conjunto universo o dos inteiros positivos, então diremos que ela não tem solução. No entanto, se o conjunto universo das possíveis soluções fosse o conjunto de todos os inteiros, então diríamos que ela admite duas soluções: –2 e –3. Exemplo: Pontos eqüidistantes de A e B

Escolhamos um segmento de reta AB em uma reta r. Se escolhermos como conjunto universo a reta

r, então os pontos que estão a uma mesma distância tanto de A quanto de B é formado por um único ponto: o ponto médio do segmento AB. Por outro lado, se escolhermos o conjunto universo como sendo um plano que contenha a reta r, então o conjunto de todos os pontos a uma mesma distância de A e B é formado por uma reta s que é perpendicular a r e que passa no ponto médio de AB. 3.1.4 Subconjuntos

Tente descobrir de onde vem a denominação “diagrama de Venn”. Comunique aos seus colegas e amplie os seus conhecimentos sobre conjuntos.

Um conjunto que contenha um único elemento é chamado unitário

Um conjunto sem elementos é chamado conjunto vazio, que é representado por ∅ ou por { } .

Consideremos dois conjuntos A e B. Se todo elemento de A também for elemento de B, então diremos que A está contido em B e também que A é subconjunto de B.

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Simbolicamente, representaremos este fato por A B⊂ ou por A B⊆ . Neste caso, dizemos também que B contém A e representamos por B A⊃ ou B A⊇ . Usaremos A B⊂/ significando “A não está contido em B" e B A⊃/ significando “B não contém A". Qualquer conjunto está contido em si mesmo, ou seja, A A⊂ para qualquer conjunto A.

Para entender melhor essa afirmação, vamos supor que fosse diferente, que existisse algum conjunto X tal que X∅⊂/ . Isso só seria possível se existisse algum elemento a pertencente a ∅ que não fosse elemento de X.

Como tal elemento a não existe, não podemos ter X∅⊂/ ,e, conseqüentemente, o conjunto ∅ está contido em qualquer outro conjunto.

Exemplos: { , } { , , , }a c f c a d⊂ { } { , , }a a d e⊂

{ , , } { , , }a b c c a b⊂ { , , , } { , }a b c d a b⊂/

Dialogando e Construindo Conhecimento

Quando A B⊂ , representamos, no diagrama, A como sendo uma curva fechada dentro de outra

curva fechada B. 3.1.5 União de conjuntos

Se A e B são conjuntos quaisquer, o conjunto formado pelos elementos que pertencem a pelo menos

um deles é chamado união de A com B, e é representado por A B∪ (lê-se: “A união B”). Simbolicamente, { | ou }A B x x A x B∪ = ∈ ∈ . Ver Figura 3.2.

Exemplos: { , , } { , , } { , , , }a c d a c f a c d f∪ = { , , , } { , , } { , , , , , }a b c f e a d a b c d e f∪ = { , , } { , , } { , , , , , }a b c f e d a b c d e f∪ = { , , } { , , } { , , }a b c a b c a b c∪ = { , , } { , , }a b c a b c∪∅ =

Para quaisquer conjuntos A, B e C, subconjuntos de um conjunto universo U, temos as seguintes propriedades: 3.1.6 Interseção de conjuntos

Se A e B são conjuntos quaisquer, o conjunto formado pelos elementos que pertencem a ambos é chamado interseção de A e B, e é representado por A B∩ (lê-se: “A interseção B” ou simplesmente “A inter B"). Simbolicamente, { | e }A B x x A x B∩ = ∈ ∈ . Ver Figura 3.2. Exemplos: { , , , } { , , , } { , }a b c d a c e f a c∩ = { , , , } { , , } { }a b c f a d e a∩ = { , , } { , , }a b c d e f∩ =∅ { , , } { , , } { , , }a b c a b c a b c∩ = { , , }a b c ∩∅ =∅

Propriedades: A A A∪ = A U U∪ = A A∪∅ = A B B A∪ = ∪ ( ) e ( )A B A A B B∪ ⊃ ∪ ⊃ ( ) ( )A B C A B C∪ ∪ = ∪ ∪

O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto, ou seja, A∅⊂ para todo A.

Justifique cada uma das afirmações acima.

216

Para quaisquer conjuntos A, B e C, subconjuntos de um conjunto universo U, temos as seguintes propriedades:

3.1.7 Diferenças de conjuntos Se A e B são conjuntos quaisquer, o conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B é chamado diferença entre A e B, e é representado por A B− (lê-se: “A menos B"). Simbolicamente,

{ | e }A B x x A x B− = ∈ ∈/ . Ver Figura 3.2. Analogamente, definimos B A− e observamos que, em geral, .A B B A− ≠ − Exemplos: { , , , } { , , , } { , }a b c d a c e f b d− = { , } { , , , }a b a b d e− =∅ { , , , } { , } { , }a b d e a b d e− = { , , } { , , }a b c a b c− =∅ { , , } { , , }a b c a b c−∅ =

Dialogando e Construindo Conhecimento 3.1.8 Complementar

Dados dois conjuntos A e B, tais que B A⊂ , chama-se complementar de B com relação a A, o conjunto A B− formado pelos elementos que pertencem a A e não pertencem a B e é representado por B ou por BCA (lê-se: “complementar de B com relação a A”). Simbolicamente,

},|{ BxAxxBABC A ∉∈=−=

Exemplos: Sejam { }1,2,3,4,5A = ; { }1, 2B = ; { }4,5X = e { }1, 2,3, 4,5,6,7,8 .U = Temos:

}5,4,3{=BC A }3,2,1{=XC A }8,7,6{=ACU }8,7,6,3,2,1{=XCU φ=BCB AC A =φ

Para quaisquer conjuntos A e B, subconjuntos de um conjunto U, temos as seguintes propriedades:

Propriedades: A A A∩ = A U A∩ = A∩∅ =∅ A B B A∩ = ∩ ( ) e ( )A B A A B B∩ ⊂ ∩ ⊂ ( ) ( )A B C A B C∩ ∩ = ∩ ∩

( ) ( ) ( )A B C A B A C∩ ∪ = ∩ ∪ ∩ ( ) ( ) ( )A B C A B A C∪ ∩ = ∪ ∩ ∪

Tente descobrir em que situações A B− =∅ e A B A− = .

Figura 3.2: União, interseção e diferenças de conjuntos

217

Dialogando e Construindo Conhecimento 3.1.9 Conjunto de conjuntos

Os elementos de um conjunto também podem ser conjuntos. Por exemplo, {{1,4},{0,5,6},{9}}A =

é um conjunto formado por três elementos (que também são conjuntos): {1,4},{0,5,6},{9}

Neste caso, podemos escrever {1,4} A∈ , {0,5,6} A∈ , {9} A∈ e {{1,4},{0,5,6}} ,A⊂ mas não podemos escrever algo como {0,5,6} ,4 ,9 .A A A⊂ ∈ ∈ .

Exemplos: Se {1,3,5}A = , então os subconjuntos de A são: ,{1},{3},{5},{1,3},{1,5},{3,5},{1,3,5}∅ Portanto, ( ) { ,{1},{3},{5},{1,3},{1,5},{3,5},{1,3,5}}A℘ = ∅

É possível mostrar que se A for formado por n elementos distintos, então ( )A℘ será formado por 2n elementos distintos. No exemplo anterior, A possui 3 elementos e ( )A℘ possui 8 elementos. Observe que

38 2 .=

3.1.10 Tabela de símbolos

Símbolos Como se lê a A∈ a pertence a A a A∉ a não pertence a A

{ }| tem a propriedade de a x x P= A é o conjunto dos x tal que x tem a propriedade P

A B= A é igual a B A B≠ A é diferente de B A B⊂ A está contido em B A B⊄ A não está contido em B A B⊃ A contém B

A não contém B

∅ conjunto vazio A B− A menos B

Procure representar estas igualdades através de diagramas de Venn

Propriedades: φ=∩ ACA U e UACA U =∪

φ=AC A e AC A =φ AACC UU =)(

BCACBAC UUU ∩=∪ )( BCACBAC UUU ∪=∩ )(

Considerando A um conjunto qualquer, o conjunto das partes de A, denotado por ( )A℘ , é o conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos de A. Simbolicamente:

( ) { | }A X X A℘ = ⊂

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A B∪ A união B A B∩ A inter B

ACB complementar de A em relação a B

( )A℘ conjunto das partes de A

x∃ existe um x (ou existe pelo menos um x) x∀ para todo x

Figura 3.1: Símbolos utilizados no estudo de conjuntos

3.2 Conjuntos numéricos 3.2.1 Números naturais e números inteiros

Chamamos conjunto dos números naturais (denotado por N) o conjunto formado por 0,1,2,3,4,… N },4,3,2,1,0{ …=

O conjunto dos números inteiros (denotado por Z) é o seguinte conjunto: Z },3,2,1,0,1,2,3,{ …… −−−=

Destacamos os seguintes subconjuntos de Z: Z ==+ },3,2,1,0{ … N Z }0,1,2,3,{ −−−=− …

Z },3,2,1,1,2,3,{* …… −−−= Em Z, além das operações de adição e multiplicação, uma importante noção é a de divisor:

Exemplo: 3|12, ou seja, 3 é um divisor de 12 (porque existe um inteiro, 4, tal que 3 4 12⋅ = ). 3.2.2 Números racionais

Chamamos conjunto dos números racionais (denotado por Q) o conjunto formado por todas as

frações pq

em que ∈p Z, ∈q Z * :

Q= ∈qpqp ,|{ Z, }0≠q

Em Q definimos os seguintes conceitos:

• igualdade: a cb d= equivale a ad bc= ;

• adição: a c ad bcb d bd

++ = ;

• multiplicação: .a c acb d bd

= .

3.2.3 Números reais

Uma raiz de um número racional nem sempre é um número racional. Por exemplo, 2 não é racional. Um número que não é racional é chamado irracional. Existe uma infinidade de números irracionais conhecidos:

102, 3, 5, , 3,1415926..., 2,7182818..., log 2 0,301030...eπ = = =…

Dados a,b∈Z dizemos que a é um divisor de b (em símbolos: a|b) quando existe um inteiro c tal que ac = b. Neste caso, dizemos também que b é um múltiplo de a.

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A união de todos os racionais com todos os irracionais é chamado conjunto dos números reais, denotado por R. O conjunto dos irracionais é o complementar dos racionais com relação aos reais, por isso ele costuma ser denotado por R-Q.

3.2.4 Intervalos Dados dois números reais a e b, com a < b, definimos:

• Intervalo aberto de extremidades a e b como sendo o conjunto ∈= xba {[,] R }| bxa <<

• Intervalo fechado de extremidades a e b como sendo o conjunto ∈= xba {],[ R }| bxa ≤≤

• Intervalo fechado à esquerda de extremidades a e b como sendo o conjunto:

∈= xba {[,[ R }| bxa <≤

• Intervalo fechado à direita de extremidades a e b como sendo o conjunto

∈= xba {],] R }| bxa ≤< Também definimos intervalos infinitos:

• ∈=∞− xb {[,] R }| bx < , também representado por ),( b−∞ • ∈=∞− xb {],] R }| bx ≤ , também representado por ],( b−∞ • ∈=+∞ xa {[,] R }| ax > , também representado por ),( +∞a • ∈=+∞ xa {[,[ R }| ax ≥ , também representado por ),[ +∞a • =+∞∞− [,] R, também representado por ),( +∞−∞

3.2.5 Princípio de indução finita

Uma importante propriedade dos números naturais é conhecida pelo nome de Princípio da Indução Finita cujo enunciado é o seguinte:

Exemplo: A soma dos n primeiros números naturais ímpares é 2n Usando este princípio vamos mostrar, por exemplo, que para todo ∈n N temos:

21 3 5 (2 1)n n+ + + + − = , (3.1)

Destacamos aqui os seguintes subconjuntos dos reais: R * dos reais não nulos, R + dos reais não negativos, R − dos reais não positivos.

Uma propriedade ( )P n envolvendo números naturais n é verdadeira para todo ∈n N, 0nn ≥ quando: (1) 0( )P n é verdadeira, ou seja, ( )P n é válida para 0n n= ;

e (2) Se k∈N e ( )P k é verdadeira, então ( 1)P k + também é verdadeira.

O intervalo aberto também costuma ser representado por (a, b).

Este intervalo também é representado por [a, b).

Este intervalo também é representado por (a, b].

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ou seja, que a soma dos n primeiros números naturais ímpares é 2n . Verificamos, inicialmente, que P(1) é verdadeira: basta substituir n = 1 em 3.1 para obtermos 21 1= , o que é verdadeiro. Suponhamos ( )P k verdadeira, ou seja, 21 3 5 (2 1)k k+ + + + − = e, daí, vamos provar que ( 1)P k + é verdadeira, isto é, que 21 3 5 [(2( 1) 1] ( 1) .k k+ + + + + − = + Temos então que:

2 21 3 5 [(2( 1) 1] 1 3 5 (2 1) (2 1) 2 1 ( 1) .k k k k k k+ + + + + − = + + + + − + + = + + = +

3.3 Mais exemplos Exemplo: Em uma cidade há dois jornais, A e B, que têm juntos 10.000 leitores. O jornal A tem 4.000 leitores e os dois jornais têm 800 leitores comuns. Quantos leitores tem o jornal B? Solução: A quantidade de leitores que lêem só o jornal A é de 4.000 800 3.200− = leitores. Seja x a quantidade de leitores de B. Então, os que lêem só o jornal B é 800x − leitores. Assim, somando-se os leitores exclusivos de A com os leitores exclusivos de B com os leitores em comum, obtemos o número total de leitores da cidade. Simbolicamente: ( )3.200 800 800 10.000x+ − + = de onde obtemos 6.800.x = Portanto, o jornal B tem 6800 leitores na cidade.

Exemplos: Calcule {1,2,3,4} {2,4,6,8}Δ e mostre que, em geral, ,A AΔ =∅ A AΔ∅ = e

.A B B AΔ = Δ Solução: Usando a definição dada, temos:

• {1,2,3,4} {2,4,6,8} ({1,2,3,4} {2,4,6,8}) ({2,4,6,9} {1,2,3,4}) {1,3} {6,8}Δ = − ∪ − = ∪ Assim, {1,2,3,4} {2,4,6,8} {1,3,6,8}Δ = .

• ( ) ( ) ,A A A A A AΔ = − ∪ − =∅∪∅ =∅ ou seja, .A AΔ =∅ • ( ) ( ) ,A A A A AΔ∅ = −∅ ∪ ∅− = ∪∅ = isto é, .A AΔ∅ =


Exemplo: Usando o Princípio da Indução Finita, mostre que se n for um inteiro positivo qualquer e A for um conjunto com n elementos, então ( )A℘ possui 2n elementos. Solução: Para n = 1 a propriedade é verdadeira: se { }1A x= , então ( ) { , }A A℘ = ∅ possui

12 2= elementos. Suponhamos ( )P k verdadeira, ou seja, que 1 2{ , , , }kx x x possua 2k subconjuntos (hipótese de

indução). Se 1 2 1 1 2 1{ , , , , } { , , , } { }k k k kA x x x x x x x x+ += = ∪ possuir 1k + elementos, então os

subconjuntos de A serão: - os subconjuntos de 1{ , , }kx x , que são em número de 2k ;

- os conjuntos da forma { }1kX x +∪ onde X é um subconjunto de 1{ , , }kx x . O

Dados dois conjuntos A e B, a diferença simétrica entre A e B, denotada por A BΔ , é definida por ( ) ( )A B A B B AΔ = − ∪ −

Procure representar estas igualdades através de diagramas de Venn

221

número desses conjuntos é também igual a 2k . Portanto, no total, A possui 12 2 2 2 2k k k k++ = × = subconjuntos, ou seja, ( 1)P k + é verdadeira. Logo, pelo Princípio de Indução, a propriedade ( )P n é verdadeira para todo ∈n N* 4. Avaliando o que foi construído

Definimos alguns conceitos e operações básicas com conjuntos, fundamentais para o entendimento

de outras unidades e de outras disciplinas. Definimos alguns conjuntos numéricos e exemplificamos a importante propriedade dos números naturais conhecida como “Princípio de Indução Finita”.

No Moodle...

5. Referências

LEZZI, G., Murakami, C., Conjuntos e funções, Fundamentos de Matemática Elementar, vol. 1, Atual Editora, São Paulo: 1978. DANTE, L. R., Matemática: Contexto e Aplicações, vol. 1, Ed. Ática, São Paulo: 2003. NETO, A. A. Conjuntos e funções, Noções de Matemática, vol. 1, Ed. Moderna, São Paulo: 1982. LIPSCHUTZ, S., Matemática Finita, Coleção Schaum, Ed. McGraw-Hill, São Paulo: 1977.

Na plataforma Moodle você encontrará vários exercícios envolvendo conceitos e operações básicas em conjuntos. Visite a plataforma e participe.!

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Unidade II Combinatória


Apresentamos o Princípio Fundamental da Contagem, ferramenta essencial na resolução de problemas de contagem. Depois, são definidos agrupamentos como combinações, arranjos e permutações e algumas de suas aplicações tais como o cálculo dos coeficientes de uma expansão binomial. Esses conceitos são fundamentais para o entendimento de temas como Probabilidade, Estatística e Tratamento da Informação que serão objetos de estudo nas próximas unidades.


Problemas de contagem dos elementos de conjuntos ocorrem nas situações mais diversas. Se a quantidade de elementos for pequena, então pode ser feita uma listagem dos elementos e, depois, contá-los diretamente. No entanto, se a quantidade de elementos for muito grande, pode não ser possível uma contagem direta. Por exemplo, a quantidade de placas de automóveis formadas por três letras seguidas de quatro algarismos. Não é possível listar todas essas placas para contá-las uma por uma pois a quantidade delas é superior a 170 milhões!

Esses conjuntos cujos elementos obedecem determinadas condições podem ser contados usando-se as técnicas da Combinatória, cujos princípios fundamentais pretendemos estudar nesta unidade.


3.1 Combinatória 3.1.1 Introdução

A Combinatória ou (Análise Combinatória) tem por objetivo determinar o número de possibilidades de ocorrer determinado evento, sem a necessidade de listar as possibilidades uma por uma. A Combinatória dedica-se exclusivamente a técnicas de contagem dos elementos de determinados conjuntos. Vamos observar, inicialmente, os seguintes exemplos: Exemplo: Deseja-se formar uma palavra com duas letras, baseando-se nas seguintes regras: 1. A primeira letra pode ser um D, um F, um R ou um T;

2. A segunda letra pode ser um A ou um E. Qual o número total de palavras que podem ser formadas dessa forma? Solução: Temos as seguintes possibilidades:

Palavras que iniciam com D: DA, DE; Palavras que iniciam com F: FA, FE; Palavras que iniciam com R: RA, RE; Palavras que iniciam com T: TA, TE

Assim, temos 2 palavras para cada letra inicial escolhida e o total de palavras é igual a 2 2 2 2 4 2 8+ + + = ⋅ = . No final, o total de palavras pode ser obtido multiplicando-se o total de possibilidades da primeira letra pelo total de possibilidades da segunda letra. Exemplo: Uma bandeira é construída pintando-se a imagem da Figura 3.1 com 2 cores distintas escolhidas entre as cores: branco, cinza e preto. Quais são as possibilidades de construção dessa bandeira? Solução:

A cor externa pode ser escolhida de 3 maneiras diferentes (Ver Figura 3.2). Quando a cor externa for escolhida restam 2 opções para a cor interna, a do losango, uma vez que não pode haver repetição da cor externa senão a bandeira teria uma única cor.

Figura 3.1: Formato da bandeira

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Com a cor externa branca temos duas possibilidades, com a cor externa preta também temos duas possibilidades e com a cor externa cinza também temos duas possibilidades para a bandeira. Portanto, no total, temos 2 2 2 3 2 6+ + = ⋅ = possibilidades.

Assim, ao serem escolhidas as cores interna e externa, o total de possibilidades pode ser obtido multiplicando-se o total de possibilidades de escolha da cor externa pelo total de possibilidades da cor interna.

Figura 3.2: Total de possibilidades de pintar uma bandeira

3.1.2 O princípio Fundamental da Contagem Assim como vimos nos exemplos anteriores, os problemas de Combinatória baseiam-se em um simples princípio de contagem conhecido como Princípio Multiplicativo ou Princípio Fundamental da Contagem cujo enunciado é: Na Figura 3.3, ilustramos este princípio através de um diagrama conhecido como diagrama da árvore.

O Princípio Fundamental também pode ser estendido para uma quantidade qualquer de etapas:

3.1.3 Combinações

Seja A um conjunto com n elementos e consideremos p um natural tal que 1 .p n≤ ≤ . Os subconjuntos de A com p elementos são chamados combinações dos n elementos de A, tomados p a p, ou simplesmente, p a p. O número total de

“Se um acontecimento (evento) é composto de duas etapas sucessivas, independentes entre si, tais que:

a primeira etapa pode ocorrer com m possibilidades, a segunda etapa pode ocorrer com n possibilidades,

então, o acontecimento pode ocorrer com um número total de m n⋅ possibilidades”.

“Se um certo evento pode ocorrer em k etapas sucessivas e independentes, com jn possibilidades de

ocorrência em cada etapa },...,2,1{ KJ ∈ , então o total de maneiras em que o evento pode ocorrer é igual a 1 2. . . .kn n n "

A notação np

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

é a de

número binomial.

Figura 3.3: Princípio Fundamental da Contagem

224

combinações de n elementos p a p é denotado por ,n pC ou por np

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Exemplo: Se { }2, 4,6,8,10A = então as combinações dos 5 elementos de A, tomados 3 a 3, são os seguintes agrupamentos:

{ } { } { } { } { } { } { } { } { } { }2,4,6 , 2,4,8 , 2,4,10 , 2,6,8 , 2,6,10 , 2,8,10 , 4,6,8 , 4,6,10 , 4,8,10 , 6,8,10 . Assim, temos 10 combinações e por causa disso escrevemos 5,3 10.C =

3.1.4 Arranjos Se A é um conjunto com n elementos, as p-uplas ordenadas formadas com elementos distintos de A constituem agrupamentos que são chamados arranjos dos n elementos de A, p a p. O número total de arranjos de n elementos p a p é denotado por ,n pA . Exemplo: Se { }1,3,5,7A = , então são arranjos de A, 2 a 2, as seguintes duplas (pares) ordenadas:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1,3 , 3,1 , 1,5 , 5,1 , 1,7 , 7,1 , 3,5 , 5,3 , 3,7 , 7,3 , 5,7 , 7,3 . Portanto, 4,2 12.A =

3.1.5 Permutações Se A tem n elementos, as n-uplas ordenadas formadas com elementos distintos de A são chamadas permutações dos n elementos de A. O número total de permutações dos n elementos de A é denotado por nP Exemplo: Se A = 5,7,9, então as permutações dos elementos de A são as ternas ordenadas ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5,7,9 , 5,9,7 , 7,5,9 , 7,9,5 , 9,5,7 , 9,7,5 . Portanto, 3 6P = . Note que as permutações de n elementos é um caso particular dos arranjos de n elementos p a p, quando n = p: ,n n nP A= .

3.1.6 Fatorial Em problemas de combinatória, aparecem muito freqüentemente produtos do tipo:

4 3 2 1⋅ ⋅ ⋅ 7 6 5 4 3 2 1⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

11 10 9 8⋅ ⋅ ⋅ 6 5 4⋅ ⋅

Por isso, é conveniente introduzir uma notação que simplifique e abrevie expressões como estas. Se n é um inteiro positivo, o produto ( ) ( )1 2 3 2 1n n n⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ é definido como sendo o fatorial de n, e é denotado por n!. Temos assim:

Exemplos: 241.2.3.4!4 == 7! 7 6 5 4 3 2 1 5040= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 1! 1= Às vezes, no cálculo de fatoriais, em vez de escrever o produto de fatores de n até 1, é conveniente parar em algum momento e deixar o resultado em função de outros fatoriais, conforme os seguintes exemplos.

Observação: O que diferencia um arranjo de uma combinação é que no arranjo a ordem é necessária, enquanto que na combinação a ordem dos elementos não é observada.

( ) ( )! 1 2 3 2 1n n n n= ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

É conveniente definir o fatorial de 0 como sendo igual a 1, isto é, 0! = 1.

225

Exemplos: ( )8! 8 7 6 5 4 3 2 1 8 7!= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ( )! 1 !n n n= ⋅ −

( )8! 8 7 6 5 4 3 2 1 8 7 6 5!= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ( ) ( )! 1 2 !n n n n= ⋅ − ⋅ −

( ) ( ) ( )! 1 2 3 !n n n n n= ⋅ − ⋅ − ⋅ − 3.1.7 Cálculo de arranjos e permutações

Nem sempre é possível listar todos os agrupamentos relacionados com determinado evento. Muitas vezes os números envolvidos são muito grandes. Por exemplo,

o número de combinações de 11 elementos, 5 a 5, é 462; o número de arranjos de 11 elementos, 5 a 5, é 55.440; o número de permutações de 13 elementos é 6.227.020.800.

Logo, é inviável uma contagem direta de tais agrupamentos. No entanto, existem fórmulas que permitem a obtenção imediata desses totais, sem a necessidade de listar seus elementos. Inicialmente, vamos calcular o número de arranjos de um conjunto com n elementos, p a p. Consideremos um arranjo genérico, com as p posições diferentes, e vamos preenchê-las. Ver Figura 3.4.

Figura 3.4: Arranjo de n elementos, p a p

Na 1ª posição, temos n possibilidades de escolha; Uma vez preenchida a posição anterior, na 2ª posição temos n - 1 possibilidades de escolha; Preenchidas as duas posições anteriores, na 3ª posição temos n - 2 possibilidades de escolha; E, assim por diante, até que preenchidas as (p - 1) posições anteriores, na p-ésima posição temos

( 1) ( 1)n p n p− − = − + possibilidades de escolha. Portanto, pelo Princípio Fundamental da Contagem, as p escolhas podem ser feitas de

( 1) ( 2) ( 1)n n n n p⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − + maneiras, isto é,

(3.1)

Exemplos: 9,44 fatores

9 8 7 6 3024A = ⋅ ⋅ ⋅ = 50,33 fatores

50 49 48 117600A = ⋅ ⋅ =

É possível escrever de forma abreviada ,n pA usando a notação de fatoriais. Para isso, basta multiplicar e

dividir a fórmula em (3.1) por ( ) 2 1n p− ⋅ ⋅ ⋅ :

,( 1) ( 2) ( 1) ( ) 2 1,

( ). .2.1n pn n n n p n pA

n p⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅

=−

ou seja,

,!

( )!n pnA

n p=

−

,

fatores

( 1) ( 2) ( 1)n p

p

A n n n n p= ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − +

226

Como as permutações de n elementos são a mesma coisa que os arranjos de n elementos, n a n, temos

,! ! !

( )! 0! 1n n nn n nP A

n n= = = =

−, isto é,

Exemplo: 5 5! 5.4.3.2.1 120.P = = = 3.1.8 Cálculo de combinações

O cálculo de combinações de n elementos, p a p, pode ser feito a partir da fórmula de arranjos (3.1), desde que se observe que a partir de uma única combinação pode-se obter p! arranjos.

Observemos, inicialmente, o seguinte exemplo. Seja A = {1; 2; 3; 4}. As combinações dos elementos de A, 3 a 3, são {1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4} e {2,3,4}. Cada uma dessas combinações dá origem a 6 arranjos:

Combinação Arranjos gerados pela Combinação

{1,2,3} (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1) {1,2,4} (1, 2, 4), (1, 4, 2), (2, 1, 4), (2, 4, 1), (4, 1, 2), (4, 2, 1) {1,3,4} (1, 3, 4), (1, 4, 3), (3, 1, 4), (3, 4, 1), (4, 1, 3), (4, 3, 1) {2,3,4} (4, 2, 3), (4, 3, 2), (2, 4, 3), (2, 3, 4), (3, 4, 2), (3, 3, 4)

Cada combinação dá origem a 3 3! 6P = = arranjos correspondentes. Portanto,

4,3 4,3 4,3.3! 4.6 24C A A= ⇒ = = , uma quantidade que pode ser confirmada na tabela anterior.

O que foi observado no exemplo anterior é válido em geral: os arranjos de n elementos, p a p, podem ser obtidos a partir das permutações de cada combinação dos n elementos, p a p.

Assim, , , ,!!.

!( )!n p n p n pnA p C C

p n p= ⇒ =

−, ou seja, (3.2)

Usando outra notação que é bastante utilizada, temos: A partir da fórmula (3.2) podemos obter várias propriedades

Vamos demonstrar aqui apenas a terceira propriedade, conhecida pelo nome de Relação de Stifel. Usando (3.2), temos:

1, 1 1,( 1)! ( 1)!

( 1)!( )! !( 1)!n p n pn nC C

p n p p n p− − −− −

+ = +− − − −

( 1)! ( )( 1)!

!( )!p n n p n

p n p− + − −

=−

,!

!( )!n pnC

p n p=

−

!!( )!

n np p n p

⎛ ⎞=⎜ ⎟ −⎝ ⎠

Propriedades:

, ,0 1n n nC C= =

, ,n p n n pC C −=

, 1, 1 1,n p n p n pC C C− − −= +

!nP n=

227

,( )( 1)! ! .

!( )! !( )! n pp n p n n C

p n p p n p+ − −

= = =− −

3.1.9 Triângulo de Pascal

É conveniente dispor os números de combinações em forma de tabela, escrevendo ,n pC na linha n

+1 e coluna p +1. Por exemplo, 4,2C é escrito na quinta linha e terceira coluna da tabela. A tabela assim formada e listada a seguir é chamada Triângulo de Pascal, e permite que sejam observadas várias propriedades desses números.

C0,0 C1,0 C1,1 C2,0 C2,1 C2,2 C3,0 C3,1 C3,2 C3,3 C4,0 C4,1 C4,2 C4,3 C4,4 C5,0 C5,1 C5,2 C5,3 C5,4 C5,5 C6,0 C6,1 C6,2 C6,3 C6,4 C5,6 C6,6

Se calcularmos o valor de cada ,n pC a tabela anterior poderá ser escrita na forma: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

Nesta tabela, a propriedade conhecida como Relação de Stifel pode ser verificada da seguinte forma: ao somarmos dois elementos consecutivos em uma linha, obtemos o elemento que está logo abaixo do segundo elemento somado. 3.1.10 Binômio de Newton

Vamos obter uma fórmula que permita desenvolver ( )nx a+ , onde n é um inteiro positivo qualquer. Essa fórmula é conhecida pelo nome de fórmula do Binômio de Newton e data do século XVII.

Ampliando o seu Conhecimento

Inicialmente, vamos desenvolver o produto 1 2 3( ) ( ) ( )x a x a x a+ ⋅ + ⋅ + onde 1 2 3{ , , }A a a a= é formado por 3 elementos.

21 2 3 1 2 3 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) )x a x a x a x a x a a x a a+ ⋅ + ⋅ + = + ⋅ + + +

3 21 2 3

combinações de A, 1 a 1

( )x a a a x= + + + 1 2 1 3 2 3 1 2 3combinações de A, 3 a 3combinações de A, 2 a 2

( )a a a a a a x a a a+ + + +

Em particular, quando 1 2 3 ,a a a a= = = obtemos:

3,1 3,2

3 3 2 2 3( ) (3) (3)C C

x a x ax a x a+ = + + +

que é o mesmo que : 3 3 2 2 33,0 3,1 3,2 3,3( )x a C x C ax C a x C a+ = + + + (3.3)

Procure conhecer melhor quem foi Isaac Newton, matemático e físico inglês do século XVII, considerado um verdadeiro gênio.

228

Analogamente, quando 1 2 3 4{ , , , }A a a a a= é formado por 4 elementos, obtemos

1 2 3 4 1 2 3 4( ) ( ) ( ) ( ) [( ) ( ) ( )] ( )x a x a x a x a x a x a x a x a+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + = + ⋅ + ⋅ + ⋅ +

4 31 2 3 4

combinações de , 1 a 1

( )A

x a a a a x= + + + +

21 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4


( )A

a a a a a a a a a a a a x+ + + + + +

1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4


( )A

a a a a a a a a a a a a x+ + + +

1 2 3 4

combinações de , 4 a 4A

a a a a+

Em particular, quando 1 2 3 4 ,a a a a a= = = = obtemos: 4 4 3 2 2 3 4( ) 4 6 4x a x ax a x a x a+ = + + + +

que é o mesmo que 4 4 3 2 2 3 4

4,0 4,1 4,2 4,3 4,4( ) ,x a C x C ax C a x C a x C a+ = + + + + (3.4) As fórmulas (3.3) e (3.4) são situações particulares da fórmula geral:

(3.5)

que é a fórmula do Binômia de Newton. A fórmula (3.5) pode ser demonstrada utilizando-se o Princípio de Indução Finita.

Usando-se a notação np

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(lê-se: “binomial de n sobre p") no lugar de ,n pC , ela costuma ser escrita no

formato

1 2 2 1( )0 1 2 1

n n n n n nn n n n nx a x ax a x a x a

n n− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ = + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.6)

O termo geral da fórmula (3.6) é dado por 3.2 Mais exemplos Exemplo: Uma placa de carro é formada por uma seqüência de três letras do alfabeto, seguida de quatro algarismos. Determine o total de placas que podem ser formadas com as regras dos seguintes casos: a) Pode haver repetição de letras ou de algarismos, como no exemplo WWB-5658 b) Pode haver repetição de letras, mas não há repetição de algarismos. Exemplo: ABB-4321; c) Não pode ter repetição de letras, mas pode ter repetição de algarismos. Exemplo: MNX-0008; d) Não pode ter repetição de letras, e nem de algarismos. Exemplo: MOP-4690; Solução: Veja a Figura 3.5. Na situação (a), cada uma das três letras pode ser escolhida de 26 maneiras diferentes e cada um dos três algarismos pode ser escolhido de 10 maneiras. Logo, pelo Princípio Fundamental de Contagem há um total de 26 26 26 10 10 10 10 175.760.000⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = placas.

1 2 2 1,0 ,1 ,2 , 1 ,( ) ,n n n n n n

n n n n n n nx a C x C ax C a x C a x C a− − −−+ = + + + + +

1 ,n n pp

nT a x

p−

+

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

onde {0,1, , }.p n∈

229

Na situação (b), cada uma das três letras pode ser escolhida de 26 maneiras diferentes e a escolha do primeiro algarismo admite 10 maneiras. Como não há repetição de algarismos, o segundo pode ser escolhido de 9 maneiras, o terceiro de 8 maneiras e o quarto de 7 maneiras. Logo, pelo Princípio Fundamental de Contagem há um total de 26 26 26 10 9 8 7 88.583.040⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = placas. Na situação (c), a primeira letra pode ser escolhida de 26 maneiras diferentes. Como não há repetição de letras, a segunda pode ser escolhida de 25 maneiras e a terceira de 24 maneiras. Cada um dos três algarismos pode ser escolhido de 10 maneiras. Logo, pelo Princípio Fundamental de Contagem há um total de 26 25 24 10 10 10 10 = 156.000.000 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ placas. Na situação (d), a primeira letra pode ser escolhida de 26 maneiras diferentes. Como não há repetição de letras, a segunda pode ser escolhida de 25 maneiras e a terceira de 24 maneiras. O primeiro algarismo pode ser escolhido de 10 maneiras. Como não há repetição de algarismos, o segundo pode ser escolhido de 9 maneiras, o terceiro de 8 maneiras e o quarto de 7 maneiras. Logo, pelo Princípio Fundamental de Contagem há um total de 26 25 24 10 9 8 7 = 78.624.000 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ placas. Exemplo: Seja 1 2{ , , , }nE a a a= um conjunto com n elementos. Verifique que ( )E℘ , o conjunto de

todos os subconjuntos de E, é formado por 2n elementos. Solução: ( ) { | }E X X E℘ = ⊂ A cada subconjunto X de E podemos associar uma n-upla, 1 2( , , , )nt t t , onde cada it é escolhido como sendo 0 ou 1. Para cada 1,2, ,i n= … , fazemos 0it = quando ia X∉ e 1it = quando ia X∈ . Por

exemplo, se 1 2 3{ , , }X a a a= então associamos a X a n-upla ordenada ( )1,0,1,1,0,0, ,0 .…

Por outro lado, à n-upla )0,...,0,0,0,1,1,1( associamos 2{ , }nX a a= . A quantidade de n-uplas ordenadas assim construídas é a mesma quantidade de sub-conjuntos de X. Como temos duas opções (0 ou 1) para cada coordenada da n-upla, temos que a quantidade total delas é

fatores

2.2. 2 2 .n

n

=

Exemplo: Sejam E e F conjuntos finitos com r e s elementos, respectivamente. Quantas funções de E em F podem ser definidas? Solução: Suponhamos 1 2{ , , , }.nE x x x= Uma função :f E F→ fica bem determinada se forem definidas suas imagens 1 2( ), ( ), , ( )nf x f x f x . Cada uma dessas imagens deve ser um elemento de F e,

por isso, pode ser definida de s possibilidades. Assim, o total de funções de E em F é de fatores

. . .r

r

s s s s=

Exemplo: Sejam E e F conjuntos finitos com r e s elementos, respectivamente, sendo r s≤ . Quantas funções injetoras de E em F podem ser definidas? Quantas são as bijeções de E em F ? Solução: Suponhamos 1 2{ , , , }.nE x x x= Uma função f fica bem determinada se forem definidas suas imagens ( )if x :

• a imagem de 1( )f x F∈ pode ser definida de s possibilidades; • como não deve haver repetição de imagens, a imagem de 2( )f x pode ser definida de 1s −

possibilidades; • a imagem de 3( )f x pode ser definida de 2s − possibilidades;

e assim por diante até que • a imagem de ( )rf x F∈ pode ser definida de 1s r− + possibilidades;

Logo, o total de funções injetoras de E em F é de ( ) ( ) ( ) ,1 2 1 s rs s s s r A⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − + = .

Figura 3.5

230

Em particular, quando r = s, toda função injetora também será bijetora. Logo, o número de bijeções entre dois conjuntos com r elementos é igual a , !r r rA P r= = . Exemplo: Determine a quantidade de divisores positivos do número 38.416.000n = . Solução: Fatorando n obtemos 7 3 438.416.000 2 5 7 .= ⋅ ⋅ . Um divisor positivo de n é da forma 2 .5 .7α β γ onde

• α pode ser qualquer elemento do conjunto }7,6,5,4,3,2,1,0{ • β pode ser qualquer elemento do conjunto }3,2,1,0{ • γ pode ser qualquer elemento do conjunto }4,3,2,1,0{

Logo, o total de possibilidades para um divisor de n é de 8 4 5 160⋅ ⋅ = divisores. De um modo geral, se 1 2

1 2. . rrn p p pα α α= onde cada ip é um número primo, então o total de divisores de

n é 1 2( 1) ( 1) ( 1).rα α α+ ⋅ + ⋅ ⋅ + Exemplo: Um anagrama de uma palavra é qualquer ordenação de suas letras, dando origem a palavras com ou sem sentido. Por exemplo, alguns dos anagramas de ROMA são AMOR, OMAR, AMRO, RMOA, AOMR, entre outras. Quantos são os anagramas da palavra PERNAMBUCO? Solução: Temos 10 letras e cada anagrama inclui as 10 letras sendo distinguidos uns dos outros apenas pela ordem das letras. Assim, o número de anagramas é o mesmo das permutações com 10 elementos, ou seja, é igual a 10 10! 3.628.800P = = . Exemplo: Quantos anagramas tem a palavra PASSAGENS ? Solução: Nessa palavra temos 9 letras, sendo três letras S e duas letras A repetidas. Para diferenciar as letras repetidas, vamos usar o artifício de usar índices nelas. Com as letras indexadas, a palavra fica assim: PA1S1S2A2GENS3. Dessa forma, temos um total de 9! anagramas indexados. Cada anagrama da palavra dá origem a 3! 2!⋅ anagramas depois que forem acrescentados índices. Por exemplo, AASSSPGEN dá origem a A1A2S1S2S3PGEN, A2A1S3S2S1PGEN e A1A2S2S3S1PGEN, entre outros. Portanto, o número de anagramas da palavra dada multiplicado por 3! 2!⋅ é igual ao total de anagramas

indexados 9!. De onde podemos concluir que o número de anagramas procurado é igual a 9! 30.240

3! 2!=

⋅.

Em geral, uma palavra com n letras em que aparecem 1r letras 1L repetidas, 2r letras 2L repetidas,… kr

letras kL repetidas possui um total de 1 2

!!. !. . !k

nr r r

anagramas.

Exemplo: Calcule o valor de 20

0

202k

k k=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

Solução:

2 00 1 2 2 0

0

2 0 2 0 2 0 2 0 2 02 2 2 2 2

0 1 2 2 0k

k k=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑

0 2 0 1 1 9 2 1 8 2 0 0 2 0 2 02 0 2 0 2 0 2 0

2 1 2 1 2 1 2 1 ( 2 1) 3 .0 1 2 2 0

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4. Avaliando o que foi construído

Vimos, com alguns exemplos, como o Princípio Fundamental da Contagem pode ser utilizado para resolver uma grande variedade de problemas de contagem. Definimos alguns agrupamentos simples como

231

permutações, arranjos e combinações e utilizamos esses agrupamentos para calcular os coeficientes que ocorrem na expansão das potências de um binômio.

No Moodle...

5. Referências

Carvalho, P. C. P., Métodos de Contagem e Probabilidade, Estágio dos Alunos Bolsistas da OBMEP 2005, Ed. SBM, Rio de Janeiro: 2006. Hazzan, S., Combinatória e Probabilidade, Fundamentos de Matemática Elementar, vol. 5, Atual Editora, São Paulo: 1978. Dante, L. R., Matemática: Contexto e Aplicações, Ed. Ática, São Paulo: 2003. Neto, A. A. e outros, Combinatória, Matrizes e Determinantes, Noções de matemática, vol. 4, Ed. Moderna, São Paulo: 1982. Lipschutz, S., Matemática Finita, Coleção Schaum, Ed. McGraw-Hill, São Paulo: 1977.

Na plataforma Moodle você encontrará vários exercícios envolvendo os temas abordados nesta unidade. Visite a plataforma, identifique as atividades e participe!

232

Unidade III Probabilidade


Nesta unidade definimos probabilidade de um evento em um espaço amostral, probabilidade condicional e independência de eventos.


O cálculo de probabilidades é importante para decidir quão provável é a ocorrência de determinado evento. Considerado uma “nova álgebra”, seu estudo iniciou-se no século XVII com Jean Bernoulli e Abraham de Moivre, associado a procedimentos de como ganhar em jogos de azar.


3.1 Experimento Aleatório e Espaço Amostral

Chamamos experimento aleatório aquele cujo resultado não pode ser determinado antes de realizá-lo e que, repetido em idênticas condições, produz resultados diferentes. Exemplos: São exemplos de experimentos aleatórios:

Lançar um dado e observar o número da face de cima; Lançar uma moeda e observar a face de cima; Selecionar uma carta de um baralho e observar seu naipe; Uma urna contendo bolas de cores diferentes, selecionar uma bola e observar a sua cor.

O conjunto Ω formado por todos os possíveis resultados de um experimento aleatório é chamado espaço amostral do experimento.

Exemplos: São exemplos de espaços amostrais:

Lançar um dado e observar o número da face de cima: { }1, 2,3, 4,5,6Ω =

Lançar uma moeda e observar a face de cima: { },K CΩ = , onde K representa cara e C, coroa. Lançar uma moeda três vezes e observar a seqüência de caras e

coroas: ( )( )( )( )( )( )( )( ){ }, , , , , , , , , , , , , ,K K K K K C K C K C K K C C K CKC K C C C C CΩ =

Lançar dois dados e observar a soma dos números das faces de cima: { }2,3, 4,5,6,7,8,9,10,11,12Ω =

Dialogando e Construindo Conhecimento 3.2 Eventos

Um subconjunto qualquer, E, de um espaço amostral { }1, 2,3, 4,5,6Ω = é chamado evento. Denotaremos um evento por uma letra maiúscula do nosso alfabeto latino.

Se E for igual a Ω então E será chamado evento certo; se E for vazio então E será chamado um evento impossível, se E for unitário então diremos que é um evento elementar.

Exemplo: Um dado é lançado e o número da face de cima é observado. Então { }1, 2,3, 4,5,6Ω = . São alguns exemplos de eventos:

Liste todas as possibilidades de resultados observados no lançamento dos dois dados citados na afirmação anterior e verifique como se obtém o conjunto Ω .

233

A: ocorrência de um número par. { }2, 4,6A = .

B: ocorrência de um número menor do que ou igual a 3. { }1, 2,3B = . C: ocorrência de um número menor do que 7. B = Ω . D: ocorrência de um número maior do que 7. B = ∅ . Exemplo: Uma moeda é lançada duas vezes e observa-se a seqüência de caras e coroas Então, são exemplos de eventos: A: ocorrência de cara (K) no segundo lançamento. ( ) ( ){ }A= , ; , .K K C K

B: ocorrência de coroa (C) em pelo menos uma das vezes. ( ) ( ) ( ){ }B= , ; , ; , .C C C K K C

C: ocorrência de mais de uma coroa ou mais de uma cara. ( ) ( ){ }C= , ; , .C C K K

3.3 Eventos união, intersecção e complementar

Dois eventos E e F podem ser combinados para formar novos eventos, como o evento união E ∪ F e o evento intersecção, E ∩ F.

Em particular, se E F∩ =∅ então E e F são chamados mutuamente exclusivos.

Exemplo: Um dado é lançado e o número da face de cima é observado. Então, { }1, 2,3, 4,5,6Ω = . Consideremos os seguintes eventos: E: ocorrência de um número ímpar. E = {1, 3, 5}. F: ocorrência de um número par. F = {2, 4, 6}. G: ocorrência de um número maior do que 4. G = {5, 6}. Então, temos: E ∪ G: ocorrência de um número ímpar ou maior do que 4: E ∪ G = {1, 3, 5, 6} E ∩ G: ocorrência de um número ímpar maior do que 4: E ∩ G = {5} E ∩ F: ocorrência de um número ímpar e par: E ∩ F = ∅ (eventos mutuamente exclusivos)

CG : ocorrência de um número que não é maior do que 4: CG = {1, 2, 3, 4} CE : ocorrência de um número que não é ímpar: CE = {2, 4, 6}

3.4 Definição de probabilidade

Se todos os eventos elementares de um espaço amostral finito ocorrem com a mesma chance, então dizemos que o espaço é eqüiprovável.

Seja A um evento em um espaço eqüiprovável Ω . Definimos a probabilidade de ocorrência de A, denotada por P(A), como sendo a razão entre o número de elementos de A e o número de elementos de Ω .

O número de elementos do conjunto A costuma ser denotado por n(A) ou por An ou por #A. Dessa forma, a definição de probabilidade do evento A pode ser resumida na fórmula

O evento E ∪ F ocorre se, e somente se, pelo menos um evento ocorre e E∩ F ocorre se, e somente se, ambos, E e F, ocorrem.

Dado um evento E, o evento complementar ECE cΩ= é o evento que ocorre se, e somente se, E não

ocorre. CE também costuma ser denotado por E .

( ) ( )( )

n AP A

n=

Ω

234

Exemplo: Uma urna contém 40 bolas idênticas numeradas de 1 a 40. Em uma extração ao acaso, a) Qual a probabilidade de obtermos uma bola de número ímpar? b) Qual a probabilidade de obtermos a bola de número 13? c) Qual a probabilidade de obtermos uma bola de número menor do que ou igual a 10? Solução: Denotando por kb a bola de número k temos que o espaço amostral do experimento descrito é

{ }1 2 40, , , .b b bΩ = … a) Seja A o evento “ocorrência de número ímpar”. Então A = {1, 3, 5, 7, ... , 39} e, como n(A) = 20, temos

( ) ( )( )

20 140 2

n AP A

n= = =

Ω.

b) Seja B o evento “ocorrência do número 13”. Então B = {13} e daí ( ) ( )( )

1 .40

n BP B

n= =

Ω

c) Seja C o evento “ocorrência de número menor do que ou igual a 10”. Neste caso, temos

{ } ( ) ( )( )

10 11,2,3,4,5,6,7,8,9,10 .40 4

n CC P C

n= ⇒ = = =

Ω


Sendo A um evento qualquer de um espaço amostral finito Ω . Então é claro que o número de elementos de A é maior do que ou igual a 0 e não ultrapassa a quantidade de elementos de Ω , ou seja,

( ) ( )0 .n A n≤ ≤ Ω

Dividindo esta dupla desigualdade por n(Ω ), obtemos ( )

( )( )

( )( )

0 n A nn n n

Ω≤ ≤

Ω Ω Ω, de onde concluímos que:

No cálculo da quantidade de elementos de um conjunto, é muito comum precisarmos usar as técnicas

de Combinatória contando arranjos, permutações, combinações, etc. 3.5 Soma de probabilidades

Consideremos um espaço amostral, Ω , no qual queremos observar a ocorrência de um evento A ou

de um evento B, ou seja, queremos observar a ocorrência de A ∪ B. Da Figura 3.1, observamos que ( )A B A B A B⎡ ⎤∪ = ∪ − ∩⎣ ⎦ para quaisquer conjuntos A e B.

( )0 1.P A≤ ≤

Se P(A) = 0 então temos um evento impossível e se P(A) = 1, temos um evento certo.

Figura 3.1: Soma de probabilidades

Interprete os resultados obtidos nos itens (a), (b) e (c) anteriores. Qual é o mais provável de ocorrer? Qual é o menos provável?

235

Como A e B – (A ∩ B) não têm elementos em comum, temos que : n(A ∪ [B – (A ∩ B)]) = n(A) + n(B – (A ∩ B)) e como A ∩ B ⊂ B, temos que: n(B – (A ∩ B)) = n(B) – n(A ∩ B). Daí

( ) ( ) ( ) ( )n A B n A n B n A B∪ = + − ∩ Dividindo ambos os membros da igualdade acima por n(Ω ), obtemos:

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

n A B n A n B n A Bn n n n∪ ∩

= + −Ω Ω Ω Ω

,

que é equivalente a

(3.1) Em particular, se A e B forem mutuamente exclusivos, temos A ∩ B = ∅ e, assim, P(A ∩ B) = 0, ou seja,

3.6 Probabilidade do evento complementar Seja CA o evento complementar de um evento A de um espaço amostral Ω .

Como CA A∪ = Ω e CA A∩ =∅ , temos que: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).C Cn A n A n n A n n A+ = Ω ⇒ = Ω −

Dividindo por n(Ω ), obtemos ( )( )

( )( )

( )( )

,Cn A n n A

n n nΩ

= −Ω Ω Ω

ou seja,

3.7 Probabilidade condicional

Consideremos dois eventos A e B de um espaço amostral Ω . A probabilidade condicional do evento A, dado que o evento B ocorreu, denotado por P(A|B), é definida por

Dividindo o numerador e o denominador da fração anterior por n(Ω ), obtemos

(3.2)

Ao calcularmos P(A|B) é como se o espaço amostral Ω fosse reduzido e ficasse limitado ao conjunto B. Analogamente, temos também que a probabilidade condicional do evento B, dado que A ocorreu, é expressa por

(3.3) Exemplo: Uma carta é sorteada de um baralho comum com 4 naipes (ouros, copas, espadas e paus), cada um com 13 cartas (A, 2, 3, 4, 5 ,6 ,7 8, 9, 10, J, K, Q). Sabendo que a carta sorteada é de espadas, qual a probabilidade dela ser um K (um rei)? Solução: Seja Ω o conjunto de todas as 52 cartas do baralho. Vejamos duas maneiras de resolver este problema:

( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∪ = + − ∩

( ) ( ) ( )P A B P A P B∪ = +

( ) ( )1 .CP A P A= −

( ) ( )( )

|n A B

P A Bn B∩

=

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )

|n A B n A B n P A B

P A Bn B n B n P B∩ ∩ Ω ∩

= = =Ω

( ) ( )( )

|P A B

P B AP A∩

=

236

1) Restringindo-se o espaço amostral: Considerando Ω ’ o conjunto das cartas de espadas, temos n(Ω ’) = 13 e, como existe uma única carta K em

Ω ’ temos que a probabilidade procurada é igual a 1 .

13

2) Utilizando-se a fórmula 3.3: Seja A o evento “sortear carta de espadas” e B o evento “sortear um K“.Devemos calcular P(B|A). Para isso,

basta observar que A B∩ é formado por uma única carta (o rei de espadas) e que P( A B∩ ) = 152

e P(A) =

13 1 .52 4

= Portanto,

( ) ( )( )

1 52 1| .1 4 13

P A BP B A

P A∩

= = =

Exemplo: Em uma cidade, 1000 pessoas foram classificadas de acordo com o sexo e o estado civil e obteve-se a seguinte tabela:

----------------- Solteiro (S) Casado (C) Viúvo (V) Outro (O) Total Masculino (M) 245 230 10 30 515 Feminino (F) 235 215 25 10 485

Total 480 445 35 40 1000 Uma pessoa incluída nesta classificação é escolhida ao acaso. Consideremos os eventos: S: a pessoa é solteira; M: a pessoa é do sexo masculino; F: a pessoa é do sexo feminino; V: a pessoa é viúva. Vamos calcular: a) P(S|F) b) P(F|S) c) P(V|M) d) P(M|V). Solução:

a) P(S|F) representa a probabilidade de a pessoa ser solteira, no espaço amostral reduzido das pessoas

do sexo feminino. Logo, P(S|F) = 235 47485 97

= .

b) P(F|S) representa a probabilidade de a pessoa ser do sexo feminino, no espaço amostral reduzido das

pessoas solteiras. Logo, P(F|S) = 235 47480 96

= .

c) P(V|M) representa a probabilidade de a pessoa ser viúva, no espaço amostral reduzido das pessoas

do sexo masculino. Logo, P(V|M) = 10 2515 103

= .

d) P(M|V) representa a probabilidade de a pessoa ser do sexo masculino, no espaço amostral reduzido

das pessoas viúvas. Logo, P(M|V) = 10 235 7

= .


3.8 Eventos independentes Das fórmulas 3.2 e 3.3, obtemos P( A B∩ ) = P(B) ⋅P(A|B) e P(B) = P(A) ⋅P(B|A). O que significa que a probabilidade de dois eventos simultâneos é igual ao produto da probabilidade de um deles pela probabilidade do outro, dada a ocorrência do primeiro.

Interprete os resultados obtidos nos itens (a), (b) e (c) anteriores. Qual é o mais provável de ocorrer? Qual é o menos provável?

237

Como P( A B∩ ) = P(A|B) ⋅P(B), temos que se A for independente de B, então

Se um evento A for independente de um evento B, então,

Significando que a ocorrência de A não afeta a de B. Assim, “A é independente de B” é o mesmo que “B é independente de A" e, neste caso, podemos dizer simplesmente que A e B são independentes. Se A e B não são independentes, então eles são chamados dependentes. O conceito de independência pode ser estendido para uma quantidade finita qualquer de eventos. Por exemplo, dizemos que A,B e C são independentes quando

( ) ( ) ( ) ( )A B CP P A P B P C∩ ∩ = ⋅ ⋅ 3.9 Mais exemplos Exemplo: Consideremos A, B e C eventos de um espaço amostral Ω . Obtenha uma fórmula para o cálculo de P(A∪B∪C). Solução: Usando a fórmula 3.1 várias vezes, obtemos: P(A∪ (B∪C)) = P(A) + P(B∪C) – P(A ∩ (B ∪C)) = P(A) + [P(B) + P(C) – P(B ∩ C)] – P((A ∩ B) ∪ P(A ∩ C)) = P(A) + P(B) + P(C) – P(B ∩ C) – [P(A ∩ B) + P(A ∩ C) – P((A∩ B) ∩ (A∩C))]. Ou seja, P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) – P(A ∩ C) – P(B∩C) – P(A∩B∩C). Exemplo: Um experimento consiste em lançar um dado e uma moeda e observar as faces superiores obtidas. Neste espaço amostral, consideremos os eventos: A: ocorrer no dado um número primo e B: ocorrer no dado um número par e coroa na moeda. Calcule P(A), P(B), P(A∩B), P(A|B) e P(B|A). Solução: Temos que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( )1, , 1, , 2, , 2, , , 6, , 6, 12C K C K C K nΩ = ⇒ Ω =…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( )2, , 2, , 3, , 3, , 5, , 5, 6A C K C K C K n A= ⇒ =

( ) ( ) ( ){ } ( )2, , 4, , 6, 3B C C C n B= ⇒ = .

Daí obtemos ( ) ( )( )

6 112 2

n AP A

n= = =

Ω e ( ) ( )

( )3 1

12 4n B

P Bn

= = =Ω

.

Como ( ){ }2,A B C∩ = , temos que ( ) ( )( )

112

n A BP A B

n∩

∩ = =Ω

e, conseqüentemente,

( ) ( )( )

1 12 1|1 4 3

P A BP A B

P B∩

= = = e ( ) ( )( )

1 12 1| .1 2 6

P A BP B A

P A∩

= = =

( ) ( ) ( ).P A B P A P B∩ = ⋅

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )| ,

P A B P A P BP B A P B

P A P A∩ ⋅

= = =

Um evento A é independente de outro evento B se P(A|B) = P(A), isto é, se a ocorrência de B não afeta a de A.

238

Observe que ( ) ( )| |P A B P B A≠ e também que ( ) ( ) ( )P A P B P A B⋅ ≠ ∩ , ou seja, que A e B são dependentes. Exemplo: Mostre que se A e B são eventos independentes de um espaço amostral Ω então A e CB também o são. Solução: Como CB B∪ =Ω e CB B∩ =∅ temos: ( ) ( ) ( )C CA A B B A B A B= ∩ ∪ = ∩ ∪ ∩

( ) ( ) ( ) ( )C CP A P A B P A B P A B A B⇒ = ∩ + ∩ − ∩ ∩ ∩

( ) ( ) ( ) 0CP A P A B P A B⇒ = ∩ + ∩ −

( ) ( ) ( )CP A P A B P A B⇒ = ∩ + ∩

Como A e B são independentes, temos ( ) ( ) ( ) ,P A B P A P B∩ = ⋅ e daí,

( ) ( ) ( )( )CP A B P A P A P B∩ = − ⋅

( ) ( )( ) 1CP A B P A P B⎡ ⎤∩ = ⋅ −⎣ ⎦

( ) ( )( )C CP A B P A P B∩ = ⋅ ,

o que significa que A e CB são independentes. Exemplo: Mostre que se A e B são eventos mutuamente exclusivos e não impossíveis então eles são dependentes. Solução: Como A e B não são impossíveis ( ) 0P A > e ( ) 0P B > , o que implica ( ) ( ) 0.P A P B⋅ > Como

A e B são mutuamente exclusivos, ( ) 0.A B P A B∩ =∅⇒ ∩ = Logo, ( ) ( ) ( )P A B P A P B∩ ≠ ⋅ , o que significa que os eventos são dependentes. Exemplo: O problema clássico de aniversário consiste em se determinar a probabilidade, P, de que em um grupo com n pessoas todas tenham aniversários em dias distintos.

Como sempre fizemos neste texto, vamos supor que o espaço amostral seja eqüiprovável, ou seja, suponhamos que o aniversário possa cair em qualquer dia com a mesma chance. Solução: Consideremos um ano com 365 dias. Cada pessoa tem 365 opções para dia do aniversário e, como existem n pessoas, existem 365n opções de aniversários para todo o grupo. Este é o número de elementos do espaço amostral. Se as pessoas têm aniversários em dias distintos, então:

existem 365 opções de aniversário para a 1ª pessoa, existem 364 opções de aniversário para a 2ª pessoa, existem 363 opções de aniversário para a 3ª pessoa, e assim por diante.

No final, temos que existem ( )( )365 1n− − opções de aniversário para a nª pessoa. Concluímos então que

existem ( )365 364 363 365 1n⋅ ⋅ − −… maneiras em que as pessoas possam ter aniversários distintos. Portanto, a probabilidade de que não haja coincidência de aniversários no grupo de n pessoas é:

( )365 364 363 365 1365n

nP

⋅ ⋅ − +=

…

239

É interessante notar que para n = 23 obtemos um valor de P que é aproximadamente igual a 0,4927. Isso significa que em um grupo com 23 pessoas (ou mais), é mais provável que haja pelo menos duas delas com o mesmo aniversário do que todas terem aniversários distintos. Para n = 50, obtemos P = 0,0296. Como 1 - P = 0,9704 temos que é quase certeza ter alguma coincidência de aniversários em um grupo com 50 pessoas. Exemplo: Oito livros são colocados aleatoriamente, lado a lado, em uma estante. Qual a probabilidade de 3 desses livros, previamente escolhidos, ficarem juntos? Solução: O número de elementos (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) do espaço amostral Ω é o número de permutações com 8 elementos, ou seja, ( ) 8!.n Ω = Suponhamos que os 3 livros escolhidos para ficarem juntos sejam a1, a2 e a3, nesta ordem. Então são exemplos de eventos favoráveis: ([a1a2a3], a4, a5, a6, a7, a8), (a4, [a1a2a3], a5, a6, a7, a8), (a4, a5, [a1a2a3], a6, a7, a8), … . Logo, para efeito de contagem, os três livros devem ser contados como um único livro e o total de possibilidades é o de permutações com 6 elementos, ou seja, é igual a 6!. No entanto, os livros não precisam permanecer na ordem [a1a2a3] podendo haver permutações nesse conjunto: [a3a1a2], [a2a3a1], … e isso pode ser feito de 3! maneiras. Logo, os eventos favoráveis são:

([a1a2a3], a4, a5, a6, a7, a8), (a4, [a1a2a3], a5, a6, a7, a8),… ([a2a1a3], a4, a5, a6, a7, a8), (a4, [a2a1a3], a5, a6, a7, a8),… ([a3a1a2], a4, a5, a6, a7, a8), (a4, [a3a1a2], a5, a6, a7, a8),…

De onde podemos observar um total de 3! 6!⋅ possibilidades. Dessa forma, concluímos que a probabilidade de três livros ficarem juntos na estante é

3! 6! 3 .

8! 28⋅

=

Exemplo: Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 7 pretas. Duas bolas são retiradas ao acaso da urna, sem reposição. Qual a probabilidade de ambas as bolas serem vermelhas? Solução: A urna contém um total de 12 bolas. Logo, duas bolas podem ser retiradas da urna de

12,2C maneiras. Duas bolas vermelhas podem ser retiradas de 5,2C maneiras. Logo, a probabilidade de retirar

duas bolas vermelhas é igual a 5,2

12,2

10 5 .66 33

CC

= =


Definimos espaço amostral, evento, probabilidade, soma de probabilidades, probabilidade condicional e eventos independentes. Essas noções são importantes para decidir quão prováveis são determinados eventos. O estudo dos tópicos iniciados nesta unidade é essencial no entendimento de outros temas como Estatística e Tratamento da Informação.

No Moodle...

5. Referências

CARVALHO, P. C. P., Métodos de Contagem e Probabilidade, Estágio dos Alunos Bolsistas da OBMEP 2005, Ed. SBM, Rio de Janeiro: 2006.

Na plataforma Moodle você encontrará indicações de atividades sobre o conteúdo desta unidade. Vá até a plataforma e participe!

240

HAZZAN, S., Combinatória e Probabilidade, Fundamentos de Matemática Elementar, vol. 5, Atual Editora, São Paulo: 1978. DANTE, L. R., Matemática: Contexto e Aplicações, Ed. Ática, São Paulo: 2003. NETO, A. A. e outros, Combinatória, Matrizes e Determinantes, Noções de Matemática, vol. 4, Ed. Moderna, São Paulo: 1982 LIPSCHUTZ, S., Matemática Finita, Coleção Schaum, Ed. McGraw-Hill, São Paulo: 1977.

241

Unidade IV Noções de Estatística


Nesta unidade, apresentamos algumas noções de Estatística tais como medidas de localização (média, mediana, moda) e medidas de dispersão (variância e desvio-padrão). É dada ênfase à representação gráfica de dados em forma de gráficos de segmentos, gráficos de barras, gráficos de setores e histogramas.


Estatística é uma parte da Matemática Aplicada que dispõe de processos apropriados para recolher, organizar, classificar, apresentar e interpretar conjuntos de dados. Seu objetivo é obter informação a partir dos dados para uma melhor compreensão das situações que eles representam.

Os campos de aplicação da Estatística são muitos e bastante variados: economia, sociologia, medicina, pedagogia, engenharia, na indústria, na agricultura etc.


3.1 Introdução à Estatística

Inicialmente, apresentamos definições de população, amostra, dados estatísticos e intervalos de classe.

Nem sempre é possível estudar exaustivamente todos as unidades de uma população porque isso poderia consumir muito tempo ou sair muito caro. Por isso, as amostras são bastante utilizadas.

Uma amostra deve ser tão representativa quanto possível da população que se pretende estudar; caso contrário, a sua utilização pode dar origem a interpretações e conclusões distorcidas.

Podemos classificar a Estatística em Descritiva e em Indutiva. A Estatística Descritiva procura estudar e descrever as amostras. A Estatística Indutiva procura tirar conclusões para a população.

Figura 3.1: Estatística Descritiva e Estatística Indutiva

3.2 Dados estatísticos

Os dados que compõem uma amostra podem ser classificados basicamente em dois tipos: Dados qualitativos: Representam a informação relacionada com alguma qualidade ou atributo que não pode ser medido. Por exemplo, estado civil, sexo, preferência musical de determinado indivíduo.

População é um conjunto de unidades individuais que se pretende estudar. Pode ser formada por pessoas ou resultados experimentais com características em comum.

Uma amostra é um conjunto de dados ou observações, recolhidos a partir de uma parte da população, que se estuda com o objetivo de tirar conclusões acerca da população de onde a amostra foi recolhida. A técnica utilizada na obtenção de uma amostra é chamada amostragem

242

Dados quantitativos: São os que podem ser expressos por números. Por exemplo, idade, altura, salário de um indivíduo. Podem ser subdivididos em:

Contínuos – podem assumir uma infinidade de valores distintos. Por exemplo, a altura de um indivíduo. Discretos (ou descontínuos) – só podem assumir uma quantidade finita de valores distintos. Por exemplo, o número de quartos que tem a casa onde o indivíduo mora.

Mais algumas definições:

A dimensão de uma amostra é o número de elementos que a compõem. A amplitude de uma amostra é a diferença entre o maior valor e o menor valor apresentados. Denominamos rol a qualquer conjunto ordenado de dados, seja em ordem crescente ou decrescente. A freqüência absoluta ou, simplesmente, freqüência de um elemento de determinada amostra é a

quantidade de vezes que ele ocorre. A freqüência relativa é a freqüência absoluta dividida pela dimensão da amostra. É comum utilizar a

freqüência relativa em forma de porcentagem. A freqüência relativa acumulada é a soma parcial formada pela freqüência atual mais todas as

freqüências anteriores. Exemplo: Na tabela a seguir, representamos alguns números de matrículas e algumas notas de uma turma de alunos:

N. matrícula nota N. matrícula nota N. matrícula nota 0001 7,0 0008 10,0 0015 8,0 0002 8,0 0009 10,0 0016 7,0 0003 7,0 0010 7,0 0017 5,0 0004 9,0 0011 6,0 0018 4,0 0005 4,0 0012 2,0 0019 7,0 0006 5,0 0013 6,0 0020 7,0 0007 5,0 0014 7,0 0021 4,0

A dimensão dessa amostra é 21, pois ela é composta de 21 alunos da turma. A maior nota é 10,0 e a

menor nota é 2,0; logo, a amplitude da amostra é igual a 10,0 - 2,0 = 8,0.

Temos 1 aluno com nota 2,0, 3 alunos com nota 4,0, 3 alunos com nota 5,0, 2 alunos com nota 6,0, 7 alunos com nota 7,0, 2 alunos com nota 8,0, 1 aluno com nota 9,0 e 2 alunos com nota 10,0. Logo, a tabela de freqüências dessa amostra é:

nota freqüência absoluta freqüência relativa freqüência acumulada 2,0 1 1 4,8%21≈ 4,8%

4,0 3 3 14, 3%21 ≈ 19,1%

5,0 3 3 14, 3%21 ≈ 33,4%

6,0 2 2 9, 5%21 ≈ 42,9%

7,0 7 7 33, 3%21 ≈ 76,2%

8,0 2 2 9, 5%21 ≈ 85,7%

9,0 1 1 4,8%21≈ 90,5%

10,0 2 2 9, 5%21 ≈ 100,0%

3.3 Intervalos de classes

Os elementos de uma amostra podem ser agrupados de acordo com determinadas características ou propriedades comuns. Esses agrupamentos são chamados intervalos de classes ou, simplesmente, classes.

243

Os intervalos de classes podem ser denotados por a ----l b, a l---- b, a l----l b ou por a ---- b. Nessa notação, uma barrinha vertical na extremidade indica que o elemento correspondente àquela extremidade pertence à classe. Exemplo: Em uma turma com 40 alunos mediu-se a altura de cada um em centímetros e observaram-se os seguintes resultados:

170 171 180 170 172 175 169 180 165 170 168 182 180 173 174 170 168 170 171 168 180 177 170 172 181 171 169 180 180 173 173 173 168 172 170 168 178 175 172 170

O rol crescente desses valores é:

165 168 168 168 168 168 169 169 170 170 170 170 170 170 170 170 171 171 171 172 172 172 172 173 173 173 173 174 175 175 177 178 180 180 180 180 180 180 181 182

Observando o rol, temos a seguinte tabela de freqüências absolutas f, freqüências relativas f r e freqüências acumuladas f ra :

classe f ( )%rf ( )%raf

165 |–- 167 1 2,5 2,5 167 |–- 169 5 12,5 15,0 169 |–- 171 10 25,0 40,0 171 |–- 173 7 17,5 57,5 173 |–- 175 5 12,5 70,0 175 |–- 177 2 5,0 75,0 177 |–- 179 2 5,0 80,0 179 |–- 181 6 15,0 95,0 181 |–- 183 2 5,0 100,0

Observando a tabela anterior, podemos fazer facilmente várias afirmações, dentre outras. Afirmação 1: 40% dos alunos têm altura inferior a 171 cm; Afirmação 2: 80% dos alunos têm altura inferior a 179 cm; Afirmação 3: conseqüentemente, somente 20% do total têm altura igual ou superior a 180 cm. 3.4 Representação Gráfica de dados 3.4.1 Introdução Uma alternativa bastante interessante à representação de dados em forma de tabelas é a representação desses dados em forma de gráficos. Com isso, é possível ter uma visão geral do conjunto de dados mais rápida e mais simples do que se usando outro tipo de representação. Observando-se um gráfico fica mais fácil saber onde ocorreu um valor máximo ou um valor mínimo, onde houve crescimento ou decrescimento, onde houve estabilidade, etc. 3.4.2 Gráficos de segmentos Também chamados gráficos de linhas, consistem em determinar posições de pontos em um plano que correspondam aos dados e, depois, ligá-los através de segmentos de retas. Exemplo: Consideremos a tabela a seguir, onde são mostrados os números de eletrodomésticos vendidos em determinada loja, durante o primeiro semestre de um ano

244

As linhas da tabela podem ser representadas por pares ordenados (Janeiro, 190), (Fevereiro, 100), etc. que podem ser representados em forma de gráfico na Figura 3.2.

Em um gráfico de segmentos, a inclinação de cada segmento (ângulo que forma com a direção horizontal) está relacionada com a velocidade do crescimento ou decrescimento.

Quanto mais inclinado o segmento, mais rápido, e quanto mais próximo da horizontal, mais lento o crescimento ou o decrescimento. 3.4.3 Gráficos de barras Sua construção é semelhante à do gráfico de segmentos, mas os pontos que representam os dados não são ligados entre si.

Em vez disso, são construídos retângulos com alturas relacionadas com os dados.

O gráfico de barras também pode ser mostrado em outra posição, como na Figura 3.4 ou sofrer um efeito visual tridimensional, conforme mostrado na Figura 3.5.

Mês N. de eletrodomésticos vendidos Janeiro 190

Fevereiro 100 Março 90 Abril 85 Maio 210 Junho 150

Figura 3.2: Gráfico de segmentos

Figura 3.3: Gráfico de barras verticais

Figura 3.4: Gráfico de barras horizontais Figura 3.5: Gráfico de barras tridimensional

245

3.4.4 Gráficos de setores Também chamados gráficos tipo “pizza”, são gráficos formados por setores circulares correspondentes a cada dado ou a cada intervalo de classe, cujos ângulos centrais são iguais a 360º vezes a freqüência relativa de cada caso. Por exemplo, uma classe com uma freqüência relativa igual 20% terá no gráfico um setor com ângulo

central igual a20360º

100⋅ , isto é, 72º .

Exemplo: Na tabela 3.1 representamos os intervalos de notas de uma turma de 30 alunos e suas freqüências relativas.

Tabela 3.1: Intervalos de notas, freqüências relativas e ângulos dos setores Baseando-se nessa tabela, temos o gráfico de setores da Figura 3.6. Existem variações na apresentação desse tipo de gráfico como a da Figura 3.7 com um aspecto tridimensional e setores separados

3.4.5 Histogramas Um histograma é um gráfico de barras das freqüências absolutas ou freqüências relativas de determinados dados estatísticos. Um dos eixos é usado para representar as freqüências, e o outro, representando os intervalos de classe. Exemplo: O histograma de notas de uma turma de alunos, cujas freqüências são mostradas na tabela 3.1, está desenhado na Figura 3.8.

O gráfico de segmentos obtido ligando-se os pontos médios das bases superiores dos retângulos é chamado polígono do histograma ou polígono de freqüências. (Ver Figura 3.9). Para “fechar’’ o polígono, podemos ligar as extremidades da poligonal a um dos eixos”.

Notas af ( )%rf 360 rf° ⋅

0 |–-| 2 2 6,67 24° 2 |–- 4 3 10,00 36° 4 |–- 6 9 30,00 108° 6 |–- 8 11 36,66 132°

8 |–-| 10 5 16,67 60°

Figura 3.6: Gráfico de setores Figura 3.7: Gráfico de setores tridimensionais

Figura 3.8: Histograma de notas

246

Figura 3.9: Polígono do histograma de notas

3.5 Medidas de localização 3.5.1 Introdução Medidas de localização ou medidas de posição ou medidas de tendência central são medidas estatísticas usadas para caracterizar dados e que determinam o centro da amostra, segundo critérios convenientemente estabelecidos. 3.5.2 Médias As médias são valores centrais que caracterizam uma amostra. São considerados centrais porque sempre pertencem ao intervalo fechado m l----l M onde m é o valor mínimo e M é o valor máximo da amostra. Consideremos uma amostra de dimensão n formada pelos valores numéricos .,,, 21 nxxx …

.

A média ponderada dos xi, com pesos pi, i = 1, … , n equivale à média aritmética dos valores

.,,,,,,,,21

2211 ………valoresp

nn

valorespvaloresp n

xxxxxx

A média aritmética (ou simplesmente média) destes n valores, denotada por x , x lê-se: “x barra”, é definida por

∑=

=+++

=n

k

kn x

nnxxxx

1

21 1…

Sejam p1, p2,… , pn inteiros positivos. A média ponderada de x1, x2,…xn , com respectivos pesos p1, … , pn , é definida por

( )

∑

∑

=

==++++++

= n

k k

n

kkk

n

nnp

p

xp

pppxpxpxp

M1

1

21

2211

……

Normalmente, os pesos são utilizados para dar um destaque maior a determinados valores: quanto maior o peso, maior a influência do valor correspondente no cálculo da média.

247

A média harmônica dos xi é o inverso (multiplicativo) da média aritmética dos inversos ix

1.

Ampliando o seu Conhecimento Exemplo: Na avaliação de uma disciplina, um professor fez quatro provas e determinado aluno obteve notas x1 = 6,0, x2 = 7,0, x3 = 9,0 e x4 = 6,5. a) Calcule as médias aritmética, geométrica e harmônica desse aluno; b) Se o professor decidiu que a segunda e a terceira notas valeriam mais, atribuindo a elas pesos iguais a 3, e peso 1 para a primeira e quarta notas, quanto é a média ponderada das notas nesse caso? Solução: Neste caso, temos n = 4 (quatro notas) e daí as médias gMx, e hM são:

125,74

5,284

5,60,90,70,64

4321 ==+++

=+++

=xxxx

x

040,724575,60,90,70,6 4444321 ==⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= xxxxM g

963,6574,04

5,61

0,91

0,71

0,61

41111

4

4321

==+++

=+++

=

xxxx

M h

Sendo p1 = 1, p2 = 3, p3 = 3, p4 = 1, temos uma média ponderada igual a:

563,71331

5,610,930,730,61

4321

44332211 =+++

⋅+⋅+⋅+⋅=

++++++

=pppp

xpxpxpxpM p

Observe que todos os resultados obtidos nos cálculos das diferentes médias estão no intervalo 6,0 l----l 9,0 que tem extremidades formadas pela menor e pela maior nota; A média ponderada foi o maior resultado obtido neste exemplo porque a escolha dos pesos valorizam mais as segunda e terceira notas que são as melhores notas do aluno. 3.5.3 Mediana Consideremos 1 2, , , nx x x… um rol, ou seja, uma amostra em ordem crescente ou decrescente.

O produto de n valores 1 2, , , nx x x… é denominado produtório de kx com k variando de 1 a n, e costuma ser abreviado usando-se uma letra grega pi maiúscula:

1 21

. . .n

n kk

x x x x=

=∏ .

A média geométrica, Mg , de valores positivos x1, x2, … , xn é definida por

nn

kk

nng xxxxM ∏

=

=⋅⋅⋅=1

21 …

E a média harmônica Mh é definida por

∑=

=+++

= n

k kn

h

x

n

nxxx

M

121

11111

…

248

Exemplo: No conjunto de dados 1, 1, 2, 3, 3, 4 , 7, 8, 8, 8, 9, temos Me = 4 e no conjunto 2, 3, 5, 5, 6,8 ,

9, 9, 10, 10, temos Me = 2

86 +=7.

3.5.4 Moda

A moda pode não ser única ou pode até mesmo não existir para determinada amostra, conforme mostramos nos seguintes exemplos. Exemplos:

Consideremos as alturas, em centímetros, de cinco pessoas: 169, 170, 172, 173, 177. Neste caso, o conjunto não tem moda, pois todos os valores ocorrem com mesma freqüência;

Agora, se o conjunto de alturas for 170, 172, 170, 175, 175, 175, 173 então teremos Mo = 175;

Se o conjunto de alturas for 170, 172, 173, 170, 174, 172, 175 então temos duas modas: Mo1 = 170 e

Mo2 = 172. 3.6 Medidas de dispersão 3.6.1 Introdução Das medidas estatísticas usadas para caracterizar dados, destacam-se, além das medidas de localização, as medidas de dispersão.

Dialogando e Construindo Conhecimento Consideremos os conjuntos de dados A = {1, 9, 11} e B = {6, 7, 8}. Em ambos os casos temos uma média igual a 7, mas, no conjunto A, a variação é muito maior do que a do conjunto B em torno dessa média. Essa variação é avaliada pelas medidas de dispersão: variância e desvio-padrão.

3.6.2 Variância Consideremos um conjunto de dos x1, x2, … , xn cuja média aritmética é x .

Discuta com seus colegas e tente descobrir por que é usada a denominação de medidas de dispersão

A mediana, Me, dessa amostra é o valor central 2

1+nx quando n é ímpar ou é ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+1222

1nn xx , quando n é

par; neste último caso, a mediana corresponde à média aritmética dos dois valores centrais.

A moda, Mo, de um conjunto de dados é o valor que ocorre com maior freqüência

O desvio d i em cada valor x i é definido por xxd ii −=

249

Exemplo: Com relação aos conjuntos A = {1, 9, 11} e B = {6, 7, 8}, temos x =7 nos dois casos, mas a variância no caso A e B são diferentes.

No caso A, a variância é ( ) ( ) ( ) 667,18

316436

37117971 222

2 =++

=−+−+−

=Aσ enquanto que , no

caso B é ( ) ( ) ( ) .667,0

3101

3787776 222

2 =++

=−+−+−

=Bσ

Observe que a variância de A é bem maior do que a de B, como já era esperado. 3.6.3 Desvio-padrão

Exemplo: Na figura 3.10 estão representados os seguintes conjuntos de dados: A = {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16}; B= {7, 9, 11, 13, 15, 17, 19} e C= {5, 6, 7, 8, 9, 27, 29}. As médias de cada conjunto são:

137

16 15 14 13 12 11 10=

++++++=Ax

137

19 17 15 13 11 9 7=

++++++=Bx

137

29 27 9 8 7 6 5=

++++++=Cx

Logo, os três têm as mesma média .13=x As variâncias de cada conjunto são: ( ) ( ) ( ) ( ) 4

71316131213111310 2222

2 =−++−+−+−

=…

Aσ

( ) ( ) ( ) ( ) 167

13191311139137 22222 =

−++−+−+−=

…Bσ

( ) ( ) ( ) ( ) 714,91

71329137136135 2222

2 =−++−+−+−

=…

Cσ ,

De onde concluímos que os desvios são iguais a 2=Aσ , 4=Bσ e 577,9=Cσ . Finalmente observamos que os dados do conjunto C são muito mais dispersos em torno da média do que aquilo que acontece em A ou B.

A variância de um conjunto de dados, denotada por 2σ , é definida como sendo a média aritmética dos quadrados dos desvios em cada elemento do conjunto:

( ) ( ) ( )n

xxxxxxn

dn

n

ii 22

22

11

2

2 −++−+−==

∑= …

σ

O desvio padrão σ de um conjunto de dados x1, … , xn é definido como sendo a raiz quadrada da variância desse conjunto, isto é

( ) ( ) ( )n

xxxxxx n22

22

1 −++−+−=

…σ

Figura 3.10: Desvio padrão

250


Vimos alguns conceitos básicos de Estatística , tais como: representação gráfica de dados, medidas de dispersão e medidas de localização. Esses conceitos podem ser úteis no estudo de outras disciplinas e para entender as informações que nos chegam no dia a dia através dos meios de comunicação em geral.

No Moodle...

5. Referências

FRANCISCO, W., Estatística Básica – Síntese da Teoria, Exercícios Propostos e Resolvidos, Ed. UNIMEP, Piracicaba: 1993. BONGIOVANNI, Vissoto, Laureano, Matemática e Vida, vol. 3, Ed. Ática, São Paulo: 1993. BUCCHI, P., Curso Prático de Matemática, vol. 3, Ed. Moderna, São Paulo: 2000. DANTE, L. R., Matemática: Contexto e Aplicações, Ed. Ática, São Paulo: 2003.

Na plataforma Moodle você encontrará vários exercícios envolvendo múltiplos, divisores e o algoritmo da divisão.

251

Unidade V Tratamento da Informação


Nesta unidade, exemplificamos alguns conteúdos de Probabilidade e Estatística. Daremos ênfase ao entendimento e interpretação de tabelas e gráficos.


Muitas informações que nos chegam através de jornais, revistas, outdoors, telejornais ou através da Internet utilizam informações baseadas em gráficos ou tabelas. O bom entendimento desses temas, bem como saber tirar conclusões, tomar decisões e fazer comparações a partir deles, é essencial para a compreensão dessas informações.

3. Conhecendo a Temática 3.1 Tratamento da Informação

Sob a denominação genérica de Tratamento da Informação, desde o final da década de 90, os currículos dos cursos de Matemática no Brasil e em diversos países têm incluído conteúdos abrangendo Combinatória, Probabilidade e Estatística. Alguns de seus objetivos são:

Utilizar tabelas e diferentes registros gráficos como recurso para expressar idéias, descobrir soluções de problemas e informar resultados.

Identificar características de eventos previsíveis ou aleatórios a partir de situações reais. Construir tabelas de freqüências e representar graficamente dados estatísticos. Elaborar conclusões a partir de leitura, análise e interpretação de informações apresentadas

em tabelas e gráficos. Exemplificando as técnicas do Tratamento de Informação, apresentamos alguns exercícios resolvidos baseados em situações-problema reais. Exemplo: Escolhido um domicílio brasileiro ao acaso, a) Qual a probabilidade dele pertencer a uma região previamente escolhida? b) Qual a probabilidade dele ter computador? c) Qual a probabilidade dele ter acesso à Internet?

A Figura 3.1 representa os números de domicílios em cada uma das regiões norte (N), nordeste (NE), centro-oeste (CO), sudeste (SE) e sul (S) do Brasil, em milhões. Na Figura 3.2 estão representados os percentuais de domicílios que possuem computadores e de domicílios com acesso à Internet, em cada região.

Solução: a) Do gráfico da Figura 3.1, temos N = 3,7 (isto significa que a região norte tem 3,7 milhões de

domicílios), CO = 3,9; NE = 13,4; SE = 23,8 e S = 8. Portanto, o total de domicílios é T = N + CO + NE + SE + S = 53; 2 ,

de onde obtemos 0,0695NT= ;

CO = 0,0733T

; NE = 0,2519T

; SE = 0,4474 T

e S = 0,1579.T

Figura 3.1: Domicílios por região (em milhões) Figura 3.2: Domicílios com computador e

Internet por região

252

Portanto, as probabilidades de um domicílio brasileiro escolhido ao acaso pertencer às regiões norte, centro-oeste, nordeste, sudeste e sul são 6,95%; 7,33%; 25,19%; 44,74% e 15,79%; respectivamente.

b) Para cada região, o gráfico de barras da Figura 3.2 fornece dois percentuais: o dos domicílios que têm computador e o dos que têm acesso à Internet. Sejam

NE N CO SC = 8,5%; C = 10,4%; C = 18,9%; C = 24,6% e SEC = 24,2% os percentuais dos domicílios que têm computadores. O total desses domicílios é igual a

NE N CO S SEC NE + C N + C CO + C S + C SE = 10,09 milhões⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ .

Portanto, a probabilidade do domicílio escolhido ter computador é de 10,09 = 0,1897 = 18,97%.

T

c) Sejam NE N CO SI = 5,5%; I = 6,2%; I = 13,1%; I = 16,9% e SEI = 18,7% os percentuais dos domicílios que têm acesso à Internet. O número total desses domicílios é de

NE N CO S SEI NE + I N + I CO + I S + I SE = 6,07 milhões⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ .

Portanto, a probabilidade do domicílio escolhido ter acesso à Internet é de 6,07 = 0,1141 = 11,41%.

T


Exemplo: Como calcular notas padronizadas

Consideremos uma situação, A, em que um candidato obteve determinada nota bruta e as notas em

geral foram concentradas em torno de uma média e uma situação, B, em que o candidato obteve também a mesma nota bruta, mas as notas foram muito dispersas, não se acumulando em torno de nenhum valor. Apesar da mesma nota bruta nas duas provas, a nota da situação A deve valer mais porque deve ter ficado acima de muitas outras notas de outros candidatos. Consideremos 1 2{ , , }nx x x as notas de determinada prova (consideradas as notas brutas). Sejam x e σ a média e o desvio padrão das notas, respectivamente. Definimos a nota padronizada do i-ésimo candidato como sendo

500 100. ii

x xpσ−

= + (3.1)

Uma definição alternativa de nota padronizada poderia ser i

ix xqσ−

= . (3.2)

Mas, para evitar valores fracionários, convém multiplicar os iq por uma constante (digamos que igual a 100), depois, para evitar valores negativos, convém somar com outra constante (digamos que igual a 500). Assim, em vez de 3.2, é melhor definir a nota padronizada na forma da equação 3.1.

Suponhamos que duas provas de um concurso tenham sido aplicadas em uma turma com 15 candidatos 1 2 15, , ,x x x e que foram obtidas as notas representadas no gráfico da figura 3.3 e também na tabela 3.1. O gráfico mostra que as notas da prova 1 variam bem mais do que as da prova 2.

Essas informações foram baseadas nas do Comitê Gestor da Internet do Brasil Você pode acessar o site www.cgi.br e ampliar seus conhecimentos sobre o tema.

Alguns concursos, como o vestibular, utilizam o conceito de nota padronizada para efeito da classificação final. Essa nota padronizada leva em consideração não só a nota bruta obtida individualmente na prova, como também a distribuição de notas em torno da média.

253

Vamos agora calcular as notas padronizadas desses candidatos, baseando-nos na definição da equação 3.1. Para isso, precisamos antes calcular as médias das notas das duas provas, bem como seus desvios padrões. Na prova 1, temos uma média dada por

15 6 1 7 5 6 5,53

15x + + + + + += =

enquanto que na prova 2, a média é

27 1 9 2 9 1 5,20

15x + + + + + += =

Na prova 1, temos um desvio padrão dado por 2 2 2 2

1(5 5,53) (6 5,53) (1 5,53) (6 5,53) 1,71

15σ − + − + − + + −

= =

enquanto que na prova 2, o desvio padrão é 2 2 2 2

2(7 5,20) (1 5,20) (9 5,20) (1 5,20) 2,90

15σ − + − + − + + −

= = .

Note que 1 2σ σ< , o que comprova o que havíamos previsto anteriormente, simplesmente observando o gráfico. Candidato

1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8x 9x 10x 11x 12x 13x 14x 15x

Prova 1 5 6 1 7 5 3 4 6 8 6 6 7 6 7 6

Prova 2 7 1 9 2 9 5 2 9 8 3 4 5 6 6 1

Tabela 3.1: Notas brutas das provas 1 e 2

Agora, podemos calcular as notas padronizadas. Por exemplo, para o candidato 9x cuja nota bruta na

prova 1 é igual a 8, aptos a padronização, ficará com nota padronizada igual a 8 5,53500 100. 645

1,71−

+ =

Na prova 2, o mesmo candidato 9x obteve também nota 8. Neste caso, a nota padronizada é 8 5,20500 100. 597

2,90−

+ =

Note que uma mesma nota bruta (8), após a padronização passa a ter valores diferentes. Prosseguindo dessa forma, obtemos as notas padronizadas na tabela 3.2. Candidato

1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8x 9x 10x 11x 12x 13x 14x 15x

Prova 1 469 527 234 586 469 352 410 527 645 527 527 586 527 586 527

Prova 2 562 355 665 390 631 493 390 631 597 424 459 493 528 528 355

Tabela 3.2: Notas padronizadas das provas 1 e 2


O Tratamento da Informação é muito importante para o bom entendimento das informações que nos chegam no dia a dia através dos meios de comunicação em geral. Vimos através de exemplos simples como esse tema pode ser explorado.

Figura 3.3: Notas das provas 1 e 2

254

No Moodle...

5. Referência

CAMPOS, M. A., Lima, P. F., Introdução ao Tratamento da Informação nos Ensinos Fundamental e Médio, Notas em Matemática Aplicada, vol. 16, Ed. SBMAC, São Carlos: 2005.

Procure acompanhar as discussões e tarefas propostas na plataforma MOODLE sobre este e outros conteúdos relacionados.

255

Unidade VI Geometria Espacial


Nesta unidade, definiremos alguns dos conceitos mais importantes da Geometria Espacial: posições relativas, distâncias e ângulos entre retas, entre planos, entre retas e planos no espaço tridimensional, volumes e áreas de sólidos como prismas, pirâmides, cilindros, cones, esfera, entre outros.


A necessidade de cálculo de distâncias, áreas e volumes de sólidos surge naturalmente em problemas do dia a dia como a construção de casas, edifícios, peças de máquinas, etc. Além da Matemática, são problemas que aparecem em várias outras disciplinas tais como Física, Química, Engenharia, Computação Gráfica.

3. Conhecendo a Temática 3.1 Introdução 3.1.1 Conceitos primitivos

Para iniciar o estudo de Geometria é necessário formar idéia de conceitos como ponto, reta e plano,

bem como saber representá-los. Esses conceitos, em geral, não se definem e são chamados conceitos primitivos ou noções iniciais. .

Precisamos também aceitar e entender algumas propriedades envolvendo os conceitos primitivos sem demonstrações. São os chamados postulados ou proposições iniciais. A título de ilustração, enunciamos aqui alguns exemplos:


Procure saber mais sobre Euclides e sobre a sua obra mais famosa: “Os Elementos”.

Geralmente, os pontos são representados por letras latinas maiúsculas, as retas por letras latinas minúsculas e os planos por letras gregas minúsculas.

Esse último postulado é conhecido como Quinto Postulado de Euclides (300 a.C.).

• Numa reta e fora dela há uma infinidade de pontos; • Num plano e fora dele há uma infinidade de pontos; • Dois pontos distintos determinam uma única reta; • Três pontos não colineares (isto é, não pertencentes a uma mesma reta) determinam um único

plano; • Um ponto de uma reta separa-a em duas semi-retas e o ponto é a origem das duas semi-retas; • Uma reta de um plano separa-o em dois semi-planos e a reta é a origem dos dois

semi-planos; • Um plano separa o espaço em dois semi-espaços e o plano é a origem dos dois semi-espaços; • Por um ponto fora de uma reta passa uma única reta paralela à reta dada.

256

3.1.2 Posições relativas de retas e planos

Enunciamos sem demonstração alguns resultados básicos sobre posições relativas de retas e planos:

• Se uma reta é paralela a um plano então ela é paralela a alguma reta do plano; • Se uma reta não está contida em um plano e é paralela a uma reta do plano então ela é paralela ao

plano; • Se um plano contém duas retas concorrentes, ambas paralelas a um outro plano, então esses planos

são paralelos; • Se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes de um plano, então ela é perpendicular ao

plano; • Se dois planos são perpendiculares e uma reta de um deles é perpendicular à interseção dos planos,

então ela é perpendicular ao outro.

3.1.3 Projeção ortogonal A projeção ortogonal de um ponto P sobre um plano α é a interseção, P’, do plano com uma reta r que passe por P e que seja perpendicular ao plano. Ver Figura 3.1.

A projeção ortogonal de uma reta r perpendicular a um plano α , sobre ele, é a interseção de r com α . A projeção ortogonal de uma reta r não perpendicular a um plano α , sobre ele, é a interseção de α com um plano β que contenha r e seja perpendicular a α .

Sejam r e s duas retas.

Se elas tiverem um único ponto em comum então diremos que elas são concorrentes. No caso particular de retas concorrentes formarem um ângulo reto, diremos que elas são perpendiculares (Notação: r s⊥ ) .

Se duas retas coplanares (pertencentes a um mesmo plano), r e s, não tiverem ponto em comum,

então elas serão chamadas de paralelas (Notação: //r s ). Se as retas não forem coplanares, diremos que elas são reversas. Dizemos que duas retas reversas são ortogonais quando existir uma reta paralela a uma delas que seja perpendicular à outra.

Uma reta e um plano são chamados paralelos quando não têm ponto em comum.

Se a reta e o plano possuírem um único ponto em comum, então dizemos que eles são concorrentes ou secantes. Se a reta e o plano possuírem dois pontos em comum, então a reta inteira está contida no plano.

Consideremos uma reta r e um plano α concorrentes.

Se existir alguma reta do plano que seja perpendicular uma reta dada, então dizemos que r é perpendicular a α ( r α⊥ ).

Dois planos que não têm ponto em comum são chamados paralelos.

Se eles têm algum ponto em comum então ou eles coincidem completamente (neste caso são chamados coincidentes) ou têm uma reta em comum (e, neste caso, são chamados secantes). Dois planos secantes são chamados perpendiculares quando um deles contém uma reta que é perpendicular ao outro.

Figura 3.1: Projeções

257

A projeção ortogonal de uma região R sobre um plano é a projeção ortogonal de todos os pontos da região sobre o plano. 3.1.4 Distâncias A distância de um ponto a um plano é a medida do segmento de reta perpendicular ao plano com uma extremidade no ponto e outra extremidade no plano. Ver Figura 3.2. A distância entre uma reta e um plano paralelos é a distância entre um ponto qualquer da reta e o plano. A distância entre dois planos paralelos é a distância entre um ponto de um deles e o outro plano.

Figura 3.2: Distâncias A distância entre duas retas reversas é a distância entre um ponto de uma delas e um plano que contenha a outra reta e que seja paralelo à primeira.

3.1.5 Ângulos

O ângulo entre duas retas reversas é o ângulo agudo que uma delas forma com uma reta paralela a outra passando por um ponto da primeira reta. Ver Figura 3.3. O ângulo entre reta e plano oblíquos é o ângulo que a reta forma com a sua projeção ortogonal sobre o plano. O ângulo entre dois planos secantes que têm em comum uma reta r é o ângulo formado pela interseção desses planos com um outro plano perpendicular a r.

Figura3.3: Ângulos

3.2 Prismas e Pirâmides

3.2.1 Prismas: definição e classificação Consideremos um polígono ABCD… situado em um plano α e r uma reta que intercepta esse plano em um ponto P. Em r escolhemos um ponto Q distinto de P e consideramos o plano β que é paralelo a α e que passa em Q (Ver Figura 3.4).

O conjunto de todos os segmentos paralelos a r e que têm uma extremidade no polígono ABC… e a outra no plano β é chamado de prisma. Dependendo do tipo de polígono, podemos ter diversos tipos de prismas: prisma triangular, prisma quadrangular, prisma pentagonal etc.

Tomando como referência a Figura 3.4, vejamos mais definições e algumas classificações:

Figura 3.4: Prisma

258

3.2.2 Paralelepípedos Os primas que têm bases formadas por paralelogramos são chamados paralelepípedos. (Figura 3.5). Podem ser classificados em: • Paralelepípedos retos;

• Paralelepípedos reto-retângulos: são os

paralelepípedos retos cujas bases são retângulos; • Paralelepípedos oblíquos;

• Cubos: As bases e todas as faces laterais são quadradas. São tipos especiais de paralelepípedos reto-

retângulos; são também chamados hexaedros regulares. Para o paralelepípedo reto-retângulo, podemos calcular a medida da sua diagonal d em função das medidas a, b; e c das suas arestas. Para isso, basta usar o Teorema de Pitágoras duas vezes. Veja a Figura 3.6.

No triângulo retângulo ABD temos 2 2 2x b c= + e no triângulo retângulo BDD’ temos 2 2 2d a x= + . Substituindo o 2x de uma dessas equações na outra obtemos 2 2 2 2d a b c= + + , ou seja,

2 2 2d a b c= + + (3.1) Figura 3.6: Diagonal de um paralelepípedo reto-retângulo

Em particular, fazendo a = b = c em 3.1, obtemos que a diagonal de um cubo de aresta a mede 3a . Ainda com relação ao paralelepípedo reto-retângulo da Figura 3.6, temos que sua área total tA é igual à soma das áreas dos 6 retângulos que são as suas faces:

2( )tA bc bc ac ac ab ab ab ac bc= + + + + + = + + (3.2) 3.2.3 Seções de um prisma A interseção de um plano que intercepta todas as arestas de um prisma (ou de qualquer outro sólido) com este é chamada seção do prisma (ou do sólido). Se o plano da interseção for perpendicular às arestas, então teremos uma seção reta.

• As bases de um prisma são os polígonos ABCD… e A’B’C’D’ … ; • A altura de um prisma é a distância h entre os planos α e β ; • As arestas de um prisma são os lados dos polígonos e os segmentos AA’; BB’; CC’; DD’;… ; • As faces são os paralelogramos ABB’A’, BCC’B’, CDD’C’; … que têm dois de seus lados sendo

arestas dos polígonos e os outros dois lados paralelos µa reta r; • Área lateral é a soma das áreas das faces; • Área total é a soma das áreas das faces mais as áreas das duas bases; • Prisma reto é aquele em que a reta r é perpendicular ao plano α ; • Prisma regular é aquele que é reto e as bases são polígonos regulares; • Prisma oblíquo é aquele em que a reta r não é perpendicular ao plano α .

Figura 3.7: Seção de um prisma

Figura 3.5: Paralelepípedos

259

Se o plano de interseção for paralelo ao plano da base, então teremos uma seção transversal. Veja a Figura 3.7. 3.2.4 Volumes

O volume de um sólido é um número real não-negativo que mede a poção do espaço que ele ocupa e que tem as seguintes propriedades:

3.2.5 Princípio de Cavalieri Em meados do século XVII, o matemático italiano Francesco Cavalieri enunciou uma importante propriedade a respeito do volume de sólidos.

Para entender melhor esse importante princípio, observe a Figura 3.8 onde representamos duas pilhas de folhas de papel. Supondo que as folhas de papel sejam todas idênticas e que haja a mesma quantidade de folhas nas pilhas, então não importa a forma como elas estejam dispostas, elas ocupam a mesma porção do espaço, logo, elas têm o mesmo volume. Outra forma de exemplificar esse princípio é pensar em duas pilhas de moedas idênticas. Se tivermos as mesmas quantidades de moedas em cada pilha, então teremos pilhas com mesmo volume não importando se as moedas estão mal ou bem arrumadas em cada pilha. 3.2.6 Volume de um prisma Consideremos um prisma de altura h cuja base seja um polígono de área A. Consideremos agora um retângulo R que também tenha área A. Com esse retângulo, construímos um paralelepípedo reto-retângulo de altura h cuja base é R. Na Figura 3.9, qualquer plano paralelo às bases determina seções de mesma área.

Logo, pelo Princípio de Cavalieri, eles têm o mesmo volume.

Figura 3.8: Princípio de Cavalieri

Propriedades: • Sólidos congruentes têm o mesmo volume; • Se o sólido S for decomposto (fragmentado) em n sólidos 1 2, , , nS S S , então:

volume S = volume 1S + volume 2S + + volume nS ; • O volume do paralelepípedo reto-retângulo de arestas a; b; c é igual a V = abc

Princípio de Cavalieri ou Postulado de Cavalieri: “Se dois sólidos são tais que todo plano que interceptar um, também interceptará o outro com seções de mesma área, então os dois sólidos têm o mesmo volume”.

Figura 3.9: Volume de um prima

Concluímos então que o volume do prisma é V = Rh = Ah, ou seja, o volume de um prisma é igual ao produto da altura pela área da sua base.

260

3.2.7 Pirâmides

Consideremos um polígono ABCD… em um plano α e um ponto V fora desse plano. O conjunto de todos os segmentos que têm uma extremidade no polígono e outra no ponto V é chamado pirâmide. Ver Figura 3.10 O ponto V é o vértice e o polígono ABCD… é a base da pirâmide.

Ainda com relação à Figura 3.10 definimos:

De acordo com a quantidade de lados no polígono da base, uma pirâmide pode ser classificada em

triangular, quadrangular, pentagonal etc.

Uma pirâmide é chamada regular quando a base é um polígono regular e a projeção ortogonal do vértice V no plano α da base é o centro G do polígono da base. Neste caso, a distância de V a G coincide com a altura da pirâmide. Numa pirâmide regular as faces são triângulos isósceles dois a dois congruentes.

Uma pirâmide de base triangular também é chamada de tetraedro, pois, neste caso, suas faces e sua base são quatro triângulos. Um tetraedro regular é aquele cujas bases e faces laterais são triângulos eqüiláteros dois a dois congruentes.

Usando propriedades de semelhança de triângulos, podemos observar que quando seccionamos uma pirâmide triangular de altura h por um plano paralelo à base situado a uma distância d do seu vértice ocorre:

Estes resultados são válidos não só para pirâmides triangulares, mas para qualquer tipo de pirâmide.

3.2.8 Volume de uma pirâmide Se duas pirâmides triangulares tiverem a mesma altura e bases com a mesma área, então, usando-se o Princípio de Cavalieri, podemos mostrar que elas terão o mesmo volume. Consideremos um prisma triangular ABCDEF com base de área S e altura h. Veja a Figura 3.12. Esse prisma pode ser decomposto em três pirâmides ABCE, CDEF e BCDE.

Figura 3.10: Pirâmide

• As arestas da base são as arestas do polígono; • As arestas laterais são os segmentos , , , ;AV BV CV • As faces laterais são os triângulos que têm um vértice em V e um lado como sendo um lado do

polígono, por exemplo, ,ABV BCVΔ Δ , etc. • A altura h da pirâmide é a distância do ponto V ao plano α : • A área lateral é a soma das áreas das faces laterais; • A área total é a soma da área da base com a área lateral

• As arestas laterais e a altura da pirâmide ficam divididas na mesma proporção d h ; • A seção transversal e a base são triângulos semelhantes; • A razão entre as áreas da seção transversal e da base é igual ao quadrado da razão d h .

261

As pirâmides ABCE e CDEF têm a mesma altura (que é a altura do prisma) e a mesma área da base. Logo, elas têm o mesmo volume.

Por outro lado, as pirâmides ABCE e BCDE têm as bases BCD e ABC congruentes e têm a mesma altura (que é a distância do ponto E ao plano da base). Logo, ABCE e BCDE têm o mesmo volume. Concluímos assim que as pirâmides ABCE, CDEF e BCDE têm o mesmo volume V, que é igual a 1 3 do volume do prisma.

Qualquer polígono de n lados que seja a base de uma pirâmide pode ser decomposto em n – 2 triângulos. Por exemplo, na Figura 3.13, temos uma pirâmide pentagonal cuja base é decomposta em três triângulos de áreas S1; S2 e S3.

Assim, o volume V da pirâmide pentagonal é a soma dos volumes V1; V2 e V3 das pirâmides triangulares:

31 21 2 3 1 2 3( ) .

3 3 3 3 3hShS hS h ShV V V V S S S= + + = + + = + + =

O que foi feito para pirâmide pentagonal, poderia ser feito de modo análogo para outros polígonos. Desse modo, concluímos que:

3.2.9 Tronco de pirâmide

Tronco de pirâmide de bases paralelas é o conjunto de pontos de uma pirâmide que estão entre a base e uma seção transversal da pirâmide (Figura 3.14). A base da pirâmide e a seção transversal são as bases, B e b, do tronco. A altura, h, do tronco é a distância entre os planos das bases.

Um tronco de pirâmide é chamado regular quando é

obtido a partir de uma pirâmide regular. Neste caso, as arestas são duas a duas congruentes, as bases são polígonos regulares semelhantes e as faces laterais são trapézios isósceles dois a dois congruentes. A altura de um desses trapézios é chamado apótema do tronco. Como conseqüência das semelhanças entre vários polígonos do

tronco de pirâmide obtemos que 2

.b dB H

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Figura 3.12: Prisma e pirâmides

Portanto, o volume de uma pirâmide triangular de base S e altura h é igual a13

Sh .

Figura 3.13: Pirâmide

O volume de qualquer pirâmide de altura h e área da base S é igual a 13

V Sh=

Figura 3.14: Tronco de pirâmide

262

Ainda com relação à Figura 3.14, vamos deduzir a fórmula do volume, V, do tronco de pirâmide de altura h e bases b e B. Sejam 1V o volume da pirâmide maior (altura H) e 2V o volume da pirâmide menor (altura d). O volume do

tronco é dado por 1 21 1 .3 3

V V V BH bd= − = −

Substituindo H d h= + , obtemos 1 1 1( ) [( ) ].3 3 3

V B d h bd B b Bh= + − = − +

Como 2b d

B H⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

implica 2b d

B d h⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠

, obtemos:

( ) ( )b d h bd h b d B d B b h b dd hB B b

= ⇒ + = ⇒ − = ⇒ =+ −

,

que, por racionalização do denominador, fornece:

2 2

( )( ) ( ) .( )( ) ( ) ( )

h b b Bh b B b h b BbdB bB b B b B b

++ += = =

−− + −

Concluímos, então, que 1 ( )[( ). ],3

h b BbV B b BhB b+

= − +−

ou seja, que


3.3 Cilindro, cone e esfera

3.3.1 Cilindro Consideremos um círculo de centro O e raio r, situado em um plano α , e um segmento de reta PQ situado em uma reta que intercepta o plano em um único ponto. Chama-se cilindro circular ou simplesmente cilindro à união de todos os

segmentos paralelos a PQ e congruentes a este, com uma extremidade nos pontos do círculo e situados no mesmo semi-espaço determinado por α . Ver Figura 3.15.

As bases do cilindro são o círculo de centro O e raio r e o de centro O’ e raio r situado em outro plano β . A altura de um cilindro é a distância entre os planos α e β que contêm as bases do cilindro.

Tente construir alguns desses sólidos estudados. Para isso, utilize materiais como papel, cola e cartolina. Construa, por exemplo, um paralelepípedo e uma pirâmide com mesma altura e bases quadrangular e, com isso, verifique experimentalmente a relação entre seus volumes. Você verá que precisa de um bom planejamento para conseguir construir esses sólidos.

( )3hV B Bb b= + +

Figura 3.15: Cilindro circular

263

O eixo de um cilindro é o segmento OO’ e as geratrizes do cilindro são os segmentos com extremidades nas bases e paralelos ao eixo. A definição de cilindro é muito parecida com a definição de prisma, com as geratrizes fazendo o papel das arestas laterais.

Uma seção transversal é a interseção do cilindro com um plano paralelo à base. Uma seção transversal de um cilindro circular é sempre um círculo congruente à base. Uma seção meridiana de um cilindro é a interseção do cilindro com um plano que contém o eixo. A seção meridiana é sempre um retângulo se o cilindro é reto ou é um paralelogramo no caso do cilindro oblíquo. Cilindro eqüilátero é aquele em que a seção meridiana é um quadrado (de lado igual ao diâmetro da base). A área lateral, lA , de um cilindro é a área da superfície formada por todas as geratrizes. A área total, tA , é a área lateral somada com as áreas das duas bases. No caso particular de um cilindro circular reto de altura h cujas bases tenham raios iguais a r, a área lateral é a área de um retângulo (de base 2 rπ e altura h) Logo,

2 .lA rhπ= Ver Figura 3.16. Neste caso, a área total é

dada por 22 2 2 2 ( ).t lA A B rh r r r hπ π π= + = + = +

3.3.2 Volume de um cilindro Consideremos um cilindro circular e um prisma de mesma altura h que tenham a mesma área da base B (ver Figura 3.17). Como as seções transversais determinadas por um plano qualquer β têm a mesma área, o Princípio de Cavalieri garante que esses sólidos têm o mesmo volume. Como o volume do prisma é igual à B x h, temos que o volume do cilindro também será: Assim, temos o seguinte resultado:

3.3.3 Cone Consideremos um círculo de centro O e raio r situado em um plano α e um ponto P fora desse plano.

Chama-se cone circular ou simplesmente cone à união de todos os segmentos de reta com uma extremidade em P e a outra no círculo. Ver Figura 3.18. O ponto P é chamado o vértice do cone, o círculo do plano α é a base, a distância do ponto P ao plano α é a altura e os segmentos de reta com extremidades em P e no círculo são as geratrizes.

Figura 3.17: Volume de um cilindro circular

Se as geratrizes de um cilindro são perpendiculares à base, então temos um cilindro circular reto. Se as geratrizes não forem perpendiculares à base, então teremos um cilindro circular oblíquo.

V = B x h

“O volume de um cilindro circular é o produto da área da sua base pela

medida da sua altura”.

Figura 3.18: Cone circular

Figura 3.16: Área lateral e total de um cilindro circular reto

264

A área lateral, lA , do cone é a área da superfície formada pela união de todas as geratrizes e a área total, tA , é a soma da área lateral com a área do círculo da base. Quando o segmento com extremidades no vértice do cone e no centro do círculo da base for perpendicular ao plano da base, diremos que o cone é reto. Caso contrário, diremos que o cone é oblíquo. Em um cone reto, a reta que passa pelo vértice e pelo centro da base é chamada eixo do cone. Um cone reto também é chamado cone de revolução porque ele pode ser obtido através da rotação de um segmento de reta em torno do seu eixo. A seção transversal de um cone é a interseção do cone com um plano paralelo ao plano da base. A seção transversal de um cone sempre é um círculo. A seção meridiana é o triângulo obtido pela interseção do cone com um plano que passa pelo vértice e pelo centro da base. Se a seção meridiana for um triangulo eqüilátero, então diremos que o cone é eqüilátero. Neste caso, a geratriz do cone será igual ao diâmetro da base, ou seja, g = 2r, e a altura será

3 32

gh r= = .

As definições e propriedades de um cone, em geral, são parecidas com as de uma pirâmide.

3.3.4 Relaçoes métricas em um cone Consideremos um cone reto com altura h, geratriz g e raio da base r (Figura 319).

Usando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo OPB, temos:

2 2 2g r h= + . Sendo r’ o raio de uma seção transversal cujo plano está a uma distância d do vértice, e usando propriedades de semelhança,

temos que:r dr h′= e também que:

2seção

base

A dA h

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

.

3.3.5 Área lateral e área total de um cone Um cone pode ser planificado em um setor circular mais um círculo (Figura 3.20). Para perceber isso, imagine um cone construído de papel sendo recortado.

Primeiro, recorta-se a base e dá-se um corte em uma geratriz que vai do vértice à circunferência da base. Depois, estica-se o papel completamente. Neste caso, observe que o setor possui um ângulo central θ que corresponde a um arco de comprimento 2 rπ , onde r é o raio da base do cone.

A área lateral, lA , está para 2 rπ assim como a área do círculo, 2gπ , está para 2 gπ , ou seja, 2

2 2lA gr g

ππ π

= , de onde obtemos

Figura 3.20: Área lateral e área total de um cone

Figura 3.19: Relações métricas em um cone

circular

.lA rgπ=

265

3.3.6 Volume de um cone Consideremos um cone e uma pirâmide com mesma altura h e bases de mesma área B, situadas em um plano α . Seja r o raio da base do cone (ver Figura 3.21).

As seções transversais determinadas por um plano qualquer β têm a mesma área. Logo, pelo Princípio de Cavalieri, o volume do cone é o mesmo

volume da pirâmide, ou seja, 21 1 .3 3

V Bh r hπ= = Temos,

então, o seguinte resultado:

3.3.7 Tronco um cone Consideremos um cone circular reto com altura h e raio da base igual a R.

Chama-se tronco de cone à união da base com uma seção transversal e com os pontos do cone compreendidos entre a base e esta seção transversal. Ver Figura 3.22.

A distância, h, entre o plano da base e o da seção transversal é chamada altura do tronco. A interseção do tronco com qualquer plano que contenha os centros O e O’ das bases é uma seção meridiana do tronco.

Toda seção meridiana de um tronco de cone são trapézios e os lados não paralelos desses trapézios são as geratrizes g do tronco. 3.3.8 Volume de um tronco de cone Consideremos um tronco de cone de altura h e bases cujas áreas medem B e b. Existe um tronco de prisma equivalente a esse tronco de cone, com mesma altura e mesmas áreas das bases. Assim, pelo Princípio de Cavalieri, os volumes desses troncos são iguais, ou seja, o volume do tronco de

cone é dado por ( )3hV B Bb b= + + . Se os raios das bases do tronco de cone forem R e r, então

2B Rπ= e 2b rπ= . Daí 2 2 2 2 2[ ],3hV R R r rπ π π= + + ou seja,

Figura 3.22: Tronco de cone

Figura 3.21: Volume de um cone

A área total é a área lateral mais a área da base, ou seja, 2 2 ( )t lA A r rg r r r gπ π π π= + = + = +

“O volume de um cone circular é igual ao produto de um terço da altura pela área da base”.

2 2[ ].3hV R Rr rπ

= + +

266

3.3.9 Esfera

Consideremos um ponto O e um número real não-negativo R. Chama-se esfera de centro O e raio R ao conjunto de todos os pontos P do espaço tais que a distância de O a P seja menor do que ou igual a R. A superfície esférica de centro O e raio R é o conjunto de todos os pontos P do espaço cuja distância de O a P é igual a R. A interseção entre uma esfera de centro O e raio R e um plano situado a uma distância menor do que R de O é um círculo. Neste caso, dizemos que o plano é secante à esfera. Em particular, quando o plano secante passar pelo centro da

esfera, a interseção será chamada um círculo máximo da esfera. 3.3.10 Volume da esfera Consideremos na Figura 3.23: • uma esfera de centro O e raio R; • um plano α tangente à esfera; • um cilindro equilátero de raio da base R com base

contida em α ; • dois cones cujas bases coincidem com as do cilindro

equilátero e vértices coincidindo com um ponto P situado no eixo do cilindro;

• um sólido cuja superfície é a união das superfícies laterais dos dois cones e do cilindro e cujo volume é

igual à diferença entre o volume do cilindro e o volume dos dois cones (este sólido é chamado anticlépsidra).

Ao seccionarmos a esfera e a anticlépsidra por um plano β paralelo a α cuja distância de β ao centro O da esfera (e também do centro P da anticlépsidra) é igual a h, obtemos duas superfícies de mesma área:

De acordo com o Princípio de Cavalieri, esses sólidos têm o mesmo volume V. O volume da

anticlépsidra é a diferença entre o volume do cilindro e o volume dos dois cones, ou seja, 2 2 3 3 3

cilindro cone1 2 42 .(2 ) 2. . 23 3 3

V V V R R R R R R Rπ π π π π= − = − = − =

Portanto, o volume de uma esfera de raio R é dado por:

3.3.11 Área da superfície esférica

Em dois planos paralelos, α e β , situados a uma distância h um do outro, consideremos duas regiões 1R e 2R congruentes de área A. Consideremos o sólido definido pelos pontos situados nessas regiões

Figura 3.23: Volume da esfera

• A interseção da esfera com β é um círculo de raio r. Usando o Teorema de Pitágoras, temos: 2 2 2 2 2 2;R h r r R h= + ⇒ = − logo, a área da interseção da esfera com β é igual a 2 2( ).R hπ −

34 .3

V Rπ=

• A interseção da anticlépsidra com o plano β é uma coroa circular cuja área é 2 2 2 2( ),R h R hπ π π− = − que é a mesma área obtida na interseção desse plano com a esfera.

267

e pelos pontos entre os planos, de modo que qualquer interseção por um plano paralelo a α é uma região congruente a 1R .

Com essa construção, o volume desse sólido é dado por V Ah= , ou seja, VAh

= . Se fizer sentido o valor

da expressão Vh

quando h for próximo de 0, então definiremos a área do sólido como sendo esse valor.

Consideremos duas esferas, uma de centro O e raio R, outra de mesmo centro e raio R + h, e o sólido compreendido entre essas esferas (que costuma ser chamado de concha esférica ou casca esférica) cujo volume é dado por

3 3 3 2 2 3 3 2 24 4 4 4( ) [( 3 3 ) ] (3 3 ).3 3 3 3

V R h R R R h Rh h R h R Rh hπ π π π= + − = + + + − = + +

Obtemos a partir daí que 2 24 (3 3 ).3

V h R Rh hh

π= + +

Quando h for próximo de 0, o valor de 2(3 ) (3 )Rh h h R h+ = + também é próximo de 0. Portanto, Vh

se

aproxima de 2 24 .(3 ) 43

R Rπ π= , e é este o valor da área da superfície esférica:

3.3.10 Poliedros convexos Prismas, pirâmides e troncos de pirâmides são exemplos de sólidos limitados e fechados, formados exclusivamente de polígonos convexos (que são aqueles em que todos os pontos no segmento de reta com extremidades em lados distintos do polígono estão contidos inteiramente no seu interior). Toda superfície fechada formada de polígonos convexos é chamada superfície poliédrica e o sólido limitado por essa superfície é chamado poliedro. As faces do poliedro são os polígonos que compõem a superfície poliédrica. Em um poliedro convexo:

Os vértices de um poliedro são os vértices das faces e as arestas do poliedro são os lados das faces. O número de faces de um poliedro pode ser usado para dar nome a cada um, conforme mostrado na Tabela 3.1.

Tabela 3.1: Denominações de um poliedro com n faces

Consideremos os poliedros convexos da Figura 3.24. Representando por V o número de vértices de cada um, F o número de faces, A o número de arestas, obtemos os dados mostrados na Tabela 3.2.

Número de faces nome Número de faces nome 4 Tetraedro 10 Decaedro 5 Pentaedro 12 Dodecaedro 6 Hexaedro 20 Icosaedro 8 Octaedro –- –-

24A Rπ=

• Não há faces coplanares (em um mesmo plano); • Cada lado de uma face está contido em exatamente duas faces do poliedro; • O plano de cada face divide o espaço em dois semi-espaços e o poliedro está contido

inteiramente em um dos semi-espaços

268

Calculamos também o valor de V A F− + em cada caso. Como se observa, em todos os casos mostrados, o valor de V A F− + é sempre igual a 2. Encontraríamos este valor para qualquer outro poliedro convexo testado. Tabela 3.2: Vértices, faces e arestas de alguns poliedros

Esta propriedade pode ser demonstrada e é conhecida como o Teorema de Euler:


3.4 Mais exemplos

Exemplo: Consideremos um prisma hexagonal regular com aresta da base “a” medindo 2m e aresta lateral h = 5 m. Calcule: a) área da base; b) área lateral; c) área total; Solução: a) A base hexagonal pode ser decomposta em 6 triângulos eqüiláteros de lado “a”. Veja a Figura 3.25. A altura “b” desses triângulos pode ser calculada usando-se o Teorema de Pitágoras:

22 2 3 .

2 2a aa b b⎛ ⎞= + ⇒ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

Daí, temos que a área de cada triângulo eqüilátero é igual a 21 3 3 3.

2 2 4a aT a= × × = =

Portanto, a área da base é igual a seis vezes a área de cada triângulo, isto é, 6 3 2m . b) Sendo o prisma regular, a altura coincide com a aresta h = 5 e, portanto, seu volume é igual a h vezes a área da base, ou seja, 230 3 .m Cada face lateral é um retângulo de base a = 2 e altura h = 5; logo, cada face tem área 210 .ah m= Logo, a área lateral é 6 vezes a área de cada face, ou seja, é igual a 260 .lA m=

Poliedro convexo V A F V – A + F Cubo 8 12 6 2

Tetraedro 4 6 4 2 Prisma pentagonal 10 15 7 2

Pirâmide hexagonal 7 12 7 2 Octaedro regular 6 12 8 2

Tronco de pirâmide 8 12 6 2

Procure saber mais sobre um dos maiores matemáticos de todos os tempos: Leonhard Euler.

Figura 3.24: Poliedros convexos

Teorema de Euler: “Em qualquer poliedro convexo vale a igualdade 2V A F− + = .”

Figura 3.25: Exemplo 1

269

c) A área total é igual à área lateral mais o dobro da área da base, ou seja, é igual a 260 12 3 12(5 3) .tA m= + = +

Exemplo: Calcule o volume de um tronco de pirâmide regular da Figura 3.26 sabendo que o seu apótema mede 10 cm e que as bases são quadradas de lados 8 cm e 20 cm. Solução: É dado que MM’ = 10 e que AD = 20 e A’D’ = 8. Daí, temos que OM = 10, O’M’ = 4; conseqüentemente, NM = OM – O’M’ = 6. A altura h pode ser calcula usando-se o Teorema de Pitágoras no triângulo NMM’:

2 2 2 2 2 2( ) ( ) 10 6 64 8 .MM h NM h h cm′ = + ⇒ = − = ⇒ =

O volume é calculado pela fórmula ( ),3hV B Bb b= + +

bastando substituir os valores: h = 8; B = 202 = 400; e b = 8² = 64.

8 8(400 400.64 64) (400 20.8 64) 16643 3

V = + + = + + = ,

ou seja, o volume procurado é 31664 .cm Exemplo: Um copo em forma de cone está cheio de água. Se alguém beber a água desse copo até que o nível ficar na metade da altura do copo, que parte da água terá sido bebida? Solução: Vamos denotar o volume do copo cheio por V e vamos supor que nessa situação a altura seja h e o raio da base do cone, r. Quando o copo estiver com a altura do líquido reduzida à metade da altura inicial, vamos denotar, nessa situação, o volume por V’, a altura por h’ e o raio da base (do líquido) por r’. Por hipótese, / 2.h h′ = As seções meridianas do cone são triângulos semelhantes. Como conseqüência da

semelhança de triângulos, temos / 2.h r r rh r′ ′

′= ⇒ = Daí, podemos calcular V e V’: 213

V r hπ= e

2 2 21 1 1( ) ( / 2) ( / 2) .3 3 24 8

VV r h r h r hπ π π′ ′ ′= = = =

Assim, a água restante ficou reduzida à oitava parte da quantidade inicial; logo, a água bebida equivale a do 7 8 do total inicial. Exemplo: Calcular os raios de uma esfera inscrita e de uma esfera circunscrita a um cubo de aresta “a”. Solução: No caso de uma esfera inscrita em um cubo de aresta “a”, o diâmetro, 2R, da esfera é igual à aresta do cubo (ver Figura 3.27).

Logo, 2aR =

No caso da esfera circunscrita ao cubo, o diâmetro da esfera é igual µa diagonal do cubo, ou seja, 2 3R a= . Portanto,

32

aR = .

Exemplo: Calcular a área lateral de uma pirâmide regular inscrita em um cubo de aresta “a” (Figura 3.28).



270

Solução: As faces laterais da pirâmide são triângulos isósceles cujas bases são iguais às arestas do cubo. Denominando h as alturas desses triângulos, que são as faces da pirâmide, temos que a área lateral será igual

a 2 .2 2 2 2l

ah ah ah ahS ah= + + + = Falta só calcular o valor de h.

Como a pirâmide é regular, seu vértice, M, é o ponto médio da diagonal DE da face superior do cubo que é a diagonal de um quadrado de lado “a” e, portanto,

22 .

2aDE a EM= ⇒ =

Usando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo AEM obtemos 2

2 2 22

ab a⎛ ⎞

= + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

, isto é,

22 3 .

2ab =

A altura MN = h divide a face ABM em dois triângulos retângulos: ANM e BNM. Usando o Teorema de Pitágoras no primeiro deles, temos:

2 2 2 2 2

2 2 2 2 3 5 5 .2 4 2 4 4 2a a a a a ab h h b h⎛ ⎞= + ⇒ = − = − = ⇒ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

Concluímos, então, que a área lateral da pirâmide é igual a 2 ² 5.lS ah a= =


Vimos alguns dos mais importantes conceitos da Geometria Espacial tais como volumes e áreas laterais de sólidos tridimensionais como prismas, paralelepípedos, pirâmides, troncos de pirâmides, cilindros, cones, troncos de cones e esferas.

5. Referências

ÁVILA, G., Arquimedes, a esfera e o cilindro, Revista do Professor de Matemática N. 10, Ed. SBM, São Paulo: 1987. DANTE, L. R., Matemática: Contexto e Aplicações, Ed. Ática, São Paulo: 2003. DOLCE, O., Pompeo, J. N., Geometria Espacial, Posição e Métrica, Fundamentos de Matemática Elementar, vol. 10, Atual Editora, São Paulo: 1978. LINDQUIST, M. M., Shulte, A. P., Aprendendo e Ensinando Geometria, Atual Editora, São Paulo: 1994. NETO, A. A. e outros, Geometria, Noções de Matemática, vol. 5, Ed. Moderna, São Paulo: 1982. WANDERLINDE, M. J., Material concreto relacionando volumes de prisma e pirâmide, Revista do Professor de Matemática N. 13, Ed. SBM, São Paulo: 1988.

Exemplo 3.28: Exemplo 5

disciplina: matemática para o ensino básico...

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