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Curso de Nivelamento

Razão, Proporção e Regra de Três

Prof. Guilherme Alexandre Monteiro Reinaldo

Recife

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Prof. Guilherme Alexandre Monteiro Reinaldo

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Roteiro

Razão Proporção Proporções Especiais Porcentagem Escala Regra de Três Simples (Direta e Inversa) Regra de Três Composta

Razão

A palavra razão vem do latim ratio e significa “divisão”.

A razão representa-se por uma fração:

Dados dois números a e b, com b diferente de zero, a razão entre a e b representa-se por:

ab

ab

:a bou e lê-se razão de a para b.

Termos

Termos

Antecedente

Consequente

Exemplo Razão

Uma orquestra é formada por 40 homens e 30 mulheres.

Qual a razão entre o número de homens e o número de mulheres?

30

40

• Qual a razão entre o número de mulheres e o número de homens?

40

30

Numa razão é muito importante verificar a ordem pela qual estão referidas as duas grandezas

Exemplo Razão.

A capacidade total de um reservatório é de 1000 L. Nesse momento, o reservatório contém 750 L de água. Qual é a razão entre a quantidade que o reservatório contém nesse momento e a sua capacidade total?

Qual é o número fracionário que representa a razão entre a área total e a área da região em vermelho deste retângulo?

Exemplo Razão.

Proporção Definição:

•Uma proporção é uma igualdade entre duas razões.

ab

cd

=

lê-se“a está para b assim como c está para d”…

ab

cd

=

Extremo

Extremo

Extremo

:a b

:c d

=

MeioMeio

Meio

Propriedade fundamental das proporções:

Numa proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos

extremos.

ab

cd

=

b c a

d=

Meio

Extremo

Extremo

Meio

Proporção

Exemplos:

4 124 21 7 12

7 21

3 123 40 8 12

8 40

É proporção

Não é proporção

Proporção

Exercícios de aplicação

1. Descubra o termo que falta em cada uma das proporções:

?

6

3

2

20

25

?

5

?

12

9

2

5 x 20 = ? x 25 100 = ? X 25 ? = 100 : 25 ? = 4

2. A idade do Rui está para a da avó assim como 2 está para 9.O Rui tem 12 anos. Que idade tem a avó?

2 x ? = 9 x 12 2 x ? = 108 ? = 108 : 2 ? = 54

2 x ? = 3 x 6 2 x ? = 18 ? = 18 : 2 ? = 9

Números Diretamente Proporcionais

Números Inversamente Proporcionais

Vejamos um exemplo:

Um motorista profissional que

viajava constantemente de BH para Uberlândia,

fez a seguinte tabela,após calcular a velocidade média.

(V=Distância/tempo) Obs: distância aproximada

Distância percorrida

Velocidade média

Tempo gasto

560 Km 60 Km/h 9h20min

560 Km 70 Km/h 8h

560 Km 80 Km/h 7h

560 Km 120 Km/h 4h40min

560 Km 140 Km/h 4h

• Chamamos escala de um desenho à razão

entre as dimensões da figura e as dimensões

reais. Escala =

• A escala é a relação entre as distâncias representadas num mapa e

as correspondentes distâncias reais. Como sabes, para representar

a superfície da Terra no seu todo ou em parte numa folha de papel

temos de reduzir a realidade. Por exemplo, se quiseres representar

Portugal Continental numa folha de papel A4 tens de reduzir a

dimensão do país cerca de 1,9 milhões de vezes.

Escala

No modelismo ferroviário existem diversas escalas, - ou, para os menos familiarizados com esta matéria, diversos "tamanhos - de representação dos objectos reais.

Por exemplo, a escala 1:160, significa que um centímetro do desenho representa 160 centímetros da realidade.

160

1

Nota que…

Escala é uma razão entre as medidas de um desenho e as que lhes correspondem na realidade.

Desenho

Realidade

Escala

Exemplo: Observemos as figuras dos barcos ao lado:

• Base menor barco azul / Base menor barco vermelho = 2/4

• Base maior barco azul / Base maior barco vermelho = 4/8

• Altura do barco azul / Altura do barco vermelho = 3/6

Escala

• O barco vermelho é uma ampliação do barco azul, pois as dimensões do barco vermelho são 2 vezes maiores do que as dimensões do barco azul, ou seja, os lados correspondentes foram reduzidos à metade na mesma proporção.

• Em um mapa, a distância em linha reta entre

Brasília e Palmas, no Tocantins, é 10 cm.

Sabendo que a distância real entre as duas

cidades é 700km, qual a escala utilizada no

mapa?

Exemplo Escala

Proporções Especiais

Densidade Demográfica é a razão entre o número de habitantes e a área da região.

Densidade Demográfica = número de habitantes

área

Exemplo Densidade Demográfica De acordo com dados do IBGE ( Estimativa da

população – julho de 2009), a população brasileira era de aproximadamente 191.480.630 habitantes. Se o Brasil ocupa uma área territorial de 8.514.876 km quadrados , qual era a densidade demográfica do Brasil em julho de 2009?

Proporções Especiais

Velocidade Média é a distância percorrida em determinado tempo.

Velocidade Média = distância percorridatempo gasto

Exemplo Velocidade Média

Um trem percorreu 453 km em 6 horas. Qual a velocidade média do trem nesse percurso?

Porcentagem

Toda razão onde o consequente b = 100, pode ser representada por % (por cento).

Calculando Porcentagens

De acordo com uma publicação da Divisão de População da Organização da Nações Unidas (ONU), a população mundial, em 2008, era de 6,8 bilhões de habitantes, aproximadamente.

Fazendo uma projeção para o ano 2050, esse mesmo órgão da ONU estimou o crescimento da população mundial em 35%, no período 2008-2050. De acordo com essa estimativa, qual seria, aproximadamente, a população mundial em 2050?

Fonte:www.un.org/esa/population . Acesso em :26 ago.2009.

Regra de Três• A regra de três é simplesmente um método para

resolver as proporções sem precisar de armá-las.

• A regra de três ganha seu nome do seu uso, pois é usada para determinar um quarto valor de um proporção quando são conhecidos três deles.

Tabela de Valores

A regra de três se vale muito de tabelas para a fácil visualização do problema.

Faz-se assim:

Manoel decide fazer um túnel de1Km de extensão.

Como o túnel em questão é estreito, somente um máximo de 20 trabalhadores pode trabalhar na escavação ao mesmo tempo.

Pesquisa google;julho 2008

Como dispunha de 30 trabalhadores, Manoel resolveu dividi-los em 2 grupos de 15 trabalhadores, cada grupo escavando de um lado da montanha a fim de aumentar produtividade.

Originalmente, a escavação gastaria 3 meses. Em quanto tempo terminará a escavação com o novo arranjo?

Regra de Três

Primeiro colocamos o problema em uma tabela:

Importante lembrar que devemos sempre usar a mesma unidade para grandezas do mesmo tipo nas tabelas.

Agora, marcamos o sentido de crescimento, das grandezas, com setas. Neste caso o tempo diminuiu por que o número de trabalhadores aumentou.

Se as setas marcam o mesmo sentido, as grandezas são diretamente proporcionais. Se marcam sentidos opostos, são inversamente proporcionais.

No caso de proporção inversa, multiplicamos os valores da tabela em linha reta e igualando, obtendo:

Que é a própria proporção inversa em forma de produto, previamente mostrada.

O túnel em questão media 1km, se 30 trabalhadores terminaram essa distância em 2 meses, qual distância cada grupo de 15 trabalhadores percorreu no mesmo intervalo de tempo?

Proporção direta, multiplica-se cruzado e igual a:

Observamos que a relação obtida é uma forma da proporção:

Regra de Três

Regra de Três composta

Podemos interpretar de outra maneira o problema anterior:

Ao dividir os grupos, de 20 trabalhadores cavando 1km em 3 meses, chegamos ao problema de quanto tempo levou para que os 30 trabalhadores cavassem apenas a metade, 500m?

Devemos agora, assumir um sentido arbitrário para o tempo. No caso, consideramos o tempo diminuindo. Em relação aos trabalhadores, quanto menos tempo mais trabalhadores são necessários. Em relação a distância, menos tempo faz com que a distância diminua.

Separamos a incógnita de um lado da tabela e começamos um processo de multiplicações sucessivas. A primeira segue as mesmas regras da regra de três simples, e neste caso será cruzada.

Depois, quando as duas grandezas vizinhas forem diretamente proporcionais (setas na mesma direção), multiplica-se cruzado, quando inversamente proporcionais (setas em posição invertida), multiplica-se cruzado. Igualamos os caminhos.

Obtemos então a solução:

2 meses

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