cap ii nivelamento trigonometrico r2201302

7/22/2019 Cap II Nivelamento Trigonometrico R2201302

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TOPOGRAFIA IICap. III – Nivelamento Trigonométrico

Prof.ª Carolina VieiraR1 – 2013/1

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C. Nivelamentos – Parte II

Dando prosseguimento aos estudos de nivelamentos, neste capítulo serão apresentados osconceitos relacionados ao Nivelamento Trigonométrico. Além disso, serão apresentados osequipamentos envolvidos e os cuidados necessários.

1. Equipamentos

Dentre os equipamentos necessários, os principais utilizados são: a Mira e o Teodolito.

1.1. Teodolito

Os teodolitos são equipamentos destinados à medição de ângulos, horizontais e verticais.Atualmente existem diversas marcas e modelos de teodolitos, os quais podem ser classificadospela finalidade como topográficos, geodésicos e astronômicos; quanto à forma construtiva como

óptico-mecânicos ou eletrônicos e, quanto à precisão, em baixa, média ou alta.A NBR 13133:1994 classifica os teodolitos segundo o desvio padrão de uma direção observadaem duas posições da luneta, conforme Tabela 1.

A precisão do equipamento deve ser consultada em seu manual.

Tabela 1 – Classificação dos Teodolitos

Classe de Teodolitos Desvio-padrão / Precisão angular

1 – Precisão Baixa ≤ ±30”

2 – Precisão Média ≤ ±07”

3 – Precisão Alta ≤ ±02”

Seu funcionamento e manejo são discutidos com maiores propriedades durante as aulas práticas.

Figura 1 – Exemplo de Teodolito Eletrônico Leica





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2. Nivelamento Trigonométrico

De acordo com a ABNT NBR 13133:1994, é o “nivelamento que realiza a medição da diferença

de nível entre pontos do terreno, indiretamente, a partir da determinação do ângulo vertical dadireção que os une e da distância entre estes, fundamentando-se na relação trigonométricaentre o ângulo e a distância medidos, levando em consideração a altura do centro do limbovertical do teodolito ao terreno e a altura sobre o terreno do sinal visado.”.

É amplamente aplicado nos levantamentos topográficos em função de sua simplicidade eagilidade. A representação de um levantamento pode ser vista através da Figura 2.

Figura 2 - Nivelamento Trigonométrico

2.1.

Determinação do Desnível para lances curtosConsidera-se lance curto, visadas de até 150m.

Para calcularmos o desnível entre os pontos A e B, tomemos por base a figura abaixo.

ℎ : Desnível entre A e B;

ℎ : Altura do instrumento;

ℎ : Altura lida;

: Distância inclinada;

ℎ : Distância horizontal;

: Distância vertical; : Ângulo zenital.

Assim, pode-se escrever que o desnível ℎ será:

+ ℎ = ℎ + ℎ ⇒ ℎ = ℎ − ℎ +

Calculando a distância vertical teremos:

() =ℎ

⇒ =ℎ

()= ℎ ∙ () ∴ = ℎ ∙ ()

Ou então, simplesmente:

= ∙ ()





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Substituindo as equações de na de ℎ obtém-se:

ℎ = ℎ – ℎ + ℎ ()

ouℎ = ℎ – ℎ + ()

ATENÇÃO!

Os valores de (Distância inclinada) e de ℎ (Distância horizontal) são coletados em campode forma indireta. Na seção 2.2 é mostrado como as obtemos.

2.2. Determinação das distâncias (Taqueometria ou Estadimetria)

As observações de campo são realizadas com o auxílio de teodolitos.Com o teodolito realiza-se a medição do ângulo vertical ou do ângulo zenital, o qual, em conjuntocom as leituras efetuadas, será utilizado no cálculo da distância.

LEMBRETE!

Uma distância é medida de maneira indireta, quando no campo são observadas outrasgrandezas (no nosso caso ângulos) e através delas podemos calcular a distância desejada.

Sendo assim, são necessários alguns cálculos sobre as medidas efetuadas em campo, para seobter indiretamente o valor da distância. Esse procedimento é chamado de Taqueometria ouEstadimetria.

Estádias, ou miras estadimétricas são as réguas graduadas centimetricamente queconhecemos simplesmente por Miras. Na estádia são efetuadas as leituras dos fiosestadimétricos (superior, inferior e médio). Por sua vez, os fios estadimétricos são asmarcações encontradas no retículo do teodolito.

Figura 3 – Exemplo de Estádia (ou Mira) e dos fios estadimétricos





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2.2.1. Visada Horizontal

Com os fios estadimétricos da luneta é possível efetuar leituras sobre uma mira graduada e

relacioná-las com os valores constantes do instrumento. Mediante as considerações geométricasdetermina-se com facilidade a distância horizontal aparelho-mira.

Na Figura 4, Ln é a luneta; é a distância entre os planos dos fios do retículo [Os fios do retículoe os fios estadimétricos estão todos num mesmo plano] e o foco da objetiva; é a distânciavertical entre os fios estadimétricos; é a distância aparelho-mira; = é o número

gerador obtido através da diferença de leituras sobre a mira dos fios superior e inferior .

Figura 4 - Determinação da distância com visadas horizontal

Da semelhança entre os triângulos e , extrai-se a seguinte relação:

ℎ

=

Conforme dito acima,

= − =

=

Substituindo na primeira equação, pode-se escrever:

ℎ

=

⇒ ℎ =

∙

Os valores e são invariáveis, isto é, são constantes para cada instrumento. A relação

= ,

é a constante estadimétrica do instrumento. Para facilidade de operação os fabricantescostumam fazer = 100. Assim, a determinação da distância depende única eexclusivamente do número gerador que, como já se sabe, é obtido pela diferença de leiturassobre a mira, dos fios estadimétricos superior e inferior.

Com isso, a equação anterior reveste-se da seguinte forma:ℎ = ∙





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ATENÇÃO!

A fórmula = ∙ é válida SOMENTE para medidas efetuadas com NÍVEIS ou teodolitoscom a luneta a 90°! (Visadas HORIZONTAIS)

2.2.1.1. Visada Inclinada

Na dedução da fórmula para o cálculo da distância utilizando uma visada inclinada, tome porbase a figura a seguir.

Figura 5 - Determinação da distância com visadas inclinadas

Adotaremos as seguintes convenções:

Ângulo Zenital: ;

Ângulo Vertical: ;

Distância Horizontal: ℎ;

Distância Inclinada: ;

Número Gerador da Mira Real: ( = − );

Número Gerador da Mira Fictícia: ′ (′ = ′ − ′).

Sabemos que o seno de um ângulo é dado por:

=

ℎ

Da Figura 5 obtém-se:

=’2

2

=′

⇒ ’ = ∙

=ℎ

⇒ ℎ = ∙





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Sabendo-se que para obter a distância utiliza-se a fórmula:

= ’ ∙ ⇒ = ∙ ∙ Onde é a constante estadimétrica do instrumento, definida pelo fabricante e geralmente iguala 100.

Substituindo em ℎ temos

ℎ = ∙ ∙ ∙ ⇒ ℎ = ∙ ∙ Seguindo o mesmo raciocínio para o ângulo vertical, chega-se a:

ℎ = ∙ ∙ Exercícios

1) Supondo-se que a cota de um ponto = 12,72 e a de um ponto = 33,92. Estandoo instrumento instalado em ; ℎ = 1,47, = 1,780 e = 88,15. Calculeo valor do ângulo zenital.

2) Com os elementos dados na planilha abaixo, calcule as distâncias horizontais, diferenças denível e cotas dos pontos. A cota do ponto A=50,000m e PH=1,75m.

EST PV Z FS FM FI (FS-FI) DH Δh COTA

A

1 97°47’ 2,390 1,745 1,100

2 101°25’ 2,480 1,740 1,000

3 81°27’ 2,530 1,615 0,700

4 84°23’ 2,610 1,805 1,000

3) Com os elementos dados na planilha abaixo, calcule as distâncias horizontais, diferenças denível e cotas dos pontos. A cota do ponto 00=50,000m e hi00=1,57m; hi01=1,48m;hi02=1,55m; hi03=1,60m.

EST PV Z FS FM FI (FS-FI) DH h Cota00 01 91°22'32" 2014 1757 150000 d00 76°28'51" 2180 1940 1700

01 02 95°06'44" 2670 1935 120002 03 79°43'00" 2430 1815 120003 d02 88°35'12" 2390 2295 2200





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3. Erro Altimétrico

Em se tratando de uma poligonal fechada, a soma algébrica das diferenças de nível parciais deve

ser nula. Ou seja, ao se fechar a poligonal, a cota ou altitude calculada para o ponto de partidadeve ser igual à cota a ele atribuída no início das operações de campo.

Assim, o Erro altimétrico () é dado por:

= ∑∆h −

Onde: : Desnível entre o ponto de partida e o de chegada. Para poligonais fechadas,é igual à zero.

∑ ∆h: Somatório das diferenças de nível parciais.

3.1. Avaliação do Erro Altimétrico

A tolerância altimétrica () é definida por:

= ± 2 ∙ ∙ √

Onde: : Erro médio admissível por quilômetro.

: Número de quilômetros nivelados (perímetro da poligonal).

O limite de tolerância varia de acordo com a precisão exigida pelas firmas que contratam ostrabalhos topográficos, ficando assim, devidamente especificados, em normas ou cadastros por

elas expedidos.

EXEMPLO

Se for adotado o limite de 5,0 / para o erro, calcule o erro máximo permitido em 16,0 nivelados.

= 2 ∙ 5

16,0 = 10

∙ 4 = 40 . Portanto, se o erro encontrado for maior do que o valor estipulado pelo limite de tolerância, ésinal de que houve qualquer descuido no trabalho e, nestas condições, o nivelamento deverá ser

realizado novamente.

3.2. Distribuição do Erro Altimétrico

O erro altimétrico deve ser distribuído para todos os alinhamentos da poligonal cadastrada,sendo assim temos:

=−

Onde: : Número total de pontos da poligonal

: Erro altimétrico





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CURIOSIDADE A NBR 13133:1994 define quatro classes de nivelamento de linhas ou circuitos e seções.

Classe IN - Nivelamento geométrico para implantação de referências de nível (RN) deapoio altimétrico;

Classe IIN - Nivelamento geométrico para determinação de altitudes ou cotas em pontosde segurança (PS) e vértices de poligonais para levantamentos topográficos destinados aprojetos básicos, executivos, como executado ( ), e obras de engenharia;

Classe IIIN - Nivelamento trigonométrico para determinação de altitudes ou cotas empoligonais de levantamento, levantamento de perfis para estudos preliminares e/ou de

viabilidade em projetos; Classe IVN - Nivelamento taqueométrico destinado a levantamento de perfis para estudos

expeditos.

Para estas classes, a norma define:

Classe Método LinhaExtensãoMáxima

LanceMáximo

LanceMínimo

N°. Máx.de

Lances

Tolerânciasfechamento

IN (1) - 10 km 80 m 15 m - 12 ∙ √

IIN (2) - 10 km 80 m 15 m - 20 ∙ √

IIIN (3) Principal 10 km 500 m 40 m 40 0,15 ∙ √ Secundária 5 km 300 m 30 m 20 0,20 ∙ √

IVN (4)Principal 5 km 150 m 30 m 40 0,30 ∙ √

Secundária 2 km 150 m 30 m 20 0,40 ∙ √ (1) Nivelamento geométrico a ser executado com nível classe 3, utilizando miras dobráveis, centimétricas, devidamente aferidas, providas deprumo esférico, leitura a ré e vante dos três fios, visadas equidistantes com diferença máxima de 10 m, ida e volta em horários distintos ecom Ponto de Segurança (PS) a cada km, no máximo.(2) Nivelamento geométrico a ser executado com nível classe 2, utilizando miras dobráveis, centimétricas, devidamente aferidas, providas deprumo esférico, leitura do fio médio, ida e volta ou circuito fechado, com Ponto de Segurança (PS) a cada dois km, no máximo.(3) Nivelamento trigonométrico a ser realizado através de medidas de distâncias executadas com medidor eletrônico de distância (MED) classe1, leituras recíprocas (vante e ré) em uma única série, ou medidas de distâncias executadas à trena de aço devidamente aferida, com controleestadimétrico de erro grosseiro, leituras do ângulo vertical conjugadas, direta e inversa, em uma série direta e inversa, com teodolito classe2 ou estação total classe 2.

(4) Nivelamento taqueométrico a ser realizado através de leitura dos três fios sobre miras centimétricas, devidamente aferidas, providas deprumo esférico, leitura vante e ré, leitura do ângulo vertical simples, com correção de PZ (ponto zenital) ou de índice obtida no início e no fimda jornada de trabalho, por leituras conjugadas, direta e inversa, com teodolito classe 1.





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Exercícios

4) Com uma estação total montada numa estação de cota 200,00m, visou-se um ponto P,

registrando as seguintes leituras:

Ângulo Zenital = 82,0503°

Distância Inclinada = 123,16

Altura do Aparelho ℎ = 1,45

Altura da Visada ℎ = 1,775

a. Calcule a distância horizontal ao ponto P e a respectiva cota

b. Da mesma estação, substituímos a estação total por um teodolito e, utilizando os fiosestadimétricos, visou-se uma mira colocada no ponto Q, tendo-se obtido os seguintesvalores:

= 1136 = 2864 = 92,8467°

Calcule a cota do ponto Q.

c. Explique, sem realizar cálculos, como é que poderia concluir que a cota de P é a superiorà de Q.





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5) Você foi contratado para determinar o desnível entre dois pontos de um lote situadopróximo a um marco geodésico. A altitude desse marco é Z=925,36m. Qual será o desnível

entre os pontos, sabendo que os dados obtidos em campo com o aparelho situado no marcoZ foram:

Ponto 01: Ponto 02:

Ângulo vertical com o Zênite = 90°35’38” Ângulo vertical com o Zênite = 78°46’45” Distância horizontal Z-01 = 285,56m Distância inclinada Z-02 = 161,43mAltura do aparelho = 1,68m Altura do aparelho = 1,68mAltura do prisma = 1,55m Altura do prisma = 1,55m

6) Na figura abaixo podemos observar os desníveis entre os vértices do polígono. Conhecendoesses desníveis, calcule a cota de cada vértice (colocar os valores na tabela) e calcule o

desnível entre os pontos 4 e 5 (h4-5).

Obs.: Fique atento no sentido do desnível.

Vértice Cota (metros)1 756,128

2

3

4

5

6

h4-5.=____________





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7) Com os elementos dados na planilha abaixo, verifique o erro altimétrico, distribua o erro ecalcule as novas cotas sabendo que a cota do MP = 100,000m.

EST PV h Correção hcorrigido Cota (metros)MP 01 0,16201 02 0,66401 D20 1,25301 D25 0,23602 03 0,55603 04 -1,11904 05 -0,30205 06 -0,52206 MP 0,492

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