nivelamento em matemática

8/18/2019 Nivelamento em matemática

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UNIJUÍ – UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO

ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL

DeFEM – Departamento de Física, Estatística e Matemática

NIVELAMENTO EM MATEMÁTICA PARA

CURSOS DE ENGENHARIA

Material elaborado por:

Ângela Patrícia Grajales Spilimbergo

Cláudia Piva

Lecir Dalabrida Dorneles

Com colaboração de:

Angéli Cervi Gabbi

Ijuí, Rio Grande do Sul, Brasil

2011


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2

SUMÁRIO

APRESENTAÇÃO .................................................................................................................... 03

Módulo I .................................................................................................................................... 04Seção 1.1 - Operações envolvendo sinais e expressões numéricas .......................................... 04Seção 1.2 - Operações com frações ........................................................................................... 09

Seção 1.3 - Fatoração e simplificação algébrica ......................................................................... 14

Seção 1.4 - Potenciação Radiciação ........................................................................................... 20

Módulo II ................................................................................................................................... 25

Seção 2.1 - Razão e Proporção .................................................................................................. 25

Seção 2.2 - Grandezas proporcionais ......................................................................................... 30Seção 2.3 - Regra de três simples e composta ........................................................................... 31

Seção 2.4 – Porcentagem ........................................................................................................... 38

Módulo III ................................................................................................................................. 42Seção 3.1 - Critérios de arredondamento .................................................................................... 42

Seção 3.2 - Notação científica .................................................................................................... 43

Seção 3.3 - Conversão de unidades ........................................................................................... 45

Módulo IV .................................................................................................................................. 50Seção 4.1 - Equações exponenciais ........................................................................................... 50

Seção 4.2 - Logaritmos ............................................................................................................... 55

Módulo V ................................................................................................................................... 66

Seção 5.1 - Matrizes e Determinantes ........................................................................................ 66Seção 5.2 - Sistemas lineares ..................................................................................................... 77

Módulo VI .................................................................................................................................. 88

Seção 1.1 – Trigonometria ....................................................................................................... 88

Módulo VII ................................................................................................................................ 108Seção 2.1 - Funções: Definição; Domínio e Imagem; Gráficos ................................................ 108

Seção 2.2 - Funções polinomiais ............................................................................................. 116

Módulo VIII ............................................................................................................................... 130

Seção 3.1 – Vetores ................................................................................................................ 130

Seção 3.2 - Números complexos ............................................................................................. 139


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Apresentação

Frequentemente, o ensino de Matemática nas universidades, surpreende os alunos que

acabaram de concluir o Ensino Médio e ingressam em cursos superiores como: Engenharias,Matemática, Física, Ciência da Computação, Administração, Economia entre outros, fazendo-os

sentirem-se inseguros ao cursar as disciplinas que envolvem a Matemática.

O ingressante no Ensino Superior, em cursos como os mencionados acima, se defronta com

inúmeros conceitos novos em disciplinas como Cálculo Diferencial e Integral e Geometria Analítica

e Vetores, os quais pressupõe uma base sólida de conceitos básicos de Matemática que vão dar

suporte para o novo a ser estudado.

Assim, com o objetivo de abordar de maneira direta e objetiva conceitos básicos de

Matemática foi elaborado este material que não é excessivamente rigoroso, mas expõe, de maneira

clara e didática os tópicos mais importantes e necessários para uma boa compreensão dos conceitos

novos que serão estudados, em disciplinas como as mencionadas acima.

Nossa experiência profissional mostra, que mesmo que as noções teóricas sobre o assunto

sejam absorvidas rapidamente pelos alunos, nem sempre essas são bem compreendidas por eles.

Assim, para tornar a aprendizagem uma tarefa menos árdua e para proporcionar melhorias de

desempenho dos alunos, este material foi desenvolvido e consta dos seguintes tópicos: Operações

algébricas, grandezas, conversão de unidades, exponenciais, logaritmos, matrizes, determinantes,

sistemas lineares, Trigonometria, Funções, Vetores e Números Complexos.


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MÓDULO I

Seções deste Módulo

1.1. Operações envolvendo sinais e expressões numéricas 1.2. Operações com frações

1.3. Fatoração e Simplificação algébrica

1.4. Potenciação e Radiciação

Objetivos

Instrumentar o aluno, para que o mesmo seja capaz de: realizar operações envolvendo sinais,

realizar operações com frações, realizar processos de fatoração e simplificação algébrica e operar

com potências e radicais.

Seção 1.1

Operações envolvendo sinais e expressões numéricas

a) Operações envolvendo sinais

Um dos fatores responsáveis pelo grande número de erros nos desenvolvimentos das

operações matemáticas é sem dúvida a regra de sinais. Para entendermos como ela funciona, o

conceito de positivo (+) e negativo (-) deve ser bem assimilado. Para isso, vamos começar entendo a

situação a seguir:

Se tenho, por exemplo, R$ 10,00 e recebo mais R$ 5,00, fico com R$ 15,00; ou se devo R$

10,00 a Pedro e devo R$ 5,00 a Maria então devo ao todo R$ 15,00 — (sinais iguais soma-se e

repete o sinal); agora se tenho os mesmos R$ 10,00 e gasto R$ 5,00 fico com R$ 5,00; ou se tenho

R$ 5,00 e devo a João R$ 10,00, só posso pagar o que tenho, isto é, os R$ 5,00, e ainda assim ficodevendo R$ 5,00 — (sinais diferentes subtraí-se e dá o sinal do maior número em valor

absoluto).

Então na adição, SINAIS IGUAIS, somamos e repetimos o sinal e SINAIS DIFERENTES

subtraímos e repetimos o sinal do maior valor absoluto, isto é, o sinal do número de maior valor.

Para visualizar as operações de adição e subtração, representamos os números inteiros

como pontos de uma reta.


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5

Na operação 9 + 5 = 14, partimos do número 9, andamos 5 unidades para a direita e chegamos ao

número 14.

Na operação 9 - 5 = 4, partimos do número 9, andamos 5 unidades para a esquerda e chegamos ao

número 4.

Na operação 5 + 9 = 14, partimos do número 5, andamos 9 unidades para a direita e

chegamos ao número 14.

Na operação 5 - 9 = - 4, partimos do número 5, andamos 9 unidades para a esquerda e chegamos ao

número - 4.

Para resumir:

• Escrever 5 ou + 5 é a mesma coisa.• Quando sinais de números e sinais de operações aparecerem juntos, então:

(+) e (+) = (+) (-) e (-) = (+)

(+) e (-) = (-) (-) e (+) = (-)

Exemplos:

Para sinais iguais

• Com o símbolo da adição explícito

símbolo da adição ( + )

(+5) + (+3) = +8 (–3) + (–6) = –9

sinal positivo ( + ) sinal negativo ( – )


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6

• Com o símbolo da adição implícito (sem aparecer)

+7 + 5 = +12 – 5 –7 = –12

Para sinais diferentes+2 + (–5) = –3 +8 – 2 = +6 –7 + 10 = +3

Na subtração, basta eliminar os parênteses e passamos a ter uma adição.

símbolo da subtração ( – )

7 – (–6) = 7 + 6 = 13 (+6) – (+2) = 6 – 2 = 4

sinal negativo ( – ) sinal positivo ( + )

Veja a seguir, como devemos proceder numa situação em que há soma e subtração de

diversos números.

53 - 25 + 65 - 30 - 18 =

A melhor forma de realizar esse cálculo é somar os números positivos, somar os números

negativos e depois subtrair o segundo resultado do primeiro. Assim:

(53 + 65) - (25 + 30 + 18) = 118 - 73 = 45

Na multiplicação e divisão, basta contarmos os sinais NEGATIVOS (–). Se a quantidade de sinais

negativos for PAR dará POSITIVO (+) e se a quantidade de sinais negativos for ÍMPAR, dará

NEGATIVO (–).

Exemplos:

a) (+2) . (+7) = +14 (nenhum negativo, logo, um número par de negativos);

b) +3 . (–4) = –12 (apenas um negativo, logo número ímpar de negativos);

c) (–12) : (–4) = +3 (número par de negativos);

d) (–2)3 = –8 (aqui, quem conta os negativos da base é o valor do expoente, logo, ímpar).

Tal regra ainda pode ser utilizada na eliminação de parênteses, como foi realizada nos exemplos

da operação de subtração:

– (–4) = + 4 (número par de negativos);

– (+3) = – 3 (número ímpar de negativos).


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7

Resumindo

o produto ou a divisão de um positivo por um negativo é negativo:

(–3) . 2 = (–3) + (–3) = – 6 (–16) : (4) = - 4

o produto ou a divisão de um negativo por um negativo é positivo:

(–3) . (–5) = 15 (–16) : (- 4) = 4

a) Expressões numéricas

Nas expressões numéricas contendo as operações de adição, subtração, multiplicação e

divisão são adotadas as seguintes regras:

1ª) Primeiramente devem ser realizadas as operações multiplicativas, ou seja, a multiplicação e a

divisão, na ordem em que aparecem;

2ª) As operações aditivas, ou seja, adições e subtrações, na ordem em que aparecem;

3ª) Se nas expressões numéricas aparecerem parênteses, colchetes e chaves, a regra é a seguinte:

primeiro são efetuadas as operações de dentro dos parênteses, depois as que sobraram dentro dos

colchetes, depois as que ficaram dentro das chaves (sempre de dentro para fora) e, por fim, as que

ficaram fora das chaves.

Exemplo:

Somar primeiro

1000-{987-[6.(5+4)+3].2+1} = 1000 - {987-[6.9+3].2+1}

= 1000 - {987-[54+3].2+1}

= 1000 - {987-57.2+1}

= 1000 - {987-114+1}

= 1000 - 874

= 126

Hoje em dia, com as calculadoras e os computadores, os colchetes e as chaves perderam

a importância. Veja a equivalência do exemplo anterior:

1000 - {987-[6.(5+4)+3].2+1} = 1000 - (987-(6.(5+4)+3).2+1)

= 1000 - (987-(6.9+3).2+1)

= 1000 - (987-(54+3).2+1)

= 1000 - (987-57.2+1)

= 1000 - (987-114+1)


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8

= 1000 - 874

= 126

Observação:

Nas calculadoras não há espaço para as teclas com [ ] e { }. Por isso, usamos apenas os

parênteses. O que devemos lembrar é que o número de parênteses de abertura deve ser

igual o número de parênteses de fechamento.

Exercícios

Resolva as seguintes expressões.

a) ( ) ( )865 −−−+−

b) ( )3810 +−−−

c) ( ) ( )431625 −−++−−−−

d) ( ) ( ) ( )851837 −−+−+−

e) ( ) ( ) ( )[ ]{ }5121232 ++−−−+−−−+−−

f) ( )[ ]{ }2012581020 −−+−−−−

g) ( ) ( ) ( )5643 ⋅−+−⋅−

h) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]{ }423232 −⋅−+−⋅+⋅−

i) ( ) ( )8204 −÷+−

j) ( )[ ] ( ) ( )[ ]23141220 −⋅−+÷+−+−

k) ( ){ } 15565,04,12)312(35 −−+÷−+−

l) 58087300 ÷+⋅− m) ( )( )( ) 31734219041540 ÷+⋅−÷⋅++

a) -3 b) -5 c) -5 d) 0 e) -4 f) 35 g) -18

h) 4 i) -2 j) -4 k) -9,165 l) 260 m) 42

Gabarito


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9

Seção 1.2

Operações com Frações

a) Frações

Chama-se fração todo parb

a

(leia: a sobre b) de números naturais em que:

• O segundo número (b), chamado de denominador, indica em quantas partes iguais a unidade foi

dividida;

• O primeiro número (a), chamado numerador, indica quantas partes da unidade foram tomadas

O numerador e o denominador são os termos da fração.

Observações gerais sobre frações

• Quando multiplicamos ou dividimos os termos de uma fração por um mesmo número natural,

diferente de zero, obtemos uma fração equivalente à fração inicial (propriedade fundamental).

Por exemplo, as frações abaixo são todas equivalentes entre si:

30

20~

21

14~

6

4~

3

2

• Simplificar uma fração é dividir seus termos por um mesmo número diferente de zero e obter

termos menores que os iniciais.

Por exemplo, simplificando a fração21

14 obtemos a fração 3

2.

• Quando simplificamos uma fração e obtemos uma nova fração que não pode ser simplificada,

dizemos que foi obtida a forma irredutível da fração dada.

Por exemplo, simplificando a fração44

12 obtemos a fração 11

3, que está na sua forma irredutível.


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10

18

23

18

158

18

3524

6

5

9

4=

+

=

⋅+⋅

=+

b) Operações com frações

I. Adição e subtração de frações

A soma de frações com denominadores iguais é uma fração cujo denominador é igual ao das

parcelas e cujo numerador é a soma dos numeradores das parcelas, ou seja:b

ca

b

c

b

a +=+ .

Exemplo: 7

5

7

3

7

2=+

A diferença de duas frações com denominadores iguais é uma fração cujo denominador é

igual ao das frações dadas e cujo numerador é a diferença dos numeradores, isto é: bca

b

c

b

a −=−

.

Exemplo: 11

3

11

5

11

8=−

Quando vamos somar ou subtrair frações que tem denominadores diferentes devemos

primeiro reduzi-las ao mesmo denominador e, em seguida, aplicar as regras anteriores. Dadas as frações

irredutíveisd

ce

b

a

- Na adição temos d ebdemmcoé d bd b

cbd a

d

c

b

a⋅

⋅

⋅+⋅=+ ,

- Na subtração temos d ebdemmcoé d bd b

cbd a

d

c

b

a⋅

⋅

⋅−⋅=− ,

Observação. O mmc representa o menor múltiplo comum dos denominadores de uma fração.

Exemplos:

a) 6

5

9

4+

O primeiro passo é reduzir as frações ao mesmo denominador. Para isso devemos encontrar o

mmc(9, 6) que é 18. Então:


11/178

11

b) 4

3

3

2−

O primeiro passo é reduzir as frações ao mesmo denominador. Para isso devemos encontrar ommc(3, 4) que é 12. Então:

12

1

12

98

12

3442

4

4

3

2−=

−=

⋅−⋅=−

Exercício

Calcule o valor de cada expressão.

a)10

1

5

2

4

3−+ b)

3

5

9

2

5

4−+− c)

8

1

4

1

2

11 −−−

d)

−−− 1

3

12

3

7 e)

+−−−+−

4

1

8

51

2

9 f)

−−

−+

4

5

4

7

5

1

2

11

Gabarito

a)20

21

b)

45

101−

c)

8

1

d)

3

1−

e)

8

41−

f)

5

4

II. Multiplicação de frações

O produto de duas frações é uma fração cujo numerador é o produto dos numeradores e cujodenominador é o produto dos denominadores das frações dadas.

Exemplos:

a)10

3

25

13

2

1

5

3=

⋅

⋅=⋅ b)

28

15

74

53

7

5

4

3 −=

⋅

⋅−=⋅− c)

5

18

15

636

5

3=

⋅

⋅=⋅

d)7

10

71

25

7

25 =

⋅

−⋅−=−⋅− e)

14

11

56

44

78

411

7

4

8

11==

⋅

⋅=⋅


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12

Observação.

Depois de calcular o produto de duas frações, devemos simplificar a fração obtida, colocando-a

na forma irredutível. Ou podemos cancelar os fatores comuns aos numeradores e aos denominadores

antes de fazer a multiplicação.

a) 7

16

7

44

7

20

5

4=⋅=⋅ b)

55

21

11

7

5

31

22

7

5

9

3

2=⋅⋅=⋅⋅

Exercícios

Efetue as multiplicações de frações a seguir.

a) ( )

⋅−

5

143 b)

−⋅

−

36

25

5

9 c)

−⋅

−⋅

7

3

2

1

3

2

d)11

72

60

13⋅ e)

54

55

25

24

18

5−⋅−⋅

Gabarito

a) 5

42− b)

4

5 c)

7

1

d)

55

78

e)

81

22

III. Divisão de frações

A divisão de uma fração por outra é igual ao produto da primeira fração pelo inverso da segunda.

Exemplos:

a)5

2

3

2

5

3

2

3

5

3=⋅=÷ b)

20

21

5

7

4

3

7

5

4

3−=⋅−=÷−

c)2

35

2

75

7

25 =−⋅−=−÷− d)

24

11

3

1

8

113

8

11=⋅=÷


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13

Exercícios

1) Efetue as divisões de frações a seguir

a)

÷

4

3

5

3 b)

÷−

6

15 c) ( )2

3

4−÷− d)

5

11

2

11÷ e)

6

11

3

7÷

2) Encontre o valor das expressões.

a)2

3

5

1

4

3

2

1⋅+⋅ b)

+÷

+

3

4

3

1

4

2

4

3 c)

10

9

27

2

14

20

4

21⋅−⋅ d)

4

1

5

23

2

1−⋅+

e)

−÷

− 6

141

31

21 f)

+−÷

++ 3

4412

45

31

21 g)

⋅−÷

⋅+⋅ 4

3212

57

710

53

31

h)

−÷

÷−⋅

28

372

7

10

49

5

8

9

3

2

i)

−÷

−⋅

−⋅

−

5

11

4

11

3

11

2

11

Gabarito

Questão 01:

a)5

4 b) 30− c) 3

2 d)

2

5 e)

11

14

Questão 02:

a)40

27 b)

4

3 c)

30

223 d)

20

29 e) 2 f)

37

25

g)65

88 h) 1 i)

16

5


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14

Seção 1.3

Fatoração e Simplificação algébrica

Um polinômio é uma expressão algébrica racional inteira. São exemplos de polinômios:

a) x3 b) y x 73 + c)

5

332

2

1 2 −−+ baa

Fatorar um polinômio significa escrevê-lo na forma de um

produto indicado. Fatorar é o mesmo que decompor em fatores ou

transformar em produto.

a) Caso do fator comum

Observe o polinômio: ayax +

Ele é formado por dois termos ayeax que apresentam em comum o fator a. Pela propriedade

distributiva, sabemos que:

( ) y xaayax +=+

O produto )( y xa + é a forma fatorada do polinômio dado. Na forma fatorada )( y xa + ,

dizemos que o fator comum a está colocado em evidência.

Exemplos:

a) ( ) y x y x y x y x 32396 2223 −=− b) ( )2351015 223 −=− x x x x

c) ( )a xax xaax 3232 2223 −=−


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15

b) Caso do agrupamento

Observe os termos do polinômio: myaymxax −+−

Os dois primeiros termos apresentam fator comum x e os dois últimos apresentam o fator comum

y. Vamos agrupar os termos e colocar em evidência os fatores comuns:

( ) ( )myaymxax −+−

(colocando em evidência no primeiro termo o x e o y no segundo termo)

( ) ( )ma yma x −+−

Temos a soma de dois produtos. Nesses produtos, ( )ma − é o fator comum. Colocando ( )ma −

em evidência, temos:

( )( ) y xma +−

Com isso, transformamos o polinômio dado no produto ( )( ) y xma +− , que é a forma fatorada

dele. Então:

myaymxax −+− = ( )( ) y xma +−

Exemplos:

a) ( ) ( ) ( )( )a y x y xa y x −−=−−− 55

b) ( ) ( ) ( )( )2222 +−=−+−=−+− xbababa xbabxax

c) ( ) ( ) ( )( )32232632 −+=+−+=−−+ x y y y x y x xy

d) ( ) ( ) ( )( )322326322 ++=+++=+++ x y x y x y x x y x xy x

c) Caso da diferença de dois quadrados

Você sabe quando um monômio é um quadrado perfeito?

Um monômio é denominado quadrado perfeito quando ele é igual ao quadrado de outro

monômio.


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16

Exemplos:

1) 225 x é quadrado perfeito, pois ( )22 525 x x =

2) 4 x é quadrado perfeito, pois ( )224 x x =

3) 124ba é quadrado perfeito, pois ( )262124 baba =

A expressão 22 ba − representa a diferença de dois quadrados: 22 bea . A diferença de dois

quadrados é um produto notável. Sabemos que 22 ba − é igual ao produto da soma ( )ba + pela

diferença ( )ba − , isto é:

( )( )bababa −+=− 22 A forma fatorada de uma diferença de dois quadrados é o produto da soma pela diferença das

bases deles na ordem dada. Assim:

( ) ( )baba −⋅+ é a forma fatorada de 22 ba − .

Exemplos:

a) ( )( )3392 −+=− x x x

b) ( )( )1515125 2 −+=− aaa

c) ( )( )222244 y x y x y x −+=−

d) ( )( )323232 2 −+=− x x x

d) Caso do trinômio quadrado perfeito

O trinômio 22 2 baba ++ é denominado trinômio quadrado perfeito, porque é igual ao

quadrado do binômio ( )ba + :

( )222 2 bababa +=++


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19

Exercícios

1) Fatore, colocando em evidência os fatores comuns.

a) k kx + b) k kqkp 1284 −+ c) 234 x x x +−

d) 22223 xy y x y x ++ e) bmam −− f)324222 10515 xa xa xa +−

g) nqmqnpmp −−+ h) 2045 23 −+− x x x i) xyb xyaabyabx2222 +++

j) ( ) ( ) ( )1113 2 −+−+− xa xa x k) ( ) ( )23 baba +++

2) Fatore os trinômios abaixo.

a) 342 ++ x x b) 1072 +− x x c) 1832 −+ x x

d) 542 −+ y y e) 122 −− t t f) 24102 ++ aa

3) Supondo x ≠ ≠≠ ≠ -1, simplifique a fração algébrica1

342

+

++

x

x x.

4) Simplifique a fração algébrica54

1582

2

−+

++

x x

x x, supondo 0542 ≠−+ x x .

Gabarito

Questão 01

a) ( )1+ xk b) ( )324 −+ q pk

c) ( )122 +− x x x

d) ( )122 ++ x x xy

e) ( )bam +−

f) ( ) x x xa 235 222 +−

g) ( )( )q pnm −+

h) ( )( )542 −+ x x

i) ( )( )byaxaybx ++

j) ( )( )231 aa x ++−

k) ( ) ( )12 +++ baba

Questão 02

a) ( )( )13 ++ x x b) ( )( )52 −− x x c) ( )( )36 −+ x x


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20

d) ( )( )15 −+ y y e) ( )( )64 ++ aa f) ( )( )34 +− t t

Questão 03

( )3+ x

Questão 04

1

3

−

+

x

x

Seção 1.4

Potenciação e Radiciação

a) Potenciação

O que é potenciação? Potenciação é uma operação que consiste em elevar um número a um

expoente dado, ou seja, a n onde a é um número real.

xaaaa Ra xan =⋅⋅⇒∈= ...

Nomenclatura:

a – base da potência;

n – expoente;

x – potência

O expoente “ n” pode ser maior ou igual a 1, nulo ou negativo.

Se n > 1, inteiro, então: an = a . a .a . . . a (n vezes)

Se n = 1, então: a1

= a

Se a ≠ 0 e n = - 1, então:a

a11 =−

Se a ≠ 0 e n > 1, inteiro, então:n

n

n

aaa

11=

=−


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21

b) Propriedades da potenciação

1ª - Produto de potências de mesma base: ( ) nmnm aaa +=⋅

Exemplo: 85353 22)22( ==⋅ +

2ª - Quociente de potências de mesma base:

( ) nmnm aaa −=÷

Exemplo: 2535

3

555

5 −− ==

Pela definição de expoente negativo

22

5

15 =−

3ª - Potência de uma potência:

( ) nmnm aa ⋅=

Exemplo: ( ) 63232 999 == ⋅

4ª - Potência de um produto ou quociente:

( ) mmm baba ⋅=⋅ e ( ) mmm baba ÷=÷

Exemplo: 2464

6

555

5==

−


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22

Curiosidades:

1. Se “a” é um número natural diferente de zero, qual é o valor de a0?

Demonstração

Podemos escrever: nn aaa ÷=0 , pela propriedade da potência

nnnn aaa −=÷ , mas 1==÷

n

nnn

a

aaa , logo 10 =a .

2. Sobre as potências 5 2

e 2 5 , o que podemos afirmar?

Que são diferentes, pois pela definição de potência temos 255552 =⋅= e

322222225 =⋅⋅⋅⋅=

c) Radiciação

O que significa radiciação? Radiciação indica que abba x x =⇔= onde ( x ∈ N e x > 1), ou

seja, é a operação inversa da potenciação. Nestas condições observamos que, um expoente fracionário

pode ser escrito através de um radical, ou seja:

x

y

x y y x aaa == )()( (a ∈ *R + , y ∈ Z e x ∈*Z+ )

Exemplos:

1) 2442 21

2 === ou 222 22

2 ==

2) =⋅== 3 233 53 333243

=⋅ 3 23 3 33

321 33 ⋅

32

33⋅

ou

3 233⋅

ou

3 93 ⋅

Resultadospossíveis

2433.3

33

33

3

1

3

9

2781

243

4 =

forma fatorada


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23

d) Propriedades da radiciação

1. aa x x =)( Exemplo: 5)5(3 3 =

2. x x x baba ⋅=⋅ Exemplo: 6329494 =⋅=⋅=⋅

3. x

x

x

b

a

b

a= Exemplo:

3

2

27

8

27

83

3

3 ==

4. p x p y x y aa ⋅ ⋅= ou

p x p y x y aa ÷ ÷= Exemplo: 6 43 2 55 =

Curiosidades:

1. A afirmação 33+ = 6 está correta?

Não, pois na soma de radicais não se efetua a soma de radicandos, ou

seja, 33+ = 32 , o que é diferente de 6 .

2. A afirmação 9494 +=+ está correta?

Não, porque podemos verificar que o radical da soma é diferente da

soma dos radicais, ou seja, 51394 ≠=+ .

Exercícios

1) Marque as alternativas corretas.

a) ( ) 34

4 3 33 = b) ( ) 31

3 66 = c) ( ) 32

3 2 66 =

d) ( ) 554 4 = e) ( ) 3 223

55 = f) ( ) 8 585

1515 =

g) ( ) 552

33 = h) ( ) 77 21

= i) ( ) 5 885

1515 =

2) Marque as igualdades verdadeiras:

a) ( ) 6 23 33 = b) ( ) 4 28 2 44 = c) ( ) 336 3 =

d) ( ) 3443 =⋅ e) ( ) 361681 =⋅ f) ( ) 16222 ⋅=


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24

3) Simplificando os radicais as respostas corretas são:

a) ( ) 5420 = b) ( ) 3212 =

c) ( ) 2672 = d) ( ) 5945 =

4) Marque a igualdade verdadeira.

a) ( ) 9494 +=+

b) ( ) 9494 ⋅=⋅

5) O resultado verdadeiro das operações é:

a) ( ) 54535 =+

b) ( ) 3333234 =−+

c) ( ) 333 102

110

4

310 −=−−

GabaritoQuestão 01

b) 31

3 66 = c) 32

3 2 66 = d) 554 4 =

f) 8 585

1515 = g) 5 252

33 = h) 77 21

=

Questão 02

a) 326 22 33 =÷ ÷ c) 3336 33 =÷ ÷ e) 364.916811681 ===⋅

Questão 03

b) 323.212 2 == c) 263.272 23 ==

Questão 04 Questão 05

b)63.236

9494

==

⋅=⋅ a) 54535 =+


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25

MÓDULO II


2.1. Razão e Proporção

2.2. Grandezas proporcionais

2.3. Regra de três simples e composta

2.4. Porcentagem

Objetivos

Propiciar a compreensão e o domínio dos conceitos abordados neste módulo.

Seção 2.1.

Razão e Proporção

2.1.1. Razões entre grandezas

Chama-se razão o quociente entre dois números ou duas grandezas. Muitos conceitos

importantes são expressos por razões, como por exemplo, as situações colocadas a seguir.

a) Densidade demográfica: razão entre o número de habitantes de uma região e a área dessa região.

áreahabitantes=ademográfic Densidade

b) Densidade de um corpo: razão entre a massa de um corpo e o seu volume.

volume

massa= Densidade

c) Velocidade média: razão entre a distância percorrida por um móvel e o tempo gasto para percorrê-la.

tempo

distância=médiaVelocidade

d) Escala: razão entre a medida de um comprimento no desenho e a medida correspondente aocomprimento real.

real ocompriment do medidadesenho no ocompriment do medida

=escala


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26

Definição:

Dados dois números racionais a e b, com b ≠≠≠≠ 0, chama-se razão entre a e b ao quociente indicado porb

a

ou então, ba : , ou seja:

b

ar = , ou de modo semelhante bar :=

Termos de uma razão

Os termos de uma razão são:

a é o 1º termo ou o antecedente;

b é o 2º termo ou o conseqüente.

Exemplos:

1) No vestibular inscreveram-se 7830 candidatos para disputarem as 90 vagas de um curso. Qual a

relação candidato-vaga para esse curso?

Solução: vagacandidatosr vagas

candidatosr 87

90

7830=⇒=

2) Qual a razão entre 10352e ?

Solução: 33,13,0

4,0

103

52

≈⇒=⇒= r r r

3) Qual a razão entre um trimestre e um ano?

Solução: 25,012

3

1

1=⇒=⇒= r

meses

mesesr

ano

trimestrer

Exercícios

1) Determine a razão entre os números abaixo.

1.1) 7

63 e (a) 3,5 (b) 2,5 (c) 1,5 (d) 4,5 (e) 5,5

1.2) 3

1

2

1e (a) 0,5 (b) 2,5 (c) 1,5 (d) 3,5 (e) 4,5

1.3) 55,1 e (a) 0,1 (b) 1,5 (c) 2,3 (d) 0,3 (e) 3,3


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27

2) Calcule as razões entre as grandezas a seguir:

2.1) 27 km e 3 l de álcool

(a) 7 km/ l (b) 8 km/ l (c) 5 km/ l (d) 9 km/ l (e) 6 km/ l

2.2) 40 g e 5 cm3

(a) 8 g/cm3 (b) 7 g/cm3 (c) 5 g/cm3 (d) 0,8 g/cm3 (e) 80 g/cm3

2.3) 24 kg e 80 kg

(a) 3 (b) 30 (c) 9 (d) 0,9 (e) 0,3

2.4) 20 cm e 4 dm

(a) 0,5 (b) 5 (c) 1,5 (d) 50 (e) 0,15

3) A massa A é 10 kg e massa B é 5.000g. Qual a razão entre as massas A e B?

(a) 3 (b) 4 (c) 0,2 (d) 2 (e) 20

4) Numa planta baixa de uma casa é usada 1cm para cada metro (100cm) qual a razão entre a

medida do desenho e a medida verdadeira?

(a)10

1 (b)

100

1 (c)

11

(d)1000

1 (e)

10000

1

5) Numa turma de 25 alunos ao todo, 10 são do sexo feminino. Pergunta-se:5.1) Qual a razão entre o número de meninas e o número de alunos?

(a) 0,2alunos

mulheres (b) 0,5

alunos

mulheres (c) 4

alunos

mulheres

(d) 5alunos

mulheres (e) 0,4

alunos

mulheres

5.2) Qual a razão entre o número de meninos e o número de alunos?

(a) 0,2alunos

enshom (b) 0,6

alunos

enshom

(c) 4alunos

enshom

(d) 5alunos

enshom (e) 0,4

alunos

enshom


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Gabarito

Questão 01

1.1) a 1.2) c 1.3) d

Questão 04

Opção b

Questão 02

2.1) d 2.2) a 2.3) e 2.4) a

Questão 05

5.1) e 5.2) b

Questão 03

Opção d

2.1.2 ProporçãoEm certas situações práticas do cotidiano, somos levados a ter de escolher entre duas ofertas,

verificando qual é a mais econômica. Por exemplo, na compra de 2 potes de manteiga, um com 300g

custam R$ 1,50 o outro com 1000g custam R$ 4,80. Como vemos o pacote de 1000g é o mais caro.

Porém este fato pode não ser suficiente para avaliar qual é a melhor compra.

O que estamos tentando fazer neste caso é comparar o preço das manteigas. Entretanto, tal

comparação não pode ser feita diretamente, porque as quantidades são diferentes. Para resolver esta

questão podemos recorrer a definição de proporção.

Definição

Denomina-se proporção a uma igualdade entre duas razões, ou seja:

d

c

b

a= ou de modo semelhante d cba :: =

Termos de uma proporção

Em uma proporção nomeamos os quatro elementos como:

extremosd ea → e meiosceb →

Exemplo:

8

4

2

1= ou 1:2 = 4:8 onde 2 e 4 são os meios; 1 e 8 são os extremos

Observamos que temos uma proporção, pois a razão entre os valores 1 e 2 é 0,5, da mesma forma

que a razão entre 4 e 8 é também 0,5. Como temos então duas razões iguais, dizemos que os valores 1, 2,


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4 e 8 (nessa ordem) formam uma proporção. Além disso, este valor 0,5 recebe o nome de coeficiente de

proporcionalidade.

Propriedade fundamental das proporções Em toda a proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, ou seja:

ad bcentãod

c

b

a==

Exemplo:

Calcule o valor de x para que se tenha uma proporção:8

24

7 =

x.

Solução. Utilizando a propriedade fundamental das proporções podemos escrever:

218

16816887248

8

24

7 =⇒=⇒=⇒⋅=⋅⇒= x x x x

x

No caso desse exemplo, observamos que o valor de cada uma das razões que constituem a

proporção é 3. Neste caso então o coeficiente de proporcionalidade é 3.

Exercícios

Calcule o valor de x para que se tenha, em cada caso, uma proporção. Questão 01

2

4

5 =

x (a) 5 (b) 100 (c) 10 (d) 0,1 (e) 1000

Questão 02

x

20

4

5= (a) 16 (b) 14 (c) 12 (d) 10 (e) 1,6

Questão 03

12

6

2 =

x (a) 0,1 (b) 10 (c) 0,001 (d) 1 (e) 100

Questão 04

25,65

2 x= (a) 25 (b) 2,5 (c) 0,25 (d) 250 (e) 0,025


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30

Questão 05

x

4

5,0

1 31

=−

(a) 0,3 (b) 30 (c) 4 (d) 0,4 (e) 3

Gabarito

1) c

2) a

3) d

4) b

5) e

Seção 2.2.

Grandezas proporcionais

Definições

1) Duas grandezas são diretamente proporcionais, quando o aumento de uma (diminuir)

implica no aumento (diminuir) da outra.

2) Duas grandezas são inversamente proporcionais, quando o aumento de uma (diminuir)

implica no diminuir (aumento) da outra.

Exemplos:

Considere as situações a seguir.

a) 4 kg de um determinado produto custam R$ 12,00.

8 kg do mesmo produto custarão mais de R$ 12,00 (mais especificamente custarão R$ 24,00).

Portanto o aumento da grandeza “número de kg”, implicou no aumento do valor da grandeza

“preço”.

ii) 2 kg do mesmo produto custarão menos de R$ 12,00 (mais especificamente custarão R$ 6,00).

Portanto o diminuir da grandeza “número de kg”, implicou no diminuir do valor da grandeza

“preço”.

b) Um carro a 60 km/h leva 1 hora para percorrer uma determinada distância.

se o carro andar a 30 km/h levará mais tempo para percorrer a respectiva distância (mais

especificamente levará 2 horas). Portanto o diminuir da grandeza “km/h”, implicou no aumento

no valor da grandeza “número de horas”.


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ii) se o carro andar a 120 km/h, levará menos tempo para percorrer a respectiva distância (mais

especificamente levará ½ hora). Portanto o aumento da grandeza “km/h” implicou no diminuir

no valor da grandeza “número de horas”.

Assim a situação exposta na letra a) exemplifica duasgrandezas que são diretamente proporcionais, enquanto que

a situação exposta na letra b) exemplifica duas grandezas

que são inversamente proporcionais.

Seção 2.3

Regra de três simples e composta

São modos práticos de encontrar um valor desconhecido, dados outros valores, envolvendo

grandezas proporcionais (diretamente ou inversamente).

A regra de três pode ser:

a) simples - quando envolve apenas duas grandezas;

b) composta - quando envolve mais de duas grandezas.

a) Regra de três simples

Exemplos:

1) Em 50ml de gasolina, 10ml é álcool. Quantos litros de álcool contêm o tonel onde foi retirada aamostra se este contiver 20 l de gasolina impura?

Solução. Em primeiro lugar devemos transformar as grandezas envolvidas na mesma unidade, como o

problema pede o número de litros de álcool, transformamos as grandezas todas em litros, ou seja:

50 ml = 50 : 10 : 10 : 10 = 0,05 litros

10 ml = 10 : 10 : 10 : 10 = 0,01 litros

Número de litros de gasolina impura Número de litros de álcool 0,05 0,01

20 x

Como o aumento do número de litros de gasolina impura, implica no aumento do número de

litros de álcool, isto significa que as grandezas envolvidas são diretamente proporcionais. Portanto,

formamos com os valores envolvidos uma proporção levando em conta este fato, ou seja:

álcooldelitros x x x x x

405,0

2,02,005,001,02005,0

01,0

20

05,0=⇒=⇒=⇒⋅=⋅⇒=


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32

2) Um trem com velocidade de 60 km/h faz o percurso entre as cidades A e B em 2 horas. Quanto tempo

levará o trem para fazer este mesmo percurso, se a sua velocidade passar a ser 80 km/h?

Solução

Número de km/h Número de horas 60 2

80 x

O aumento do número de km/h implica no diminuir no número de horas, isto significa que as

grandezas envolvidas são inversamente proporcionais. Portanto formamos com os valores envolvidos

uma proporção levando em conta este fato, ou seja:

horas x

x

x

x

x

5,180

120

12080

80260280

60

=

=

=

⋅=⋅

=

b) Regra de três composta

Exemplo: Na abertura de um canal, 15 homens trabalhando 8 horas diárias escavaram 400 m3 de terra em 10 dias.

Quantos homens serão necessários para escavar 600 m3 trabalhando 15 dias de 6 horas diárias?

Solução

N o de homens N o de horas/dia N o de m3 N o de dias

15 8 400 10

X 6 600 15

A grandeza “ N o de homens” denomina-se “Grandeza Fundamental”, pois ela é que contém o

valor que desejamos encontrar. A partir disso analisamos, separadamente, cada par de grandezas, em

relação à grandeza fundamental, estabelecendo se os mesmos, em relação à grandeza fundamental, são

diretamente ou inversamente proporcionais.

Assim, no nosso exemplo precisamos analisar se as grandezas:

a) N o de homens e N o de horas/dia são diretamente ou inversamente proporcionais;


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33

b) N o de homens e N o de m3 são diretamente ou inversamente proporcionais;

c) N o de homens e N o de dias são diretamente ou inversamente proporcionais.

Realizemos então esta análise.a) N o de homens e N o de horas/dia são diretamente ou inversamente proporcionais;

N o de homens N o de horas/dia

15 8

X 6

Análise. 15 homens trabalhando 8 horas por dia realizam o trabalho, se trabalharem apenas 6 horas por

dia, necessitaremos de mais de 15 homens para realizar o mesmo trabalho. Portanto o diminuir do N o de

horas/dia implica no aumento na grandeza N o de homens, isto significa que as grandezas envolvidas são

inversamente proporcionais.

b) N o de homens e N o de m 3 são diretamente ou inversamente proporcionais;

N o de homens N o de m3

15 400

X 600

Análise. 15 homens são necessários para cavar 400 m3 de terra, se tiver que serem cavados 600 m3 se

necessitará mais de 15 homens para realizar o trabalho. Portanto o aumento do N o de m3 implica noaumento na grandeza N o de homens, isto significa que as grandezas envolvidas são diretamente

proporcionais.

c) N o de homens e N o de dias são diretamente ou inversamente proporcionais.

N o de homens N o de dias

15 10

x 15

Análise. 15 homens trabalhando 10 dias realizam o trabalho, se forem trabalhados 15 dias,

necessitaremos de menos de 15 homens para realizar o mesmo trabalho. Portanto o aumento do N o de

dias implica no diminuir da grandeza N o de homens, isto significa que as grandezas envolvidas são

inversamente proporcionais.


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34

Portanto, no nosso quadro inicial de grandezas temos a seguinte situação:

N o de homens N o de horas/dia N o de m3 N o de dias

15 8 400 10

x 6 600 15Fundamental Inversa Direta Inversa

Assim, montamos nossa proporção da seguinte maneira:

2036000

720000.3600015.48000

48000

3600015

10

15.

600

400.

8

615=⇒=⇒=⇒=⇒= x x x

x x

Portanto são necessários 20 homens para

realizar a escavação conforme os dados

fornecidos no problema.

Exercícios

1) Se um corte de 2,80m de tecido custa R$ 84,00, quanto custarão 20,50m desse mesmo tecido?(a) R$ 315,00

(b) R$ 515,00

(c) R$ 615,00

(d) R$ 415,00

(e) R$715,00

2) 100 kg de trigo fornecem 85 kg de farinha. Que quantidade de farinha se obterá com 150 sacos

de 75 kg cada um?

(a) 8564 kg

(b) 6789 kg

(c) 34526,87 kg

(d) 6543,98 kg

(e) 9562,5 kg

3) Um automóvel percorre 240 km em 3 horas. Quanto tempo levará para percorrer 400 km?

(a) 5 h (b) 6h (c) 4h (d) 2h (e) 8 h

4) Um trem com velocidade de 60 km/h faz o percurso entre as cidades A e B em 2 horas. Quanto

tempo levará o trem para fazer este mesmo percurso, se a sua velocidade passar a ser 80 km/h?

(a) 2,5 h (b) 0,5 h (c) 1,5 h (d) 3,5 h (e) 4,5 h

=

=


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35

5) Num acampamento 30 homens possuem alimentos para dois meses. Tendo chegado ao

acampamento mais 90 homens, pergunta-se por quanto tempo o acampamento disporá de

alimentos?

(a) 1,5 meses(b) 2 meses

(c) 3,5 meses(d) 0,5 meses

(e) 4,5 meses

6) Um avião comercial, com velocidade de 450 km/h realiza a viagem entre São Paulo e Porto

Alegre em 2 horas. Em quanto tempo um avião com velocidade igual a 1200 km/h faria à mesma

viagem?

(a) 20 minutos

(b) 45 minutos

(c) 35 minutos

(d) 15 minutos

(e) 10 minutos

7) Um negociante pagou $330 u.m. (unidades monetárias) por um rolo de arame e $264 u.m. por

outro da mesma qualidade. Qual é o comprimento de cada um dos rolos, se o primeiro tem 12

metros a mais do que o segundo?

(a) 50m e 24 m

(b) 60 m e 48 m

(c) 30m e 14 m

(d) 70m e 35 m

(e) 65m 23m

8) Um automóvel gasta 7 horas para ir da cidade A para a cidade B a uma velocidade média de 60km/h. Quanto tempo este automóvel gastará se em sua próxima viagem sua velocidade média for

100 km/h?

(a) 3,2 h (b) 2,2 h (c) 7,2 h (d) 4,2 h (e) 5,2 h

9) Cinco torneiras idênticas enchem um tanque em 144 minutos. Quantas dessas torneiras são

necessárias para encher o mesmo tanque em uma hora e meia?

(a) 6 (b) 7 (c) 8 (d) 5 (e) 10

10) Um automóvel percorre um determinado trajeto em 2 horas, com a velocidade de 40 km/h. Se

triplicar a velocidade, para percorrer o mesmo trajeto, qual será o tempo do percurso?

(a) 1,66 h (b) 0,66 h (c) 0,33 h (d) 1,33 h (e) 2,33 h


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36

11) Se um operário assenta 80 tijolos trabalhando 5 horas, quantos tijolos, a mais, assentará,

trabalhando 6 horas?

(a) 16 (b) 18 (c) 19 (d) 14 (e) 12

12) A produção de uma tecelagem é de 8000 metros de tecido por dia. Com a admissão de mais 300

operários a indústria passou a produzir 14000 metros de tecido por dia. Qual era o número de

operários antes da admissão dos 300 operários?

(a) 500 (b) 400 (c) 200 (d) 800 (e) 300

13) Um navio partiu para uma viagem levando a bordo alimentos para 12 tripulantes durante 30

dias. Quando o navio partiu descobre-se três passageiros clandestinos. Nestas condições, quantos

dias deverão durar o alimento?

(a) 12 dias (b) 36 dias (c) 6 dias (d) 32 dias (e) 24 dias

14) Uma máquina trabalhando continuamente produz 400 peças em 50 minutos. Quantas peças a

mais, a máquina produzirá em 1h e 10 minutos?

(a) 180 (b) 260 (c) 160 (d) 280 (e) 340

15) Num internato 35 alunos gastam $15400 u.m. pelas refeições em 22 dias. Quanto gastaria 100alunos pelas refeições de 83 dias neste internato?

(a) $166000um (b)$144000um (c) $244000um

(d) $122000um (e) $322000um

16) Empregaram-se 27,4 kg de lã para tecer 24 m de um tecido de 60 cm de largura. Qual será o

comprimento de tecido que se poderia tecer com 3,425 toneladas de lã para se obter uma largura

de 90 cm (1 tonelada = 1000 kg)?(a) 1000m (b) 3000m (c) 2000m (d) 4000m (e) 5000m

17) Para alimentar uma família de seis pessoas durante dois dias, são necessários 3 litros de leite.

Para alimentá-los durante cinco dias estando ausente duas pessoas, quantos litros de leite serão

necessários?

(a) 6 litros (b) 4 litros (c) 3 litros (d) 5 litros (e) 2 litros


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37

18) Três operários trabalhando durante seis dias, produzem 400 peças. Quantas peças desse

mesmo tipo produzirão sete operários trabalhando nove dias?

(a) 1400 (b) 1500 (c) 1600 (d) 1800 (e) 1900

19) Um ciclista percorre 120 km em 2 dias, dirigindo 3 horas por dia. Em quantos dias percorrerá

500 km viajando 5 horas por dia?


20) Vinte operários levam 10 dias para levantar um muro de 2 m de altura e 25 m de

comprimento. Quantos dias levarão 15 operários para construir um outro muro de 3 m de altura e

40 m de comprimento?


21) Numa fazenda 3 cavalos consomem 210 kg de alfafa durante 7 dias. Para alimentar 8 cavalos

durante 10 dias, quantos quilos de alfafa serão necessários?

(a) 500 kg (b) 400 kg (c) 700 kg (d) 800 kg (e) 600 kg

22) Se 10 máquinas funcionando 6 horas por dia durante 60 dias produzem 90000 peças, em

quantos dias 12 dessas máquinas funcionando 8 horas por dia produzirão 192000 peças?(a) 70 dias (b) 50 dias (c) 80 dias (d) 60 dias (e) 90 dias

23) Para asfaltar 1800 m de uma estrada, 15 operários utilizam 12 dias num regime de 10 horas

por dia. Quantos dias, num regime de 8 horas por dia serão necessários para que 32 operários

façam 6000 m de asfaltamento de uma estrada em condições idênticas?


24) Uma família composta por 6 pessoas consome em 2 dias, 3 kg de pão. Quantos quilogramas de

pão serão consumidos em 5 dias, estando 2 pessoas ausentes?

(a) 4 kg (b) 3 kg (c) 6 kg (d) 5 kg (e) 7 kg

25) Se 15 homens, trabalhando 8 horas por dia, cavaram um poço de 400 m3 em 10 dias, quantos

homens devem ser acrescentados para que em 15 dias, trabalhando 6 horas por dia cavem 600 m3?

(a) 4 (b) 5 (c) 6 (d) 3 (e) 7


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38

Gabarito

1) C 6) B 11) A 16) C 21) D

2) E 7) B 12) B 17) D 22) C

3) A 8) D 13) E 18) A 23) B

4) C 9) C 14) C 19) E 24) D

5) D 10) B 15) A 20) B 25) B

Seção 2.4

Porcentagem

Chama-se porcentagem ou percentagem a porção de um dado valor que se determina sabendo

o quanto corresponde a cada 100. O símbolo % foi criado a quatro séculos atrás por comerciantes

ingleses para significar a linguagem nas transações comerciais. Quando dizemos 30% de certo valor,

queremos dizer que em cada 100 partes devemos tomar 30.

30% =10030

2.4.1. Elementos do cálculo percentual

1) Taxa. É o valor que representa a quantidade tomada em cada 100.

Exemplo: Calcule 25% de 700.

Solução. 700 - 100%x - 25%

175100

175001750010025700100

%25

%100700=⇒=⇒=⇒⋅=⋅⇒= x x x x

x

2) Percentagem. É o valor que representa a quantidade tomada da outra proporcionalmente auma taxa.


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39

Exemplo. Quanto por cento 30 é de 80?

Solução. 80 - 100%

30 - x

%5,3780%3000%30008030%10080%1003080 =⇒=⇒=⇒⋅=⋅⇒= x x x x

x

3) Principal . É o valor da grandeza da qual se calcula a percentagem.

Exemplo. Qual é o número cujos 6% corresponde a 360?

Solução. 6% - 360

100% - x

=⇒=⇒=⇒⋅=⋅⇒= x x x x x 6

360003600063601006

360

%100

%66000

Exercícios

1) Calcule e marque a alternativa correta.

I) 8% de 432

(a) 34,56 (b) 23,17 (c) 35,87 (d) 45,32 (e) 43,7

II) 6% de 18

(a) 10,8 (b) 8,6 (c) 1,08 (d) 6,4 (e) 9,2

III) 9% de 0,847

(a) 0,086 (b)0,065 (c) 0,048 (d) 0,74 (e) 0,076

2) Quantos por cento serão?

I) 17 de 340

(a) 0,5% (b) 5% (c) 50% (d) 15% (e) 25%

II) 30 de 120

(a) 30% (b) 25% (c) 2,5% (d) 0,25% (e) 0,3%


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40

III) 5 de 80

(a) 7,50% (b) 9,45% (c) 6,25% (d) 5,42% (e) 8,55%

3) Calcule o valor cujos:

I) 0,5% são 40

(a) 8000 (b) 7000 (c) 6000 (d) 4000 (e) 9000

II) 8% são 36

(a) 550 (b)650 (c) 350 (d) 750 (e )450

III) 12% são 38

(a) 216,66 (b) 116,66 (c) 516,66 (d) 416,66 (e) 316,66

4) Fiz uma compra por 5400 um e vendi por 6300 um. Que taxa percentual sobre o preço de custo

representa o lucro?

(a) 1,66% (b) 16,66% (c) 166% (d) 26,66% (e) 2,66%

5) Numa cidade a população adulta é de 18300 pessoas, 42% das quais são analfabetas. Quantos são

os adultos alfabetizados da cidade?(a) 12614 (b) 15614 (c) 8614 (d) 10614 (e) 25614

6) Em uma classe com 40 alunos, a percentagem de comparecimento certo dia foi de 90%. Quantos

alunos faltaram neste dia?

(a) 4 (b) 3 (c) 2 (d) 5 (e) 6

7) Em uma assembléia compareceram 108 dos 150 sócios. Qual foi a taxa percentual de ausências?

(a) 72% (b) 62% (c) 82% (d) 28% (e) 27%

8) Na compra de uma bicicleta, uma pessoa obteve um desconto de 4%. Qual era o preço da

bicicleta, sabendo-se que o desconto importou em 26 um? (R: 650)

(a) 450 (b) 350 (c) 650 (d) 550 (e) 750

9) Uma conta foi paga com atraso e sofreu uma multa de 3400 um correspondente a 10% do seu

valor. Qual era o valor da compra?(a) 340 (b) 34 (c) 34000 (d) 3400 (e)0,34


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41

10) Numa liquidação com 20% de desconto, uma pessoa pagou por uma mercadoria 5600 um.

Quanto custava a mercadoria?

(a) 700 (b) 4000 (c) 6000 (d) 8000 (e) 7000

11) O preço de uma televisão é 540 um. Se conseguir um desconto de 12% quanto pagarei por ela?

(a) 575,20 (b) 47,52 (c) 675,20 (d) 475,20 (e) 67,52

12) Num concurso em que participaram 15000 candidatos, a taxa de aprovação foi 64%. Quantos

candidatos foram reprovados?

(a) 540 (b) 4500 (c) 5400 (d) 960 (e) 9600

13) Ao comprar uma geladeira obtive um desconto de 25 um. Qual o preço, sabendo que o desconto

foi de 5%?

(a) 500 (b) 50 (c) 60 (d) 600 (e) 5000

14) Em uma turma de alunos que fizeram exames, o número de aprovações que atingiu 85% foi de

102 alunos, quantos fizeram o exame?

(a) 160 (b) 14 (c) 12 (d) 120 (e) 140

15) Sobre uma compra de $10500 u.m. foi feito um desconto de $ 840 u.m. Qual foi a taxa

percentual do desconto oferecido?

(a) 4% (b) 40% (c) 80% (d) 8% (e) 0,8%

Gabarito

1) I) a II) c III) e 6) a 11) d

2) I) b II) b III) c 7) d 12) c

3) I) a II) e III) e 8) c 13) a

4) b 9) c 14) d

5) d 10) e 15) d


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MÓDULO III


3.1. Critérios de arredondamento

3.2. Notação Científica

3.3. Conversão de unidades

Objetivos

Instrumentalizar o aluno para que possa, ao final deste módulo, utilizar corretamente critérios

de arredondamento, bem como transformar números em notação científica, além de realizar

conversões entre unidades do SI.

Seção 3.1

Critérios de arredondamento

a) Algarismos significativos

Imagine que você esteja realizando uma medida qualquer, como por exemplo, a medida de

uma barra. Observe que a menor divisão da régua utilizada na medição é de 1mm. Ao Tentar

expressar o resultado da medida, digamos entre 14,3 e 14,4cm, a fração de mm deverá ser avaliada,ou seja, acrescenta-se mm a 14,3cm se a medida estiver além da metade do cm, imaginando-se o

intervalo subdividido em 10 partes, assim teremos 14,35, onde 1,4 e o 3 foram obtidos através de

divisões inteiras da régua, ou eles são algarismos corretos. O 5 foi avaliado, isto é, você não tem

certeza sobre o seu valor, outra pessoa poderia avaliá-lo como sendo 4 ou 6, por exemplo.

Por isso, este algarismo avaliado é denominado algarismo duvidoso ou incerto.

Como observamos, uma medida deve figurar somente os algarismos corretos e o primeiro

avaliado. Esta maneira de proceder é adotada convencionalmente entre físicos, químicos, e em geralpor pessoas que realizam medidas.

Algarismos significativos de uma medida são os algarismos corretos e o primeiro algarismo

duvidoso

b) Critérios de arredondamento

1º) Quando o primeiro algarismo a ser abandonado for menor que 5 o último a permanecer não éalterado;


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43

Exemplo:

24,3 para inteiro = 24

2º) Quando o primeiro algarismo a ser arredondado for 5 seguido de zeros:

Se último algarismo a permanecer for ímpar, acrescenta-se de uma unidade

Se o último algarismo a permanecer for par, fica inalterado

Exemplos:



3º) Quando o algarismo a ser abandonado for maior que 5, acrescenta-se uma unidade no último

algarismo a permanecer.

Exemplo:

5,76 para décimos = 5,8

Seção 3.2

Notação científica

As potências de 10 são usadas para representar números muito grandes ou muito pequenos.

Geralmente esses números são escritos como produtos de dois fatores, onde um deles é uma potência

de 10 e o outro um número entre 0 e 10 ( ou seja de 1 a 9).

Em algumas calculadoras encontramos, por exemplo, uma tecla que transforma qualquer

número para notação científica e vice-versa: E F ↔ . Nestas calculadoras, procede-se como o

descrito a seguir.

Exemplo:

Escreva 32714 em notação científica.

Teclar Visor

32714 = E F ↔ 3.2714 04Para retornar 3.2714 04

= 32714.

Assim, 3.2714 04 em notação científica, corresponde a 3,2714××××104.


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Observação. Existem diferentes tipos de calculadoras. Algumas

utilizam o procedimento acima para escrever um número em notação

científica, outras, porém utilizam o modo Sci.

Exemplos: Convertendo os números abaixo para notação científica obtemos:

a) 3265 = 3,265 . 1000 = 3,265.103

b) 230000 = 2,3.100000 = 2,3.105 (deslocamento da vírgula para à direita = expoente positivo)

c) 0,0056 = 5,6. 0,001 = 5,6.10-3 (deslocamento da vírgula para à esquerda = expoente negativo)

Exercícios

1) Nas questões abaixo utilizando os critérios de arredondamento, marque os resultados que são

corretos com duas casas decimais.

a) ( ) 2,28 34 3 ≈ b) ( ) 82,163 ≈ c) ( ) 3.363 2 ≈

d) ( ) 554 4 = e) ( ) 89,25 23

≈ f) ( ) 43,51585

≈

g) ( ) 50,135

2

≈ h) ( ) 65,27 2

1

≈ i) ( ). 20,1355

8

≈

2) Marque os números que estão corretamente representados em notação científica.

a) ( ) 2300000000000 = 2,3.1012

b) ( ) 0,00045 =4,5.10-4

c) ( ) 0,00000032 =3,2.10-6

3) Escreva em notação científica os seguintes números.a) 2010000

b) 0,0005

c) 0,00000047

4) Adicione os radicais e encontre um resultado aproximado, arredondando-o para décimos

a) 637 +

b) 33234 −+


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45

5) Arredonde os valores a seguir conforme indicação entre parênteses.

a) 123, 05 (inteiro)

b) 14,25 (décimos)

c) 3,7535 (milésimos)

d) 58,34 (inteiro)

e) 25,678 (centésimos)

f) 132,5007 (décimos)

Gabarito

1) a) b) c) d) f) h)2) a) b)

3) a) 2,01.106 b) 5.10-4 c)4,7.10-7

4) a)10,6 b) 8,7

5) a) 123 b) 14,2 c) 3,754 d) 58 e)25,68 f) 132,6

Seção 3.3

Conversão de unidades

a) Unidades de medidas

A unidade de principal de comprimento é o metro, entretanto existem situações em que essa

unidade deixa de ser prática. Se queremos medir grandes extensões ela é muito pequena, por outro

lado se queremos medir extensões muito "pequenas", a unidade metro é muito "grande".

Os múltiplos e submúltiplos do metro são chamados de unidades secundárias de

comprimento. Na tabela abaixo vemos as unidades de comprimento, seus símbolos e o valor

correspondente em metro. Na tabela, cada unidade de comprimento corresponde a 10 vezes a

unidade do comprimento imediatamente inferior (à direita). Em conseqüência, cada unidade de

comprimento corresponde a 1 décimo da unidade imediatamente superior (à esquerda).

Quilômetro

km

Hectômetro

hm

Decâmetro

dam

Metro

m

Decímetro

dm

Centímetro

cm

Milímetro

mm

1000 m 100 m 10 m 1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m


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46

Regras Práticas:

• Para passar de uma unidade para outra imediatamente inferior devemos fazer uma multiplicação

por 10. Ex.: 1 m = 10 dm

• Para passar de uma unidade para outra imediatamente superior, devemos fazer uma divisão por

10. Ex.: 1 m = 0,1 dam

• Para passar de uma unidade para outra qualquer, basta aplicar sucessivas vezes uma das regras

anteriores. Ex.: 1 m = 100 cm 1 m = 0,001 km

Unidades de Área

km hm dam m dm cm mm

1x106 m2 1x104 m2 1x102 m2 1 m2 1x102 m2 1x104 m2 1x106 m2

Regras Práticas:


por 100. Ex.: 1 m2 = 100 dm2


100. Ex.: 1 m2 = 0,01 dam2


anteriores.

UNIDADES DE VOLUME

Quilômetro

cúbico

km3

Hectômetro

cúbico

hm3

Decâmetro

cúbico

dam3

Metro

cúbico

m3

Decímetro

cúbico

dm3

Centímetro

cúbico

cm3

Milímetro

cúbico

mm3

1x109 m3 1x106 m3 1x103 m3 1 m3 1x103 m3 1x106 m3 1x109 m3

Regras Práticas:


por 1000. Ex.: 1 m

3

= 1000 dm

3


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47


1000. Ex: 1 m3 = 0,001 dam3


anteriores.

Litro

O litro(l) é uma medida de volume muito comum e que corresponde a 1 dm 3.

1 litro = 0,001 m3 => 1 m3 = 1000 litros

1 litro = 1 dm3

1 litro = 1.000 cm3

1 litro = 1.000.000 mm3

Sistema Internacional de Unidades

O Sistema Internacional de Unidades é baseado em 6 unidades fundamentais. A unidade

fundamental de comprimento é o metro. Para cada unidade existem as unidades secundárias, que são

expressas através da adição de um prefixo ao nome correspondente à unidade principal, de acordocom a proporção da medida.

Unidades básicas

Grandeza Nome Símbolo

Comprimento metro m

Massa Quilograma kg

Tempo segundo s

Intensidade de corrente elétrica ampère A

Temperatura termodinâmica kelvin K

Quantidade de substância mol mol

Intensidade luminosa candela cd


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Unidades SI derivadas

As unidades SI derivadas são definidas de forma que sejam coerentes com as unidades

básicas e suplementares, a estas, são definidas por expressões algébricas sob a forma de produtos de

potências das unidades SI básicas e/ou suplementares com um fator numérico igual 1.

Várias destas unidades SI derivadas são expressas simplesmente a partir das unidades SI

básicas e suplementares. Outras receberam um nome especial e um símbolo particular.

Uma unidade SI derivada pode expressar-se de várias formas equivalentes utilizando, nome

de unidades básicas e suplementares, ou então nomes especiais de outras unidades SI derivadas, é

admitido o emprego preferencial de certas combinações ou de certos nomes especiais, com o fim de

facilitar a distinção entre grandezas que tenham as mesmas dimensões. Por exemplo, o hertz é

empregado para a freqüência, como preferência ao segundo a potência menos um, e para o momento

de força, é preferido o newton metro ao joule.

Unidades SI derivadas expressas a partir de unidades básicas e suplementares

Grandezas Nome Símbolo

Superfície metro quadrado m

Volume metro cúbico m

Velocidade metro por segundo m/s

Aceleração metro por segundo ao quadrado m/s

Número de ondas metro a potência menos um m-

Massa por volume Quilograma por metro cúbico kg/m

Velocidade angular radiano por segundo rad/s

Aceleração angular radiano por segundo ao quadrado rad/s


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Exercícios

1) Quantos metros quadrados contém um quilômetro quadrado?

2) Transforme conforme indicado abaixo:

a) 8,351 m para dm b) 11,2 cm para mm c) 457mm para cm

d) 25 cm3 para dm3 e) 2m3 para dm3 f) 8,37dm2 para mm2

g) 3,1416m2 para cm2 h) 2,14m2 para dam2

3) O intervalo de tempo de 2,4 minutos equivale, no Sistema Internacional de unidades (SI), a:

a) 24 segundos b) 124 segundos c) 144 segundos e) 240 segundos.

Gabarito

1) Um quilômetro quadrado possui 1.000.000 m2

2) a) 83,51 dm b) 112 mm c) 45,7cm d) 0,025dm3

e) 2000dm3 f) 83700mm2 g) 31416cm2 h) 0,0214dam2

3) letra c


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MÓDULO IV


4.1. Equações exponenciais4.2. Logaritmos

Objetivos

Que ao final deste módulo o aluno seja capaz de resolver equações exponenciais de mesma

base e bases diferentes, bem como, operar com logaritmos.

Seção 4.1 Equações exponenciais

a) Potência

Seja a um número real e n um expoente numérico. A potência de base a e expoente n é o

número “an” tal que valem as propriedades a seguir.

1) a0 = 1 para 0a ≠ Exemplo. 150 =

2) am. an = am+n Exemplo. 53232 . x x x x == +

3) nmn

m

aa

a −= , a ≠ 0 Exemplo. x x x

x== −34

3

4

4) (a.b)n = an.bn Exemplo. 222)( y x y x ⋅=⋅

5) 0, ≠=

b

b

a

b

an

nn

Exemplo. 3

33

y

x

y

x=

6) (am)n = am.n Exemplo. 63.232 )( x x x ==

7) a-n =na

1, a ≠ 0 Exemplo.

33 1

x x =−

8)q pq p aa = Exemplo. 7 47

4

x x =


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51

b) Equação Exponencial

As equações que apresentam incógnita como expoente são chamadas de “equações

exponenciais”. É possível transformar (através das propriedades nomeadas acima) algumas equações

exponenciais em outras equivalentes que possuam, nos dois membros, potências de mesma base(maior que zero e diferente de 1).

Portanto, para resolver equações exponenciais, basta

reduzir ambos os membros da igualdade a uma

mesma base e então, basta igualar os expoentes para

recair numa equação comum.

Exemplos:

1) 813 = x

Solução:

Fatorando o número 81, obtemos que 4381 = . Logo, podemos escrever: 433 = x

Como obtivemos uma equação, equivalente a primeira, que apresenta bases iguais, podemos

então afirmar que: 4= x

2) 162 3 =− x Solução:

Da mesma forma que o exemplo anterior, fatoramos o número 16 e obtemos que 4216 = .

Portanto, escrevemos então:

7

43

22 43

=

=−

=−

x

x

x

3) 31 279 −+ = x x

Solução:

Neste caso devemos fatorar tanto a base 9 como a base 27, onde encontraremos: 239 = e de

modo semelhante 3327 = . Assim, podemos escrever então:

( ) ( ) 3312 33 −+ = x x

Utilizando na equação resultante a propriedade número 6, escrevemos: 9322 33 −+ = x x .

Obtendo assim que:


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52

11

11

2932

9322

=

−=−

−−=−

−=+

x

x

x x

x x

4)81

16

2

3=

x

Solução:

Fatoramos os valores 16 e 81, obtendo dessa forma que 4216 = ; 4381 = e portanto,

4

4

4

3

2

3

2

81

16

== .

Dessa forma na equação podemos escrever:

4

3

2

2

3

=

x

Logo a seguir, utilizando a propriedade de número 7, podemos escrever

42

3

2

34

−=⇒

=

−

x

x

5) 3)4()2( x x x =

Solução:

Utilizando a propriedade de número 6, podemos inicialmente escrever: x x 3422

=

Logo a seguir fatoramos a base 4, onde obtemos: 224 = , podendo então escrever a equação

da seguinte forma: x x 32 )2(22

=

Novamente pela propriedade número 6 podemos escrever;

x x 622 2 =

Como temos então bases iguais, a equação pode finalmente ser escrita da forma:

6006

62

2

==⇒=−

=

xou x x x

x x

6) 15 3 =− x

Solução:

Pela propriedade de número 1, a equação acima pode ser escrita da seguinte forma: 03 55 =− x .


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53

Obtendo assim uma equação exponencial de mesma base, onde podemos imediatamente

igualar os expoentes, ou seja:

3

03

=

=−

x

x

7) 273 = x

Solução:

Em primeiro lugar devemos fatorar a base 27, onde encontramos que 3327 = . Logo a seguir

escrevemos então a equação da seguinte forma; 333 = x

Levando em conta a propriedade de número 8, imediatamente podemos escrever: 23

33 = x

Obtendo assim, uma equação exponencial de mesma base, onde podemos imediatamente

igualar os expoentes, ou seja:

2

3= x

Exercícios

Resolva as equações a seguir e marque as alternativas corretas:

Questão 01

162 = x (a) x = -4 (b) x = 4 (c) x = -2 (d) x = 2 (e) x = 1

Questão 02

8

12 = x (a) x = 3 (b)

21x = (c)

31x = (d) x = -3 (e) x = 4

Questão 03

4

12 3 =− x (a) x = -1 (b) x = 0 (c) x = 2 (d) x = 32 (e) x = 1

Questão 04

82 = x (a)2

3= x (b)3

2= x (c)2

3−= x (d)3

2−= x (e)2

1= x


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54

Questão 05

17 32 =− x (a) 32= x (b) 3

2−= x (c) 23= x (d) 2

3−= x (e) 21−= x

Questão 06 2733 5 =− x (a) x = 16 (b) x = -14 (c) x = -16 (d) x = 8 (e) x = 14

Questão 07

23 332 −− = x x (a) 12 −== xou x (b) 12 == xou x (c) 12 =−= xou x

(d) 10 == xou x (e) 02 == xou x

Questão 08

12 432

=−− x x (a) 14 −== xou x (b) 14 −=−= xou x (c) 14 == xou x

(d) 04 == xou x (e) 10 −== xou x

Questão 09

642 1 =+ x (a) x = -5 (b) x = 1 (c) x = -1 (d) x = 5 (e) x = 10

Questão 10

749 1 =− x (a) 23= x (b) 3

2−= x (c) 23−= x (d) x = 0 (e) 3

2= x

Gabarito

1) B 2)D 3)E 4) A 5) C

6) E 7) B 8) A 9) D 10) A


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55

Seção 4.2

Logaritmos

Além do seu emprego generalizado para tornar possíveis operações aritméticas complicadas,os logaritmos, juntamente com as exponenciais, revelam-se possuidores de notáveis propriedades,

que as qualificam como modelos ideais para certos fenômenos de variação, nos quais a grandeza

estudada aumenta (ou diminui) com taxa de variação proporcional à quantidade daquela grandeza

existente no momento dado. Exemplo deste tipo de variação, (chama-se variação exponencial) é um

capital empregado a juros contínuos (crescimento). Inúmeras outras situações desta natureza existem,

em quantidade e importância suficientes para justificar a presença das funções exponenciais e

logarítmicas na matemática, nas Ciências e na Tecnologia.A escala Richter é uma escala logarítmica de medição da energia liberada pelos terremotos

sob a forma de ondas que se propagam pela crosta terrestre. Nela, é utilizado o logaritmo decimal. O

logaritmo decimal é também utilizado, na Física, na definição da intensidade auditiva ou nível

sonoro. Na Astronomia, o brilho das estrelas é também medido por uma escala logarítmica. Na

biologia descreve o crescimento populacional de certo tipo de bactérias, assim como em outras áreas

do conhecimento.

Definição:

Considere “b” e “a” números reais positivos, com a ≠ 1, ou seja:

>≠

>

01

0

aea

b

Definimos: bacb ca =⇔=log .

A esse expoente “c” damos o nome de logaritmo de “b” na base “a”, onde: “b” é oantilogaritmo (ou logaritmando), “a” é a base e “c” é o logaritmo.

Nomenclatura:

b = antilogaritmo (ou logaritmando),

a = base,

c = logaritmo.


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Exemplos:

1) 8log2

→ logaritmo de oito na base 2

2) 81log3

→ logaritmo de oitenta e um na base três

OBS:

a) Quando a base é 10 omite-se a base, ou seja, ao invés de 8log10 , escrevemos apenas 8log .

b) Quando a base é o número “e” (“e” é um número irracional aproximadamente igual a

2,718281828459045... - chamado Número de Euler)., ao invés de escrevermos 10loge , escrevemos

10ln .

Exemplos:

1) Calcule o valor indicado em cada item.

a) 8log2

Solução:

Como queremos calcular o valor de 8log2

, escrevemos inicialmente que x=8log2

Portanto, estamos chamando o 8log2

de x, e nosso trabalho, consiste então em encontrar o

valor desse “ x”. Logo a seguir, utilizando a definição de logaritmo podemos escrever: 82 = x

Dessa forma, nosso trabalho então se restringe a resolver a equação exponencial

resultante,3

22 3

=

=

x

x

Ou seja, em x=8log2

, como encontramos que x = 3, portanto escrevemos: 38log2

=

b) log 25

SoluçãoComo queremos calcular o valor de 25log , escrevemos inicialmente que x=25log

Na situação apresentada, nosso trabalho consiste em determinar o logaritmo decimal do valor

25. Neste caso utilizaremos uma calculadora científica que nos fornecerá imediatamente o valor

pedido, da seguinte forma:

Digitar: 25 log

Ler no visor: 397940009.1

Portanto podemos dizer que “aproximadamente” o valor de log 25 é 1,39794, ou seja:39794,125log ≅


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c) ln 75

Solução:

Como queremos calcular o valor de 75ln , escrevemos inicialmente que x=75ln

Na situação apresentada, nosso trabalho consiste em determinar o logaritmo “natural” (ou“neperiano”) do valor 75. Neste caso utilizaremos uma calculadora científica que nos fornecerá

imediatamente o valor pedido, da seguinte forma:

Digitar: 75 ln

Ler no visor: 317488114.4

Portanto podemos dizer que “aproximadamente” o valor de ln 75 é 4,31748, ou seja:

31748,475ln ≅

2) Calcule o valor dos antilogaritmos (ou logaritmandos) nas expressões.

a) 4log3

= x

Solução:

Utilizando a definição de logaritmo podemos escrever: x=43

Calculando a potência indicada encontramos que: x = 81

Portanto podemos dizer que o valor de x na expressão 4log3 = x é 81, ou seja:

814log3 =⇒= x x

b) 456,2log = x

Solução:

A expressão indica que o logaritmo utilizado é o logaritmo decimal, ou seja, a base que não

aparece escrita é a base dez, assim poderíamos escrever a expressão da seguinte maneira:

456,2log10 = x

Logo a seguir utilizamos a definição de logaritmo e escrevemos: x=456,210

Utilizando a calculadora científica, calculamos a potência indicada, ou seja;

7590543.285= x

Portanto podemos dizer que “aproximadamente” o valor de x na expressão 456,2log = x é

285,759, ou seja:

759,285456,2log ≅⇒= x x


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c) 743,0ln = x

Solução:

A expressão indica que o logaritmo utilizado é o logaritmo natural (ou neperiano), ou seja, a

base que não aparece escrita é o número “e”, assim poderíamos escrever a expressão da seguintemaneira: 743,0log = xe

Logo a seguir utilizamos a definição de logaritmo e escrevemos: xe =743,0

Utilizando a calculadora científica, calculamos a potência indicada, ou seja; 102232762.2= x

Portanto podemos dizer que “aproximadamente” o valor de x na expressão 743,0ln = x é 2,1022, ou

seja: 1022,2743,0ln ≅⇒= x x

Exercícios

1) Calcule o valor dos logaritmos a seguir e marque a alternativa correta:

Questão 01

4log2

(a) 2 (b) 4 (c) -2 (d) 8 (e) 6

Questão 02

25log5

(a) -2 (b) 4 (c) 2 (d) 0 (e) 1

Questão 03

4log4

(a) 0 (b) 2 (c) 3 (d) 4 (e) 1

Questão 04

2log2

(a)3

1 (b) 2 (c) -1 (d)2

1− (e)2

1

Questão 05

81log3

(a) -4 (b) 4 (c)31 (d) 1 (e)

21

Questão 06

76log (a) 0,88 (b) 2,88 (c) 1,88 (d) 3,88 (e) 4,88


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Questão 07

6ln (a) 0,79 (b) -0,79 (c) -1,79 (d) 1,79 (e) 0

2) Calcule o valor de “x” (antilogaritmo) nas expressões a seguir.Questão 01

ln x = 0 (a) 3 (b) -1 (c) 1 (d) 0 (e) 2

Questão 02

log x = 3,30103 (a) 2 (b) 20000 (c) 20 (d) 200 (e) 2000

Questão 03

log x = 1 (a) 100 (b) 10 (c) 1 (d) -10 (e) -100

Questão 04

log x = 2,69897 (a) 5 (b) 500 (c) 0,5 (d) 5000 (e) 50000

Questão 05

5log2

= x (a) 32 (b) 64 (c) 16 (d) 8 (e) 128

Questão 06

ln x = 0,269 (a) 3,31 (b) 2,31 (c) 0,31 (d) 1,31 (e) 4,31

3) Calcule o valor de cada expressão a seguir.

Questão 01

1log8log10log92

−+=S (a) 1,5 (b) 3,5 (c) 2,5 (d) 0 (e) 4,5

Questão 02

32log64log12ln42

−+=S (a) 4,98 (b) -5,98 (c) 3,98 (d) 2,98 e) 5,98


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Gabarito

1) Questão 1: a

Questão 2: cQuestão 3: e

Questão 4: e

Questão 5: b

Questão 6: c

Questão 7: d

2) Questão 1: c

Questão 2: eQuestão 3: b

Questão 4: b

Questão 5: a

Questão 6: d

3) Questão 1: c

Questão 2: e

Conseqüências da definição

São propriedades que decorrem imediatamente da definição de logaritmo (considerando que

01;0 >≠> aeab ).

1) 1log =aa , ou seja, “o logaritmo de um número numa base que é esse mesmo número é

igual a 1”.

Facilmente mostramos o que está posto nesta conseqüência, ou seja, vamos calcular o valor de

aalog . Para isso diremos que xaa =log , a seguir usando a definição de logaritmo escrevemos:1log 1 =⇒=⇒=⇒= xaaaa xa x xa

Portanto, temos imediatamente da definição que 1log =aa

2) 01log =a , ou seja, “o logaritmo da unidade em qualquer base a é igual a 0”.

Também podemos mostrar facilmente o que está posto nesta conseqüência, ou seja, vamos

calcular o valor de 1log a através da aplicação da definição de logaritmo, ou seja, diremos que:

011log 0 =⇒=⇒=⇒= xaaa x x xa

Portanto, temos imediatamente da definição que 01log =a

3) ba ba =

log, ou seja, “a potência da base a e expoente balog é igual a b”.


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Para mostrarmos esta conseqüência chamamos inicialmente xba =log . Nesta expressão

aplicando a definição de logaritmo temos: ba xb xa =⇔=log . Portanto em a balog , substituindo

balog por x, teremos imediatamente: xb

aa a =

log

Mas, sabemos da definição de logaritmo que ba x = , assim então, podemos finalmente

escrever: ba xb

a a ==

log.

Portanto temos imediatamente da definição que: ba ba =

log

4) cbca

ba

=⇔= loglog , ou seja, “dois logaritmos em uma mesma base são iguais se,

e somente se, os antilogaritmos são iguais.Para mostrarmos esta conseqüência da definição aplicamos na igualdade a definição de

logaritmo, ou seja, bca

ba a

ca =⇔=log

loglog

Da conseqüência de número três temos que ca ca =

log, portanto teremos que:

bc

b

ca

ba

a ca

=

=

=

log

loglog

Mudança de base

Há ocasiões em que logaritmos em bases diferentes precisam ser convertidos para uma única

base conveniente, por exemplo, na resolução de cálculos com a calculadora científica podemos

utilizar duas bases: a base 10 (log) e a base e (ln). Para realizarmos a mudança da base a para uma

base qualquer c realizamos a seguinte operação:

a

bb

c

ca log

loglog =

Exemplo 1:

3log

81log81log3 = (mudança da base 3 para base 10)

477121254,0

908485019,181log 3 =

481log3 =

8/18/2019 Niv

nivelamento em matemática

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