ciclo trigonometrico
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P R O F E S S O R A T E L M A C A S T R O S I LVA
CICLO TRIGONOMÉTRICO
Medidas de Arcos
As unidades mais usadas são o grau (°) e o radiano (rad).
Grau: é quando dividimos uma circunferência em 360 partes congruentes, sendo cada uma dessas partes correspondentes a um arco de um grau (1o).
r
Radiano: um arco de um radiano ( 1rad ) é um arco cujo comprimento é igual ao do raio da circunferência que o contém.
•r
1 rad
6,28 rad ou2π rad
Comprimento do arco igual à medida do raio
Relembrando: o comprimento da circunferência mede 2πr onde r é o raio.
• ≅ 0,28 rad
360° 2π rad
180° π rad
90° π/2 rad
Transformação de graus para radianos
Exemplo: Quantos radianos correspondem a 540°?
540° x rad
Circunferência Trigonométrica
Consideremos uma circunferência de raio unitário (r = 1), cujo centro coincide com a origem de um sistema cartesiano ortogonal.
•0 ••
••
1
1
–1
–1
•0 ••
••
1
1
–1
–1
A
• Se um arco for medido no sentido horário, então a essa medida será atribuído o sinal negativo (-).
• Se um arco for medido no sentido anti-horário, então a essa medida será atribuído o sinal positivo (+).
O ponto A (1 , 0) é a origem de todos os
arcos a serem medidos na circunferência.
⊖⊕ •
•0 ••
••
1
1
–1
–1
A
Os eixos coordenados dividem o plano cartesiano em quatro regiões chamadas quadrantes; esses quadrantes são contados no sentido anti-horário, a partir do ponto A.
Como a circunferência tem 360° ou 2π rad, cada um desses arcos medem 90° ou π/2 rad.
•1° Q2° Q
3° Q 4° Q
Se temos um arco de origem A e extremidade B, ele pode assumir infinitos valores, dependendo do número de voltas no sentido anti-horário (+), ou no sentido horário (–).
π/2 rad
π rad
3π/2 rad
0 rad0••
••
•2π rad
–π/2 rad
–π rad
–π/2 rad
–2π rad0•
••
••0 rad
Sentido POSITIVO ou anti-horário
Sentido NEGATIVO ou horário
A
B
A
B
π/2 rad = 90°
π rad = 180°
3π/2 rad = 270°
0 rad = 0°0•
••
••2π rad = 360°
5π/2 rad = 450°
3π rad = 540°
7π/2 rad = 630°
4π rad = 720°
Infinitos valores
cos α
Seno e Cosseno na Circunferência Trigonométrica
Dado um arco trigonométrico AM de medida α, chama-se de cosseno de α a abscissa do ponto M e seno de α a ordenada do ponto M.
••
••
AαM•
•sen α
Sendo M o ponto de coordenadas (cos α, sen α), consideraremos o eixo horizontal como Eixo dos Cossenos e o eixo vertical como Eixo dos Senos.
cos α ••
••
AαM•
•sen α cos
sen
••
r = 1 •( 1 , 0 )
•( 0 , 1 )
•(–1 , 0 )
•( 0 , –1 )
180° ou π rad
0° ou 0 rad
90° ou π/2 rad
270° ou 3π/2 rad
360° ou 2π rad
sen
cos
Ponto Arco Cosseno Seno( 1 , 0 )( 0 , 1 )(–1 , 0 )( 0 , –1 )( 1 , 0 )
Arco0π/2π
3π/22π
Cosseno10
–1 01
Seno010
–1 0
Complete:
1
0
1
0
0
0
ExercícioConverta de graus para radianos:
a) 30° = _____
30° x rad180° π rad
b) 45° = _____ c) 60° = _____
•
sen
cos
30° ou π/6•
•
sen
cos
45° ou π/4•
•
sen
cos
60° ou π/3•
sen
cos
30° ou π/6••
•210° ou 7π/6
150° ou 5π/6
sen
cos
30° ou π/6••
•210° ou 7π/6
•
150° ou 5π/6
sen
cos
30° ou π/6•
210° ou 7π/6•
•
••
330° ou 11π/6
π/6 π – π/6 = 5π/6
π + π/6 = 7π/6
2π – π/6 = 11π/6
sen
cos
1º Q 2º Q 3º Q 4º Q
0 π/2 π 3π/2 2πsen
cos
Agora vamos fazer o mesmo para todos os arcos associados a π/4 e π /6
π/4
sen
cos
1º Q 2º Q 3º Q 4º Qπ – π/4 = 3π/4
π + π/4 = 5π/4
2π – π/4 = 7π/4
•
sen
cos
45° ou (π/4) rad•0° ou 0 rad180° ou π rad
•• •
180° – 45° = 135°ou π – π/4 = (3π /4) rad
180° + 45° = 225°ou π + π/4 = (5π /4) rad
360° ou 2π rad
360° – 45° = 315°ou 2π – π/4 = (7π /4) rad
•
sen
cos
••• •
•
sen
cos
(π/4) rad••• •
(3π /4) rad
(5π /4) rad (7π /4) rad
π/4
sen
cos
1º Q 2º Q 3º Q 4º Qπ – π/4 = 3π/4
π + π/4 = 5π/4
2π – π/4 = 7π/4
π/3
sen
cos
1º Q 2º Q 3º Q 4º Qπ – π/3 = 2π/3
π + π/3 = 4π/3
2π – π/3 = 5π/3
•
sen
cos
60° ou (π/3) rad••
••
0° ou 0 rad180° ou π rad360° ou 2π rad
180° – 60° = 120°ou π – π/3 = (2π /3) rad
180° + 60° = 240°ou π + π/3 = (4π /3) rad
360° – 60° = 300°ou 2π – π/3 = (5π /3) rad
•
sen
cos
••
••
•
sen
cos
60°••
••
120°
240° 300°
π/3
sen
cos
1º Q 2º Q 3º Q 4º Qπ – π/3 = 2π/3
π + π/3 = 4π/3
2π – π/3 = 5π/3
0
Tangente na Circunferência Trigonométrica
Seja t a reta perpendicular ao eixo das abscissas pelo ponto A.
••
••
Aαt
O prolongamento do raio 0M intercepta a reta t no ponto T.
••T
•MA’
B’
B
Chamaremos a reta t de eixo das tangentes, assim:Dado um arco trigonométrico AM, M ≠ B e M ≠ B’, de medida α, chama-se tangente de α (tg α) a ordenada do ponto T obtido pela intersecção do prolongamento do raio 0M com o eixo das tangentes.
0
••
•Aαt
••T
•M•A’
B’
Btg α
OBS: O ponto M não pode coincidir com B, nem com B’, pois os prolongamentos dos raios 0B e 0B’, não interceptam o eixo das tangentes. Por isso dizemos que não existe tangente de um arco com extremidade em B ou B’.
0
••
•Aαt
••T
•M•A’
B’
Btg α
30º ou (π/6) rad
45º ou (π/4) rad
60º ou (π/3) rad
sencostg
1
2
1
2
1
2
3
2
3
3
33
2
2
2
2
Tabela das principais razões trigonométricas
•
sen
cos30° ou π/6
•
tg
T
•
sen
cos45° ou π/4
•tg
T
1
•
sen
cos60° ou π/3
•
tg T
Variação do sinal da tangente
Sabemos que no triângulo retângulo ABC, temos:
c
btg
b
A B
C
αa
c
a
bsen
a
ccos
Vamos calcular o seguinte quociente:
cos
sen
ac
ab
c
a
a
b
c
b tg
sen
⊕⊕⊖ ⊖ cos⊕⊕⊖⊖
tg
⊕⊕⊖ ⊖Lembre-se que ⊕/⊕ = ⊕, ⊖/⊖ = ⊕, ⊕/⊖ = ⊖/⊕ = ⊖
π/6 π – π/6 = 5π/6
π + π/6 = 7π/6
2π – π/6 = 11π/6
sen
cos
1º Q 2º Q 3º Q 4º Q
tg
π/4
sen
cos
1º Q 2º Q 3º Q 4º Qπ – π/4 = 3π/4
π + π/4 = 5π/4
2π – π/4 = 7π/4
tg 1 1–1 –1
π/3
sen
cos
1º Q 2º Q 3º Q 4º Qπ – π/3 = 2π/3
π + π/3 = 4π/3
2π – π/3 = 5π/3
tg
0 π/2 π 3π/2 2πsen
cos
Agora, muita atenção!
tg 0 0 0∞ ∞A divisão por zero não é definida em Matemática, mas podemos considerar aqui que os prolongamentos dos raios nos arcos π/2 e 3π/2 resultariam em paralelas ao eixo das tangentes e, como sabemos, define-se que retas paralelas se “encontram” no infinito.
••
sen
cos30° ou π/6
•
tg
T
Exemplos:
330° ou 11π/6
T’
sen
cos45° ou π/4
•tg
T
1
••
135° ou 5π/4
•
sen
cos60° ou π/3
•tg T
•120° ou 2π/3
ISERJ – 2011
Fonte: Trabalho da Professora Gertrudes , PUC-RS