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autora

DENISE CANDAL REIS FERNANDES

1ª edição

SESES

rio de janeiro 2015

FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA

Conselho editorial solange moura; roberto paes; gladis linhares

Autora do original denise candal reis fernandes

Projeto editorial roberto paes

Coordenação de produção gladis linhares

Projeto gráfico paulo vitor bastos

Diagramação bfs media

Revisão de conteúdo vinícius akira

Imagem de capa peshkova | dreamstime.com

Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida

por quaisquer meios (eletrônico ou mecânico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em

qualquer sistema ou banco de dados sem permissão escrita da Editora. Copyright seses, 2015.

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (cip)

C216f Candal, Denise

Fundamentos de Matemática / Denise Candal

Rio de Janeiro : SESES, 2015.

240 p. : il.

isbn: 978-85-5548-113-0

1. Álgebra. 2. Aritmética. 3. A Função. I. SESES. II. Estácio.

cdd 510.7

Diretoria de Ensino — Fábrica de Conhecimento

Rua do Bispo, 83, bloco F, Campus João Uchôa

Rio Comprido — Rio de Janeiro — rj — cep 20261-063

Sumário

1. Conjuntos 9

Objetivos 10

1.1 Introdução 11

1.2 Conceitos primitivos (não-definidos) – conjunto e elemento 11

1.3 Representação de um conjunto 13

1.3.1 Representação tabular ou por enumeração 14

1.3.2 Representação através de diagramas de Venn 15

1.3.3 Representação através de uma propriedade 16

1.4 Relação de pertinência 17

1.5 Tipos de conjuntos 18

1.5.1 Conjunto unitário 18

1.5.2 Conjunto vazio 18

1.5.3 Conjunto finito 19

1.5.4 Conjunto infinito 20

1.5.5 Conjuntos Iguais 20

1.5.6 Conjuntos Diferentes. 20

1.5.7 Conjunto Universo (U) 21

1.5.8 Conjuntos Disjuntos 22

1.6 Subconjunto 22

1.6.1 Conceito 22

1.6.2 Definição formal. 23

1.6.3 Propriedades 24

1.7 Conjunto cujos elementos são conjuntos 25

1.8 Conjunto das partes de um conjunto 25

1.9 Operações com conjuntos 27

1.9.1 Número de elementos de um conjunto 27

1.9.2 Interseção de conjuntos (∩) 27

1.9.3 União (ou reunião) de conjuntos (∪) 28

1.9.4 Diferença de conjuntos (–) 30

1.9.5 Conjunto complementar (C) 32

1.9.6 Número de elementos da união de conjuntos 33

1.9.7 Propriedades das Operações entre Conjuntos 34

1.10 Conjuntos numéricos 42

1.11 Números naturais 42

1.11.1 Conceito 42

1.11.2 Propriedades do conjunto dos números naturais 43

1.11.3 Operações sobre o conjunto dos números naturais. 43

1.11.4 Propriedade das operações sobre o

conjunto dos números naturais 44

1.12 Números inteiros 45

1.12.1 Conceito 45

1.12.2 Subconjuntos de destaque 46

1.12.3 Operando em Z 47

1.13 números racionais 48

1.13.1 Conceito 48

1.13.2 Propriedades dos números racionais. 48

1.13.3 Frações 49

1.13.4 Forma fracionária e forma decimal. 49

1.14 Números irracionais 50

1.14.1 Conceito 50

1.14.2 Exemplos de números irracionais 51

1.15 Números reais 51

1.15.1 Propriedades dos Números Reais 52

1.15.2 Intervalos Numéricos 52

1.15.3 Centro e raio de um intervalo 53

1.15.4 Formas de representação numérica 53

1.15.5 Simplificação de frações 54

1.15.6 Redução de frações nas operações de adição e

subtração através do MMC 54

1.15.7 Regra de sinais 55

1.15.8 Operações numéricas 56

1.15.9 Precedência dos operadores 56

1.15.10 Técnicas de arredondamento (de acordo com o IBGE) 56

Referências bibliográficas 58

2. Conceitos Fundamentais De Álgebra e Aritmética 59

objetivos 60

2.1 Radiciação e potenciação 61

2.2 Potência de expoente natural 61

2.2.1 Conceito 61


2.3 Potência de expoente inteiro negativo 63

2.4 Raíz enésima e expoentes racionais 63

2.4.1 Conceito 63

2.4.2 Índice n é um número natural ímpar, n ≥ 1 64

2.4.3 Índice n é um número natural par, n ≥ 2 64


2.5 Potência de expoente racional 66

2.6 Expressões algébricas 72

2.6.1 Conceito 72

2.6.2 Valor numérico de uma expressão algébrica 72

2.6.3 Monômio ou termo algébrico. 72

2.6.4 Polinômios 74

2.7 Produtos notáveis 76

2.8 Fatoração de expressões algébricas 77

2.8.1 Conceito. 77

2.8.2 Fator comum em evidência 77

2.8.3 Agrupamento 78

2.8.4 Trinômio quadrado perfeito 78

2.8.5 Diferença de dois quadrados 78

2.9 Razão e proporção 79

2.10 Razão 79

2.11 Proporção 81

2.11.1 Conceito 81

2.11.2 Algumas propriedades das proporções 81

2.12 Grandezas direta e inversamente proporcionais 86

2.12.1 Grandezas Diretamente Proporcionais 86

2.12.2 Grandezas Inversamente Proporcionais 87

2.13 Regra de três simples 87

2.13.1 Conceito 87

2.13.2 Procedimento 87

2.14 Regra de três composta 90

2.14.1 Conceito 90

2.14.2 Procedimento 91

2.15 Porcentagem 93

2.16 Operações com porcentagem 97

Gabarito 100


3. Introdução ao Estudo de Função 103

objetivos 104

3.1 Plano cartesiano 105

3.1.1 Conceito 105

3.1.2 Coordenadas de um ponto no plano cartesiano 105

3.1.3 Propriedade fundamental dos pares ordenados 108

3.1.4 Escalas dos Eixos 108

3.1.5 Aplicações do Plano Cartesiano 109

3.1.6 Produto cartesiano 110

3.2 Relações 110

3.2.1 Introdução 110

3.2.2 Conceito 112

3.2.3 Conjunto de Partida e Contradomínio ou Conjunto de Chegada 112

3.2.4 Domínio 112

3.2.5 Imagem 113

3.3 Função 114


3.3.2 Variável Independente 115

3.3.3 Variável Dependente 115

3.3.4 Função Real de Variável Real 116

3.3.5 Domínio e Imagem 116

3.3.6 Valor de uma Função num Ponto 117

3.3.7 Gráfico de uma Função 117

3.3.8 Imagem de um elemento através do diagrama de flechas 118

3.3.9 Imagem de um elemento através da regra y = f(x) 119

capítulo • 7

3.3.10 Imagem de um elemento através do gráfico de uma função 119

3.3.11 Reconhecimento de uma função através de seu gráfico 120

3.3.12 Função Crescente 120

3.3.13 Função Decrescente 121

3.3.14 Função Constante 121

4. Funções de Primeiro Grau e de Segundo Grau 131

Objetivos 132

4.1 Função afim ou polinomial do primeiro grau 133


4.2 Definição 133

4.3 Casos particulares de uma função afim 134

4.4 Determinação de uma função afim a partir de duas coordenadas 136

4.5 Gráfico de uma função afim 137

4.6 Interseção do gráfico de uma função afim com o eixo x 138

4.7 Intersecção do gráfico de uma função afim com o eixo y 139

4.8 Coeficientes angular e linear de uma função afim 140

4.9 Função afim crescente e decrescente 142

4.10 Estudo do sinal de uma função afim 143

4.11 Função quadrática ou polinomial de segundo grau 162


4.12 Gráfico de uma função quadrática 163

4.13 Concavidade 163

4.14 Raízes ou zeros 164

4.15 Interseção com o eixo y 168

4.16 Máximo e mínimo 168

4.17 Vértice 171

4.18 Imagem 173

4.19 Soma e produto das raízes 175

4.20 Construção do gráfico de uma função de segundo grau 177

4.21 Estudo dos sinais da função quadrática 178


8 • capítulo

5. Função Exponencial e Funções Logarítmicas 189

Objetivos 190

5.1 Função exponencial 191


5.2 Definição 191

5.3 Gráfico de uma função exponencial 192

5.4 Equação exponencial 196

5.5 Inequação exponencial 200

5.6 Logaritmos e funções logarítmicas 210


5.7 Logaritmo 210

5.8 Definição 210

5.9 Propriedades imediatas dos logaritmos 211

5.10 Propriedades com operações de logaritmos 213

5.11 Sistemas de logaritmos na base a 217

5.12 Função logaritmica 219

5.13 Gráfico de uma função logaritmica 219

5.14 Equação logaritmica 225

5.15 Inequação logaritmica 227


Conjuntos

1

10 • capítulo 1

OBJETIVOS

• Descrever e representar conjuntos.

• Estabelecer a relação de pertinência ou não entre um elemento e um conjunto.

• Estabelecer a relação de inclusão ou não entre dois conjuntos.

• Resolver problemas envolvendo conjuntos e operações.

• Determinar o conjunto das partes de um conjunto.

• Determinar a união, interseção, diferença entre conjuntos.


• Resolver problemas envolvendo Diagrama de Venn.


• Reconhecer os diversos tipos de intervalos de números reais;

• Representar e reconhecer subconjuntos de números reais na forma de intervalos;

• Operar com os diversos tipos de intervalos.

capítulo 1 • 11

1.1 Introdução

O matemático russo George Cantor (1845-1918) desenvolveu e introduziu as

ideias básicas da Teoria dos Conjuntos no fim do Século XIX. Esta teoria, que

trata do estudo das propriedades dos conjuntos, relações entre conjuntos e re-

lações entre os elementos e o próprio conjunto, foi responsável pela influência

e enriquecimento de diversos ramos da Matemática e de outras Ciências.

1.2 Conceitos primitivos (não-definidos) – conjunto e elemento

As noções de conjunto e elemento são noções, conceitos ditos primitivos, isto é,

são conceitos assumidos como ponto de partida da teoria e que servem de base

para a definição de outros conceitos subsequentes.

A ideia de conjunto é a mesma de coleção. Um conjunto pode ser encarado

como um grupo de itens, uma coleção de objetos de natureza qualquer. Estes

itens, objetos, são denominados elementos e possuem características bem

definidas.

Convém destacar que este grupo de elementos depende do contexto em que

um problema é definido. Eventualmente, um objeto pode ser encarado como

um elemento de um conjunto maior, no entanto, em outro contexto, pode ser

um conjunto.

Exemplos Iniciais:

a) Uma coleção de revistas é um conjunto; cada revista é um elemento

desse conjunto.

b) Um time de futebol é um conjunto; cada jogador do time é um elemento

desse conjunto.

c) Os alunos de sua sala de aula formam um conjunto; cada aluno é um

elemento desse conjunto.

d) As turmas de um campus formam um conjunto; cada turma é um ele-

mento desse conjunto.

12 • capítulo 1

Outros Exemplos Contextualizados

Sobre a população brasileira, por exemplo, podem ser definidos conjuntos

de pessoas que compartilham uma determinada característica e que podem

ser utilizados para algum tipo de processo decisório. Eis alguns conjuntos que

podem ser definidos, em função de um contexto estabelecido para uma ação

governamental ou empresarial:

a) Conjunto de pessoas com mais de 65 anos.

Este conjunto pode ser importante para serem definidas diversas estraté-

gias de benefícios (gratuidade no transporte público, por exemplo), com seus

impactos econômicos correspondentes. Se uma empresa deve oferecer esse be-

nefício em seus serviços, deve considerar seu impacto na formação de preços

- considerando quantos elementos do seu conjunto de clientes possuem essa

característica.

b) Conjunto de pessoas do sexo masculino que completarão 18 anos de

idade em determinado ano.

Este conjunto representa o grupo de pessoas que terão que fazer o alista-

mento militar obrigatório, e é a partir deste grupo que as Forças Armadas defi-

nirão suas estratégias de emprego destes jovens (quantos realmente prestarão

o serviço militar, quantos serão dispensados por excesso de contingente, etc.).

c) Conjunto de pessoas que possuem uma determinada faixa de

rendimentos.

Esta informação pode ser muito importante ao se definir as estratégias

comerciais e de marketing relacionadas ao lançamento de um determinado

produto. E isso também se aplica a áreas de negócios como gestão financei-

ra, de seguros e negócios imobiliários. Pode ser útil também aos profissionais

de Ciências Econômicas, ao analisar suas influências e impactos no cenário

econômico.

d) O conjunto de contas a serem pagas mensalmente por uma empresa.

Este conjunto de itens ou elementos interessa diretamente a administrado-

res, contadores e gestores comerciais.

e) O conjunto de profissionais aptos a exercer determinadas funções em

uma empresa

Este conjunto de itens ou elementos interessa diretamente a gestores de re-

cursos humanos.

capítulo 1 • 13

f) O conjunto de médicos de cada especialidade disponíveis no quadro de

profissionais de um hospital.

Este conjunto interessa diretamente a gestores hospitalares.

g) O conjunto de países com os quais o Brasil possui relações comerciais.

Este conjunto interessa diretamente aos profissionais de comércio exterior,

relações internacionais e secretários executivos trilíngue.

h) O conjunto de rotas possíveis para se transportar um determinado pro-

duto de uma fábrica ou depósito a um centro consumidor.

Este conjunto interessa diretamente aos profissionais de logística.

i) conjunto de processos que devem ser otimizados em uma empresa.

Este conjunto interessa diretamente aos profissionais de processos

gerenciais.

j) Um Corretor de Seguros trabalha com um conjunto de Empresas

Seguradoras através das quais pode apresentar diversas cotações a um cliente.

k) Em um jogo de futebol cada equipe forma um conjunto de onze ele-

mentos que são os jogadores.

l) Em uma produção cinematográfica, cada ator é um elemento de um

conjunto chamado Elenco.

m) Em política, cada candidato é um elemento de um conjunto chamado

Partido.

A teoria dos conjuntos, eventualmente apresentada de uma forma pura-

mente matemática, pode ter aplicações em diversas áreas profissionais. Muitas

vezes, mesmo sem que percebamos, trabalhamos e pensamos em conjuntos.

Quando uma pessoa deseja saber que ônibus deve usar para sair de um local

para outro, está na verdade em busca do conjunto de linhas que percorre aque-

le trajeto.

Usualmente, nomeamos os conjuntos por letras maiúsculas A, B, C, D, ...

1.3 Representação de um conjunto

Em nosso estudo, utilizaremos três tipos de representação de conjuntos e seus

elementos:

14 • capítulo 1

REPRESENTAÇÃO TABULAR.

Nesta representação, enumeram-se todos os seus elementos, ou seja, apresentam-se

explicitamente cada um dos elementos pertencentes ao conjunto. Todos os elementos

do conjunto são apresentados em uma lista, separados por vírgula e são envolvidos por

um par de chaves.

REPRESENTAÇÃO ATRAVÉS DE DIAGRAMA DE VENN

Nesta representação, os elementos do conjunto são representados por pontos interio-

res a uma região plana, limitada por uma linha fechada simples, isto é, uma linha que

não se entrelaça.

REPRESENTAÇÃO ATRAVÉS DE UMA PROPRIEDADE

Nesta representação, os elementos são definidos por meio de uma propriedade comum

a todos os seus elementos, não havendo, neste caso, a necessidade de se apresentar

cada elemento de forma explícita.

A enumeração é mais adequada quando o número de elementos do conjun-

to é pequeno. A sua evidenciação através de uma propriedade é, por sua vez,

mais adequada quando o número de elementos é razoavelmente grande ou até

infinito, como veremos em alguns casos, principalmente de conjuntos numé-

ricos, em que se torna impossível a enumeração de todos os seus elementos.

1.3.1 Representação tabular ou por enumeração

A definição de um conjunto através da enumeração de todos os seus elementos

consiste simplesmente em apresentá-los de forma explícita e direta.

capítulo 1 • 15

Normalmente a enumeração é feita colocando-se todos estes elementos en-

tre chaves e separados por vírgula.

EXEMPLOO conjunto cujos elementos são as vogais do alfabeto:

{a, e i, o, u}

O conjunto cujos elementos são as consoantes:

{b, c, d, f, g, h, j, k, l, m, n, p, q, r, s, t, v, w, x, y, z}

Dois conjuntos são iguais quando possuem exatamente os mesmos elemen-

tos. A mudança na ordem dos elementos não altera o conjunto e os elementos

podem aparecer mais de uma vez no conjunto, fato que também não altera tal

conjunto.

No caso do conjunto das vogais de um alfabeto, tanto faz indica-lo como {a,

e, i, o ,u} ou {e, u, i, o, a}.

1.3.2 Representação através de diagramas de Venn.

Os elementos de um conjunto são representados por pontos interiores a uma

região plana, limitada por uma linha fechada simples, isto é, uma linha que não

se entrelaça.

EXEMPLO

a

e

i

o

u

A B

1

2

3

4

16 • capítulo 1

1.3.3 Representação através de uma propriedade

Eventualmente, não é conveniente escrever todos os elementos do conjunto,

principalmente por conta da elevada quantidade de elementos. Neste caso,

podemos descrever tal conjunto por uma propriedade comum a todos os seus

elementos.

A definição de um conjunto pela evidenciação de uma propriedade comum

aos seus elementos consiste em apresentá-los de forma indireta, através de

uma sentença que os defina.

Se uma propriedade p é comum a todos os elementos de um conjunto A,

e somente esses elementos têm a propriedade p, então o conjunto A pode ser

descrito por:

A = {x | x tem a propriedade p}

(Lê-se: “A é o conjunto formado por todos os elementos x tal que x tem a

propriedade p”.)

EXEMPLOSa) A = {x | x é país da Europa}

O conjunto A é formado por todos os países da Europa

b) B = {x | x é mamífero}

O conjunto B é formado por todos os mamíferos

c) {x | x é um Estado da Região Sudeste do Brasil}

Lê-se: “x” tal que “x” é um Estado da Região Sudeste do Brasil

Repare que este mesmo conjunto poderia ser definido pela enumeração direta dos seus

elementos:

{Rio de janeiro, São Paulo, Espírito Santo, Minas Gerais}

Repare que este mesmo conjunto poderia ser definido pela enumeração direta dos seus

elementos: {Rio de janeiro, São Paulo, Espírito Santo, Minas Gerais}

Axioma da Extensão: Dois conjuntos são iguais se e somente se eles têm os

mesmos elementos.

capítulo 1 • 17

Repare que o Axioma da Extensão nos diz que não se distingue dois conjun-

tos formados pelos mesmos elementos.

EXERCÍCIO RESOLVIDOConstrua o diagrama de Venn dos conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4, 5, 6}:

Resolução:

A

1 5

B

U

4

6

2

3

1.4 Relação de pertinência

Quando estamos trabalhando com conjuntos utilizamos símbolos matemáti-

cos para demonstrar situações e/ou operações entre conjuntos e elementos.

Observe os exemplos:

A = {a, e, i, o, u} B = {1, 2, 3, 4}

note que u é elemento do conjunto A e não é elemento do conjunto B.

Indicamos estes fatos respectivamente por:

u ∈ A (lê-se “u pertence a A”) e u ∉ B (lê-se “u não pertence a B”)

A relação entre um conjunto e itens que podem ou não estar entre seus ele-

mentos é denominada relação de pertinência.

∈ (pertence) e ∉ (não pertence)

Assim, para indicar que um elemento pertence a um conjunto usa-se o

símbolo∈.

Para indicar que um elemento não pertence a um conjunto usa-se o símbolo ∉.

18 • capítulo 1

Assim, a relação de pertinência indica se um dado elemento pertence ou

não a um determinado conjunto. Quando utilizamos a relação de pertinência,

estamos relacionando um elemento a um conjunto, nesta ordem.

“elemento” ∈ “conjunto” ou “elemento” ∉ “conjunto”

Podemos dizer que um elemento pertence a um conjunto se ele está listado,

se é “visualizado” no conjunto.

EXEMPLOConsidere o conjunto A={0; 2; 4; 6; 8} . Podemos dizer que:

2 ∈ A : O elemento 2 pertence ao conjunto A.

3 ∉ A O elemento 3 não pertence ao conjunto A.

1.5 Tipos de conjuntos

1.5.1 Conjunto unitário

Conjunto unitário é aquele formado por um único elemento.

EXEMPLOa) C = {5}

b) B = { x | x é estrela do sistema solar}

1.5.2 Conjunto vazio

Conjunto vazio é aquele que não possui nenhum elemento, ou seja, é definido de

tal maneira que não é possível encontrar qualquer elemento que pertença a ele.

Um conjunto vazio é representado pelos símbolos Ø ou { }.

capítulo 1 • 19

EXEMPLO

a) D = {x | x é número e x . 0 = 5} = Ø

b) E = {x | x é computador sem memória} = { }

c) {x | x é um número ímpar múltiplo de 4}, pois não existe múltiplo de quatro que seja ím-

par, uma vez que quatro é um número par, que multiplicado por qualquer outro inteiro resulta

em um número par.

ATENÇÃOQuando os símbolos { } ou Ø aparecerem dentro de um conjunto, listados, visíveis, o conjunto

vazio deve ser tratado como elemento desse conjunto.

EXEMPLOConsidere o conjunto A={ Ø ,1, 2, 3}.

Temos que Ø ∈ A , pois Ø é um elemento do conjunto A.

1.5.3 Conjunto finito

Conjunto finito é aquele que conseguimos chegar ao “fim” da contagem de

seus elementos.

EXEMPLOa) B = {1, 2, 3, 4}

b) D = {x | x é brasileiro}

c) H = {x | x é jogador da seleção brasileira de futebol}

20 • capítulo 1

1.5.4 Conjunto infinito

Conjunto infinito é aquele que, se contarmos seus elementos um a um, jamais

chegaremos ao “fim” da contagem.

EXEMPLOa) N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}

b) A = { x ∈ N | x é par} = {0, 2, 4, 6, ...}

1.5.5 Conjuntos Iguais

Dois conjuntos são iguais quando possuem exatamente os mesmos elementos.

Pode-se, na realidade, dizer que representam o mesmo conjunto, ainda que de-

nominados de maneira distinta.

EXEMPLOa) Considere os conjuntos A e B assim definidos.

A é o conjunto das letras da palavra “arte”: A = {a, r, t, e} e

B é o conjunto das letras da palavra “reta”: B = {r, e, t, a}.

Temos que A = B, pois os conjuntos possuem os mesmos elementos, não importando a

ordem em que os elementos foram escritos.

b) o conjunto dos jovens brasileiros do sexo masculino que completam 18 anos este ano

e o conjunto de jovens brasileiros que devem fazer o alistamento militar obrigatório este ano

são, na verdade, o mesmo conjunto. São iguais, pois possuem os mesmos elementos, ainda

que denominados de maneira distinta.

1.5.6 Conjuntos Diferentes.

Se A não é igual a B, escrevemos A ≠ B (lê-se “A é diferente de B”).

capítulo 1 • 21

1.5.7 Conjunto Universo (U)

O conjunto universo contém todos os elementos que possam vir a pertencer a

conjuntos definidos no contexto considerado, é o conjunto que possui todos os

elementos com os quais se deseja trabalhar.

EXEMPLOa) Quais são os números menores que 5? A resposta irá depender do conjunto universo

considerado.

Se o conjunto universo for o conjunto dos números naturais, teremos como resposta o

conjunto solução S = {0, 1, 2, 3, 4}.

Se o conjunto universo for o conjunto dos números naturais pares, teremos como con-

junto solução S = {0, 2, 4}.

b) O conjunto formado pelos brasileiros com mais de 65 anos e o conjunto formado pelos

que deveriam fazer o alistamento militar em determinado ano são conjuntos definidos a partir

de um grupo mais amplo, composto por toda a população brasileira.

A população brasileira, portanto, forma um grupo geral, universal, a partir do qual po-

demos definir conjuntos menores. Por isso, no contexto da criação de conjuntos formados

por grupos de indivíduos da população brasileira, o conjunto formado por toda a população

pode ser considerado como o conjunto Universo a partir do qual, no contexto de indivíduos

que a formam, pode-se criar conjuntos menores e formados por indivíduos com determinada

característica.

O conjunto Universo é simbolizado pela letra U.

No contexto das letras que compõe o alfabeto de um idioma, podemos definir como Uni-

verso o conjunto que contém todas as letras do alfabeto, vogais e consoantes, apresentado

a seguir.

{a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}

22 • capítulo 1

1.5.8 Conjuntos Disjuntos

Dois conjuntos são chamados disjuntos quando não possuem nenhum ele-

mento em comum. Ou seja, não é possível encontrar um elemento que perten-

ça, ao mesmo tempo, aos dois conjuntos.

EXEMPLOa) Consideremos os conjuntos apresentados anteriormente, sendo o primeiro formado por

idosos e o segundo formado por pessoas que deverão fazer o alistamento militar no presente

ano. Não existe elemento comum a estes dois conjuntos, consequentemente os mesmos

são disjuntos.

b) Considere os conjuntos das vogais e das consoantes de um alfabeto. Como não existe

uma letra que seja, simultaneamente, uma vogal e uma consoante, pode-se afirmar que estes

dois conjuntos são disjuntos.

1.6 Subconjunto

1.6.1 Conceito

A relação de inclusão relaciona conjuntos, indicando se um conjunto está con-

tido ou não em um outro conjunto. Se todos os elementos de um conjunto A

pertencerem a outro conjunto B, então o conjunto A está contido no conjun-

to B. Se um único elemento do primeiro conjunto A não pertencer ao segundo

conjunto B, temos que o conjunto A não estará contido no conjunto B.

EXEMPLOConsidere o conjunto das letras do nosso alfabeto:

A = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, x, y, z}

Temos que A é formado pelo conjunto de vogais (V) e pelo conjunto de consoantes (C).

V = {a, e, i, o, u}

C = { b, c, d, f, g, h, j, k, l, m, n, p, q, r, s, t, v, x, y, z}

capítulo 1 • 23

O conjunto das vogais é um subconjunto do conjunto das letras do nosso alfabeto.

Simbolicamente, temos

V ⊂ A ( lê-se: V está contido em A)

ou

A ⊃ V (lê-se: A contém B)

Um subconjunto de um conjunto é qualquer outro conjunto cujos elementos são, neces-

sariamente, elementos do conjunto original.

1.6.2 Definição formal.

Assim, sendo A e B dois conjuntos, diz-se que A é subconjunto de B se, e somen-

te se, todo elemento de A pertence a B.

Indica-se que A é subconjunto de B por: A ⊂ B (lê-se “A está contido em B”),

ou ainda, por B ⊃ A (lê-se “B contém A”).

A ⊂ B(∀ x) (x ∈ A → x ∈ B)

Para todo x, se x pertence a A, então x pertence a B.

A

B

EXEMPLOa) Consideremos o conjunto B, formado por todos os brasileiros. Com os elementos de B

podemos formar o conjunto A, dos homens brasileiros, e o conjunto C, das mulheres brasilei-

ras. Dizemos que os conjuntos A e C são subconjuntos de B.

b) Considere o conjunto de jovens brasileiros que farão o alistamento militar obrigatório

este ano. Este é um subconjunto do conjunto de jovens brasileiros que completam 18 anos

de idade no presente ano.

24 • capítulo 1

c) {2, 5, 3} ⊂ {2, 5, 3, 8, 9}

d) {6, 9, 6, 5} ⊃ {9, 6}

e) {2, 8} ⊂ {2, 8}

1.6.3 Propriedades

1. O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto: ∅ ⊂ A, ∀ A.

EXEMPLOa) ∅ ⊂ {1, 2, 3}

b) ∅ ⊂ ∅

2. O conjunto A está contido no próprio A, isto é, todo conjunto é subcon-

junto de si mesmo.

A ⊂ A, ∀ A

3. Todo conjunto é um subconjunto do conjunto Universo, no contexto

considerado.

Para indicar que um conjunto A não é subconjunto de B, escreve-se:

A ⊄ B ( lê-se “A não está contido em B”) ou B A ( lê-se “B não contém A”)

EXEMPLO(a) {a, b, c} ⊄ {a, b, d}

ATENÇÃO

1 – A relação de inclusão (⊂) é usada exclusivamente para relacionar um subconjunto B com

um conjunto A que contém B: B ⊂ A.

capítulo 1 • 25

2 – A relação de pertinência (∈) é usada exclusivamente para relacionar um elemento x com

um conjunto A que possui x como elemento: x ∈ A.

1.7 Conjunto cujos elementos são conjuntos

Os elementos de um conjunto podem também ser conjuntos. Considere, por

exemplo, o conjunto:

P = {∅, {a}, {b}, {a, b}}

∅ é elemento de P e, portanto, escrevemos ∅ ∈ P. Além disso, temos tam-

bém que

{a} ∈ P, {b} ∈ P, {a, b} ∈ P.

Vejamos alguns subconjuntos de P:

{∅} ⊂ P: Todos os elementos de {∅}, no caso só há o elemento ∅, é ele-

mento de P.

{{a}} ⊂ P: Todos os elementos de {{a}}, no caso só há o elemento{a}, é

elemento de P.

{{a, b}} ⊂ P: Todos os elementos de {{a, b}}, no caso só há o elemen-

to{a,b}, é elemento de P.

{{a}, {b}} ⊂ P: Todos os elementos de {{a}, {b}} , no caso os elementos {a}

e {b}, são elementos de P.

1.8 Conjunto das partes de um conjunto

Considere o conjunto A = {1, 2}. Vamos escrever os subconjuntos de A:

• com nenhum elemento: ∅• com um elemento: {1}, {2}

• com dois elementos: {1,2}

26 • capítulo 1

Chama-se “conjunto das partes de um conjunto A”, e indica-se por P(A) (lê-

se P de A) ao conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos de A.

EXEMPLOa) No exemplo acima,

P(A) = {∅, {1}, {2}, {1,2}}.

b) Dado um conjunto B = {m, n, p}, escrevemos P(B):

P(B) = {∅, {m}, {n}, {p}, {m, n}, {m, p}, {n, p}, {m, n, p}}

Observe que, no primeiro exemplo (a), o conjunto A tem dois elementos e obtivemos P(A)

com 4 (22) elementos, isto é, A tem 4 subconjuntos.

No segundo exemplo (b), B tem três elementos e obtivemos 8 (23) subconjuntos.

De um modo geral, se um conjunto A tem n elementos, o números de elementos de P(A) é 2n.

Exemplo:

Se A = {2, 4, 7, 9, 3}, então P(A) terá 25 = 32 elementos.

EXERCÍCIO RESOLVIDODetermine os 32 subconjuntos do conjunto cujos elementos são as vogais do alfabeto.

Resolução:

{ }, {a}, {e}, {i}, {o}, {u}, {a, e}, {a, i}, {a, o}, {a, u},

{e, i}, {e, o}, {e, u}, {i, o}, {i, u}, {o, u}, {a, e, i}, {a, e, o}, {a, e, u}, {a, i, o},

{a, i, u}, {a, o, u}, {e, i, o}, {e, i, u}, { e, o, u}, {i, o, u}, {a, e, i, o}, {a, e, i, u}, {a, i, o, u}, {e, i, o, u}, {a,

e. i. o. u}`

capítulo 1 • 27

1.9 Operações com conjuntos

Quando se fala em “operações”, lembramos de operações entre números: adição,

subtração, divisão, multiplicação. Podemos também, e muitas vezes precisamos,

operar conjuntos. As operações definidas sobre conjuntos resultarão sempre em

outro conjunto no mesmo contexto em que os conjuntos originais foram definidos.

1.9.1 Número de elementos de um conjunto

O número de elementos de um conjunto é definido como a quantidade de ele-

mentos que este conjunto possui. Em conjuntos pequenos, este número pode

ser obtido por simples contagem. Em conjuntos maiores (mas não infinitos),

deve-se estabelecer, quando possível, uma expressão matemática que permita

obter este número.

1.9.2 Interseção de conjuntos (∩)

Dados dois conjuntos A e B, definimos a intersecção de A com B como o con-

junto formado pelos elementos comuns ao conjunto A e ao conjunto B.

A intersecção entre A e B é indicada por A ∩ B (lê-se ”A intersecção B”).

Simbolicamente:

A ∩ B = {x /| x ∈ A e x ∈ B}

EXEMPLOa)

A = {2, 3, 5, 6, 8}

B = {3, 5, 8, 9}

A ∩ B = {3, 5, 8}

b)

A = {3, 5}

B = {2, 3, 4, 5, 6}

A ∩ B = {3, 5} = A

c)

A = {2, 3, 5}

B = {4, 6}

A ∩ B = ∅

Propriedades da interseção de conjuntos:

I. B ⊂ A ⇔ A ∩ B = B, ∀ A, B

II. A ∩ B = B ∩ A, ∀ A, B

III. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C), ∀ A, B, C

28 • capítulo 1

Caso estes conjuntos sejam disjuntos sua interseção será um conjunto vazio.

Nos diagramas de Venn a seguir, representamos a interseção entre dois conjuntos A e

B hachurada:

A B A B AB

EXERCÍCIO RESOLVIDO

Faça o diagrama de Venn que representa a interseção entre três conjuntos A, B e C;

Solução:

A

B

C

1.9.3 União (ou reunião) de conjuntos (∪)

Dados dois conjuntos A e B, chama-se união (ou reunião) de A com B ao con-

junto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B.

A união de dois ou mais conjuntos é um conjunto cujos elementos per-

tencem a pelo menos um dos conjuntos. Observe que os elementos podem

capítulo 1 • 29

inclusive pertencer a mais de um conjunto ou, até mesmo a todos os conjuntos

cuja união se deseja obter.

A união de A com B é indicada por A ∪ B (lê-se ”A união B”).

Simbolicamente:

A ∪ B = {x / x ∈ A ou x ∈ B}

EXEMPLOa)

A = {2, 3, 5, 6, 8}

B = {3, 5, 8, 9}

A ∪ B = {2, 3, 5, 6, 8, 9}

b)

A = {3, 5}

B = {2, 3, 4, 5, 6}

A ∪ B = {2, 3, 4, 5, 6} = B

c)

A = {2, 3, 5}

B = {4, 6}

A ∪ B = {2, 3, 4, 5, 6}

Propriedades da união de conjuntos:

I. B ⊂ A ⇔ A ∪ B = A, ∀ A, B

II. A ∪ B = B ∪ A, ∀ A, B

III. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C), ∀ A, B, C

Nos diagramas de Venn a seguir, representamos a união de dois conjuntos A e B ha-

churada:

A B A B AB

30 • capítulo 1

EXERCÍCIO RESOLVIDOFaça o diagrama de Venn que representa a união entre três conjuntos A, B e C;

Solução:

A

B

C

1.9.4 Diferença de conjuntos (–)

Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre A e B ao conjunto forma-

do pelos elementos de A que não pertencem a B.

Assim, a diferença entre dois conjuntos é definida como sendo o conjunto

cujos elementos pertencem ao primeiro conjunto, mas não ao segundo.

A diferença entre A e B é indicada por A – B (lê-se ”A menos B”).

Simbolicamente:

A – B = {x / x ∈ A e x ∉ B}

EXEMPLO

a)

A = {2, 3, 5, 6, 8}

B = {3, 5, 8, 9}

A – B = {2, 6}

B – A = {9}

capítulo 1 • 31

b)

A = {3, 5}

B = {2, 3, 4, 5, 6}

A – B = { } = ∅

B – A = {2, 4, 6}

c)

A = {2, 3, 5}

B = {4, 6}

A – B = {2, 3, 5} = A

B – A = {4, 6} = B

d) Considere dois conjuntos, sendo o primeiro formado por todos os jovens brasileiros que

completam 18 anos de idade neste ano, e o segundo formado pelos jovens que devem fazer

o alistamento militar obrigatório este ano. É fácil verificar que o primeiro conjunto, que reúne

todos os homens e mulheres que completam 18 anos este ano, contém todos os elementos

do segundo conjunto – composto por todos os jovens do sexo masculino que completam 18

anos no presente ano.

Logo, a diferença entre o primeiro e o segundo conjuntos fornece como resultado um

terceiro conjunto, formado por jovens brasileiros do sexo feminino que completam 18 anos

de idade no presente ano.

e) Por outro lado, a diferença entre o segundo e o primeiro conjuntos fornece como resul-

tado o conjunto vazio. Repare, como ilustrado por este exemplo, que para obter a diferença

entre dois conjuntos não é necessário que o primeiro conjunto contenha todos os elementos

do segundo conjunto.

Nos diagramas de Venn a seguir, representamos a diferença entre dois conjuntos A e B

hachurada:

A-B

A B A B AB

32 • capítulo 1

Propriedades da diferença de conjuntos:

I. B ⊂ A ⇔ B – A = ∅, ∀ A, B

II. A ∩ B = ∅ ⇔ B – A = B, ∀ A, B

III. A ≠ B ⇔ (A – B) ≠ (B – A) , ∀ A, B

1.9.5 Conjunto complementar (C)

O complemento de um conjunto A em relação a outro conjunto B é um con-

junto C, formado pelos elementos que pertencem ao conjunto B, mas não ao

conjunto A, e desde que A seja um subconjunto de B.

Assim, se A e B são conjuntos tais que A ⊂ B, então a diferença B – A é chama-

da complementar de A em B.

O complementar de A em B é indicado por CB A (lê-se “complementar de A

em B).

Simbolicamente:

CB A = B – A = {x | x ∈ B e x ∉ A}, onde A ⊂ B

EXEMPLOa)

A = {2, 3, 5, 6, 8}

B = {3, 5, 8, 9}

Como A ⊄ B, então não existe CB A

b)

A = {3, 5}

B = {2, 3, 4, 5, 6}

Existe CB A , pois A ⊂ B. CB A = {2, 4, 6}

c) O complemento do conjunto de jovens brasileiros obrigados a fazer o alistamento militar

no presente ano (conjunto A) com relação ao conjunto dos jovens brasileiros que completam

18 anos no presente ano (conjunto B), é o conjunto dos jovens brasileiros do sexo feminino

que completam 18 anos no presente ano (conjunto C).

capítulo 1 • 33

d) O complemento do conjunto de vogais de um alfabeto (conjunto A) com relação ao con-

junto de todas as letras do alfabeto (conjunto B), é o conjunto de consoantes deste mesmo

alfabeto (conjunto C).

Complementar de A em relação a um universo

Quando tivermos um conjunto universo previamente fixado, indicaremos o complementar

de A em relação a U simplesmente por A’ (ou A ) no lugar de CU A.

Propriedades do complementar:

I. CA A = ∅, ∀ A

II. CA ∅ = A, ∀ A

III. (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’ , ∀ A, B

IV. (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’ , ∀ A, B

Nota: As propriedades III e IV são conhecidas como “leis de De Morgan”.

Outra forma de se obter o complemento de um conjunto A em relação a outro conjunto

B consiste em se obter a diferença entre os conjuntos B e A, desde que A seja um subcon-

junto de B.

No diagrama de Venn a seguir, representamos o complementar do conjuntos A em rela-

ção ao Universo hachurada:

U

A

1.9.6 Número de elementos da união de conjuntos

O número de elementos da união de dois conjuntos A e B será:

n(A∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)

34 • capítulo 1

Considere o Diagrama de Venn representando os conjuntos A e B e seus

elementos.

A

X Y Z

B

n (A) = x + y

n (B) = y + z

n (A∪ B) = x + y + z .

Repare que, se somarmos o número de elementos do conjunto A (x + y) com

o número de elementos do conjunto B (y+z), os elementos da interseção (y) se-

rão contados duas vezes, por isso precisamos retirar o número de elementos da

interseção (y), quando estamos calculando o número de elementos da união.

1.9.7 Propriedades das Operações entre Conjuntos

a) Fechamento

Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, a união de A e B (A ∪ B) e a interse-

ção de A e B (A ∩ B) ainda são conjuntos no mesmo universo.

b) Associativa

Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, vale a propriedade associativa

em relação a união e em relação a interseção.

A ∪ (B ∪ C)=(A ∪ B) ∪ CA ∩ (B ∩ C)=(A ∩ B) ∩ C

c) Comutativa

Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, vale a propriedade comutativa em

relação a união e em relação a interseção.

A∪B=B∪A

A∩B=B∩A

capítulo 1 • 35

d) Elemento neutro para a operação de união entre conjuntos

O conjunto vazio é o elemento neutro das operações de união entre conjun-

tos. De fato:

A∪ ∅ = A

(e) Elemento neutro para a operação de interseção entre conjuntos

O conjunto universo é o elemento neutro das operações de interseção entre

conjuntos. De fato:

A ∩ U=A

f) Distributiva

Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, têm-se:

A ∩ (B ∪ C)=(A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

A ∪ (B ∩ C)=(A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

EXERCÍCIO RESOLVIDO01. Faça o Diagrama de Venn representativo dos conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4, 5, 6}

e enumere os conjuntos:

a) L = A U B b) M = A ∩ B c) N = A – B d) O = B – A

Resolução

A

1 5

B

U

4

6

2

3

a) L = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

b) M = {2, 3}

36 • capítulo 1

c) N = {1}

d) O = {4, 5, 6}

02. Considere os conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {5, 6, 7} e C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Preencha os

campos abaixo com a simbologia adequada:

a) 3___A

b) 7___C

c) A___B

d) B___C

e) C___A

f) C___B

Resolução.

a) 3 ∈ A

b) 7 ∉ C

c) A ⊄ B

d) B ⊄ C

e) C ⊃ A

f) C ⊄ B

03. Descreva o conjunto das partes do conjunto A = {2, 5, 7}:

Resolução.

P(A) = {Ø, {2}, {5}, {7}, {2, 5}, {2, 7}, {5, 7}, {2, 5, 7}}

04. Faça o diagrama dos conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} e C = {11,

12, 13} e escreva por extenso

a) X = A U B

b) Y = A ∩ B

c) Z = A U C

d) W = A ∩ C

e) P CBA=

f) U CAB=

g) K = (A U C) – B

h) T = B – (A ∩ C)

capítulo 1 • 37

Resolução.

B

CA

1113

6

8

75

24

12

13

U

Resolução

a) X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

b) Y = A

c) Z = {1, 2, 3, 4, 5, 11, 12, 13}

d) W = { }

e) P = {6, 7, 8}

f) U = { }

g) K = C

h) T = B

05. Dado o conjunto A = {0, 1, 2, {1,2}, 3, {3,4}}, assinale V para as afirmativas verdadeiras

e F para as falsas.

( ) ∅ ∈ A

( ) 4 ∈ A

( ) { } ⊂ A

( ) {{1,2}} ⊂ A

( ) {3,4} ⊂ A

Resolução.

(F) ∅ ∈ A (conjunto vazio está contido, pois a relação é de inclusão).

(F) 4 ∈ A (4 não é um elemento isolado de A).

(V) { } (conjunto vazio está contido em todos os conjuntos).

(V) {{1,2}} ⊂ A (é um dos subconjuntos de A com um elemento).

(F) {3,4} ⊂ A (é um elemento único de A, logo a relação é de pertinência).

38 • capítulo 1

06. (FATEC) Para a identificação de pacientes com sintomas de gripe influenza A, a Anvisa

(Agência Nacional de Vigilância Sanitária) informou hoje que os voos procedentes do Reino

Unido, Espanha e Nova Zelândia também serão inspecionados por uma equipe da agência e

por médicos da Empresa Brasileira de Infraestrutura Aeroportuária (Infraero).

Inicialmente, apenas os voos vindos do México, Canadá e Estados Unidos eram inspecio-

nados. A decisão foi tomada durante reunião da Anvisa com representantes das companhias

aéreas, da Agência Nacional de Aviação Civil (Anac) e da Infraero, no Aeroporto Internacional

de Cumbica, em Guarulhos, na Grande São Paulo.

Disponível em: <http://noticias.uol.com.br/cotidiano/2009/04/28/ult5772u3774.jhtm>.

Acesso em: 09. mai 2009. Adaptado

UP A

M

Em um voo proveniente de Miami, a Anvisa constatou que entre todas as pessoas a bor-

do (passageiros e tripulantes) algumas haviam passado pela cidade do México.

No diagrama, U representa o conjunto das pessoas que estavam nesse voo; P o conjunto

dos passageiros; M o conjunto das pessoas que haviam passado pela cidade do México e A

o conjunto das pessoas com sintomas da gripe influenza A. Considerando verdadeiro esse

diagrama, conclui-se que a região sombreada representa o conjunto das pessoas que, de

modo inequívoco, são aquelas caracterizadas como

(A) passageiros com sintomas da gripe que não passaram pela cidade do México.

(B) passageiros com sintomas da gripe que passaram pela cidade do México.

(C) tripulantes com sintomas da gripe que passaram pela cidade do México.

(D) tripulantes com sintomas da gripe que não passaram pela cidade do México.

(E) tripulantes sem sintomas da gripe que passaram pela cidade do México.

Resolução:

A região sombreada no Diagrama de Venn não pertence ao conjunto P, dos passageiros,

assim, esta região não representa passageiros, mas sim tripulantes.

capítulo 1 • 39

Observe que essas pessoas estão dentro do conjunto A e do conjunto M, então, a região

sombreada representa tripulantes com sintomas da gripe que passaram pela cidade do Mé-

xico (alternativa C).

07. (PUC) Um levantamento sócio-econômico entre os habitantes de uma cidade revelou

que, exatamente: 17% têm casa própria; 22% têm automóvel; 8% têm casa própria e auto-

móvel. Qual o percentual dos que não têm casa própria nem automóvel?

Resolução

C A N

8%9% 14% x

Lembrando que a soma das parcelas percentuais resulta em 100%, então

9% + 8% + 14% + x = 100 %.

31% + x = 100%.

O percentual dos que não têm casa própria nem automóvel é x = 100% - 31% = 69%.

08. Uma editora estuda a possibilidade de lançar novamente as publicações Helena, Se-

nhora e A Moreninha. Para isto, efetuou uma pesquisa de mercado e concluiu que em cada

1000 pessoas consultadas: 600 leram A Moreninha; 400 leram Helena; 300 leram Senhora;

200 leram A Moreninha e Helena; 150 leram A Moreninha e Senhora; 100 leram Senhora e

Helena; 20 leram as três obras; Calcule:

a) O número de pessoas que leu apenas uma das obras.

b) O número de pessoas que não leu nenhuma das três obras.

c) O número de pessoas que leu duas ou mais obras.

Resolução:

M H

S

N

270

130 80

120180

20

70 x

40 • capítulo 1

Sempre começamos indicando o número de elementos da interseção.

Não esqueça de descontar os elementos da interseção, caso contrário, estaremos con-

tando os elementos em duplicata.

200 – 20 = 180

150 – 20 = 130

100 – 20 = 80

600 – 180 – 20 – 130 = 270

400 – 180 – 20 – 80 = 120

300 – 130 – 20 – 80 = 70.

270 + 180 + 120 + 130 + 20 + 80 + 70 = 870

a) O número de pessoas que leu apenas uma das obras é 270 + 120 + 70 = 460

b) O número de pessoas que não leu nenhuma das três obras é x = 1000 – 870 = 130

c) O número de pessoas que leu duas ou mais obras é 180 + 20 + 130 + 80 = 410

09. Dez mil aparelhos de TV foram examinados depois de um ano de uso e constatou-se

que 4.000 deles apresentavam problemas de imagem, 2.800 tinham problemas de som e

3.500 não apresentavam nenhum dos tipos de problema citados. Então o número de apare-

lhos que apresentavam somente problemas de imagem é:

a) 4 000

b) 3 700

c) 3 500

d) 2 800

e) 2 500

Resolução:

I é o conjunto dos que apresentavam defeito na imagem,

S o conjunto dos que apresentavam problemas de som e

N o conjunto daqueles que não apresentavam nenhum defeito citado.

I SN

x4000 – x 2800 – x 3500

capítulo 1 • 41

4000 – x + x + 2800 – x + 3500 = 10000,

onde x é o números de televisores que apresentavam, ao mesmo tempo, os dois proble-

mas citados.

Temos então que x = 10300 – 10000 = 300.

O número de aparelhos que apresentavam somente problemas de imagem será

4000 – x = 4000 - 300 = 3700.

10. (PUC) Numa comunidade constituída de 1800 pessoas há três programas de TV fa-

voritos: Esporte (E), novela (N) e Humanismo (H). A tabela abaixo indica quantas pessoas

assistem a esses programas.

PROGRAMAS E N H E e N E e H N e H E, N e H Nenhum

NÚMERO DE TE-LESPECTADORES

400 1220 1080 220 180 800 100 x

Através desses dados verifica-se que o número de pessoas da comunidade que não

assistem a qualquer dos três programas é:

a) 200

b) os dados do problema estão incorretos

c) 900

d) 100

Resolução:

Começando sinalizando no diagrama de Venn a interseção, que tem 100 elementos.

E N

H

Nenhum

x200

120100 300

700100

80

100 + 120 + 100 + 80 +700 + 200 + 300 + x = 1800.

1600 + x = 1800.

42 • capítulo 1

O número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer dos três programas

é:

x = 1800 – 1600 = 200.

Assim, (A) é a opção correta

1.10 Conjuntos numéricos

Os conjuntos numéricos são compreendidos como os conjuntos dos números

que possuem características semelhantes.

Inicialmente será apresentado o conjunto dos números naturais, o mais

simples e intuitivo, e o primeiro a ser utilizado pelo ser humano, ainda que de

uma maneira intuitiva.

Em seguida serão apresentados, nesta ordem, os conjuntos dos números

inteiros, racionais, irracionais e reais.

1.11 Números naturais

1.11.1 Conceito

O conjunto dos números naturais surgiu da necessidade primária de contagem

pela civilização humana. Dizem os historiadores que a ideia da contagem teve

início quando pastores de ovelhas precisavam conferir se a quantidade de ove-

lhas que levavam para pastorear era a mesma quantidade que retornava.

Desta forma, para cada uma das ovelhas que saía do cercado onde eram con-

finadas o pastor colocava uma pedra em um pequeno saco de pano. Quando

retornavam, a cada ovelha que reingressava no cercado ele retirava uma pedra

do saquinho. Esta era uma forma de controle, mesmo que os algarismos numé-

ricos ainda não houvessem sido definidos.

capítulo 1 • 43

Percebe-se, no entanto, que uma contagem de objetos animados ou inani-

mados sempre começa em um e é sempre positiva. E a ausência de qualquer

quantidade representa a ausência de objetos, ou nenhum objeto.

Os números naturais são capazes de definir estas quantidades e formam

um conjunto simbolizado pela letra N.

N = {0, 1, 2, 3, 4,...}

1.11.2 Propriedades do conjunto dos números naturais

Com relação ao conjunto dos números naturais, (N) são válidas as seguintes

propriedades:

• Cada número possui um sucessor, que no processo de contagem repre-

senta uma unidade a mais na contagem de objetos.

• O número de elementos deste conjunto é infinito, pois para qualquer nú-

mero natural, sempre se pode definir o seu sucessor.

1.11.3 Operações sobre o conjunto dos números naturais.

Definimos as operações de adição e multiplicação sobre o conjunto dos núme-

ros naturais.

ADIÇÃO

A soma de dois números a e b, representada por a

+ b, é um terceiro número c, de tal maneira que, no

processo de contagem, o número de objetos repre-

sentados por c resulte da reunião de todos os objetos

representados por a e por b.

Assim, a quantidade de objetos representados por c

resulte da quantidade de objetos resultante da reunião

de todos os objetos representados por a e por b.

Exemplo: Se a = 2 e b= 3 então c = a + b = 5.

44 • capítulo 1

MULTIPLICAÇÃO

A multiplicação consiste numa operação repetida da

operação de adição. Pode-se representar a adição de

duas vezes um mesmo número a, indicada por a + a,

como 2 * a. A adição de três vezes um mesmo número

por 3 * a e assim por diante...

A multiplicação pode, portanto, ser considerada como

uma forma compacta de se representar a adição repe-

tida de um mesmo número.

1.11.4 Propriedade das operações sobre o conjunto dos números naturais

São válidas as seguintes propriedades com relação às operações entre números

naturais:

• Associativa da adição: (a + b) + c = a + (b + c)

• Comutativa da adição: a + b = b + a

• Elemento neutro da adição: a + 0 = 0 + a = a

• Associativa da multiplicação: (a * b) * c = a * (b * c)

• Comutativa da multiplicação: a * b = b * a

• Elemento neutro da multiplicação: a * 1 = 1 * a = a

EXEMPLOa) Exemplos atuais de uso dos números naturais em processos de contagem são o censo

demográfico populacional – quando se determina o número de habitantes em uma região, a

contagem de veículos em uma rodovia e a de passageiros que usaram um ônibus (contagem

esta processada por uma roleta).

b) Os números naturais também podem ser usados para medir distâncias em uma de-

terminada direção, sendo esta distância medida através de uma quantidade positiva de um

valor usado como padrão de medida – como, por exemplo, um certo número de passos de

tamanho fixo de uma pessoa.

capítulo 1 • 45

Um subconjunto importante de N é o N*: N* = {1; 2; 3; 4; 5; ...} ou N* = N - { 0 }.

As operações de adição e multiplicação são fechadas em N, ou seja, pode-

mos sempre efetuar a adição e a multiplicação, e a soma e o produto de dois

números naturais resultam sempre em um número natural.

No entanto, repare que a divisão ou subtração entre dois números naturais

nem sempre é um número natural. Por exemplo, a subtração 2 -3, não é possível

em N. Desta forma, surge a necessidade de ampliar o conjunto dos naturais,

introduzindo os números negativos.

1.12 Números inteiros

1.12.1 Conceito

O conjunto dos números inteiros expande os números naturais, incorporando

números negativos.

O conjunto dos números inteiros surgiu da necessidade de se considerar,

em transações comerciais, ainda que de forma primitiva, uma representação

de débito ou falta de uma determinada quantidade, uma forma de controlar

seus pertences, valores ou objetos sob sua guarda.

EXEMPLOa) Em análises contábeis, por exemplo, há a necessidade de se lançar um débito (ou

gasto) de uma forma diferente da usada para se lançar um crédito (Na contabilidade das

empresas, por exemplo, há necessidade de controlar o patrimônio investido nos negócios,

analisando seus acréscimos e reduções).

b) Em uma conta bancária, quando um correntista faz uma retirada superior ao saldo dis-

ponível na conta, fica em débito com o banco (admitindo-se que o banco lhe ofereça este

tipo de crédito).

O conjunto Z dos números inteiros, portanto, é composto de quantidades

positivas e negativas e é simbolizado pela letra Z:

Z = {...,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...}

46 • capítulo 1

Além das operações de adição e multiplicação, os números inteiros permi-

tem a inclusão de mais uma operação, chamada de subtração.

Sejam a e b dois números inteiros. A subtração é definida da seguinte

maneira:

a – b = c, ou seja, permite uma operação inversa fornecendo como resultado

um terceiro número inteiro c, de tal maneira que a = b + c. Repare que esta ope-

ração não seria definida no conjunto dos números naturais, se b for maior que a.

Pode-se interpretar o valor de c como sendo o “troco” a ser dado por um

cobrador de ônibus a um passageiro que paga uma passagem de valor b com

uma quantia maior a. É muito comum que o cobrador, para conferir o troco,

adicione a este o valor da passagem, comparando o valor obtido com a quantia

entregue pelo passageiro (que devem ser iguais).

1.12.2 Subconjuntos de destaque

Alguns subconjuntos do conjunto dos inteiros merecem destaque:

– Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...}, conjunto dos inteiros não negativos.

– Z– = {...,-4, -3, -2, -1, 0}, conjunto dos inteiros não positivos.

– Z*+ = {0, 1, 2, 3, 4,...}, conjunto dos inteiros positivos.

– Z*– = {...,-4, -3, -2, -1, 0}, conjunto dos inteiros negativos.

Com a inclusão dos números negativos surge o conceito de oposto ou simé-

trico de um número inteiro a, indicado por –a, tal que a + (–a) = 0.

Podemos encarar os números inteiros geometricamente como:

–3 –2 –1 0 1 2 3

Note que há uma simetria em relação ao zero.

O oposto ou simétrico de 2 é –2 e o oposto ou simétrico de –2 é o 2 e vale a

operação 3 + ( - 3) = -3 + 3 = 0.

capítulo 1 • 47

1.12.3 Operando em Z

O conjunto dos números inteiros é fechado em relação a adição, multiplicação

e subtração, isto é, em Z, a soma, o produto e a diferença de dois números intei-

ros resultam sempre um número inteiro.

Além disso, todas as propriedades das operações em N continuam válidas

em Z.

ADIÇÃO EM Z

Quando os números têm o mesmo sinal basta conser-

var o sinal e adicionar os números; quando os sinais

são contrários subtraímos o menor do maior, e o sinal

que prevalece é o do maior número.

O sinal mais (+) antes de um parêntese não alterará o

sinal do número que está entre parênteses, no entanto,

quando o sinal antes do parêntese for o de (–), altera-

mos o sinal do número que está entre parênteses.

Se não houver nenhum sinal antes do parêntese estará

implícito que o sinal será o de mais (+).

MULTIPLICAÇÃO EM Z

Quando multiplicamos números de mesmo sinal obte-

mos sempre resultado positivo, enquanto que quando

multiplicamos números de sinais contrários obtemos

como resultado números negativos.

DIVISÃO EM Z

A divisão de dois números inteiros nem sempre resulta

um número inteiro.

Exemplos:

A divisão (-8) : (+2) = -4 é possível em Z.

Já a divisão (-7) : (+2) não é possível em Z.

Dessa forma, observamos a necessidade de ampliar o

conjunto Z.

48 • capítulo 1

1.13 NÚMEROS RACIONAIS

1.13.1 Conceito

Considere uma pizza circular dividida em oito partes iguais, das quais são

retiradas duas partes. A mesma quantidade seria selecionada caso a pizza fosse

dividida em quatro partes, das quais fosse selecionada uma única parte.

Este conceito pode ser estendido para qualquer razão entre dois números

inteiros, positivos ou negativos, de tal maneira que para qualquer par de núme-

ros inteiros a e b, b ≠ 0, a / b representa uma fração ou elemento do conjunto dos

números racionais, simbolizado pela letra Q. Nesta fração, a e b são chamados,

respectivamente, de numerador e denominador da fração.

Os números racionais representam, portanto, um conjunto de números da

forma a / b que inclui, inclusive, o conjunto dos números inteiros (bastando

que se faça b = 1).

1.13.2 Propriedades dos números racionais.

Os números racionais apresentam as propriedades apresentadas a seguir:

• Igualdade: ab

cd

ad bc= ↔ =

• Soma: ab

cd

ad bc

bd+ =

+

• Subtração: ab

cd

ad bc

bd− =

−

• Multiplicação: ab

cd

acbd

⋅ =

• Inverso multiplicativo: O inverso multiplicativo de ab

é o número ba

O inverso multiplicativo de ab

é o número cd

de tal forma que: ab

cd

⋅ = 1 .

Dessa forma, cd

ba

=

Exemplo: O inverso multiplicativo de 3/5, por exemplo, é 5/3.

capítulo 1 • 49

1.13.3 Frações

As frações usadas para representar os números racionais podem ser classifica-

das como:

• própria: Quando o numerador é menor que o denominador. Exemplo: 2/3

• imprópria: Quando o numerador é maior que o denominador. Exemplo: 5/3

• mista: Quando constituída por uma parte inteira e uma fracionária.

Exemplo: 2 2/3 = 8/3

• aparente: Quando o numerador é múltiplo do denominador. Exemplo:

6/3 = 2

• equivalentes: São aquelas que mantêm a mesma proporção de outra fra-

ção. Exemplo: 2/3 = Exemplo: 2/3 = 4/6

• irredutível: Quando o numerador e o denominador são primos entre si,

não permitindo simplificação. Exemplo: 2/3

• decimal: Quando o denominador é uma potência de 10. Exemplo: 100/3

1.13.4 Forma fracionária e forma decimal.

Definimos os números racionais como aqueles que podem ser escritos sob a

forma de fração. Pois bem, dessa forma, precisaremos trabalhar com frações,

ou seja, precisaremos transformar um número decimal, um número inteiro,

uma dízima periódica em número fracionário.

Os números decimais originam-se nas frações decimais (são aquelas cujo

denominador é uma potência de 10).

Exemplos de frações decimais: 1/10, 3/100, 23/103

Exemplo. A fração 1/2 equivale à fração 5/10, que, por sua vez, equivale ao

número decimal 0,5.

Podemos representar uma fração decimal por um número decimal, isto é,

um número que tem uma parte inteira e uma parte decimal, separados por uma

vírgula.

Exemplo: 127/100 = 1,27

50 • capítulo 1

Podemos também transformar um número decimal em uma fração decimal.

Basta tomarmos como numerador o número decimal sem a vírgula e como

denominador a unidade (1) seguida de tantos zeros quantas forem as casas de-

cimais do número dado.

Exemplos:

a) 0,5 = 5/10

b) 0,05 = 5/100

c) 2,41 = 241/100

d) 7,345 = 7345/1000

e) 0,3=3/10

f) 0,25 = 25/100 = ¼

g) –0,75 = -75/100 = -3/4

Até agora, vimos números decimais com finitas ordens decimais ou de ex-

tensão finita. Repare que estes números têm a forma a/b com a e b sendo nu-

meros inteiros e b ≠ 0.

As dizimas periódicas simples ou compostas são números decimais com in-

finitas ordens decimais ou de extensão infinita periódica.

Exemplos:

a) 1/3 = 0,333...

b) 4/11 = 0,363636...

c) 23/90 = 0,2555...

Repare que as dizimas periódicas também têm a forma a/b com a e b sendo

numeros inteiros e b ≠ 0.

1.14 Números irracionais

1.14.1 Conceito

O surgimento dos números irracionais teve origem em uma discussão de um

antigo problema de Pitágoras, sobre o cálculo da diagonal de um quadrado de

lado 1. Esta diagonal mede 2 .

capítulo 1 • 51

Os números irracionais (I) formam um conjunto de valores que não podem

ser expressos na forma de uma fração. Estes números formam um conjunto

cuja interseção com o conjunto dos números racionais Q é o conjunto vazio,

pois os elementos do conjunto dos números racionais podem ser expressos na

forma de uma fração.

A necessidade de calcular o comprimento de uma circunferência eviden-

ciou também a existência de um número que se repetia para qualquer que

fosse a circunferência, número este denominado de número pi (π). O núme-

ro π é um exemplo de número irracional. Ele representa a divisão entre o pe-

rímetro de uma circunferência e o seu diâmetro, com o valor aproximado de

3,14159265359

A parte decimal dos números irracionais não possui nenhuma estrutu-

ra que possa ser fundamentada em forma de fração, como ocorre em frações

periódicas.

1.14.2 Exemplos de números irracionais

Número Pi: π =3,141592653589793284...

Número de Ouro: ϕ = 1,61803398874989...Constante de Euler: e = 2,7182818...

2 = 1,4142135623730950488016887242097...3 = 1,7320508075688772935274463415059...

Nunca saberemos o valor da última casa decimal destes números irracionais.

Os números irracionais são aqueles que, sob sua forma decimal, são núme-

ros decimais infinitos e não periódicos, ou seja, possuem infinitas casas deci-

mais nas quais não há um período de repetição.

1.15 Números reais

Os números reais formam um conjunto numérico que compreende os núme-

ros racionais e irracionais.

Sobre este conjunto estão definidas as operações de adição, subtração, mul-

tiplicação e divisão.

52 • capítulo 1

1.15.1 Propriedades dos Números Reais

Para os números reais podemos definir ainda as propriedades denominadas lei

do cancelamento e lei do anulamento:

a) Leis de cancelamento da soma e do produto

Se a + c = b + c então a = b

Se a * c = b * c, sendo c ≠ 0 então a = b

b) Lei de anulamento do produto

Se a * b = 0 então a = 0 ou b = 0.

1.15.2 Intervalos Numéricos

Os números reais podem ser representados sobre uma reta com as seguintes

características:

• Apresentar um ponto especial, denominado origem, a partir do qual se

define uma orientação positiva (convencionada como sendo para a direita).

• A cada ponto desta reta está associado um número real, que define a dis-

tância deste ponto à origem e seu sentido (positivo ou negativo).

Ainda sobre esta reta podem ser definidos intervalos numéricos com as se-

guintes características:

a) Intervalo aberto definido pelos números reais a e b, sendo b > a: Neste

intervalo, simbolizado por ]a, b[, estão definidos todos os números reais que

são maiores que a e menores que b.

a b

b) Intervalo semiaberto à direita (ou semifechado à esquerda) definido pe-

los números reais a e b, sendo b > a: Neste intervalo, simbolizado por [a, b[, estão

definidos todos os números reais que são maiores ou iguais a a e menores que b.

a b

capítulo 1 • 53

c) Intervalo semiaberto à esquerda (ou semifechado à direita) definido

pelos números reais a e b, sendo b > a: Neste intervalo, simbolizado por ]a, b],

estão definidos todos os números reais que são maiores que a a e menores ou

iguais a b.

a b

d) Intervalo fechado definido pelos números reais a e b, sendo b > a: Neste

intervalo, simbolizado por [a, b], estão definidos todos os números reais que

são maiores ou iguais a a e menores ou iguais a b.

a b

1.15.3 Centro e raio de um intervalo

O centro de um intervalo pode ser definido pelo ponto equidistante dos seus

extremos, o ponto médio, cujo valor numérico é igual à média aritmética dos

valores numéricos associados aos seus extremos.

Logo, em um intervalo cujos pontos extremos estão associados os valores

reais a e b (a < b), o centro é definido pelo ponto associado ao resultado (a +

b)/2. O raio deste intervalo, portanto, será igual à distância de qualquer um dos

extremos ao centro do intervalo, ou seja:

r ba b a b

ab a

= −+( )

=+( )

− =−( )

2 2 2

1.15.4 Formas de representação numérica

Um número real pode ser representado em uma forma decimal ou, no caso de

ser racional, também em uma forma fracionária.

a) Forma Fracionária

A forma fracionária de representação de um número real e racional consiste

em expressá-lo na forma de uma fração, composta por dois números inteiros a

e b, sendo b ≠ 0, chamados numerador e denominador.

54 • capítulo 1

Notação: a/b ou ab

b) Forma Decimal

A forma decimal de representação de um número real (racional ou irracio-

nal) consiste em expressá-lo na forma de uma parte inteira e uma parte deci-

mal. Nesta representação decimal, cada algarismo tem um valor associado à

sua posição.

an...a4a3a2a1a0,a-1a-2a-3a-4...a-n

Desta maneira, o número anterior vale:

an10n + .. + a4104 + a3103 + a2102 + a1101 + a0100 + a-110-1 + a-210-2 + ... + a-n10-n

Conforme pode ser verificado, cada algarismo é multiplicado pela potência

de dez correspondente à sua posição, somando-se em seguida os resultados ob-

tidos para todos os algarismos.

1.15.5 Simplificação de frações

A simplificação de uma fração consiste em dividir seu numerador e denomina-

dor por um mesmo número inteiro, de tal maneira que os mesmos se tornem

inteiros primos entre si.

1.15.6 Redução de frações nas operações de adição e subtração através do MMC

Ao se realizar a soma e a subtração de frações, deve-se coloca-las sob o mesmo

denominador, de maneira que ambas representem partes de um todo que foi

dividido em uma mesma quantidade de partes iguais.

A forma mais simples de se fazer esta operação consiste em se determinar o

mínimo múltiplo comum entre os denominadores e multiplicar o numerador

e o denominador de cada fração pela razão entre este mínimo múltiplo comum

e o seu denominador.

Lembre-se que o mínimo múltiplo comum é obtido a partir da fatoração de

cada um dos denominadores, sendo igual ao número obtido a partir do pro-

duto dos fatores comuns e não comuns destes denominadores elevados aos

capítulo 1 • 55

maiores expoentes.

Considere, por exemplo, a soma:

S = +475

790

Neste caso os denominadores são 75 = 3 * 52 e 90 = 2 * 32 * 5.

Seu mínimo múltiplo comum será, portanto, 2 * 32 * 52 = 450.

Logo, a primeira fração terá o seu numerador e denominador multiplicados

por 450/75 = 6 e a segunda fração terá o seu numerador e denominador multi-

plicados por 450/90 = 5.

S = + = + = + =475

790

6 46 75

5 75 90

24 35450

59450

..

..

Mesmo raciocínio poderia ser aplicado para a subtração de frações:

S = + = + = − = − = −475

790

6 46 75

5 75 90

24 35450

11450

11450

..

..

1.15.7 Regra de sinais

Para os números reais são válidas as seguintes regras de sinais:

• o produto e a divisão de dois números reais positivos fornece, como resul-

tado, um número real positivo.

Exemplo: 2*2 = 4 e 2 /2 = 1

• o produto e a divisão de dois números reais negativos fornece, como resul-

tado, um número real positivo.

Exemplo: (-2)*(-2) = 4 e (-2)/(-2) = 1

• o produto e a divisão de dois números reais, sendo um positivo e o ou-

tro negativo (em qualquer ordem) fornece, como resultado, um número real

negativo.

Exemplo: (-2)*(2) = -4 e (-2)/(2) = 01

56 • capítulo 1

1.15.8 Operações numéricas

As operações numéricas básicas são conhecidas como soma, subtração, multi-

plicação e divisão, já descritas anteriormente, e as operações de potenciação e

radiciação, que serão descritas a seguir.

1.15.9 Precedência dos operadores

Uma convenção define a precedência de operadores, segundo a qual, as opera-

ções presentes em uma mesma expressão numérica, envolvendo números re-

ais, devem ser realizadas, de forma que não haja dúvida em relação ao resultado

correto a ser produzido. Caso se queira que as operações sejam executadas fora

da ordem estabelecida nesta convenção de precedência de operadores, devem-

se usar parênteses para que a ordem de execução das operações seja estabele-

cida de forma explícita. Neste caso, operações presentes em parênteses mais

internos serão executadas antes das situadas externamente aos parênteses.

A precedência de operadores estabelece que, quando em uma mesma ex-

pressão, sejam executados na seguinte prioridade (desde que não haja parênte-

ses que alterem esta prioridade).

• Primeiramente a potenciação e a radiciação.

• Em seguida, a multiplicação e a divisão.

• Por fim, a soma e a subtração.

Desta forma, a expressão 7 + 3 x 5 resulta no valor 22 (pois a multiplicação é

executada antes da soma) ao passo que a expressão (7 + 3) x 5 resulta no valor 50

(pois a precedência dos operadores foi alterada com o emprego de parênteses).

1.15.10 Técnicas de arredondamento (de acordo com o IBGE)

Em relatórios técnicos em que a apresentação de números deve ser limitada a

uma determinada quantidade de casas decimais, deve-se estabelecer uma re-

gra segundo a qual números obtidos com uma quantidade maior de casas deci-

mais devem ser arredondados.

A regra comumente adotada é apresentada a seguir:

capítulo 1 • 57

• Se o algarismo a ser eliminado for maior ou igual a cinco, acrescenta-se

uma unidade ao primeiro algarismo situado à sua esquerda.

• Se o algarismo a ser eliminado for menor que cinco, mantém-se o algaris-

mo situado à sua esquerda.

Exemplos de arredondamento para duas casas decimais:

10,334 é arredondado para 10,33



EXERCÍCIO RESOLVIDO01. Considere os conjuntos de números reais A x R x= ∈ < <{ | }0 2 e

B x R x= ∈ − < <{ | }3 1 .

Determine o conjunto .

Resolução.

Os conjuntos A x R x= ∈ < <{ | }0 2 e B x R x= ∈ − < <{ | }3 1 são intervalos:

A = ]0 2[ e B = ]-3 1[.

–3 –3 –1 0 1 2A

B

A ∪ B

A ∩ B

(A ∪ B) – (A ∩ B)

A B

A B

A B A B x R x x R x

∪ = −∩ =

∪ − ∩ = ∈ − < ≤ ∪ ∈ ≤ <

[ ; [

] ; [

( ) ( ) { / } { / }

3 2

0 1

3 0 1 2

02. Represente os seguintes subconjuntos de IR na reta numérica:

a) A = {x ∈ |R / x > –3/2} b) B = {x ∈ |R / 2 < x < 5}

Resolução.

a) A = {x ∈ |R / x > -3/2} –1,5

58 • capítulo 1

b) B = {x ∈ |R / 2 < x < 5}

2 5

03. Considere os conjuntos: A = {x ∈ IR, x > 0}, B = {x ∈ IR, x ≤ 1} e C = {x ∈ IR, –3 < x ≤ 2},

determine:

a) A ∩ B

b) A ∪ C

c) (A ∪ C) – (A ∩ B)

Resolução.

a) A ∩ B = ]0 1]

b) A ∪ C = ] – 3 ∞)

c) (A ∪ C) – (A ∩ B) = ] – 3 0] ∪ ]1 ∞)

04. Considere os conjuntos D = ] –∞, –1[, E = ] –5, 2 [ e F = ] –1, 4], determine

a) D ∩ E

b) E ∪ F

c) (E∪ F) – (D ∩ E)

Resolução.

a) D ∩ E = ]– 5 – 1[

b) E ∪ F = (– ∞ 2[

c) (E ∪ F) – (D ∩ E) = (– ∞ – 5] ∪ [– 1 2[

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS1. Manoel Paiva, “Matemática”, Vol. 1, Editora Moderna.

2. Edwaldo Bianchini, Herval Paccola, “Matemática”, Vol. 1, Editora Moderna.

Conceitos Fundamentais De Álgebra e Aritmética

2

60 • capítulo 2

OBJETIVOS

• Associar a potência de números inteiros à operação de multiplicação de fatores iguais;

• Efetuar o cálculo de potências em que a base é um número real diferente de zero e de um

qualquer e o expoente inteiro;

• Resolver expressões numéricas com potências;

• Reconhecer as propriedades da potenciação e aplicá-las em cálculo simples.

• Calcular a raiz de um número racional;

• Aplicar as propriedades dos radicais na resolução de exercícios;

• Simplificar radicais;

• Simplificar expressões com radicais.

• Compreender o significado dos produtos notáveis;

• Compreender e aplicar as diferentes técnicas de fatoração de expressões algébricas;

• Compreender o conceito de razão entre duas grandezas;

• Reconhecer os termos de uma razão;

• Reconhecer razões inversas;

• Identificar proporções como igualdade de duas razões;

• Identificar meios e extremos de uma proporção;

• Determinar o termo desconhecido de uma proporção, aplicando a propriedade fundamen-

tal das proporções;

• Aplicar as propriedades de proporções nas diversas situações;

• Resolver problemas que envolvam duas grandezas direta e inversamente proporcionais;

• Resolver problemas que envolvam três ou mais grandezas diretamente ou inversamente

proporcionais.

• Compreender a ideia de taxa de porcentagem;

• Identificar e representar porcentagens;

• Representar porcentagens em frações e em decimais, e vice-versa;

• Resolver problemas, envolvendo porcentagens em sua vida prática.

capítulo 2 • 61

2.1 Radiciação e potenciação

As operações de potenciação e radiciação são ferramentas importantíssimas

em diversos campos. Inúmeras são as aplicações no cotidiano que requerem o

cálculo de potencias.

O estudo e os cálculos que envolvem juros compostos são baseados na po-

tenciação das taxas de juros. A função exponencial também é um exemplo onde

utilizamos potências; além da notação científica, que representa números mui-

to grandes ou pequenos.

Cálculos que muitas vezes apresentam certa complexidade podem se tornar

mais elementares e compreensíveis através da aplicação de certas proprieda-

des de potenciação e radiciação. São propriedades relativamente simples de

serem usadas.

O estudo de potencias e raízes servem como base para entender outros con-

ceitos dentro da própria matemática e dentro de outras ciências.

2.2 Potência de expoente natural

2.2.1 Conceito

Dados um número real a e um número natural n, diferente de zero, chama-se

potência de base a e expoente n o número que é igual ao produto de n fatores

iguais a a, ou seja:

an = a · a· a · ...· a

O número natural n é chamado de expoente, o número a é chamado de base.

Lemos an como “a elevado à enésima potência”.

Para qualquer número real não nulo a, definimos, para n = 0, a0 = 1

No caso de n = 1, temos que a1 = a

EXEMPLOc) 32

Pela definição, temos que a = 3 e n = 2. Portanto, o número 32 é igual ao produto de 2

fatores iguais a 3, ou seja, 32 = 3 • 3 = 9.

62 • capítulo 2

d) 40

Pela definição, temos que, para qualquer valor de a ≠ 0, o valor a0=1. Então, com

a = 4: 40 = 1

e) 51

Temos, por definição, que a1 = 0. Neste caso, a = 5. Portanto: 51 = 5

f) 04

Aqui, temos que a = 0 e n = 4. Portanto, o número 04 é igual ao produto de 4 fatores

iguais a 0, ou seja, 04 = 0 • 0 • 0 • 0 = 0

2.2.2 Propriedades

Sendo a e b números reais e m e n números naturais, valem as seguintes

propriedades

3. Multiplicação de potências de mesma base

⋅ = +

4. Divisão de potências de mesma base

= ≠− ,

5. Potência de potência

( ) = ⋅

6. Multiplicação de potências de mesmo expoente

⋅ = ⋅( )b

7. Divisão de potências de mesmo expoente

=

≠,

capítulo 2 • 63

As restrições impostas para a e b nas propriedades 2 e 5, respectivamente, de-

vem-se ao fato de não podermos efetuar a divisão quando o denominador é zero.

Na propriedade 2, de¬vemos ter m ≥ n para obtermos no valor do expoente

um número natural (0, 1, 2, ...).

2.3 Potência de expoente inteiro negativo

Dados um número real a, não nulo, e um número natural n, chama-se potência

de base a e expoente –n o número a–n, que é o inverso de an, ou seja:

=

As propriedades enunciadas para potencias de expoente natural continuam

válidas para quaisquer expoentes e inteiros (positivos ou negativos).

EXEMPLOVamos calcular as potências abaixo:

g) 3–2

Pela definição, temos que o número 3–2 é o inverso de 32, ou seja, 33

19

22

−−

= = .

h) (–4)–2

O número (–4)–2 é o inverso de (–4)2.

Sabendo que (–4)2 = (–4) (–4) = 16, então −( ) =−( )

=−−4

1

4

116

22

2.4 Raíz enésima e expoentes racionais

2.4.1 Conceito

Um processo relacionado ao de calcular potências é o de extrair raízes. Por

exemplo, quando buscamos a raiz cúbica do número 27, ou seja, 278 , esta-

mos procurando um número cujo cubo seja igual a 27. Este número é o 3, pois

33 = 27 e, então, 278 = 3

64 • capítulo 2

A expressão an é chamada radical, em que é o símbolo da raiz, a é o

radicando e n é o índice.

Quando nenhum índice for indicado, o valor de n será 2 e a expressão será

chamada raiz quadrada.

2.4.2 Índice n é um número natural ímpar, n ≥ 1

Quando estamos resolvendo uma expressão an , com a ∈ ℝ, e n sendo um

número natural ímpar, n ≥ 1, estamos procurando um valor b de forma que

bn = a, com b ∈ ℝ.

Simbolicamente, an = b ⇔ bn = a

EXEMPLO

− = −8 23

Pois −( ) = −( ) −( ) −( ) = −2 2 2 2 83

2.4.3 Índice n é um número natural par, n ≥ 2

Quando estamos resolvendo uma expressão an, com a ∈ ℝ, a não negati-

vo, e n sendo um número natural par, n ≥ 2, estamos procurando um valor b de

forma que bn = a, com b ∈ ℝ.

Simbolicamente, an = b ⇔ bn = a

EXEMPLO

100 10=

Pois 10 10 10 10 1003 = ⋅ ⋅ =

Se a for negativo, não existe nenhum número real igual a an .

capítulo 2 • 65

Por exemplo, não conseguimos calcular a −9 , pois não existe nenhum nú-

mero real b tal que b2 = –9. Neste caso, temos que an não é um número real.

ATENÇÃOMuito cuidado com a raiz de índice par. Por exemplo, temos que 4 2= e não 4 2= ± .

Na verdade, temos como resposta ±2 , quando estamos lidando com equações . Se

desejamos resolver a equação

x2 = 4,

estamos procurando para que valores de x teremos o quadrado destes valores iguais a 4.

Agora sim, podemos pensar nos dois valores: ±2

2 · 2 = 4 e (–2) · (–2) = 4

2.4.4 Propriedades

Sendo a e b números reais não negativos, m inteiro e n e p números naturais

não nulos, valem as seguintes propriedades

1. Mudança de índice

a a para a ou mmn m pn p= ≠ ≠⋅⋅, 0 0

2. Produto de radicais de mesmo índice

a b a bn n n= = ⋅

3. Divisão de radicais de mesmo índice

a b a bn n n= = ⋅

4. Potência de uma raiz

a

b

ab

bn

nn= ≠, 0

66 • capítulo 2

5. ℝaiz de uma raiz

a a para a ou mn m n( ) = ≠ ≠, 0 0

EXEMPLOCalcular as raízes:

a) 169

Usando a definição, temos que 169 = 13, pois 132 = 169.

b) 07 = 0, pois 07= 0

c) 325 = 2, pois 25 = 32

d) −64 não é um número real, pois sendo an = b, não existe nenhum número real b

tal que b2 = –64

2.5 Potência de expoente racional

Dados um número real positivo a, um número inteiro p e um número natural

q, com q ≥ 1, chama-se potência de base a e expoente pq

a raiz q -ésima de ap,

ou seja,

a apq pq=

As propriedades enunciadas para potencias de expoente natural continuam

válidas para quaisquer expoentes racionais.

EXEMPLOVamos calcular o valor de y = −4 16

82

84

Resolução

Podemos efetuar este cálculo de duas maneiras: escrevendo as potências em forma de

raiz ou usando as propriedades das potências.

capítulo 2 • 67

1ª maneira: escrevendo as potências em forma de raiz (utilizando a definição de potência

de expoente racional).

y

y

y

y

y

= −

= −

= −= −=

4 16

4 16

64 4096

8 8

0

82

84

3 34

4

Os cálculos de 64 e de 40964 podem ser feitos fatorando-se os números 64 e

4096, mas também poderíamos utilizar propriedades de potência e radiciação para simplifi-

car as raízes.

4 4 4 4 4 4 2 83 2 2= = ⋅ = ⋅ =

2ª maneira: usando as propriedades de potência.

y

y

y

y

y

= −

= ( ) − ( )= ( ) − ( )= ( ) − ( )=

4 16

2 2

2 2

2 2

0

82

84

232 4

34

62

124

3 3


05. Escreva os itens abaixo como potência de base 2:

b) 14

c) 325 d) 22

e) 828 f) 64

82

−g) 2

5( )a) 16

68 • capítulo 2

Resolução

a) 16 = 24

b) 41

12

22

2= = −

c) 32 2 25 55= =

d) 22

22

2 2

12 1

21

12= = =

− −

e) 8 2 2 228 3

28

68 2= ( ) = =

f) 64 26 2 282

82

188 9− − − −= ( ) = =

g) 2 2 25 1

2

5 52( ) =

=

06. Simplifique as expressões

a) 10 10 1010

2 2 3

4

⋅ ⋅( )

b) ( )( )

2 2 22

4 2 5 3

5 5

⋅ ⋅ −

Resolução

a) 10 10 1010

10 10 1010

1010

102 2 3

4

2 6

4

9

45⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = =( )

b) ( )( )

2 2 22

2 2 22

22

24 2 5 3

5 5

8 5 3

25

10

2515⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = =

− −−

ESTUDO DE CASO APLICADOS

01. Se um capital inicial C for investido por t anos a uma taxa de juros compostos i (em de-

cimal) ao ano, o valor futuro resultante, ou seja, o montante resultante será dado por M = C

(1 + i)t, e o rendimento ganho é J = M – C. Determine o valor futuro (montante) quando se

capítulo 2 • 69

aplica R$ 1.200,00, por 5 anos, com taxa de 12% ao ano, a juros compostos.

Resolução

Para efetuarmos o cálculo do M (valor futuro ou montante), basta substituir na fórmula os

valores dados no problema. Portanto:

M = C 1 + i t( )= +( )= ( )= ⋅

M

M

M

1200 1 0 12

1200 1 12

1200 1 7623416

5

5

,

,

, 8832

2114 81M = ,

O rendimento ganho é calculado através da fórmula J = M – C.

Então, J = 2.114,81 – 1.200,00 = 914,81.

Portanto, um capital inicial de R$ 1.200,00, quando aplicado a uma taxa de 12% ao ano,

por um período de 5 anos, resulta em um valor futuro de R$ 2.114,81 e em um rendimento

ganho de R$ 914,81.

02. Determine o montante resultante quando se aplica R$ 2.500,00, por 12 anos, com taxa

de 11,5% ao ano, a juros compostos.

Resolução

Para efetuarmos o cálculo do M (valor futuro ou montante), basta substituir na fórmula os

valores dados no problema. Portanto:

M = C 1 + i t( )= +( )= ( )= ⋅

M

M

M

2500 1 0 115

2500 1 115

2500 3 692

12

12

,

,

, 3312

9230 78M = ,

J = 9.230,78 – 2.500,00 = 6.730,78

Então, um capital inicial de R$ 2.500,00, aplicado a uma taxa de 11,5% ao ano, por um

período de 12 anos, resulta em um valor futuro de R$ 9.230,78 e em um rendimento de R$

6.730,78.

70 • capítulo 2

Observação.

É muito comum, no cálculo de potências e raízes, o resultado final apresentar uma dízima

infinita não periódica. Neste caso, devemos trabalhar fixando uma quantidade de casas deci-

mais. Quando maior esta quantidade, mais preciso será o resultado obtido

03. De acordo com Morettin et al. (2004, p. 93), “denomina-se função de produção a relação

entre a quantidade física dos fatores de produção, tais como capital, trabalho e outros, e a

quantidade física do produto na unidade de tempo. Se considerarmos fixos todos os fatores

menos um, a quantidade produzida será função desse fator. Chamando de a quantidade pro-

duzida na unidade de tempo e x a quantidade do fator variável utilizada na unidade de tempo,

teremos a função de produção P = f(x). Chamamos de produtividade média do fator variável

o valor indicado por Pm dado por PPxm = .”

Vamos considerar a seguinte função de produção P x= ⋅1235 , em que P é o número de

cadeiras produzidas por semana numa marcenaria (com certo número fixo de empregados)

e x, o número de serras elétricas utilizadas.

a) Quantas cadeiras serão produzidas por semana se forem utilizadas 7 serras? E se o

número de serras for igual a zero?

b) O que acontecerá com a quantidade produzida se o número de serras ficar 32 vezes

maior?

Resolução

a) Quantas cadeiras serão produzidas por semana se forem utilizadas 7 serras? E se o

número de serras for igual a zero?

Neste caso, temos x = 7 cadeiras. Substituindo na fórmula, obtemos:

P x

P

= ⋅

= ⋅

12

12 7

35

35

Podemos reescrever esta fórmula escrevendo a potência em forma de raiz (utilizando a

definição de potência de expoente racional):

P

P

P

P

= ⋅

= ⋅= ⋅=

12 7

12 343

12 3 2141

38 5692

35

5

,

,

capítulo 2 • 71

Portanto, quando forem utilizadas 7 serras elétricas, serão produzidas aproximadamente

38,57 cadeiras.

No caso de x = 0, temos:

P x

P

P

= ⋅

= ⋅=

12

12 0

0

35

35

Portanto, quando não forem utilizadas serras elétricas, a marcenaria logicamente não

produzirá nenhuma cadeira

b) O que acontecerá com a quantidade produzida se o número de serras ficar 32 vezes

maior?

Se o número de serras ficar 32 vezes maior, teremos uma nova fórmula para a produção,

que é dada por:

P x= ⋅ ( )12 3235

Podemos reescrever esta fórmula decompondo o número 32 e utilizar propriedades de

potencias. Com isso, obtemos:

P x

P x

P x

P x

P

= ⋅ ( )= ⋅ ( ) ( )

= ⋅ ( ) ( )

= ⋅ ⋅ ( )

=

12 2

12 2

12 2

12 8

96

535

535

35

335

35

⋅⋅ ( )x35

Valor original:

Valor com o número de serras ficar 32 vezes maior:

Então, se o número de serras ficar 32 vezes maior, a quantidade produzida ficará 8 vezes

maior

72 • capítulo 2

2.6 Expressões algébricas

2.6.1 Conceito

Uma expressão algébrica é uma expressão matemática que contém números

e letras ou somente letras. As letras da expressão algébrica são chamadas de

variáveis.

2.6.2 Valor numérico de uma expressão algébrica

O valor numérico de uma expressão algébrica é o número real que obtemos

quando substituímos todas as variáveis da expressão pelos valores dados e efe-

tuamos as operações indicadas na expressão.

EXEMPLODetermine o valor numérico da expressão 5 8

54

5x

x xx

+−

+ =, para .

5 85

4 5 5 8

5 545

330

45

xx x

+−

+ =( )+

−+ = +

2.6.3 Monômio ou termo algébrico.

Monômio é produto entre incógnitas ou produto entre números e incógnitas.

Nos monômios não se encontra o uso da adição ou da subtração, pelos menos

explicitamente.

Exemplo:

a) 2

b) x

c) 2x

d) –3xy4

Denominador nulo. A expressão

não representa um número real.

capítulo 2 • 73

Partes de um monômio

Consideramos um monômio dividido em duas partes:

• um número – coeficiente do monômio e

• uma variável ou o produto de variáveis (letras), inclusive suas potências,

caso existam – parte literal

Exemplos.

a) 5x: 5 é o coeficiente do monômio e x é sua parte literal;

b) –3xy4: –3 é o coeficiente do monômio e xy4 é sua parte literal;

c) xz: 1 é o coeficiente desse monômio e xz é sua parte literal.

Grau de um monômio

O grau de um monômio é definido quando todos os expoentes são números

inteiros é dado pela soma dos expoentes.

Exemplo.

2x2y5z grau 2 + 5 + 1 = 8

Monômios semelhantes.

Monômios semelhantes são aqueles que possuem a mesma parte literal.

Exemplos.

a) 2xy e 32

são semelhantes, pois possuem a mesma parte literal xy.

b) 7a3b2 e 0,32a3b2 são semelhantes, pois possuem a mesma parte literal a3b2.

Operações Com Monômios

a) Adição e Subtração (monômios semelhantes): repete-se a parte literal e

somam-se/ subtraem-se os coeficientes

Exemplo.

2 x2 y + 14 x2y + 5 x2y = 21 x2y

74 • capítulo 2

b) Multiplicação e Divisão: multiplicam-se/ dividem-se as partes literais e

os coeficientes.

Exemplos

a)

16 2 8

16 2 85 4

5 4

÷ =

( )÷( ) =

÷ =

x x x

x x x

b) 57

103

57

103

1

5

710

10

2

5 2 5 2x x x x

÷

= ÷

⋅ ÷( ) = ÷

⋅ = ⋅x x3 3314

c) 6 2 3 6 2 3 362 4 2 4 6 2x y x y x x y y x y⋅ ⋅ = ⋅ ⋅( ) ⋅ ⋅ ⋅( ) =

2.6.4 Polinômios

Polinômio é toda expressão racional inteira composta de um ou mais termos,

consiste na adição ou subtração algébrica de monômios

Exemplos:

a) 4x

b) 3x = 5

c) 34

15

3 64 3 2x x x x− + − +

Operações com polinômios

Adição e subtração de polinômios

Calcule a soma dos polinômios:

4 7 2 3 2 3

4 7 2 3 2 3

2 2

2 2

x x x x

x x x x

− +( )+ + +( ) =

= − + + + + = (eliminando os parr nteses)

(agrupando os termos semelhan= + − + + + =4 3 7 2 2 32 2x x x x ttes)

(reduzindo os termos semelhantes)= +( ) + − +( ) + =

=

4 3 7 2 52x x

77 5 52x x− +

capítulo 2 • 75

Multiplicação de polinômios

Multiplicamos os coeficientes numéricos e multiplicamos as partes literais

aplicando, sempre que possível, a propriedade do produto de potências de

mesma base a a am n m n⋅ =( )+

Exemplos:

d)

x x x

x x x

2 3 5

2 3 55 6 30

5 6 30

⋅ =

( )⋅( ) =

⋅ =

e) −

⋅

= − = −32

89

2418

43

3 2 2 3 5 5 5 5y x y x y x y x

f) 2 3 4 3 6 8 62 2 4 3 2x x x x x x⋅ − +( ) = − +

g) 4 3 3 4 12 16 9 12 12 7 122 2x x x x x x x+( )⋅ −( ) = − − − = − −

Divisão de polinômios

A primeira providência para dividirmos polinômios é reduzir os termos seme-

lhantes e ordená-los. A divisão de polinômios é muito semelhante à divisão de

números naturais utilizando o método da chave.

Dividendo Divisor

ℝesto Quociente

Exemplo: (6x2 + 2x – 20) ÷ (2x + 4)

6 2 20 2 42x x x+ − +

• 1º passo: Dividir o primeiro termo do dividendo pelo primeiro termo do

divisor para determinar o primeiro termo do quociente.

62

32x

xx=

76 • capítulo 2

• 2º passo: Multiplicar o divisor pelo resultado da divisão do 1º passo.

3 2 4 6 122x x x x⋅ +( ) = +

• 3º passo: Subtrair do dividendo o resultado do 2º passo.

6 2 20 6 122 2x x x x+ −( )− +( )

Na chave, temos:

6 2 20 2 4

6 12 3

10 20

2

2

x x x

x x x

x

+ − +

− −− −

Seguindo os mesmos passos, temos:

6 2 20 2 4

6 12 3 5

10 20

10 20

0

2

2

x x x

x x x

x

x

+ − +

− − +− −− −

Portanto, o resultado dessa divisão é 3x – 5 com resto 0.

2.7 Produtos notáveis

Algumas expressões envolvendo dois números reais distintos a e b são tão im-

portantes, observadas, notadas com tal frequência que são denominadas pro-

dutos notáveis.

• Quadrado da soma: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

• Quadrado da diferença: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

• Diferença entre dois quadrados: a2 – b2 = (a + b) (a – b)

capítulo 2 • 77

• Cubo da soma: (a + b)3 = a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + b3

• Cubo da diferença: (a – b)3 = a3 - 3.a2.b + 3.a.b2 – b3

• Soma entre dois cubos: a3 + b3 = (a + b)(a2 – a.b + b2)

• Diferença entre dois cubos: a3 – b3 = (a – b)(a2 + a . b + b2)

EXEMPLO

3 4 3 4 3 4 9 12 12 16 9 24 16

3 4 3

2 2 2

2

x x x x x x x x

x x

+( ) = +( )⋅ +( ) = + + + = + +

−( ) = − 44 3 4 9 12 12 16 9 24 16

8 8 8

2 2

2 2

( )⋅ −( ) = − − + = − +

−( )⋅ +( ) = ( ) −( )x x x x x x

x x x == −64 2x

2.8 Fatoração de expressões algébricas

2.8.1 Conceito.

O termo fatorar significa decompor uma expressão ou número em fatores ou

parcelas, de modo que o produto destas parcelas resulte na expressão ou nú-

mero original.

A fatoração de um número inteiro consiste na sua decomposição em um

produto de números inteiros primos, sendo os números que aparecem repeti-

das vezes agrupados na forma de potência.

2.8.2 Fator comum em evidência

Esse caso é aplicado a expressões algébricas que possuem um fator comum a

todos os termos.

Exemplo:

a) Fatorar a expressão 2 4 6x y z+ − .

1. O fator comum entre os termos é 2.

2. Dividimos cada termo da expressão pelo fator comum 2.

2 4 6 2 2 3x y z x y z+ − = ⋅ + −( )

78 • capítulo 2

2.8.3 Agrupamento

A expressão x ax bx ab2 + + + não possui um fator comum a todos os seus ter-

mos. No entanto, agrupando os dois primeiros e os dois últimos termos, perce-

bemos que existem fatores comuns a cada um dos grupos, ou seja:

x ax bx ab x x afator comum x fator comum b fator comu

2 + + + = ⋅ +( )�� mm fator comum

b x a x a x b�� + ⋅ +( ) = +( )⋅ +( )

Exemplo:

6 9 4 6 3 2 3 2 2 3 2 3 3 22x ax bx ab x x a b x a x a x b− + − = −( )+ −( ) = −( ) +( )

2.8.4 Trinômio quadrado perfeito

a b a ab b

a b

+( ) + +

−( )

2 2 2

2

2 a forma fatorada de

a forma fatoorada de a ab b2 22− +

Exemplo:

a) Fatorar 4x2 + 12x + 9.

4 12 9 2 32

4 2 9 3

2

2

x x xx x= =

+ + = +( )� �

2.8.5 Diferença de dois quadrados

a2 – b2 = (a – b) (a + b)

Exemplo:

Fatorar x x xx x

2

2 9 32

9 3 3= =

− = −( ) +( )� �

capítulo 2 • 79

2.9 Razão e proporção

Utilizamos as noções de razão e proporção muitas vezes em situações cotidia-

nas, seja em situações científicas, seja em situações envolvendo negócios.

Na culinária, temos um exemplo de utilização de razão e proporção. Se te-

mos 3 ovos para cada duas colheres de farinha de trigo, e precisamos aumentar

ou diminuir a receita, estamos usando a noção básica de proporção. Quando

são ministrados medicamentos, temos também um exemplo de utilização de

proporção de quantidades. Temos outras tantas utilizações de razões e propor-

ções, tais como, quando construímos a planta de uma casa, utilizamos escalas;

para encontrar a velocidade média de um automóvel; no cálculo da densidade

demográfica etc. Numa sociedade, a divisão dos lucros deve ser proporcional ao

tempo em que cada sócio pertence a ela e ao capital empregado por cada um.

Quem aplica mais tem direito a uma fatia maior do lucro. Não é justo?

Em nosso dia a dia, comumente nos deparamos com informações do tipo

“um a cada 5 consumidores dessa região prefere o produto A”. Esta frase tem

o mesmo significado que “20% dos consumidores dessa região preferem o pro-

duto A”? Lembre-se de que a razão 1 para 5 é igual à razão 20 para 100 e que essa

igualdade determina uma proporção.

A utilização do conceito de razão é a maneira mais comum de se proceder a

comparação relativa entre duas grandezas.

Quando dividimos uma grandeza por outra, estamos comparando a primei-

ra grandeza com a segunda, que passa a ser a base da comparação.

2.10 Razão

ℝazão significa o quociente ou a divisão entre dois números X e Y, com Y ≠ 0.

Indica-se: XY

ou X : Y e lê-se: X para Y.

O numerador (X) é denominado antecedente e o denominador (Y) é deno-

minado consequente.

Também podemos expressar a razão na forma de divisão entre duas grande-

zas de algum sistema de medidas. Vejamos alguns exemplos:

80 • capítulo 2

EXEMPLO1. Numa partida de futebol entre Brasil e Argentina, havia 80.000 torcedores, sendo

50.000 brasileiros e 30.000 argentinos. Podemos dizer que a razão entre o número de ar-

gentinos e o número de brasileiros é 30 00050 000

35

.

.= , o que significa que para cada 3 argenti

nos há 5 brasileiros assistindo à esta partida.

2. Em uma empresa de seguros de automóveis, 150 novos seguros são feitos por mês

e 30 sinistros são registrados no mesmo período. Deseja-se saber qual a razão de sinistros

desta empresa com relação ao número de seguros feitos no mesmo período.

Resolução

Para descobrirmos a razão de sinistros desta empresa com relação ao número de se-

guros feitos no mesmo período, fazemos: 30150

15

= , o que significa que a empresa registra

1 sinistro para cada 5 automóveis segurados no período estudado.

3. Uma montadora de automóveis testou um novo motor para seus carros populares. Esse

motor foi testado em um carro popular, o qual percorreu 270 km em 3 horas. Qual foi a velo-

cidade média do veículo nesse percurso?

Resolução

2703

90kmh

km h= /

Isso significa que a velocidade média do automóvel com o novo motor foi de 90 km/h; ou

podemos dizer que o automóvel percorreu 90 km a cada hora, em média.

4. Numa determinada cidade do interior de São Paulo, foi realizada uma pesquisa sobre

o número de leitores que leem regularmente determinados jornais. A cidade tem 200.000

habitantes, sendo que 2.000 pessoas leem o Jornal X, 8.000 leem o Jornal Y e 190.000 não

leem nenhum jornal. Pergunta-se:

a) qual a razão entre o número de leitores do Jornal Y com relação ao do Jornal X?

b) qual a razão de habitantes da cidade que têm o hábito de ler jornal?

capítulo 2 • 81

Resolução

a) Para se descobrir a razão entre o número de leitores do Jornal Y com relação ao do

Jornal X, basta fazer o quociente entre os dois valores, ou seja: 8 0002 000

4..

= . Isso significa que

o jornal Y tem 4 vezes mais leitores do que o Jornal X.

b) A razão de habitantes da cidade que têm o hábito de ler jornal é dada por 10 000200 000

120

..

=

ou seja, apenas 1 em cada 20 habitantes desta cidade tem o hábito de ler jornal.

2.11 Proporção

2.11.1 Conceito

A igualdade entre duas razões XY

e ZW

(com X, Y, Z e W ≠ 0) é chamada de

proporção.

Na proporção XY

ZW

= (lê-se: X está para Y assim como Z está para W), os

valores X e W são chamados de extremos, enquanto os números Y e Z são cha-

mados meios.

2.11.2 Algumas propriedades das proporções

a) Propriedade Fundamental das Proporções

Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos e

vice-versa.

Se XY

ZW

= então, X · W = Y · Z

Por exemplo:

De fato, temos que 23

69

= , pois 2 · 9 = 3 · 6 ⇒ 18 = 18

b) Soma dos termos de uma proporção

Numa proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º)

termo, assim como a soma dos dois últimos está para o 4º (ou 3º).

Se XY

ZW

= então, X YY

Z WW

+ = + ou X YX

Z WZ

+ = +

82 • capítulo 2

Exemplo:

Se 23

69

= , então 2 33

6 99

53

159

+ = + → = ou ainda, 2 32

6 96

52

156

+ = + → = .

c) Soma dos antecedentes e dos consequentes

Numa proporção, a soma dos antecedentes está para a soma dos conse-

quentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente.

Se XY

ZW

= então X ZY W

XY

++

= ou X ZY W

ZW

++

= .

Exemplo.

Se 23

69

= , então 2 63 9

23

1812

123

++

= → = ou ainda, 2 63 9

69

812

69

++

= → =

d) Produto dos antecedentes e dos consequentes

Numa proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos con-

sequentes, assim como o quadrado de cada antecedente está para quadrado do

seu consequente.

Se XY

ZW

= então XZYW

XY

=2

2 ou XZ

YWZW

=2

2

Exemplo.

Se 23

69

= , então 2 6

3 923

1227

49

2

2

⋅⋅

= → = ou ainda, 2 6

3 969

1227

3681

2

2

⋅⋅

= → =


Determinar o valor de X para que a razão X5

esteja em proporção com 610

.

Resolução

Temos que X5

610

= . Como sabemos que o produto dos meios é igual ao produto dos ex-

tremos, temos:

10X = 30

X = 3

Portanto, para que a razão X5

esteja em proporção com 610

., o valor de X deve ser igual

a 3.

capítulo 2 • 83

ESTUDO DE CASO APLICADOS01. Na escolha de um profissional para ocupar o cargo de gerente de marketing de uma

grande empresa, o setor de Recursos Humanos contou com um processo seletivo composto

de 3 fases. Na primeira fase deste processo, sabe-se que a razão entre o número de homens

e o número de mulheres era 46

. Se o total de inscritos era 2.400 pessoas, determine:

a) o número de mulheres que participaram da seleção;

b) a razão entre o número de aprovados e o número total de inscritos, sabendo que 312

dos

homens foram aprovados e 1220

das mulheres não foram aprovadas.

Resolução

a) Como o número total de inscritos era de 2.400 pessoas e a razão entre o número de

homens e o número de mulheres era de 46

, ou seja, quatro partes do todo eram com

postas por homens e 6 partes do todo eram compostas por mulheres, desta forma, basta

dividirmos o total de pessoas (2.400) por 10 (4 + 6) para sabermos quanto corresponde

a uma parte 2 40010

240. = .

Se uma parte corresponde a 240 pessoas, então o número de mulheres que participaram

da seleção é 240 · 6 = 1.440 mulheres.

b) Como queremos encontrar a razão entre o número de aprovados e o número total de

inscritos, precisamos encontrar cada uma destas quantidades. O número total de inscri-

tos já foi fornecido pelo problema e corresponde a 2.400 pessoas. Agora, precisamos

determinar qual o número de aprovados.

Por meio do item (a), sabemos que o número de mulheres que participaram da se-

leção é de 1.440, de um total de 2.400 inscritos; portanto, o número de homens é

2.400 – 1.440 = 960. Agora, precisamos determinar a quantidade de homens e de mulheres

que foram aprovados.

Se 312

dos homens foram aprovados (o que significa que 3 em cada 12 homens foram

aprovados), podemos obter a quantidade de homens aprovados dividindo o total de homens

por 12 e pegando 3 partes deste valor, ou seja: 96012

3 240⋅ = homens aprovados.

84 • capítulo 2

O mesmo raciocínio deve ser usado para encontrar o número de mulheres aprovadas;

porém, devemos notar que o problema forneceu a proporção de mulheres que não foram

aprovadas.

Para encontrarmos a proporção de mulheres que foram aprovadas, devemos ver o que

“falta” para termos um inteiro nesta proporção, ou seja, 11220

820

− = das mulheres foram

aprovadas.

Isso significa que 8 em cada 20 mulheres foram aprovadas. O valor 1 utilizado nesse

cálculo representa o inteiro da proporção (corresponde a 100%).

Dividindo o total de mulheres por 20 e pegando 8 partes deste valor, teremos o número

de mulheres aprovadas, ou seja: 1 440

208 576

. ⋅ = mulheres aprovadas.

Somando 240 com 576, teremos o número total de aprovados, que é igual a 816.

Então, a razão entre o número de aprovados e o número total de inscritos é dada por: 816

240051

150= .

Isso significa que 51 pessoas, a cada 150 que prestaram o concurso, passaram na pri-

meira fase do processo seletivo.

02. Uma empresa quer dividir uma parte de seus lucros, mais precisamente R$ 12.000,00,

com 3 gerentes. O critério utilizado para fazer a divisão será proporcional ao tempo de serviço

de cada um na empresa. O gerente X trabalha na empresa há 12 anos, o gerente Y trabalha

há 5 anos e o gerente Z há 3 anos. Quanto cada um deve receber?

Resolução

Está muito claro que se trata de um problema que envolve proporção, pois cada gerente

deve receber uma quantidade proporcional ao seu tempo de serviço (justo!).

Vamos montar uma tabelinha para visualizar melhor o problema:

GERENTES X Y ZTempo de serviço (anos) 12 5 3

Valor a receber (R$) x y z

Para resolver este problema, devemos encontrar três valores, x, y, e z, que são diretamen-

te proporcionais a 12, 5 e 3 anos, respectivamente.

capítulo 2 • 85

Então, dizemos que x está para 12, assim como y está para 5 e assim como z está para

3. Utilizando a linguagem matemática, podemos escrever da seguinte forma:

x y z x

x

x

x

+ ++ +

=

=

=

=

12 5 3 1212 000

20 12

60012

7200

.

Usa-se o mesmo raciocínio para determinar y e z.

x y z y

y

x

+ ++ +

=

=

=

12 5 3 5

6005

3 000.

x y z z

z

x

+ ++ +

=

=

=

12 5 3 3

6003

1 800.

Concluímos, então, que, para dividir o lucro de R$ 12.000,00, de forma proporcional ao

tempo de serviço de cada um, o gerente X deverá receber R$ 7.200,00, o gerente Y, R$

3.000,00 e o gerente Z, R$ 1.800,00.

ESTUDO DE CASOS APLICADOS PROPOSTOS01. Em uma empresa de telemarketing, a razão do número de homens para o número de

mulheres é 2/3. Se nesta empresa existem 60 mulheres, qual é o número de homens? Quan-

tos funcionários tem a empresa?

Gabarito: 40 e 100

02. Numa propaganda de supermercado, um anúncio dizia: “Leve 3 cremes dentais e pague

2”. Se um freguês resolve levar 15 cremes dentais, por quantos ele, efetivamente, pagou?

Gabarito: 10

86 • capítulo 2

03. Determine dois números positivos, x e y, sabendo que a razão entre eles é 5/4 e a dife-

rença dos seus quadrados é 81.

Gabarito: x = 15 e y = 12

04. A razão das idades de duas pessoas é 2/3. Achar estas idades sabendo que sua soma

é 35 anos.

Gabarito: 14 e 21 anos

05. Três pessoas (A, B e C) formaram uma sociedade. O sócio A investiu R$ 60.000,00, o B

investiu R$ 90.000,00 e o sócio C investiu R$ 30.000,00. No final de um ano, registraram um

lucro líquido de R$ 360.000,00 e querem reparti-lo de forma proporcional ao investimento

inicial de cada um. Quanto deve receber cada sócio? O que este valor representa em relação

ao investimento inicial de cada sócio?

Gabarito: Sócio A = R$ 120.000,00; sócio B = R$ 180.000,00; sócio C = R$ 60.000,00.

Cada um recebeu o dobro do que investiu inicialmente.

06. Ângelo e Carlos formaram uma microempresa com capitais iguais. No final de um ano,

registraram um lucro de R$ 75.000,00. Sabe-se também que Carlos entrou

Gabarito: Ângelo deve receber R$ 47.368,42 e Carlos R$ 27.361,58.

2.12 Grandezas direta e inversamente proporcionais

2.12.1 Grandezas Diretamente Proporcionais

Grandezas diretamente proporcionais variam na mesma razão. Quando uma

delas aumenta, a outra aumenta na mesma razão. Ainda, duas grandezas são

diretamente proporcionais quando, multiplicando o valor de uma delas por um

número positivo, o valor da outra fica multiplicado por esse mesmo número

positivo.

Considere que um produto custa 40 reais a unidade.

Se quisermos comprar duas unidades, pagaremos 80.

Se quisermos comprar três unidades, pagaremos 120, e assim por diante.

capítulo 2 • 87

Dobrando a quantidade de unidades de produtos que compramos, dobrará

o valor a ser pago, se triplicarmos a quantidade, pagaremos o triplo.

2.12.2 Grandezas Inversamente Proporcionais

Grandezas inversamente proporcionais variam segundo razões inversas. Quan-

do aumentamos uma delas, a outra diminui na mesma razão. Ainda, duas gran-

dezas são inversamente proporcionais quando, multiplicando o valor de uma

delas por um número positivo, o valor da outra é dividido por esse mesmo nú-

mero positivo.

Se estamos percorrendo um trecho em uma rodovia que consiste em 240

km, com velocidade média de 24 km/h, com os conceitos de velocidade, espaço

e tempo conhecidos, levaremos 10 horas para percorrê-lo.

Se percorrermos este mesmo trecho, com velocidade média de 48 km/h, le-

varemos 5 horas para percorrer.

2.13 Regra de três simples

2.13.1 Conceito

Os problemas de regra de três simples envolvem duas grandezas direta ou in-

versamente proporcionais. Essas grandezas formam uma proporção em que

são conhecidos 3 valores (por isso o nome regra de três) e o quarto valor é o

procurado.

2.13.2 Procedimento

Para montarmos a regra de 3 simples, podemos seguir o roteiro abaixo:

1. Organizamos os dados em colunas e linhas. Nas colunas, colocamos os

valores de mesma grandeza.

2. Verificamos se as grandezas são diretamente ou inversamente propor-

cionais utilizando setas como referência. Se as grandezas forem diretamente

proporcionais, colocamos ao lado de cada coluna flechas com o mesmo sentido

(↓↓ ou ↑↑) e, se as grandezas forem inversamente proporcionais, indicaremos

com flechas no sentido contrário (↓↑ ou ↑↓).

88 • capítulo 2

GℝANDEZA 1 GℝANDEZA 2

a c

b x

As letras indicam os valores conhecidos e x é o valor procurado.

3. Se as grandezas forem diretamente proporcionais, escrevemos uma

proporção tomando os elementos da mesma maneira que estão escritos nas

colunas, ou seja:

ab

cx

=

4. Se as grandezas forem inversamente proporcionais, escrevemos uma

proporção invertendo os termos de uma só das razões:

ab

xc

=

5. Aplicamos a propriedade fundamental da proporção e encontramos o va-

lor da incógnita (valor procurado).

Exemplo. A produção de uma tecelagem era de 10.000 m de tecido/dia. A in-

dústria admitiu 500 novos funcionários e a produção passou para 15.000 m de

tecido/dia. Qual era o número de funcionários antes da contratação dos novos?

Resolução

Vamos seguir o roteiro proposto no texto:

1. Estamos trabalhando com duas grandezas: número de operários e pro-

dução (metros/dia). Colocando as informações de mesma grandeza nas colu-

nas, obtemos:

Número de operários

x

x + 500

Produção (metros/dia)

10.000

15.000

capítulo 2 • 89

2. As grandezas são diretamente proporcionais, pois, aumentando o nú-

mero de funcionários, aumenta também a produção (metros/dia). Então, as fle-

chas são colocadas no mesmo sentido.

3. A proporção obtida é:

xx +

=500

10 00015 000

.

.

4. Aplicando a propriedade fundamental da proporção e isolando a incóg-

nita, temos:

15 000 10 000 500

15 000 10 000 5 000 000

15 000 10 00

. .

. . . .

. .

x x

x

x

= +( )= +− 00 5 000 000

15 000 5 000 000

5 000 0005 000

==

=

. .

. . .

. ..

x

x

Portanto, a indústria tinha 1.000 funcionários antes das novas contratações.

Exemplo. Um automóvel com velocidade de 90 km/h percorre certa distân-

cia em 4 horas. Quanto tempo este automóvel gastará para percorrer a mesma

distância com velocidade de 110 km/h?

Resolução

Seguindo o mesmo procedimento proposto, temos:

1. As grandezas são: velocidade (km/h) e tempo (horas).

2. Estas grandezas são inversamente proporcionais, pois, aumentando a

velocidade, o tempo para percorrer a mesma distância é menor. Então, as fle-

chas são colocadas em sentido contrário:

Velocidade (km/h)

90

110

Tempo (horas)

4

x

90 • capítulo 2

3. Para escrevermos a proporção, devemos inverter os termos de uma das

razões, ou seja:

90110 4

= x

4. Aplicando a propriedade fundamental da proporção e isolando a incóg-

nita, temos:

110 360

3601103 27

x

x

x horas

=

=

= ,

O automóvel levará aproximadamente 3 horas, 16 minutos e 12 segundos

para percorrer a mesma distância com velocidade de 110 km/h.

ATENÇÃOPara convertermos um valor decimal referente em horas, minutos e segundos, devemos, em

primeiro lugar, separar a parte inteira que se refere às horas. Nesse caso, 3,27 correspon-

dem a 3 horas mais a porção referente a 0,27 da hora. Como uma hora tem 60 minutos,

então podemos escrever que 0,27 da hora é igual a 0,27 × 60 minutos = 16,2 minu-

tos. Da mesma forma, se quisermos estabelecer a quantidade de segundos, fazemos

0,2 × 60 segundos = 12 segundos. Portanto, 3,27 horas correspondem a 3 horas, 16 minu-

tos e 12 segundos.

2.14 Regra de três composta

2.14.1 Conceito

Os problemas de regra de 3 composta envolvem mais de duas grandezas. Segun-

do Teixeira e Netto (1998, p. 17), “em problemas deste tipo devemos considerar

que quando a variação de duas ou mais grandezas é diretamente proporcional

à variação da grandeza que contém a incógnita, então o produto das razões des-

tas grandezas também é diretamente proporcional à variação da grandeza que

contém a incógnita”.

capítulo 2 • 91

2.14.2 Procedimento

O procedimento para análise de problemas de regra de 3 composta é o mesmo

que o utilizado para resolução de regra de 3 simples, ou seja:

1. Organizamos os dados em colunas e linhas. Nas colunas, colocamos os

valores de mesma grandeza.

2. Verificamos, separadamente, se as grandezas que não contêm a incóg-

nita são direta ou inversamente proporcionais à grandeza da incógnita. Nesta

análise, supomos constan-tes as demais grandezas. Indicamos o tipo de pro-

porcionalidade por meio de flechas de mesmo sentido ou sentido contrário.

3. Se as grandezas analisadas forem proporcionais à grandeza da incógni-

ta, o produto das razões destas grandezas será proporcional à razão que contém

a incógnita.

4. Se alguma das grandezas analisadas não for diretamente proporcional

à grandeza da incógnita, invertemos os valores desta grandeza na coluna cor-

respondente. Desta forma, todas as grandezas passam a ser diretamente pro-

porcionais à grandeza da incógnita. Após este procedimento, fazemos o cálculo

descrito no item 3.

Exemplo. Cinco operários, trabalhando durante 6 dias, produzem 600 pe-

ças. Quantas peças desse mesmo tipo pro¬duzirão sete operários, trabalhando

8 dias?

Resolução

Este exemplo é um caso de regra de 3 composta, pois envolve 3 grandezas.

Vamos seguir o procedimento sugerido para a resolução de problemas deste

tipo:

1. Colocando os valores das grandezas nas colunas, obtemos:


5

7

Número de dias

6

8

Número de peças

600

x

92 • capítulo 2

2. Analisando as grandezas que não contêm a incógnita com a grandeza

“número de peças” (que contém a incógnita), concluímos que, se aumentar-

mos o número de operários, aumentaremos também o número de peças produ-

zidas. Portanto, essas duas grandezas são diretamente proporcionais.

Se aumentarmos o número de dias trabalhados, também aumentaremos o

número de peças produzidas. Neste caso, as duas grandezas também são dire-

tamente proporcionais. Então, todas as flechas têm o mesmo sentido.

3. O produto das razões 57

68

⋅ é proporcional à razão 600x

, ou seja, 600 5

668x

= ⋅ .

4. Fazendo a multiplicação, aplicando a propriedade fundamental da pro-

porção e isolando a incógnita, obtemos:

600 3060

30 33 600

33 60030

1 120

xx

x

x

=

=

=

=

.

.

.

Portanto, sete operários, trabalhando 8 dias, produzirão 1.120 peças

Exemplo. Quinze operários, trabalhando 9 horas por dia, fazem 72 metros

de muro em 32 dias. Quantos dias serão necessários para 18 operários fazerem

180 metros do mesmo muro, trabalhando 8 horas por dia?

Resolução


15

18

Horas/dia

9

8

Metros (muro)

72

180

Nº de dias

32

x

1. Não importa o sentido que você escolhe para a seta da grandeza que

contém a incógnita (x). Você pode colocá-la para cima ou para baixo. O impor-

tante é estabelecer o sentido correto das demais setas, tomando como base o

sentido da seta dessa grandeza.

capítulo 2 • 93

2. Analisando as grandezas que não contêm a incógnita com a grande-

za “número de dias”, concluímos que, se aumentarmos o número de operá-

rios, diminuiremos o número de dias necessários para a construção do muro.

Portanto, são grandezas inversamente proporcionais.

Se diminuirmos a quantidade de horas trabalhadas por dia, precisaremos

de mais dias para a construção do muro. Então, essas duas grandezas são inver-

samente proporcionais.

Se aumentarmos o tamanho do muro, precisaremos de mais dias para a sua

construção. Portanto, são grandezas diretamente proporcionais.

3. Deveremos inverter os valores das grandezas “número de operários” e

“horas” nas suas respectivas colunas para que estas grandezas passem a ser di-

retamente proporcionais à grandeza “número de dias”.

4. O produto das razões 1815

89

72180

⋅ ⋅ é proporcional à razão 32x

. Então:

32 1815

89

72180

32 10 36824 300

10 368 32 24 300

777 60

x

xx

x

= ⋅ ⋅

=

= ⋅

=

.

.. .

. 0010 368

75.

x =

Serão necessários 75 dias para que 18 operários, trabalhando 8 horas por

dia, façam 180 metros de muro.

2.15 Porcentagem

Em várias situações do dia a dia nos deparamos com cálculos percentuais: des-

conto no preço de determinado produto, aumento salarial, queda no nível de

desemprego, intenção de voto na próxima eleição presidencial etc. Nas ques-

tões de matemática financeira, que tratam fundamentalmente do cálculo do

dinheiro ao longo do tempo, as operações envolvendo porcentagens também

são bastante comuns.

A porcentagem é uma razão cujo denominador é igual a 100. Esta razão tam-

bém é chamada de razão centesimal.

94 • capítulo 2

Podemos substituir, nas razões centesimais, o denominador 100 pelo sím-

bolo % (“por cento”). Quando fazemos isso, obtemos a taxa de porcentagem.

Por exemplo, a razão centesimal 5100

pode ser expressa como 5%, que é de

nominada taxa de porcentagem. Esta razão também pode ser expressa na for-

ma decimal (dividindo-se o numerador pelo denominador).

Exemplos:

• 55

1000 05% ,= =

• 1515

1000 15% ,= =

• 5050

1000 5% ,= =

• 125125100

1 25% ,= =

Nos exemplos que se seguem, estudaremos métodos para a resolução de

problemas envolvendo porcentagem.

Exemplo. Um corretor de imóveis vendeu um apartamento por ℝ$

350.000,00. Sua corretagem é de 4%. Quanto ele ganhou?

Resolução

Podemos resolver este problema de duas maneiras:

1ª maneira: usando a regra de três simples:

Valores (R$)

350.000

x

Taxa percentual (%)

100

4

Escrevendo a proporção, obtemos:

350 000 1004

100 1 400 000

14 000

.

. .

.

xx

x

=

==

capítulo 2 • 95

O vendedor ganhou ℝ$ 14.000,00 com a venda do apartamento.

2ª maneira: podemos calcular diretamente 4% de 350.000:

4 350 0004

100350 000 14 000% . . .de = ⋅ =

Exemplo. Uma calça é vendida por ℝ$ 110,00. Se o seu preço fosse aumenta-

do em 15%, quanto passaria a custar?

Resolução

O aumento seria 15% de 110 = 0,15 · 110 = ℝ$ 16,50.

Portanto, o novo preço seria 110,00 + 16,50 = ℝ$ 126,50.

Ou poderíamos fazer simplesmente:

110 + 0,15 · 110 = 110 (1 + 0,15) = 110 · 1,15 = 126,50

Isso quer dizer que o preço final fica multiplicado por 1,15. Portanto, se ti-

véssemos um aumento de:

20%, multiplicaríamos o preço original por 1,2;


7%, multiplicaríamos o preço original por 1,07, e assim por diante.

Se, num outro momento, a loja estivesse liquidando suas peças e a calça es-

tivesse com um desconto de 15% sobre o preço original, o cálculo seria:

110 – 0,15 · 110 = 110 (1 – 0,15) = 110 · 1,15 = 93,50

Ou seja, o preço final fica multiplicado por 0,85. Portanto, se tivéssemos um

desconto de:



7%, multiplicaríamos o preço original por 0,93, e assim por diante.

Exemplo. Uma bolsa que custava ℝ$ 45,00 passou a custar ℝ$ 54,00. Qual a

taxa percentual de aumento?

96 • capítulo 2

Resolução

Este problema também pode ser resolvido de duas maneiras:

1ª maneira: devemos primeiramente encontrar o valor do aumento:

54 – 45 = 9 (valor do aumento)

Agora, devemos dividir 9 por 45:

945

0 2 20= =, % (taxa percentual do aumento)

2ª maneira: podemos simplesmente dividir o preço novo da bolsa (ℝ$ 54,00)

pelo preço antigo (ℝ$ 45,00), obtendo:

5445

1 2 1 0 2 100 20= = + = +, , % % (20% de aumento)

Exemplo. Coloque na forma de razão centesimal, número decimal e porcen-

tagem as seguintes razões: 3100

, 12100

, 145100

e 2 5100

, .

Solução:

As razões sugeridas já se encontram em sua forma de razão centesimal.

Convertendo em número decimal e porcentagem, temos:

• 3

1000 03 3= =, %

• 12

1000 12 12= =, %

• 145100

1 45 145= =, %

• 2 5100

0 025 2 5,

, , %= =

RAZÃO CENTESIMAL NÚMERO DECIMAL PORCENTAGEM

3100

0,03 3%

12100

0,12 12%

capítulo 2 • 97

RAZÃO CENTESIMAL NÚMERO DECIMAL PORCENTAGEM

145100

1,45 145%

2 5100

,0,025 2,5%

2.16 Operações com porcentagem

O conceito de porcentagem é bastante utilizado nas mais diversas atividades

produtivas. Sua aplicação tem por objetivo básico comparar grandezas e por

isso seu uso ocorre com frequência no comércio, no mercado financeiro, no

cálculo de lucros, prejuízos, empréstimos, prestações, juros ou ao se fazer al-

gum tipo de negócio, ao se exprimir quanto de um trabalho já foi realizado ou

já evoluiu, no processo inflacionário, na estatística, dentre outras aplicações.

Exemplo. Em uma eleição para prefeito de uma cidade com 300 mil eleito-

res, os candidatos A, B e C receberam res¬pectivamente 110 mil, 95 mil e 80 mil

dos votos válidos. Os demais votos foram brancos ou nulos. Calcule o porcentu-

al de votos brancos ou nulos nesta eleição.

Resolução 1:

Cálculo de todos os votos válidos: 110.000 + 95.000 + 80.000 = 285.000

Cálculo de porcentual dos votos válidos:

Votos %300.000 100285.000 x

300 000 285 000 100

28 500 000300 000

95

. .

. ..

x

x

x

= ⋅

=

=

Portanto, temos 95% de votos válidos.

Cálculo de todos os votos brancos ou nulos: 100% – 95% = 5%

Logo, o percentual de votos brancos ou nulos na eleição é de 5%.

98 • capítulo 2

Resolução 2:

Cálculo de todos os votos válidos: 110.000 + 95.000 + 80.000 = 285.000

Cálculo de votos brancos ou nulos: 300.000 – 285.000 = 15.000

Cálculo do percentual de votos brancos ou nulos:

Votos %300.000 10015.000 y

300 000 15 000 100

1 500 000300 000

5

. .

. ..

y

y

y

= ⋅

=

=

Portanto, temos 5% de votos brancos ou nulos.

Exemplo. Um cliente em uma determinada loja, deseja adquirir dois produ-

tos, sendo um no valor de ℝ$100,00 (produto A) e outro no valor de ℝ$ 250,00

(produto B). No caso do pagamento à vista, a loja oferece descontos de 15% e de

10%, respectivamente, para cada produto. Calcule o valor que o cliente econo-

mizará na compra à vista.

Resolução:

Cálculo do valor total da compra sem desconto:

ℝ$ 100,00 + ℝ$ 250,00 = ℝ$ 350,00

Cálculo do valor de cada produto com desconto (à vista):

• Valor do desconto do produto A (15%) = 15% de ℝ$ 100,00 = ℝ$ 15,00

• Valor do produto A com desconto (à vista) =

ℝ$ 100,00 – ℝ$ 15,00 = ℝ$ 85,00

• Valor do desconto do produto B (10%) = 10% de ℝ$ 250,00 = ℝ$ 25,00

• Valor do produto B com desconto (à vista) =

ℝ$ 250,00 – ℝ$ 25,00 = ℝ$ 225,00

Cálculo do valor total com desconto (à vista):

ℝ$ 85,00 + ℝ$ 225,00 = ℝ$ 310,00

capítulo 2 • 99

Cálculo da economia no pagamento à vista:

Valor sem desconto – valor com desconto = ℝ$ 350,00 – ℝ$ 310,00 = ℝ$ 40,00

Economia de ℝ$ 40,00 no pagamento à vista.

ESTUDO DE CASOAplicado em Logística

O armazenamento de 100 caixas de um produto ocupa uma área de 5 metros quadrados

de um galpão. A empresa possui dois galpões para armazenamento deste produto, sendo

um de 2.000 metros quadrados e outro de 1.250 metros quadrados. Quantas caixas destes

produtos poderão ser armazenadas nesse galpão?

Resolução:

Neste caso a área total para armazenamento é de 3250 metros quadrados. Como cada

metro quadrado armazena 100

520= caixas, poderão ser armazenadas 3250 × 20 = 65000

caixas.

EXERCÍCIO PROPOSTOS01. Uma costureira pagou R$ 70,00 por 2 metros de tecido. Quanto ela pagaria se tivesse

comprado 5 metros do mesmo tecido?

02. Sabe-se que 4 máquinas de uma pequena confecção, todas de igual eficiência, são ca-

pazes de produzir 400 peças em 4 dias, se operarem 4 horas por dia. Se 8 máquinas iguais às

primeiras operassem 8 horas por dia durante 8 dias, qual seria o número de peças produzidas?

03. Um automóvel, com velocidade média de 90 km/h, percorre a distância entre duas ci-

dades em 4 horas e 15 minutos. Qual velocidade média ele deverá desenvolver para fazer o

mesmo trajeto em 3 horas e 30 minutos?

04. Maria aplicou R$ 1.500,00 durante seis meses e obteve uma renda de R$ 2.000,00.

Considerando que a renda é proporcional ao valor investido e ao tempo de investimento,

quanto obteria de renda no mesmo negócio se aplicasse R$ 5.000,00 durante 4 meses?

100 • capítulo 2

05. Um consumidor obteve 5% de desconto na compra de um televisor de R$ 2.500,00.

Quanto ele pagou pelo produto?

06. Atualmente, 30% do salário de Cláudio são destinados ao pagamento do aluguel da

casa onde mora que é de R$ 360,00. Qual é o valor do salário de Cláudio?

07. Uma pessoa investiu R$ 3.000,00 em ações. No primeiro mês, ela perdeu 30% do total

investido e, no segundo mês, ela recuperou 15% do que havia perdido.

a) Com quanto ela ficou após os dois meses?

b) Qual foi seu prejuízo após os dois meses, em porcentagem, sobre o valor do investimen-

to inicial?

08. O preço de venda de um bem de consumo é de R$ 150,00. O comerciante tem um ga-

nho de 20% sobre o preço de custo deste bem. Qual o preço de custo deste bem?

09. Um determinado setor de serviços é taxado em impostos a 22,5% do seu faturamento.

Determine o valor a ser pago em impostos ao se prestar um serviço por R$ 15.000,00 neste

setor.

GABARITO01. R$ 175,00

02. 3.200

03. 109,29 km/h, aproximadamente

04. R$ 4.444,44

05. R$ 2.375,00

06. R$ 1.200,00

07.

a) R$ 2.235,00

b) 25,5%

08. R$ 125,00

09. R$ 3.375,00

capítulo 2 • 101

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICASBEZERRA, M. J.; PUTNOKI, J. C. Novo Bezerra – Matemática 2º grau: volume único. 4. ed. São Paulo:

Scipione, 1996.

DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2005.

GIOVANNI, J. R.; BONJORNO, J. R.; GIOVANNI JR, J. R. Matemática completa. São Paulo: FTD,

2002.

IEZZI, G.; DOLCE, O.; DEGENSZANJ, D.; PÉRIGO, R. Matemática: volume único. 4. ed. São Paulo:

Atual, 2007.

PARENTE, E.; CARIBÉ, R. Matemática comercial & financeira. São Paulo: FTD, 1996.

SANTOS, A., A., M. Matemática para concursos – Aritmética. 2. ed. Rio de Janeiro: Editora Ciência

Moderna Ltda., 2006.

SANTOS, C. A. M.; GENTIL, N.; GRECO, S. E. Matemática – vol. Único. São Paulo: Ática, 2002.

TEIXEIRA, J.; NETTO, S. P. Matemática financeira. São Paulo: Makron Books, 1998.









102 • capítulo 2

Introdução ao Estudo de Função

3

104 • capítulo 3

OBJETIVOS

• Representar pontos no plano cartesiano;

• Formalizar o conceito de função;

• Reconhecer uma função em relações do cotidiano;

• Reconhecer o domínio, o conjunto imagem e o contra-domínio de uma função;

• Identificar funções crescentes, decrescentes e constantes;

• Analisar e interpretar gráficos.

capítulo 3 • 105

3.1 Plano cartesiano

3.1.1 Conceito

O plano cartesiano é um sistema de coordenadas ou sistema gráfico de coor-

denadas formado por dois eixos perpendiculares entre si, sendo o horizontal

chamado de eixo das abscissas e o vertical de eixo das ordenadas. Estes eixos

possuem direção e sentido a partir da origem que se estabelece no ponto de

cruzamento dos eixos. Esta origem torna-se o referencial que permite uma lo-

calização organizada e gráfica das coordenadas nos quatro planos ou regiões

que surgem a partir do cruzamento dos eixos. Estas quatro regiões, chamadas

de quadrantes, são numeradas no sentido anti-horário. O primeiro quadrante

possui abscissas e ordenadas com valores positivos.

x

y

O

1º quadrante 2º quadrante

3º quadrante 4º quadrante

(Ordenadas)

(Abscissas)

O eixo y (ordenadas) possui sentido crescente de baixo para cima e o eixo x

(abscissas) possui sentido crescente da esquerda para a direita.

A origem do nome Plano Cartesiano é uma homenagem ao matemático

francês nascido na Idade Média, René Descartes.

3.1.2 Coordenadas de um ponto no plano cartesiano

As coordenadas de um ponto nesse sistema são representadas por meio de pa-

res ordenados (x, y). Os valores de x e y referem-se, respectivamente, às proje-

ções ortogonais do ponto sobre os eixos das abscissas e das ordenadas.

106 • capítulo 3

Por exemplo, no ponto P(5, 3) a abscissa é 5 e a ordenada é 3.

–2 –1 1 2 3 4 5 6 7 x

–1

1

2

3

4

y

O

P(5, 3)

Exemplo: Assinale no gráfico os pares ordenados e coordenadas A(4, 2); B(1,

–1); C(–3, 4); D(–1, –4); E(2, 0).

Resolução:

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4 x

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

y

O

A

B

C

D

E

capítulo 3 • 107

Exercício. Identifique os pares ordenados cujos pontos estão representados

no plano cartesiano abaixo.

–5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 x

–3

–2

–1

1

2

3

y

O

A

B

C

D

E

F

Resolução: A(0, 1); B(–3, –2); C(–4, 0); D(4, –1); E(2, 2); F(–2, 3).

Observações.

Um ponto P pertence ao eixo das abscissas se, e somente se, sua ordenada for zero.

Um ponto T pertence ao eixo das ordenadas se, e somente se, sua abscissa for zero.

Identificando os sinais dos elementos do par ordenado e relacionando-os

aos quadrantes, temos:

• P(a, b) ∈ 1º Quadrante ⇔ a > 0 e b > 0;

• P(a, b) ∈ 2º Quadrante ⇔ a < 0 e b > 0;

• P(a, b) ∈ 3º Quadrante ⇔ a < 0 e b < 0;

• P(a, b) ∈ 4º Quadrante ⇔ a > 0 e b < 0.

Exemplos:

e) O ponto A(5, 0) pertence ao eixo das abscissas;

f) O ponto B(0, 4) pertence ao eixo das ordenadas;

g) O ponto C(3, 4) pertence ao primeiro quadrante;

h) O ponto D(–2, 5) pertence ao segundo quadrante;

i) O ponto E(–4, –6) pertence ao terceiro quadrante;

j) O ponto F(5, –2) pertence ao quarto quadrante.

108 • capítulo 3

3.1.3 Propriedade fundamental dos pares ordenados

Dois pares ordenados são iguais se e somente se suas coordenadas correspon-

dentes são iguais, isto é,

(a, b) = (c, d) ↔ ( a = c e b = d )

Assim, para que dois pares ordenados (a, b) e (c, d) de números reais sejam

iguais, devem estar associados ao mesmo ponto do plano cartesiano.

Exemplo

x yx

y, ,4 7

7

4( ) = ( ) ⇔

==

3.1.4 Escalas dos Eixos

Cada eixo do plano cartesiano é uma reta numerada que segue uma escala como

unidade de medida. Assim, considerando um segmento de reta como padrão

de unidade em um eixo, os números consecutivos do eixo devem ser separados

por este padrão de unidade estabelecido, que pode ser diferente para cada eixo.

O eixo x pode ter um padrão de unidade u1 e o eixo do y pode ter um padrão

u2 sendo u1 ≠ u2 ou u1 = u2 (mais utilizado).

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4

10

–1

–2

–3

–4

2

3

4

0

Eixos x e y com divisões iguais (u1 = u2)

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4

50

–5

–10

–15

–20

10

15

20

0

Eixos x e y com divisões diferentes (u1 ≠ u2)

capítulo 3 • 109

3.1.5 Aplicações do Plano Cartesiano

A aplicação do Plano Cartesiano na vida cotidiana cresceu em importância ao

longo do tempo. Com o aumento dos deslocamentos da população mundial,

tornou-se ainda mais necessária a segurança nas rotas aéreas, marítimas, ferro-

viárias, rodovias e metroviárias tornando evidente a necessidade da utilização

de um sistema de coordenadas confiável no mundo atual. Sem informações

confiáveis e seguras de posicionamentos aéreos, marítimos e terrestres, qual-

quer deslocamento acarretaria em um grande risco.

Os principais meios de transportes necessitam de um sistema de localiza-

ção no tempo e no espaço. Não haveria a possibilidade da existência simultâ-

nea de diversos voos e navegações pelo mundo sem um sistema de coordena-

das utilizado internacionalmente que permitisse o controle de todas as rotas.

Em vias urbanas, a circulação de trens e metrô no mundo seria arriscada e in-

viável se os controladores que organizam os trajetos e os horários não tivessem

informações precisas da localização exata dos vagões. Seria impossível também

chegar a algum lugar sem uma correta coordenada longitudinal e latitudinal.

Levantamentos cartográficos e a própria construção organizada de cidades

e prédios seria tarefa muito difícil sem as devidas coordenadas geográficas.

Todas estas atividades baseiam-se em um sistema de coordenadas cartesianas.

No passado, usava-se a bússola como principal instrumento que permitia a

localização, por exemplo, em alto mar. Hoje, modernamente, fazemos uso de

alguns sistemas de localização na qual o mais difundido no momento é o GPS,

Sistema de Posicionamento Global (Global Positioning System), que através de

um sistema de satélites, permite saber, dentre muitas outras informações, a

localização de qualquer coisa ou pessoa no planeta. Para que isso possa acon-

tecer, há a necessidade de um sistema de coordenadas que tem sua origem no

sistema de coordenadas cartesianas (Plano Cartesiano). Os automóveis mais

modernos já possuem GPS permitindo que qualquer pessoa possa se deslocar

pelo mundo com extrema facilidade. Outra aplicação bem cotidiana está na

aviação que faz também uma ampla utilização do GPS.

Neste capítulo será apresentado o conceito matemático de função, que per-

mite analisar, de forma gráfica, comportamentos entre variáveis relacionadas

por uma expressão matemática.

110 • capítulo 3

3.1.6 Produto cartesiano

Considerando A e B conjuntos, o conjunto {(x, y) / x ∈ A e x ∈ B} é o produto

cartesiano de A por B e escrevemos A x B (lê-se A cartesiano B)

Geometricamente, o produto cartesiano pode ser encarado como a região:

A

B A x B

Exemplo.

Considerando A = {1, 2, 3} e B = {5, 8}, o produto cartesiano A x B será:

A x B = {(1, 5), (1, 8), (2, 5), (2, 8), (3, 5), (3, 8)}

3.2 Relações

3.2.1 Introdução

Suponha que se deseje analisar a variação de temperatura, durante sete dias,

em uma determinada região. Após a medição das temperaturas, registrou-se a

temperatura média diária, em cada um dos sete dias, obtendo a seguinte tabela:

DIA DA SEMANA TEMPERATURA (OC)

1 18

2 19

3 16

4 16

5 16

6 13

7 15

capítulo 3 • 111

Em termos matemáticos, podemos dizer que estabelecemos uma relação

do conjunto de dias da semana A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} no conjunto das medidas

das temperaturas B = {18, 19, 16, 13, 15}. Associamos a cada dia da semana, a

temperatura média correspondente.

Podemos representar essa relação de algumas maneiras: através do diagrama

de flechas, através do gráfico cartesiano, através do conjunto de pares ordenados.

a) Diagrama de flechas

A B1

2

3

4

5

6

7

18

19

16

13

15

b) Gráfico cartesiano

201816141210

86420

1 2 3 4Tempo (dias)

5 6 71

Tem

pera

tura

(ºC

)

c) Conjunto de pares ordenados

R = {(1, 18), (2, 19), (3, 16), (4, 16), (5, 16), (6, 13), (7, 15)}

Observe que o primeiro elemento de cada par ordenado pertence ao conjun-

to A (dos dias) e o segundo elemento pertence ao conjunto B (das medidas de

temperatura).

Note que R é um subconjunto do produto cartesiano A X B.

112 • capítulo 3

3.2.2 Conceito

Seja R um conjunto. Suponhamos que todos os elementos de R são pares orde-

nados. Dizemos então que R é uma relação.

Se (x, y) ∈ R, então dizemos que x e y estão associados (ou relacionados) atra-

vés de R.

Exemplo:

Relação R de A em B, dada por R = {(x, y) ∈ A x B | y < x};

R é o subconjunto de A x B formado pelos pares ordenados em que o segun-

do elemento (y) de cada par é menor do que o primeiro elemento (x). Assim,

temos:

A B1y < x

2

3

1

2

4

6

10

3.2.3 Conjunto de Partida e Contradomínio ou Conjunto de Chegada

Considere A e B conjuntos e suponha que a relação R seja um subconjunto do

produto cartesiano de A por B: R ⊂ A x B.

Dizemos que R é uma relação de A em B e que A é o conjunto de partida de R

e B é o conjunto de chegada ou contradomínio de R.

3.2.4 Domínio

Considere uma relação R relação e considere o conjunto formado pelas primei-

ras coordenadas dos pares de R. Dizemos que tal conjunto é o domínio de R e

escrevemos D(R).

capítulo 3 • 113

3.2.5 Imagem

Considere a relação R e consideremos o conjunto formado pelas segundas co-

ordenadas dos pares de R. Dizemos que tal conjunto é a imagem de R e escre-

vemos I(R) .

Exemplo. Considere a relação R de A em B, descrita pelo diagrama abaixo.

A B1

2

3

4

5

6

9

10

R

12

15

18

O domínio da relação R é o conjunto formado por todos os elementos de A

que estão relacionados com elementos de B, através de R: D(R) = {1, 2, 3}.

O conjunto imagem da relação R é o conjunto formado por todos os

elementos de B que estão relacionados com elementos de A, através de

R: Im(R) = {9, 10, 12, 15} .

A B1

2

3

4

5

6

10

R

12

9

15

18

D(R)Im(R)

CP CD

114 • capítulo 3

3.3 Função

3.3.1 Introdução

Em matemática, uma função representa a dependência de certa quantidade

(variável) em relação a outra. Considere dois conjuntos não-vazios A e B e uma

lei f que associa a cada elemento x de A um único elemento y de B. Temos então

uma função f de A em B.

Uma função é uma regra que associa a cada valor de entrada um único resul-

tado de saída, denominado valor da função. A entrada é chamada de variável in-

dependente e a saída, de variável dependente. O conjunto de todos os números

de entrada é chamado de domínio da função e o conjunto de todos os números

de saída é chamado de imagem da função.

A notação f : A → B indica que f é função de A em B.

Exemplos.

M N1

2

3

4

f

4

2

6

8

P Q4

6

8

g

5

3

7

9

Esta relação é uma fun-

ção, pois todo elemento

de M está associado a um

único elemento de N.

Esta relação não é uma

função, pois o elemento 4

de P está associado a mais

de um elemento de Q.

capítulo 3 • 115

Na matemática, esta regra pode ser definida por uma expressão em que o va-

lor de entrada é representado por uma variável ou incógnita. A função também

pode ser simbolizada por outra variável, ou por outro tipo de designação especial.

Como exemplo, considere a regra que associa a um número real o dobro do

seu valor.

Esta regra pode ser representada, matematicamente, como:

f (x) = 2x

O símbolo f (x) indica que a variável da função é representada pela letra x.

Pode-se ainda representar a função usando outra incógnita ou variável, dife-

rente daquela usada na expressão que define a regra pela qual se calcula o valor

da função.

No exemplo anterior pode-se, alternativamente, usar y = 2x ao invés de

f(x) = 2x.

Desta maneira, pode-se estabelecer, a cada valor de x, um valor para a fun-

ção f(x), como a seguir:

• f(1) = 2(1) = 2,

• f(2) = 2(2) = 4,

• f(3,5) = 2(3,5) = 7.

3.3.2 Variável Independente

A incógnita ou variável usada na expressão que define a representação mate-

mática da função é conhecida como variável independente, pois a ela pode-se

atribuir um valor qualquer, sem que ele dependa de qualquer resultado calcu-

lado anteriormente.

Na expressão y = 2x, a variável independente é o x.

3.3.3 Variável Dependente

A variável dependente é aquela que simboliza o valor da função para cada dado

de entrada. É chamada de variável dependente, pois seu valor depende do atri-

buído a variável independente.

Na expressão y = 2x, a variável dependente é o y.

116 • capítulo 3

3.3.4 Função Real de Variável Real

Uma função real de variável real é justamente aquela que associa, a um valor

real da variável independente, um valor real para a variável dependente.

3.3.5 Domínio e Imagem

Como uma função f de A em B é uma relação, os conceitos de domínio (D), con-

tradomínio (CD), conjunto de partida (CP) e conjunto imagem (Im) continuam

válidos.

O Domínio de uma função corresponde ao conjunto de valores da variável

dependente para os quais a função é definida.

Para as funções F(x) = 2x e F(x) = x2 o domínio corresponde a todo o conjunto

de números reais, pois para qualquer valor real x estas funções são definidas.

Já para a função f x x( ) = o domínio corresponde a todo o conjunto de nú-

meros reais não negativos, pois no conjunto de números reais a raiz quadrada

de um número negativo não é definida.

A figura a seguir apresenta o gráfico de f x x( ) =

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

0

2

3

4

x

y

A imagem de uma função é definida como o conjunto de todos os valores

que a função pode assumir, considerando-se todos os valores possíveis da vari-

ável independente (ao conjunto de todos os valores possíveis da variável inde-

pendente denomina-se domínio da função).

Considere, por exemplo, a função y = x2, em que a variável independente

pode assumir qualquer valor no conjunto dos números reais (ou seja, o seu

capítulo 3 • 117

domínio é todo o conjunto dos números reais). A variável dependente y, obtida

pela regra que define o seu valor como sendo igual ao quadrado do valor da va-

riável independente, só terá valores reais não negativos.

Consequentemente, a imagem desta função será o conjunto dos números

reais não negativos.

1 2 3 4 5–5 –4 –3 –2 –1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

0

y

x

3.3.6 Valor de uma Função num Ponto

O valor de uma função num ponto da reta real representa justamente o valor

calculado para a função quando a variável independente assume o valor corres-

pondente a tal ponto.

3.3.7 Gráfico de uma Função

O gráfico de uma função consiste em representar, no plano cartesiano, todos os

pontos cujas coordenadas (x, y) correspondem a valores das coordenadas inde-

pendente e dependente da função representada.

118 • capítulo 3

As figuras a seguir representam os gráficos das funções y = 2x e y = x2.

1 2 3 4 5–5 –4 –3 –2 –1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

0

y

x

y = x2

y = 2x

1 2 3 4 5–5 –4 –3 –2 –1

1

2

3

4

5

0 x

y

–5

–4

–3

–2–1

3.3.8 Imagem de um elemento através do diagrama de flechas

Consideremos a função descrita no diagrama de flechas abaixo.

A B1

2

3

4

5

2

4

f

6

8

10

Observe que cada elemento y do conjunto B está associado a um elemento x

do conjunto A, através de f.

Dizemos então que y é a imagem de x, através de f.

Simbolicamente: y = f (x).

Lê-se: “y é igual a f de x” ou “y é a imagem de x através de f”.

f (1) = 2 f (2) = 4 f (3) = 6 f (4) = 8 f (5) = 10

capítulo 3 • 119

3.3.9 Imagem de um elemento através da regra y = f(x)

Sejam os conjuntos A = [–3, 8], B = [–10, 20] e a função

f : A → B

f (x) = 2x + 1.

Por exemplo, a imagem do elemento 4, através de f, é

f (4) = 2 ∙ 4 + 1

f (4) = 9

Assim, (4, 9) ∈ f

O símbolo f (x) representa a ordenada do ponto de abscissa x. Assim, em vez

de escrevermos f(x) = 2x + 1, podemos escrever y = 2x + 1, ou seja, o símbolo f(x)

pode ser substituído por y e vice-versa.

3.3.10 Imagem de um elemento através do gráfico de uma função

Consideremos o gráfico de uma função y = f(x) abaixo.

y

–5 –4 –3 –2 –1

–2

–1

1

2

3

4

5

O x1 2 3 4 5

Interpretamos cada ponto (x, y) do gráfico de f como (x, f(x)): A ordenada é a

imagem da abscissa através de f.

120 • capítulo 3

Exemplos:

(–1, 0) é ponto do gráfico; logo f(–1) = 0;

(0, –2) é ponto do gráfico; logo f(0) = 2;

(1, –2) é ponto do gráfico; logo f(1) = –2;

(2, 0) é ponto do gráfico; logo f(2) = 0;

(3, 4) é ponto do gráfico; logo f(3) = 4.

3.3.11 Reconhecimento de uma função através de seu gráfico

Eventualmente precisamos verificar se uma relação é ou não uma função, atra-

vés de seu gráfico. Se uma reta paralela ao eixo y interceptar o gráfico de uma

relação R em mais de um ponto, então R não é função.

No gráfico abaixo a reta vermelha, paralela ao eixo y, intercepta o gráfico em

dois pontos. Neste caso, para x = 2 temos dois valores de y associados. Portanto,

o gráfico não representa uma função.

x

y

3

–3 –2 –1 1 2 3

2

1

0

–1

–2

0a

3.3.12 Função Crescente

Dizemos que uma função é crescente em um intervalo numérico se os valores

de f(x) aumentam quando x aumenta. Assim, para dois valores quaisquer x1 e x2

deste intervalo, com x2 > x1, têm-se f(x2) ≥ f(x1).

capítulo 3 • 121

Exemplo:

y

y2

y1

x2

1

0 xx1

3.3.13 Função Decrescente

Dizemos que uma função é decrescente em um intervalo numérico se os valo-

res de f(x) diminuem quando x aumenta. Assim, para dois valores quaisquer x1

e x2 deste intervalo, com x2 > x1, têm-se f(x2) ≤ f(x1).

y2

xx1

y

x2

y1

0

3.3.14 Função Constante

Uma função f(x) é constante em um intervalo numérico no qual é definida se,

para dois valores quaisquer x1 e x2 deste intervalo, com x2 ≠ x1, têm-se f(x2) = f(x1).

122 • capítulo 3

Isto só ocorre se f(x) = c, onde c é um número real constante, ou seja, não se ve-

rifica, na definição da função, a variável independente x.

Exemplo: f(x) = 2

y

–4 –3 –2 –1

–2

–1

1

2

3

4

0 x1 2 3 4


10. Observe o gráfico de f abaixo. Determine f(0); f(2); f(4); f(–2); f(–4); f(–6); f(–8).

–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 x

–1

1

2

3

4

5

6

0

y

Resolução

f(0) = 3

f(2) = 4

f(4) = 5

f(–2) = 2

f(–4) = 1

f(–6) = 0

f(–8) = –1

capítulo 3 • 123

11. Considere o gráfico abaixo que representa uma função f do intervalo [1,3] em IR. Quanto

à imagem é SOMENTE correto afirmar:

1 3 x

y

0

1

2

3

4

a) Im(f) = [1,4];

b) Im(f) = [2,3];

c) Im(f) = ]1,4];

d) Im(f) = ]2,3];

e) Im(f) = [1,3].

Resolução

O menor valor para imagem é y = 1 e o maior é y = 4. Assim, o conjunto Imagem será

Im(f) = [1,4].

1 3 x

y

0

1

2

3

4

12. (UFRJ) No gráfico mostrado a imagem do intervalo [-1, 2) é:

21

2

1

–1

–1

x

y

12

a) [1/2, 1[ ∪ ]-2, 1].

b) ]1/2, 1] ∪ [-2,1[.

c) [-1/2, 1] ∪ ]1, 2[.

d) [-1, 1/2] ∪ ]1, 2[.

e) [-1, 1/2] ∪ [1, 2].

124 • capítulo 3

Resolução

Observe que o domínio considerado é [–1, 2[, a abscissa x = 2 não faz parte do domínio.

Assim, na imagem o elemento f(2) também não estará.

O valor y = 1 é imagem para um valor x > 2, fora do domínio [– 1, 2[.

Assim, f(1) não será elemento da imagem nesse domínio.

Observe a função com a imagem e o domínio sinalizados.

21

2

1

–1

–1

x

y

12

13. Identifique no gráfico abaixo, quando a função é crescente, decrescente e constante.

–2 –1

–2

–1

1

2

3

0 x

1 2

3 4

y

Resolução

Crescente: [–2. 1] e [2,3]

Decrescente: [3,4]

Constante: [1,2]

capítulo 3 • 125

14. (FGV) Seja uma função y = f(x), cujo gráfico está representado na figura. Assinale a

afirmação correta.

x1

x2

x3 x4

x5

x

y

a) f(0) = 0

b) f(x1) = f(x3) = f(x5) = 0

c) a função é crescente no intervalo [x3; x5]

d) a função é decrescente no intervalo [x3; x5]

e) f(x2) = f(x4) = 0

Resolução

Analisaremos cada uma das opções.

a) Falsa. Para que f(0) = 0, o gráfico precisaria passar na origem (0, 0), o que não acontece.

b) Verdadeiro. f(x1) = f(x2) = f(x3) = 0, ou seja, x1, x3 e x5 são zeros da função. Graficamente,

são os pontos onde o gráfico corta o eixo x.

c) Falsa. A função é decrescente no intervalo [x4, x5] .

d) Falsa. A função é crescente no intervalo [x3, x4].

e) Falsa. O gráfico não corta o eixo x nas abscissas x2 e x4 . Além disso, f(x2) ≠ f(x4).

15. (UFF) O gráfico da função f está representado na figura.

x

3

864

y

0

126 • capítulo 3

a) Determine o domínio de f.

b) Determine a imagem de f.

c) Analise o crescimento e decaimento da função.

d) Determine os intervalos onde f > 0, f = 0 e f < 0.

e) Calcule f f f0 2 26 8( )− ⋅ ( )+ ( )

Resolução

a) Determine o domínio de f. D(f) = [0, 8]

b) Determine a imagem de f. Im(f) = [0, 4]

c) Analise o crescimento e decaimento da função. Crescente: [0, 4]; Decrescente: [6, 8]

d) Determine os intervalos onde f > 0, f = 0 e f < 0.

A função não assume valores negativos.

A função é positiva (f > 0) no intervalo ]0, 8[.

A função se anula nos valores onde o gráfico intersecta o eixo X. f = 0 nos pontos {0, 8}.

e) Calcule f f f0 2 26 8( )− ⋅ ( )+ ( )A raiz de 26 é maior que a raiz de 5 e menor que a raiz de 6.

f f f0 2 26 8 0 4 0 4( )− ⋅ ( )+ ( ) = − + = −

16. (UFF) Considere a função real de variável real f e a função g tal que e g(x) = f(2x) – 1.

O gráfico de g é representado na figura a seguir.

a) Determine a Im(g).

b) Calcule os valores de g g g015

( )

( ), , π

c) Determine o elemento negativo do domínio de g(x) cuja imagem vale 1.

d) Determine f(0) e f(4).

e) Analise os intervalos de crescimento e decaimento da função g(x).

Resolução

O cálculo de g(x) depende de f(x).

a) Im(g) = [0, 2].

b) g

g g

g

0 0

15

0 5 0

2

( ) =

= ( ) =

( ) =

,

π

capítulo 3 • 127

c) O ponto (– 1, 1) significa que f(– 1) = 1.

Assim, x = – 1 é o elemento do domínio que atende a essa condição.

d) Para calcularmos f(0), precisamos calcular f[2.(0)].

Para x = 0, substituindo esse valor na expressão que associa g(x) e f(x), buscamos a

imagem de g(0) no gráfico.

x g f

g

f

f

= ⇒ = ( ) −=

= −=

0 0 2 0 1

0 0

0 0 1

0 1

( ) ( . )

( )

( )

( )

Analogamente, faremos o cálculo de f(4) = f[2.(2)]. Assim, para x = 2.

x g f

g

f

f

= ⇒ = ( ) −=

= −= + =

2 2 2 2 1

2 2

2 4 1

4 2 1 3

( ) ( . )

( )

( )

( )

17. (UERJ) O gráfico abaixo representa o consumo de oxigênio de uma pessoa que se exer-

cita, em condições aeróbicas, numa bicicleta ergométrica. Considere que o organismo libera,

em média, 4,8kcal para cada litro de oxigênio absorvido.

A energia liberada no período entre 5 e 15 minutos, em kcal, é:

1,4

0

y

(min)00 20155

1,0

Con

sum

o de

O2 (L

/min

)

a) 48,0 b) 52,4 c) 67,2 d) 93,6

128 • capítulo 3

Resolução

Entre 5 e 15 minutos, passaram-se 10 minutos.

Com o consumo constante de 1,4L/min, temos que foram consumidos (10) ∙ (1,4) = 14

litros de oxigênio.

Se o organismo libera 4,8kcal por litro, liberará (14) ∙ (4,8) = 67,2kcal.

18. (UFPE) No gráfico a seguir, temos o nível da água armazenada em uma barragem, ao

longo de três anos. O nível de 40m foi atingido quantas vezes neste período?

100

Nível (m)

9080

10

Tempo

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

Resolução

Determinando a interseção da reta y = 40 com o gráfico, obtemos dois valores.

40

100

Nível (m)

9080

10

Tempo

capítulo 3 • 129

19. (Enem 2011). O termo agronegócio não se refere apenas à agricultura e à pecuária, pois

as atividades ligadas a essa produção incluem fornecedores de equipamentos, serviços para

a zona rural, industrialização e comercialização dos produtos.

O gráfico seguinte mostra a participação percentual do agronegócio no PIB brasileiro:

30

25

201998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

25,31

28,28

27,79

25,83

23,92 24,74

26,46

23,26

21,3322,24 22,87

Centro de Estudos Avançados em Economia Aplicada (CEPEA). Almanaque abril 2010. São

Paulo: Abril, ano 36 (adaptado)

Esse gráfico foi usado em uma palestra na qual o orador ressaltou uma queda da parti-

cipação do agronegócio no PIB brasileiro e a posterior recuperação dessa participação, em

termos percentuais.

Segundo o gráfico, o período de queda ocorreu entre os anos de

a) 1998 e 2001.

b) 2001 e 2003.

c) 2003 e 2006.

d) 2003 e 2007.

e) 2003 e 2008.

Resolução

O período de queda da participação do agronegócio no PIB brasileiro se deu no período

entre 2003 e 2006.

Esta informação é obtida através de leitura direta do gráfico: em 2003 a participação era

de 28,28%, caiu para 27,79% em 2004, 25,83% em 2005, chegando a 23,92% em 2006

– depois deste período, a participação volta a aumentar.

Resposta: C

130 • capítulo 3

20. (ENEM). Após a ingestão de bebidas alcoólicas, o metabolismo do álcool e sua presença

no sangue dependem de fatores como peso corporal, condições e tempo após a ingestão.

O gráfico mostra a variação da concentração de álcool no sangue de indivíduos de mesmo

peso que beberam três latas de cerveja cada um, em diferentes condições: em jejum e após

o jantar. Tendo em vista que a concentração máxima de álcool no sangue permitida pela

legislação brasileira para motoristas é 0,6g/L, o indivíduo que bebeu após o jantar e o que

bebeu em jejum só poderão dirigir após, aproximadamente,

Tempo após ingestão1

1,0

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

765432

horas

Ingestão de álcool

em jejum

após o jantar

g/L

Álc

ool n

o sa

ngue

a) uma hora e uma hora e meia, res-

pectivamente.

b) três horas e meia hora, respectiva-

mente.

c) três horas e quatro horas e meia,

respectivamente.

d) seis horas e três horas, respectiva-

mente.

e) seis horas, igualmente.

Resolução

Observando o gráfico e identifi-

cando os pontos, temos as abscissas

(horas) correspondentes.

Resposta: c) três horas e quatro

horas e meia, respectivamente.

Tempo após ingestão1

1,0

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

765432

horas

Ingestão de álcool

em jejum

após o jantar

g/L

Álc

ool n

o sa

ngue

Funções de Primeiro Grau e de

Segundo Grau

4

132 • capítulo 4

OBJETIVOS

• Definir uma função afim e estudar suas particularidades.

• Esboçar o gráfico de uma função afim.

• Identificar os pontos notáveis do gráfico de uma função afim.

• Resolver equações e inequações envolvendo funções afins.

• Identificar uma função de segundo grau ou quadrática.

• Definir uma parábola e determinar seus pontos notáveis.

• Esboçar e analisar o gráfico de uma função quadrática.

• Identificar o domínio e a imagem de uma função quadrática.

• Resolver situações-problema envolvendo funções quadráticas.

• Resolver inequações quadráticas.

capítulo 4 • 133

4.1 Função afim ou polinomial do primeiro grau

4.1.1 Introdução

As aplicações são empregos das noções e teorias da matemática para obter resulta-

dos, conclusões e previsões em situações que vão desde problemas triviais do dia-a-dia

a questões mais sutis que surgem noutras áreas, quer científicas, quer tecnológicas,

quer mesmo sociais. As aplicações constituem a principal razão pela qual o ensino da

matemática é tão difundido e necessário, desde os primórdios da civilização até os dias

de hoje e certamente cada vez mais no futuro. Como as entendemos, as aplicações do

conhecimento matemático incluem a resolução de problemas, essa arte intrigante que,

por meio de desafios, desenvolve a criatividade, nutre a auto-estima, estimula a imagi-

nação e recompensa o esforço de aprender.

Elon Lages Lima em Conceituação, Manipulação e Aplicações: Os três componen-

tes do ensino da Matemática. Disponível em: <http://objetoseducacionais2.mec.gov.

br/bitstream/handle/mec/20082/pdf/rpm41.pdf>.

Inúmeras são as aplicações interessantes e úteis das funções de maneira

geral. Para compreendermos bem estas aplicações, devemos, a princípio, do-

minar a teoria que embasa o estudo das funções e seus gráficos. Começaremos

nossos estudos com a função afim, ou função polinomial do primeiro grau.

4.2 Definição

No estudo das funções matemáticas, toda função do tipo f(x) = ax + b, com a, b ∈ �

e a ≠ 0, é denominada função afim ou função polinomial do 1º grau. Ou ainda,

podemos expressar f por

f

x f x ax b

÷ →→ ( ) = +� �

Note que a, b são parâmetros e x é variável, enquanto que f(x) é o valor da

função afim na variável x.

Podemos usar qualquer letra para representar parâmetros, variáveis e valo-

res da função.

134 • capítulo 4

EXEMPLOc) y = 6x + 9 é uma função afim, em que a = 6 e b =9

d) y = 5x é uma função afim, em que a = 5 e b =0

e) y = 2x – 4 é uma função afim, em que a = 2 e b =–4

f) y = –0,8x –0,7 é uma função afim, em que a = –0,8 e b =–0,7

g) Uma empresa da área de vendas paga um salário fixo de R$ 900,00 mais uma co-

missão de R$ 4,00 por cada produto vendido. Podemos representar esta situação por uma

função afim da seguinte forma:

y = 4x + 900

Neste caso, podemos dizer que o salário recebido pelo empregado y depende da varia-

ção de x (quantidade de produto vendida).

4.3 Casos particulares de uma função afim

Função constante é a função f ÷ →� � , definida por f(x) = b, onde a = 0

Observe o gráfico da função constante f(x) = –3

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4 x

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

y

O

capítulo 4 • 135

Função linear é a função f ÷ →� � , definida por f(x) = ax, onde b = 0

–4–5 –3 –2 –1 1 2 3 4 x

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

y

O

–5

Função Identidade é a função f ÷ →� � , definida por f(x) = x, onde a = 1 e

b = 0.

Observe o gráfico da função f(x) = x.

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4 x

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

y

O

136 • capítulo 4

4.4 Determinação de uma função afim a partir de duas coordenadas

Uma função afim f(x) = ax + b pode ser determinada através de duas coorde-

nadas (x1, y1) e (x2, y2) quaisquer, com x1 ≠ x2. Lembre-se que uma função afim é

determinada pelos valores de seus parâmetros.

Exemplo

Determine a função afim sabendo que f(2) = 5 e f(3) = 7

Resolução

Sabe-se que as coordenada são (2, 5) e (3, 7), então substituímos esses valo-

res diretamente na função f(x) = ax + b, obtemos o seguinte sistema:

2 5

3 7

2 5

3 7

,

,,

( ) →( ) →

− =+ =

a b

a bem que os par metros precisam sser determinados

Da primeira equação do sistema, temos que b = 5 – 2a. Inserindo este resul-

tado na segunda equação, temos que

3a + b = 7

3a + 5 = 7

1a + 5 =7

a= 7 5

a= 2

−

−

2a

Substituindo a = 2 na primeira equação, verifica-se que

2a + b = 5

2 2 + b = 5

4 + =5

b = 5

b= 1

( )

−b

4

Resposta A função afim é dada por f(x) = 2x + 1

capítulo 4 • 137

4.5 Gráfico de uma função afim

De acordo com a tabela a seguir, vamos construir um gráfico correspondente

aos valores registrados. Observe que para cada valor na coluna de tempo em x

existe um valor correspondente na coluna de temperatura em y.

TEMPO (MINUTOS) TEMPERATURA (º C)X Y0 151 302 453 604 75

Assim, poderemos construir o gráfico interligando os pontos no eixo das

abscissas (eixo x) aos pontos correspondentes nas ordenadas (eixo y). Verifica-

se que para esta tabela o gráfico correspondente é de uma semirreta, pois so-

mente os valores não negativos são considerados para o tempo e a temperatura.

y (°C)

75

60

45

30

15

1 2 3 4 x (min)

Note que a variação dos valores de y, que indicaremos por Δy, é diretamente

proporcional à variação dos valores correspondentes de x, que indicaremos por

Δx. Portanto, quando x varia de 0 a 4, a variação correspondente para y é de 15

a 75, isto é, Δy = 75 – 15 = 60 e Δx = 4 – 0 = 4, sendo ∆∆

= =yx

604

15 . Podemos con

cluir então que a cada variação de 1 minuto em x corresponderá a uma variação

de 15 graus Celsius em y.

138 • capítulo 4

Se em uma função y = f(x) as variações de x e y são diretamente proporcio-

nais, então podemos concluir que o gráfico da função sempre será uma reta e

postular o seguinte resultado: o gráfico de toda função afim é uma reta.

Observações:

d) Como consequência do resultado anterior, para construir o gráfico de

uma função afim precisamos representar dois pontos distintos da função no

plano cartesiano e traçar a reta que passa por eles.

e) Devemos observar que, se b = 0, a função será definida por y = ax, e, por-

tanto, o gráfico será uma reta que passará sempre pelo ponto (0,0) dos eixos das

abscissas e ordenadas, pois quando x = 0, temos que y =0.

4.6 Interseção do gráfico de uma função afim com o eixo x

Seja a função afim y = ax + b com, a, b ∈ � e a ≠ 0. Sendo o gráfico de toda função

afim uma reta, teremos sempre a reta cruzando o eixo x em um único ponto.

Para determinar a abscissa desse ponto, substituiremosm y = 0 na expressão da

reta, obtendo

0 = + ⇒ =− ⇒ = −ax b ax b xab

Logo, o ponto de interseção da reta associada à função afim com o eixo x é

−

ab

, 0 . Este ponto também é conhecido por raiz ou zero da função afim.

Exemplo

Determine a abscissa do ponto de interseção da reta y = 2x – 6 com o eixo 0x.

Resolução

Se a reta cruza o eixo x, significa que o ponto de interseção tem y = 0, e subs-

tituindo esse resultado na expressão da reta, obtemos: 0 2 662

3= − ⇒ = =x xVeja, a seguir, o gráfico da função afim y = 2x – 6

capítulo 4 • 139

–6

3 x

y

Resposta: A abscissa do ponto de interseção é 3.

4.7 Intersecção do gráfico de uma função afim com o eixo y

Seja a função afim y = ax + b com, a, b ∈ � e a ≠ 0. Sendo o gráfico da função uma

reta, esta cruzará o eixo y em um único ponto. Para determinar a ordenada des-

te ponto, substituiremos x =0 na expressão da reta, obtendo:

y = a · 0 + b ⇒ y = b

Logo, o ponto de interseção da reta associada à função afim com o eixo y é

(0, b).

Exemplo

Determine a ordenada do ponto de intersecção da reta y = – 5x + 15 com o

eixo y.

Resolução

Se a reta cruza o eixo y, significa que o ponto de interseção temn x = 0, e subs-

tituindo esse resultado na expressão da reta, obtemos: y = –5(0) + 15 ⇒ y = 15.

Portanto, a reta corta o eixo y no ponto (0,15). Veja, a seguir, o gráfico da

função y = – 5x + 15.

140 • capítulo 4

y

3

15

x

Resposta A ordenada do ponto de interseção é 15.

4.8 Coeficientes angular e linear de uma função afim

Seja a função afim y = ax + b com, a, b ∈ � e a ≠ 0. Vamos voltar ao tópico já men-

cionado sobre taxa de variação de uma função afim. Começaremos observando

o gráfico a seguir.

Considere dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) quaisquer nessa reta. Assim, sabemos

que y1 = ax1 + b e y2 = ax2 + b. Observe que, isolando o parâmetro b nas duas igual-

dades, temos b = y1 – ax1 e b = y2 – ax2.

Portanto, y1 – ax1 = y2 – ax2

Isolando o parâmetro a, temos:

ax ax x x

a x x x x

ay y

x x

2 1 2 1

2 1 2 1

2 1

2 1

− = −

−( ) = −

=−−

Ou seja, em uma função afim, a taxa de variação é constante e igual ao parâ-

metro a, ou seja,

ayx

y y

x x

y y

x x

y y

x x= ∆

∆=

−−

=−−

=−−

3 2

3 2

2 1

2 1

3 1

3 1

capítulo 4 • 141

Geometricamente, o parâmetro a é chamado de coeficiente angular, en-

quanto que o parâmetro b é chamado de coeficiente linear.

Convém observar que o coeficiente angular é a tangente do ângulo de

inclinação

ayx

= ∆∆

Exemplo

Qual é o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos (–1, 3) e (–2, 4)/

Resolução

Temos que calcular a taxa de variação dada por esses dois pontos, assim:

ayx

= ∆∆

= −− − −( )

= −4 32 1

1

Note que alcançamos o mesmo resultado se fizermos:

ayx

= ∆∆

= −− − −( )

= −3 41 2

1

Exemplo

Considere a função y = 4x + 12. Indique a raiz e a taxa de variação.

Resolução

Sabendo que a raiz da função afim é o valor x correspondendo a y = 0, fazemos

0 = 4x + 12 ⇒ 4x = –12 ⇒ x = –3

Para calcularmos a taxa de variação devemos ter, pelos menos, dois pontos

da reta. Vamos calculá-los:

1. Se escolhemos x1 = 1 teremos o respectivo valor de y1 = 4(1) + 12 = 16,

portanto (x1, y1) = (1, 16)

2. Se escolhemos x2 = 3 teremos o respectivo valor de y2 = 4(3) + 12 = 24,

portanto (x2, y2) = (3, 24)

Assim, temos , como era esperado, pois já sabemos que a taxa de variação e

a = 4 e esse valor nos é informado na própria expressão da função afim.

142 • capítulo 4

Propriedade importante

Se duas ou mais funções afins têm a mesma taxa de variação y = x + 3, y = x – 1 e

y = x – 4, com a =1.

–4

3

–3 1 4–1

y

x

4.9 Função afim crescente e decrescente

Seja a função afim y = ax + b com, a, b ∈ � e a ≠ 0. Dizemos que uma função

afim é

I. crescente se, e somente se, o valor de a for positivo (a > 0

II. decrescente se, e somente se, o valor de a for negativo(a > 0)

Exemplo

Determine se as funções abaixo são crescentes ou decrescentes.

a) y = 7x – 12

b) y = –6x + 9

Resolução

a) Como o valor de a é igual a 7, esta função é denominada crescente.

b) Como o valor de a é igual a –6, esta função é denominada decrescente.

capítulo 4 • 143

4.10 Estudo do sinal de uma função afim

Para estudarmos o sinal de uma função afim f(x) = ax + b, teremos que deter-

minar os valores de x para os quais f(x) se anula, é positiva ou é negativa. Este

estudo pode ser realizado através do gráfico ou da raiz da função.

Exemplo

Estude o sinal da função f(x) = 4x – 8

Resolução

Vamos calcular primeiramente a raiz da função, ou seja, queremos determi-

nar x tal que o valor da função se anula:

f x x x( ) = − = ⇒ = =4 8 082

4

Agora, vamos determinar o intervalo de x para o qual a função apresenta

valores negativos, ou seja,

f x x x x( ) = − < ⇒ < ⇒ <4 8 0 4 8 2

Finalmente, vamos determinar o intervalo de x para o qual a função apre-

senta valores positivos, ou seja,

f x x x x( ) = − > ⇒ > ⇒ >4 8 0 4 8 2

Graficamente, temos a semirreta

em vermelho, indicando o intervalo

de x em que a função apresenta valo-

res negativos e a semirreta em roxo,

indicando o intervalo de x em que a

função apresenta valores positivos. Já

na raiz x = 2, em que a função apresen-

ta valores positivos. Já na raiz –8

+–

y

2

144 • capítulo 4

Exemplo

Estude o sinal da função f(x) = –5x + 15.

Resolução

Vamos calcular primeiramente a raiz da função, ou seja, queremos determi-

nar x tal que o valor da função se anula:

f x x x x( ) = − + = ⇒ − = − ⇒ =5 15 0 5 15 3

Agora, vamos determinar o intervalo de x para o qual a função apresenta

valores negativos, ou seja,

f x x x x( ) = − + < ⇒ − < − ⇒ <5 15 0 5 15 3

Finalmente, vamos determinar o intervalo de x para o qual a função apre-

senta valores positivos, ou seja,

f x x x x( ) = − + > ⇒ − > − ⇒ >5 15 0 5 15 3

Graficamente, temos a semirreta em vermelho, indicando o intervalo de x

em que a função apresenta valores negativos e a semirreta em roxo, indicando

o intervalo de x em que a função apresenta valores positivos. Já na raiz x = 3,

temos que a função se anula.

15

y

3 x

+ + – –

capítulo 4 • 145

EXERCÍCIO RESOLVIDO21. Nos gráficos apresentados abaixo, assinale o ângulo cuja tangente é o coeficiente an-

gular (α).

x

y

x

y

x

y

x

y

Solução

x

y

x

y

x

y

x

y

α α α α

22. Dadas as equações indique o valor do coeficiente linear L.

a) y = 3x + 2

b) y = 4x + 5

c) y = x – 2

d) y = 7

e) 3y = 5x

f) –2y = –x + 1

g) 5y = 3x + 15

h) –3y = x – 6

Solução:

a) L = 2

b) L = 5

c) L = –2

d) L = 7

e) L = 0

f) L = –1/2

g) L = 15/5 = 3

h) L = –6/–3 = 2

146 • capítulo 4

23. Construa o gráfico da função f(x) = 2x – 4

Resolução

Como podemos observar f(x) = 2x – 4 é uma função afim, cujo gráfico é uma reta. Para

traçar uma reta precisamos escolher pelo menos dois pontos. Nesse caso, vamos atribuir

dois valores arbitrários para x e calcular os respectivos valores de y, da seguinte forma.

Escolha:

x = 0 ⇒ f(0) = 2(0) – 4 = ⇒ (0, –4) é um ponto da reta,

x = 2 ⇒ f(2) = 2(2) – 4 = ⇒ (2, 0) é outro ponto da reta.

Passamos então para a construção do gráfico, marcando os pontos obtidos no plano

cartesiano e traçando a reta que une esses dois pontos. Veja a figura abaixo.

4

2

y

x

24. Determine a raiz da função f(x) = 3x + 9 e construa seu gráfico.

Resolução

Para calcular o zero ou a raiz da função afim, substituímos f(x) = 0 na expressão da

função, ou seja, fazemos

0 = –3x + 9 ⇒ 3x = 9 ⇒ x = 3

Agora, precisamos de dois pontos para traçarmos o gráfico da função afim que é uma

reta. Já sabemos que (3,0) é um ponto da reta, agora vamos escolher um outro ponto. Por

exemplo, faça x = 0 neste caso, temos

f(0) = –3(0) + 9 ⇒ f(0) = 9

capítulo 4 • 147

25. Determine a raiz da função f(x) = 5x + 7 e construa seu gráfico.

Resolução

Vamos primeiramente calcular a raiz da função, determinando x tal que f(x) = 0, ou seja,

0 = 5x + 7 ⇒ 5x = –7 ⇒ x = –1,4

Já sabemos que (–1,4; 0) é um ponto da reta. Para determinar o segundo ponto, fazemos,

por exemplo,

f(0) = 5(0) + 7 ⇒ f(0) = 7

ou seja, (0, 7) é outro ponto da reta. Marcando esses dois pontos no plano cartesiano e

traçando a reta que os une, obtemos o seguinte gráfico.

3

9

y

x

26. Sabendo-se que o gráfico a seguir é de uma função polinomial do 1° grau (afim) do tipo

y = ax + b, representada pela reta que passa pelos pontos M e N, determine os valores de

a e b

–1,4

7

y

x

148 • capítulo 4

Resolução

Tendo em vista que os pontos M e N estão sobre a reta que representa a função afim,

queremos determinar o coeficiente angular a e o coeficiente linear b. Para isso, montamos o

seguinte sistema com as variáveis a e b.

0 6

4 2

6 0

2 4

6

4 22 6

,

,,

( ) →−( ) →

= ( ) +− = ( ) +

⇒

=+ =−

⇒ = − =a b

a b

b

a ba b

Com isso, a expressão da função afim representada pela reta que passa nos pontos M e N é

y = –2x + 6

27. Dada a equação y = 2x + 1

a) Identifique o coeficiente angular;

b) Identifique o coeficiente linear;

c) Construa o gráfico no Plano Cartesiano.

Resolução

Em uma equação do tipo Ay + Bx + C = 0, temos: B/A = coeficiente angular

C/B = coeficiente linear

Logo,

y = 2x + 1 → coeficiente angular = 2

coeficiente linear = 1

No Plano Cartesiano, para cada valor de x obtemos um valor de y, assim temos:

X Y0 11 3

Graficamente, temos:

y = 2x + 1

x

y

(1,3)

(0,1)

capítulo 4 • 149

ESTUDO DE CASO APLICADOS01. O custo para se produzir um determinado produto em uma indústria depende de valores

fixos e variáveis. Independentemente da quantidade produzida, o custo mensal para a manuten-

ção do parque industrial destinado à sua fabricação é de R$ R$ 50.000,00. Quando as máqui-

nas entram em funcionamento, o custo para produzir cada unidade do produto é de R$ 400,00.

a) Determine a equação que representa o custo em função da quantidade produzida.

Resposta: Se chamarmos o custo de C de x a quantidade produzida, o valor será igual a

C = 50.000 + 400x

b) Qual será o custo para a produção de 600 unidades?

Resposta: Fazendo x = 600 teremos que o custo será igual a

C = 50.000 + 400x

C = 50.000 + 400 ∙ 600

C = 50.000 + 240.000

C = 290.000,00

c) Quantas unidades poderão ser produzidas com um custo de R$ 470.000,00?

Resposta: Neste caso temos o valor a ser gasto e queremos obter a quantidade x a ser

produzida. Logo:

C = 50.000 + 400x

470.000 = 50.000 + 400x

400x = 420.000

x = 1050 unidades

02. Um empregado contratado para trabalhar 180 horas mensais recebe um salário de R$

40,00 por hora, e deve receber o dobro no caso de horas extras. Se ao fim do mês este fun-

cionário recebeu R$ 9.200,00 de salário, quantas horas extras trabalhou?

Resolução

Como cada hora extra custa R$ 80,00, o dobro da hora normal, então:

9.200 = 40∙180 + 80x

9.200 = 7.200 + 80x

80x = 2000

x = 25 horas extras

150 • capítulo 4

03. O custo do tempo de exibição de um anúncio num canal de televisão é definido pela

seguinte regra:

• R$ 100,00 por segundo, até o limite de 30 segundos.

• R$ 200,00 por cada segundo que exceder os trinta segundos iniciais.

a) Determine o custo correspondente a um anúncio de 25 segundos.

Resposta: 100 ∙ 25 = 2500

b) Determine o custo correspondente a um anúncio de 75 segundos.

Resposta: 100 ∙ 30 + 200 ∙ (75 – 30) = 100 – 30 + 200 ∙ 45 = 12.000,00

04. Um vendedor precisa alugar um carro para visitar vários clientes, e a locadora cobra uma

diária de R$ 250,00 mais R$ 1,50 por quilômetro rodado. Se ele vai alugar o carro por três

dias e vai percorrer 600 km, qual será o valor a ser pago?

Resolução

Como serão 3 dias, pagará 250 ∙ 3 = 750,00 de diária e como percorrerá 600 km, pa-

gará mais 1,5 ∙ 600 = 900,00.

Logo, pagará o valor total de R$ 1.650,00.

05. O custo de energia para uma empresa é de R$ 0,5 por kWh, até 200 kWh, e R$ 1,20 para

cada kWh que exceder 200 kWh. Qual será o valor a ser pago por um consumo de 800 kWh?

Resolução

0,5 ∙ 200 + 1,20 ∙ 600 = R$ 820,00

06. Uma empresa paga aos seus vendedores um salário mensal fixo de R$ 800,00, mais

5% de comissão por venda. Qual será o valor a ser pago a um vendedor que vender R$

10.000,00? Determine a função que associa o salário mensal às vendas do vendedor. Esbo-

ce o gráfico desta função.

Resolução

800,00 + 0,05 ∙ 10000 = R$ 1.300,00

F(x) = 800,00 + 0,05x, cujo gráfico é reproduzido a seguir.

capítulo 4 • 151

1600

1400

1200

1000

800

0 5000 10.000 15.000

07. Uma empresa compra resmas de papel a R$ 10,00 a unidade e cartuchos de impressão

a R$ 40,00 a unidade. Se os recursos disponíveis para esta compra são de R$ 1.200,00 e

serão comprados 20 cartuchos de tinta, quantas resmas de papel serão adquiridas? Deter-

mine a função que associa a quantidade de resmas à quantidade de cartuchos comprados.

Esboce o gráfico desta função.

Resolução:

10x + 40 ∙ 20 = 1.200

10x + 800 = 1.200

10x = 400

x = 40 resmas de papel

Como o valor total é de 1.200 e cada cartucho custa R$ 40,00 o recurso que sobra após

a compra de x cartuchos será 1.200 – 40x. O número de resmas será esta quantidade dividi-

da por 10, ou seja, F(x) = 120 – 4x, cujo gráfico é reproduzido a seguir.

100

50

10 20 30 40

08. Uma peça publicitária será publicada em um jornal durante uma semana completa. Nos

dias úteis, a publicação custa R$ 7.000,00 por dia e nos finais de semana e feriados R$

12.000,00 por dia. Determine o valor a ser pago em uma semana comum, sem feriados, e

numa semana em que ocorra um feriado no meio da semana. Determine a função que asso-

cia o valor a ser pago em função da quantidade de feriados em dias úteis.

152 • capítulo 4

Resolução:

Numa semana comum temos cinco dias úteis e dois dias no final de semana, logo o

valor será 5 ∙ 7000 + 2 ∙ 12000 = 59000,00. Já no caso em que há um feriado no meio da

semana, teremos 4 ∙ 7000 + 3 ∙ 12000 = R$ 64.000,00.

Numa semana comum, seria pago o valor de 5 ∙ 7000 + 2 ∙ 12.000 = 59.000,00.

Para cada feriado em dia útil, há um acréscimo de R$ 5.000,00. Logo, a função será

F(x) = 59.000 + 5.000x, reproduzida no gráfico a seguir.

120.000

100.000

80.000

60.000

0 5 10 15

09. Um executivo ao fazer a locação de um veículo por um dia, recebeu duas opções da

locadora: Pagar R$ 350,00 sem limite de quilometragem ou R$ 200,00 mais R$ 1,50 por

quilômetro rodado. A partir de que quilometragem passa a ser vantajosa a primeira opção?

Esboce os gráficos que associa o valor à quilometragem x.

Resolução

Na primeira opção, o valor independe da quilometragem, logo é uma função constante

F(x) = 350. No segundo caso, será o valor fixo de 200,00 adicionado de 1,50 por quilômetro,

ou seja, F(x) = 200 + 1,5x.

A primeira opção será mais vantajosa quando custar menos que a segunda, ou seja,

quando 350 < 200 + 1,5x, onde x representa a quantidade de quilômetros a serem percor-

ridos. Logo:

1,5x > 350 – 200

1,5x > 150

x > 100

capítulo 4 • 153

Ou seja, se for percorrer mais do que 100 quilômetros, a primeira opção será mais van-

tajosa.

y

x80 100 120 140

300

320

340

360

380

400

420

Veja no gráfico que se o executivo for percorrer mais do que 100 quilômetros, a primeira

opção será mais vantajosa.

10. Uma administradora de imóveis administra 400 imóveis sendo 100 para venda e 300

para locação. Sua equipe é formada por 35 funcionários dentre os quais 10 são corretores

de imóveis profissionais e 5 são administradores e os demais trabalham na infraestrutura da

empresa. Supondo que a relação ideal em uma administradora é de 1 corretor para cada 15

imóveis para venda e de 1 administrador para cada 30 imóveis para locação. Nestas condi-

ções, calcule o número ideal de corretores e administradores que a empresa deve possuir

em seu quadro de funcionários.

Resolução

Para o corretor a relação ideal é:

1 corretor → 15 imóveis para venda

10 corretores → 150 imóveis para venda

Número ideal → 100 imóveis para venda / 15 = número ideal de corretores = 6,6 ≈ 7

Para o administrador a relação ideal é:

1 administrador → 30 imóveis para locação

Número ideal → 300 imóveis para locação / 30 = número ideal de administradores = 10

154 • capítulo 4

11. O armazenamento de 100 caixas de um produto ocupa uma área de 5 metros quadrados

de um galpão. Determine uma função que calcula a metragem quadrada a partir do número

de caixas a serem armazenadas.

Resolução

Como são 100 caixas em 5 metros quadrados, temos que uma caixa consome 0,05

metros quadrados.

Logo a função será F(x) = 0,05x ou F(x) = x/20, cujo gráfico é reproduzido a seguir.

0,15

0,10

0,05

–0,05

–0,10

–0,15

–3 –2 –1 1 2 3

12. Um hospital recebe R$ 400,00 diários por cada leito ocupado por um paciente de um

determinado convênio. Esboce o gráfico da função que associa o valor que o hospital recebe

ao número de pacientes internados pelo convênio.

Resolução

Neste caso, F(x) = 400x, cujo gráfico é reproduzido a seguir:

200.000

100.000

–200.000

–100.000

–400 –200 200 400

capítulo 4 • 155

13. Um contador precisa atualizar o patrimônio de uma empresa e deve atualizar o valor de

um veículo que foi comprado por R$ 50.000,00 e sofre uma depreciação anual de 8% do

valor inicial (e não do valor atual). Esboce o gráfico que associa o valor do veículo ao tempo

de uso (em anos).

Resolução

Como a depreciação anual é de 8% do valor inicial, ela será de R$ 4.000,00 por ano.

Desta forma, após x anos o valor será de F(x) = 50.000 – 4000x como mostra o gráfico a

seguir.

2 4 6 8 10 12 14

10.000

20.000

30.000

30.000

50.000

EXERCÍCIO PROPOSTOS DE CONCURSOS01. (UFRN 2013) Uma empresa de tecnologia desenvolveu um produto do qual, hoje, 60%

das peças são fabricadas no Brasil, e o restante é importado de outros países. Para aumentar

a participação brasileira, essa empresa investiu em pesquisa, e sua meta é, daqui a 10 anos

(considere que o ano de partida seja o de 2012), produzir, no Brasil, 85% das peças empre-

gadas na confecção do produto.

Com base nesses dados e admitindo-se que essa porcentagem varie linearmente com o

tempo contado em anos, o percentual de peças brasileiras na fabricação desse produto será

superior a 95% a partir de

a) 2027.

b) 2026.

c) 2028.

d) 2025.

156 • capítulo 4

Resolução

Partindo do ano de 2012 (t=0) e sabendo que a variação do percentual com o tempo é

linear, considere a função definida por p(t)=at+b em que p(t) afere o percentual de peças

fabricadas no Brasil daqui a t anos.

A taxa de variação da função p é dada por a = −−

=85 6010 0

52

Logo, p t t( ) = +52

60

Os valores de t para os quais o percentual de peças brasileiras na fabricação do produto

é superior a 95% são tais que

52

60 95 14t t+ > ⇔ >

Portanto, o percentual de peças produzidas no Brasil superará 95% a partir do ano de

2012 + 15 – 2027.

Resposta: A.

02. (UEL 2013) Na cidade A, o valor a ser pago pelo consumo de água é calculado pela

companhia de saneamento, conforme mostra o quadro a seguir.

QUANTIDADE DE ÁGUA CONSUMIDA (EM M3) VALOR A SER PAGO PELO CONSUMO DE ÁGUA (EM REAIS)Até 10 R$18,00

Mais do que 10 R$18,00 + R$2,00 por m3 que excede 10 m3

Na cidade B, outra companhia de saneamento determina o valor a ser pago pelo con-

sumo de água por meio da função cuja lei de formação é representada algebricamente por

B x17

2 1x 4

se x 1

se x 1( ) =

−≤>

,

0

0

em que x representa a quantidade de água consumida (em m3) e B(x) representa o valor

a ser pago (em reais).

a) Represente algebricamente a lei de formação da função que descreve o valor a ser pago

pelo consumo de água na cidade A.

b) Para qual quantidade de água consumida, o valor a ser pago será maior na cidade B do

que na cidade A?

capítulo 4 • 157

Resolução

a) De acordo com a descrição do enunciado, A x18

x

x 1

x 1( ) =

+ −( )≤>

18 2 10

0

0cujo gráfico é dado por:

x

A(x)

22

18

1210

b) 2 1x 4 18 2x 2

2 1x 4 2x 2

1x 2

x 2

,

,

,

> +( )>

>>

0

0

0

O valor a ser pago será maior na cidade B para quantidades superiores a 20 m3.

03. (UFSM 2013) Os aeroportos brasileiros serão os primeiros locais que muitos dos 600

mil turistas estrangeiros, estimados para a Copa do Mundo FIFA 2014, conhecerão no Brasil.

Em grande parte dos aeroportos, estão sendo realizadas obras para melhor receber os visi-

tantes e atender a uma forte demanda decorrente da expansão da classe média brasileira.

Fonte: Disponível em: <http://www.copa2014.gov.br>.

Acesso em: 7 jun. 2012. Adaptado.

Pas

sage

iros

(em

milh

ões)

8,07,26,7

4,0

2010 2014 Ano

DC

158 • capítulo 4

O gráfico mostra a capacidade (C), a demanda (D) de passageiros/ano em 2010 e a

expectativa/projeção para 2014 do Aeroporto Salgado Filho (Porto Alegre, RS), segundo

dados da lnfraero – Empresa Brasileira de lnfraestrutura Aeronáutica.

De acordo com os dados fornecidos no gráfico, o número de passageiros/ano, quando a

demanda (D) for igual à capacidade (C) do terminal, será, aproximadamente, igual a

a) sete milhões, sessenta mil e seiscentos.

b) sete milhões, oitenta e cinco mil e setecentos.

c) sete milhões, cento e vinte e cinco mil.

d) sete milhões, cento e oitenta mil e setecentos.

e) sete milhões, cento e oitenta e seis mil.

Resolução

Função da demanda é dada por:

D x( ) =−−

+ = +7 2 6 7

2014 201018

, ,x b x bD D

Temos que bD ficará determinado quando a reta D(x) passar por um ponto conhecido, por

exemplo, (2014, 7,2). Nesse caso, temos

7,2 = ( ) + ⇒ = −18

2014 244 55b bD D ,

Portanto,

D x( ) = −18

244 55x ,

Função da capacidade é dada por:

Cx = 8 – 42014 – 2010x + bC = x + bC

Temos que bC ficará determinado quando a reta C(x) passar por um ponto conhecido, por

exemplo, (2014, 8). Nesse caso, temos

8 = x + bC ⇒ bC = –2006

capítulo 4 • 159

Portanto,

C(x) = x – 2006

Queremos que C(x) = D(x). Para isso temos que calcular primeiramente x, como

18

244 55 2006 2013 085x x x− = − ⇒ =, ,

Agora, substituindo x em C(x) ou em D(x), obtemos

C(201,085) = 2013,085 – 2006 = 7,085

ou seja, o número de passageiros é igual a 7,085 milhões

Cuidado para não tomar bD = 6,7 em D(x), nem bC = 4 em C(x). Lembre-se que coeficien-

tes lineares têm sempre abscissa igual a zero!

Resposta: B.

04. (Unioeste 2013) Uma empresa de telefonia celular possui somente dois planos para

seus clientes optarem entre um deles. No plano A, o cliente paga uma tarifa fixa de R$ 27,00

e mais R$ 0,50 por minuto de qualquer ligação. No plano B, o cliente paga uma tarifa fixa

de R$ 35,00 e mais R$ 0,40 por minuto de qualquer ligação. É correto afirmar que, para o

cliente,

a) com 50 minutos cobrados, o plano B é mais vantajoso que o plano A.

b) a partir de 80 minutos cobrados, o plano B é mais vantajoso que o plano A.

c) 16 minutos de cobrança tornam o custo pelo plano A igual ao custo pelo plano B.

d) o plano B é sempre mais vantajoso que o plano A, independente de quantos minutos

sejam cobrados.

e) o plano A é sempre mais vantajoso que o plano B, independente de quantos minutos

sejam cobrados.

Resolução

Preço da ligação do plano A: PA = 27 + 0,5t

Preço da ligação do plano B: PB = 35 + 0,4t em que t é o tempo da ligação em minutos.

Fazendo PA = PB, temos: 27 + 0,5t = 35 + 0,4t ⇒ 0,1 · t = 8 ⇒ t = 80 min

160 • capítulo 4

Graficamente temos:

x

67

y

35

27

80

PA PB

Analisando o gráfico concluímos que a partir de 80 minutos cobrados, o plano B é mais

vantajoso que o plano A.

Resposta: B

05. (G1 - CFTMG 2013) Os preços dos ingressos de um teatro nos setores 1, 2 e 3seguem

uma função polinomial do primeiro grau crescente com a numeração dos setores. Se o preço

do ingresso no setor 1 é de R$ 120,00 e no setor 3 é de R$ 400,00, então o ingresso no

setor 2, em reais, custa

a) 140

b) 180

c) 220

d) 260

Resolução

Taxa de variação do preço: 400 1203 1

140−−

= .

Temos que o preço do ingresso em cada setor x é dado pela função y = 140x + b.

Para obter o valor de b, substituímos na expressão da função um ponto, por exemplo,

(1, 120), e obtemos 120 =140(1) + b, o que implica que b = -20. Portanto, a expressão será

y = 140x – 20. Nesse caso, o preço de um ingresso no setor 2 tem valor y = 260.

Resposta: D

capítulo 4 • 161

06. (Insper 2013) Num restaurante localizado numa cidade do nordeste brasileiro são servi-

dos diversos tipos de sobremesas, dentre os quais sorvetes. O dono do restaurante registrou

numa tabela as temperaturas médias mensais na cidade para o horário do jantar e a média

diária de bolas de sorvete servidas como sobremesa no período noturno.

MÊS JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZTEMPERATURA MÉDIA MENSAL

(GRAUS CELSIUS)

29 30 28 27 25 24 23 24 24 28 30 29

BOLAS DE SORVETE

980 1000 960 940 900 880 860 880 880 960 1000 980

Ao analisar as variáveis da tabela, um aluno de Administração, que fazia estágio de férias

no restaurante, percebeu que poderia estabelecer uma relação do tipo y = ax + b sendo x a

temperatura média mensal e y a média diária de bolas vendidas no mês correspondente. Ao

ver o estudo, o dono do restaurante fez a seguinte pergunta:

“É possível com base nessa equação saber o quanto aumentam as vendas médias diárias

de sorvete caso a temperatura média do mês seja um grau maior do que o esperado?”

Das opções abaixo, a resposta que o estagiário pode dar, baseando-se no estudo que

fez é:

a) Não é possível, a equação só revela que quanto maior a temperatura, mais bolas são

vendidas.

b) Não é possível, pois esse aumento irá depender do mês em que a temperatura for mais alta.

c) Serão 20 bolas, pois esse é o valor de a na equação.

d) Serão 20 bolas, pois esse é o valor de b na equação.

e) Serão 400 bolas, pois esse é o valor de a na equação.

Resolução

Da tabela, temos que

JAN FEV29 30

980 1000

Resposta: C.

ayx

bolas= = −−

=∆∆

1000 98030 29

20

162 • capítulo 4

4.11 Função quadrática ou polinomial de segundo grau

4.11.1 Introdução

A função quadrática modela uma variedade de problemas tanto na própria matemática

como nas ciências físicas e em muitas outras áreas. Isto faz com que este modelo de

função tenha certo destaque na Educação Básica, aparecendo no final do Ensino Fun-

damental, assim como no Ensino Médio.

No entanto, ao contrário do que é comum se observar nas abordagens de função qua-

drática, sua importância não exige do cidadão apenas habilidade na manipulação de

fórmulas prontas que descrevem a representação algébrica. Para o uso de tal modelo

de função, assim como para os demais, é necessário que ele compreenda as caracte-

rísticas peculiares deste tipo de função. Entenda quais as características de uma rela-

ção entre duas grandezas de uma situação que faz com que ela possa ser modelada

por uma função quadrática.

SILVA, César Thiago José da; GITIRANA, Verônica. Função Quadrática e Progressões

Aritméticas - Uma Abordagem com Auxilio de Softwares. Anais do XI Encontro Na-

cional de Educação Matemática – ISSN 2178-034X Página 2. Disponível em: <http://

sbem.esquiro.kinghost.net/anais/XIENEM/pdf/2728_911_ID.pdf >.

Dizemos que uma função f de � em � é uma função do segundo grau ou

quadrática quando associa a cada número real x o número real ax2+ bx + c em que

a, b e c são números reais dados, com a ≠ 0. Ou ainda podemos expressar f por:

f

x f x ax bx c

÷ →→ ( ) = + +� �

2

Exemplos

1. f x x x em que a b e c( ) = + + = = =13

43

53

13

43

53

2 , ,

2. f(x) = –2x2 + x, em que a = –2b = 1 e c = 0

3. f(x) = x2 – 4, em que a = 1, b = 0 e c = –4

4. f(x) = x2 – 4x + 3, em que a = –2b = –4 e c = 3

capítulo 4 • 163

4.12 Gráfico de uma função quadrática

O gráfico de uma função de segundo grau ou quadrática é uma parábola.

Podemos visualizar de forma concreta uma parábola, por exemplo, dirigin-

do um jato de água de forma obliqua para cima.

Uma parábola é o lugar geométrico dos pontos do plano que são equidis-

tantes de uma reta r e de um ponto F, não pertencente à reta, no plano dado.

Por exemplo, na próxima figura, podemos observar que qualquer ponto P da

parábola dista igualmente da reta r e do ponto F.

P

F

r

4.13 Concavidade

A parábola pode ter concavidade para cima ou para baixo. Na prática, para de-

terminarmos a concavidade observamos a expressão da função de segundo

164 • capítulo 4

grau. Para isso, basta identificar o sinal do coeficiente do termo x2, ou seja, o

valor de a na expressão

f x ax bx c( ) = + +2

Se a > 0, a parábola possui concavidade para cima.

Se a < 0, a parábola possui concavidade para baixo.

a > 0

a < 0

Exemplos

2,5

2,0

1,5

1,0

0,5

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

f(x) = x2 – 3x + 2

2

2

4

6

0,5 1,0 1,5–0,5–1,0–1,5

f(x) = – 3x2 + 6

4.14 Raízes ou zeros

As raízes ou zeros da função de segundo grau são os valores de x que anulam a

função f, ou ainda, são os valores reais de x tais que

f x ax bx c( ) = + + =2 0

capítulo 4 • 165

Graficamente, as raízes são os pontos onde a parábola corta o eixo dos x.

Exemplo

Seja a função quadrática f(x) = x2 –4x + 3

Pelo gráfico podemos perceber que a função possui duas raízes: x = 1 e x =3

2

1 2 3 4 5

4

6

8

–2

Algebricamente, para determinarmos as raízes da equação do segundo

grau, utilizaremos a fórmula de Bhaskara.

ax bx c

b ac

xb

a

2

2

0

4

2

+ + =∆ = −

= − ± ∆

Caso1. Δ > 0

Nesse caso, a raiz do discriminante existe, e assim a função quadrática tem

duas raízes reais e distintas, a saber:

xb

ae x

ba1 22 2

= − + ∆ = − − ∆

Observamos que a parábola corta o eixo dos x em dois pontos distintos.

x

a > 0 e Δ > 0

x

a < 0 e Δ > 0

166 • capítulo 4

Caso2. Δ = 0

Como a raiz quadrada de zero é zero, neste caso, a função quadrática tem

duas raízes reais e iguais, a saber:

xb

a

x xba

= − ± ∆

= = −2

21 2

Observamos que a parábola apenas tangencia o eixo dos x.

x

a > 0 e Δ = 0

x

a < 0 e Δ = 0

Caso3. Δ < 0

Como a raiz quadrada de um número negativo não é um número real, neste

caso, dizemos que a função quadrática não tem raízes reais, já que ∆ ∈� .

Observamos que, a parábola não corta o eixo dos x.

x

a > 0 e Δ < 0

x

a < 0 e Δ < 0

Exemplo

Determine as raízes reais de f(x) = x2 – 3x + 4

Resolução

Primeiramente, calculamos

Δ = b2 – 4ac = (–3)2 – 4(1) (4) = 9 – 16 = –7

Como Δ < 0, f não tem raízes reais.

capítulo 4 • 167

Exemplo

Determine as raízes reais de f(x) = x2 – 3x + 2

Resolução

Temos Δ = b2 – 4ac = (–3)2 – 4(1) (4) = 9 – 8 = 1

Usando a fórmula de Bhaskara, obtemos as raízes:

xb

a

x

x= − ± ∆ =

±=

= + = =

= − = =

2

3 1

2

3 12

42

2

3 12

22

1

1

2

Exercício

Determine os valores de m para que a função de segundo grau

f(x) = (m + 1)x2 + (2m + 3)x + m possua dois zeros reais e distintos.

Resolução

Para que a função quadrática possua dois zeros reais e distintos, é necessá-

rio que Δ > 0.

Partindo desta condição, temos

∆ = − = +( ) − −( )( ) >

+ + − + >+ >> −

b ac m m m

m m m m

m

m

2 2

2 2

4 2 3 4 1 0

4 6 9 4 4 0

10 9 0

10 9

mm > − 910

Precisamos, além disso, nos assegurar que a função realmente seja de se-

gundo grau. Para isso, o coeficiente do termo x2 precisa ser diferente de zero

(a ≠ 0).

Logo, é preciso verificar que m – 1 ≠ 0 ⇒ m ≠ 1

(Lembre que o símbolo matemático "⇒" significa “implica em”.)

Assim, os valores de m procurados são: m e m> − ≠910

1

168 • capítulo 4

4.15 Interseção com o eixo y

Uma vez que todo ponto localizado em cima do eixo dos y possui abscissa igual

a zero, para determinarmos o ponto de interseção da parábola com o eixo dos

y precisamos fazer x = 0 na função quadrática f x ax bx c( ) = + + =2 0 , ou seja,

f(0) = a02 – b0 + c = c

Assim, a parábola interceptará o eixo y em c.

Exemplo

Seja f(x) = x2 – 4x + 3

Como c = 3, verifica-se que esta parábola intercepta o eixo y em y = 3, confor-

me o gráfico a seguir.

–1

1

2

3

4

5

1 2 3 4

4.16 Máximo e mínimo

Teorema. Se a < 0, a função quadrática y = ax2 + bx + c admite valor máximo

yaM − ∆

4, para x

baM −

2.

O gráfico a seguir ilustra o ponto de máximo da parábola, xM, e o valor máxi-

mo correspondente yM.

capítulo 4 • 169

YM

y

Valormáximo

Ponto demáximo

V

XM x

Teorema. Se a > 0, a função quadrática y = ax2 + bx + c admite valor máximo

yaM − ∆

4, para x

baM −

2.

O gráfico a seguir ilustra o ponto de mínimo da parábola xM e o valor mínimo

correspondente yM.

y

Ponto demínimo

V

XM

x

YMValormínimo

170 • capítulo 4

(ENEM 2000) Um boato tem um público alvo e alastra-se com determinada

rapidez. Em geral, essa rapidez é diretamente proporcional ao número de pes-

soas desse público que conhece o boato e diretamente proporcional também

ao número de pessoas que não o conhece. Em outras palavras, sendo R a ra-

pidez de propagação, P o público-alvo e x o número de pessoas que conhece o

boato, tem-se: R(x) = kx (P – x), em que k é uma constante positiva característica

do boato. Considerando o modelo acima descrito, se o público-alvo é de 44000

pessoas, então a máxima rapidez de propagação ocorrerá quando o boato for

conhecido por um número de pessoas igual a:

a) 11000

b) 22000

c) 33000

d) 38000

e) 44000

Resolução

Como o público-alvo é de 44000 pessoas, temos P = 44000

Substituindo o valor de P em R(x) = kx (P – x), temos:

R(x) = kx (44000 – x) = –kx2 = 44000kx

Como k é uma constante positiva, o coeficiente de x2 em R é negativo.

Portanto, o valor máximo de propagação R será alcançado quando o número

de pessoas x corresponder ao ponto de máximo de R. Sabemos que o ponto de

máximo é

xba

kkM = − = −

−( )=

2440002

22000

Resposta: b

Você deve ter notado que o ponto de máximo tem a mesma fórmula do pon-

to de mínimo, assim como a fórmula do valor máximo é igual a fórmula do valor

mínimo. Vamos ver a explicação para isso a seguir.

capítulo 4 • 171

4.17 Vértice

Chamamos por vértice da parábola o ponto Vba a

= − − ∆

2 4

, associado à fun-

ção quadrática y = ax2 + bx + c.

O gráfico da função quadrática possui um eixo de simetria que passa pelo vér-

tice da parábola e é perpendicular ao eixo dos x. O eixo de simetria funciona como

um espelho, dividindo a parábola em duas partes, veja os gráficos a seguir.

x0

y

Δ4a

–

b2a

–

Veixo de simetria

x0

y

b2a 4a

, –

eixo de simetria

V Δ

172 • capítulo 4

Exercício

Determine os intervalos onde a função f(x) = x2 + x + 2 é crescente e

decrescente.

Resolução

Como a = –1, sabemos que a concavidade de f é para baixo, sendo o vértice o

ponto que delimitará a mudança da inclinação da parábola:

Vba a

= − − ∆

2 4

,

Esboçando o gráfico da função, percebemos que a função é crescente para

os valores de x menores que 0,5, e será decrescente para os valores de x maiores

de 0,5.

x

y3

2

1

–1

–3

–2

–3 –2 –1 1 2

intervalo de crescimento

V (0,5; 2,25)

x

y3

2

1

–1

–3

–2

–1 1 2 3 4

intervalo de crescimento

V (0,5; 2,25)

(ENEM 2013) A temperatura T de um forno (em graus centígrados) é redu-

zida por um sistema a partir do instante de seu desligamento (t = 0) e varia de

acordo com a expressão T tt( )= − +

2

4400 com t em minutos.

Por motivos de segurança, a trava do forno só é liberada para abertura quan-

do o forno atinge a temperatura de 39ºC.

capítulo 4 • 173

Resolução

Lembre-se que a trava do forno só é liberada para abertura quando o for-

no atinge a temperatura de 39°C. Assim, o tempo mínimo de espera, em mi-

nutos, após se desligar o forno será quando a temperatura atingir os 39°C.

Substituindo T =39 na expressão da temperatura do forno, temos:

T tt

t

t

t

t

( )= − +

= − +

= − + =

= ⋅ ==

2

2

2

2

4400

394

400

439 400 361

361 4 1444

38

4.18 Imagem

Seja a função quadrática f(x) = ax2 + bx + c. Se a concavidade da parábola é para

cima, ou seja, a > 0, o menor valor de y corresponde à ordenada do vértice da

parábola.

A imagem da função, quando a > 0, será Im( ) ,fa

= − + ∞

∆4

Analogamente, no caso em que a < 0, o maior valor de y corresponde

à ordenada do vértice da parábola, e, portanto, a imagem da função será

Im( ) ,fa

= −∞ −

∆

4

Exemplo

Seja f(x) = x2 – 4x + 3. Como a = 1 > 0, o menor valor de y é dado por

ya

b ac

aV = − ∆ =−

=−( ) − ( )( )

( )= −

4

4

4

4 4 1 3

4 11

2 2

a) 19,0 b) 19,8 c) 20,0 d) 38,0 e) 39,0

Qual o tempo mínimo de espera, em minutos, após se desligar o forno, para

que a porta possa ser aberta?

174 • capítulo 4

Nesse caso, Im( )f = − −∞] ]1 , como se pode ver no gráfico a seguir.

1

2

3

1 2 3 4

4a– = –1Δ

Exemplo

Seja f x x x( ) = − + +13

43

53

2 . Temos que a = –1/3 < 0, então o menor valor de y

é dado por

yaV = − ∆ =

− −

−

=4

43

413

53

413

3

2

Portanto, Im( ) ,f = −∞] ]3 , como se pode ver no gráfico a seguir.

1

2

2 4

–1

–2

6 –2

4a– = 3Δ

capítulo 4 • 175

4.19 Soma e produto das raízes

Conforme já vimos, as raízes da função de segundo grau f(x) = ax2 + bx + c são

xb

ae x

ba1 22 2

= − + ∆ = − − ∆

A soma das raízes desta função de segundo grau é dada por:

S x xba

= − + = −1 2

O produto das raízes desta função de segundo grau é dado por:

P x xca

= − + =1 2

(ENEM 2010) Nos processos industriais, como na indústria de cerâmica,

é necessário o uso de fornos capazes de produzir elevadas temperaturas e, em

muitas situações, o tempo de elevação dessa temperatura deve ser controlado,

para garantir a qualidade do produto final e a economia no processo.

Em uma indústria de cerâmica, o forno é programado para elevar a tempe-

ratura ao longo do tempo de acordo com a função em que T é o valor da tempe-

ratura atingida pelo forno, em graus Celsius, e t é o tempo, em minutos, decor-

rido desde o instante em que o forno é ligado.

T tt para t

t t para t( ) =

+ ≤ <

− + ≥

75

20 0 100

2125

165

320 100

Uma peça deve ser colocada nesse forno quando a temperatura for 48 °C e

retirada quando a temperatura for 200 °C.

O tempo de permanência dessa peça no forno é, em minutos, igual a

a) 100

b) 108

c) 128

d) 130

e) 150

176 • capítulo 4

Resolução

Temos duas situações:

(I) Para 0 100≤ <t , a função a ser considerada é T t t( ) = +75

20

Determinamos a temperatura T para t = 0 e T = 100, fazendo

T

T

075

0 20 20

10075

100 20 140 20 160

( ) = + =

( ) = + = + =

Dessa forma, quando 0 100≤ <t , teremos 20 160≤ <T

(II) Para t ≥ 100, a função a ser considerada é T t t t( ) = − +2125

165

320

Precisaremos determinar o valor de t quando a peça for colocada e retirada

do forno, de modo a podermos precisar o tempo de permanência dessa peça

neste forno.

Quando a temperatura for 48 °C, a peça entra no forno. Neste caso, determi-

namos o valor de t correspondente, fazendo

T t t

t

t

t

t

( ) = +

= +

= − =

= ⋅= ⋅ =

75

20

4875

20

75

48 20 28

7 28 5

4 5 20 min.

Quando a temperatura for 200 °C, determinamos o valor de t, fazendo

T t t t

t t

t t

( ) = − +

= − +

= − + −

2125

165

320

2002

125165

320

02

125165

320 200

21125

165

120 0

2 400 15000 0

200 7500 0

2

2

t t

t t

t t

− + =

− + =− + =

capítulo 4 • 177

Podemos resolver esta equação de segundo grau utilizando a fórmula de

Bhaskara. Temos que Δ = (200)2 – 4(1) (7500) = 40000 – 30000 = 10000. Então,

as raízes são:

t

t

1

1

200 10000

2 1200 100

250

200 10000

2 12

=− −( )−

( )= − =

=− −( )+

( )=

min.

000 1002

150+ = min.

Uma vez que estamos trabalhando com uma temperatura de 2000, sabemos

que t ≥ 100. Assim, a peça é retirada do forno no tempo t = 150 min.

150 – 20 = 130 minutos.

Resposta: Letra d.

4.20 Construção do gráfico de uma função de segundo grau

1. Concavidade da parábola: coeficiente a;

2. Onde a parábola corta o eixo dos y: coeficiente c;

3. Pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x: raízes;

4. Ponto de mínimo (a > 0), ou máximo (a < 0): vértice V

5. Eixo de simetria da parábola: reta que passa por V e é paralela ao eixo dos y.

Exemplo

Esboce o gráfico da função f(x) = –x2 –4 x –3

Resolução

1. Concavidade da parábola: coeficiente a;

Como a = –1 < 0, a concavidade da parábola é voltada para baixo.

2. Onde a parábola corta o eixo dos y: coeficiente c;

Como c = –3, a parábola corta o eixo dos y em (0, –3)

178 • capítulo 4

3. Pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x: raízes;

∆ = − = −( ) − −( ) −( ) = − =

= − + ∆ = ±−

=−−

b ac

xb

a

2 2

2

4 4 4 1 3 16 12 4

24 2

2

3

1

Como a = –1 < 0, teremos um ponto de máximo: sendo o vértice

Δ =−b2, −Δ 4a = − (−4) 2 (−1), − 44 (−1) = −2, 1.

Desse modo, o gráfico de f é dado a seguir.

–2

–4

–6

–8

–5 –4 –3 –2 –1 1

4.21 Estudo dos sinais da função quadrática

Estudar o sinal de uma função consiste em determinar os intervalos de x nos

quais esta função possui imagem positiva (f(x) > 0), imagem negativa (f(x) < 0) e

imagem nula (f(x) = 0)

O estudo do sinal de uma função quadrática depende da concavidade desta

função e a mudança de sinal da função quadrática está intimamente ligada às

raízes desta função.

Podemos resumir o estudo dos sinais de uma função quadrática com o au-

xílio dos gráficos abaixo.

capítulo 4 • 179

a > 0 a < 0

Δ > 0

x0

y

x1 y < 0

y < 0y < 0

x2

y

x1 y < 0

y < 0y < 0

x2

0 x

Δ < 0

x0

y

y < 0

y

y < 0 x0

Δ = 0

x0

y

x1 = x2

y > 0 y > 0

y

x0 x1 = x2

y > 0 y > 0

180 • capítulo 4

Exemplo

Estude o sinal da função quadrática f(x) = x2 –4 x 9 + 3.

Resolução

Ao montar o gráfico de f, apresentado abaixo, determinamos suas raízes

x1 = 1 e x2 = 3. Então, verificamos de imediato que f(x) = 0 quando x = x1 e x = x2. .

A imagem de f é positiva, ou seja, f(x) > 0, no intervalo x < 1 e x > 3, Já a imagem

de f é negativa, ou seja, f(x) < 0, no intervalo 1 < x < 3.

1

–1

2

3

1 2 3 4

4

5

Repare que, entre as raízes x1 = 1 e x2 = 3, o valor da função é negativo (está

abaixo do eixo dos x), enquanto para valores de x menores e maiores do que as

raízes, o valor da função é positivo.

Exercício

Resolva a inequação

x x x

x x

2

2

6 5 4

11 240

− +( ) −( )− −

≥

Resolução

Para resolver a inequação precisamos estudar o sinal de cada uma das fun-

ções envolvidas. São elas:

capítulo 4 • 181

I. f(x) = x2 – 6x + 5. Temos que a = 1 > 0 e suas raízes são x = 1 e x = 5.

Podemos agora identificar o sinal de imagem de f no esquema a seguir, que

tem como orientação o eixo dos x.

x2 – 6x + 5 + – – – + +

1 5Raízes

II. g(x) = (x – 4). Sabemos que g é uma função linear crescente com raiz x = 4.

x – 4 – – – + + +

4Raízes

I. g(x) = x2 – 11x – 24. Temos que a = 1 > 0 e suas raízes são x = 3 e x = 8.

x2 – 11x + 24 + + – – – +

3 8Raízes

Como a função h está no denominador, ela não pode assumir valor zero.

Assim, as raízes desta equação não podem pertencer à solução.

Para analisar a inequação, montamos um quadro com os sinais da imagem

das funções f, g e h, e estudamos o sinal do produto do numerador junto com o

sinal do denominador, lembrando de excluir as raízes de h, já que o denomina-

dor não pode ser nulo.

x2 – 6x + 5 + – – – + +

x – 4 – – – + + +

x2 – 11x + 24 + + – – – +

Inequação – + – + – +

3 4 51 8Raízes

Representamos a solução da inequação por:

S x x x x x x= ∈ ≤ <{ }∪ ∈ ≤ ≤{ }∪ ∈ >{ }� � �/ / /1 3 4 5 8

182 • capítulo 4

ESTUDO DE CASO APLICADOS01. Sabe-se que, mensalmente, um fabricante vende x unidades de um determinado artigo

por R(x) = x² – x. Sabe-se ainda que o custo da produção é dado por C(x) = 2x² – 7x +

8. Quantas unidades devem ser vendidas mensalmente, de modo que se obtenha o lucro

máximo?

Resolução

L(x) = R(x) – C(x)

L(x) = x² – x – (2x² – 7x + 8)

L(x) = x² – x – 2x² + 7x – 8

L(x) = – x² + 6x – 8

xba

x

x

V

V

V

= −

= −−

=

262

3

02. Uma fábrica vendo determinado produto cuja função lucro, dada em reais, é dada por

L(x) = – 5x2 + 100x – 80, onde x representa o número de produtos vendidos. Determine:

a) O lucro máximo obtido pela fábrica na venda desses produtos.

b) Quantos produtos precisam ser vendidos para obtenção do lucro máximo.

Resolução

a) O lucro máximo obtido pela fábrica na venda desses produtos.

Função lucro da fábrica: L(x) = – 5x2 + 100x – 80.

É uma função do 2º grau, com a = – 5 < 0.

A parábola que representa essa função possui concavidade voltada para baixo. Dessa

forma, possui um ponto de máximo absoluto, que é o vértice da parábola.

O lucro máximo da empresa será dado pela coordenada y do vértice.

yaV = −∆ =

− − ⋅ −( ) ⋅ −( ) ⋅ −( )

=− −( )

−= −

4

100 4 5 80

4 5

10000 1600

208402 00

20420

−=

Lucro máximo da fábrica será de R$ 420,00.

capítulo 4 • 183

b) Quantos produtos precisam ser vendidos para obtenção do lucro máximo.

O número de produtos a serem vendidos para obtenção do lucro máximo será dado pela

coordenada x do vértice.

xbaV = − =

− − ⋅ −( ) ⋅ −( ) ⋅ −( )

= −−

=2

100 4 5 80

2 510010

102

A fábrica precisa vender 10 produtos para obter o lucro máximo desejado.

03. Um fabricante de calçados pode produzir calçados ao custo de R$ 20,00 o par e estima

que, se cada par for vendido por x reais, ele venderá por mês 80 – x (0 ≤ x ≤ 80) pares de

sapatos. Considerando então o lucro mensal do fabricante como uma função do preço de

venda, determine o preço de venda, de forma que o lucro mensal seja máximo?

Resolução

Custo: C(x) = 20*(80 – x)

Receita: R(x) = (80 – x) * x

Lucro: L(x) = (80 – x) * x – 20*(80 – x)

L(x) = 80x – x² – 1600 + 20x

L(x) = – x² +100x – 1600

O lucro de uma fábrica possui um valor máximo ( a < 0 ) .

L(x) = – x² +100x – 1600

a = – 1

b = 100

c = – 1600

xba

x xV V V= − ⇒ = −⋅ −( )

⇒ =2

1002 1

50

Para que se obtenha lucro máximo, o preço de venda do par de sapatos deve ser R$

50,00.

184 • capítulo 4

EXERCÍCIO RESOLVIDOS DE CONCURSOS01. (UERJ 2009) Uma bola de beisebol é lançada de um ponto 0 e, em seguida, toca o solo

nos pontos A e B, conforme representado no sistema de eixos ortogonais:

0

y (m)

x (m)A

C

B35

D

Durante sua trajetória, a bola descreve duas parábolas com vértices C e D.

A equação de uma dessas parábolas é yx x= − +

2

7525

Se a abscissa de D é 35 m, a distância do ponto 0 ao ponto B, em metros, é igual a:

a) 38 b) 40 c) 45 d) 50

Resolução

As raízes de yx x= − +

2

7525

são x = 0 e x = 30.

Podemos resolver utilizando a fórmula de Bhaskara ou fatorando a expressão:

yx x x x= ⇒ − + = ⇒ − −

=075

25

05 15

2 02 2

Assim, temos que

− = ⇒ = − = ⇒ = ⇒ =xx ou

x xx

50 0

152 0

152 30

Isto implica que a equação dada se refere à parábola de raízes em 0 e em A, sendo a

abscissa do ponto A é igual a 30.

Sabemos que os pontos A e B são simétricos em relação ao eixo que passa no vértice D.

Como a distância do ponto A à abscissa do vértice D mede 5m, então a abscissa do

ponto B será igual a 40m.

Resposta: Letra b.

capítulo 4 • 185

02. (PUC – SP) Uma bola é largada do alto de um edifício e cai em direção ao solo.

Sua altura h em relação ao solo, t segundos após o lançamento, é dada pela expressão

h = – 25t2 + 625. Após quantos segundos do lançamento a bola atingirá o solo?

Resolução

Quando a bola atingir o solo, sua altura será zero. Substituindo na expressão de h temos:

h = – 25t2 + 625

0 = – 25t2 + 625

25t2 = 625

t2 = 25 ⇒ t = ± 5

Considerando que a bola foi largada no instante t = 0, temos que a solução t = –5 deve ser

descartada, restando t = 5. Veja a seguir o gráfico da função para visualizar a trajetória da bola.

600

400

200

–200

1 2 3 4 5 6

Resposta. A bola levará 5 segundos para atingir o solo.

03. (PUC – Campinas – SP) A trajetória de um projétil foi representada no plano cartesia-

no por yx x= − +

2

64 16 com uma unidade representando um quilômetro. Determine a altura

máxima que o projétil atingiu.

Resolução

Para saber a altura máxima do projétil temos que calcular a ordenada do vértice da parábola:

yaV = −∆ =

− ⋅ −

( )

⋅ −

=

4

116

41

160

41

64

116

4

2 2

⋅⋅ −

=−

= ⋅ = =1

64

2256

116

1256

116

116

0 0625, km

Resposta. O projétil atingiu a altura máxima de 0,0625 km = 62,5 m.

186 • capítulo 4

04. (UERJ) Numa partida de futebol, no instante em que os raios solares incidiam perpendi-

cularmente sobre o gramado, o jogador "Chorão" chutou a bola em direção ao gol, de 2,30m

de altura interna. A sombra da bola descreveu uma reta que cruzou a linha do gol. A bola des-

creveu uma parábola e quando começou a cair da altura máxima de 9 metros, sua sombra se

encontrava a 16 metros da linha do gol. Após o chute de "Chorão", nenhum jogador conse-

guiu tocar na bola em movimento. A representação gráfica do lance em um plano cartesiano

está sugerida na figura. A equação da parábola era do tipo Sx

c= − − +2

36. O ponto onde a

bola tocou pela primeira vez foi:

9 m

16 mx

y

2,3 m

a) na baliza

b) atrás do gol

c) dentro do gol

d) antes da linha do gol

Resolução

A altura máxima da bola é 9m. Isto significa que a ordenada do vértice da parábola é

9. Da figura, temos que a abscissa do vértice é 0. Então, o vértice da parábola é V = (0,9).

Substituímos este ponto na equação Sx

c= − − +2

36, temos:

9036

92

= − + ⇒ =c c

Ficamos então com a equação Sx= − +

2

369

Em baixo da linha do gol, a abscissa é x=16. Para determinar a altura da bola na linha do

gol, devemos calcular a ordenada para x=16:

Sx

S

= − +

= − + = − + =− +

= ≅

2

2

369

1636

925636

9256 324

366836

1 9,

capítulo 4 • 187

Assim, temos que a altura da bola na linha do gol é de 1,9m, sendo menor que a altura da

baliza do gol que é 2,3m, significando que a bola consegue entrar no gol.

Resposta: Letra c.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICASIEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar 1: Conjuntos e

Funções. 9. ed. São Paulo: Atual. 2013.

PAIVA, Manoel Rodrigues. Moderna Plus Matemática 1. Parte 1. São Paulo: Moderna. 2013.


188 • capítulo 4

Função Exponencial e Funções

Logarítmicas

5

190 • capítul0 5

OBJETIVOS

• Identificar uma função Exponencial.

• Analisar o gráfico de uma função Exponencial.

• Resolver equações e inequações exponenciais.

• Resolver problemas que envolvam função exponencial.

• Definir Logaritmo.

• Utilizar as propriedades de Logaritmo.

• Identificar uma função Logarítmica.

• Analisar o gráfico de uma função Logarítmica.

• Resolver equações e inequações Logarítmicas.

• Resolver problemas que envolvam função Logarítmica.

capítulo 5 • 191

5.1 Função exponencial

5.1.1 Introdução

As funções exponenciais são de grande importância e utilidade para diversas

áreas das engenharias e ciências de modo geral. São inúmeras as aplicações

que envolvem crescimento e decrescimento exponencial. Para que possamos

estudar estas aplicações precisamos estudar as noções função de exponencial

e seus resultados.

Um exemplo importante de função exponencial é o sistema de juros

compostos.

5.2 Definição

A função f : *� �→ + definida por f x ax: ( ) = , com a a> ≠0 1, é chamada de

função exponencial. O número real a é chamado de base da função exponencial.

EXEMPLO8. f(x) = 3x

9. y = (0,4)x

10. f(x) = ( 5 )x

Observação:

Por que a base a tem que ser maior que zero e diferente de 1?

II. Se a base fosse igual a 1, teríamos uma função constante, pois

f x x( ) = =1 1 para todo x;

III. Se a base fosse igual a zero, teríamos uma indeterminação quando x = 0,

pois 00 ∉� e também quando x < 0, pois, por exemplo, 01

010

55

− = =

IV. Se a base fosse um número negativo teríamos valores da imagem

de ax não pertencentes ao conjunto dos números reais. Por exemplo, para

a e x= − =312

f x( ) = −( ) = −3 312 não pertence ao conjunto dos números reais.

192 • capítul0 5

5.3 Gráfico de uma função exponencial

Por meio de alguns exemplos, vamos mostrar como construir o gráfico de

uma função exponencial.

EXEMPLO1. f x x( ) = 2

Inicialmente, vamos construir uma tabela com os valores da função para alguns valores

de x, e em seguida marcar seus pontos no plano cartesiano.

X 2X

–3

–2

–1

0 1

1 2

2 4

3 8

y

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4

1

2

3

4

5

6

7

8

0 x

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4

1

0

2

3

4

5

6

7

8

9

0

capítulo 5 • 193

2. f x x( ) = 2

X12

x

–3 8–2 4–1 20 1

112

214

318

y

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4

1

2

3

4

5

6

7

8

0 x

Observações:

1. No exemplo 1, note que: D f f R( ) = ( ) = −�,Im * e a função é crescente em

todo seu domínio.

2. No exemplo 2, note que: D f f R( ) = ( ) = +�, Im * e a função é decrescente

em todo seu domínio.

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4

1

0

2

3

4

5

6

7

8

9

0

194 • capítul0 5

Esboços gráficos de função exponencial

1º CASO A > 1

2º CASO]0 < A < 1

1

0

y

x x

1

0

y

Em ambos os casos o gráfico da função f (x) = ax não toca o eixo-x (eixo das

abscissas) e, além disso, a função exponencial sempre toca o eixo-y (eixo das or-

denadas) no ponto em que y = 1. Isso ocorre porque a0 = 1, para todo a > 0, a ≠ 0.

Lembretes

1. Uma função real f é crescente num intervalo contido no domínio da

função se, e somente se, para quaisquer números x1 e x2 do intervalo, aconte-

ce x x f x f x1 2 1 2< ⇒ ( ) < ( ) . Ou seja, quando o valor de x aumenta, f (x) também

aumenta.

2. Uma função real f é decrescente num intervalo contido no domínio da

função se, e somente se, para quaisquer números x1 e x2 do intervalo, acontece

x x f x f x1 2 1 2< ⇒ ( ) > ( ) . Ou seja, quando o valor de x aumenta, f (x) diminui.

Propriedades

P1) Sendo a a> ≠0 1, , tem-se que:

a a x yx y= ⇔ =

capítulo 5 • 195

P2) A função exponencial é crescente em todo seu domínio quando a > 1.

Assim:

a a x yx y= ⇔ >

P3) A função exponencial é decrescente em todo seu domínio quando 0 < 1

< 1. Assim:

a a x yx y= ⇔ <

EXERCÍCIO RESOLVIDO1. Faça um esboço gráfico das funções abaixo:

a) yx

=

−12

4

Resolução

1º) Como a base está entre 0 e 1, a função é decrescente.

2º) Quando x = 0, y = –3 . Logo, o gráfico corta o eixo y no ponto (0, –3).

3º) Quando y = 0, temos que

12

4 2 2 2 2 21 2 2

= ⇔ ( ) = ⇔ = ⇔ = −− −x

x x x

Note que desenvolvemos a equação de modo a usar a propriedade P1 descrita acima.

Logo, o gráfico corta o eixo x no ponto (–2, 0).

4º) Esboço gráfico:

–3 –2 –1 1 2 3 4

–4

–3

–2

–1

1

0

y

x

196 • capítul0 5

b) f x x( ) = +2 2

Resolução

1º) Como a base é maior que 1, a função é crescente.

2º) Quando x = 0 f (0) = 3. Logo, o gráfico corta o eixo y no ponto (0, 3).

3º) Repare que a imagem de f (x) é positiva em todo o domínio.

4º) Esboço gráfico:

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

y

x

5.4 Equação exponencial

Toda equação que apresenta incógnita no expoente de uma ou mais potências

de bases positivas e diferentes de 1 é denominada equação exponencial.

É muito comum usar propriedades de potências de mesma base quando re-

solvemos uma equação exponencial.

EXERCÍCIO RESOLVIDO1. Resolva as equações exponenciais abaixo:

a) 2x+1 = 16

Resolução

Para fazer uso da propriedade P1 descrita anteriormente, temos que colocar primeira-

mente as potências com a mesma base:2 2 1 4 31 4x x x+ + ⇔ + = ⇒ =

capítulo 5 • 197

b) 4x+2 = 32

Resolução

Usando a propriedade P1, obtemos:

4 2 2 2 2 2 2 4 512

2 5 2 2 5 2 4 5x x x x x+ + ++ ⇔ ( ) = ⇔ = ⇔ + = ⇒ =

c) 13

243

=x

Resolução

Sabendo que13

3 1

= ( )−x

x, resolvemos facilmente a equação:

3 3 3 3 51 5 5− −( ) = ⇔ = ⇒ = −x x x

d) 625 1253 = x

Resolução

Como 625 5 53 4343= = , resolvemos a equação usando a propriedade I:

5 5 5 543

349

43 343 3= ( ) ⇔ = ⇔ = ⇒ =

x x x x

e) 9 10 3 9 0x x− ⋅ + =

Resolução

Observe que este tipo de equação não pode ser resolvido como as anteriores, pois não

conseguimos chegar numa igualdade de duas potências. Neste tipo de exercício será ne-

cessário fazer uso de mudança de variável (parecido com o que é feito na resolução das

equações biquadradas). Para isso, verifique que a equação pode ser escrita como:

3 10 3 9 0

3 10 3 9 0

2

2

( ) − ⋅ + =

( ) − ⋅ + =

x x

x x

Fazendo a mudança de variável t =3x, segue que:

t t2 10 9 0− + =

198 • capítul0 5

Resolvendo a equação do 2º grau, encontramos t = 9 ou t = 1. Temos que voltar para a

variável original x. Assim:

3 9 3 1

3 3 3 3

2 0

2 0

x x

x x

ou

ou

x ou x

= == =

= =

2. Seja f x a bx( ) = ⋅3 , onde a e b são constantes reais. Dados f e f0 900 10 300( ) = ( ) =

calcule k tal que f k( ) =100 .

Resolução

Temos que

f a a ab0 900 3 900 1 900 9000( ) = ⇔ ⋅ = ⇔ ⋅ = ⇒ =⋅

Substituindo o valor de a em f (x), obtemos f x b x( ) = ⋅ ⋅900 3

Ainda, temos que

f bb b b10 300 900 3 300 313

3 31

1010 10 10 1( ) = ⇔ ⋅ = ⇔ = ⇔ = ⇒ = −⋅ ⋅ ⋅ −

Queremos determinar k tal que f k( ) =100 , então fazemos

f k kk k k

( ) = ⋅ = ⇔ = ⇔ = ⇒ =− − −

−900 3 100 319

3 3 2010 10 10 2

3. (UFSM) A figura mostra um esboço do gráfico da função f k a bx( ) = + , com

a b a a b, , , ,∈ > ≠ ≠� 0 1 0 . Então, o valor de a b2 2− é:

x

y

5

20

2

a) –3

b) –1

c) 0

d) 1

e) 3

capítulo 5 • 199

Resolução

O gráfico passa pelo ponto (0,2). Logo, f (0) = 2. Assim:

a b b b0 2 1 2 1+ = ⇒ + = ⇒ =

Substituindo o valor de b em f, obtemos

f x ax( ) = +1

Note que o gráfico da função passa pelo ponto (2,5). Logo, f (2) = . Assim:

a a a2 21 5 4 2+ = ⇒ = ⇒ = ±

Porém, sabemos que a > 0, logo a = 2.

Portanto,

a b2 2 2 22 1 3− = − =

Resposta: E

4. (UFF) A automedicação é considerada um risco, pois, a utilização desnecessária ou

equivocada de um medicamento pode comprometer a saúde do usuário: substâncias ingeri-

das difundem-se pelos líquidos e tecidos do corpo, exercendo efeito benéfico ou maléfico.

Depois de se administrar determinado medicamento a um grupo de indivíduos, verificou-

se que a concentração (y) de certa substância em seus organismos alterava-se em função do

tempo decorrido (t), de acordo com a expressão: y y t= ⋅ − ⋅0

0 52 , em que y0 é a concentração

inicial e t é o tempo em horas.

Nessas circunstâncias, pode-se afirmar que a concentração da substância tornou-se a

quarta parte da concentração inicial após:

a) 1/4 de hora

b) meia hora

c) 1 hora

d) 2 horas

e) 4 horas

Resolução

Temos que a expressão da concentração é dada por y y t= ⋅ − ⋅0

0 52 , . Queremos saber

quando essa concentração chega ao valor y0

4, ou seja,

yy t0

00 5

42= ⋅ − ⋅,

200 • capítul0 5

y

y

t t

t

t

t

0

0

0 5

0 5

2 0 5

42

14

2

2 2

0 5 2 4

=

=

=⋅ = ⇒ =

− ⋅

− ⋅

− − ⋅

,

,

,

,

Resposta: E

5.5 Inequação exponencial

Toda inequação que apresenta incógnita no expoente de uma ou mais potên-

cias de bases positivas e diferentes de 1 é denominada inequação exponencial.

Ao resolver uma inequação exponencial a ideia é encontrar potências de

mesma base para que os expoentes possam ser operados como inequações,

através da propriedade P2 ou da propriedade P3 descritas anteriormente.

EXERCÍCIO RESOLVIDO1. Resolva as inequações abaixo:

a) 32 82 3 4x x− +<

Resolução

Como são reduzíveis a potências de base igual a dois, obtemos:

32 8 2 2 2 22 3 4 5 2 3 3 4 10 15 3 12x x x x x x− + − + − +< ⇔ ( ) < ( ) ⇔ <

Como a base é maior que 1, as funções exponenciais são crescentes. Então, pela

propriedade P2, temos que:

2 2 10 15 3 12 7 27277

10 15 3 12x x x x x x− +< ⇒ − < + ⇒ < ⇒ <

b) 18

14

3 4 2 6

≥

− +x x

capítulo 5 • 201

Resolução

Tendo as potências a base comum a = 12

, fazemos:

18

14

12

12

3 4 2 6

3 3 4 2

≥

≥

− +

−

x x

x

≥

+

− +

2 6

9 12 4 1212

12

x

x x

Como a base é um número real entre 0 e 1, as funções exponenciais são decrescentes.

Então, pela propriedade P3, temos que:

9 12 4 12 5 24245

x x x x− ≤ + ⇒ ≤ ⇒ ≤

c) 51

1252 4x − <

Resolução

Nesta inequação, notamos que a base comum das potencias será a = 5, então

51

1255

15

5 52 2 24 43

4 3x x x− − − −< ⇔ < ⇔ <

Como a base é maior que 1, as funções exponenciais são crescentes. Então,

pela propriedade P2, obtemos:

x x2 24 3 1 0− < − ⇒ − <

Resolvendo a equação do 2º grau (consulte o capítulo sobre função do

segundo grau), e estudando o sinal da sua imagem, encontramos:

− < <1 1x

ESTUDO DE CASO APLICADOS05. O montante M é a quantia a ser recebida após a aplicação de um capital C, a uma taxa

i, durante certo tempo t. No regime de juros compostos, esse montante é calculado pela

relação M C i t= +( )1 .

Considerando um capital de R$ 10.000, a ser aplicado a uma taxa de 12% ao ano, durante

4 anos, determine o montante ao final deste tempo, dessa aplicação.

202 • capítul0 5

Resolução

M

M

M

M

= +( )= ( )= ⋅=

10 000 1 0 12

10 000 1 12

10 000 1 57352

15 735 2

4

4

. ,

. ,

. ,

. ,

Logo, serão resgatados, após a aplicação, R$ 15.735,20.

06. Em um depósito a prazo que foi efetuado em um banco, a juros compostos, o capital

acumulado ao fim de determinado tempo é dado pela fórmula M C i t= +( )1 , no qual M

representa o montante, o capital acumulado, C o valor do depósito, i a taxa de juros ao mês e

t o tempo de meses em que o dinheiro está aplicado. Nesse sistema, os juros são compostos,

ou seja, ao final de cada mês os juros capitalizados são incorporados ao depósito. Pede-se

a) Quando se efetua um depósito de R$ 1 000,00, com taxa de 2% ao mês, qual o mon-

tante acumulado ao fim de 6 meses? E de 1 ano?

Ao fim de 6 meses:

M C i

M

M

M

t= +( )= +( )= ( )= ⋅

1

1 000 1 0 02

1 000 1 02

1 000 1 126162419

6

6

. ,

. ,

. , 22

1 126 16M = . ,

O montante será de R$ 1.126,16.

Ai fim de 1 ano = 12 meses

M C i

M

M

M

t= +( )= +( )= ( )= ⋅

1

1 000 1 0 02

1 000 1 02

1 000 1 2682417

12

12

. ,

. ,

. ,

MM = 1 268 24. ,

O montante será de R$ 1.268,24.

capítulo 5 • 203

b) Quando se efetua um depósito de R$ 5 000,00, a uma taxa de 5% ao mês, qual será o

montante durante 4 meses?

M C i

M

M

M

M

t= +( )= +( )= ( )= ⋅

1

5 000 1 0 05

5 000 1 05

5 000 1 21550625

4

4

. ,

. ,

. ,

== 6 077 53. ,

O capital acumulado, o montante será de R$ 6.077,53.

c) Quando se efetua um depósito de R$ 2 500,00, a uma taxa de juros de 10% ao ano,

qual será o capital acumulado durante 10 anos?

M C i

M

M

M

M

t= +( )= +( )= ( )= ⋅=

1

2 500 1 0 1

2 500 1 1

2 500 2 593742

6

10

10

. ,

. ,

. ,

.. ,484 36

O capital acumulado em 10 anos será de R$ 6.484,36.

07. (UERJ) A inflação anual de um país decresceu no período de sete anos. Esse fenômeno

pode ser representado por uma função exponencial do tipo f x abx( ) = , conforme o gráfico

abaixo.

x (anos)

y = f(x)

0 4 7

7,5%

960%

Determine a taxa de inflação desse país no quarto ano de declínio.

204 • capítul0 5

Resolução

Antes de determinar f (4), temos que determinar os valores de a e b da expressão

f x abx( ) =

Do gráfico de f sabemos que f 0 960( ) = , ou seja,

f a b a a0 960 1 960 9600( ) = ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

Substituindo o valor de a na expressão de f, sabemos

f x bx( ) = ⋅960

Agora, para calcular b fazemos

f b

b b b b

7 960 7 5

7 5960

1128

12

12

7

7 77

7

( ) = ⋅ =

⇒ = ⇔ = ⇔

= ⇒ =

,

,

Substituindo então o valor de b na expressão da função, temos

f xx

( ) = ⋅

96012

Assim, calculamos

f 4 96012

604

( ) = ⋅

=

Resposta: 60%

EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE CONCURSOS01. Numa população de bactérias há P t t( ) = ⋅10 49 3 bactérias no instante t medido em ho-

ras (ou fração da hora). Sabendo-se que inicialmente existem 109 bactérias, quantos minutos

são necessários para que se tenha o dobro da população inicial?

capítulo 5 • 205

Resolução

Temos P t t( ) = ⋅10 49 3 e queremos P t( ) = ⋅2 109 , então fazemos:

2 10 10 4 2 2 6 116

9 9 3 6⋅ = ⋅ ⇔ = ⇔ = ⇒ =t t t t

Resposta: 1/6 h ou 10 min.

02. (PUC – RIO) Determine uma das soluções da equação abaixo:

101

10002 4x − =

Resolução

Podemos verificar que a base comum das potências será a = 10, então

101

100010 10 4 3 1 12 24 4 3 2 2x x x x x− − −= ⇔ = ⇔ − = − ⇔ = ⇒ = ±

Resposta: x ou x= = −1 1

03. (UFMG) Observe a figura.

12

x

y

–3

32

Nessa figura, está representado o gráfico de f x k x( ) = ⋅α , sendo k e α constantes po-

sitivas. O valor de f (2) é:

a) 3/8

b) 1/2

c) 3/4

d) 1

206 • capítul0 5

Resolução

Sabemos que f x k x( ) = ⋅α e f (0) = 3/2 , então para determinar o valor de k, fazemos:

32

32

0= ⋅ ⇒ =k kα

Sabendo que f x x( ) = 32

α e ainda f −( ) =3 12 , podemos calcular o valor de α:

1232

812

12

3 33

3= ⋅ ⇔ = ⇔

= ⇒ =− −−

−α α α α

Com a expressão da função conhecida, podemos avaliar f (2):

f x fx

( ) = ⋅

⇒ ( ) = ⋅

=32

12

232

12

38

2

Resposta: A

04. (UNICAMP) Suponha que o número de indivíduos de uma determinada população seja

dado pela função: f t a b t( ) = ⋅ − ⋅2 , onde a variável t é dada em anos e a e b são constantes.

a) Encontre as constantes a e b de modo que a população inicial (t = 0) seja igual a 1024 indiví-

duos e a população após 10 anos seja a metade da população inicial.

b) Qual o tempo mínimo para que a população se reduza a 1/8 da população inicial?

Resolução

a) Sabendo que f t a b t( ) = ⋅ − ⋅2 e f (0) = 1024 , então determinamos o valor de a, assim:

1024 2 10240= ⋅ ⇒ =a a

Para determinar o valor de b, fazemos f em f t b10 512 1024 2 10( ) = ( ) = ⋅ − ⋅ ou seja,

512 1024 2 10= ⋅ − ⋅b

12

2 2 2

1 101

10

10 1 10= ⇔ =

− = − ⋅ ⇒ =

− ⋅ − − ⋅b b

b b

b) Queremos t tal que f t( ) = ⋅18

1024 , para isso fazemos:

f t

tt

t

t t

( ) = ⋅

⋅ = ⋅ ⇔ = ⇔ = ⇒ =

−

−−

−

1024 2

18

1024 1024 2 2 210

3 30

10

10 3 10

capítulo 5 • 207

Resposta:

a) a = 1024 e b = 1/10

b) t = 30 anos

05. Resolva as equações abaixo:

a) 8 · 2x = 128

b) 2x+1 · 22x+3 = 64

c) 92x + 81x+1 = 82 · 27–1

d) 4x – 6 · 2x + 8 = 0

e) 81 275 5=x

Resolução

a) 8 2 128 2 2 2 2 2 3 7 43 7 3 7⋅ = ⇔ ⋅ = ⇔ = ⇔ + = ⇒ ( )+x x x x

b) 2 2 64 2 2 3 4 623

1 2 3 3 4 6x x x x x+ + += = ⇔ = ⇔ + = ⇒ =

c) 9 81 82 27 9 9 821

279

8227

81 9 9

2 1 1 2 2 1 2 2

2 2

x x x x x

x x

= = ⋅ ⇔ +( ) = ⋅ ⇔ =

⇔ ⋅ +

− − − −

== ⋅ ⇔ ⋅ = ⋅ ⇔ = ⇔ ⇒ =82 3 82 9 82 3 9 3 314

2 2 4x x x x

d) 4 6 2 8 0 2 6 2 8 0 2 6 2 8 02 2x x x x x x− ⋅ + = ⇔ − ⋅ + = ⇔ ( ) − ⋅ + =

Fazendo t = 2x, a equação fica

t t2 6 8 0− ⋅ + =Resolvendo a equação do 2º grau, encontramos t = 2 ou t = 4. Voltando agora à variável

original x, temos:

2 2 2 4

2 2 2 2

1 2

1 2

x x

x x

ou

ou

x ou x

= == =

= =

e) 81 27 3 3 3 345

35

3 443

5 5 45 3 5

45

35= ⇔ = ( ) ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇒ =

x x x xx x

208 • capítul0 5

06. Qualquer quantidade de massa do chumbo 210 diminui em função do tempo devido à

desintegração radioativa. Essa variação pode ser descrita pela função exponencial dada por

m m k t= ⋅ − ⋅0 2 . Nessa sentença, m é a massa (em gramas) no tempo t, (em anos), m0 é a

massa inicial e k é uma constante real.

Sabendo-se que, após 66 anos, tem-se apenas 1/8 da massa inicial, o valor k é:

a) – 3 b) 1/3 c) – 22 d) 1/22 e) 1/8

Resolução

Sabendo que m m k t= ⋅ − ⋅0 2 , queremos determinar k, tal que m0/8 e t = 66, ou seja,

mm k kk k0

066 3 66

82 2 2 66 3

122

= ⋅ ⇔ = ⇔ = ⇒ =− ⋅ − − ⋅

Resposta: D

07. Resolva a inequação 9 273 4 4 5x x− +≥

Resolução

Vamos reduzir as potências a base igual a 3 na inequação:

9 27

3 3

3 3

3 4 4 5

2 3 4 3 4 5

6 8 12 15

x x

x x

x x

− +

− +

− −

≥

( ) ≥ ( )≥

Como a base é maior que 1, a função exponencial é crescente. Então

6 8 12 15

6 23 6 23236

x x

x x x

− ≥ +

− ≥ ⇔ ≤ − ⇔ ≤ −

08. (FGV-SP) O conjunto solução da inequação 0 3 1 02 2,( ) − ≥−x x

é:

a) x x∈ ≤ ≤{ }� 0 2

b) x x ou x∈ ≤ ≥{ }� 0 2

c) x x∈ ≤{ }� 2

d) x x∈ ≤{ }� 0

e) x x∈ ≤ ≤{ }� 0 1 2/

capítulo 5 • 209

Resolução

Temos que

0 3 1 0

0 3 1

0 3 0 3

2

2

2

2

2

2 0

,

,

, ,

( ) − ≥

( ) ≥

( ) ≥ ( )

−

−

−

x x

x x

x x

Como a base está entre 0 e 1, a função exponencial é decrescente. Então

x x2 2 0− ≤

Resolvendo a inequação do 2º grau (consulte o capítulo anterior), segue que

0 2≤ ≤x

Resposta: A

09. (FATEC-SP) Se x é um número real tal que 2 4 8 1− +⋅ <x x x , então:

a) –2 < x < 2

b) x = 1

c) x = 0

d) x < 3/2

e) x > –3/2

Resolução

Vamos reduzir as potências à base comum igual a 2:

2 4 8 2 2 2 2 21 2 3 3 3 3− + − + +⋅ < ⇔ ⋅ < ⇔ <x x x x x x x x

Como a base é maior que 1, a função exponencial é crescente. Então

x x x x x< + ⇔ − < ⇔ > − ⇒ > −3 3 2 3 2 3

32

Resposta: E

210 • capítul0 5

5.6 Logaritmos e funções logarítmicas

5.6.1 Introdução

As propriedades envolvendo Logaritmos são ferramentas poderosas na resolução

de problemas de crescimento e decrescimento exponencial. As funções exponen-

cial e logarítmica caminham juntas e muitos problemas reais podem ser modela-

dos como uma destas funções, necessitando da outra função para suas resoluções.

A utilidade dos logaritmos para realizar cálculos complexos é bem extensa,

ajudando a prever resultados, como no caso do resfriamento dos corpos, por

exemplo. Os peritos que investigam um crime devem ser hábeis com os núme-

ros, gráficos e propriedades das funções exponenciais e logarítmicas.

Além disso, na Economia, elas auxiliam na representação de várias funções de

custos (lucros e prejuízos) e produção, sendo também utilizadas para modelar o cres-

cimento populacional, processos de desintegração ra¬diativa e curvas de aprendiza-

gem, nas quais educadores e psicólogos avaliam o grau de aprendizado dos alunos.

5.7 Logaritmo

Para entender o que é logaritmo, considere uma potência de base positiva e di-

ferente de 1. Por exemplo:

34 = 81

Ao expoente dessa potência damos o nome de logaritmo. Dizemos que 4 é o

logaritmo de 81 na base 3. Em notação:

34 = 81 ↔ log81 = 4

Observe que para o estudo de logaritmo é comum o uso de propriedades de

potências.

5.8 Definição

Sejam a e b números reais positivos e b ≠ 1 . Chama-se logaritmo de a na

base de b ao expoente x tal que bx = a . Em notação: bx = a ↔ logba = x, em que a

é chamado de logaritmando.

capítulo 5 • 211

EXEMPLO1. O valor log216 é o expoente x tal que 2x = 16. Sabemos que 24 = 16, portanto x = 4.

Assim log216 = 4.

2. O valor log51

25 é o expoente x tal que 5

125

x = . Sabemos que

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4

1

0

2

3

4

5

6

7

8

9

0

, portanto

x = – 2. Assim 51

252− = .

5.9 Propriedades imediatas dos logaritmos

Considerando a e b números reais positivos com a ≠ 1, temos a seguir as pro-

priedades que surgem da aplicação imediata da definição de logaritmo.

P1) loga a = 1

Prova.

De fato, fazendo loga a = x, por definição de logaritmo, temos que ax = a = a1.

Logo, x = 1 e loga 1 = 1

P2) loga 1 = 0

Prova.

De fato, fazendo loga 1 = x, por definição de logaritmo, temos que ax = 1 = a0.

Logo, x = 0 e loga 1 = 0

P3) loga am = m

Prova.

De fato, fazendo loga am = x, por definição de logaritmo, temos que ax = am.

Logo, x = m e loga am = m

P4) a bablog =

Prova.

De fato, fazendo loga b = x, por definição de logaritmo, temos que ax = b.

Logo, x = loga b. Assim a bablog =

212 • capítul0 5

Exemplo

Calcule log16 64

Resolução

Por definição, temos que log16 64 = x ↔ 16x = 64

Para determinar o valor do expoente x é preciso transformar 16 e 64 em po-

tências de mesma base. Sabemos que 16 = 24 e 64 = 26. Assim,

16x = 64

(24)x = 26

24x = 26

Igualando os expoentes, temos:

4 6

64

32

x

x

=

= =

Portanto, log16 6432

=

Exemplo

Calcule log243 3

Resolução

Por definição, temos que log243 3 = x ↔ 243x = 3

Assim,

243 3

3 3

5 1

15

5

x

x

x

x

=

( ) =

=

=

Portanto, log243 315

=

capítulo 5 • 213

Exemplo

Calcule o valor da expressão E = + + −4 7 1 34 57 0 8 3

4log,log log log

Resolução

Vamos encontrar o valor de cada termo da expressão.

1. 4 4 54 45 5log log. .Pela propriedade P4, temos =2. log . log .7 77 7 1Pela propriedade P1, temos =3. log . log ., ,0 8 0 81 1 0Pela propriedade P2, temos =4. log . log .3

43

43 3 4Pela propriedade P3, temos =Portanto, E = 5 + 1 + 0 – 4 = 2.

Exemplo

Para que valores de x existe log2 2x – 8

Resolução

Por definição o logaritmando tem que ser maior que zero e a base tem que

ser maior que zero e diferente de um. Assim,

2 8 0

2 8

824

x

x

x

x

− >>

>

>

A base é 2, que é maior que zero e diferente de um. Portanto, para que exista

log2 2x – 8 devemos ter x > 4.

5.10 Propriedades com operações de logaritmos

Considere a, b e c números reais positivos e a ≠ 1, temos mais algumas proprie-

dades que envolvem as relações entre os valores dos logaritmos de dois ou mais

números.

214 • capítul0 5

P5) Logaritmo do produto

Em uma mesma base, o logaritmo do produto de dois ou mais números po-

sitivos é igual a soma dos logaritmos de cada um desses números. Em notação:

loga bc = loga b + loga c

Prova

Vamos denotar cada um dos logaritmos envolvidos por:

x = loga b; y = loga c e z = loga bc

Fazendo uso da definição de logaritmo, temos que ax = b , ay = c e az = bc.

Então, substituindo os valores de b e c na terceira expressão, temos: az = b · c

ax · ay = ax + y ⇒ z = x + y.

Assim, substituindo as expressões de x, y e z na última equação, temos:

loga bc = loga b + loga c.

P6) Logaritmo do quociente

Em uma mesma base, o logaritmo do quociente de dois números positivos

é igual a diferença dos logaritmos de cada um desses números. Em notação:

log bc

= log b log ca a a−

Prova

Vamos denotar cada um dos logaritmos envolvidos por

x = log b, y = log c log bca a ae z =

Fazendo uso da definição de logaritmo, temos que a = b, = cbc

x ya e az =Então, substituindo os valores de b e c na terceira expressão, temos:

a

a

a z x y

z

z

z

=

=

= ⇒ = −

bcaa

a

x

y

x-y

capítulo 5 • 215

Assim, substituindo as expressões de x, y e z na última equação, temos:

log bc

= log b log ca a a−

P7) Logaritmo da potência

O logaritmo de uma potência de base positiva é igual ao produto do expoen-

te pelo logaritmo da base da potência. Em notação:

loga bm = m · loga b

Prova

Vamos denotar cada um dos logaritmos envolvidos por x = loga b e y = loga bm.

Fazendo uso da definição de logaritmo, temos que ax = b e ay = bm

Então, substituindo o valor de b, temos:

ay = bm

ay = (ax)m

ay = am · x ⇒ y = mx

Assim, substituindo as expressões de x e y na última equação, temos:

loga bm = m · loga b

P8) Mudança de base

Em alguns casos, precisamos realizar cálculos com logaritmos de bases di-

ferentes. Muitas vezes é conveniente fazer uma mudança de base. Então, po-

demos transformar um logaritmo numa base a (a > 0, a ≠ 1) em um logaritmo

numa base c (c > 0, c ≠ 1). Em notação:

1. Em notação:

loglog

logac

c

bb

a=

Prova

Vamos denotar cada um dos logaritmos envolvidos por

x = loga b; y = logc b e z = logc a

216 • capítul0 5

Fazendo uso da definição de logaritmo, temos que ax = b , cy = b e cz = a.

Então, ax = b = cy, e substituindo o valor de a, temos:

a

c

c zx y xyz

x

z x

zx

=

( ) =

= ⇔ = ⇒ =

c

c

c

y

y

y

Assim, substituindo as expressões de x e y na última equação, temos:

loglog

logac

c

bb

a=

Exemplo

Considere que log10 2 = 0,30 e log10 3 = 048. Calcule

a) log10 6

b) log10 1,5

c) log10 108

Resolução

a) Como sabemos os logaritmos de 2 e de 3 na base 10, podemos escrever 6

como sendo o produto de 2 por 3. Assim, log10 6 = log10 2 · 3 Pela propriedade P5,

log10 6 = log10 2 + log10 3 = 0,30 + 0,48 = 0,78

b) Como sabemos os logaritmos 2 e de 3 na base 10, podemos escrever 1,5

como sendo a razão de 3 por 2. Assim, log , log10 101 532

= Pela propriedade P6,

log10 1,5 = log10 2 – log10 3 = 0,30 – 0,48 = 0,18

c) Como sabemos os logaritmos de 2 e de 3 na base 10, podemos escrever

108 = 22 · 33. Assim, log log102 310810

2 3

= ⋅ Pelas propriedades P5 e P7, temos

log10 108 = log10 22 + log10 33, log10 108 = log10 2 + log10 3

Logo,

log10 108 = 2 · 0,30 + 3 · 0,48 = 2,04

capítulo 5 • 217

Exemplo

Determine o valor da expressão log8 625 · log5 64

Resolução

Inicialmente, vamos colocar todos os logaritmos envolvidos na base 5.

Utilizando a propriedade P8, temos que

log loglog

loglog

log

loglog8 5

8

55

54

55

2625 64625

864

5

88= = ⋅ = ⋅

Pela propriedade P7, segue que

log

loglog

log

loglog log log5

4

55

2 5

58 2 5 5

5

88

4 52 8 4 5 2 8 5⋅ =

⋅⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

E da propriedade P1, temos que Image Assim,

log8 625 · log5 64 = 8 · 1 = 8

5.11 Sistemas de logaritmos na base a

Chamamos de sistema de logaritmos na base a (em que Image) ao conjunto de

todos os logaritmos na base Image. Os dois principais sistemas são o logaritmo

decimal e o logaritmo natural.

I. Sistema de logaritmo decimal

É um sistema de logaritmo na base 10. A preferência pelos logaritmos de-

cimais se deve ao fato de usarmos um sistema de numeração de base 10. Em

notação:

log10 b = log b

II. Sistema de logaritmo natural ou logaritmo neperiano

É um sistema de logaritmo na base e = 2,718283... (chamado Número de

Euller), que é um número irracional. O nome “natural” se deve ao fato de, no

218 • capítul0 5

estudo de fenômenos da natureza, geralmente aparecer uma lei exponencial

na base e. Em notação:

loge b = In b

Exemplo

Resolva a expressão EIne In

Ine=

+ 12

Resolução

Colocando as bases de forma explícita, temos

EIne In

Ine

e

ee e

e

=+

=+1 1

2 2

log log

log

Pelas propriedades P1, P2 e P3, sabemos respectivamente que loge e = 1,

loge 1 = 0 e loge e2 = 2loge e = 2.

Substituindo esses valores em Image temos

E ee

e

ee

=+

=+

=log log

log

1

2

1 10

212

Exemplo

Encontre o valor de log 1035 .

Resolução

Sabemos que log log log10 10 103535

10

35= = .

Então, pela propriedade P3,

log 1035

35 =

Exemplo

Dada a expressão S = log 0,001 + log 100, o valor de S é:

a) –3 b) –2 c) –1 d) 0 e) 1

capítulo 5 • 219

Resolução

Usando a propriedade P3, temos que:

log 0,001 + log 10–3 = log10 10–3 = –3

e

log 100 = log 102 = log10 102 = 2

Logo, S = –3 + 2 = –1

Resposta: C.

5.12 Função logaritmica

Considere a > 0 e a ≠ 1. Estudamos no capítulo anterior a função exponencial

f : *� �→ + definida por f x ax: ( ) = . Esta função é bijetora e, portanto, admite

função inversa. A função inversa da exponencial é denominada função logarít-

mica f : *� �+ → definida por

f(x) = loga x

Exemplos

1. f x x( ) = log8 é a função inversa de f(x) = 8x.

2. y x= log 15

é a função inversa de f xx

( ) =

15

5.13 Gráfico de uma função logaritmica

O gráfico da função f(x) = loga x é uma curva posicionada no primeiro e no quar-

to quadrante (pois x > 0), ou seja, o gráfico da função f(x) = loga x não toca o eixo-y

(eixo das ordenadas).

Além disso, ela passa pelo ponto (1,0), pois, se x =1, temos que

f(1) = loga 1 = 0

220 • capítul0 5

Exemplo

Faça o gráfico da função f(x) = log2 x

Resolução

Para auxiliar no desenho da curva que representa f(x), vamos construir uma

tabela com alguns de seus pontos.

x f(x) = log2 x

18

–3

14

–2

12

–1

1 02 14 28 3

1 2 3 4 5 6 7 8 9

–3

–2

–1

1

2

3

0

y

x

Exemplo

Faça o gráfico da função y x= log 12

Resolução

Para auxiliar no desenho da curva que representa , vamos construir uma ta-

bela com alguns de seus pontos.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

–3

–2

–1

1

2

3

4

0

–4

capítulo 5 • 221

xy x= log 1

2

18

3

14

2

12

1

1 02 –14 – 28 – 3

1 2 3 4 5 6 7 8 9

–3

–2

–1

1

2

3

0

y

x

Observações:

1. No primeiro exemplo, temos a > 1 Note que D(f) = �+* , Im(f) = � e a

função é crescente em todo seu domínio.

É fácil verificar que, ao utilizarmos valores de x cada vez maiores (x = 100,

1000, 100000, ....), os valores de f(x) também serão cada vez maiores. Ou seja,

quando x “tende” a infinito, f(x) também “tende” a infinito:

x f x→ + ∞ ⇒ ( ) → + ∞

Por outro lado, quando utilizamos valores de x cada vez mais próximos de

0 (x = 0,1; 0,001; 0,00001; ...), os valores de f(x) serão cada vez menores, e mais

negativos. Ou seja, quando x tende a 0, f(x) também tende a menos infinito:

x f x→ ⇒ ( ) → −∞0

1 2 3 4 5 6 7 8 9

–3

–2

–1

1

2

3

4

0

–4

222 • capítul0 5

Esboço do gráfico:

0

y

x

2. No segundo exemplo, temos 0 , a < 1. Note que D(f) = �+* , Im(f) = � e a

função é decrescente em todo seu domínio.

É fácil verificar que, ao utilizamos valores de x cada vez maiores (x = 100,

1000, 100000, ....), os valores de f(x) serão cada vez menores e mais negativos.

Ou seja, quando x tende a infinito, f(x) também tende a menos infinito:

x f x→ + ∞ ⇒ ( ) → −∞

Por outro lado, quando utilizamos valores de x cada vez mais próximos de

0 (x=0,1; 0,001; 0,00001; ...), os valores de f(x) serão cada vez maiores. Ou seja,

quando x tende a 0, f(x) também tende a infinito:

x f x→ ⇒ ( ) → + ∞0

Esboço do gráfico:

0

y

x

capítulo 5 • 223

3. Como a função logarítmica e a função exponencial são inversas entre

si, seus gráficos são simétricos em relação a função Identidade (bissetriz dos

quadrantes ímpares), conforme esboços abaixo.

• Se a > 1:

–4

–3

–2–1

12

3

4

56

7

89

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7

y = loga x

y = xy = ax

90

y

x8

• Se 0 < a < 1:

–4

–3

–2–1

12

3

4

56

7

89

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7

y = loga x

y = xy = ax

90

y

x8

224 • capítul0 5

Lembretes

1. Uma função f : A → B é sobrejetora se, e somente se, para todo y ∈ B,

existe x ∈ A tal que f(x) = y. Em outras palavras, podemos dizer que uma função

é sobrejetora quando seu contradomínio é igual ao seu conjunto imagem.

2. Uma função f : A → B é injetora se, e somente se, x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2) para

quaisquer x1 e x2 pertencentes ao domínio A.

Em outras palavras, podemos dizer que uma função é injetora quando ele-

mentos quaisquer do domínio de f, distintos entre si, tiverem imagens também

distintas entre si, através de f.

3. Uma função f : A → B é bijetora se, e somente se,f é sobrejetora e injeto-

ra. Apenas as funções bijetoras admitem função inversa.

Exemplo

Dada a função f(x) = log3 x, calcule f(81).

Resolução

f(81) = log3 81 = log3 34 ⇒ f(81) = 4, pela propriedade P4.

Exemplo

Determine o domínio da função f(x) = log7 (4x – 12)

Resolução

Existe loga b se, e somente se, b > 0 e a > 0, a ≠ 1, conforme vimos na definição

de logaritmo. Assim, a base 7 é maior que zero e diferente de um. Basta, então,

analisarmos o logaritmando, que deve ser maior que zero. Portanto, devemos ter:

4x – 12 > 0 ⇒ x . 3

Logo, o domínio da função é {x ∈ � / x > 3}

capítulo 5 • 225

Exemplo

Nessa figura, está representado o gráfico de f(x) = log4 x.

y

2

0 x16

O valor de f(128) é:

a) 52

b) 3 c) 72

d) 7

Resolução

Do gráfico, temos que f(16) = 2. Assim,

logn 16 = 2 ⇒ n2 = 16 ⇒ n = 4

pois a base do logaritmo não pode ser negativa. Portanto, f(x) = log4 x.

Queremos calcular f(128) = log4 128 = y, então, por definição de logaritmo,

temos:

4 128 2 2 2 772

2 7y yy y= ⇒ ( ) = ⇒ = ⇒ =

Logo, f 12872

( ) = .

Resposta C.

5.14 Equação logaritmica

Chama-se equação logarítmica a toda equação que apresentar a incógnita no

logaritmando ou na base de um logaritmo.

226 • capítul0 5

Exemplo

Resolva a equação 3x = 5.

Resolução

A solução é obtida diretamente da definição de logaritmo, ou seja, x = log3 5.

(Esta equação foi deixada como exercício no capítulo anterior.)

Exemplo

Resolva log2 (4x + 24) = 5.

Resolução

1. Condição de existência: o logaritmando tem que ser maior que zero.

Logo:

4x + 24 > 0 ⇒ x > –6

Cabe observar que, sendo a base maior que zero e diferente de um, não pre-

cisamos impor nenhuma condição de existência para a base.

2. Solução da equação: da definição de logaritmo, temos que

25 = 4x + 24 ⇒ 4x + 24 = 32 ⇒ x = 2

3. Temos que comparar a solução com a condição de existência para dar o

conjunto solução da equação: x > –6 e x = 2. Portanto, S ={2}

Exemplo

Resolva a equação log3 (x + 1) + log3 (x –7) = 2

Resolução

1. Condição de existência: os logaritmandos têm que ser maiores que

zero. Logo:

x x

x x

+ > → > −− > → >

1 0 1

7 0 7

Portanto, a condição de existência é x > 7

capítulo 5 • 227

2. Solução da equação: pela propriedade P5, temos

log3 (x + 1) + log3 (x –7) = 2 ⇔ log3 (x + 1) (x –7) = 2

Por definição de logaritmo,

32 (x + 1) · (x –7) ⇒ x2 – 6x – 7 = 9 ⇒ x2 – 6x – 16 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau, temos x1 = 8 e x2 = –2

3. Temos que comparar a solução com a condição de existência para dar

o conjunto solução da equação: x 7 e (x1 = 8 e x2 = –2). Portanto S = {8}

5.15 Inequação logaritmica

Chama-se inequação logarítmica a toda inequação que apresentar a incógnita

no logaritmando ou na base de um logaritmo.

Exemplo

Resolva a inequação log2 (3x – 1) > 3

Resolução


Logo:

3x – 1 > 0 ⇒ x > 1/3

2. Solução da inequação: para comparar dois logaritmos, vamos escrever

o número 3 como um logaritmo na base 2:

log2 (3x – 1) > 3 ⇒ log2 (3x – 1) > log2 23

Como a base é maior que 1, a função logarítmica é crescente, e portanto:

3x – 1 > 23 ⇒ x > 3

228 • capítul0 5


conjunto solução da equação: x e x> >13

3 Portanto, {x ∈ � / x > 3}

Exemplo

Resolva a inequação log 13

4 2x −( ) ≥

Resolução


Logo:

3x – 4 > 0 ⇒ x > 4

2. Solução da inequação: para comparar dois logaritmos, vamos escrever

o número 2 como um logaritmo na base log 1

2

4 2x −( ) ≥

através da propriedade P3:

log log log12

12

12

2

4 2 412

x x−( ) ≥ ⇔ −( ) ≥

Como a base está entre 0 e 1, a função logarítmica é decrescente e portanto:

x x x− ≤

⇒ ≤ + ⇒ ≤412

414

174

2


conjunto solução da inequação: x e x> ≤4174

. Portanto, S x x= ∈ < ≤

� / 4174

.

ESTUDO DE CASO APLICADOS01. Expresse o número de períodos t de uma aplicação, em função do montante M e da taxa

de aplicação i por período.

Resolução

M C i

MC

i

t

t

= +( )

= +( )

1

1

capítulo 5 • 229

Aplicando log, poderemos escrever:

log log

log log log

log log

log

MC

i

M C t i

tM C

i

t= +( )− = ⋅ +( )

=−

+( )

1

1

1

02. Sabe-se que um capital é aplicado em regime de juros compostos a uma taxa mensal de

2% (2% a.m.). Depois de quanto tempo este capital estará duplicado?

Dados: log2 = 0,30103 e log1,02 = 0,00860

Resolução

M = C(1 + i)t

O capital inicial estará duplicado quando M = 2C.

2C = C(1 + 0,02)t

2 = (1 + 0,02)t

2 = 1,02t

IOu ainda,

t

t

t

t

=

=

=

=

log

log

log ,

,,

,1 02 2

2

1 02

0 301030 0086035

O capital estará duplicado após 35 meses ou 2 anos e 11 meses.

Resposta: 2 anos e 11 meses.

03. Um banco europeu oferece a seus clientes uma taxa de juros 6% ao ano, em regime de

juros compostos. Considerando este cenário, determine

230 • capítul0 5

a) o capital acumulado ao fim de 7 anos, por um cliente que depositou 50.000 euros.

b) quantos anos este cliente terá de esperar, para obter um capital acumulado de 100.000

euros?

c) qual deveria ser o depósito inicial efetuado por este cliente, para ele obter 85.000 euros

ao fim dos mesmos 7 anos?

Resolução

M = C (1 + i)n

C = 50000;

i = 0,06

n = 7

a) M = capital acumulado.

M = 50000 · (1 + 0,06)7

M = 75181,51 (euros)

b) Determinando t:

100000

10000050000

2

21 06

=

=

==

(1 + 0,06)

(1,06)

(1,06)

7

7

7

t log ,

Mudando a mudança de base 1,06 para a base 10, obtemos

t =

≈ ( )

log

log ,

,

2

1 06

11 9t anos

c) Determinando C:

85000 =

C

C

C eur

⋅ +( )

=+( )

≈ =

1 0 06

85000

1 0 06

850001 5036

56529 85

7

7

,

,

,, oos( )

capítulo 5 • 231

EXERCÍCIO PROPOSTOS01. Se log123 = 2,09, o valor de log 1,23 é:

a) 0,0209

b) 0,09

c) 0,209

d) 1,09

e) 1,209

Resolução

Pela propriedade P6,

log , log log log , ,1 23123100

123 100 2 09 2 0 09= = − = − =

Resposta: B

02. Se log2 = a e log3 = b, escrevendo log(32/27) em função de a e b obtemos:

a) 2a + b

b) 2a – b

c) 2ab

d) 2a/b

e) 5a –3b

Resolução

Da propriedade P6, temos que

log log log log log log log3227

32 27 2 3 5 2 3 35 3= − = − = − ⋅

Substituindo Image obtemos:

log3227

5 3= −a b

Resposta: E

232 • capítul0 5

03. (UFSCAR) A altura média do tronco de certa espécie de árvore, que se destina à produ-

ção de madeira, evolui, desde que é plantada, segundo o modelo matemático:

h(t) = 1,5 + log3 (t + 1)

com h(t) em metros e t em anos. Se uma dessas árvores foi cortada quando seu tronco

atingiu 3,5m de altura, o tempo (em anos) transcorrido do momento da plantação até o do

corte foi de:

a) 9.

b) 8.

c) 5.

d) 4.

e) 2.

Resolução

Queremos determinar Image tal que Image isto é, se

h(t) = 1,5 + log3 (t + 1)

3,5 = 1,5 + log3 (t + 1) ⇒ log3 (t + 1) = 2 ⇒ t + 1 = 9 ⇒ t = 8

Resposta: B

04. (UNIRIO) Um médico, após estudar o crescimento médio das crianças de uma determi-

nada cidade, com idades que variavam de 1 a 12 anos, obteve a fórmula,

h i= ⋅log ,100 7

onde h é a altura (em metros) e i é a idade (em anos). Pela fórmula, uma criança de

10 anos desta cidade terá altura:

a) 120 cm

b) 123 cm

c) 125 cm

d) 128 cm

e) 130 cm

capítulo 5 • 233

Resolução

Queremos determinar h(10) ou seja, se

h i i

h

( ) = ⋅( )( ) = ⋅( ) = ⋅( ) =

log

log log log

,

, , ,

10

10 10 10 10 10 1

0 7

0 7 0 7 0 5 00 1 2 1201 2, ,= m ou cm

Resposta: A

05. As indicações R1 e R2 de dois terremotos, na escala Richter, estão relacionadas pela fór-

mula R1 – R2 = log (E1/E2) em que E1 e E2‚ medem as respectivas energias, liberadas pelos

terremotos em forma de ondas que se propagam pela crosta terrestre. Nessas condições, se

R1 = 8,5 e R2 = 7,0, é correto afirmar que a razão entre E1 e E2, nessa ordem, é igual a:

a) 0,5 b) 1,5 c) 10 0,5 d) 10 1,5

Resolução

R

R

R RE

E

E

E

1

2

1 21

2

1

2

1 5

8 5

7 0

8 5 7 0 1 5 1 5 10

==

− = − = ⇒ = ⇒ =

,

,

, , , , log ,

06. Calcule a meia-vida de uma substância radioativa que se desintegra a uma taxa de 4%

ao ano. (Meia-vida é o tempo que deve decorrer para que, em certo momento, metade dos

átomos de uma substância radioativa se desintegre.). A expressão para a situação descrita

pode ser representada por: Q(t) = Q0 · e–rt.

Resolução

QQ e e

t t

t

t t00

0 04 0 04

212

0 0412

0 04 0 6931

0 69

= ⋅ ⇒ =

− = ⇒ − = −

≈ −

− −, ,

, ln , ,

, 3310 04

17 3−

≈,

,t anos

234 • capítul0 5

07. (FUVEST) A figura a seguir mostra o gráfico da função logaritmo na base b.

O valor de b é:

y

–1

x

0,25

1

a) 1/4.

b) 2.

c) 3.

d) 4.

e) 10.

Resolução

Sendo a função uma função logarítmica f(x) = logb x, queremos determinar o valor de b.

Pelo gráfico, temos que f(0,25) = –1, assim

− = ⇒ = ⇒ = ⇒ =−1 0 25 0 251 1

441log , ,b b

bb

Resposta: D

08. (UERJ) O logaritmo decimal do número positivo x é representado por log x. Então, a

soma das raízes de log2 x – log x3 é igual a:

a) 1

b) 101

c) 1000

d) 1001

Resolução

Da propriedade P5,

log2 x – log x3 = 0 ⇒ log2 x – 3 · log x = 0 ⇒ log x · (log x – 3) = 0

⇒ log x = 0 ou log x =3

Por definição de logaritmo, x = 100 ou x = 103, isto é, x = 1 ou x = 1000 Logo,

S = 1 + 1000 = 1001

Resposta: D

capítulo 5 • 235

09. (UERJ) Admita que, em um determinado lago, a cada 40cm de profundidade, a intensi-

dade de luz é reduzida em 20%, de acordo com a equação

I Ih

= ⋅ ( )0 400 8,

na qual I é a intensidade da luz em uma profundidade h, em centímetros, e I0 é a intensi-

dade na superfície.

Um nadador verificou, ao mergulhar nesse lago, que a intensidade da luz, em um ponto P,

é de 32% daquela observada na superfície.

A profundidade do ponto P, em metros, considerando log 2 = 0,3, equivale a:

a) 0,64

b) 1,8

c) 2,0

d) 3,2

Resolução

Queremos determinar h tal que I h I( ) = ⋅32100 0 , isto é,

32100

0 80 0 40⋅ = ⋅ ( )I Ih

,

Dividindo por I0 e aplicando o logaritmo em ambos os lados da equação, temos:

log log , log log log

log log

32100

0 8 32 10010

810

2 10

40

5 2

= ( ) ⇒ − = ⋅

⇒ − =

h h

hh

h

h

108 10

5 2 210

2 1

5 0 3 210

3

3

⋅ −( )

⇒ ⋅ − = ⋅ −( )

⇒ ( ) − = ⋅

log log

log log

, log 22 1 0 510

0 1

12 10

110

200 2 0

−( ) ⇒ − = ⋅ −( )

= ⋅ ⇒ =

, ,

, .

h

hh ou m

Resposta: C

236 • capítul0 5

10. Resolva a inequação: log3 (3x + 6) < log3 x.

Resolução

Temos a seguinte inequação

log3 (3x + 6) < log3 x

2. Condição de existência: os logaritmandos têm que ser maiores que zero, ou seja,

log3 (3x + 6) > 0 e x > 0 ⇒ x –2 e x > 0

Logo, a condição de existência é x > 0.

3. Solução da inequação: como a base é maior que 1, a função é crescente. Assim:

log3 (3x + 6) < log3 x ⇒ 3x + 6 < x ⇒ x < –3

4. Temos que comparar a solução com a condição de existência para dar o conjunto solu-

ção da inequação: x > 0 e x < –3. Portanto, S = Ø.

11. Suponhamos que uma cidade tenha hoje 15.000 habitantes e que haja um crescimento

populacional de 1,5% ao ano.

a) Determine o número de habitantes daqui a 8 anos.

b) Se daqui a 8 anos o número de habitantes for igual a 18.000, qual terá sido a taxa de

crescimento anual?

Resolução

Neste exemplo, vamos utilizar o modelo de crescimento exponencial, pois temos como

objetivo calcular o tamanho da população daqui a 8 anos.

a) Hoje, a cidade tem uma população de 15.000. Portanto, y0 = 15.000.

A taxa de crescimento é k =1,5% ao ano. Para t = 8 anos, o número de habitantes será de:

y = y0 (1 + k)t

y = 15.000 (1 + 0,015)8

y = 15.000 · (1,015)8

y = 15.000 · 1,126493

y = 16.897,39

capítulo 5 • 237

b) Neste item, estamos interessados em calcular o valor de k para y = 18,000, y0 = 15.000

e t = 8 anos. Então:

18.000 = 15.000(1 + k)8

(1 + k)8 = 1,2

Para que consigamos isolar k, devemos elevar ambos os membros da igualdade ao ex-

poente 1/8 e aplicar a propriedade de potência.

1 1 2

1 1 2

1 1 023052

1 023052 1

818

18

118

+( )

= ( )

+( ) = ( )+ == −

k

k

k

k

,

,

,

,

kk

k

==

0 023052

2 3052

,

, %

Portanto, a taxa de crescimento seria de 2,31% ao ano.

Não se esqueça de que, para efetuarmos cálculos com taxas percentuais, devemos

primei ramente transformá-las em taxas unitárias. Nesse exemplo, temos k = 1,5%, que é o

mesmo que considerar k = 0,015.

Então, daqui a 8 anos o número de habitantes da cidade será de 16.897

12. Um automóvel vale hoje R$ 22.500,00. Sabendo que ele sofre uma desvalorização de

15% ao ano, faça o que se pede abaixo.

a) Determine o valor do carro daqui a 7 anos.

b) Considere o valor do carro daqui a t anos. Esboce o gráfico de y em função de t.

Resolução

a) Neste exemplo, devemos considerar k = – 15%, pois há uma desvalorização no preço

do veículo com o passar dos anos. Então

y = y0 (1 + k)t

y = 22.500 (1 + 0,15)7

y = 22.500 · (0,85)7

y = 22.500 · 0,320577

y = 7.212,98

Daqui a 7 anos, o valor do veículo será de R$ 7.212,98.

238 • capítul0 5

b) Para a construção do gráfico da função y = 22.500(0,85)t, devemos atribuir alguns

valores para t e encontrar os respectivos valores de y. Vale lembrar que o valor de t tem

de ser maior ou igual a zero, pois a variável t indica tempo. Dessa forma, t = 0 indica o

valor do carro hoje

t = 0 y = 22.500 · (0,85)0= 22.500

t = 1 y = 22.500 · (0,85)1= 19.125

t = 2 y = 22.500 · (0,85)2= 16.256,25

t = 3 y = 22.500 · (0,85)3= 13.817,81

t = 4 y = 22.500 · (0,85)4= 11.745,14

t = 5 y = 22.500 · (0,85)5= 9.983,37

t = 6 y = 22.500 · (0,85)6= 8.485,86

t = 7 y = 22.500 · (0,85)7= 7.212,98

Colocando os pontos do quadro no plano cartesiano, obtemos o seguinte gráfico:

Tempo

R$

25.000

20.000

15.000

10.000

5.000

0

1 2 3 4 5 6 70

O gráfico é decrescente, pois o valor do carro vai diminuindo conforme aumenta seu

tempo de uso (em anos).

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICASIEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar 2:

Logaritmos. 10. ed. São Paulo: Atual. 2013.


SOUZA, Joamir. Novo olhar. Volume 1.São Paulo: FTD, 2010.

GALVÃO, Lauro César Matemática Aplicada. UTFPR Disponível em: <http://www.lce.esalq.usp.br/

arquivos/aulas/2013/LCE0176/mat_aplicada_a.pdf>, Acesso em: 04 mar. 2014.

capítulo 5 • 239

ANOTAÇÕES

240 • capítul0 5

ANOTAÇÕES

fundamentos da matemÁtica - … proprietÁrio... · 2.8.4 trinômio quadrado perfeito 78 2.8.5...

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