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PROBABILIDADE –PREMIUM - BANCÁRIAS – MÓDULO –I Professor: Douglas Léo

TEORIA DAS PROBABILIDADES

Experimentos Aleatórios: São experiências repetidas varias vezes, podendo ter resultados diferentes.

Exemplos:1) Lançar um dado e observar o numero da face superior.2) Lançar uma moeda e verificar se a face de cima é cara ou coroa.

Espaço Amostral: É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.

Exemplos:1) No lançamento de um dado, o espaço amostral é {1, 2, 3, 4, 5,

6}2) No lançamento de uma moeda, o espaço amostral é {c , k}

Evento (E): É todo subconjunto do espaço amostral.

Probabilidade de ocorrência do evento (E): É a razão entre o numero de casos favoráveis (CF) à ocorrência do evento (E) e o numero de casos possíveis (CP) (numero de resultados do espaço amostral (S).

P(E) =

n( A )n (S ) , onde: = casos favoráveis e n( S )= casos possíveis.

P(E) =

Notas:

1) P(E) = 1 é a certeza de ocorrência E = S

2) P(E) = 0 é o evento impossível: E = 0

3) 0 ≤ P(E) ≤ 1 a probabilidade do evento E estará sempre compreendida entre 0 e 1.

Propriedades

1 – Adição de probabilidades

n( AUB)n(S )

=n( A )n(S )

+n(B )n( S )

−n( A∩B)n( S )

P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

1.1 – Eventos mutuamente exclusivos

Os eventos A e B são chamados de mutuamente exclusivo se, e somente se, A∩B = Ǿ.

Nesse caso, temos que:

P(AUB) = P(A) + P(B)

Exemplos:Ex 1 – Uma urna contem exatamente vinte bolas, numeradas de 1 a 20. Retira-se ao acaso, uma bola da urna. Qual e a probabilidade de se obter uma bola com um numero múltiplo de 2 ou de 3?

Espaço amostral (S) = {1,2,3.....20} n(S) = 20

A = múltiplo de 2 = {2, 4, 6, ....20} n(A) = 10B = múltiplo de 3 = {3, 6, 9......18} n(B) = 6

A∩B = múltiplos de 6 = {6, 12, 18} n(A∩B) = 3

Logo, temos:P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

P(AUB) =

1020

+ 620

− 320

P(AUB) =

1320

Ex: 2) Uma urna contem cinco bolas vermelhas, três bolas azuis e quatro bolas brancas. Retira-se ao acaso, uma bola da urna. Qual a probabilidade de sair uma bola vermelha ou uma bola azul?

(S) = bola da urna n(S) = 12A = vermelha n(A) = 5B = azul n(B) = 3

Observe que A e B são mutuamente exclusivos, isto e, A∩B = Ǿ. Logo temos:

P(AUB) = P(A) + P(B)

P(AUB) =

512

+ 312

= 812

=23

2 – Probabilidade do Evento Complementar

Sejam A e Ā dois eventos de um espaço amostral S; sendo Ā o evento complementar de A, temos:

P(A) + P(Ā) = 1

Ex: Os eventos A e Ā são complementares. Sendo P(Ā) = 0,3, calcule P(A).

Resolução: P(A) + P(Ā) = 1 P(A) + 0,3 = 1 P(A) = 1 – 0,3 P(A) = 0,7

3 - Multiplicação de P de que probabilidades

P = p . p . p …..pEx: Uma moeda e lançada 4 vezes. Qual a probabilidade de que apareça coroa nas quatro vezes?

Resolução: S = {cara, coroa}

1 lançamento p =

2 lançamento p =

3 lançamento p =

4 lançamento p =

Portanto: P = p . p . p …..p = . . . =

)(An

CPCF

1 2 3 k

1 21

2 21

3 21

4 21

1 2 3 k 21212121161

1


4 – Probabilidade Condicional

Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral S, com P(B) ≠ 0.

Denomina-se probabilidade de A condicionada a B a probabilidade de ocorrência do evento A, sabendo-se que vai ocorrer ou já ocorreu o evento B. A probabilidade condicional e definida por:

P(A/B) =

n( A∩B )n(B ) (1)

Mas

P(A∩B) =

n( A∩B )n (S ) e P(B) =

n(B)n(S )

Substituindo em (1), temos:

P(A/B) =

n(S ) . .P( A∩B )n (S ) .P(B)

⇒ P(A/B) =

P (A∩B )P (B )

Se P(A/B) = P(A), o evento A e dito independente de B e, nesse caso, tem-se:

P(A) =

P (A∩B )P (B )

⇒P( A∩B )=P( A ). .P (B )

Ex 1: Numa classe com 60 alunos, 40 estudam so Matemática, 10 estudam so física e 5 estudam matemática e Física. Determine a probabilidade um aluno que estuda matemática estudar também física.

Resolução:

n(M = 5n(M) = 45

P(F/M) =

n(F∩M )n(M )

= 545

=19

Ex 2: Determinar a probabilidade de sair o numero 5 em 2 lançamentos sucessivos de um dado.

Resolução:

Sendo A o evento obter 5 no primeiro lançamento e B o evento obter 5 no segundo lançamento, vem:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6 , n(A) = 1 e n(B) = 1

Temos P(A) =

16 e P(B) =

16 , com A e B independentes.

Logo, a probabilidade pedida e dada por:

P(A) . P(B) = 16. 16= 136

5 – Probabilidade da intersecção com condicional

P(A = P(B) . P(A/B)

Ex: Jogando um dado, qual a probabilidade de ocorrer um numero maior que 3 e que seja impar?

Solução: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Logo, n(S) = 6Evento A: Numero impar. Assim, A = {1, 3, 5 }. Logo, n(A) = 3Evento B: Numero maior que 3. Assim, B = {4, 5, 6 }. Logo, n(B) = 3Como A∩B = {5}, então n(A∩B) = 1

P(A = P(B) . P(A/B)

Sendo: P(B) =

n(B)n(S )

=36=12 e P(A/B) =

n( A∩B )n(B ) =

Temos: P(A¿ B) =

6 – Distribuição Binomial: Lei binomial das probabilidades

P = . p . q onde:

n = numero de tentativas independentes.k = numero de vezes o resultado desejado.p = probabilidade de ocorrência do evento E (sucesso)q = 1 – p = probabilidade de ocorrência do evento E (fracasso)

= C =

n !p !(n−p )!

Ex: Um dado e lançado 6 vezes. Calcular a probabilidade de ocorrer um 3 ou um 4 duas vezes.

n(S) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A probabilidade de ocorrer um 3 ou um 4 em cada lançamento e:

P = .

A probabilidade de não ocorrer um 3 ou um 4 em cada lançamento e q = 1 -

. O numero de sucesso e k = 2, logo:

P = . p . q P = . .

P = P = 15 .

ou 32,92%

)F

)B

)B

31

61

31.

21

kn

k kn

kn

kn,

31

62

32

31

kn

k kn

26 2

31

4

32

8116.

91.

)!26(!2!6 243

80729240

72916

2


7 – Distribuição de Poisson

Enquanto a distribuição binomial trabalha com sucesso e fracasso a distribuição de Poisson trabalha com a média.

P=λΚ

eλ k !Onde:

λ = média K = quantidade desejada e = 2,718 (realação de Euler)

Ex 1- O Corpo de Bombeiros de uma determinada cidade recebe, em média, 3 chamadas por dia. A probabilidade de receber 4 chamadas num dia será:

A) 16,80%B) 15,80%C) 20,50%D) 14,30%

λ = 3 K = 4 e = 2,718 (relação de Euler)

P=λΚ

eλ k !

P=34

2 ,713

4 !

8120 ,08 .24 =

8120 ,08 x24

=2720 x 8

=27160

=0 ,16875=16 ,80%

Ex: 2 - O Corpo de Bombeiros de uma determinada cidade recebe, em média, 3 chamadas por dia. A probabilidade de receber nenhuma chamada em um dia será:

A) 6,98%B) 4,98%C) 3,80%D) 5,70%

λ = 3 K = 0 e = 2,718 (realação de Euler)

P=λΚ

eλ k !

P=30

2 ,713

0!

120 ,08 x1

= 120 ,08

=0 ,0498=4 ,98%

Ex: 3 Uma central telefônica tipo PABX recebe uma média de 5 chamadas por minuto. Qual a probabilidade deste PABX não receber nenhuma chamada durante um intervalo de 1 minuto?

A) 3,45%B) 1,20%C) 0,67%D) 0,87%

λ = 5 K = 0 e = 2,718 (relação de Euler)

P=λΚ

eλ k !

P=50

2 ,713

0!

1148 ,4 x 1

= 1148 ,4

=0 ,006738=0 ,6738%

3


1– (IDECAN – CBMDF – CONDUTOR -2017)

Uma caixa contém seis cartoes pretos, cinco vermelhos, nove azuis e dez verdes. A probabilidade de se retirar, ao acaso, um cartão que NAO seja verde é:

A) 1/3. B) 2/3. C) 2/5. D) 3/7.

2 – (IDECAN – CBMDF – CONDUTOR -2017)

A combinação de n + 2 elementos, tomados 4 a 4, é igual ao arranjo de n + 1 elementos, tomados 3 a 3, com 𝒏 ∈ R. O valor de n é, portanto:

A) 18B) 20C) 22D) 24

3 – (IDECAN – CBMDF – CONDUTOR -2017)

A) 6B) 7C) 8D) 9

4-- (IDECAN –- INCA – MS – ENGENHEIRO CIVIL - 2017)

Uma moeda é lançada cinco vezes seguidas e independentes. A probabilidade de serem obtidas três “caras” nessas cinco provas é de:

A) 1/5B) 3/8C) 1/24D) 5/16

5 -- (IDECAN –- INCA – MS – ENGENHEIRO CIVIL - 2017)

Dois times de futebol, A e B, jogam entre si seis vezes. Qual é a probabilidade de o time A ganhar quatro jogos?

A) 1/16B) 10/121C) 20/243D) 35/313

6 - (IDECAN –AG. ARRECADAÇAO - MUN. PANCAS ES- 2014)

João lançou, simultaneamente, 2 dados de 6 faces não viciados feitos com a planificação a seguir, sendo um amarelo e outro vermelho. Observe.

A probabilidade da soma dos valores dos dados lançados por João ser 7 é de

A) 1/6. B) 1/9. C) 1/12. D) 1/15. E) 1/18.

7 - (IDECAN – AUX. CONS– MUN. CARANGOLA- -MG 2014)

Em uma festa de gala, um garçom, à medida que ia servindo às mesas, perguntava aos convidados acerca de seu gosto em relação a três diferentes tipos de vinhos: tinto, branco e rosé. Após perguntar todos os 75 convidados, obteve o seguinte resultado: 16 gostam dos três tipos de vinho; 24, dos vinhos tinto e branco; 30, dos vinhos tinto e rosé; 22, dos vinhos branco e rosé; 6, somente de vinho tinto; 9, somente de vinho branco; e, 7, somente de vinho rosé. Ao final da festa, um convidado será sorteado e ganhará uma garrafa de seu vinho preferido e, caso goste de mais de um tipo de vinho, poderá escolher o tipo que quiser, dentre os três tipos de vinho. Entretanto, antes do sorteio, o anfitrião da festa questionou ao garçom: “Qual a probabilidade de ser sorteado um convidado que não goste de quaisquer dos três tipos de vinho?”. Após alguns cálculos, a resposta a ser dada corretamente pelo garçom é

A) 10,5%. B) 11,0%. C) 12,0%. D) 13,5%. E) 17,0%.

8 - (IDECAN – MONITOR– MUN. HELIODORA- -MG 2014)

Em uma urna há 100 bolas numeradas de 1 a 100. Retirando-se 1 bola dessa urna, a probabilidade de que se obtenha um número que tenha exatamente 2 algarismos e estes sejam distintos é igual a

A) 75%. B) 77%. C) 79%. D) 80%.

4


E) 81%.

9 - (IDECAN – ANALISTA –CNEM - 2014)

180 pessoas realizaram uma prova que continha duas disciplinas, A e B.

Sabe-se que: 25 pessoas acertaram todas as questoes da disciplina B; 31

pessoas acertaram todas as questoes da disciplina A; e, 11 pessoas

acertaram todas as questoes da prova, isto é, todas as questoes das

disciplinas A e B. Assim, selecionando-se ao acaso uma pessoa, a

probabilidade de esta ter acertado todas as questoes em pelo menos uma

prova é

A) 0,09

B) 0,20.

C) 0,25.

D) 0,35.

E) 0,45.

10 - (IDECAN – AUX. CONS.– MUN. LUISBURGO-MG - 2014)

Em um jogo, há uma urna com 30 bolas numeradas de 1 a 30. Para ganhar, Joana precisa retirar, aleatoriamente, uma bola cujo número seja par ou, então, múltiplo de 3. Nessas condiçoes, a probabilidade de Joana ganhar o jogo ao retirar a bola da urna é

A) 1/2. B) 1/3. C) 2/3. D) 5/6. E) 7/9.

11 – (IDECAN – PRODEB – ASSIST. ELETROTÉCNICO – 2015)

Numa caixa encontram‐se cinco bolas numeradas conforme indicado a seguir.

Retirando‐se duas dessas bolas da caixa, a probabilidade de que ambas sejam ímpares é de:

(a) 25%(b) 27%

(c) 30%(d) 35%

12 – (IDECAN – AGU – AGENTE. ADM – 2014)

Uma sala de aula de determinada escola tem 30 alunos, entre eles, Regina e Pedro. Serão formadas comissões de 3 alunos para representar a turma perante a coordenação da escola. A probabilidade de que Regina faça parte dessa comissão e Pedro não faça parte é

(a) 4,8%(b) 6,2%(c) 8%(d) 9,3%(e) 12%


m uma pesquisa sobre o consumo de 3 marcas de cervejas - A, B e C - entre os frequentadores de determinado bar, os dados foram organizados da seguinte forma: Marca da cerveja A= 48 B= 41 C = 40 A e B = 11 A e C= 12 B e C = 13 A, B e C=5 Nenhuma = 46. Escolhendo-se um consumidor ao acaso, a probabilidade de ele ser consumidor de uma única marca de cerveja é:

(a) 1/2(b) 1/3(c) 1/4(d) 1/5(e) 1/6


Em um setor de uma determinada empresa trabalham 30 pessoas, sendo 20 mulheres. Uma comissão de 3 funcionários será formada, de forma aleatória, por sorteio. A probabilidade de esta comissão ser formada por pessoas do mesmo sexo é, aproximadamente:

a) 17% b) 20%. c) 27%. d) 31%. e) 35%.


Um dado não viciado é lançado. A probabilidade de que apareça na face voltada para cima o número 3, dado que tal número é ímpar, é:

a) 1/3. b) 2/3.

5


c) 1/5. d) 1/6 e) 5/6.

16– (IDECAN – CREFITO – ASSIST. ADM – 2013)

Numa gaveta encontram-se 10 cópias de uma chave, sendo que 3 delas estão com defeito. Na retirada aleatória de duas chaves simultaneamente, a probabilidade de que pelo menos uma delas seja defeituosa é igual a:

a) 19/45. b) 2/5. c) 3/15. d) 17/45. e) 8/15.

17 – (IDECAN – COREN - MA – CONTADOR – 2013)

No lançamento simultâneo de 2 dados numerados de 1 a 6, a probabilidade de que a soma dos resultados seja um número maior que 5 e menor que 10, é :

a) 4/7. b) 5/6 c) 5/7. d) 5/11. e) 11/21

18 – (IDECAN – CNEN – ASSIST. ADM – 2014)

Num grupo com 50 adolescentes: 18 usam aparelho ortodôntico; 7 usam óculos e aparelho ortodôntico; e, 10 não usam aparelho ortodôntico nem óculos. A probabilidade de se escolher um adolescente que use óculos e não use aparelho ortodôntico é igual a:

a) 32%. b) 40%. c) 44%. d) 52%. e) 56%.

19 – (IDECAN – COREN - MA – CONTADOR – 2013)

Cíntia preparou 400 bombons com e sem açúcar, conforme indicado na tabela a seguir.

Escolhendo-se ao acaso um dos bombons, a probabilidade de que este seja de morango é igual a 52,5%. Assim, a diferença entre os valores x e y é:

a) 30b) 35c) 40d) 45e) 47

20 – (IDECAN –PRODEB - ANALISTA– 2015)

Num chaveiro há cinco chaves grandes e quatro pequenas. Uma das chaves grandes abre o portão que dá acesso ao jardim que fica na frente de uma casa e uma das chaves pequenas abre a porta de entrada da casa. A probabilidade de se escolher com uma única tentativa o par de chaves que possibilita o acesso ao interior da casa é de:

a) 4%. b) 5%. c) 6%. d) 8%.

21 – (IDECAN - UFPB– ADMINISTRADOR – 2016)

Um grupo de alunos é formado por 11 meninos e 14 meninas. Sabe-se que metade das meninas são loiras, ao passo que apenas três meninos são loiros. Dessa forma, ao selecionar-se ao acaso um aluno, a probabilidade de que seja um menino loiro é: a) 0,12. b) 0,15. c) 0,22. d) 0,25.

22 – (IDECAN –CENEN– ANALISTA – 2014)

Dentre o número de anagramas que podem ser formados com as letras da palavra ENERGIA, a probabilidade de se selecionar, ao acaso, um anagrama cujas consoantes “NRG” aparecem sempre juntas e nessa ordem é

a) 1/7. b) 1/14 c) 1/21. d) 1/42. e) 1/84.

23– (IDECAN – CRMA– ADMINISTRADOR– 2014)

No sorteio de um número entre 10 e 100, a probabilidade que a soma de seus algarismos seja maior que 3 e menor que 16 é

a) 4/5. b) 2/3. c) 3/8. d) 6/7. e) 8/9.

24 – (IDECAN – LEMEPREV – PROCURADR– 2012)

No lançamento simultâneo de 1 dado e 3 moedas de valores diferentes, qual a probabilidade de se obter um número maior que 4 e pelo menos 2 caras?

a) 1/6 b) 1/5 c) 1/8 d) 1/3 e) 1/4

6


GABARITO

1 - B 2 - C 3-A 4-D 5-C 6– E7 – C 8 – E 9 – C 10 – C 11– C 12– D 13–14– D 15– A 16 – E 17– E 18 – 19– C 20- B21- A 22– D 23– D 24 - A

1 – (FUNIVERSA – SAPeJUS–GO –AG. DE SEG. PRISI-2015)

2– (FUNIVERSA- SAPeJUS–GO – AG. DE SEG. PRIS.-2015)

Texto VII para responder as questoes 23 e 24

Em uma sela, há 12 condenados por diversos crimes, entre eles, assassinato, roubo e seqüestro. Dos condenados, naturalmente, há alguns que cometeram mais de um crime entre os três citados e, também, os que foram condenados por outros delitos. Entretanto, entre os que cometeram outros delitos, não há nenhum que também tenha cometido assassinato, roubo ou seqüestro. A respeito desses presos, é sabido que:

4 cometeram assassinato; 4 foram condenados por roubo;

5 foram condenados por seqüestro; Apenas 1 foi condenado por assassinato, roubo e seqüestro; Apenas 1 cometeu somente assassinato; Apenas 1 foi condenado somente por roubo; Apenas 1 foi condenado somente por roubo e assassinato.

3 – (FUNIVERSA – TÉC. PENITENCIARIO 2008)

A respeito da situação descrita no texto VII, análise as afirmativas e assinale a alternativa correta.

I – Apenas um dos presos foi condenado apenas por assassinato e seqüestro.II – Mas de três dos presos podem ter sido condenados por estelionato.III – Apenas um dos presos foi condenado somente por roubo e seqüestro.IV – Exatamente seis dos presos cometeram roubo ou assassinato.

(A) Todas as afirmativas estão erradas.(B) Há apenas uma alternativa certa.(C) Há apenas duas alternativas certas.(D) Há apenas três afirmativas certas.(E) Todas as afirmativas estão certas.

4 – (FUNIVERSA – TÉC. PENITENCIARIO 2008)

Chegam à cela mais 3 presos, condenados por roubo, assassinato e porte ilegal de armas, respectivamente (cada um deles cometeu apenas um desses delitos). No horário de almoço, foi feita uma fila com todos os presos, exceto pelos que cometeram o crime de seqüestro. Assinale a alternativa que indica a quantidade total de maneiras diferentes de se alocarem os presos nessa fila.

(A) 8!(B) 9!(C) 10!(D) 11!(E) 12!

5 – (UNB –CESPE - PMDF – SUPERIOR - 2009)

7


6 – (FUNIVERSA – PCGO – PAPILOSCOPISTA – 2015)

Dos candidatos inscritos para o concurso para papiloscopista da Polícia Civil do estado de Goiás, 850 compareceram para realizar as provas de conhecimentos gerais, de conhecimentos específicos e discursiva. Todas as provas foram corrigidas e constatou-se que 290 candidatos não atingiram a pontuação mínima na prova de conhecimentos específicos, 330 não atingiram a pontuação mínima na prova discursiva, 190 não atingiram a pontuação mínima na prova de conhecimentos gerais, 135 não atingiram a pontuação mínima nas provas de conhecimentos específicos e discursiva, 90 não atingiram a pontuação mínima nas provas de conhecimentos específicos e gerais, 150 não atingiram a pontuação mínima nas provas de conhecimentos gerais e discursiva e 65 não atingiram a pontuação mínima em nenhuma das 3 provas. Considerando esse caso hipotético, é correto afirmar que, dos 850 candidatos que fizeram as provas de conhecimentos gerais, de conhecimentos específicos e discursiva, a quantidade que atingiu pontuação mínima nas 3 provas foi:

(A) inferior a 300. (B) superior a 300 e inferior a 330. (C) superior a 330 e inferior a 360. (D) superior a 360 e inferior a 390. (E) superior a 390.

7– (FUNIVERSA – AGEPEN– AG. TEC. PEN – 2015)

Dos 200 candidatos aprovados no concurso para o cargo de agente de atividades penitenciarias, 160 foram selecionados na ampla concorrência, e 40 foram selecionados entre os candidatos que se declararam portadores de alguma deficiência. Sabe-se que, se entre esses 200 aprovados, 80 são formados em direito, 90 são formados em sociologia, 55 são formados em Historia, 32 são formados em direito e sociologia, 23 são formados em historia e

direito, 16 são formados em sociologia e historia e 8 são formados em direito, sociologia e historia. Os demais não possuem nem uma dessas formaçoes.Considerando essa situação hipotética, julgue os próximos itens.

41. Escolhendo-se, ao acaso, 1 entre os 200 candidatos aprovados, a probabilidade de que ele não tenha nenhuma das três formaçoes mencionados é superior a 0,25.42. Mais de 40 dessas pessoas são formadas unicamente em direito.43. É possível que todos os 40 selecionados entre os candidatos que se declararam portadores de alguma deficiência não sejam formados em direito, em sociologia nem em história.44. É possível que a única formação de todos os 40 selecionados entre os candidatos que se declaram portadores de alguma deficiência seja sociologia

45. Escolhendo-se, ao acaso, 1 dos candidatos aprovados entre aqueles que possuem uma, duas ou as três formaçoes mencionadas, a probabilidade de que ele seja formado apenas em historia é inferior a 0,2.

8 – (UNB –CESPE –TSE –Técnico Jud. - 2007)

9 – (CESPE – UNB – PRF – 2004)

Considere que a tabela abaixo mostra o número de vítimas fatais em acidentes de trânsito ocorridos em quatro Estados brasileiros, de janeiro a junho de 2003.

Total de vítimas fataisEstado em que ocorreu

o acidenteSexo Masculino Sexo Feminino

Maranhão 225 81Paraíba 153 42Paraná 532 142

Santa Catarina 188 42

A fim de fazer um estudo de causas, a PRF elaborou 1.405 relatórios, um para cada uma das vítimas fatais mencionadas na tabela acima, contendo o perfil da vítima e as condiçoes em que ocorreu o acidente. Com base nessas informaçoes, julgue os itens que se seguem, acerca de um relatório escolhido aleatoriamente entre os citados acima.

I – A probabilidade de que esse relatório corresponda a uma vítima de um acidente ocorrido no Estado do Maranhão é superior a 0,2.

II – A chance desse relatório corresponda a uma vítima do sexo feminino é superior a 23%.

III – Considerando que o relatório escolhido corresponda a uma vítima do sexo masculino, a probabilidade de que o acidente nele mencionado tenha ocorrido no Estado do Paraná é superior a 0,5.

8


IV – Considerando que o relatório escolhido corresponda a uma vítima de um acidente que não ocorreu no Paraná, a probabilidade de que ele seja do sexo masculino e de que o acidente tenha ocorrido no Estado do Maranhão é superior a 0,27.

V – A chance de que o relatório escolhido corresponda a uma vítima do sexo feminino ou a um acidente ocorrido em um dos Estados da região Sul do Brasil listados na tabela é inferior a 70%.

10 – (UNB – CESPE – TRT – Analista Jud. – 2008)

11 – (UNB – CESPE – MPE – RR – 2008)

12 - (ESAF - Tec. Adm . Min. da Fazenda - 2009)

Ao se jogar um determinado dado viciado, a probabilidade de sair o número 6 é de 20%, enquanto as probabilidades de sair qualquer outro número são iguais entre si. Ao se jogar este dado duas vezes, qual o valor mais próximo da probabilidade de um número par sair duas vezes? a) 20% b) 27% c) 25% d) 23% e) 50%

13- (ESAF)

Um dado de seis faces numeradas de 1 a 6 é viciado de modo que, quando lançado, a probabilidade de ocorrer uma face par qualquer é 300% maior do que a probabilidade de ocorrer uma face ímpar qualquer. Em dois lançamentos desse dado, a probabilidade de que ocorram exatamente uma face par e uma face ímpar (não necessariamente nesta ordem) é igual a:

a) 0,1600 b) 0,1875 c) 0,3200 d) 0,3750 e) 1

Resolução:

Observe que se trata de um dado “viciado”, isto é, a probabilidade do resultado do lançamento ser par é maior que a probabilidade do resultado do lançamento ser ímpar. Calculemos estas probabilidades: Sejam,

P(ímpar) = x e P(par) = x + 300%x = x + 3x = 4x; Como P(ímpar) + P(par) = 1 (100%)

tem-se que x + 4x = 1, ou seja, 5x = 1; x = 0,2;

Daí, P(ímpar) = 0,2 e P(par) = 0,8. Nos dois lançamentos poderemos ter:

1º Lançamento 2º Lançamento par ímpar = 0,8 x 0,2 = 0,16 ímpar par = 0,2 x 0,8 = 0,16 Como se tratam de eventos principais (EP) somamos, logo P = 0,16 + 0,16 = 0,32.Resposta certa letra (C)

14 – (FUNIVERSA - CEB - Economista 2010)

O responsável pela contratação de funcionários de uma rede de supermercados está selecionando pessoal para atuar como repositor de produtos em uma nova unidade dessa rede. Gustavo e Ricardo foram os finalistas nesse processo. A análise da prova prática mostraque:

• a probabilidade de os dois serem selecionados é de 12%;• a probabilidade de apenas um deles ser selecionado é de 70%;• Gustavo tem 10% a mais de probabilidade de ser selecionado que Ricardo.

Considerando-se a situação descrita, a probabilidade de somente Gustavo ser selecionado está entre

(A) zero e 25%.(B) 26% e 37%.(C) 38% e 45%.(D) 46% e 57%.(E) 58% e 100%.

15 –(FUNIVERSA - SEPLAG –AFC - 2009)

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16 – (FUNIVERSA)

Em uma urna há 30 esferas que se diferenciam apenas pela cor. Delas, 10 são vermelhas, 15 são pretas e 5 azuis. Tirando-se, aleatoriamente e sem reposição, 4 esferas dessa urna, a probabilidade de que as 4 esferas sejam da mesma cor está entre:

(A) 0,03 e 0,06.(B) 0,07 e 0,10.(C) 0,11 e 0,14.(D) 0,15 e 0,18.(E) 0,19 e 0,22.

17 - (FUNIVERSA – ANALISTA – APEX – 2006)

Em uma empresa, há 12 dirigentes de níveis hierárquicos distintos capacitados para a elaboração de determinado estudo: 5 diretores e 7 gerentes. Para isso, entre esses 12 dirigentes, 4 serão sorteados aleatoriamente para integrarem um grupo que realizará o referido estudo. A probabilidade de os 4 dirigentes sorteados serem do mesmo nível hierárquico está entre:

(A) 0,01 e 0,05.(B) 0,06 e 0,10.(C) 0,11 e 0,15.(D) 0,16 e 0,20.(E) 0,21 e 0,25.

18- (ESAF – Técnico Adminst. Ministério da Faz –2009)

Ao se jogar um dado honesto três vezes, qual o valor mais próximo da probabilidade de o número 1 sair exatamenteuma vez?

(A) 35% (B) 17% (C) 7% (D) 42% (E) 58%

BINÔMIO DE NEWTON

P =

(n ¿ ) ¿¿

¿¿ . pk

. qn−k

P =

(3 ¿ ) ¿¿

¿¿

P =

(3 ¿ ) ¿¿

¿¿16 .( 56 )2→C3,1 x

16x2536

→3x 25216

= 0,347222... =

34,72%

OuProbabilidade de sair o número 1: 1/6 Probabilidade de sair um número diferente de 1: 5/6

Agora, a probabilidade de sair apenas uma vez o número 1, jogando-se o dado três vezes é:

Probabilidade = (5/6 x 5/6 x 1/6) + (5/6 x 1/6 x 5/6) + (1/6 x 5/6 x 5/6) Probabilidade = 3 x 25/216 Probabilidade = 75/216 = 34,72%

19 – (ESAF)

Uma urna contem 10 bolas pretas e 8 vermelhas. Retiramos 3 bolas, sem reposição. Qual a probabilidade de as duas primeiras serem pretas e a terceira vermelha?

(A) 10/18(B) 9/17(C) 8/16(D) 5/34(E) 6/35

20 – (FUNIVERSA - Adaptada)

De um recipiente que contém 10 cubos azuis e 5 cubos vermelhos, serão retirados, aleatoriamente e com reposição, 3 cubos. Nessa situação, a probabilidade de o primeiro cubo ser azul, o segundo cubo ser vermelho e o terceiro cubo ser azul é igual

(A) 4/27(B) 4/9(C) 3/50(D) 2/30(E) 1/50

21 – (FUNIVERSA – PERITO – PCDF – 2008)

Vinte e um cubos plásticos cuja única diferença é a cor – 8 são brancos, 7 são verdes e 6 são amarelos – foram colocados em um baú opaco. Retirando-se desse baú, de forma aleatória e com reposição, exatamente 3 cubos, a probabilidade de que esses 3 cubos tenham cores diferentes entre sí é:

(A) superior a 0,10(B) superior a 0,06 e inferior a 0,10(C) superior a 0,04 e inferior a 0,06(D) superior a 0,02 e inferior a 0,04(E) inferior a 0,02

22 - (FUNIVERSA – POLICIA CIVIL - PERITO – GO – 2010)

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23 – (CESGRANRIO - PETROBRÁS - ADMINIST- 2010

Em um posto de combustíveis entram, por hora, cerca de 300 clientes. Desses, 210 vão colocar combustível, 130 vão completar o óleo lubrificante e 120 vão calibrar os pneus. Sabe-se, ainda, que 70 colocam combustível e completam o óleo; 80 colocam combustível e calibram os pneus e 50 colocam combustível, completam o óleo e calibram os pneus. Considerando que os 300 clientes entram no posto de combustíveis para executar uma ou mais das atividades acima mencionadas, qual a probabilidade de um cliente entrar no posto para completar o óleo e calibrar os pneus?

(A) 0,10

(B) 0,20

(C) 0,25

(D) 0,40

(E) 0,45

24 –(FUNIVERSA – ANALISTA JUNIOR – APEX – 2006)

Quando João vai a um restaurante, a probabilidade de ele consumir alguma sobremesa é igual a 0,58, a probabilidade de ele consumir café expresso é igual a 0,22, e a probabilidade de ele consumir alguma sobremesa e café expresso é igual a 0,16. Sendo assim, a probabilidade de João ir a um restaurante e não consumir nenhuma sobremesa nem café expresso está entre:

(A) 0,10 e 0,20.(B) 0,21 e 0,30.(C) 0,31 e 0,40.(D) 0,41 e 0,50.(E) 0,51 e 0,60.

25 – (ESAF – MPU – TECNICO - 2004)

Quando Lígia pára em um posto de gasolina, a probabilidade de ela pedir para verificar o nível do óleo é 0,28; a probabilidade de ela pedir para verificar a pressão dos pneus é 0,11 e a probabilidade de ela pedir para verificar ambos, óleo e pneus, é 0,04. Portanto, a probabilidade de Lígia parar em um posto de gasolina e não pedir nem para verificar o nível de óleo e nem para verificar a pressão dos pneus é igual a:

a) 0,25b) 0,35c) 0,45d) 0,15e) 0,65

26 - (IADES – FUNPRESP – ASSIST. ADMIN- 2014

Suponha que uma caixa contém 15 bolas, sendo 7 brancas e 8 pretas. Duas bolas são retiradas com reposição, uma após a outra. A probabilidade de sair uma bola branca e uma bola preta, independentemente da ordem, é

(A) 0(B) 56/100(C) 7/15 X 8/14(D) 49/225(E) 56/225

28 – (CESPE – CEBRASPE - UNB – STJ - 2015)

GABARITO X - Itens anulados

1 – A2 – E3 – E4 – C5 – C C E E X6 – C7 – E E E C C8– A9– C, E, E, C, E10 – C11 – CC

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12 – B13 - C14 – C15 – B16 – A17 – B18 – A19 – D20 – A21 – A22 – B23 – B24 – C25 - E26 – E27 – C C

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