matemática ii aula 5
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Matemática II aula 5. Profª Débora Bastos. Derivada da função Implícita. O que é uma função implícita? É uma função em que não podemos ou é trabalhoso colocar y em função somente de x . É o oposto a função explícita: y = 3x 2 +5x+1 explícita xy + y 6 = x 6 – seny implícita - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Matemática IIaula 5
Profª Débora Bastos
Derivada da função ImplícitaO que é uma função implícita?É uma função em que não podemos ou é trabalhoso colocar y em função somente de x.
É o oposto a função explícita:y = 3x2+5x+1 explícitaxy + y6 = x6 – seny implícitaCalculo da função implícita:Considere y = f(x) derivável em D(f), para encontrar siga os seguintes passos:1- Derive cada termo como algo independente, considerando y=f(x);2- Separe o que tiver no 1º membro da equação e o que não tiver no 2º membro.3-Coloque em evidência no 1º membro da equação;
4- Isole na equação e teremos a derivada de f.
dx
dyxf )('
dx
dy
dx
dy
dx
dy
Derivada da função ImplícitaObservação: Provavelmente a derivada também será uma função implícita, ou seja,
Exemplo: Encontre para a equação abaixo:
xy + y6 = x6 – seny
dx
dy
),( yxgdx
dy
dx
dy
produtou.v
un
xn
senu
dx
dyyx
dx
dyyy
dx
dyx cos661. 55
yxdx
dyy
dx
dyy
dx
dyx 55 6cos6
Derivada da função Implícita
Exercícios:Considere y=f(x) derivável em D(f), determine para:
(a) 3x4y2 – 7xy3 = 4 – 8y(b) (x+y)2 – (x – y)2 = x4 + x4
(c) xcosy + ycosx = 1
yxyyxdx
dy 55 6cos6
yxdx
dyy
dx
dyy
dx
dyx 55 66cos
yyx
yx
dx
dy
cos6
665
55
dx
dy
Problemas de Taxa de variaçãoInterpretação geométrica de f ’:
Taxa de variação:(a) Média: Se y= f(x) então a taxa média de variação de y em relação a x no intervalo [a,b] é:
ou )()(
x
y
ab
afbftvm
)(')()(
limlim00
xfx
xfxxf
x
ytg
xx
x
xfxxf
x
ytg
)()(
x
y
x
xfxxftvm
)()(
Problemas de Taxa de variaçãoExemplo: 1. Seja a função f(t) = t2 + 5, onde t é o tempo (s) e f(t) é o deslocamento de um ponto móvel no tempo t (m). Determine o taxa de variação média do deslocamento em t [2,5]?
Ou seja, a tvm do deslocamento de um ponto em relação ao tempo é a velocidade média do ponto no intervalo calculado.
v média = 7 m/s
smff
t
f/7
3
21
3
930
25
)2()5(
Problemas de Taxa de variaçãoExemplo: 2. A velocidade (m/s) de um móvel em relação ao tempo (s) é dado por v(t) = 14 + 3t. Determine a taxa média da variação de velocidade em relação ao tempo para t [1.3].
Ou seja, a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo é a aceleração média no intervalo calculado.
amédia = 3m/s2
(b) Instantânea: Obtemos a taxa instantânea para um valor x se x 0, ou seja, aplicando o limite quando x 0.
2/32
6
2
1723
13
)1()3(sm
vv
t
v
)(')()(
limlim00
xfx
xfxxf
x
yxx
Problemas de Taxa de variaçãoA taxa de variação instantânea de f em relação a x0 é dado por :
f ’(x0)
Exemplo: Se um objeto é solto em queda de uma altura de 100 pés e se a resistência do ar pode ser desprezada, a altura h do objeto no instante t (s) é dado por h(t) = 16t2 + 100. Determine a taxa de variação de h no instante t = 1s, ou seja, a velocidade instantânea do objeto quando t = 1s.
h’(t) = 32t h’(1) = 32 pés/s.
Neste caso a velocidade é negativa, pois o móvel está se deslocando para baixo.
A
Problemas de Taxa de variaçãoAs aplicações das taxas de variação não são exclusividade do campo da física. É possível obter uma taxa de variação instantânea (ou média) desde que se tenha a expressão que determine o que se quer investigar.
Exemplo: Os economistas se referem a lucro marginal, receita marginal e custo marginal como taxas de variação do lucro, receita e custo em relação ao número x de unidades produzidas ou vendidas.P é lucro : lucro marginal
R é receita: receita marginal
C é custo: custo marginal
dx
dP
dx
dR
dx
dC
Problemas de Taxa de variaçãoExemplo: O lucro resultante da venda de x unidades de um artigo é dado por: P(x) = 0,0002x3 + 10x.(a) Ache o lucro marginal para um nível de produção
de 50 unidades.(b) Comparar com o aumento do lucro decorrente do
aumento de produção de 50 para 51 unidades.
(a)
$11,50 por unidade
10²0006,0 xdx
dP
50,1110²500006,0 dx
dP
Problemas de Taxa de variação(b) Para x = 50 o lucro efetivo é P(50) = 0,0002(50)3+10.50=525Para x = 51 o lucro efetivo é P(51) = 0,0002(51)3 + 10.51= 536,53Note que o aumento efetivo de lucro de $11,53
(quando xaumenta de 50 para 51 unidades) pode ser
aproximado pelo lucro marginal de $11,50 por unidade (quando x = 50).
Exemplo: Suponha que, em certo mercado, x milhares de caixas de laranja sejam fornecidos diariamente sendo p o preço por caixa e a equação da oferta:
px – 20p – 3x + 105 = 0Se o fornecimento diário estiver decrescendo a uma
taxa de 250 caixas por dia, com que taxa os preços estarão variando quando o fornecimento diário for de 5.000 caixas?
Problemas de Taxa de variaçãox – fornecimento de caixas (milhares) por dia;p – preço por caixa;t – dias; - variação de caixas fornecidas
por dia;
- variação do preço por dia;x= 5 (mil)Se x = 5, então p.5 – 20.p – 3.5 + 105 = 0 logo p =
6.Calculando a derivada (implícita) da função oferta:
Substituindo as informações:
4
1
1000
250
dt
dx
dt
dP
0320 dt
dx
dt
dP
dt
dxP
dt
dPx
04
1320
4
1.65
dt
dP
dt
dP
Problemas de Taxa de variação
Assim o preço de uma caixa de laranja estará decrescendo a uma taxa $0,005 por dia, quando o fornecimento diário for de 5.000 caixas.
Exercícios:1- No instante t=0, um mergulhador salta de um trampolim a 32 pés de altura. Sua função posição é h = 16t2 + 16t + 32, onde t é tempo (s) e h é altura (pés). (a) Em que instante o mergulhador atinge a água? (b) Qual a velocidade do mergulhador no momento do impacto?2-A lei de Boyle para a expansão de um gás é PV = C onde P é pressão (kg/m2), V é volume (m3) e C é uma constante. Num certo instante, a pressão é de 150 kg/m2, o volume é de 1,5m3 e está crescendo a uma taxa de 1m3/min. Ache a taxa de variação da pressão neste instante.
20
1
)15(4
33
4
115
dt
dP
dt
dP
dt
dP