Introdução à Integrais – Antiderivação

Aula 01 – Matemática II – AgronomiaProf. Danilene Donin Berticelli

Como podemos usar a inflação para prever preços futuros?

Como usar o conhecimento de taxa de crescimento de uma população para

estimar o número futuro de habitantes?

Qual será a velocidade de um corpo que se move em linha reta com

aceleração conhecida?

Em todas as situações descritas anteriormente, a derivada (taxa de variação) de uma grandeza é conhecida e estamos interessados em determinar o valor da

própria grandeza.

Esse processo é chamado antiderivação.

A Família de AntiderivadaSe a derivada de for , dizemos que é uma antiderivada de Por exemplo:

𝑥 ² Derivada: é uma

antiderivada de

𝑥2+1𝑥 ²+2𝑥2+3 Derivada:

Observe que tem várias antiderivadas:

Se C for uma constante, temos:

Portanto, qualquer função sob a forma é uma antiderivada de . A função tem uma família de antiderivadas.

A visualização gráfica das antiderivadas

-3 -2 -1 0 1 2 3 40

2

4

6

8

10

12

14

x²x²+1x²+2x²+3

A Integral IndefinidaSe é uma antiderivada da função contínua , todas as antiderivadas de têm a forma , onde é uma constante.

Representamos a família de todas as antiderivadas de usando a simbologia:

Que é chamado de Integral Indefinida de . A integral é indefinida porque envolve uma constante C que pode assumir qualquer valor.

Símbolo de Integral Variável de Integração

Integrando Constante de integração

Integral Indefinida

∫ 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥=𝐹 (𝑥 )+𝐶 ∫𝐹 ′(𝑥 )𝑑𝑥=𝐹 (𝑥 )+𝐶 ∫ 𝑑𝐹𝑑𝑥 𝑑𝑥=𝐹 (𝑥 )+𝐶

Regra da Constante: para C constante.

Regra da Potência: para qualquer

Regra do Logaritmo: para qualquer

Regra da Exponencial: para qualquer k constante

Regras para Integrar Funções Comuns

para n = -1

Exemplos: Determinar as seguintes integrais:

Exercícios: Calcule as seguintes integrais:

A.

Problemas Práticos1. Determinar a função f(x) cuja tangente tem uma inclinação de 6x²+1 para qualquer valor de x

e cuja curva passa pelo ponto (1, 4).

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

Problemas práticos de valor inicial

Equação diferencial é qualquer equação que envolve uma ou mais derivadas. As equações diferenciais são muito usadas em modelagem e aparecem em uma grande variedade de aplicações práticas do cálculo.

Problema de valor inicial é um problema que envolve a solução de uma equação diferencial sujeita a uma condição inicial específica. como o exemplo anterior.

Outros exemplos 2. Um fabricante constatou que o custo marginal é de 3q² - 60 q + 400 reais por unidade, onde q é o número de unidades produzidas. O custo total para produzir as primeiras duas unidades é de R$ 900,00. Qual é o custo total para produzir as primeiras cinco unidades?

Custo marginal representa o acréscimo de custo total que ocorre quando se aumenta a quantidade de bens produzida em uma unidade (ou a redução de custo total após a redução a uma

unidade na quantidade produzida).

3. A população P(t) de uma colônia de bactérias t horas depois de iniciada uma observação está variando a uma taxa dada por

Se a população era de 200.000 bactérias quando a observação começou, qual será a população após 12 horas mais tarde?

4. Um varejista recebe um suprimento de 10.000 quilogramas de arroz que serão vendidos durante um período de 5 meses à taxa constante de 2.000 quilogramas por mês. Se o custo de armazenamento é de 1 centavo por quilograma por mês, qual será o custo total do armazenamento durante os próximos 5 meses?

5. Depois que os freios são acionados, um carro perde velocidade à taxa constante de 6 metros por segundo por segundo. Se o carro está a 65 quilômetros por hora quando o motorista pisa no freio, que distância o carro percorre até parar?