caderno - matemática ii
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Matemática II - Caderno + Exercícios ResolvidosTRANSCRIPT
Matemática II
Luan GuerraLuan Guerra
2º semestre
CADERNOCADERNO
AvisoEsse material foi criado a partir do caderno de um aluno do curso de administração.
Sendo assim, não substituirá nenhuma fonte didática como: livros, artigos científicos, etc.
ObservaçãoO objetivo dessa apresentação ésimplesmente ajudar o estudante, nada além disso.
LIVROSSUGERIDO
• Cálculo: Funções de uma e Várias VariáveisPedro Alberto Morettin
Editora: SaraivaAutor: PEDRO ALBERTO
MORETTIN & SAMUEL HAZZAN & WILTON DE OLIVEIRA BUSSAB
ISBN: 8502041215
CADERNO+
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Revisão - 4
• 4.Um empresário deseja obter mensalmente um lucro de pelo menos $12.000,00 na produção de um determinado bem. O preço de venda unitário é $4,00 e o break-even point (B.E.P.) se dáquando a produção atinge 4.000 unidades/mês. Qual a produção mensal mínima para que o empresário alcance o lucro pretendido, sabendo que o custo variável unitário de produção é$2,00?
Resolução
Preço: $4
R = p . xR = 4 .x
C = 2 . x . CF
L = R - C
L = 4 . x – (2x + CF)L = 4 . x – 2 . x - CF
L = 2 . x – CF
Resolução
R = C
4 . 4000 = 2 . 4000 + CF
16000 = 8000 + CF
CF = $8000
L = 2 . x – CFL = 2 . x – 8000
L >= $12000
2 . x – 8000 >= 12000
2 . x >= 20000
x >= 10000 unid.
Revisão - 5
Resolução
Demanda: Pd = ax + b(0, $40)(100, $0)
Oferta: Po = ax + b(0, $20)(80, $35)
Resolução
Oferta:
20 = a . 0 + b b = 2035 = a . 80 + b
35 = a 80 + 2015 = a 80
a = 80/15
a = 0,18(Aproximado)
Po = 0,18 . x + 20
Resolução
40 = a . 0 + b b = 400 = a 100 + b
0 = a . 100 + 40-40 = a . 100
a = -0,4
Pd = -0,4 . x + 40
Revisão 6
• .Um fabricante produz determinado produto ao custo variável unitário de $2,00 e os vende a $5,00 cada. Com este preço a demanda mensal do produto é de 4.000 unidades. Quando o fabricante eleva o preço do produto em 20%, deixa de vender 800 unidades mensalmente.
a)Expresse o lucro mensal do fabricante em função da quantidade vendida / produzida do produto, supondo que o custo fixo de produção é zero,
b)Expresse a função lucro líquido mensal, sabendo-se que o imposto de renda é 20% do lucro.
Resolução
Pd = - 0,0012 . x + 9,8
R = (-0,0012 . x + 9,8) . x
R = -0,0012 . x² + 9,8 . x
L = R – C
Resolução
L = - 0,0012 . x² + 9,8 . x – 2 . x
L = - 0,0012 . x² + 7,8 . x
L líquido = (100% - 20%)/80% . L
L líquido = 0,80 . (-0,0012 . x² + 7,8 . x)
Revisão 7
7. Certa máquina foi comprada por R$3000,000 e vendida depois de 15 anos por R$750,00. Expresse o valor V da máquina como função do tempo, em anos
Resolução
Depreciação linear:
V = taxa de preciação . t + Va
Taxa de depreciação:
750-3000/15 = $-150/ano
V = -150 . t + 3000
t = tempo em anos
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO
x
xfxxfLim
x
yLimxf
xx ∆
−∆+=
∆
∆=′
→∆→∆
)()()( 00
000
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO
X∆
Xo Xo + X∆
Mudança
Regra do Tombo Pág. 138
I – Se f(x) = xn então f(x) = n + xn-1
Regra do Tombo
Exemplos:
a) f(x) = x5 5x4
b) f(x) = x2 2x1
Outros exemplos
c) f(x) = x 1x0 = 1
d) f(x) = x2,5 2,5x1,5
e) f(x) = x-2 -2x-3
f (x + ) = ?
= x² + 2x + ²
f (x + ) – f (x)
x² + 2x - x² - ²
Resultado
= 2x +
Exercícios
Se f ( x ) = k . xn então f’ ( x ) = k . n . xn-1
Exercícios:
f ( x ) = 3x5 = 3 . 5 x4 = 15x4
f ( x ) = 5x-2 = 5 . -2 x-3 = -10x-3
DERIVADA
Se f(x) K então f’(x) = 0
Exercício 1f(x) = 3
f’(x) = 0
DERIVADA
• Exercício 2
f(x)= 2/3
f’(x) = 0
DERIVADA
• Exercício 3
f(x)=
f’(x) = 0
Regra do Tombo
• Se f(x) = g(x) + h(x) ou f(x) = g(x) – h(x)então f’(x) = g’(x) – h’(x) ou f(x) = g(x) –h(x).
• Exercício 1
f(x) = x³ + x²f’(x) = 3x² + 2x
Regra do Tombo
Exercício 2
f(x) = 2x³ - 5f’(x) = 2. x² - 0
f’(x) = 2x²
Exercícios do livro
• Página 139Exercícios 5 (a ao i, t e u)
Exercício 139 - Resolução
• a) f(x) = 10 f’(x) = 0• b) f(x) = x5 f’(x) = 5x4
• c) f(x) = 10x5 f’(x) = 10.5x4 = 50x4
• d) f(x) = 1/2x² f’(x) = 1/2 . 2x = 1x• e) f(x) = x² + x³ f’(x) = 2x + 3x²• f) f(x) = 10x³ + 5x² f’(x) = 30x² + 10x• g) f(x) = 2x + 1 f’(x) = 2.1x + 0 = 2
Resolução
• h) f(t) = 3t² - 6t – 10f(t) = 3.2.t – 6.t – 0f(t) = 6t – 6
• f(u) = 5u³ - 2u² + 6u + 7f(u) = 5.3u² - 2.2u + 6.1 + 0f(u) = 15u² - 4u + 6
Resolução
• t) f(x) = x 2/3
f(x) = 2/3x1/3
Função Logarítmica
Se f(x) = lnx então f’(x)= 1/x (x > 0)
a) f(x) = 3.ln.xf’(x) = 3.1/x = 3/x
b) f(x) = lnx/3 = 1/3lnxf’(x) = 1/3 . 1/x = 1/3x
Função Exponencial
Se f(x)= ax então f’(x)=ax. lna(a>0; a diferente 1)
a) f(x) = 3x
f’(x) = 3x ln3
b) f(x) = 2x
f’(x) = 2x ln2
Exercícios
a) f(x) = 3x4 + 2.5x – lnx + 10f’(x) = 3.4x3 + 2.5x ln5 – 1/x + 10f’(x) = 12x3 + 2.5x ln5 – 1/x
b) f(x) = 3x + 4 + x²/5 + lnx/5 + 2.3x
f(x) = 3.1 + 0 + 1/5.2x + 1/5.1/x + 2.3xln3f(x) = 3+2/3x +1/5x + 2. 3xln3
Exercício Casa
Página 139Exercício 5 – j e k
Página 141Exercício 6 – i, j e k
Regra do Produto
Se f(x) = g(x) . h(x)
então
f’(x) = g’(x). h(x) + g(x) . h’(x)
Exercício – Regra do Produto
f(x) = x² . (x + 3)
f’(x) = 2x . (x + 3) + x² . 1 + 0
Melhorando...
f’(x) = x² + 2x² + 6x
f’(x) = 3x² . 6x
Pela regra do tombo...
f(x) = x² . (x + 3)
realiza a distributiva...
f’(x) = x³ + 3x²
f’(x) = 3x² + 3.2x
f’(x) = 3x² + 6x
Exercício
f’(x) = x² . 3x
regra do produto...
f’(x) = 2x . 3x + x² . 3x ln 3f’(x) = 2x . 3x + x² . 3x . 1,0986
CUSTO MARGINAL
LISTA - MOODLE
Custo Marginal
É a derivada da fração CUSTO
a) C = 0,3x³ - 2,5x² + 20x + 200
C = 0,3 . 3x² - 2,5 . 2x² + 20 + 0
Cmg = 0.9x² - 5x + 20
Continuação
b) Cmg (5) = 0,9 . 5² - 5 . 5² + 20
Cmg (5) = 0,9 . 25 - 5 . 25 + 20
Cmg (5) = $17,50
Resposta: O custo aproximado de produção da 6º unidade é$17,50.
Continuação
c) Cmg (10) = 0,9 . 10² - 5 . 10 + 20
Cmg (10) = 0,9 . 100 - 5 . 10 + 20
Cmg (10) = 90 – 50 + 20
Cmg (10) = $60
Resposta: O custo aproximado de produção da 11º unidade é $60.
Exercício
O custo de fabricação de x canetas é dado por:
C(x) = 250 + 50/x + x²/5
C(x) = 0 + 50x-1 + 2x/5C(x) = 50 . -1 x-2 + 2x/5 C(x) = -50x-2 + 2x/5
Continuação
Cmg (10) = -50 10-2 + 2.10/5Cmg (10) = -50.1/100 + 20/5Cmg (10) = -0,5 + 4
Cmg (10) = $3,50
Resposta: O custo aproximado de produção da 11º unidade é$3,50.
ContinuaçãoCusto Real: ?
C(x) = 250 + 50/x + x²/5
C(11) = custo total de produção das onze primeiras unidades é:
C(11) = 250 + 50/11 + 11²/5 = $278,8
C(10) custo total de produção das dez primeiras unidades.
C(10) = 250 + 50/11 + 10²/5 = $275
Exercício
• O custo de fabricação de x canetas édado por:
C(x) = 40 + 3x + 9 raiz de xC(x) = 0 + 3 + 9 x1/2
Cmg(x) = 3 + 4,5x-1/2
Continuação
• a)Encontre o custo marginal da 26ªunidade produzida.
Cmg(x) = 3 + 4,5x-1/2
Cmg(25) = 3 + 4,5 . 25-1/2
Cmg(25) = 3 + 4,5 . 0,20Cmg(25) = 3 + 0,9Cmg(25) = 3,9
Continuação
• b)Encontre o número de unidades produzidas quando o custo marginal é$4,50
?
Exercício
1. Seja C(x) = 1000 + 3x + 1/20x² a função custo total associada à produção de um bem, e na qual x representa a quantidade produzida. Determinar:
C(x) = 1000 + 3x + 1/20x2
C(x) = 0 + 3.1 + 0,05x-2
C(x) = 3 + 0,05 . -2 . x-3
C(x) = 3 - 0,10.x-3
Continuação
• O custo marginal da 21ª unidade.
C(20) = 3 - 0,10 20-3
C(20) = 3 - 0,10.0,000125C(20) = 3 - 0,000013C(20) = $2,999988
Resposta: O custo aproximado de produção da 21º unidade é$2,999988.
Continuação
• Os valores de x para os quais o custo marginal é zero, caso existam.
RECEITA MARGINAL
Exercícios
Exercício
• Dada a função receita total: R(x) = -4x2 + 500x, obtenha:
Continuação
– A receita marginal:
R(x) = - 4x² + 500x
Rmg(x) = -4.2x +500.1Rmg(x) = -8x + 500
a)
– A receita marginal quando x = 10 e interprete o resultado,
– Rmg(10) = -8x + 500– Rmg(10) = -8.10 + 500– Rmg(10) = -80 + 500
– Rmg(10) = $420
b)
– A receita marginal quando x = 20 e interprete o resultado.
– Rmg(20) = -8.20 + 500– Rmg(20) = -160 + 500– Rmg(20) = 340
Resposta: O receita aproximado de produção da 21º unidade é $340
Exercício
• Se a função de demanda for p = 20 – 2x, obtenha a receita marginal para a 5ª unidade vendida.
R = pd . xR = (20 – 2x) . XR = 20x – 2x²R = 20 . 1 – 2 . 2xRmg = 20 – 4x
Rmg = 20 – 16 = $ 4
A Receita aproximada obtida com a venda da 5º unidade éde $4.
Exercício
Se R(x) = 600x – x³/20 é a função receita total prevista para a venda de x televisores, pede-se:
a)
– A função receita marginal,
R(x) = 600x – x³/20
Rmg(x) = 600 – 3x²/20
b)
– A receita marginal quando x = 30,
Rmg(30) = 600 – 3 30²/20
Rmg(30) = 600 – 3 . 900/20Rmg(30) = 600 – 3 . 45
Rmg(30) = 600 – 135
Rmg(30) = $465
c)
– A receita efetiva da venda do 31º aparelho de televisão.
Receita Real ou Efetiva
R(x) = 600x – x³/20R(31) = 600.31 – 31³/20R(31) = 18600 – 29791/20R(31) = 18600 – 1489,55R(31) = $17110,45
Continuação
R(x) = 600x – x³/20R(30) = 600.30 – 30³/20R(30) = 18000 – 27000/20R(30) = 18000 – 1350R(30) = $16650,00
R(31) – R(30) = x$17110,45 - $16650,00 = x
X = $460,45
Exercício
• A receita R (em milhões de dólares) da Dairy Queen de 1989 a 1993 admite como modelo
R = 1,83t³ – 3,7t² + 37,97t+ 255,4
onde t = o representa 1989 (Fonte: Intenational Dairy Queen).
Função Marginal
• R = 1,83t³ – 3,7t² + 37,97t+ 255,4Rmg(x) = 1,83 . 3 t² - 3,7 . 2 t + 37,97 + 0Rmg(x) = 5,49t² - 7,4t + 37,97
a)
• Ache a inclinação do gráfico em 1990 (t=1) e em 1992 (t=3),
Rmg(1) = 5,49 . 1² - 7,4 . 1 + 37,97Rmg(1) = 5,49 – 7,4 + 37,97Rmg(1) = 36,06 milhões de dólares
De 1990 para 1991, a receita da Empresa aumentou aproximadamente em $36,06 milhões de dólares
Continuação
• e em 1992 (t=3):
Rmg(3) = 5,49 . 3² - 7,4 . 3 + 37,97Rmg(3) = 5,49 . 9 - 7,4 . 3 + 37,97Rmg(3) = 49,41 – 22,23 + 37,97Rmg(3) = 65,15 milhões de dólares
b)
• Quais são as unidades de inclinação do gráfico? Interprete essa inclinação no contexto do problema.
Unidades: Milhões de dólares/ ano
De 1992 para 1993, a receita da Empresa aumentou aproximadamente em $65,15 milhões de dólares
Exercício
• Determine, pela definição, a derivada das funções:
a) f(x) = x + 5
Resolução
a) f(x + Variação x) = x + variação x + 5
Taxa Média VariaçãoTMV = Variação y / Variação x
TMV = x + variação 0 + 5 – (x +5) / Variação x = 1
Portanto:
lim Ax = 0 Variação y / Variação x = Lim ax = 0 = 1
b)
f(x) = 1/x + 5
F(x + variação x) = 1/x + variação x + 5
Exercício 2
• Derive usando as regras:
F(x) = 3 . 5x + ln x / 5 + 3x . x²F’(x) = 3 . 5x . ln5 + 1 / 5 . 1/x + 3x ln3 . X² + 3x . 2x
Exercícios – 20/09
Obtenha, pela definição, as derivadas das funções:
a) f(x) = x + 5
TM V = x + + 5 – (x+5) /
Resolução a)
• lim / = 1 =0
b)
Obtenha, pela definição, as derivadas das funções:
b) f(x) = 1/x + 5
Resolução
b) f(x + ) = 1/x + 5
TMV = 1/x + 1/ + 5 - (1/x + 5) /
lim = / =0
Exercício c)
c) f(x) = x² + 5
TMV = 2x + - (x² + 5)
Regra do Quociente
Se
f(x) = g(x) / h (x)
então
f’(x) = g’(x).h(x) – g(x).h’(x)/[h(x)]²
Exemplo
1) f(x) = 3x / x²
f’(x) = 3x ln 3. x² - 3x . 2x / (x²)²
3x ln 3. x² - 3x . 2x / x4
Exemplo
2) f(x) = ln.x / 3x
f’(x) = 1/x . 3x - ln.x . 3x ln 3 / (3x)²
melhorando...
f’(x) = 3x/x - ln.x . 3x ln.3 / 32x
Otimização de funções – Pág. 179
(Obter pontos de máximo ou de mínimo)
1º passo: Obter f’ (Obter a 1º derivada de f)2º passo: Resolver a equação f’ = 03º passo: Obter f’’ (Obter a 2º derivada de f)4º passo: Substituir a solução obtido no 2º passo em f’’
Se o resultado der + então a solução será ponto mínimo.
Se o resultado der - então a solução será ponto máximo.Se o resultado der zero, o critério não se aplica.
Pág. 179 – Exemplo 6.10
Encontre os pon/2tos de máximo e mínimo da função f(x) = x³/3 – 5/2x² + 4x + 3
Resolução
f(x) = x³/3 – 5/2x² + 4x + 3
1º passo:
f’ = 3x²/3 – 5/2 . 2x + 4.1 + 0
f’ = x² - 5x + 4
Continuação
2º passo:f’ = x² - 5x + 4
x² - 5x + 4 = 0
báskara...
x’ = 1
x’’ = 4
Continuação
• 3 passo:
f’ = x² - 5x + 4
f’’ = 2x – 5
f’’(1) = 2.1 – 5 = - 3
f’’(4) = 2.4 – 5= + 3
Definir:
4º passo:
f’’(1) = 2.1 – 5 = - 3 é ponto de máximo
f’’(4) = 2.4 – 5= + 3 é ponto de mínimo
OBS: É o inverso...
Pág. 180 - Exemplo 38
a) f(x) x² - 4x + 5
1º f’(x) = 2x - 4
2º f’’ = 0 2x – 4 = 0 x = 2
3º f’’ = 2 (Não tem x; é uma função constante)
4º f’’ (2) = + 2 é ponto de máximo
Ponto de Inflexão
Aplicação Economia
Definição
O ponto (c; f(c)) é chamado, em economia, de ponto de retorno decrescente. Uma investimento além deste ponto éconsiderado má aplicação de capital.
(O mesmo valor de c quando passa o ponto de PI não é tão vantajoso caso ele não ultrapasse esse mesmo ponto)
Exemplo
Sejam x o gasto com propaganda (em milhares de dólares) e y as vendas (em milhares de dólares) de um produto, de acordo com o modelo.
Y = 1/10000 . (300x² - x³)
*com 0 <= x <=200
Ache o ponto de diminuição de resultados:
Resolução
1º passo: y’ = 1/10000 . (300 2x - 3x²)y’ = 1/10000 . (600x - 3x²)
2º passo y’’ = 1/10000 . (600 - 6x)
3º passo: Estudar o sinal de “y”
Resolução 3º passo
y’’ = 1/10000 . (600 – 6x) é uma reta descrente, a = -6 < 0
Raiz: 1/10000 . (600 – 6x) = 0600 = 6x
X = 100
Estudo do Caso
Resposta
INVESTIR mais de 100 milhões em propaganda para aumentar as vendas éconsiderado má aplicação de capital.
Exercícios
Para cada função, R é a receita e x é a quantia gasta com propaganda.
A)
R = 1/50000 (600x² - x³)0 <= x <=400
Resolução
1º passo: R’ = 1/50000 . (600x . 3x²)
2º passo: R’ = 1/50000 . (600 . 6x)
3º passo: Estudo do sinal “R”
Resolução – 3º passo
R’’ = 1/50000 . (600 – 6x) (é uma reta decrescente; a = -6 < 0)
Raiz: 1/10000 . (600 – 6x) = 0600 – 6x = 0
x = 100
Estudo do Caso
Resposta
Investir mais de 100 milhões em propaganda para aumentar as vendas éconsiderado má aplicação de capital.
b)
R’’ = -4/9 (x³ - 9x² - 27)0<= x <=5
Resolução
1º passo: R’’ = -4/9 . (3x² - 18x - 0)R’’ = -4/9 . (3x² - 18x)
2º passo: R’’ = -4/9 . (6x – 18)
3º passo: Estudo do sinal de “R”
Resolução – 3º passo
R’’ = -4/9 . (6x – 18)(é uma reta crescente; a = 6 > 0)
Raiz: -4/9 . (6x – 18)6x = 18x = 18/6
x = 3
Estudo do caso
Resposta
INVESTIR mais de 3 mil dólares em propaganda dará maior retorno nas vendas.
Exercícios
OtimizaçãoPág. 18038 a) ao e)
51 a)5254 ao 63
Ponto de inflexãoPág 18264
Exercício
Função custoC = 0,1x² + 5x + 20
Função demandaPd = 10 – x/20
Determine x para que o lucro seja máximo e o valor do lucro máximo.
Resolução
R = pd . XR = (10 – 0,05x).x = 10x – 0,05x²
L = R – CL = 10x – 0,05x² - (0,1x² + 5x + 20)L = 10x – 0,05x² - 0,1x² - 5x – 20
L = 5x – 0,15x² - 20
Passos
1º passo: L’ = 5 – 0,3x
2º passo:5 – 0,3x-0,3x = -50,3x = 5x = 5/0,3 = 16,6
Passos
3º passo: L’’ = - 0,3 (Função constante)
4º passo: L’’(16,6) = -0,3 = -x= 16,6 unidades maximiza o lucro
Valor do lucro máximo: L= 5.16,6 – 0,15 .
16,6² - 20 = $ 21,67
Construção de Gráficocom auxílio das derivadas
Esboce o gráfico de f(x) = x4 – x3
1º passo: Obter as raízes de f(x)x4 – x3 = 0x3 (x – 1) = 0
x3 = 0
x = 0
x - 1= 0
x = 1
2º passo:
Obter os P.M. e F.M. de f(x) [isto é, otimizar f(x)]
f’ = 4x³ - 3x²4x³ - 3x² = 0x² (4x – 3) = 0x² = 0
x = 0
ou
4x – 3 = 0
x = ¾ = 0,75
Continuação
f’’ = 12x² - 6xf’’(0) = 12 . 0² - 6.0 = 0 nada podemos afirmar sobre x = 0
f’’(0,75) = 12 .0,75² - 6 . 0,75 = + 2,25 = +
X = 0,75 é P.M.
Continuação
f’’ = 12x² - 6x12x² - 6x = 0
x . (12x – 6) = 0
x = 0ou
12x – 6=0X=6/12 =
x = 0,5
P.I.
Último passo
4º passo:
Construção do gráfico
Gráfico
Exercício 2
F(x) = x4 – 2x²
Resolução
1º passo: Raízes
x4 – 2x² = 0
x² . (x² - 2) = 0
x² = 0
Ou
x² - 2 = 0x² = +- 1,41
2º passo: OTIMIZAR
f’ = 4x³ - 4x4x³ - 4x = 0
x . (4x² - 4) = 0x = 0oux = +- 1
f’’ = 12x² - 4
f’’ (0) = -4 = - x = 0 é P.M.
f’’ (1) = 8 = + x = 1 é P.M.
f’’ (1) = 8 = + x = -1 é P.M.
3º passo: PI
f’’ = 12x² - 4
12x² - 4 = 012x² = 4x² = 1/3
x = +- 0,57
Gráfico
Explicação
4º passo (Estudo do sinais)
Gráfico
Final
Exercício 3
F(x) = x³ + 3x² - 9x + 5
Sabendo-se que:
F(x) = (x-1)² . (x+5)
1º passo
(x-1)² . (x+5)
(x – 1)² = 0(x – 1) = 0x = 1
ou
x + 5 = 0X = -5
2º passo OTIMIZAR
f’ = 3x² + 6x – 9
3x² + 6x – 9Báskara
x = -6 + 12/ 2
x’ = 1x’’ = -3
3º passo PI
f’’ = 6x + 6
6x + 6 = 0x = -1
f’’ = 6x + 6
f’’ (1) = + x = 1 é PIMf’’ (3) = - x = -3 é PIM
3º passo
f’’ = 6x + 6
6x + 6 = 0x = -1
PI
4º passo Estudo do Sinal
Gráfico
Exercício 4
F(x) = -3x5 + 5x³
Cap. 7 – Integrais pág. 186
• Integral indefinida
Chamamos de integral indefinida de g(x), e indicamos pelo símbolo.
g(x) dx, a uma função f(x) adicionada a uma constante c
Exemplo
g(x) . dx = f(x) + c
Tal que f’(x) = g(x)
1 - Exercícios
2x dx = x² + c
2derivada
2 - Exercícios
3x² dx = x³ + c
3x²derivada
3 - Exercícios
5dx = 5x + c
5derivada
Regras
xn dx = xn + 1 / n + 1 + c
1/x dx = ln x + c
[f(x) +- g(x)] dx = f(x) dx +- g(x) dx
K . f(x) dx = K . f(x) dx
n diferente de 1
Pág. 188
a) 2x³ dx
2 . x³ dx
2 . x4 / 4 + c
x4 / 2 + c
1º regra
b)
(x² + 3x) dx
x³/3 + 3 . x²/2 + c
1º regra
c)
(x³ - 3x) dx
x³/3 – 3.x²/2 + x
1º regra
g)
5/x dx
5 . Ln x + c
2º regra
p)
2 ex dx
2 . ex + c
d)
(5 – x) dx
5x – x²/2 + c
e)
5 dx
5x + c
f)
(3x³ - 2x² + 8x – 6) dx
3x4 / 4 – 2.x³ / 3 + 84 . x²/2 – 6x + c
h)
(x² + 6/x) dx
x³ / 3 + 6 . Ln x + c
j)
(x-3 + x² - 5x) dx
x-2 / 2 + x³ / 3 - 5x² / 2 + c
k)
x dx
x1,5 / 1,5 + c
L)
5 3 x dx
5 . x1/3 / 1/3 + 1 + c
5 . x1/3 / 4/3 + c
15.x4/3 / 4 + c
m)
5 + 3 dx
x1,5 / 1,5 + x4/3 / 4/3 + c
n)
(x² - 3x + 5/ x²) dx
(1 – 3/x + 5/x²) dx
x – 3lnx + 5.x-1/ 1 + c
x – 3lnx - 5.x-1/ 1 + c
q)
(3ex + x³) dx
3 ex + x4/4 + c
Integral Derivada
10/11
Exemplo
x² dx = x³/3 + c 5
2 2
5
5
X = 5
5³/3 + c = 125/3 + c
2
X = 5
2³/3 + c = 8/3 + c
Resultado
(125/3 + c) - (8/3 + c) = 117/3
*sempre será um número!
Aplicação
Cálculo das áreas
Exemplo
Área
Área = (2x - x²) dx
2
0
Resolução
Área = 2 x²/2 – x³/3 + c
Área = x² – x³/3 + c
2
0
2
0
2
X = 2
2² - 2³/3 + c = 4 - 8/3 + c = 12 – 8/3 + c
Resultado...
4/3 + c
0
X = 0
0² - 0³/3 + c
Resultado...
= 0 + c
Resultado
(4/3 + c) - (0 + c) = $4/3
*sempre será um número!
Demanda x Oferta
Aplicação econômica:Excedente do Consumidor e do Produtor
E.C. E.P.Página 202
1º E.C. - pág. 201
EC = (Pd – Pequilíbrio) . dxX equi
0
2º E.P. - pág. 202
EC = (Pequilíbrio - Po) . dxX equi
0
Exemplo
Determine E.C.
Resolução:
Obter o equilíbrio de mercado:
Po = Pd
x² + 10 = 30 – xx² + 10 – 30 + x = 0
x² + x - 20
X’ = - 5 (Descartar)
X’’ = 4
Substituir
x = 4 em Po ou em PE
Pd = 30 – xPd = 30 – 26Pd = $26
Po = x² + 10Po = 4² + 10Po = $26
E.C.
E.C. = (30 – x – 26) dx
Resolução...
= (4 - x) dx
= 4. x – x²/2 + x
0
4
4
0 4
0
4
X = 4
4.4 – 4²/2 + c = 16 - 8 + c =
Resultado...
8 + c
0
X = 0
4.0 – 0²/2 + c
Resultado...
= 0 + c
Resultado
(8 + c) - (0 + c) = $8
*sempre será um número!
E.P.
E.P. = [26 – (x² + 10) dx]
Resolução...
= (16 – x²) dx
= 16 . x – x³/3 + x
0
4
4
0 4
0
dx = xn+1/n+1
4
X = 4
16.4 – 4³/3 + c =
Resultado...
128 + c
0
X = 0
16.0 – 0³/3 + c
Resultado...
= 0 + c
Resultado
(126/3 + c) - (0 + c) = $126/3
*sempre será um número!
O RESULTADO É QUANDO O PRODUTOR GANHA NO EQUILÍBRIO DE MERCADO
Exercícios
Revisão
As funções Demanda e Custo para um bem são:
• Pd = 75 – x • C = 0,5x² = 62x + 125
1)
Determine o E.C. e E.P. Pd = 10 –0,00001x² e Po = 5 + 0,005x
1) Resolução
Equilíbrio de Mercado: Pd = Po
10 – 0,00001x² = 5 + 0,005x- 0,00001x² - 0,005x + 5
0,000025 + 0,00020,000225
Continução
+ 0,005 +- 0,015 / - 0,00002
x’ = - 1000 (Descatar)
x’’ = +500 unidades
Substituir
Po = 5 + 0,005 xPo = 5 + 0,005 . 500Po = 5 + 2,5
Po = $7,5
E.C.
E.C. = Pd – Pequilíbrio
E.C. = (10 – 0,00001x² - 7,5) dx
= (-0,00001x² – 2,5)dx
= -0,00001x³/3 – 2,5x + c
0
500
500
0
Continuação
= - 0,00001 . 500³/3 + 2,5. 500
= - 0,00001 . 125.000.000/3 + 1250= - 0,00001 . 41.666.666,7 + 1250 = - 416,667 + 1250
= + $833,33
E.P.
E.P. = (Pequílbrio – Po)
E.P. = [7,5 – (5 + 0,005x)] dx
E.P. = 2,5x – 0,005x²/2
E.P. = 2,5 . 500 – 0,005 . 500²/2 = $625
2) Questões
a)
Que nível de produção (x) proporcionará lucro máximo?
b)
Que nível de produção (x) proporcionará custo médio mínimo?
2) Resolução
a) R = pd . X
R = (75 – x) . x = 75x – x²
L = R – CL = 75x – x² - (0,5x² + 62x + 125)L = -1,5x² + 13x - 125
Continuação
L = -1,5x² + 13x – 125
1º passo: Otimizar o LucroL’ = -3x + 13
2º passo: L’ = 13/3
L’ = 4,33 unidades
Continuação
3º passo:L’’ = -3 Função Constante
4º passo:
L’’(4,33) = -(Negativo, logo x = 4,33 unidade maximizará o lucro.)
2) Resolução
b) Custo Médio
Custo Médio / x
CMédio = 0,5x² + 62x + 125 / xCMédio = 0,5x + 62 + 125 / x
Continuação
1º passo:
Otimizar o custo médio:
1º passo: C’Médio = 0,5 – 125 x-2
2º passo: 0,5 – 125 / x²
Continuação
0,5 – 125 / x² = 00,5x² = 125
x =
x = +- 15,81
Continuação
3º passo:
C’Médio = - 125 . -2-3
C’Médio = 250x-3
C’Médio (15,81) = 250 . 15,81-3
4º passo:
C’Médio (15,81) = +(Portanto, logo x = 15,81 minimizará o Custo Médio)
3) Questão
Determine o limite?
lim f(x) = + infinitoX – 5+
b)
lim f(x) = - infinitoX – 5-
c)
lim f(x) = não existeX – 5
OBS:
Só existiria se:
Lim f(x) = lim f(x)X – 5- X – 5+
d)
lim f(x) = 0
Tende para o zero!
X + infinito
e)
lim f(x) = 0
Tende para o zero!
X - infinito
3) Questão - Derive
a) f(x) = 3x . x² + x³ . ln x
f’(x) = (3x . ln 3 . x² + 3x . 2x) +
(3x². ln x + x³. 1/x) =
(3x . ln 3 . x² + 3x . 2x + 3x². ln x + x²)
Regra do Produto
b)
f(x) = 3x / x² + x³ / ln x
f’(x) = 3x ln 3 - 3x. 2x / x4
+3.x² . ln x – x³ . 1/x/ (ln x)²
f’(x) = 3x ln 3 - 3x. 2x / x4 + 3.x² . ln x – x² / (ln x)²
Regra do Quociente