caderno - matemática financeira

295
Matemática Financeira Luan Guerra 3º semestre CADERNO CADERNO

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Page 1: Caderno - Matemática Financeira

MatemáticaFinanceira

Luan Guerra

3º semestre

CADERNOCADERNO

Page 2: Caderno - Matemática Financeira

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Page 3: Caderno - Matemática Financeira

AvisoEsse material foi criado a partir do caderno de um aluno do curso de administração.

Sendo assim, não substituirá nenhuma fonte didática como: livros, artigos científicos, etc.

ObservaçãoO objetivo dessa apresentação ésimplesmente ajudar o estudante, nada além disso.

Page 4: Caderno - Matemática Financeira

CADERNO+

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Page 5: Caderno - Matemática Financeira

Juros

• Juros Simples:

INT: $1000 . 5 =$1000 . 10% . 5 = 1500

INT: PV . I . N

Page 6: Caderno - Matemática Financeira

Calculando o montante(Juros Simples)

• FV: PV + INT

= PV + PV . I . N

FV: PV. (1 + I. N)

PV: FV/ (1+ I . N)

Page 7: Caderno - Matemática Financeira

Exercícios – Juros Simples

• Verifique se os dois capitais são (ou não são) equivalentes na data fiscal e à taxa de juros simples de 10% a.m.

Na data fiscal:

a) FV1 = PV1(1+ i . n)FV1 = 3635,35 (1+ 0,1 . 1)FV1 = 3635, 35 . 1,1 = $4000

Page 8: Caderno - Matemática Financeira

Exercícios – Juros Simples

b) PV2 = FV2 / (1 + i . N)

PV2 = 5600 / (1 + i . N)PV2 = 5600 / 1,4 = $4000

Resp:

São equivalentes na dela 2 à taxa de 10% a. m.

Page 9: Caderno - Matemática Financeira

Exercício

• O exemplo foi para verificar o valor que seria no futuro.

Page 10: Caderno - Matemática Financeira

Exercícios – Juros Simples

a) FV1 = PV1 (1 + i . N)

FV1 = 3636, 35 (1 + 0,1 . 5)FV1 = 3636, 35 . 1,5FV1 = 5454, 53 (Aproximadamente)

Page 11: Caderno - Matemática Financeira

Exercícios – Juros Simples

b) PV2 = FV2 / (1 + i . N)

PV2 = 5600 / (1 + 0,1 . 0) PV2 = 5600 / 1

PV2 = $5600

Page 12: Caderno - Matemática Financeira

Exercício de Juros Simples

• Valor da dívida = FV1 / (1 + i . N)VD = 2000 / (1 + 0,1 . 3)VD = 2000 / 1,3VD = 1538,47 (Aproximadamente)

• Valor da dívida = FV2 / (1 + i . N)VD2 = 2500 / (1 + i . N)VD2 = 2500 / 1,8VD2 = 1388,89 (Aproximadamente)

Page 13: Caderno - Matemática Financeira

Exercício de Juros Simples

• VD1 + VD2 = X

VD = 1538,47 (Aproximadamente)

+

VD2 = 1388,89 (Aproximadamente)

_____________________________

$ 2927,36 (Aproximadamente)

Page 14: Caderno - Matemática Financeira

Pagamentos

x / (1 + 0,1 . 10) + x / (1 + 0,1 . 15) = 2927,35

x / 2 + x / 2,5 = 2927,35

0,5x + 0,4x = 2927,35

0,9x = 2927, 35 ---- X= $3252,61

Resp: O valor $3252,61 será em cada cheque.

Page 15: Caderno - Matemática Financeira

Capitalização Composta

• Taxas Equivalentes

Page 16: Caderno - Matemática Financeira

Exemplo 1

• Determine a taxa anual equivalente a 2% a.m.

Page 17: Caderno - Matemática Financeira

Modelo Meses

Page 18: Caderno - Matemática Financeira

Modelo Anos

Page 19: Caderno - Matemática Financeira

Resolução

FV 1 = FV 2PV . (1 + 0,02) = PV (1 + i a)

1 + i . a = 1,02¹²

ia = 1,02¹² - 1 = 0,2682 ou 26,82%

Page 20: Caderno - Matemática Financeira

Ou seja...

FV 1 = $126, 82

FV 2 = $126, 82

Page 21: Caderno - Matemática Financeira

Exercício II

• Determine a taxa mensal equivalente a 24% a.a.FV

Cap. Anual: FV 2 = PV (1 + ia)¹

Cap. Anual: FV 1 = PV (1 + im)¹²

Page 22: Caderno - Matemática Financeira

Cont.

FV 1 = FV 2 (1 + im)¹² = (1 + ia)¹

(1 + im)¹²= 1,24¹

im = 1,24 ¹/¹²

= 0,0181

ou

i = 1,81% a.m.

Page 23: Caderno - Matemática Financeira

Equivalência de Capitais a Juros Compostos

Page 24: Caderno - Matemática Financeira

Dois capitais, com datas de vencimentos determinados, são equivalentes quando, levados para uma mesma data a mesma taxa de juros, tirevem valores gerais.

No sistemas de juros compostos, se dois capitais são equivalentes em determinado data também o serão em qualquer outro data.

Page 25: Caderno - Matemática Financeira

Exercícios

Verifique se os dois capitais são equivalentes, a juros compostos de 10% a.m.

Page 26: Caderno - Matemática Financeira

Exemplos

Page 27: Caderno - Matemática Financeira

Data Focal

Page 28: Caderno - Matemática Financeira

Meses

Page 29: Caderno - Matemática Financeira

Resolução

Data focal:

1) FV1 = 2000 . (1 + 0,1)¹ = $ 2200

2) PV2 = 2662 / (1+0,1)² = $ 2200

Page 30: Caderno - Matemática Financeira

Resposta

Eles são equivalentes a taxa de juros compostos de 10% a.m. (Data Focal)

Page 31: Caderno - Matemática Financeira

Data Focal

Page 32: Caderno - Matemática Financeira

Nova data focal

Data focal = 3º Mês

• FV 1 = 2000 (1 + 0,1)² = $2420

• PV 2 = 2662 / (1 + 0,1)¹ = $2420

Resposta: Eles são equivalentes a taxa de 10% a.m. em qualquer data focal.

Page 33: Caderno - Matemática Financeira

Exercício

Verificar se os conjuntos de capitais A e B são equivalentes, considerando-se uma taxa de juros compostos de 10% a.m.

Page 34: Caderno - Matemática Financeira
Page 35: Caderno - Matemática Financeira

Resolução

Escolher uma data focal:

Page 36: Caderno - Matemática Financeira

Resolução

FV: 2000 . 1,1³ + 2200 . 1,1² + 2420 . 1.1¹ + 2662 = $10.648,00$10.648,00

FV: 2100 . 1,1³ + 2200 . 1,1² + 2300 . 1.1¹ + 2902,40 = $10.648,00$10.648,00

Respostas: São Equivalentes...

Page 37: Caderno - Matemática Financeira

Equivalência de Capitais e Juros Compostos

• Exercício:

Em vendas à vista, uma loja dará um desconto de 5%, pagando-se com cheque pré-datado para um mês, “não hácobrança em juros”, com cheque pré-datado para dois meses, há um acréscimo de 3%.

Page 38: Caderno - Matemática Financeira

Perguntas

a) Qual a melhor forma de pagamento para o cliente, se o rendimento do dinheiro for de 3,5% a.m.? É o pior?

b) Determine as taxas de juros cobradas nos cheques pré-datados?

Page 39: Caderno - Matemática Financeira

a)

• À vista

•Cheque p/ 30 dias

• Cheque p/ 60 dias

Page 40: Caderno - Matemática Financeira

a)

• À vista: 0,95 x = $95

• 1 Mês: 1 x = $100

• 2 Meses: 1,03 x = $103

Page 41: Caderno - Matemática Financeira

a)

Data focal: 0 mês (à vista)

• À vista: 0,95 x = $95

Page 42: Caderno - Matemática Financeira

a)

• Cheque para 30 dias:

FV = PV . (1 + i)n

PV = FV / (1 + i)n

FV = 1 x / (1,035)¹ = $96,62

Page 43: Caderno - Matemática Financeira

a)

• Cheque para 60 dias:

FV = PV . (1 + i)n

PV = FV / (1 + i)n

FV = 1,03 x / (1,035)² = $96,15

Page 44: Caderno - Matemática Financeira

Convenção Linear

Page 45: Caderno - Matemática Financeira

Convenção Linear

• Montante no final do 5º ano:

FV=1000.(1+0,1)5 = $1610,51

• Montante no final do 5º ano e meio:

FV=1610,51.(1+0,1.0,5) = $1691,04

Page 46: Caderno - Matemática Financeira

Convenção Exponencial

• Montante no final do 5º ano:

FV = 1000.(1+0,1)5 = $1610,51

Page 47: Caderno - Matemática Financeira

Taxa semestral• Equivalente a 10%

iq = (1 + it)q/t - 1

Iq = (1 + 0,1)1/2 - 1

Iq = (1,1)1/2 - 1

Iq = 1,0488 – 1 = 0,0488 a.s.

Iq = 1,10,5 – 1

(1 + i) = 1,10,5

Page 48: Caderno - Matemática Financeira

Convenção Exponencial

• Montante no final do 5º ano e médio:

FV = PV . (1+ isem )¹

• FV = 1610,51 . (1+ isem )¹

• FV = 1000 . 1,15 1000.1,1 5,5

$1689,12

Page 49: Caderno - Matemática Financeira

Capitalização Composta

Atividade 6

Page 50: Caderno - Matemática Financeira

Exercícios - 4

Qual o valor do capital, que aplicado a taxa de 18% ao trimestre durante 181 dias, produziu um montante de $5.000,00?

Page 51: Caderno - Matemática Financeira

Resolução

PV?i = 18 a. t.n = 181 diasFV = $5000

Page 52: Caderno - Matemática Financeira

Determine o capital:

PV = FV / (1 + i)n

PV = $5000 / (1 + 0,18)181/190

PV = $5000 / (1,18)2,011

PV = $5000 / 1,3950

PV = $3584,23

Page 53: Caderno - Matemática Financeira

Exercício - 5

Certa aplicação rende 0,225% ao dia. Em que prazo um investidor poderá receber o dobro da sua aplicação?

FV = 2 PV1 = 0,225% a.d.n = ? dias

Page 54: Caderno - Matemática Financeira

Resolução

Page 55: Caderno - Matemática Financeira

FV = PV . (1 + i)n

(1 + i)n = (FV / PV)

n . ln (1 + i) = ln (FV / PV)

n = ln (FV / PV) / ln (1 + i)

n = ln (2PV / PV) / ln (1 + 0,00225)

= ln 2 / ln 1,00225 = 0,6931 / 0,0022

= 308,41 dias

Page 56: Caderno - Matemática Financeira

Exercício - 6

A aplicação de $ 380.000,00 proporcionou um rendimento de $ 240.000,00 no final de 208 dias. Determinar as taxas diária, mensal, trimestral e anual de juros.

Page 57: Caderno - Matemática Financeira

Resolução

PV = $380.000INT = $240.000_____________FV = $620.000

N = 208 diasi = ?

Page 58: Caderno - Matemática Financeira

Determine a taxa:

FV / PV = (1 + i)n

1 + i = (FV / PV)

i = (FV / PV)

Page 59: Caderno - Matemática Financeira

Taxa diária

i = (620000/380000)1/208 -1

= 0,024

ou

0,24 a% a.d.

Page 60: Caderno - Matemática Financeira

Taxa Mensal

n = 203/30 meses = 6,93 meses

i = (620000 / 380000)30/208 – 1

= 0,0732

ou

7,32% a.m.

Page 61: Caderno - Matemática Financeira

Taxa EQUIVALENTE

iq = (1+ it)q/t - 1

iq = (1+ 0,732160)³ - 1 ³ = 90/30 = 3 trimestres

= 0,2359

ou

23,59% a.t.

Page 62: Caderno - Matemática Financeira

Taxa Anual

n = 208/360 ano = 0,5638 ano

i = (620000/380000)360/208 – 1

= 1,333

ou

=133,33% a.a.

Page 63: Caderno - Matemática Financeira

Taxa Nominal

Page 64: Caderno - Matemática Financeira

Poupança

• Nominal j = 6% a.a. Capitalização Mensal

Taxa i = 0,5% a.m.

• Taxa anual equivalente a 0,5%a.m.

iq = ( 1 + it)q/t – 1

Page 65: Caderno - Matemática Financeira

Como calcular:

iq = (1 + 0,005)¹² - 1 = 0,0617 . 100%

EFETIVA = 6,17% a.a

Page 66: Caderno - Matemática Financeira

Convenção

• A taxa efetiva por período de capitalização seja proporcional à taxa nominal:

j é a taxa nominalk é o número de vezes em que os juros são

capitalizados no período que se refere a taxa nominal

Page 67: Caderno - Matemática Financeira

Exemplo 1

12% ao ano:

Taxa efetiva (anual): 12,68%

mês ao %112

%12 :efetiva Taxa ===

k

ji

1268,01)01,01(112

=−+=i

Page 68: Caderno - Matemática Financeira

Exemplo 4

5% ao ano, capitalização semestralmente:

Taxa efetiva: i = j / k = 5/2 = 2,5 a.s.

iq = (1+ 0,025)2/1 -1 =

Iq = 1,0506 – 1 = 0,0506

5,06% a.a.

Page 69: Caderno - Matemática Financeira

Cálculo da TAXA EFETIVA a partir da Taxa Nominal

A taxa efetiva (período referencial) equivalente à taxa nominal j capitalizada k vezes no período referencial é:

11 −

+=

k

k

ji

Page 70: Caderno - Matemática Financeira

Exemplo 5

Um banco faz empréstimos à taxa de 5% ao ano, mas adotando a capitalização semestral do juros.

Qual seria o juro pago por um empréstimo de $10.000,00, feito por 1 ano?

Page 71: Caderno - Matemática Financeira

Resolução

Juros = 5% a.a.K = 2 capital a.m.

a) FV = $10000INT = ?

N = 1 ano

Page 72: Caderno - Matemática Financeira

Taxa Efetiva Semestral

i = j/ki = 5%/2= 2,5% a.s

Montante ao final de 1 ano:FV = PV . (1 + i)N

FV = 1000 . (1 + 0,025)²

FV: $10506,24

Page 73: Caderno - Matemática Financeira

Cont.

INT = FV – PVINT = 10506,25 – 10000

INT = $506,25

Page 74: Caderno - Matemática Financeira

b)

Taxa efetiva anual

i = INT/PV = 506,24/10000 = 0,050625

OU

5,0625% a.a.

Page 75: Caderno - Matemática Financeira

Outra possibilidade?

• Taxa efetiva anual

iq = (1+ it)q/t - 1

iq = (1+ it)q/t - 1 = (1+0,025)² - 1 =

0,050625 ou 5,0625% a.a.

Page 76: Caderno - Matemática Financeira

Exercício 6

Calcular o montante resultante de um investimento de $1.200 aplicado por 3 anos a juros nominais de 16% a.a., capitalizados mensalmente

Page 77: Caderno - Matemática Financeira

Dados

PV = $1200Prazo = 3 anos

i = 16% a.a.

K= 12 Capitalização Mensal (em 1 ano)

FV = ?

Page 78: Caderno - Matemática Financeira

Resolução

• Montante no final de 3 anos:

FV = $1200(1+ 0,16/12)12.3

FV = $1200(1+ 0,16/12)36

FV = $1200(1+ 0,0133)36

FV = $1200(1,0133)36

FV = $1200 . 1,6109

FV = $1933,15

Page 79: Caderno - Matemática Financeira

Exercício 7

Qual o valor de resgate para um capital de $200 aplicado pelos seguintes prazos e taxas?

Page 80: Caderno - Matemática Financeira

Resolução

Page 81: Caderno - Matemática Financeira

a)

27 dias a 9% a.m., capitalização diária

FV = $200 (1 + 0,09/30)30 . 27/30

FV = $200 (1 + 0,003)27

FV = $200 (1,003)27

FV = $200 . 1,0842

FV = $216,85

Page 82: Caderno - Matemática Financeira

b)

6 meses a 28% a.a., capitalização mensal

FV = $200 (1 + 0,28/12)12 .

FV = $200 (1 + 0,023)6

FV = $200 (1,023)6

FV = $200 . 1,1462

FV = $229,23

Page 83: Caderno - Matemática Financeira

c)

8 meses a 18% a.s., capitalização mensal

FV = $200 (1 + 0,18/6)6. 8/6

FV = $200 (1 + 0,03)6 . 8/6

FV = $200 (1,03)8

FV = $200 . 1,12668

FV = $253,35

Page 84: Caderno - Matemática Financeira

HP

F N

28 E 12 / i

6 N

200 PV

FV

Page 85: Caderno - Matemática Financeira

Exercício 8

Vamos supor que tenham sido pesquisadas e encontradas as três taxas a seguir:

• Banco A: 15% a.a. capitalizados diariamente• Banco B: 15,5% a.a. capitalizados

trimestralmente• Banco C: 16% a.a. capitalizados anualmente

Qual dessas taxas será a melhor, caso você esteja pensando em abrir uma caderneta de poupança?

Page 86: Caderno - Matemática Financeira

Resolução

Banco A: 15% a.a. capitalizados diariamente

FV = 100 (1 + 0,15/360)360 . 1 ano

FV = 100 (1 + 0,0004)360

FV = 100 (1,0004)360

FV = 100 . 1,1618

FV = 116,18

Page 87: Caderno - Matemática Financeira

Resolução

Banco B: 15,5% a.a. capitalizados trimestralmente

FV = 100 (1 + 0,155/4)4 . 1 ano

FV = 100 (1+ 0,0388)4

FV = 100 (1,0388)4

FV = 100 . 1,1642

FV = $116,42

Page 88: Caderno - Matemática Financeira

Resolução

Banco C: 16% a.a. capitalizados anualmente

FV = 100 (1 + 0,16)¹ = 100 . 1,16 = $116

Page 89: Caderno - Matemática Financeira

Desconto

Page 90: Caderno - Matemática Financeira

Exemplo

Uma empresa emitiu uma duplicata de $ 8.000,00 , com vencimento em 03 de novembro. No dia 16 de agosto descontou o título num banco que cobra 2% a.m. de desconto bancário. Determinar o valor de desconto.

O desconto bancário segue a regra dos banqueiros.

FV = $ 8.000,00i = 2% a.m. = 0,02 a.m.n = 16/08 a 03/11 = 79 dias = 79/30 mesesDB = ?

Page 91: Caderno - Matemática Financeira

Como DB = FV * i * n , então:

DB = 8000 * 0,02 * ( 79/30 )

DB= $ 421,33

Page 92: Caderno - Matemática Financeira

Valor Atual ou Valor de Resgate:

PV = FV ( 1 - i * n )

Page 93: Caderno - Matemática Financeira

Exemplo

• Qual o valor de resgate do título do exemplo anterior ?

• PV = FV ( 1 – i * n )

• PV = 8.000,00 ( 1- 0,02 * 79/30 )

• PV = $ 7.578,67

Page 94: Caderno - Matemática Financeira

Capitalização Simples

Page 95: Caderno - Matemática Financeira

Resolução

INT = $421,33

PV . i . N = 421,33

7578,67 . i . 79/30 = $421,33

i = 2,11% a.m.

Page 96: Caderno - Matemática Financeira

Capitalização Composta

i = (FV/PV)1/n – 1

i = (8000/7578,67)30/79 -1

i = 2,0758% a.m.

Page 97: Caderno - Matemática Financeira

Desconto Simples para Séries de Mesmo Valor :

Vários títulos de mesmo valor apresentados a um banco, com vencimentos em datas diferentes podem ter seus valores de desconto (total) calculado. Sendo i a taxa de desconto, temos:

Page 98: Caderno - Matemática Financeira

DB1 = FV * i * n1

DB2 = FV * i * n2

...........................DBN = FV * i * nN

DBTOTAL = DB1 + DB2 + ..... + DBN

DBTOTAL = FV * i * n1 + FV * i * n2 + .... + FV * i * nN

DBTOTAL = FV * i * ( n1 + n2 + ... + nN )

DBTOTAL = FV * i * (n1 + nN ) * N/2

Page 99: Caderno - Matemática Financeira

ExemploQuatro duplicatas, no valor de $32.000,00 cada uma, com vencimentos para 90, 120, 150 e 180 dias, são apresentadas para desconto. Sabendo-se que a taxa de desconto cobrada pelo banco é de 3% ao mês, calcular o valor do desconto.

FV = $32.000,00 n1=90 dias = 3 mesesiD = 3% a.m. nN=180 dias = 6 mesesN = 4Desconto Total: DBTotal=FV.N.iD.(n1+nN)/2 =DBTotal=32.000 .4.0,03.(3+6)/2 = $17.280,00

Page 100: Caderno - Matemática Financeira

1 Resolução

D1 = FV . i . N1 = 32000 . 0,03 . 3 = 2.880,00D2 = FV . i . N1 = 32000 . 0,03 . 4 = 3.840,00D3 = FV . i . N1 = 32000 . 0,03 . 5 = 4 800,00D4 = FV . i . N1 = 32000 . 0,03 . 6 = 5.760,00

Dt = $17280,00

Page 101: Caderno - Matemática Financeira

2 Resolução

Dt = FV . i . (n1 + Nn) . n/2Dt = 32000 . 0,03 . ( 3 + 6 ) . 4/2

Dt = 960 . 18 = $17280,00

Page 102: Caderno - Matemática Financeira

ExemploUma empresa apresenta 6 títulos de mesmo valor para serem descontados em um banco. Sabendo-se que a taxa de desconto é de 2,8% ao mês, que os títulos vencem de 30 em 30 dias, a partir da data de entrega do boderô e que o valor líquido creditado a empresa foi de $25.000,00, calcular o valor de cada título.

PV = $25.000,00N=6 títulosn1=1 mêsn6=6 mesesiD=2,8% a.m.

Pede-se: FV

Page 103: Caderno - Matemática Financeira

Resolução

PVt = n . FV – Dt25000 = 6 . FV – FV . id . (n1 + n6) . n/225000 = 6 . FV – FV . 0,028 . (1 + 6) . 6/225000 = 6FV – 0,5880FV

5,4120FV = 25000

FV = $4619,16

Page 104: Caderno - Matemática Financeira

CALCULANDO O PV

PV = FV . (1 – i . N)

PV = 4619,36 . (1 – 0,028 . 1)

PV = $4490,02

Page 105: Caderno - Matemática Financeira

PV = $25.000,00N=6 títulosn1=1 mêsn6=6 mesesiD=2,8% a.m.Pede-se: FVPV = N.FV – DBTOTAL

25.000 = 6 . FV – DBTOTAL (*)Por outro lado,DBTotal=FV.N.iD.(n1+nN)/2 = FV . 6 . 0,028 . (1+6)/2DBTotal=0,5880 FV (**)Substituindo (**) em (*), temos que:25.000 = 6FV – 0,5880FVResolvendo a equação acima, temos: FV= $4.619,36

Page 106: Caderno - Matemática Financeira

Desconto Composto

PV = FV ( 1 – i )n

Page 107: Caderno - Matemática Financeira

Desconto Composto :

É o abatimento concedido sobre um título por seu resgate antecipado, com os critérios da capitalização composta.

Dcomp = FV – PVsendo FV o valor nominal e PV o valor do resgate do título.

PV = FV ( 1 – i )n

Page 108: Caderno - Matemática Financeira

Exercício

• Desconto Composto

Exemplo:FV = $1000Id = 2% am (Em meses para o vencimento)

PV = Valor de resgate ou creditado na conta (Valor presente)

Page 109: Caderno - Matemática Financeira

Resolução

Page 110: Caderno - Matemática Financeira

Exemplo

Um duplicata no valor de $25.000,00, com 90 dias para o seu vencimento, édescontada a uma taxa de 2% ao mês. Calcular o valor líquido creditado na conta e o valor do desconto concedido.

a) De acordo com o conceito de desconto Bancário.

b) De acordo com o conceito de desconto composto.

Page 111: Caderno - Matemática Financeira

Dados: FV=$25.000,00N=90 dias = 3 mesesId=2% ao mês

a) Desconto BancárioDB=FV.iD.n = 25.000 . 0,02 . 3 = $1.500,00Valor líquido creditado na conta:PV = FV – DB = 25.000–1.500= $23.500,00

b) No desconto Composto, o valor líquido creditado em conta é de:

PV = FV.(1 – iD)n = 25.000 . (1-0,02)3= $23.529,80O valor do desconto composto é de:DCOMP = FV – PV = 25.000 – 23.529,80 = $1.470,20.

Page 112: Caderno - Matemática Financeira

ANUIDADES OU SÉRIES DE

PAGAMENTOS

Page 113: Caderno - Matemática Financeira

Valores que são pagos ou recebidos através de uma sucessão de pagamentos ou recebimentos.Chama-se de amortização quando o objetivo de sucessivos pagamentos é a liquidação de uma dívida.Chama-se de capitalização quando o objetivo de sucessivos pagamentos é constituir um capital em data futura.

Page 114: Caderno - Matemática Financeira

Classificação das Séries de Pagamentos

As Séries de Pagamentos podem ser classificadas :

� Quanto ao prazo:Podem ser temporárias (duração limitada) ou perpétuas (duração ilimitada, como alugueis)

Page 115: Caderno - Matemática Financeira

Classificação das Séries de Pagamentos

� Quanto a valor:Podem ser constantes (pagamentos ou recebimentos em valores iguais) ou variáveis (pagamentos ou recebimentos com valores diferentes)

Page 116: Caderno - Matemática Financeira

Classificação das Séries de Pagamentos

� Quanto a forma:Imediatas: quando o primeiro pagamento ocorre no primeiro período. Subdividem-se em postecipada (primeiro pagamento se dáno final do primeiro período,ou seja, sem entrada) e antecipada (primeiro pagamento no início do primeiro período, ou seja, com entrada igual as demais prestações)

Page 117: Caderno - Matemática Financeira

Classificação das Séries de Pagamentos

Diferidas: quando o primeiro pagamento não ocorre no primeiro período. O período sem pagamentos é chamado de Período de Carência, e normalmente, nele são cobrados juros. Também se subdividem em postecipadas e antecipadas.

Page 118: Caderno - Matemática Financeira

Classificação das Séries de Pagamentos

� Quanto ao período:Podem ser periódicas (intervalos de tempo entre pagamentos iguais) ou não periódicas (intervalos de tempo entre pagamentos diferentes).

Page 119: Caderno - Matemática Financeira

Modelo Básico de Série

O modelo básico de Série de Pagamentos que vamos tratar é uma série:

• Temporária• Constante• Imediata• Periódica

Page 120: Caderno - Matemática Financeira

Exemplo

Determinar o montante ao final do 5o. mês de uma série de 5 pagamentos mensais, iguais e consecutivos de $ 1.000,00 a taxa de 1% ao mês, de forma postecipada.

Page 121: Caderno - Matemática Financeira

Solução

Esquematicamente temos a série representada pelo Diagrama do Fluxo de Caixa: FV

0 1 2 3 4 5

$1000

Page 122: Caderno - Matemática Financeira

´PASSO A PASSO - SOLUÇÃO

1a. parcela: FV1 = PV1(1+i)4

FV1 = 1000(1+0,01)4 = $ 1.040,602a. parcela: FV2 = PV2(1+i)3

FV2 = 1000(1+0,01)3 = $ 1.030,303a. parcela: FV3 = PV3(1+i)2

FV3 = 1000(1+0,01)2 = $ 1.020,104a. parcela: FV4 = PV4(1+i)1

FV4 = 1000(1+0,01)1 = $ 1.010,005a. parcela: FV5 = PV5(1+i)0

FV5 = 1000(1+0,01)0 = $ 1.000,00FVTOTAL= $ 5.101,01

Page 123: Caderno - Matemática Financeira

Juros Compostos

i = 10% a.m.

FV = PV . (1 + i)n

FV1 = 1000 . (1 + 0,1)4

FV2 = 1000 . (1 + 0,1)3

FV3 = 1000 . (1 + 0,1)2

FV4 = 1000 . (1 + 0,1)1____________________________

FVt = 1000 . (1,010 + 1,011 + 1,012 + 1,013 + 1,014)

Page 124: Caderno - Matemática Financeira

Resultado

FVt = $5101,01

Page 125: Caderno - Matemática Financeira

Juros Compostos

FVt = 1000 . (1,010 + 1,011 + 1,012 + 1,013 + 1,014)

FV = 1000 . 1,010 . 1,015 – 1/ 1,01 - 1

Page 126: Caderno - Matemática Financeira

Fórmula

FV = PMT . (1 + i)n – 1/ i

Fazendo com a fórmula:

FV = 1000 . (1 + 0,01)5 – 1/ 0,01

FV = $5101,01

Page 127: Caderno - Matemática Financeira

Fórmula

Page 128: Caderno - Matemática Financeira

2) Quantas prestações de $4.000,00 devo aplicar trimestralmente, à taxa de 7% ao trimestre, para acumular um montante de $100.516,08 no final de certo prazo? E qual esse prazo?

Page 129: Caderno - Matemática Financeira

Exercício II

PMT = $4000i = 7% a.t.

FV = $100.516,08

n = ?

Page 130: Caderno - Matemática Financeira

$ 4000

Page 131: Caderno - Matemática Financeira

Determinar:

FV = PMT . (1 + i)n – 1/ i

(1 + i)n – 1/ i = FV / PMT

(1 + i)n – 1= i . FV / PMT

(1 + i)n = 1 + i . FV / PMT

n. Ln (1+ i) = ln (1 + i . FV / PMT)

Page 132: Caderno - Matemática Financeira

Fórmula

N = ln (1 + i . FV / PMT) / Ln (1+ i)

Page 133: Caderno - Matemática Financeira

Séries de Pagamentos Postecipados

Page 134: Caderno - Matemática Financeira

Fórmula

Page 135: Caderno - Matemática Financeira

Exercícios

• A que taxa devo aplicar $15.036,28 por ano para que eu tenha um montante de $500.000,00 no final de 10 anos?

Page 136: Caderno - Matemática Financeira

Exercícios

$15036,28

$5000000

10

Page 137: Caderno - Matemática Financeira

Resolução

Séries Postecipada

PMT = $15036,28FV = $500.000N = 10 prestações anuaisI = ? A.A

Page 138: Caderno - Matemática Financeira

Determinar:

(1 + i)n – 1 / i = FV / PMT

(1 + i)10 – 1/ i = 500000/15036,38

(1 + i)10 – 1/ i = 33,2529

i = 25% a.a.

Page 139: Caderno - Matemática Financeira

1 - Exercício

• Quanto terei que aplicar mensalmente, àtaxa de 1% ao mês, para ter um montante de $1.000.000,00 no final de 20 anos, de acordo com os conceitos de termos postecipados?

Page 140: Caderno - Matemática Financeira

Resolução

PMT

Meses

$ 1.000.000

Page 141: Caderno - Matemática Financeira

Série Postecipada - Resolução

FV = $ 1.000.000N = 240 prestaçõesi = 1 % a.a

PMT = ?

Page 142: Caderno - Matemática Financeira

De valor de cada prestação?

PMT = FV . i / ( 1 + i)n – 1

PMT = 1000000 . 0,01/1,01240 – 1

PMT = $ 1010,86

Page 143: Caderno - Matemática Financeira

Na HP12C

G ENDF FIN1 i240 n1000000 FV

PMT = -1010,86 (CHS)

Page 144: Caderno - Matemática Financeira

AO DIA?

G ENDF FIN0,033173 i (i = (1+0,01)(i = (1+0,01)1/301/30 --1)1)

7200 n (240.30 = 7200 ao dia)(240.30 = 7200 ao dia)

1000000 FV

PMT = -33,53 (CHS)

Page 145: Caderno - Matemática Financeira

Outra maneira...

• Quanto terei que aplicar mensalmente, àtaxa de 1% ao mês, para ter um montante de $1.000.000,00 no final de 20 anos, de acordo com os conceitos de termos postecipados?

• E diariamente, à taxa equivalente a 1% ao mês? (ano comercial: 360 dias)

Page 146: Caderno - Matemática Financeira

Nova Fórmula

Page 147: Caderno - Matemática Financeira

FFC

Page 148: Caderno - Matemática Financeira

FVA

Page 149: Caderno - Matemática Financeira

FRC (i,n)

Page 150: Caderno - Matemática Financeira

Exemplo

Qual é o valor de um empréstimo que pode ser liquidado em 10 prestações mensais (vencidas ou postecipadas), àtaxa de 2% ao mês, sendo as quatro primeiras prestações de $3.000,00 e as 6 últimas de $4.000,00?

Page 151: Caderno - Matemática Financeira

Resolução

Page 152: Caderno - Matemática Financeira

Série 1

END

PMT = $3000N = 4 prestações mensaisi = 2% a.m.

Page 153: Caderno - Matemática Financeira

Valor atual

PV = PMT . (1 + i)n – 1 / i . (1 + i)n

PV = 3000 . 1,024 – 1 / 0,02 . 1,024

PV = $11.423,1861

Page 154: Caderno - Matemática Financeira

Série 2

PMT = $4000N = 6 prestações mesesI = 2% a.m

Page 155: Caderno - Matemática Financeira

Valor atual

PV = 4000 . 1,026 – 1 / 0,02 . 1,026

PV = 22.405,7236

Page 156: Caderno - Matemática Financeira

Data Zero

PV = 22405,7236/ 1,024

PV = $20699,4252

Page 157: Caderno - Matemática Financeira

Valor do empréstimo

X – 11423,1861 + 20699,4252 =

$32122,61

Page 158: Caderno - Matemática Financeira

Exercícios 1

Qual o montante, no final de 20 meses, resultante da aplicação de 14 parcelas iguais, mensais e consecutivas de $1.800,00 cada uma, sabendo-se que a taxa contratada é de 3,5% ao mês e que a primeira aplicação é feita “hoje”?

Page 159: Caderno - Matemática Financeira

Exercícios 1

Page 160: Caderno - Matemática Financeira

Série Antecipada

PMT = $1800N = 14 Prest.I = 3,5% a.m.FV = ?

Page 161: Caderno - Matemática Financeira

Montante no final do 14º mês

FV = (1+i) . PMT (1+i)n – 1/i

FV = 1,035.1800.1,03514-1/0,035

$32432,23

Page 162: Caderno - Matemática Financeira

Montante no final do 20º mês

FV = PV . (1+i)n

= $32932,23 . 1,035

=

$40482,11

Page 163: Caderno - Matemática Financeira

HP 12C

G begF fin

1800 CHS PMT

3,5 i14 n

FV = 32932,23

Page 164: Caderno - Matemática Financeira

HP 12C

F FIN

32932,23 CHS PV

6 n3,5 i

FV $40482,11

Page 165: Caderno - Matemática Financeira

Exercício 2

Page 166: Caderno - Matemática Financeira

Série Antecipada

FV = $20000N = 12 prestações mensais

I = 3% a.m

PMT = ?

Page 167: Caderno - Matemática Financeira

Valor de cada prestação

PMT = 1/(1+i) . FV . i/(1+i)n – 1

PMT = 1/1,03 . 20000 . 0,03/1,0312 – 1

PMT = $ 1368,20

Page 168: Caderno - Matemática Financeira

HP 12C

G BEGF FIN

20000 FV

3 I12 N

PMT = -1368,20

Page 169: Caderno - Matemática Financeira

Exercício 3

Um empréstimo de $50.000,00 deve ser liquidado em 12 prestações iguais. Sabendo-se que a primeira vence no final do 4o mês e que a taxa de juros cobrada pela instituição financeira éde 5% ao mês, determinar o valor da prestação.

Page 170: Caderno - Matemática Financeira
Page 171: Caderno - Matemática Financeira

Série Antecipada

PMT = ?PV = $60775,31

N = 12

I = 5% a.m

Page 172: Caderno - Matemática Financeira

Valor de cada prestação

PMT = 1/(1+i) . PV . i.(1+i)n/(1+i)n-1

PMT = 1/1,05 . 60775,31 . 0,05 . 1,05/1,0512 – 1

PMT = $6530,48

Page 173: Caderno - Matemática Financeira

HP12C

F fin50000 pv4 n5 i

FV = $-60775,31

Page 174: Caderno - Matemática Financeira

Série de Pagamentos Antecipado

Exemplo:

Um financiamento de $40.000 será pago em oito prestações mensais de $6.413,44. O início do pagamento das prestações será logo ao término de um determinado período de carência. Considerando juros efetivos de 3% ao mês, determinar o período de carência.

Page 175: Caderno - Matemática Financeira

Dados

Page 176: Caderno - Matemática Financeira

Dados

PMT = $6413,44N = 8 prestações mensaisi = 3% a.m.

Page 177: Caderno - Matemática Financeira

Fórmula

Valor atual

PV = (1+i) . PMT . (1+i)n – 1 / i . (1+i)n

Page 178: Caderno - Matemática Financeira

Resolução

PV: 1,03 . 6413,44 . 1,038 – 1 / 0,03 . 1,038

PV: 46370,9859

Page 179: Caderno - Matemática Financeira

Período de Carência

Page 180: Caderno - Matemática Financeira

HP12C

G BEGF FIN

6413,44 CHS PMT8 N3 i

PV 46370,9859F FIN

46370,9859 CHS FV40000 PV

3 iN = 5,00

Page 181: Caderno - Matemática Financeira

Questão

Exemplo:

Um bem cujo valor à vista é de $10.000 serápago por meio de uma entrada de 20% mais 13 prestações antecipadas mensais de $800 cada e mais um pagamento final junto com a última prestação. Considerando que são aplicados juros efetivos de 4% ao mês e que há um período de carência de três meses, calcular o valor do pagamento final de modo que a dívida seja liquidada.

Page 182: Caderno - Matemática Financeira

Dados

Page 183: Caderno - Matemática Financeira

Dados

Série antecipada

PMT = $800N = 13 prestações mensaisi = 4% a.m.

Page 184: Caderno - Matemática Financeira

Fórmula

Valor atual:

PV = (1+i) . PMT . (1+i)n – 1 / i . (1+i)n

Page 185: Caderno - Matemática Financeira

Resolução

PV: 1,04 . 800 . 1,0413 – 1 / 0,04 . 1,0413

PV: 8308,06 (Mês 3)

Page 186: Caderno - Matemática Financeira

Data Zero

PV = FV / (1 + i)n

PV = 8308,059 / 1,04³

PV = $7385,83

Page 187: Caderno - Matemática Financeira

Resta uma dívida (data 0)

Parcela = 8000 – 7385,83 = $614,1658

Data 15X = 614,1658 . 1,0415

X = $1106,08

Page 188: Caderno - Matemática Financeira

Solução 2

Data 15

FV = 8000 . 1,0415

FV = $14407,5480

Page 189: Caderno - Matemática Financeira

Continuação

FV = PMT . (1 + i)n – 1 / i

FV = 800 . 1,0413 – 1 / 0,04

FV = 13301,47

X = 14407,5480 – 13301,47 = $1106,08

Page 190: Caderno - Matemática Financeira

MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE FLUXO DE CAIXA

Page 191: Caderno - Matemática Financeira

Exemplo

Uma pessoa tem as seguintes opções para investimento de $800.000,00 :

1. Receber $1.000.000,00 em 2 anos.2. Receber 4 pagamentos semestrais de

$230.000,00.3. Receber 24 pagamentos mensais de

$38.000,00.Qual a melhor alternativa se a taxa de

retorno (atratividade) é de 12% aa ?

Page 192: Caderno - Matemática Financeira

Solução

1. FV = PV (1+i)n

1.000.000 = PV (1+0,12)2

PV = $ 797.193,88

NPV = 797.193,88 – 800.000,00

NPV = - $ 2.806,12

Page 193: Caderno - Matemática Financeira

Solução

2. Série de pagamentos postecipada, com:

PMT = $ 230.000,00n = 4 parcelasi = 5,83% as

Calculando-se PV e NPV, temosPV = $ 800.085,57

NPV = $ 85,75

Page 194: Caderno - Matemática Financeira

Solução

3. Série de pagamentos postecipada, com:

PMT = $ 38.000,00n = 24 parcelas

i = 0,9488793% am Calculando-se PV e NPV, temos:

PV = $ 812.182,61NPV = $ 12.182,61

Portanto a melhor alternativa é a 3.

Page 195: Caderno - Matemática Financeira

Se NPV é negativo significa que as despesas são maiores que as receitas.

Se NPV é positivo significa que as receitas são maiores que as despesas.

Se NPV é igual a zero significa que as receitas e as despesas são iguais

Page 196: Caderno - Matemática Financeira

Valor presente líquido VPL ou NPV

Page 197: Caderno - Matemática Financeira

Receita Atualizada

VLP = CF1/(1+i)¹ + CF2/(1+i)² + CF2/(1+i)³ + CF2/(1+i)4 - CF0

Page 198: Caderno - Matemática Financeira

Taxa Interna de Retorno (IRR)

O Método da Taxa Interna de Retorno éaquele que permite encontrar a remuneração do investimentos em termos percentuais.Encontrar a taxa Interna de Retorno éencontrar a taxa de juros que permite igualar receitas e despesas na data zero.

Page 199: Caderno - Matemática Financeira

A Taxa Interna de Retorno é a taxa de desconto que leva o valor presente das entradas de caixa de um projeto a se igualar ao valor presente das saídas de caixa.Se NPV = 0, então:

Page 200: Caderno - Matemática Financeira

Exercício

VPL

Page 201: Caderno - Matemática Financeira

Exemplo

Um máquina no valor de $ 10.000,00 proporcionará receitas anuais de $ 3.500,00 , $ 2.800,00 , $ 2.300,00 e $ 1.700,00 , quando poderá ser revendida por $ 2.000,00. Imaginado-se uma taxa mínima de retorno de 7% aa, o investimento deve ser realizado?

Page 202: Caderno - Matemática Financeira

Resolução

Page 203: Caderno - Matemática Financeira

Resolução

i = 2%

VLP = 3500/1,07¹ + 2800/1,07² + 2300/1,07³+ 3700/1,74 – 10000 = $416,85

Valor ($416,85) > 0

Se o valor final for maior que zero, vale a pena!

Page 204: Caderno - Matemática Financeira

HP12C

F reg10000 CHS g CF03500 g CFj2800 g CFj2300 g CFj3700 g CFj7 iF NPV = 416,85

Page 205: Caderno - Matemática Financeira

Solução

O Fluxo de Caixa desse investimento pode ser representado da seguinte forma:

$ 3.500 $ 2.800 $ 2.300 $ 3.700

0 1 2 3 4

-$ 10.000

Page 206: Caderno - Matemática Financeira

Solução – Através do NPVEm primeiro lugar o fluxo deve ser introduzido na calculadora. Para isso é necessário lembrar que os valores (receitas e despesas) devem ser introduzidos em ordem cronológica:

f Reg10000 CHS g CF0

3500 g CFj2800 g CFj2300 g CFj3700 g CFj

7 if NPV

Page 207: Caderno - Matemática Financeira

Solução – Através do NPV

O resultado do NPV é $ 416,85 , o que significa que as estimativas de receitas são maiores que o investimento inicial, valendo a pena ser feito.

Page 208: Caderno - Matemática Financeira

Solução – Através da IRR

A situação também poderia ser resolvida através da taxa interna de retorno:

f Reg10000 CHS g CF0

3500 g CFj

2800 g CFj

2300 g CFj

3700 g CFj

f IRR

Page 209: Caderno - Matemática Financeira

Solução – Através da IRR

A resposta encontrada para IRR é 8,84% aa, maior que a taxa mínima de retorno exigida (7% aa), o que significa que o investimento deve ser feito.

Page 210: Caderno - Matemática Financeira

Exercício

Uma taxa foi liquidada em quatro prestações anuais de $25331,01, $11200,00, $137250,00, $87500,00 respectivamente, vencimento final de cada ano. Sabendo-se que a taxa de juros cobrada for de 30% a.a., calcular o valor da dívida.

Page 211: Caderno - Matemática Financeira

Resolução

Page 212: Caderno - Matemática Financeira

HP12C

F reg0 g CF025331,01 g CFj11200 g CFj137250 g CFj83500 g CFj30 iF NPV = 117.819,84

Page 213: Caderno - Matemática Financeira

VALOR PRESENTE LÍQUIDO

VPL ou NPV

Page 214: Caderno - Matemática Financeira

VPL = SOMAN J = 1 CFJ / (1+i)j - CF0

Page 215: Caderno - Matemática Financeira

VPL = CF1/(1+i)1 + CF2/(1+i)2 ...

Exemplo

Dado o fluxo de caixa de um projeto, avalie a viabilidade, sabendo-se que o investidor pode aplicar no mercado financeira à raxa de 15% ao anos.

Page 216: Caderno - Matemática Financeira

Modelo

Page 217: Caderno - Matemática Financeira

VPL (15%) = 145/1,15¹ + 184/1,15² + 210/1,15³+ 350/1,154 + 421,5/1,155

= $312,97 milhares de reais > 0

Projeto é viável

Page 218: Caderno - Matemática Financeira

NA HP12C

F REG500 CHS G CF0145 G CFJ210 G CFJ350 G CFJ421,5 G CFJ15 IF NPV = 312,969

Page 219: Caderno - Matemática Financeira

Taxa de Retorno (TIR ou IRR)

SOMAN J = 1 = CFj/ (1 + i)j = CF0

i = TIR

VPL(TIR) = 0

Page 220: Caderno - Matemática Financeira

Exemplo

Determine a TIR de problema anterior e utilizar o resultado para avaliar a viabilidade do projeto.

145/(1+i)¹ + 184/(1+i)² + 210/(1+i)³ + 350/(1+i)4 + 421,5/(1+i)5

= 500

Page 221: Caderno - Matemática Financeira

TIR = 34,37% a.a. > 15% a.a. O PROJETO É VIÁVEL

F REG500 CHS G CF0145 G CFJ210 G CFJ350 G CFJ421,5 G CFJ

F IRR = 34,367

Page 222: Caderno - Matemática Financeira

Exercício 13 – Lista 4

Page 223: Caderno - Matemática Financeira

Dívida na dada 6

Page 224: Caderno - Matemática Financeira

Resolução

FV = PV . (1 + i)n

FV = 185428,78 . (1 + i)6

PV

PV = PMT . (1+i)12 – 1/i . (1+i)12

185428,78 = (1+i)6 = 25000 (1+i)12/ i.(1+i)12

Page 225: Caderno - Matemática Financeira

IRR

HP 12C

F reg185428,78 CHS g CF0

0 g CFj6 g NJ

25000 g CFJ12 g NJ

F IRR 4

Page 226: Caderno - Matemática Financeira

Exemplo

Um banco credita $200,16 na carta de um cliente, referente ao desconto de 3 duplicatas de valores. R$ 100, R$ 120 e R$ 80 com prazos.42, 63 e 84 dias, respectivamente.Determinar a taxa mensal de juros, cobrada nessa operação,

Page 227: Caderno - Matemática Financeira

Exercício – Calculando a IRR

Page 228: Caderno - Matemática Financeira

HP12C

F REG260,18 CHS G CF00 G CFJ100 G CFJ120 G CFJ80 G CFJ

F IRR = 4,9% em 21 dias

Page 229: Caderno - Matemática Financeira

Taxa

i = (1+0,05)30/21 – 1 = 7,22% a.m

Page 230: Caderno - Matemática Financeira

VPL e TIR

Exemplo: Considere as seguintes alternativas de investimento mutualmente exclusivas:

Page 231: Caderno - Matemática Financeira

Exercício

Considerando um custo do capital de 10% a.a., pede-se:

Page 232: Caderno - Matemática Financeira

A) Calcular o VPL para cada alternativa:

VPL(i) = 25/(1+i)¹ +

125/(1+i)² = -100

VPL(10%) = 25/1,1¹ + 25/1,1² = $26,03

Page 233: Caderno - Matemática Financeira

HP12C

F REG100 CHS g CF0

25 g CFj125 g CFj

10 iF NPV 26,03

Page 234: Caderno - Matemática Financeira

b) Determinar a TIR para cada alternativa:

TIR?25/(1,1)¹ + 25/(1,1)² = 100

TIRa = 25% a.a.

Page 235: Caderno - Matemática Financeira

HP12C

F REG100 CHS g CF0

25 g CFj125 g CFj

F IRR 25,00

Page 236: Caderno - Matemática Financeira

b)

• VPL(i) = 95/(1+i)¹ + 45/(1+i)² = -100

• VPL(10%) = 95/1,1¹ + 45/1,1² = $23,55

Page 237: Caderno - Matemática Financeira

b)

TIR?

95/(1+i)¹ + 45/(1+i)² = 100

TIRb = 29,70% a.a.

Page 238: Caderno - Matemática Financeira

c) Para cada alternativa (A e B), construa o gráfico de VPL versus custo do capital (i). Represente os dois gráficos num mesmo

plano cartesiano.

Page 239: Caderno - Matemática Financeira

c)ALTERNATIVA b ALTERNATIVA a

Page 240: Caderno - Matemática Financeira

Gráfico

Page 241: Caderno - Matemática Financeira

Gráfico

Quando a reta intercepta o eixo do custo do capital, define a taxa de retorno.

Page 242: Caderno - Matemática Financeira

d) Utilize os gráficos para estabelecer qual deve ser a

alternativa escolhida. Justifique sua reposta.

Page 243: Caderno - Matemática Financeira

d)

Considerando o custo do capital de 10%a.a., seleciona-se a alternativa A, pois:

VPLb (10%) > VPLa (10%)

Page 244: Caderno - Matemática Financeira

O valor de cada prestação é composto por: uma parcela de juros e uma de capital (amortização).

Page 245: Caderno - Matemática Financeira

Sistema de Amortização

Sistema Francês de Amortização (PRICE)

Este sistema consiste em um plano de amortização de uma dívida em prestações periódicas, iguais e sucessivas, dentro de conceito de termos postecipados.

Page 246: Caderno - Matemática Financeira

Exemplo

Um banco empresta $10000, com taxa de 10% a.m., para ser pago em 5 parcelas, sem carência, calculada pela tabela PRICE.Pede-se: elaborar a planilha de financiamento

Page 247: Caderno - Matemática Financeira

Valor de cada prestação?

PMT = PV . i.(1+i)n/(1+i)n – 1

PMT = 10000. 0,1 . 1,15/1,15 – 1

PMT = $2.637,97

Page 248: Caderno - Matemática Financeira

1º Parcela de Juros

INT1 = i . PV

INT1 = 0,10 . 10000 = $1000

Page 249: Caderno - Matemática Financeira

1º Parcela da Armotização

A1 = PMT - INT1

A1 = 2637,97 – 1000 = $1637,97

Page 250: Caderno - Matemática Financeira

Saldo devedor após o pagamento da 1º parcela

PV1 = PV0 - A1 = 10000 – 1637,97 = $8362,03

Page 251: Caderno - Matemática Financeira

TABELA

Page 252: Caderno - Matemática Financeira

Calculando o Juros:

Page 253: Caderno - Matemática Financeira

Calculando Amortização:

Page 254: Caderno - Matemática Financeira

Calculando o Saldo devedor:

Page 255: Caderno - Matemática Financeira

Saldo devedor, logo após o pagamento da 1º parcela.

Page 256: Caderno - Matemática Financeira

PV3

PV3 = PMT . (1+i)5-3 -1/i . (1+i)5-3

PV3 = 2637,97 1,1² - 1/ 0,1 . 1,1²

PV3 = $4578,32

Page 257: Caderno - Matemática Financeira

Saldo devedor logo após o pagamento da t-ésima prestação

PVt = PMT . (1+i)n-t – 1/i . (1+i)n-t

Page 258: Caderno - Matemática Financeira

Fórmula

At = A1 . (1+i)t-1

Cresce exponencialmente

Page 259: Caderno - Matemática Financeira

Amortização

A1 = A1 . 1,1²

A3 = PV2 - PV3

Page 260: Caderno - Matemática Financeira

Verificação de Taxa (Amortização x Taxas)

A2 / A1 = 1801,77 / 1637,97 = 1,10

Aumenta 10%

Page 261: Caderno - Matemática Financeira

HP12C

F finG end10000 CHS PV10 I5 NPMT $2637,97

CONTINUANDO....

Page 262: Caderno - Matemática Financeira

HP12C

PMT $2637,97

1 f AMORT 1000

X y 1637,97

RLC PV -8362,03

Page 263: Caderno - Matemática Financeira

SAC

Page 264: Caderno - Matemática Financeira

Sistema de Amortização Constante (SAC)

As amortização periódicas são todas iguais.

As prestações são periódicas, sucessivas e descrentes em progressão aritmética (PA).

As prestações são pagos no final de cada periódo.

Page 265: Caderno - Matemática Financeira

Exemplos

Um banco empresta R$ 10000 com taxa de 10% a.m., para ser pago em cima parcelas mensais, sem prazos de carência, calculando pelo sistema de Amortização constante (SAC).Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento.

Page 266: Caderno - Matemática Financeira

Resolução

Page 267: Caderno - Matemática Financeira

Resolução

Page 268: Caderno - Matemática Financeira

Tabela

Page 269: Caderno - Matemática Financeira

Juros

Page 270: Caderno - Matemática Financeira

PMT

Page 271: Caderno - Matemática Financeira

Como encontrar alguns valores das prestações?

Page 272: Caderno - Matemática Financeira

P.A.

As prestações descrevem em P.A. com razão r = i . PV0 / n

PMTt = PMT1 – (t – 1) . r

Page 273: Caderno - Matemática Financeira

Valor total pago:

Page 274: Caderno - Matemática Financeira

Último termo de juros:

INTn = r

PMTn = A + R

PMTn = PV0 / n + i . PV0 / n

Page 275: Caderno - Matemática Financeira

Lista 6 – Exercício da Caixa Econômica

Page 276: Caderno - Matemática Financeira

Dados

12) PV0 = $864.000n = 120 prestações mensais

SAC

i = 1% a.m.

Page 277: Caderno - Matemática Financeira

a)

PMT1 = ?PMT103 = ?

Page 278: Caderno - Matemática Financeira

Valor da Amortização

A = PV0 / n = 864000 / 120 = $7200

Page 279: Caderno - Matemática Financeira

Resolução a)

PMT1 = A + INT1

PMT1 = A + PV0

PMT1 = 7200 + 0,01 . 864000

PMT1 = 7200 + 8640 = $15840

Page 280: Caderno - Matemática Financeira

PMT103 = PMT1 - 102 . r

r = i . PV0 / n = 0,01 . 7200 = 72

PMT1 = $15840

PMT103 = 15840 - 102 . 72

PMT103 = $8496,00

Page 281: Caderno - Matemática Financeira

b)

Valor total de juros pagos:

Page 282: Caderno - Matemática Financeira

Total do valor pago de juros:

Page 283: Caderno - Matemática Financeira

Resultado b)

Page 284: Caderno - Matemática Financeira

OBS:

PRICETodas as parcelas são iguais.Amortização cresce exponencialmente

SACParcelas diferentes. (Decrescente)Amortização todos iguais.

Page 285: Caderno - Matemática Financeira

Gráfico

Page 286: Caderno - Matemática Financeira

PRICE

PMT = VERDEA = ROSA

SEMPRE POSTECIPADO

Page 287: Caderno - Matemática Financeira

SAC

PMT = AMARELAA = AZUL

Page 288: Caderno - Matemática Financeira

Valor do Financiamento

r = i . PV0 / n

300 = i . 3000i = 15% a.m.

Page 289: Caderno - Matemática Financeira

Curva “Price” x Reta “Seca”

SALDOS DEVEDORES

0,00

2.000,00

4.000,00

6.000,00

8.000,00

10.000,00

12.000,00

0 1 2 3 4 5 6

NÚMERO DA PARCELA

SA

LD

OS

DE

VE

DO

RE

S

Saldo Devedor Price

Saldo Devedor SAC

Page 290: Caderno - Matemática Financeira

Amortização

Prestações e Amortizações

0,00

500,00

1.000,00

1.500,00

2.000,00

2.500,00

3.000,00

3.500,00

4.000,00

0 20 40 60 80 100 120 140

Número de Ordem das Prestações

Val

ore

s em

Rea

is

Amortização PRICE

Prestação PRICE

Amortização SAC

Prestação SAC

Amortização SAM

Prestação SAM

Page 291: Caderno - Matemática Financeira

Devedor

Saldo Devedor

0,00

20.000,00

40.000,00

60.000,00

80.000,00

100.000,00

120.000,00

140.000,00

0 20 40 60 80 100 120

Número de Ordem das Prestações

Val

ore

s em

Rea

is

Saldo Devedor PRICE

Saldo Devedor SAC

Saldo Devedor SAM

Page 292: Caderno - Matemática Financeira

Exercício

• Um empréstimo de $2000, contratado a juros efetivos de 1% ao mês, de acordo com tabela PRICE. Ele será pago em trÊs prestações mensais com carência de dois meses. Durante a carência os juros efetivos são capitalizados e incorporados ao principal. Construir a planilha de amortização.

Page 293: Caderno - Matemática Financeira

HP 12C

F FING END2040,20 CHS PV3 N1 IPMT = 693,71

Page 294: Caderno - Matemática Financeira

HP12C

PMT 693,71

1 f AMORT 20,40

X y 673,31

RLC PV 1366,89

Page 295: Caderno - Matemática Financeira

Planilha