matemática ii

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAÑETELey de Creación N° 29488

Resolución de Autorización N0 666-2013-CONAFU

= Integral Indefinida

Mg. Roger Díaz Villegas

MATEMÁTICA II

SESIÓN 1

LA ANTIDERIVADA Y LA

INTEGRAL INDEFINIDA

Logros de Aprendizaje

Utiliza diversos métodos para determinar las integrales indefinidas elementales.

Interpreta situaciones inversas de la derivada como integral indefinida.

La antiderivada y la Integral Indefinida

Dada una función ¿Será posible determinar una función cuya derivada sea ?…¿Habrá otra, o será la única?

Recordemos que: es una constante)Así que: Esto arroja un conjunto de respuestas. Esto es:

…

A continuación vamos a enfocarnos en el siguiente problema

general:

Dada una función , tenemos que hallar una función tal que .

Llamaremos a una antiderivada de

El término antiderivada se refiere al hecho de que hallar es el

proceso opuesto a derivar.


Ejemplo 1: Dada las siguientes funciones:

Determine la antiderivada de las funciones , y .

Nota: A la expresión se le denomina Antiderivada General.

Ejemplo 2: Compare la gráfica de y la gráfica de la antiderivada

general .


Definición 1 (Antiderivada): Sea una función que depende de

Una función es llamada antiderivada de si


RESUMEN


RESUMEN


…

Todas ellas son antiderivadas o primitivas de:

𝑓 (𝑥 )=3 𝑥2

𝑭𝒏 (𝒙 )=𝒙𝟑+𝑪Antiderivada General

El conjunto de todas las antiderivadas ( ) se denomina: la Integral Indefinida de respecto a , denotada por:

CxFdxxf )()(Símbolo de Integral

Función integrando

Diferencial de x

Una antiderivada de f

Constante de integración


Definición 2 (Integral Indefinida): Dada una función y una

constante arbitraria C, la expresión

Es llamada Integral Indefinida de


Ejemplo. Determine las siguientes integrales indefinidas

f.

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA

1. INTEGRAL INDEFINIDA DE POTENCIAS

Ejemplos. Determine las siguientes integrales indefinidas


𝒙𝒏𝒅𝒙=𝒙𝒏+𝟏

𝒏+𝟏 +𝑪 ,∀𝐧 ≠−𝟏


2. INTEGRAL INDEFINIDA DE

Ejemplos. La integral indefinida de las siguientes funciones es

En general, dada una función , su integral indefinida es: …


𝒌 𝒇 (𝒙)𝒅𝒙=𝒌 𝒇 (𝒙)𝒅𝒙


3. INTEGRAL INDEFINIDA

Ejemplos. La integral indefinida de las siguientes funciones es


CUIDADO:


3. INTEGRAL INDEFINIDA (Aplicación extra - matemático de la

integral indefinida)

Ejemplos. (Crecimiento de un árbol). Un agrónomo descubre que

cierto tipo de árbol crece de tal forma que después de su altura cambia

a razón de

Si el árbol tenía de altura cuando se plantó ¿cuánto medirá dentro de

27 años?


OTRAS FÓRMULAS BÁSICAS DE LA INTEGRAL INDEFINIDA


4. 5. +c, en general +c

6. , en general

7. en general

8. +C

9. +C

10. + C

11.

OTRAS FÓRMULAS BÁSICAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Ejemplo 1. Determine la antiderivada de las siguientes funcionesa. c.

e.

h.

Ejemplo 2. Determine la siguiente integral indefinida



Ejemplo 3. Determine las siguientes integrales indefinidas



TRABAJO EN GRUPO. Determine las siguientes integrales

indefinidas


Problemas. Obtenga la antiderivada indicada:

1.

2.

3.

4.

5.


(𝑥2+4 )5 2𝑥 𝑑𝑥

REGLA GENERAL INTEGRALES

INMEDIATAS POR SUSTITUCIÓN

Ejemplos. Evalúe las siguientes integrales indefinidas

1.

2.

3.

4.

REGLA GENERAL: INTEGRALES INMEDIATAS POR SUSTITUCIÓN

a.


1. 2.

3. 4.

5.


b.


1. 2.

3. 4.


c. +c


1.

2.


d. , e.


1.

2.


f. . +C

g. +C


1.


h. + C

i. + C



j.



k. l.

m.

n.

o.

p.


Ejemplos. Evalúe las siguientes integrales

indefinidas.


Evaluación. Verifiquemos lo aprendido (objetivos específicos)

1. Evalúe las siguientes integrales

2. (Habilidad para aprender). Un estudiante de la UNDC comienza a estudiar un tema de

Matemática II por primera vez, quizás no sea muy hábil, pero con el tiempo se aproximará a

los límites de su habilidad. Sea T el tiempo necesario (en días) para que el estudiante

aprenda una cantidad L de temas. Se sabe que la razón de cambio del tiempo respecto a la

cantidad de temas es

Donde son constantes positivas. Si para aprender tres temas se necesita un tiempo de días,

¿cuántos días se necesitan para aprender 4 temas?

Integrales inmediatas por sustitución

PRÓXIMAMENTE

matemática ii

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