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  • ETI / EI, 1o Ano

    UC: Anlise Matemtica II

    Caderno 1 : Integrais Duplos e Integrais de Linha(Duplos, Volumes, Mudana de Coordenadas, Integrais de Linha)

    Elaborado de: Diana Aldea Mendes e Rosrio Laureano

    Departamento de Mtodos Quantitativos

    Fevereiro de 2011

  • Captulo 1

    Integrais Duplos

    1.1 Integrais duplos - definio e interpretao

    A definio de integral duplo (multiplo) uma generalizao da de integral a uma s

    varivel. Em particular, o Teorema de Fubini, permite relacionar um integral definido

    em Rn (integral multiplo) com o integral em R. Nomeadamente, um integral multiplo

    pode ser calculado por integraes sucessivas numa varivel considerando as restantes

    fixas (constantes). O integral duplo (multiplo) quando explicitado por intermdio de dois

    (vrios) integrais simples designa-se por integral iterado.

    Seja f uma funo de duas variveis, z = f(x, y), que seja contnua numa certa regio

    limitada e fechada D do xOy-plano. Tem-se D Df R2. Na prtica, para calcular um

    integral duploRR

    D f(x, y)dxdy, temos que seguir os seguintes passos:

    1. Representar graficamente o domnio de integrao D

    2. Estudar a regularidade do domnio de integrao D e determinar a ordem de inte-

    grao (dxdy ou dydx)

    3. Explicitar os limites de integrao e escrever o integral duplo na forma iterada

    4. Calcular o integral duplo respeitando a ordem de integrao

    A principal dificuldade nos integrais duplos, consiste em, dado um domnio de inte-

    graoD, determinar os limites de integrao em cada um dos integrais simples envolvidos.

    1

  • 2 Integrais Duplos

    Definio 1.1.1 O domnio D R2 diz-se regular segundo o eixo dos yy (no sentido do

    eixo dos yy) se

    1. Qualquer vertical que passe por um ponto interior de D intersecta a sua fronteira

    em apenas dois pontos

    2. D limitado pelas curvas y = g1(x) e y = g2 (x) e pelas rectas x = a e x = b, sendo

    g1(x) g2 (x) e a b.

    Se o domnio de integrao D regular no sentido do eixo dos yy (ou segundo o eixo

    dos yy), ento a ordem de integrao dydx e o integral duplo explicita-se (calcula-se)

    por ZZDf(x, y)dxdy =

    Z ba

    Z g2(x)g1(x)

    f(x, y)dy

    !dx =

    Z badx

    Z g2(x)g1(x)

    f (x, y) dy.

    Graficamente, temos um domnio de integrao regular no sentido do eixo dos yy, em cada

    uma das seguintes situaes:

    x x

    y y

    a b

    y=g1(x)

    y=g2(x)

    D

    D

    a b

    y=g1(x)

    y=g2(x)

    x x

    y y

    a b

    y=g1(x)=d

    y=g2(x)=c

    a b

    y=g1(x)

    y=g2(x)

    D D

    Deve ficar claro que o clculo de um integral duplo requer o clculo de 2 integrais

    simples pela ordem indicada: primeiro o integral de f(x, y) em relao varivel y (con-

  • 1.1. INTEGRAIS DUPLOS - DEFINIO E INTERPRETAO 3

    siderando x como constante) desde y = g1(x) (a fronteira inferior do domnio de integrao

    D) at y = g2(x) (a fronteira superior de D); depois o integral da expresso obtida em

    relao varivel x no intervalo [a, b] ,isto , do extremo esquerdo do domnio de integrao

    D at ao extremo direito de D.

    Definio 1.1.2 O domnio D R2 diz-se regular segundo o eixo dos xx (no sentido do

    eixo dos xx) se

    1. Qualquer horizontal que passe por um ponto interior de D intersecta a sua fronteira

    em apenas dois pontos

    2. D limitado pelas curvas x = h1(y) e x = h2 (y) e pelas rectas y = c e y = d, sendo

    h1(y) h2 (y) e c d.

    Se o domnio de integrao D regular no sentido do eixo dos xx (ou segundo o eixo

    dos xx), ento a ordem de integrao dxdy e o integral duplo explicita-se (calcula-se)

    por ZZDf(x, y)dxdy =

    Z dc

    Z h2(y)h1(y)

    f(x, y)dx

    !dy =

    Z dcdy

    Z h2(y)h1(y)

    f (x, y) dx.

    Graficamente, temos um domnio de integrao regular no sentido do eixo dos xx, em

    cada uma das seguintes situaes:

    x x

    y y

    a b

    x=h1(y) x=h2(y)

    y=c

    y=d

    c

    d

    c

    d y=d

    y=c

    x=h1(y)

    x=h2(y)

    DD

  • 4 Integrais Duplos

    x x

    y y

    a b

    x=h1(y)=a x=h2(y)=b

    D Dy=c

    y=d

    c

    d

    c

    d y=d

    y=c

    x=h1(y)

    x=h2(y)

    Neste caso, calcula-se primeiro o integral de f(x, y) em relao varivel x (con-

    siderando y como constante) desde x = h1(y) (a fronteira esquerda do domnio de inte-

    graoD) at x = h2(y) (a fronteira direita deD); depois o integral da expresso obtida em

    relao varivel y no intervalo [c, d] ,isto , do extremo inferior do domnio de integrao

    D at ao extremo superior de D.

    Tem-se sempre queZ ba

    Z g2(x)g1(x)

    f(x, y)dy

    !dx =

    ZZDf(x, y)dxdy =

    Z dc

    Z h2(y)h1(y)

    f(x, y)dx

    !dy,

    ou seja, indiferente da ordem de integrao utilizada, o valor do integral duplo o mesmo.

    Propriedades

    Caso existam os integrais duplos so vlidas as seguintes propriedades operacionais:ZZD[f(x, y) g(x, y)] dxdy =

    ZZDf(x, y)dxdy

    ZZDg(x, y)dxdy;

    ZZDcf(x, y)dxdy = c

    ZZDf(x, y)dxdy, para c R;

    ZZDh(x)f(x, y)dxdy =

    Z bah(x)

    Z g2(x)g1(x)

    f(x, y)dydx;

    ZZDg(y)f(x, y)dxdy =

    Z dcg(y)

    Z h2(x)h1(x)

    f(x, y)dxdy.

    Uma outra propriedade de grande utilidade em domnios de integrao no regulares a

    seguinte: ZZDf(x, y)dxdy =

    ZZD1

    f(x, y)dxdy +

    ZZD2

    f(x, y)dxdy,

  • 1.2. EXEMPLOS 5

    se D = D1 D2, int(D1) int(D2) = , e D1 e D2 so regulares no mesmo sentido.

    O integral duplo sobre o domnio de integrao D da funo constante f (x, y) = 1

    define a rea de D, isto Z ZD1 dxdy = A (D) .

    A passagem duma ordem de integrao para outra num integral duplo, caso possvel,

    designa-se por inverso da ordem de integrao do integral duplo. Se o domnio

    for regular no sentido do eixo dos yy ou seja

    1.2 Exemplos

    Exemplo 1. Calcule o valor dos seguintes integrais duplos

    a).R 21 dx

    R 10 (x cos y) dy =

    R 21 (xy sin y)|

    10 dx =

    R 21 (x sin 1) dx =

    x2

    2 x sin 121=

    32 sin 1

    b).R 50 dy

    R y0 (2xy) dx =

    R 50

    yx2

    y0

    dy =

    R 50

    y3dy = y

    4

    4

    50= 6254

    Exemplo 2. Determine o valor do integral duploZZD(x+ 2y) dxdy

    onde o domnio de integrao limitado pelas parbolas de equao y = 2x2 e y = 1+x2.

    x

    y

    y

    D

    y=1+x2

    y=2x2

    x=-1 x=1

    -1 10

  • 6 Integrais Duplos

    Os pontos de interseco das duas parbolas obtem-se iqualando as equaes corespon-

    dentes, isto

    2x2 = 1 + x2 x = 1

    sendo x = 1 as equaes das rectas verticais que limitam o domnio de integrao.

    Conclui-se que D regular no sentido do eixo dos yy, logo pode ser escrito como

    D =1 x 1, 2x2 y 1 + x2

    deduzindo (tambm do grfico) que y = g1 (x) = 2x2 a funo inferior e y = g2 (x) =

    1 + x2 a funo superior que limitam o domnio de integrao.

    Da regularidade de D segundo o eixo dos yy obtem-se a ordem de integrao dydx,

    logo o integral duplo escreve-se como

    ZZD(x+ 2y) dxdy =

    Z 11

    dx

    Z 1+x22x2

    (x+ 2y) dy =

    Z 11

    xy + y2

    1+x22x2

    dx =

    =

    Z 11

    x1 + x2

    +1 + x2

    2 x 2x2 2x22 dx ==

    Z 11

    3x4 x3 + 2x2 + x+ 1

    dx =

    =

    3x

    5

    5 x

    4

    4+ 2

    x3

    3+

    x2

    2+ x

    11=32

    15.

    Portanto o valor do integral duplo 32/15.

    Exemplo 3. Calcule do integral duplo da funo f(x, y) = x + y no domnio de

    integrao D definido por

    D y = 2x, y = x2, 0 x 2

    .

    A representao grfica do domnio de integrao ilustrada na Figura abaixo.

  • 1.2. EXEMPLOS 7

    x

    y

    2

    4

    0

    y=2x

    y=x2

    Domnio de integrao D

    x

    y

    2

    4

    0

    x= 0 x= 2

    y= 2x

    y= x 2

    D regular segundo yy

    y

    2

    4

    0

    y=4

    y=0

    x=y/2

    x=y1/2

    D regular segundo xxComo D regular no sentido do eixo dos yy, ou seja pode ser limitado por: x = a = 0,

    x = b = 2, y = g1(x) = x2 e y = g2(x) = 2x, com 0 x 2 e x2 y 2x, o integral

    duplo escreve-se comoZ ZD(x+ y) dxdy =

    Z 20

    Z 2xx2(x+ y)dy

    dx =

    Z 20

    xy +

    y2

    2

    2xx2dx =

    =

    Z 20

    4x2 x3 x

    4

    2

    dx =

    4x3

    3 x

    4

    4 x

    5

    10

    20

    =52

    15

    O mesmo integral duplo pode ser calculado pelo outro integral iterado (obtido invertendo

    a ordem de integrao), ou seja porZ ZD(x+ y) dxdy =

    Z 40

    Z yy/2

    (x+ y)dx

    !dy =

    52

    15.

    Tem-se c = 0, d = 4, x = h1(y) =y2 e x = h2(y) =

    y, segundo a notao indicada no

    desenvolvimento.

    Exemplo 4. Considere-se agora o mesmo integral duplo, mas com o domnio de

    integrao dado por

    D y = 2x, y = x2, 0 x 1

    .

    Ento o domnio D regular no sentido do eixo dos yy e portanto o integral duplo :

    Z ZD(x+ y) dxdy =

    Z 10

    Z 2xx2(x+ y)dy

    dx =

    Z 10

    xy +

    y2

    2

    2xx2dx =

    =

    Z 10

    4x2 x3 x

    4

    2

    dx =

    4x3

    3 x

    4

    4 x

    5

    10

    10

    =118

    120

  • 8 Integrais Duplos

    Se optarmos pela outra ordem de integrao o mesmo integral duplo ter de ser calculado

    como segue:

    x

    y

    0

    y=2x

    y=x2

    1

    2

    x=0 x=1x

    y

    0 1

    2

    y=0

    y=1

    y=2x=y/2

    x=y1/21

    Z ZD(x+ y) dxdy =

    Z 10

    Z yy/2

    (x+ y)dx

    !dy +