matemÁtica ii - prof. edézio1 matemÁtica ii prof. edézio

MATEMÁTICA II - Prof. Edézio 1

MATEMÁTICA II

Prof. Edézio


Ementa Derivadas Aplicações das Derivadas Integração Livro Texto:

Murolo,A. & Bonetto,G.: Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade. Thomson, São Paulo, 2004.


Derivadas O conceito foi introduzido em

meados dos séculos XVII e XVIII em estudos de problemas de Física.

Destacam-se Isaac Newton, Leibniz e Lagrange.

Mais tarde essas idéias foram introduzidas em outras áreas como Economia e Administração.


Derivadas Considere uma função f(x) e sejam x0 e x1 dois

pontos de seu domínio Sejam f(x0) e f(x1) as correspondente imagens

x0

Δx

Δy

x1

f(x0)

f(x1)

●

●


Derivadas Chamamos de taxa média de variação

de f, para x variando de x0 até x1, ao quociente

01

01 )()(

xx

xfxf

x

f


Exemplo1 Seja a função f(x)=x2 , o ponto inicial de

abscissa x0=1 e a variação Δx=2 (isto é, x varia de 1 a 3). A taxa média de variação de f para esses valores é:

Isso significa, que se x variar 2 unidades (a partir de x0 =1), a variação de f será 4 vezes maior, pois Δf=8, enquanto Δx=2.

42

13

13

)1()3( 22

ff

x

f


Exemplo 1

1 3

1

9

●

●


Exemplo 2 Seja f(x)=x2 e calculemos a taxa

média de variação a partir de um ponto genérico de abscissa x0=x e um acréscimo também genérico Δx.

xxx

xxx

x

xxx

x

xfxxf

x

f

2)(2)()()( 222


Exemplo 2

Assim, se quisermos a taxa média de variação a partir do ponto x=5 e com uma variação Δx=3, o resultado será 2.5+3=13.


Exemplo 3 Suponhamos que um objeto seja

abandonado a 2.000 m de altura e que a função f(t)=2.000-10t2 altura do objeto em relação ao solo, t segundos após ele ser abandonado. Temos:

f(0)=2.000 e f(5)=1.750 Δf1=-250. Logo, nos 5 primeiros segundos, o objeto caiu 250 m.

Δf2=f(10) - f(5) =1.000 – 1.750=-750. Nos 5 segundos seguintes o objeto caiu 750m.


Exemplo 3 Para uma mesma variação de t (5

segundos), a variação de altura é diferente.

A taxa média de variação da função representa a velocidade média do objeto a cada intervalo de tempo considerado.

1º intervalo: Velocidade média:

2º intervalo: Velocidade média:

smf

/505

250

51

smf

/1505

750

52


Velocidade Instantânea Muitas vezes estamos interessados na

velocidade de um objeto num determinado instante (velocidade instantânea)

No exemplo considerado, calculemos a velocidade instantânea para t=5 segundos.

Para isso consideremos a velocidade média (taxa média de variação) para amplitudes de variação de tempo cada vez menores. Consideraremos o intervalo [5; 5+Δt]:


Velocidade Instantânea

tt

tt

t

f

t

t

t

f

x

fxf

t

f

10100)(10100

])5(102000[])5(102000[

)5()5(

2

22


Velocidade Instantânea Calculemos a velocidade média para valores

de Δt cada vez menores:

Intervalo

Δt Δf/Δt

[5;10] 5 -150

[5;8] 3 -130

[5;6] 1 -110

[5;5,5] 0,5 -105

[5;5,1] 0,1 -101

[5;5,01] 0,01 -100,1


Velocidade Instantânea Notamos que a velocidade média está se

aproximando de -100 m/s. A velocidade instantânea é o limite para o qual tende a velocidade média quando o intervalo de tempo tende a 0. Isto é, a velocidade instantânea no ponto t=5 e dada por:

Esse limite da taxa média de variação quando Δt tende a zero é chamado de derivada da função f(t) no ponto t=5.

.100)10100(limlim00

t

t

ftt


Conceito de Derivada Derivada de uma Função num Ponto

Seja f(x) uma função e x0 se existir e for finito, limite dado por:

Ex.: Qual a derivada de f(x)=x2 no ponto

x0=3?

.)()(

limlim)()()( 00

00000 x

xfxxf

x

fxfx

dx

dyx

dx

dfxx

.6)6(lim)(6

lim)3(

3)3(lim

)3()3(lim)3(

0

2

0

22

00

xx

xxf

x

x

x

fxff

xx

xx


Conceito de Derivada

Isso significa que um pequeno acréscimo Δx dado a x, a partir de x0=3, acarretará um correspondente acréscimo Δf que é aproximadamente 6 vezes maior que o acréscimo Δx.


Função Derivada É a derivada calculada num ponto genérico x. Exemplo: Qual a função derivada de f(x)=x2?

Temos,

xxxx

xxxx

xxxxx

x

xxx

x

xfxxfxf

xx

x

xx

2)2(lim)2(

lim

)(.2lim

)(lim

)()(lim)(

00

222

0

22

00


Função Derivada Assim, se quisermos a derivada no

ponto x0=5, calculamos f´(5)=2.5=10. Obs.: para Δx pequeno. Para x=5 e Δx= 0,1 temos:

Δf = f(5,1) - f(5) = (5,1)2 - 52 = 1,01

Portanto

,)(x

fxf

1,101,0

01,1

x

f

.)5(x

ff


Exercícios1. Para cada função f(x), determine a derivada f

´(x0) no ponto x0 indicado:

a) f(x)=x2, x0=4.

b) f(x)= 2x+3, x0=3.

c) f(x)=-3x, x0=1.

d) f(x)= x2-3x, x0=2.

e) f(x)= 1/x, x0=2.

f) f(x)= x2 – 3x + 4, x0=6.2. Determine a função derivada para cada

função do exercício anterior.


Derivada das Principais Funções Elementares

Derivada da Função ConstanteSe f(x)=c (função constante), então f´(x)=0, para todo x.Ex.: Se f(x)=5 então f´(x)=0.

Derivada da Função PotênciaSe f(x)=xn, então f´(x)= nxn-1.Exs.:

xxxfxxxf

xxxfx

xxf

xxfxxf

2

1)´()(

33)´(

1)(

8)()(

21

21

21

443

3

78


Derivada das Principais Funções Elementares

Derivada da Função LogarítmicaSe f(x)=ln x, então f´(x)=1/x , x>0.

Derivada das funções seno e cossenoSe f(x)=sen x, então f´(x)= cos x para todo x real.Se f(x)= cos x, então f´(x)= -sen x para todo x real.


Propriedades Operatórias Se f(x)=k.g(x) então f´(x)=k.g´(x). Se f(x)=u(x)+v(x) então f´(x)=u´(x)+v´(x). Se f(x)=u(x)-v(x) então f´(x)=u´(x)-v´(x). Se f(x)=u(x).v(x) então

f´(x)=u´(x).v(x)+u(x).v´(x) Se f(x)=u(x)/v(x) então

2)]([

)´().()().´()´(

xv

xvxuxvxuxf


Exercícios

32

)()5ln10)()

52)()7625)()

2

1)())()

)12)(532()()10)()

ln.)())()

.)()10)()

2523

32

25

25

xxflxxffxx

xfkxxxxfe

x

xxfjxxxfd

xxxxfixxfc

xxxfhxxfb

xsenxxfgxfa


Função Composta – Regra da Cadeia Considere a função y = f(u)=u3 e u=g(x)=x-5. Temos

que a função composta (f ◦ g)(x) é dada por:

y(x)=f(g(x))=(x2 - 5)3

Questão: É possível calcular a derivada da composta (f ◦ g)´(x) usando apenas as derivadas de f e g separadamente (sem o calculo prévio da composta}?

Regra da Cadeia: Se y é uma função de u e existe f´(u), e se u é uma função de x e existe g´(x), então y é uma função de x e existe y´(x), sendo dada por

y´(x)=f´(u).u´= f´(g(x)).g´(x)


Função Composta – Regra da Cadeia

No exemplo dado, temos:

y´(x)=3u2.u´=3(x2-5)2.2x=6x(x2-5)2.

Qual a derivada de f(x)=ln(3x+6)?Fazendo u=3x+6, temos f(u)=ln u . Assim:

.63

33

63

1´

1´)´()´(

xxu

uuufxy


Derivada da Função Exponencial

Se f(x)=ax, então f´(x)=ax.ln a, para todo x real (com a>0 e a≠1).

Demonstração: Consideremos a função:

Pela regra da cadeia:Por outro lado:

Portanto:

axaxfxh x lnln)(ln)(

)´()(

1)´( xf

xfxh

axh ln)´(

.lnln)()´(ln)(

)´(aaaxfxfa

xf

xf x


Exemplos f(x)=3x então f´(x)=3x ln x; f(x)=ex então f´(x)=ex ln e = ex.

)32(´)´(

:53)(53

253

2

2

xeuexf

temosxxufazendoexfxxu

xx


Exercícios1. Obtenha a derivada das seguintes funções:

52

2

62

43

)23(

1)()

3)()

)()2)()

1)())23ln()()

12)())535()()

3)())12()()2

xxxfk

exfe

eexfjxfd

xxxfixxxfc

xxfhxxxfb

xfgxxfa

xx

xxx

x

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