INTEGRAL DEFINIDA

APLICAÇÕESAula 04 – Matemática II – Agronomia

Prof. Danilene Donin Berticelli

Variação Total

• Em certas aplicações práticas, conhecemos a taxa de variação de uma grandeza e estamos interessados em calcular a variação total de quando varia de até

• Fizemos isto anteriormente resolvendo problemas de valor inicial.

• Entretanto, como é uma antiderivada de o teorema fundamental do cálculo permite calcular a variação total usando a seguinte fórmula de integração definida:

Variação Total

• Se Q’(x) é contínua no intervalo a variação total de Q(x) quando x varia de x = a até x = b é dada por

Exemplo

01) Em uma fábrica, o custo marginal é reais por unidade quando o nível de produção é q unidades. Qual é o aumento do custo de fabricação quando o nível de produção aumenta de 6 para 10 unidades?

C (10 )−C (6 )=∫6

10

3 (𝑞−4 )2𝑑𝑞

Captaram?

02) Uma amostra de proteína de massa m (em gramas) se decompõe em aminoácidos a uma taxa dada por

Qual é a variação da massa da amostra de proteína durante as primeiras 2 horas?

ÁREA ENTRE CURVAS

• Como vimos, uma área pode ser expressa como um tipo especial de limite de uma soma conhecida como integral definida e calculada com o auxílio do teorema fundamental do cálculo.

• Esse processo recebe o nome de integração definida, e foi apresentado a partir do cálculo das áreas porque as áreas são fáceis de visualizar, mas existem outros problemas práticos, que podem ser resolvidos com o auxílio da integração definida.

Aplicação da Integral definida

• A integração pode ser imaginada como o processo de “acumular” um número infinito de pequenos pedaços de uma grandeza para obter o valor total da grandeza.

• Vejamos o processo para usar integração definida em problemas práticos.

• Para “acumular” uma grandeza Q em um intervalo através da integração definida, faça o seguinte:Step by

step

Divida o intervalo em subintervalos iguais de largura Escolha um número no subintervalo para j = 1, 2, ..., n.

Aproxime a contribuição do intervalo para o valor total da grandeza pelo produto onde f(x) é uma função apropriada que seja contínua no intervalo .

Some todos os produtos para estimar o valor total da grandeza Q através da soma de Riemann

Torne exata a aproximação do 3º passo calculando o limite da soma de Riemann quando para expressar Q na forma de uma integral definida:

Use o teorema fundamental do cálculo para calcular e assim obter o valor desejado de Q.

Área entre duas curvas

• Em certos problemas práticos, pode ser necessário representar a grandeza de interesse na forma de área entre duas curvas.

Inicialmente, vamos supor que f e g sejam funções contínuas, não-negativas [ou seja, e ] e satisfazem a desigualdade no intervalo

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

-10

-5

0

5

10

15

20

g(x)f(x)

Chamando a área de f(x) de R1, a área de g(x) de R2 e R a área entre as duas curvas, temos:

R = R1 – R2a

b

• Nesse caso, para determinar a área da região R entre as curvas y = f(x) e y = g(x) no intervalo , simplesmente subtraímos a área sob a curva de baixo y = g(x) da área sob a curva de cima y = f(x) .

Essa expressão é válida se no intervalo , mesmo que

as curvas y = f(x) e y = g(x) não estejam acima do eixo dos x para todos os

valores de x.

Área entre duas curvas

• Se f(x) e g(x) são funções contínuas, com no intervalo , a área A entre as curvas y = f(x) e y = g(x) no intervalo é dada por:

Exemplo• 01) Determine a área da região R limitada pelas curvas y

= x³ e y = x².

1º passo

Obter os

pontos de

interseção

x³=x²

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

02) Determine a área da região limitada pela reta y = 4x e pela curva

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25 1º passo

4 𝑥=𝑥 ³+3 𝑥 ²

Exercícios:01) Determine a área da região sombreada em cada gráfico:

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

y = x(x²-4)-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

y = x²+1y = 2x-2

Exercícios

1) Nos problemas abaixo, indique a região R dada e determine sua área:

a) R é a região limitada pelas retas y = x, y = -x e y = 1.b) R é a região limitada pelo eixo x e a curva y = -x²+4x-3c) R é a região limitada pelas curvas y = x³-3x² e y = x²+5x.d) R é o triângulo cujos vértices são os pontos (-4, 0), (2, 0)

e (2, 6).

Gráficos

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

Valores Y

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 30

1

2

3

4

5

6

7

Casa

02) A figura mostra uma casa de campo situada à beira de um lago. Quando um sistema de coordenadas é traçado da forma indicada, a margem do lago pode ser descrita aproximadamente por um arco da curva . Supondo que a casa custe R$ 2.000,00 o metro quadrado e o terreno do lado de fora da casa (a região sombreada da figura) custe R$ 800,00 o metro quadrado, qual o valor da propriedade? 0 2 4 6 8 10 12 14 16

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Lago