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18-03-2008 Isabel Mendes/MICRO II 1

Isabel Mendes2007-2008

Microeconomia IICursos de Economia e de Matemática

Aplicada à Economia e Gestão

AULA 3.3

Escolha do Consumidor entre Mercadorias Contingentes e Análise de Partilha do Risco


3.3 Escolha do Consumidor entre Mercadorias Contingentes

As escolhas dos indivíduos quanto:

1º) À opção entre fazer ou não fazer um seguro para cobertura de riscos de perda;

2º) Ou quanto à opção acerca do valor do reembolso a contratar com a seguradora para cobertura total ou parcial do risco de perda, consoante o prémio de seguro pedido pela companhia,

Podem ser analisadas na óptica de um problema primal de um consumidor que pretende escolher o nível de consumo que lhe maximiza a função de utilidade, estando sujeito à sua restrição orçamental.

Assim, seja:

1. Um modelo primal de consumidor com dois estados de consumodesignados por x1 – bens de consumo disponíveis quando o estado do mundo 1 ocorre – e por x2 – bens de consumo disponíveis quando oestado do mundo 2 ocorre;



2. Designa-se por mercadoria contingente uma mercadoria que deverá ser

consumida apenas num dos estados do mundo: assim, x1 e x2 podem ser

interpretados como mercadorias contingentes;

3. O objectivo do consumidor é maximizar a sua utilidade consumindo a

melhor combinação de mercadorias contingentes em ambos os estados do

mundo; para isso, os consumidores pretendem transaccionar direitos

contingentes = direitos de consumo nos dois estados do mundo, se e

apenas se um dos estados do mundo efectivamente ocorrer.

Este problema do consumidor designa-se por MODEL DE PREFERÊNCIAS

PELOS ESTADOS DO MUNDO.



Significado das curvas de indiferença de estados contingentes:

CURVA DE INDIFERENÇA DE ESTADOS CONTINGENTES = é o lugar

geométrico de todas as lotarias, cuja utilidade esperada de consumo nos dois

estados do mundo é igual à utilidade de um consumo certo.

Seja U(x) a função de utilidade independente dos estados contingentes, ou

seja, a utilidade correspondente a consumos certos, tal que:

i) Um ponto qualquer xA ∈ U(x) representa o consumo certo xA ; e U(xA)representa a utilidade associada ao consumo certo xA [FIG 1];

ii) A situação descrita em i) é equivalente a dizer-se que o indivíduo pode dispor de xA nos dois estados do mundo, de certeza, ou seja: xA

1 = xA2, e

pertencem a uma linha recta de 45º [FIG 2].



x

U(x)

U(x)

xA

U(xA)

x1

x2

45º

xA1

xA2

Situação de certeza sem estados do

mundo

Situação de certeza nos dois estados do mundo se

eles ocorrerem:

xA= xA1 = xA

2

FIG 2

FIG 1

A



Significado das curvas de indiferença de estados contingentes

(continuação):

Podemos então dizer que o ponto A é um dos pontos que pertencem a uma curva de indiferença de estados contingentes tal como a definimos antes e para a qual se verifica que:

( ) ( )ALE U x U x =

E onde xA é o EQUIVALENTE CERTO para essa curva de indiferença.

Suponhamos agora uma outra situação em que o consumidor pode optar

entre um consumo certo e um consumo contingente, com as seguintes

características:

(1)



Significado das curvas de indiferença de estados contingentes

(continuação):

O consumo certo é o EQUIVALENTE CERTO xA ;

O consumo contingente é representado pela seguinte lotaria: o estado 1

pode acontecer com uma probabilidade de 2/3 e o indivíduo terá um

consumo igual a xB1 ; e o estado 2 pode ocorrer com uma probabilidade de

1/3 e o indivíduo terá um consumo igual a xB2 ;

Assume-se que o indivíduo seja indiferente entre o consumo certo e o

consumo contingente o que ⇒ a seguinte igualdade:

( ) ( ) ( )1 2

2 13 3

Utilidade do EquivalenteUtilidade esperada da lotaria Certo

B B AU x U x U x+ = (2)


3.3 Escolha do Consumidor entre Mercadorias Contingentes Significado das curvas de indiferença de estados contingentes (continuação):

Conclusão: como o consumidor é indiferente entre xA e a lotaria descrita,

então podemos concluir que o ponto (xB1, xB

2 ) pertence à curva de

indiferença (1).

Se designarmos a utilidade esperada por , a expressão (2) pode

ser reescrita na seguinte forma:

( ) ( )1 2A A AV x ,x U x=

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2

2 13 3

B B A A AU x U x U x V x , x+ = = (3)

Na [FIG 3] representamos a utilidade esperada da lotaria igual à utilidade do equivalente certo xA .

Na [FIG 4] representamos o ponto (xB1, xB

2 ) sobre a respectiva curva de indiferença definida por .

( )1 2A AV x ,x



x

U(x)

U(x)

xB1

U(xB1)

x1

x2

45º

xA1

xA2

FIG 4

FIG 3

A

xB2

U(xB2)

E{xL}xA

U(xA)=E{U(xL)}

xB1

xB2

B ( ) ( )1 2A A AV x ,x U x=



NOTAS SOBRE FIG 4:

1ª) Para a direita de A localizam-se os consumos contingentes, caracterizados por se consumir mais no estado 1 do que no estado 2;

Para a esquerda de A localizam-se os consumos contingentes, caracterizados por se consumir mais no estado 2 do que no estado 1;

2ª) Os pontos que pertencem à linha de 45º representam todos os estados do mundo contingentes para diferentes curvas de indiferença, para os quais o consumidor sabe de certeza que, independentemente do que possa a acontecer, o seu nível de consumo será o mesmo nos dois estados do mundo.



Cálculo da TMS ao longo de uma curva de indiferença :

Seja a expressão genérica da Curva de Indiferença dada pela expressão (4).

A Taxa Marginal de Substituição (TMS) de um nível de consumo num

estado do mundo por outro nível de consumo noutro estado do mundo, ao longo

da curva de indiferença (4) , é igual à taxa a que o consumidor está disposto a

desistir do consumo num dos estados, para aumentar o consumo no outro

estado.

Então, a expressão genérica da curva de indiferença ( ) ( )1 2A A AV x ,x U x= pode

ser escrita da seguinte forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 21 A A AU x U x U x V x , xρ ρ+ − = = (4)



Cálculo da TMS ao longo de uma curva de indiferença (continuação):

Para calcular analiticamente a TMS, basta calcular o diferencial total de (4) e igualá-lo a zero, obtendo-se (5) :

( ) ( ) ( )1 21 21 0

U x U xdV dx dx

x xρ ρ∂ ∂

= + − =∂ ∂

(5)

Resolvendo (5) de forma a obter o declive da curva de indiferença, obtém-se (6) :

( )( ) ( )

( )( ) ( )2 1

1 12

1 22 11

= − = =− −

x ,x

dU x / dx U' xdxTMS

dx U' xdU x / dx

ρ ρρρ (6)



Cálculo da TMS ao longo de uma curva de indiferença (continuação):

CARACTERÍSTICAS DA TMS:

Nos pontos localizados sobre a linha de 45º, onde x1 = x2, a TMS tem o seguinte valor:

2 1 1x ,xTMS ρρ

=−

porque x1 = x2, o que significa que o benefício relativo do consumo no estado1 depende da sua probabilidade relativa de ocorrência;

Se a curva de indiferença for de um consumidor avesso ao risco (curva de indiferença convexa), então a TMS é decrescente; se for amante do risco écrescente.

(7)



Restrição orçamental dos estados contingentesSeja:

O estado 1 o estado bom, tal que o nível de consumo seja x1 e o estado 2 o estado mau, tal que o nível de consumo seja x2 ⇒ x1 > x2;

Seja a dotação inicial (DI) em consumo e p1, p2 os preços dos “direitos contingentes”.

Então:

1 2x ; x

1 1 2 2 1 1 2 2p x p x p x p x+ ≤ +RESTRIÇÃO ORÇAMENTAL DOS

ESTADOS CONTINGENTES

E a recta orçamental é:

12 1 1 2 2 1

2

px p x p x xp

≤ + −



Graficamente:

x1

x2

45º

1x

DI2x



A maximização da utilidade:

Dada a função de utilidade esperada e a restrição orçamental dos estados contingentes, os direitos de consumo que maximizam a utilidade

sujeitos à restrição orçamental devem verificar a seguinte igualdade:

* *1 2x ;x

( )( ) ( )2 1

11 1

2 2 21x ,x

U ' xp pTMSp U ' x p

ρρ

= ⇔ =−



Análise da partilha do risco no mercado de direitos contingentes

Seja:

Dois indivíduos A e B com diferentes preferências pelo risco; A é mais avesso ao risco do que B ⇒ a sua curva de indiferença é mais côncava do que a de B;

As respectivas dotações iniciais em consumo nos dois estados do mundo são iguais:

11 22A B BA

;x xx x= =

Num mercado competitivo, o indivíduo menos avesso ao risco está disposto a vender direitos de consumo no estado mau ao indivíduo mais avesso ao risco, em troca de um maior consumo no estado bom;

A partilha do risco entre os dois indivíduos está ilustrada na FIG 5.



A

B

1

Ax

2Ax ↑

1

Bx←

2

Bx↓

DI

1

Ax →

1

Bx

2

Bx2

Ax

45º

45º

BU

AU

ZONA DE GANHOS DE

TROCA

Compra x2

Vende x1

compra x1

Vende x2

FIG 5



Análise da partilha do risco no mercado de direitos contingentes(continuação):

Comentários à FIG 5:As curvas de indiferença dos dois consumidores têm TMS’s iguais aos

rácios das suas probabilidades subjectivas (de acordo com o resultado (7) ), ao longo das rectas de 45º;

A zona de ganhos de troca (que contém as combinações óptimas à Pareto) localiza-se a noroeste da dotação inicial e mais perto da linha de 45º doconsumidor A mais avesso ao risco ⇒ este está disposto a pagar em troca da garantia de poder consumidor de forma mais equitativa nos dois estados (ou seja sobre a sua linha de 45º na qual ;

O indivíduo B menos avesso ao risco, está disposto a desistir de algum consumo no estado mau (estado 2) para poder aumentar mais os seus direitos de consumo no estado bom (estado 1).

1 2A Ax* x*=



Seguro de Cobertura total quando um indivíduo é neutro perante o

risco

A FIG 6 mostra a partilha de risco óptima entre um indivíduo neutro perante o risco (indivíduo B) e um indivíduo avesso ao risco (indivíduo A).

A curva de indiferença do indivíduo B é linear ⇒ , porque:

sendo neutro ao risco então:

2 1 1x ,xTMS ρρ

=−

( ) ( ) ( )1 21 = = + − L LU E x E U x x xρ ρ

E a TMS é igual a:[ ]

[ ]2 1

1

2

1x ,x

E UxTMS

E Ux

ρρ

∂∂

= =∂ −

∂



A

B

1

Ax

2Ax ↑

1

Bx←

2

Bx↓

DI

1

Ax →

1

Bx

2

Bx2

Ax

45º

45º

B BU U *=

AU

Compra x2

Vende x1

compra x1

Vende x2

FIG 6

AU *

E



Seguro de Cobertura total quando um indivíduo é neutro perante o

Risco (continuação)

O ponto de equilíbrio E resulta da tangência entre a curva de indiferença do indivíduo avesso ao risco e a curva de indiferença do indivíduo neutro ao risco ;

Neste ponto,

2 1 2 1 1A A B Bx ,x x ,xTMS TMS ρ

ρ= =

−

e o consumidor avesso ao risco garante exactamente os mesmos níveis de consumo em ambos os estados ⇒

1 2A Ax* x*=

Este resultado é exactamente igual àquele que se obteve no mercado de seguros quando a seguradora oferecia prémios de seguro actuarialmente justos ⇒ este é um óptimo de Pareto.

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