integração numérica

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOASCAMPUS DO SERTÃO

EIXO DE TECNOLOGIA

INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

Introdução

� Sabe-se do Cálculo Diferencial e Integral que se f(x) é umafunção contínua em [a,b], então existe F(x) tal queF’(x)=f(x).

b

)()()( aFbFdxxfb

a

−=∫

Sempre encontraremos uma primitiva para f(x)?

Introdução

� Exemplo: Calcular o valor da integral definida abaixo.

0.7

0.8

0.9

1

� Podemos calcular a primitiva desta função usando o CálculoDiferencial e Integral?

?5

5

2

=∫−

− dxe x

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

x

f(x)

Introdução

� Considere o caso em que f(x) é conhecida apenas em algunspontos no intervalo [a,b].

?)( =∫b

a

dxxf?)( =xf

Introdução

� Três aspectos resumem a importância do estudo detécnicas para integração numérica:

� É impossível calcular ou difícil de se obter, por meio� É impossível calcular ou difícil de se obter, por meiodo Cálculo, a primitiva da função f(x);

� Quando se conhece a função f(x) em apenas certospontos;

� Implementação computacional do cálculo deintegrais.

Ideia Básica

� Consiste na substituição da função f(x) por umpolinômio p

n(x) que a aproxime razoavelmente no

intervalo [a,b];

O problema fica resolvido pela integração de polinômios,� O problema fica resolvido pela integração de polinômios,o que é trivial de fazer.

� A escolha desses polinômios e dos pontos utilizados nasua determinação, definem o método de integraçãoutilizado;

Ideia Básica

� A integração pode ser realizada a partir de fórmulas do tipo:

∫ ∑ ⋅≈b n

ii xfwdxxf )()(∫ ∑=

⋅≈a i

ii xfwdxxf0

)()(

integração de pontos aos associados pesos

integração de pontos

pontos alguns em função davalor )(

0

⇒

⇒=<<=⇒

i

n

i

w

bxxa

xf

⋯

Como determinar os wi’s?

Fórmulas de Newton-Cotes

� Essas fórmulas requerem a utilização de pontos deintegração igualmente espaçados no intervalo [a,b].

� Subdividindo [a,b] em n intervalos, cada um dessesintervalos terá comprimento h=(b-a)/n;intervalos terá comprimento h=(b-a)/n;

� Os pontos de integração de Newton-Cotes são:

nhax

hax

hax

ax

n +=

+=+=

=

⋮

22

1

0

n0,1,...,i com , =⋅+= hiaxi


� Usando o polinômio interpolador de Lagrange de grau npara aproximar a integral, obtém-se a fórmula geral deNewton-Cotes:

xxb nb n

∫ ∏∫ ∑−⋅≈ )(

A partir desta equação, é possível descrever as diversas regras deintegração usando apropriadamente o grau do polinômio e o número depontos de integração.

dxxx

xxxfdxxf

a

n

ikk ki

k

a

n

ii ∫ ∏∫ ∑

≠== −−⋅≈

,00 )(

)()()(

dxxx

xxw

b

a

n

ikk ki

ki ∫ ∏

≠= −−=

,0 )(

)(


� Regra do Trapézio

� Corresponde à interpolação da função a ser integrada porum polinômio de grau n = 1.um polinômio de grau n = 1.

� Como a interpolação linear requer 2 pontos, usam-se osextremos do intervalo como pontos de integração.

bxax == 10 e



� A partir da fórmula de Newton-Cotes, podem-seencontrar os pesos usados no polinômio.

dxxx

xxw

b

a

n

ikk ki

ki ∫ ∏

≠= −−=

,0 )(

)(dx

xx

xxw

x

x

n

ikk ki

k∫ ∏=

≠= −−=

1

0

1

,00 )(

)(

1

0

1

02

)(1

)(

)( 21

1010

10

x

x

x

x

xx

xxdx

xx

xxw

−−

=−−= ∫



11

2

)(1

)(

)( 211

0

xxxx

xxdx

xx

xxw

−−

=−−= ∫

002)( 1010

0

xx xxdx

xxw

−=

−= ∫

01 xxn

abh −=−=

22

)(1

)(

)(1

0

1

0

21

10

10

hxx

hdx

xx

xxw

x

x

x

x

=−−

=−−= ∫



11

2

)(1

)(

)( 20

01

1

,01

x

x

x

x

n

ikk ki

k xx

xxdx

xx

xxw

−−

=−−= ∫ ∏

=

≠=00

2)( 01,0 xx ikk ki xxxx −−≠=

22

)(11

0

20

1

hxx

hw

x

x

=−=

[ ])f(x)f(xh

f(x)dxb

a

102Logo, +≈∫ Área do Trapézio!



� Graficamente

� Observação: A regra do trapézio integra exatamentefunções polinomiais com grau igual ou menor que 1.



� Aplicação: calcular a integral aproximada da funçãoabaixo no intervalo [0,1].abaixo no intervalo [0,1].

Solução analítica:

xexf −+=1)(

( ) ( ) ( ) 6321,1011 011

0

1

0

=−−−=−=+= −−−∫ eeexdxeI xx



Solução numérica:

hb

[ ])f(x)f(xh

f(x)dxb

a

102+≈∫

[ ] ( ) 684,13679,122

110

2

01 =+≈+−≈ )f()f(I


� Regra de Simpson

� Corresponde a interpolação da função a ser integrada porum polinômio de grau n = 2.um polinômio de grau n = 2.

� Esse tipo de interpolação requer 3 pontos para definição dopolinômio (parábola). Usam-se os extremos do intervalo e oponto central como pontos de integração.

bx ba

xax =+== 210 e2

,



� A partir da fórmula de Newton-Cotes, podem-seencontrar os pesos usados no polinômio.

dxxx

xxw

b

a

n

ikk ki

ki ∫ ∏

≠= −−=

,0 )(

)(dx

xx

xxw

x

x

n

ikk ki

k∫ ∏=

≠= −−=

2

0

2

,00 )(

)(

3)(

)(

)(

)(2

0 20

2

10

10

hdx

xx

xx

xx

xxw

x

x

=−−

−−= ∫ 2

02 xx

n

abh

−=−=



3

4

)(

)(

)(

)(2

0 21

2

01

01

hdx

xx

xx

xx

xxw

x

x

=−−

−−= ∫

0 2101x

3)(

)(

)(

)(2

0 12

1

02

02

hdx

xx

xx

xx

xxw

x

x

=−−

−−= ∫

[ ])(43

Logo, 210 xf)f(x)f(xh

f(x)dxb

a

++≈∫

Área sob a Parábola!



� Graficamente

� Observação: A regra de Simpson integra exatamentefunções polinomiais com grau igual ou menor que 2.



� Aplicação: calcular a integral aproximada da funçãoabaixo no intervalo [0,1].abaixo no intervalo [0,1].

Solução numérica:

xexf −+=1)(

[ ])(43 210 xf)f(x)f(xh

f(x)dxb

a

++≈∫



2

1

2

01 =−=−=n

abh

2

1

2

101 =+=+= hax

22n

[ ] ( ))1()5,0(4)0(6

1)(4

3 210 fffxf)f(x)f(xh

I +⋅+≈++≈

221

6321,1icasol_analít =

( ) 6323,13679,16065,1426

1 ≈+⋅+≈I


� Outros Casos

� Podem-se descrever regras de integração, a partir dafórmula de Newton-Cotes, utilizando polinômios com graufórmula de Newton-Cotes, utilizando polinômios com graun = 3, 4, 5, etc.

Técnica Grau do polinômio

Regra do trapézio 1

Regra de Simpson 2

Regra 3/8 de Simpson 3

Regra de Boole 4


� Fórmulas Repetidas

� Quando o intervalo de integração é grande, não é muitoprático aumentar o grau do polinômio interpolador paraestabelecer as fórmulas de integração;estabelecer as fórmulas de integração;

� A alternativa mais utilizada é subdividir o intervalo deintegração e aplicar as regras mais simples repetidasvezes.

� Dividindo o intervalo de integração [a,b] em nsubintervalos de igual comprimento h = (b-a)/n, tem-se:

bxxxhhxxax niiii =−=⇒+== −− e, 110


� Fórmulas Repetidas: Regra do Trapézio

� Utilizando a Regra do Trapézio em cada subintervalo:

∫ ∫∫∫ +++==21

)()()()(x xxb n

dxxfdxxfdxxfdxxfI ⋯∫ ∫∫∫−

+++==1 10

)()()()(x xxa n

dxxfdxxfdxxfdxxfI ⋯

[ ])()(2)(2)(2

)( 210 n

b

a

xfxfxfxfh

dxxfI ++++≈= ∫ ⋯

++≈= ∑∫−

=

)()(2)(2

)(1

10 n

n

ii

b

a

xfxfxfh

dxxfI



� Graficamente

� Na fórmula repetida usando a regra do trapézio, ocorre oerro numérico:

2

2

12

)(M

habETR ⋅−≤

],[

)2(2

0

)(nxxx

xfmáxM∈

=



� Algoritmo

Dados h, f(xi) para i=0:n

1 – soma = 0

2 – Para i=1:n-1, faça

soma=soma+f(xi)

3 – I=(h/2)*(f(x0)+2*soma+f(xn))



� Aplicação: calcular a integral aproximada da funçãoabaixo no intervalo [0,1], usando n = 4 (quatrosubintervalos).subintervalos).

Solução:

xexf −+=1)(

++≈= ∑∫−

=

)()(2)(2

)(1

10 n

n

ii

b

a

xfxfxfh

dxxfI



++≈= ∑∫−

=

)()(2)(2

)(1

10 n

n

ii

b

a

xfxfxfh

dxxfI =1ia

++≈ ∑=

)()(2)(2 4

3

10 xfxfxf

hI

ii

( )[ ])()()()(2)(2 43210 xfxfxfxfxfh

I ++++≈

25,04

01 =−=−=n

abh



( )[ ])()()()(2)(2 43210 xfxfxfxfxfh

I ++++≈

6354,1≈I

( )[ ])1()75,0()5,0()25,0(2)0(2

25,0fffffI ++++≈

( )[ ]3679,14724,16065,17788,1222

25,0 ++++≈I


� Fórmulas Repetidas: Regra de Simpson

� Utilizando a Regra de Simpson em cada subintervalo:

∫ ∫∫∫ +++==4 22

)()()()(x xxb n


� Importante: Aqui, o número de subdivisões deve ser par,pois cada parábola requer 3 pontos de interpolação.

∫ ∫∫∫−

+++==2 220

)()()()(x xxa n


[ ])()(2)(4)(2)(4)(3 43210 nxfxfxfxfxfxfh

I ++++++≈ ⋯



� Na fórmula repetida usando a regra de simpson, ocorre oerro numérico:erro numérico:

4

4

180

)(M

habESR ⋅−≤

],[

)4(4

0

)(nxxx

xfmáxM∈

=



� Algoritmo

Dados h, f(xi) para i=0:n com n parDados h, f(xi) para i=0:n com n par

1 – soma = 0

2 – Para i=1:n-1, faça

3 – Se i é par

4 - soma=soma+4f(xi)

5 – Senão

6 - soma=soma+2f(xi)

7 – I=(h/3)*(f(x0)+soma+f(xn))



� Aplicação: calcular a integral aproximada da funçãoabaixo no intervalo [0,1], usando n = 4 (quatrosubintervalos).subintervalos).

Solução:

xexf −+=1)(

[ ])()(2)(4)(2)(4)(3 43210 nxfxfxfxfxfxfh

I ++++++≈ ⋯



[ ])()(2)(4)(2)(4)(3 543210 xfxfxfxfxfxfh

I +++++≈

25,04

01 =−=−=n

abh

[ ])1()75.0(4)5,0(2)25,0(4)0(3

25,0fffffI ++++≈

[ ] 6321,13679,14724,146065,127788,1423

25,0 =+⋅+⋅+⋅+≈I

integração numérica

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