4 2 5 1 0011 0010 universidade federal de uberlÂndia faculdade de matemÁtica projeto pibeg unidade...
TRANSCRIPT
4251
0011 0010
UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIAFACULDADE DE MATEMÁTICA
PROJETO PIBEG
Unidade V
Integração Numérica
4251
0011 0010
Sumário:1 – Introdução
2 – Fórmulas de Newton - Cotes
3 – Regra dos Trapézios
3.1 – Erro de Truncamento
4 – Regra dos Trapézios Repetida
4.1 – Erro de Truncamento
5 – Regra 1/3 de Simpson
5.1 – Erro de Truncamento
6 – Regra 1/3 de Simpson Repetida
6.1 – Erro de Truncamento
4251
0011 0010
1 – Introdução
4251
0011 0010
Seja f(x) uma função contínua em [a, b]. O problema da integração
numérica consiste em calcular um valor aproximado para:
A idéia básica da integração numérica é a substituição de f(x) por
um polinômio pn(x), que aproxime a função no intervalo [a, b].
b
a
dxxfI )(
Desta forma, a solução é obtida pela integração trivial de
polinômios, ou seja:
Ei
b
an
I
b
an dxxEdxxpI )()(
'
onde, I’ é a integral aproximada e Ei o erro da integração numérica.
4251
0011 0010
2 – Fórmulas de Newton - Cotes
4251
0011 0010
Quando os pontos usados na determinação do polinômio
interpolador são igualmente espaçados e, no caso particular onde
x0 = a e xn = b, tem-se o processo conhecido como “fórmulas
fechadas de Newton-Cotes”.
Assim, tem-se:
)()(
1
0
xpxf
hxx
bxeax
n
ii
n
f(x1)
f(x0)
a b||x0 x1
||
f(x)
p(x)
4251
0011 0010
Considerando uma variável auxiliar u, pode-se escrever:
nuxxx
duhdxh
xxu
n
0
)(
0
0
Portanto, a integral é dada por:
n
n
b
a
duhupdxxfI0
)()(
Nesta unidade desenvolveremos as seguintes fórmulas de
Newton-Cotes:
• Regra dos Trapézios• Regra 1/3 de Simpson
4251
0011 0010
3 – Regra dos Trapézios
4251
0011 0010
Desenvolvimento por
Newton - Gregory
Desenvolvimento por
Lagrange
4251
0011 0010
Seja pn(x) um polinômio que interpole a função y = f(x) sobre n + 1 pontos. Pela fórmula de Lagrange, temos que:
Consideremos o intervalo [a, b] tal que x0 = a e xn = b.
n
kkkn xfxxp
0)()(L)(
b
an
b
a
dxxpdxxfI )()(
Portando a integral aproximada é dada por:
)()(L )()(L 00
k
b
ak
n
k
b
a
n
kkk xfdxxdxxfxI
4251
0011 0010
Pela Regra dos Trapézios considera-se o polinômio pn(x) de
grau máximo n = 1, assim temos:
1
0
1
0
)()(L)()(L 1100
x
x
x
xT dxxfxdxxfxI
)()(L 1
0k
b
ak
kT xfdxxI
1
0
1
0
)()(
)()(
)(
)( 1
01
00
10
1x
x
x
xT dxxf
xx
xxdxxf
xx
xxI
Para fazer a integração consideremos os pontos igualmente espaçados de h e a variável auxiliar u:
10
)(
10
0
nuxxx
duhdxh
xxu
4251
0011 0010
1
0
1
010 )(
01
0 )(
10
1 duhxf
uduhxf
uIT
1
0
1
010 )( )()1( duhxfuduhxfuIT
)()(2 10 xfxfh
IT
f(x1)
f(x0)
a = x0 b = x1
f(x)
p(x)
h
Esta equação representa a área do trapézio de altura h e bases f(x0) e f(x1).
4251
0011 0010
3.1 – Erro de Truncamento na Regra dos Trapézios
Sabe-se que : b
anI dxxEE )(
Considerando a variável auxiliar u, o erro da interpolação polinomial, obtido na unidade anterior, é dado por:
)!1(
)()()1()(
)1(1
n
fhnuuuuE
nn
n
Substituindo na equação anterior resulta:
n nn
n
nnn
I dufun
hduh
n
fhnuuuE
0 0
)1(2)1(
1 )()()!1()!1(
)()()1(
ba ,
4251
0011 0010
O teorema do valor médio para integral, permite escrever:
],0[,)()()()(00
ncduuuduuun
n
n
n
Desta forma, a equação do erro pode ser reescrita como:
desde que n(u) não mude de sinal no intervalo e n impar.
],[,)()()!1( 0
0
)1(2
n
n
nn
n
I xxcduucfn
hE
No caso da Regra dos trapézios, faz-se n = 1 e obtém-se:1
0
23231
0
23
23!2
)()1()(
!2
uucfhduuucf
hET
],[12
)(1
23
iiT xxccfh
E
4251
0011 0010
4 – Regra dos Trapézios
Repetida
4251
0011 0010
Com a finalidade de minimizar o erro cometido, seja a regra dos trapézios aplicada repetidas vezes.
Considere pontos distintos (xi , yi) i = 0, ... , m igualmente espaçados com passo h, tais que xi+1 - xi = h.
f(x)
x
f(x)
x0 x1 x2 x3 xm-2 xm-1 xm...
4251
0011 0010
Segundo a propriedade das integrais, tem-se:
m
iTTR i
II0
Utilizando a equação da regra dos trapézios, resulta:
mmTR ffffffffh
I 13221102
mmmTR fffffffh
I 123210 22
4251
0011 0010
4.1 – Interpretação Geométrica
ITR = A1 + A2 + A3 + A4 + ... + Am
f(x)
xA1
A2
A3
A4
4251
0011 0010
4.2 – Erro de Truncamento na Regra dos Trapézios Repetida
Considerando que f ”(x) seja contínua no intervalo [a, b] , pode-se escrever que:
m
ii bafmcf
0],[,)(")("
Desta forma, o erro cometido na aplicação da regra dos trapézios repetida é dado por:
],[12
)("3
bafh
mETR
E a cota superior (ou limitante) do erro absoluto vale:
],[)(12
"3
baxxfmáxmh
ETR
4251
0011 0010
Exemplo 1: Seja
8.0
2
12 dxexI x
a) Aproximar I, usando a regra do Trapézios Repetida sobre 7 pontos.
b) Estime o erro cometido.
2.06
28.0
h
xi -2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0 -0.8
yi 0.1991 0.1970 0.1901 0.1778 0.1596 0.1353 0.1050
a)
intervalos-sub 6
71
n
n
4251
0011 0010
1050.01353.01596.01778.01901.01970.021991.02
2.0I
2025.0I
b) )(12
"3
xfmáxmh
ETR
)(
12
2.06 "3
xfmáxETR
)( 004.0 " xfmáxETR
mmmTR fffffffh
I 123210 22
4251
0011 0010
12)( xexxf
xxexf x 2)(' 21
24)('' 21 xxexf x
2679.1 7380.4
2679.1 066)('''
2
121
crítico
x xIx
Ixxxexf
:)(''max Obtendo xf
0996.02242)2('' 23 ef
0926.028.048.0)8.0('' 28.1 ef
22679.142679.1)2679.1('' 22679.2ef 1516.0
.15160 004.0 TRE
310 606.0 TRE
4251
0011 0010
5 – Regra 1/3 de Simpson
4251
0011 0010
Desenvolvimento por
Newton - Gregory
Desenvolvimento por
Lagrange
4251
0011 0010
Utilizando novamente o polinômio de Lagrange para estabelecer a fórmula de integração de f(x) tem-se:
Consideremos o intervalo [a, b] tal que x0 = a , x1 = x0 + h e x2 = x0 + 2h = b.
n
kkkn xfxxp
0)()(L)(
f(x)
xx0 x1 x2
4251
0011 0010
Pela Regra 1/3 de Simpson considera-se o polinômio pn(x) de grau máximo n = 2, assim temos:
)()(L 2
0k
b
ak
kS xfdxxI
dxxfxdxxfxdxxfxIx
x
x
x
x
xS )()(L)()(L)()(L
2
0
2
0
2
0
221100
A integral aproximada é dada por:
)()(L )()(L 00
k
b
ak
n
k
b
a
n
kkk xfdxxdxxfxI
4251
0011 0010
Para fazer a integração consideremos a variável auxiliar u:
20
)(
20
0
nuxxx
duhdxh
xxu
duhxfuu
duhxfuu
duhxfuu
IS
)( )12)(02(
)1)(0(
)()21)(01(
)2)(0( )(
)20)(10(
)2)(1(
2
2
0
2
0
2
010
4251
0011 0010
)()(4)(3 210 xfxfxfh
IS
duhxfuu
duhxfuu
duhxfuu
IS
)(2
)(
)( 1
)2( )(
2
)23(
2
2
0
2
2
0
2
01
2
0
2
portanto,
4251
0011 0010
5.1 – Erro de Truncamento na Regra 1/3 de Simpson
],[,)()()!1( 0
0
)1(2
n
n
nn
n
I xxcduucfn
hE
O erro cometido ao se utilizar a regra 1/3 de Simpson não pode ser obtido através da equação abaixo:
pois n(u) muda de sinal no intervalo.
Demonstra-se que, para f (IV)(x) contínua em [x0, xn], o erro podeser calculado por:
],[90
)(0
)(5
n
IV
S xxccfh
E
4251
0011 0010
6 – Regra 1/3 de Simpson
Repetida
4251
0011 0010
Seja m +1 pontos igualmente espaçados, tal que o intervalo [a, b] seja subdividido em m intervalos pares.
Segundo a propriedade das integrais, tem-se:
m
iSSR i
II0
Utilizando a equação da regra 1/3 de Simpson, resulta:
mmmSR fffffffffh
I 12432210 4443
mmmSR ffffffffh
I 2421310 243
4251
0011 0010
6.1 – Erro de Truncamento na Regra 1/3 de Simpson Repetida
Considerando que f (IV)(x) seja contínua no intervalo [a, b], o erro pode ser calculador por:
90
)(
290
)( )(52/
0
)(5 IVm
i
IV
S
fhmcfhE
Desta forma, o erro cometido pela aplicação da Regra 1/3 de
Simpson Repetida vale:
],[,)(180
)(5
bafhm
E IVS
4251
0011 0010
Assim, a cota superior do erro absoluto vale:
],[,)(180
)(5
baxxfmáxhm
E IVS
4251
0011 0010
Exemplo 2: Seja
8.0
2
12 dxexI x
a) Aproximar I, usando a regra 1/3 de Simpson Repetida sobre 7 pontos.
b) Estime o erro cometido.
2.06
28.0
h
xi -2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0 -0.8
yi 0.1991 0.1970 0.1901 0.1778 0.1596 0.1353 0.1050
a)
intervalos-sub 6
71
n
n
4251
0011 0010
1050.01596.01901.021353.01778.01970.041991.03
2.0I
mmmSR ffffffffh
I 2421310 243
2029.0I
b) )(180
)(5
xfmáxhm
E IVS
)(
180
2.06 )(5
xfmáxE IVS
)(100667.1 )(5 xfmáxE IVS
4251
0011 0010
128)( 21 xxexf xIV
5 5 02010)( 2121
críticoxV xxxxxexf
:)(max Obtendo xf IV
012282)2( 23 ef IV
326 104363.712585)5( ef IV
66)(''' 21 xxexf xDo exemplo 1 temos que
0315.1 128.088.0)8.0( 28.1ef IV
0315.101 0667.1 -5 SRE
510 100.1 SRE