aula 14-integração numérica com repetição

Calculo NumericoIntegracao Numerica com Repeticao

Joao Paulo Gois

Universidade Federal do ABC

1

1Apresentacao baseada nos slides do prof. John Carroll, Dublin City University e nos Livros Analise Numerica

(Burden & Faires)

Integracao Numerica com Repeticao (Composta)

Aplicacao da regra de Simpson

Use a regra de Simpson para aproximar 40exdx

e compare este com o resultado obtido pelas somas por Regra deSimpson 2

0exdx+

42exdx 1

0exdx+

21exdx+

32exdx+

43exdx


Solucao 1

A regra de Simpson em [0, 4] usando h = 2 nos fornece: 40exdx 2

3(e0 + 4e2 + e4) = 56.76958

A resposta exata e e4 = e0 = 53.59815, e o erro e 3.17143, que elonge de ser aceitavel.


Solucao 2

A regra de Simpson em [0, 2] e [2, 4] usando h = 1 nos fornece: 40exdx =

20exdx+

42exdx

13(e0 + 4e+ e2) +

1

3(e2 + 4e3 + e4) = 53.86385

O erro e 0.26570.


Solucao 3

A regra de Simpson em [0, 1], [1, 2], [2, 3] e [3, 4] usando h = 12 nosfornece: 40exdx =

10exdx+

21exdx+

32exdx+

43exdx

16(e0 + 4e1/2 + e) +

1

6(e+ 4e3/2 + e2) +

+1

6(e2 + 4e5/2 + e3) +

1

6(e3 + 4e7/2 + e4) = 53.61622

(1)

O erro e 0.01807.


Para generalizar este procedimento para uma integral arbitraria ba f(x)dx, escolhemos um inteiro par n. Subdividimos o intervalo[a, b] em n subintervalos e aplicamos a regra de Simpson para cadapar consecutivo de subintervalo.

204 C H A P T E R 4 Numerical Differentiation and Integration

Solution Simpsons rule on [0, 4] uses h = 2 and gives 40

ex dx 23(e0 + 4e2 + e4) = 56.76958.

The exact answer in this case is e4 e0 = 53.59815, and the error 3.17143 is far largerthan we would normally accept.

Applying Simpsons rule on each of the intervals [0, 2] and [2, 4] uses h = 1 and gives 40

ex dx = 2

0ex dx +

42

ex dx

13(e0 + 4e + e2)+ 1

3(e2 + 4e3 + e4)

= 13(e0 + 4e + 2e2 + 4e3 + e4)

= 53.86385.The error has been reduced to 0.26570.

For the integrals on [0, 1],[1, 2],[3, 4], and [3, 4] we use Simpsons rule four times withh = 12 giving 4

0ex dx =

10

ex dx + 2

1ex dx +

32

ex dx + 4

3ex dx

16(e0 + 4e1/2 + e)+ 16 (e + 4e3/2 + e2)

+ 16(e2 + 4e5/2 + e3)+ 1

6(e3 + 4e7/2 + e4)

= 16(e0 + 4e1/2 + 2e + 4e3/2 + 2e2 + 4e5/2 + 2e3 + 4e7/2 + e4)

= 53.61622.The error for this approximation has been reduced to 0.01807.

To generalize this procedure for an arbitrary integral b

a

f (x) dx, choose an eveninteger n. Subdivide the interval [a, b] into n subintervals, and apply Simpsons rule oneach consecutive pair of subintervals. (See Figure 4.7.)

Figure 4.7y

xa ! x0 x2 b ! xn

y ! f (x)

x2j"2 x2j"1 x2j

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Teorema

Teorema

Seja f C4[a, b], n par, h = (b a)/n, e xj = a + jh, para cadaj = 0, 1, , n. Existe um (a, b) para o qual a regra de Simpsoncomposta para n subintervalos pode ser escrita com seu termo deerro como: baf(x)dx =

h

3

f(a) + 2 (n/2)1j=1

f(x2j) + 4

(n/2)j=1

f(x2j1) + f(b)

+b a

180h4f (4)()

Integracao Composta: Regras do Ponto-Medio e dosTrapezios

Introducao

Os metodos de subdivisao pode ser aplicados a quaisquerformulas de Newton-Cotes

As regras dos Trapezios precisam de apenas um intervalo paracada aplicacao, de modo que n pode ser par ou mpar

Para a regra do Ponto-Medio, entretanto, n deve ser par.

Integracao Composta: Regra dos Trapezios4.4 Composite Numerical Integration 207

Figure 4.8y

xa ! x0 b ! xn

y ! f (x)

xj"1 xjx1 xn"1

For the Composite Midpoint rule, n must again be even. (See Figure 4.9.)

Figure 4.9

x

y

a ! x"1 x0 x1 xnx2j"1 xn"1x2j x2j#1 b ! xn#1

y ! f (x)

Theorem 4.6 Let f C2[a, b], n be even, h = (b a)/(n + 2), and xj = a + (j + 1)h for eachj = 1, 0, . . . , n + 1. There exists a (a, b) for which the Composite Midpoint rulefor n + 2 subintervals can be written with its error term as b

a

f (x) dx = 2hn/2j=0

f (x2 j)+ b a6 h2f ().

Example 2 Determine values of h that will ensure an approximation error of less than 0.00002 whenapproximating

pi0 sin x dx and employing(a) Composite Trapezoidal rule and (b) Composite Simpsons rule.

Solution (a) The error form for the Composite Trapezoidal rule for f (x) = sin x on [0,pi ]is pih212 f ()

= pih212 ( sin ) = pih212 | sin |.


Nota: A regra dos Trapezios precisa apenas um intervalo para cadaaplicacao, de modo que n pode ser par ou mpar.

Teorema

Teorema

Seja f C2[a, b], h = (b a)/n e xj = a + jh, para cada j =0, 1, , n. Existe um (a, b) para os quais a Regra dos TrapeziosCompostas para n subintervalos pode ser reescrita com seu termode erro na forma: b

af(x)dx =

h

2

f(a) + 2 n1j=1

f(xj) + f(b)

b a12

h2f ()

Integracao Composta: Regra do Ponto-Medio

Regra do Ponto Medio (Formula de Newton-Cotes Aberta de 1ponto)

x1x1

f(x)dx = 2hf(x0) +h3

3f (), x1 < < x1, h = x1 x0

Teorema

Seja f C2[a, b], n par, h = (b a)/(n+ 2), e xj = a+ (j + 1)h,para cada j = 1, 0, , n + 1. Existe um (a, b) para o quala Regra do Ponto-Medio Composto para n + 2 subintervalos podeser escrita com seu termo de erro como b

af(x)dx = 2h

n/2j=0

f(x2j) +b a6

h2f ()

Integracao Composta: Regra dos Pontos-Medio

4.4 Composite Numerical Integration 207

Figure 4.8y

xa ! x0 b ! xn

y ! f (x)

xj"1 xjx1 xn"1

For the Composite Midpoint rule, n must again be even. (See Figure 4.9.)

Figure 4.9

x

y

a ! x"1 x0 x1 xnx2j"1 xn"1x2j x2j#1 b ! xn#1

y ! f (x)

Theorem 4.6 Let f C2[a, b], n be even, h = (b a)/(n + 2), and xj = a + (j + 1)h for eachj = 1, 0, . . . , n + 1. There exists a (a, b) for which the Composite Midpoint rulefor n + 2 subintervals can be written with its error term as b

a

f (x) dx = 2hn/2j=0

f (x2 j)+ b a6 h2f ().

Example 2 Determine values of h that will ensure an approximation error of less than 0.00002 whenapproximating

pi0 sin x dx and employing(a) Composite Trapezoidal rule and (b) Composite Simpsons rule.

Solution (a) The error form for the Composite Trapezoidal rule for f (x) = sin x on [0,pi ]is pih212 f ()

= pih212 ( sin ) = pih212 | sin |.


Exemplo

Comparando Regras Trapezoidal e de Simpson

Determine valores de h para que assegurem erros de aproximacaoinferior a 0.00002 quando aproximando

pi0 sinxdx empregando (a)

a regra dos trapezios composta e (b) a regra de Simpson composta.

Exemplo


O erro da Regra do Trapezio composta para f(x) = sinx em [0, pi]e: pih212 f ()

=

pih212 sin = pih212 | sin|

Para assegurar a eficiencia com esta tecnica, precisamos ter

pih2

12| sin| pih

2

12< 0.00002

Exemplo



= pih212 sin =

pih2

12| sin|


pih2

12| sin| pih

2

12< 0.00002

Exemplo



= pih212 sin = pih212 | sin|


pih2

12| sin| pih

2

12< 0.00002


pih2

12| sin| pih

2

12< 0.00002

Solucao (cont.)

Como h = pin , temos que n =pih , precisamos:

pi3

12n2< 0.00002

n >

pi3

12 (0.00002) 359.44

e a Regra dos Trapezios Composta requer n 360.


pih2

12| sin| pih

2

12< 0.00002

Solucao (cont.)


pi3

12n2< 0.00002

n >

pi3

12 (0.00002)

359.44



pih2

12| sin| pih

2

12< 0.00002

Solucao (cont.)


pi3

12n2< 0.00002

n >

pi3

12 (0.00002) 359.44


Exemplo


O erro da Regra de Simpson Composta para f(x) = sinx em [0, pi]e: pih4180 f (4)()

= pih4180 sin = pih4180 | sin|


pih4

180| sin| pih

4

180< 0.00002


pih4

180| sin| pih

4

180< 0.00002

Solucao (cont.)

Como h = pin , temo :

pi5

180n4< 0.00002

n > 4

pi5

180 (0.00002) 17.07

e a Regra de Simpson Composta requer n 18.


pih4

180| sin| pih

4

180< 0.00002

Solucao (cont.)


pi5

180n4< 0.00002

n > 4

pi5

180 (0.00002)

17.07



pih4

180| sin| pih

4

180< 0.00002

Solucao (cont.)


pi5

180n4< 0.00002

n > 4

pi5

180 (0.00002) 17.07


Exemplo

Exemplo

A regra de Simpson composta com n = 18, temos:

pi0

sinxdx pi54

2 8j=1

sin

jpi9

+ 4

9j=1

sin

((2j 1)pi

18

) = 2.0000104

que possui precisao por volta de 105, ja que a solucao exata e cos(pi) ( cos(0)) = 2.

Exemplo

Exemplo

A regra de Simpson composta com n = 18, temos:

pi0

sinxdx pi54

2 8j=1

sin

jpi9

+ 4

9j=1

sin

((2j 1)pi

18

) = 2.0000104que possui precisao por volta de 105, ja que a solucao exata e cos(pi) ( cos(0)) = 2.

Exemplo

A regra de Simpson Composta e uma escolha clara se vocedeseja minimizar o numero de calculos

Para propositos de comparacao, considere a regra dosTrapezios Composta usando h = pi/18 para a integral noexemplo anterior

Este calculo usa as mesmas avaliacoes de funcao que a regrade Simpson composta, mas a aproximacao neste caso e:

pi0 pi

36

2 17j=1

sin

(jpi

18

)+ sinx+ sinpi

=

=pi

36

2 17j=1

sin

(jpi

18

) = 1.9949205que tem precisao em torno de 5 103

aula 14-integração numérica com repetição

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