integração numérica -...
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GOVERNO FEDERAL
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SÃO FRANCISCO
CÂMPUS JUAZEIRO/BA COLEG. DE ENG. ELÉTRICA
PROF. PEDRO MACÁRIO DE MOURA
CÁLCULO II – 2015.2
Discente ___________________________________________CPF
Turma A2 – Sala NT 02 CCA – Data 07 de Dezembro de 2015
Integração Numérica
As primitivas de algumas funções, como
e , não têm
fórmulas elementares. Quando não conseguimos determinar uma primitiva viável para a
função ƒ que precisamos integrar, dividimos o intervalo de integração, substituímos ƒ por um
polinômio ajustado bem próximo de f em cada subintervalo, integramos os polinômios e
somamos os resultados para aproximar a integral de f. Esse procedimento é um exemplo de
integração numérica. Estudaremos dois métodos, a regra do trapézio e a regra de Simpson.
Para que seja, possível aplicar esse método a função precisa ser continua ao longo do
intervalo de integração . Esse procedimento é um exemplo de integração numérica.
Aproximações por trapézios
A regra do trapézio para o valor de uma integral definida se baseia na aproximação
da região entre uma curva e o eixo com trapézios em vez de retângulos, como foi feito na
demonstração da área entre e o eixo dos (Integral de Riemann).
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Não é preciso que os pontos da subdivisão , na figura estejam
uniformemente espaçados, mas a fórmula resultante será mais simples se isso acontecer. Por
isso, consideramos o comprimento de cada subintervalo como
O comprimento recebe o nome de Tamanho do passo ou Tamanho da
malha.
A área do trapézio que fica acima do i-éssimo subintervalo é
Onde e . Essa área é o comprimento da “altura” horizontal do
trapézio vezes a média das suas “bases” verticais. A área abaixo da curva e acima
do eixo é, então, aproximada pela soma das áreas de todos os trapézios:
Onde
A regra do trapézio diz: use para estimar a integral de , de até .
Definição Regra do Trapézio
Para aproximar
, use
Os são os valores de nos pontos da partição
Onde
.
A regra do Trapézio aproxima pequenos trechos da curva com Trapézios.
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Regra de Simpson: aproximações com o uso de parábolas
Outra regra para aproximar a integral definida de uma função contínua consiste em
usar parábolas em vez dos segmentos de reta que forma trapézios. Como anteriormente,
dividimos o intervalo em subintervalos de mesmo comprimento
, mas dessa vez exigimos que seja um número par. Em cada par consecutivo de intervalos,
aproximaremos a curva por uma parábola, como mostra a figura abaixo.
Uma parábola típica passa por três pontos consecutivos e
na curva.
Calcularemos a área sombreada sob uma parábola que passa por três pontos consecutivos. Para
simplificar nossos cálculos, primeiro consideremos o caso em que e .
Figura abaixo.
Onde . A área sob a parábola será a mesma se deslocarmos o eixo para
a esquerda ou para a direita.
A parábola tem uma equação da forma , portanto, a área sob ela de
até é
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Integrando vem
Como a curva passa pelos três pontos e também temos
De onde obtemos o sistema linear
Assim, a expressão da área em termos das ordenadas e , fica
Agora, se deslocarmos a parábola horizontalmente para a posição sombreada na
figura abaixo, a área sob ela permanecerá a mesma.
Assim, a área sob a parábola que passa por e na figura
ainda é
Da mesma forma, a área sob a parábola que passa pelos pontos e é
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Calculando as áreas sob todas as parábolas e somando os resultados, podemos
escrever a aproximação da área por
O resultado é conhecido como regra de Simpson. Não preciso que a função seja
positiva, mas o número de subintervalos tem que ser par.
Definição Regra de Simpson
Para aproximar
, use
Os são os valores de nos pontos da partição
Onde
.
A regra de Simpson aproxima pequenos trechos da curva com parábolas.
Análise de erro
Sempre que usamos uma técnica de aproximação, a questão que se coloca é o quanto
a aproximação pode ser precisa. O teorema a seguir leva a fórmulas para estimar os erros
quando se usa a regra dos trapézios e a regra de Simpson. O erro é a diferença entre a
aproximação obtida pela regra e o valor real da integral definida
.