24

16. Observe a sequência de trapézios rectângulos construídos como é sugerido na

figura.

Seja (a n) a sucessão das áreas dos trapézios, em que o trapézio de ordem 1 tem

dois vértices nos pontos (1, 0) e (2, 0) e o trapézio de ordem n tem dois vértices

nos pontos de coordenadas (n, 0) e (n +1, 0).

16.1 O termo de ordem 20 da sucessão (an) é igual a:

A) 45 B) 22,5 C) 43 D) 21,5

16.2 A soma das áreas dos 20 primeiros trapézios é igual a:

[A] 260 [B] 130 [C] 70 [D] 450

17. Seja (Un) uma progressão aritmética de razão r igual a (-5) .

Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

[A] U7 = u3 – 20 [B] U7- U3 = - 4r [C] U10 = U2 + 40

[D] Un+ 1 = Un + 5 para todo o n, natural;

18. Seja (Un) a sucessão cujo termo geral dá a área de cada um dos quadrados que

se obtém como mostra a figura. O lado do quadrado inicial é 3; o lado de cada

quadrado seguinte é metade do lado do quadrado anterior. Então o termo geral

da sucessão (Un) é:

[A] 9 x 2n-1 [B] [C] [D] 9 x 21-n

25

19. O valor da soma 3 + 5+ 7 + 9 +11 +... ... …+ 77 é:

[A] 3003 [B] 1520 [C] 2880 [D] 3040

20. A sucessão ( Wn ) é definida por Wn =

1n, 2

3

1

1

nn WW

W

O termo de ordem 100 da sucessão é igual a:

A) – 195 B) 205 C) 3 D) 201

21. A sucessão (Un ) é definida por Un =

1n, 3

3

1

1

1

nn

UU

U

O termo de ordem 10 é igual a:

[A]

10

3

1

[B] 93 2 x [C ]

932

1

x [D]

103

2

22. Considere um quadrado de lado unitário. Sendo a diagonal desse quadrado o

lado de um segundo quadrado e a diagonal desse quadrado o lado de um 3.º

quadrado, e assim sucessivamente, obtém-se uma sequência de quadrados.

Se P1 for o perímetro do 1.º quadrado, P2 o perímetro do segundo quadrado, e

Pn o perímetro do quadrado de ordem n, então:

A) (Pn) é uma progressão geométrica de razão 2.

B) (Pn) é uma progressão aritmética de razão 1/2 .

26

C) (Pn) é uma progressão geométrica de razão 1/ .

D) (Pn) é uma progressão aritmética de razão .

Vendo um carro, que tem 4 rodas e cada roda tem 6 parafusos, nas seguintes

condições: o 1.º parafuso vale de escudo; o 2.º vale 1/8 de escudo; o 3.º vale

1/4 de escudo, o 4.º vale 1/2 escudo; o 5º vale um escudo e assim

sucessivamente. Então, vendo o meu carro por:

[A] 1024 contos [B] 2048 contos [C] 2.097.151$875 [D] 980.750$

23. A sucessão (Tn ) é definida por Tn =

1n, 2

5

1

1

nn TT

T

Prove recorrendo à definição que (Tn ):

23.1 É monótona.

23.2 Não é limitada.

24. A sucessão (Zn ) é definida por Zn =

11

3

1

nn

n

24.1 Calcule a somados seus quatro primeiros termos.

24.2 Prove que (Zn )é limitada.

24.3 Prove que (Zn ) não é convergente.

25 A sucessão (Wn ) é definida por Wn =

ímpar én se 152

par én se 31

n

n

Prove que:

25.1 (Wn ) é divergente;

25.2 (Wn ) não é limitada

25.3 (Wn ) não é monótona

25.4 Existe uma ordem a partir da qual os termos de (Wn ) são superiores a

1020.

27

Temas V e VI

Propostas de questões

Funções Reais de Variável real; Derivadas e suas aplicações

1. Considere a seguinte função, real de variável real, definida por:

senxxf 23 )(

1.1 Calcule o valor exacto de

ff

3

4.

1.2 Determine, em IR, os zeros da função.

1.3 Sabendo que 31f e que

,

2, calcule o valor exacto de

3

2cos tg .

2. Seja f a função de domínio IR , definida por a

exf

x 1

)(

, com 0a .

Sabendo que 5)2( f , escolha a letra que corresponde ao valor de aln :

(A) 5

e (B) e5 (C) 51 ln (D) 5lne

3. De uma função g definida em IR sabe-se que:

g é injectiva

as rectas de equações 1y e 1y são assímptotas horizontais do

gráfico de g.

Qual das afirmações seguintes é necessariamente falsa?

(A) g não é par.

(B) xy é assímptota do gráfico de g.

(C) g não tem assímptotas verticais.

(D) g é ímpar.

28

4. Indique qual das seguintes afirmações é falsa:

(A) Para f(x) = ex , então f(-0.5)= - ;

(B) Para 0< a < 1, f(x) = ax é uma função decrescente;

(C) O gráfico de y = a-x , a > 1, tem uma assimptota horizontal;

(D) log 3 (102) + log 3 (105) = 7 log 3(10).

5. Considere uma função h de domínio 3,1 . Qual é o domínio da função

13)( xhxj ?

(A) 0,4 (B) 6,2 (C) 2,2 (D) 1,3

6. A figura representa o gráfico de uma função f de domínio ℝ.

Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

(A) )x(f

limx

1

(B) )(

1lim

2 xfx

(C) )x(f

limx

1

(D) )(

1lim

2 xfx

7. Considere a função f definida por xe)x(f 1

3

1.

7.1. Estude a função f quanto à existência de assímptotas paralelas aos eixos

coordenados no seu gráfico.

29

7.2. Resolva analiticamente a equação 1xf , apresentando a solução na

forma )ln(ke , onde k representa um número real positivo.

7.3. Analise a função dada quanto à monotonia e existência de extremos.

8. Seja f a função de domínio ℝ definida por

1)1ln(

14

123

1

)(

xx

x

xx

x

xf

8.1. Determine caso exista, )x(flimx 1

?

8.2. O que se pode concluir quanto à continuidade de f em x=1?

8.3. Prove pela definição que a restrição de f a IR- é injectiva.

8.4. Prove analiticamente que 1)0( f .

8.5. Determine analiticamente uma equação reduzida da recta tangente ao gráfico

de f , no ponto de abcissa zero.

9. Considere a função g da qual se conhecem as seguintes características:

3)(lim0

xgx

g é contínua à esquerda em x=0;

1)1( g e 0)1( g

0)1()(lim

xxgx

As rectas de equações 3y e 0x são assímptotas do gráfico de g.

Em 2x a função g é contínua mas não é derivável.

Esboce um possível gráfico para a função g de domínio IR indicando, de

acordo com esse gráfico, o contradomínio da função.

30

10. Considere a função de domínio IR definida por

xsenxxg 2

22cos3)(

10.1 Mostre que )2cos(2)( xxg

10.2 Determine os zeros da função pertencentes ao intervalo 2,0 .

10.3. Indique o contradomínio da função h, definida por h(x)= 3+ g(x).

11. Considere a função f representada graficamente na figura seguinte.

11.1. Escreva, utilizando intervalos, o

domínio e o contradomínio da função.

11.2 Escreva equações das assímptotas

do gráfico da função.

11.3 Sabendo que o ponto

2

3,0

pertence ao gráfico escreva uma

expressão analítica que permita definir

a função.

11.4 Indique, justificando, o valor lógico de cada uma das seguintes frases:

11.4.1 f é crescente em IR\ {1}

11.4.2 2)(: xfRx

11.4.3 1\, Rxxfxf

11.4.4 1\, Rxoxf

11.4.5 f ’ (x) <0, [ ;1 ] x

12. Considere a função real de variável real definida por 462

61142

2

xx

xxxj

2

-2

-4

-6

-8

y

-5 5 10x

31

12.1 Simplifique a expressão analítica, escreva-a na forma dx

baxj

)( e

indique o domínio em que essa simplificação é válida.

12.2. Sabendo que a expressão simplificada de )(xj é equivalente no domínio de

j à da função )(xf diga, justificando, se os gráficos das funções f e j são

iguais.

13. Pretende-se desenhar um rectângulo com 80cm de perímetro.

Qual das expressões seguintes permite obter a área (em cm2 ) do rectângulo,

em função do comprimento x (em cm) de um dos seus lados?

(A) xx 40 (B) 280x (C) 40xx (D) xx 80

14. Nas duas figuras estão representadas graficamente as funções g e f. Qual das igualdades seguintes é verdadeira?

(A) 11)( xgxf

(B) 11)( xgxf

(C) 11)( xgxf

(D) 11)( xgxf

15. Se g é uma função par e P(1,-2) pertence ao gráfico de g, qual dos pontos não

pode pertencer ao gráfico de g?

(A) )2,3( (B) )2,1( (C) )2,1( (D) )1,2(

16. No referencial monométrico da figura, está

representada a recta r que contém a origem

do referencial e tem inclinação 45º e

a parábola, gráfico da

y

x

0

A

B

32

função26)( xxxf

, o ponto A comum à recta e à parábola e o ponto B

comum à recta e ao eixo XX‟.

16.1 Prove que A(5,5) e que B(6,0).

16.2 Calcule a área do triângulo [ABO].

16.3 Determine, a taxa média de variação da função f, relativa ao intervalo [1 ; 5]

16.4 Prove, recorrendo à definição de derivada de uma função num ponto, que

24 f .

16.5 Determine, recorrendo à função derivada de f , as coordenadas do ponto C,

do gráfico de f ,no qual a recta tangente tem declive 3.

17. Considere a função g , de domínio 1\IR , definida por x

xg

1

12)( .

17.1 Determine o conjunto dos números reais x tais que 1)( xg .

Apresente a resposta final na forma de intervalo ( ou união de intervalos).

17.2 O gráfico da função dada tem duas assímptotas. Escreva as suas equações.

17.3 Na figura estão representadas graficamente

a função g e a sua derivada g . Os pontos A e

B são os pontos de intersecção dos gráficos.

A função derivada de g é a função definida

por 21

1)(

xxg

.

. Determine uma equação da recta tangente

ao gráfico de g , no ponto de abcissa 3.

18. Seja 3,3u um vector director de uma recta s. Supondo que s é tangente ao

gráfico de uma função g num ponto de abcissa a, podemos afirmar que:

0

A

B

33

(A) 3

3)( ag (B)

6)(

ag

(C) 3

3)( ag (D)

3)(

ag

19. Uma função f tem domínio IR e contradomínio

0IR .

Qual das seguintes expressões poderá definir analiticamente a função f ?

(A) senx (B) 3x (C) x (D) x

20. Considere a função de domínio R definida por

2cos3)(

senxxg

20.1 Determine as soluções da equação 1)( xg pertencentes ao intervalo

;2 .

20.2 Prove que é verdadeira a afirmação: O contradomínio de g é um conjunto

limitado.

20.3 Calcule a ordenada do ponto do gráfico de g, cuja abcissa é 23 /6.

21. Na figura estão as representações gráficas das funções f e g de domínio IR .

Responda às seguintes questões, apresentando os cálculos ou justificações

necessários.

21.1 Determine o valor de:

21.1.1 3 fg

21.1.2 31 g

21.1.3 )2( fg

21.2. Calcule:

21.2.1. A taxa média de variação

de f, no intervalo 2,3 .

21.2.2. Um intervalo onde a taxa média de variação de g seja negativa.

21.2.3. Os valores de IRx para os quais 0)( xf .

4

2

-2

-4

y

-10 -5 5 10x

y=g(x)

y=f(x)

0 1

-3

2

3

-1

34

21.2.4. O domínio da função g

f

21.2.5. Os valores de x para os quais a função gf é não negativa.

21.2.6. O domínio da função g .

22. O gráfico de uma função g tem por assímptotas 2x e 5y

Então o gráfico da função f , definida por 2)´1()( xgxf tem por

assímptotas:

(A) 73 yex (B) 71 yex

(C) 33 yex (D) 31 yex

23. Na figura encontra-se representada uma função h , de domínio IR.

Qual dos conjuntos seguintes poderá representar o domínio da função g

definida por )(

1)(

xhxg

(A) baIR ,\ (B) ba,

(C) ; b (D) ,, ba

24. Considere a função 2

13)(

x

xxf ;

24.1 Escreva f(x) na forma dx

baxf

)( ;

24.2 Indique o domínio e o contradomínio da função.

24.3 Determine as assímptotas de f ;

24.4 Determine analiticamente os valores de x para os quais a função é positiva.

24.5 Determine pelo método que achar conveniente )2(1f .

x

y

35

25 Determine o domínio de cada uma das funções reais de variável real f, g, h, j assim definidas:

f(x) 76

25

2

2

xx

x

g(x)= 32 x

x

h(x) = 52

13

x

x

j(x)= 2||

1

x

x

26 Defina, por uma expressão analítica, uma função racional com as seguintes características:

a) Tem uma assimptota horizontal y = 4 , tem uma assimptota vertical x = 3 e a

imagem de 1 é 1. b) Tem dois zeros x = 4 e x = −3 e duas assímptotas verticais x =1 e x = 2 .

27 A previsão da evolução do preço de um determinado produto é calculada pela

função P, definida por

1

9503000)(

t

ttP

Em que P significa o preço em escudos caboverdianos e t o tempo em meses.

27.1. Qual o preço inicial do produto?

27.2. Qual o preço ao fim de 2 anos?

27.3. Haverá uma altura em que o preço seja aproximadamente 620 euros?

27.4. Interprete no contexto do problema a assimptota horizontal do gráfico da

função.

28. Sabe-se que o ponto P (1,3) pertence ao gráfico da função . f (x) = 2ax −1, a Є

IR. Qual é o valor de a ?

(A) 2 (B) 1 (C) 0 (D) −2

26 Na figura 1 está representada parte do gráfico de uma função g, de domínio IR e

contínua em IR \ {-2}

As rectas de equações x=-2 e y= 1 são as únicas assímptotas do gráfico de g..

36

Seja (xn) uma sucessão tal que (xn) = +∞

Qual das expressões seguintes pode ser o termo geral da sucessão (xn)?

(A) -2 + (B) -2 - (C) 1 + (D) 1 -

27 A figura representa parte do gráfico d função f , de domínio IR, sendo y = -1 a

equação da única assimptota do seu gráfico.

30.1. Qual é o valor do ?

(A) -∞ (B) - 1 (C) 3 (D) −3

27.1 Verifique se é verdadeira ou falsa, cada uma das seguintes afirmações:

A função derivada da função f é uma função afim.

A derivada da função f nunca se anula.

37

A segunda derivada de f é negativa.

28 A massa de uma substância radioactiva diminui com a passagem do tempo.

Supõe-se que, para uma amostra de uma determinada substância, a massa, em

gramas, ao fim de t horas de observação, é dada pelo modelo matemático:

M(t) = 15 e-0,02t para t > 0.

Resolva, usando métodos analíticos, as questões que se seguem.

30.1. Ao fim de quanto tempo se reduz a metade a massa inicial da amostra da

substância radioactiva? Apresente o resultado em horas arredondadas às

centésimas.

30.2. Mostre, justificando, que houve pelo menos um instante, entre as 2 horas e

as 4 horas após o início da observação, em que a massa da amostra da

substância radioactiva atingiu os 14 gramas.

29 Considere a função g, de domínio IR, definida por

g(x) = 2 + sen (4x) .

32.1 Estude a monotonia da função g, no intervalo ]0 ; 2π [ , indicando o valor

dos extremos relativos, caso existam, e os intervalos de monotonia.

32.2. Resolva em IR a condição g(x) < 3/2

30 Considere a função g definida graficamente ao lado.

38

32.1) Determine:

o domínio e o contradomínio

o conjunto onde g(x) > 0

os zeros

os mínimos locais e os respectivos

minimizantes

o máximo absoluto

um intervalo onde g é positiva e

injectiva

33.2. Complete : g(-2) = . . . . ; g(-) = . . . . . . ; g( . . . . )= 2 .

33.3. Construa a tabela de sinal da função g.

33.4. Construa a tabela de variação da função g.

33.5. Determine analiticamente a expressão analítica da função g para valores de x inferiores a –2

34. O ponto (-1, 3) pertence ao gráfico da função h cuja representação representado

a seguir.

39

34.1. Quais são as coordenadas do ponto correspondente ao gráfico de g sendo

g(x) = h(x+3) ?

(A) (-1, ) ; (B) ( -1, - ) (C) (-1, ) (D) ( -1 , 3 ) .

35. A magnitude de um sismo na escala de Richter é dada pela expressão

M (w)= 0.67 log (0.37 w) + 1.46

Onde w representa a energia do sismo em Kw/hora.

35.1. Indique o contradomínio e explica o seu significado para essa função

concreta.

35.2. Determine a magnitude de um sismo com energia de 50 000 Kw/hora.

35.3. Caracterize a função inversa de M.

35.4. Determine a energia de um sismo de magnitude 7.

36. Mostre que log(1 - x3) – log(1 - x) = log (1 + x + x2 ) , x Є - , 1 .

37. Considere a função g definida por g(x) = .

37.1. Determine a(s) equação(ões) da(s) assimptota(s) ao gráfico da função g

37.2. Determine para que valores do domínio o gráfico da função dada situa-se no semi-plano inferior.

37.3. Analise a função dada quanto à monotonia e existência de extremos.

38. Seja f uma função real definida por

38.1. Analise se a função f é continua para x = 2

38.2. Investigue, utilizando a definição, se existe derivada de f para x = 2.

40

39. Esboce o gráfico de uma função que verifique simultaneamente as condições seguintes:

tem domínio -5 , 6 ;

não tem derivada, mas é contínua para x = 5 ;

é descontínua em x = 0 ;

tem derivada negativa para x < 0 ;

tem uma assimptota vertical para x = 6 .

40. Considere as funções reais de variável real g e h definidas analiticamente por :

x g(x) = x h(x) =

40.1. Escreva a expressão da função g na forma y = a + b/(x+c)

40.2. Determine o domínio, contradomínio da função g.

40.3. Indique as assimptotas ao gráfico de g.

40.4. Construa a tabela de variação de g.

40.5. Resolva e apresente o conjunto solução da equação g(x) = f(x)

40.6. Caracterize a função composta f o g , referindo domínio e expressão

analítica.

41. Para que um medicamento produza o efeito desejado, a sua concentração na

corrente sanguínea deve estar acima de um certo valor, designado por nível

terapêutico mínimo.

A concentração do medicamento Semdor, t horas após ser ingerido, é dada

pela expressão C(t) = , em mg/l e o seu nível terapêutico mínimo é de 4

mg/l. Determine quando é excedido esse nível terapêutico.

41

42. Identifique qual das seguintes afirmações é falsa:

(A) Para f(x) = ex , então f(-0.5)= - ;

(B) Para 0< a < 1, f(x) = ax é uma função decrescente;

(C) O gráfico de y = a-x , a > 1, tem uma assimptota horizontal;

(D) log 3 (102) + log 3 (105) = 7 log 3(10).

43. Observe o gráfico seguinte representativo da função g e, das afirmações que são feitas, escolha a única que é verdadeira.

(A) A função g(x) = f(x + 4) tem contradomínio

positivo;

(B) Existe a função inversa de f;

(C) O gráfico de g(x) = f(x) + 4 é obtido a partir

de uma deslocação do gráfico de f associado

ao vector (4,0);

(D) f ´(-4) não existe .

44. A figura abaixo representa o gráfico da função f. Escolha a afirmação verdadeira:

(A) e ;

(B) e

(C) e ;

42

(D) e .

44. De uma certa função f : IR+ IR sabe-se que:

f(1) = 0 ;

a sua derivada, f ´ é definida por f ´ (x) =

45.1. Escreva uma equação da recta tangente ao gráfico de f no ponto de

abcissa 1.

45.2. Poderá concluir-se que f é continua para x = 1? Justifica a tua resposta.

45.3. Estude a monotonia de f e averigua quanto à existência de extremos relativos.

46. A função p, definida por p(x) = 3600(4/3 )-x

+ 40x para x > 0, é usada para

determinar o preço (em contos) do automóvel Prado 4D, passados x anos após a

sua compra.

46.1. Qual o custo inicial do carro.

46.2. Determine o custo do carro ano e meio depois da sua compra.

46.3. O Sr. António gostaria de ter esse carro, apesar de não ter condições para o

comprar novo. Sabe que apenas pode dispensar 50 contos mensais durante

ano e meio. Qual o número mínimo de anos do Prado 4D que o Sr António

pode comprar?

46.4. Caracterize a função inversa da função j, definida por

j(x)= p(x) – 2(1 + 20x)

47. Esboce o gráfico de uma função que verifique cumulativamente as condições :

- tem apenas um zero para x = 2 ;

- tem a segunda derivada negativa para x < 0 ;

43

- é continua mas não é derivável para x = 0 ;

- para x>0 tem a primeira derivada positiva ;

- para x>0 tem a segunda derivada negativa.

48. Considere as funções f , g e h assim definidas

1 se

2

5

1 se 54

)(

2

xkx

k

xxx

xf

)32(log2

1)(

2

1 xxg 2 2( ) .cosxh x e x

48.1. Determine o valor de k, de modo que a função f, seja contínua em x = 1.

48.2. Utilizando a definição, calcule f ‟ (1+) .

48.3. Resolva a condição )1(log)(2

1 xxg .

48.4. Identifique, em relação à função h, a afirmação verdadeira:

A) h(5π/2)= - e-5π B) h(5π/2)= e-5π

C) h(5π/2) = 10

1

e

D) h(5π) = 10)(

1e

E) h(5π) = 0 F) todas as alíneas anteriores são falsas.

49. Seja a função m real de variável real definida por:

2 8( )

3

xm x

x

49.1. Estude a função m, quanto à monotonia e existência de extremos relativos.

49.2. Escreva as equações das assimptotas verticais e não verticais, caso

existam, do gráfico da função m.

50. A maquete de uma escada foi construída com a retirada de um paralelepípedo

recto e rectângulo, de outro paralelepípedo recto e rectângulo de dimensões 12,

4 e 6 representada na figura seguinte.:

44

x

y

x

y

x

y

50.1 O menor volume possível para essa maquete é:

A) 190 B) 180 C) 200 D) 194 E) 240

50.2. Analise o significado geométrico do volume retirado nas condições de 1.1.

51. Uma função f é representada graficamente de acordo com a figura ao lado.

Uma representação gráfica da função derivada

de f pode ser:

(A) (B) (C) (D)

52. Dada a função 3( ) 6g x x x , então os zeros da sua função derivada são:

(A) 0, 6 (B) 2, 2 (C) 1

,16

(D) 3,1

53. Uma bola é lançada de baixo para cima na vertical e a sua altura em relação ao

solo é dada pela função 2( ) 45 5e t t t , onde e é o espaço percorrido em

metros e t o tempo em segundos.

53.1 Determine o valor da velocidade média da bola no intervalo 2,3 .

53.2 Calcule a velocidade no instante 2,5 segundos

53.3 Determine a altura máxima atingida pela bola.

x

y

x

y

f

45

54. Para cada valor real de a, a função f representa uma função real de variável

real.

ax xx

axxxxf

se 1

se 32)(

2

2

54.1 Para que f defina uma função contínua, qual deve ser o valor de a?

54.2 Para a = 0:

54.2.1. Analise a função obtida em relação à monotonia e existência de

extremos.

54.2.2. Calcule as derivadas laterais da função obtida, no ponto de abcissa x=0

e conclua sobre a existência de derivada nesse ponto.

54.3 Escreva uma equação da recta tangente ao gráfico de f no ponto de

abcissa x= 1, quando a = 3.

54.4 Mostre que para qualquer valor de a, o contradomínio de f não é um

conjunto limitado.

55. A função j está definida em IR por j(x) = log1/3 (2x - 1) + 4log1/3

55.1. Determine o domínio da função j dada.

55.2. Determine para que valores do domínio, o gráfico da função j situa-se no

semi-plano superior.

55.3. Mostre que j é injectiva no seu domínio (primeiro utilize as propriedades do

logaritmo e depois analise a injectividade da expressão obtida à luz dos

intervalos de injectividade dos polinómios do 2º grau).

55.5. Escreva uma expressão da função derivada da função j

56. Quando uma substância radioactiva se desintegra, a sua massa, medida em

gramas, varia de acordo com uma função do tipo

m(t) = a.ebt , t > 0,

em que a variável t designa o tempo, medido em milénios, decorrido desde um

certo instante inicial. A constante real b, depende da substância e a constante

real a é a massa da substância no referido instante inicial.

Relativamente a um certo fóssil, sabe-se que:

46

• a massa de carbono-14 nele presente, mil anos depois de um certo instante

inicial, era de 2,91 g

• a massa de carbono -14 nele presente, dois mil anos depois do mesmo instante

inicial, era de 2,58 g

Tendo em conta estes dados, determine:

• o valor da constante , para o carbono -14;

• a massa de carbono -14 que existia no fóssil, no referido instante inicial.

57. De uma função f de domínio [1; 3] sabe-se que:

• f é contínua em todo o seu domínio

• f(x) < 0 para qualquer x do intervalo [1; 3]

• f(1)= f(3)

Das afirmações seguintes em relação à função f, identifique as que são

verdadeiras:

a) A função f é uma função constante.

b) O gráfico da função f situa-se no semi-plano inferior direito

c) A função f é ou monótona crescente ou monótona decrescente.

d) A função f admite x=1 x= 3 como maximizante

e) Se a função f não for constante então admite extremos.

f) Nada se pode concluir em relação à injectividade da função f.

58. De uma função f, de domínio IR, sabe-se que:

a sua derivada, f‟ , é definida por f ‟(x) = (2-x)ex

a ordenada do ponto de intersecção do seu gráfico com o eixo dos yy‟ é 3

58.1 Escreva uma equação da recta tangente ao gráfico de f no ponto em que

intersecta o eixo dos yy‟

58.1 Identifique os intervalos de monotonia da função f .

58.2 Conclua sobre a existência de extremos.

59 A função real de variável real g, está definida analiticamente por :

47

g(x) =

59..1 Determine o domínio da função dada.

59.2. Calcule o

59.3. Justifique a afirmação : a recta tangente ao gráfico da função g no ponto de

abcissa 4, é decrescente.

59.4. g não admite assimptotas horizontais. Apresente os cálculos que provem a

afirmação.

60 Sabe-se que a concentração, C, em miligramas por litro, de um analgésico, na circulação sanguínea, t horas após a sua ingestão, é dada por:

C(t) = 10 (e-t – e-2t)

60.1 Determine o tempo necessário para que a concentração desse analgésico

seja superior a 0,01.

60.2 Mostre que C‟(t) = 10 (2e-2t – e-t)

60.3 Determine o tempo (hora) a partir do qual a concentração começa a

diminuir.

61 A função m, é definida analiticamente por m(x) = 1+ e1-tg (2x)

61.1 Determine o domínio de m

61.2 Determine os valores de x que satisfazem a condição m (x)= 2.

61.3 Calcule m „ (x).

61.4 Verifique se m admite assímptotas.

62 Na figura seguinte está representado um projecto de uma escultura em cimento

para o jardim de uma escola, constituída por uma esfera colocada sobre um

cubo.

Pretende-se que a escultura tenha uma altura total de 2 metros.

48

Apresentam-se, a seguir, as vistas de frente de três possíveis concretizações desse

projecto.

Designe por x o raio da esfera (em metros):

62.1. Indique, na forma de intervalo de números reais, o conjunto dos valores que

a variável x pode assumir.

62.2. Mostre que o volume total, V , em metros cúbicos, da escultura é dado, em

função de x , por

62.3. Determine o raio da esfera e a aresta do cubo de modo que o volume total

da escultura seja mínimo. Apresente os resultados em metros,

arredondados às centésimas.

63 Considere o triângulo da figura inscrito numa semi-circunferência de centro C.

63.1. Justifique que o triângulo é rectângulo.

63.2. Exprima a área (A) do triângulo em função do raio e do cateto x.

63.3. Qual deve ser o raio da circunferência para que o triângulo tenha área 10 e um cateto seja o dobro do outro?

2m 2m 2m

x

. C

49

63.4. Se o raio for igual a 5, qual é a maior área do triângulo inscrito?

64 Na figura pode encontrar parte da representação gráfica de uma função f, de

domínio IR.

Tal como a figura sugere, o eixo OX e a recta de equação Y=1 são assímptotas

do gráfico de f.

Seja g a função, de domínio IR, definida por g(x) = ln [ f (x) ]

Numa das opções seguintes está parte da representação gráfica da função g.

Em qual delas?

65 Considere a função f definida

50

analiticamente por geometricamente por :

65.1 Determine a distância entre os pontos do gráfico da função f para os quais

admite extremos relativos.

65.2 Determine os zeros de f e construa a tabela de sinais de f.

65. Observe o gráfico seguinte relativo a uma função f de domínio 1,1; 4 e

contradomínio 0,2 ; 1.

65.1 A partir do gráfico apresentado, represente graficamente as funções

definidas por:

a) f (x) + 1;

b) 3 f (x);

c) f (2x);

d) f (0,5x);

e) |f (x)|

f) f (|x|).

-1 0 1 2

y

x

51

65.3 Identifique, para cada uma das funções anteriores, o domínio,

contradomínio e zeros.

66. Considere a função f de domÌnio IR e de contradomínio [a , b [, com a, b IR.

Indique, justificando, os contradomínio das seguintes funções:

a) f (x) – 3

b) –3.f (x)

c) f (x –3)

d) | f (x) | sabendo que a < 0 e que b < 0