Integração numérica

Aula 10 Fórmulas de Newton-Cotes:

Trapézios;

Simpson;

Quadratura Gaussiana.

Funções mal condicionadas

1

Integração Numérica

2

Embora na maioria das situações práticas tem-se derivadas, que constituem equações diferenciais, para resolver, em outras situações objetiva-se determinar o valor aproximado da integral

onde a função integrando f(x) pode ser dada analiticamente ou por meio de uma tabela de pontos [xi,f(xi)], i = 0, 1, ..., n.

b

a

f(x)dxI

Se f(x) for dada para um conjunto discreto de pontos contidos no intervalo [a,b] ou se for conhecida uma regra para o cálculo de f(x), para qualquer valor de x, então é possível realizar a interpolação de f(x) por meio de um polinômio e integrar este polinômio para que um valor aproximado de I seja obtido.

A seguir são apresentadas algumas fórmulas para intervalos igualmente espaçados: Trapézios e Simpson.

Fórmula dos Trapézios

3

A integral de uma função f no intervalo [a,b] pode ser aproximada pela área de um trapézio, conforme a figura

de forma que

O valor fornecido por esta fórmula é uma aproximação de ordem 1 do valor exato da integral. Assim, existe um erro, dado pela diferença:

b

a 2abf(b)][f(a)f(x)dx

b

a 2abf(b)][f(a)f(x)dxE

Fórmula dos Trapézios

4

Para reduzir este erro pode-se obter uma melhor aproximação com a soma de vários trapézios.

Subdividindo o intervalo [a,b] em n subintervalos de mesmo comprimento h = (b-a)/n, considerando x0 = a, xn = b e os pontos intermediários xi+1 = xi + h, para i = 0,1,...,n-1, obtêm-se, para cada subintervalo [xi-1,xi], uma integral

i

1-i

x

xi1-i )](x f)(x [f

2hf(x)dx

Sejam f(x), f'(x) e f''(x) contínuas em [a,b] e seja n um inteiro positivo.

Fórmula dos Trapézios

5

Somando todos os subintervalos obtém-se a fórmula dos trapézios (composta) para f(x) com espaçamento h:

que é uma aproximação da integral de f(x) e, portanto, escreve-se

)(x f)(x f)(x f 2)(x f2h),( n1-n10 hfT

e o erro de truncamento é estimado como

b

a

h)E(f, h)T(f, f(x)dx

|(x)f|maxa)(b12hh)E(f,

b][a,x

2

Exemplo ...

Fórmula de Simpson

6

Visando obter uma melhor aproximação para integração utiliza-se um polinômio de ordem 2 na fórmula de Simpsom. Para o intervalo [a,b], assumindo que h = ( b – a )/2 resulta

onde corresponde ao ponto médio entre “a” e “b”; para obter um polinômio de segundo grau são necessários 3 pontos.

]dx2h

(a) fΔm)a)(x(xh(a) f Δa)(x(a) [f(x)dxp 2

2b

a

b

a2

b)/2(a m

Via mudança de variáveis e e mudança do intervalo para [0,2], resulta

αhaαx hdαdx

(b)] f(m) f 4(a) [f3hdαh ]

2(a) fΔ1)(α α(a) f Δ α(a) [f(x)dxp

22

0

b

a2

Fórmula de Simpson

7

ou seja

Quando este processo é repetido em subintervalos de [a,b] tem-se a extensão da regra.

Sejam f, f', f'', f(3) e f(4) contínuas no intervalo [a,b]; subdividindo o intervalo em 2n subintervalos de espaçamento igual

h =

e usando os pontos a = x0 < x1 < ... < x2n = b, tem-se

(b)] f(m) f 4(a) [f3h(x)dx f

b

a

2nab

n

1k2k12k22k )](x f)(x f 4)(x [f

3h),( hfS

Fórmula de Simpson

8

ou então

Esta é uma aproximação para a integral de f (x). Portanto,

)}(x f)](x f)(x [f 2)](x f)(x [f 4)(x f {3h),( 2n22n212n10 hfS

b

a

h)E(f, h)S(f, f(x)dx

onde

|(x)f|max)x(x180hh)E(f, (4)

]x,[xx02n

4

2n0

Observe que o intervalo [a,b] deve ser dividido sempre em um número par de subintervalos para poder aplicar esta fórmula.

Exemplo ...

9

Exemplo: Considere que um agricultor pretende reaproveitar uma benfeitoria como depósito para estocar a safra. Sabe-se que a benfeitoria tem 30m de largura, 4,5m de altura máxima e 60m de comprimento. Para a curvatura, segundo a figura, considere que x seja a posição de cada estaca e y a sua altura, dada na tabela. A partir destes dados, qual a capacidade de armazenamento deste depósito?

Fórmula de Simpson

Solução: Usando o método de Simpson, para n = 6, tem-se

²67,96m3

290 dyy

0])42(43)4,5(3 4[035 dyy

)}(x f)](x f)(x f[4)](x f)(x f)(x [f 2)(x {f3hf(x)dx

230

0

30

0

6425310

b

a

m

Como o depósito possui 60 m de comprimento a capacidade total será de

32t 5.800m96,67m x 60mC

10

Quadratura de Gauss

A idéia da Quadratura de Gauss-Legendre é determinar fórmulas de integração que sejam exatas para polinômios de grau ≤ 2n – 1 (onde n são pontos distintos utilizados). Para isso, relaxa-se o critério de Newton-Cotes de que os pontos de integração sejam igualmente espaçados.

Os pontos podem ser escolhidos de tal maneira que a área do trapézio seja a mais próxima possível da área sob a curva.

11

Quadratura de Gauss

De maneira geral, uma fórmula de Newton-Cotes que aproxima f (x) por um polinômio que interpola f (x) em x0, x1, ..., xn (igualmente espaçados) é exata para polinômios de grau menor ou igual a n. As fórmulas de Gauss são exatas para polinômios de grau menor ou igual a 2n+1 e são escritas como

Para obter a fórmula para n = 1 é necessário determinar A0, A1, x0 e x1 tais que

)f(xA)f(xA)f(xAf(x)dx nn1100

b

a

)f(xA)f(xAf(x)dx 1100

b

a

seja exata para polinômios de grau menor ou igual a 3.

( * )

12

Quadratura de Gauss

Para facilitar os cálculos, façamos uma mudança de variável de x para t, no intervalo [-1,1], representando em:

dt2

a-bdx e a)]t(bb[a21x

1

1

b

a

F(t)dt2

abf(x)dx

resultando

com F(t) = f [x(t)].

Dedução ...

13

Quadratura de GaussDedução: Para generalizar o resultado para o intervalo [a, b], precisamos entender como x se relaciona com t:

Para relacionar x com t, posso definir uma reta passando pelos pontos (-1, a) e (1, b), Então, tomando a equação da reta, temos que:

22)(

22

2)(

22)(

)1(11

)()()( 001

010

abtabtx

aabtabtxabtabatx

tabatxttttxxxtx

14

Quadratura de Gauss

Esta fórmula é exata para polinômios de grau menor ou

igual a 3 e considerando que

0 tAtA)(t g A)(t g A41-

41

4dt t

32 tAtA)(t g A)(t g A

31

31

3dt t

0 tAtA)(t g A)(t g A21

21

2dtt

2 AA)(t g A)(t g A111dt

311

3001100

1

1-

41

1-

3

211

2001100

1

1-

31

1-

2

11001100

1

1-

21

1-

1011001

1-

1

1-

t

t

t

t

15

Quadratura de Gauss

cuja solução é

0tAtA2/3tAtA0tAtA

2AA

311

300

211

200

1100

10

obtêm-se o sistema

1AA 33 t

33t 1010

16

Quadratura de Gauss

Da teoria dos polinômios ortogonais, segue que os tk são as raízes de polinômios de Legendre e os coeficientes Ak (da Equação (*) ) são obtidos da solução do sistema de equações resultantes, cujos valores são indicados na tabela a seguir:

Para F(t) correspondendo aos polinômios tk para k = 0, 1, ..., 2n+1, tem-se

par ék se 1k

2ímpar ék se 0

dt t1

1

k

17

Quadratura de Gaussn tk Ak k

1 -0,57735027 1,00000000 0

0,57735027 1,00000000 1

2 -0,77459667 0,55555556 0

0,00000000 0,88888889 1

0,77459667 0,55555556 2

3 -0,86113631 0,34785485 0

-0,33998104 0,65214515 1

0,86113631 0,34785485 2

0,33998104 0,65214515 3

4 -0,90617985 0,23692689 0

-0,53846931 0,47862867 1

0,00000000 0,56888889 2

0,90617985 0,23692689 3

0,53846931 0,47862867 4

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Quadratura de Gauss

Solução: Observe que, pela tabela

Exemplo: Integre f (t) = t3 + 2 em (-1,1) por quadratura gaussiana com n=2.

)(t fA)(t fA)(t fA2)dt(tI 221100

1

1-

3

t0 = - 0,77459667 A0 = 0,55555556

t1 = 0,00000000 A1 = 0,88888889

t2 = 0,77459667 A2 = 0,55555556Desta forma,

I = 0,55555556 [(-0,77459667)3 + 2] + 0,88888889 [(0,00000000)3+2] + 0,55555556 [( 0,77459667)3 + 2] = 4,0

Exemplo ...

19

Funções mal condicionadas

Exemplo: Discuta o procedimento de solução de

Funções singulares ou mal condicionadas são aquelas de difícil convergência para o resultado real. O exemplo que segue torna clara a situação.

Se x = 1, esta função apresenta singularidade, que precisa ser evitada. Através da substituição

x = sen(u) e dx = cos(u) du

dx x1

senx1

02

resulta

du u)(sen sen du (u) cos sen1

u)(sen sen dx x1

senx )(sen

0

)(sen

02

1

02

-1-1

uu

u

Após a mudança qualquer método pode ser empregado para obter a solução.

1. Integre f (x) = no intervalo [2,6] com a fórmula dos trapézios considerando h = 1. Refaça os cálculos para h = 0,1 e compare os resultados.

2. Determine h para que por Simpson a integral tenha erro menor que 10-4.

3. Determine h de forma que o erro máximo de

seja da ordem de 10-5 por trapézios. O valor de h seria o mesmo no caso da fórmula de Simpson?

4. Calcule por Simpson com erro menor que 10-4.

20

Exercícios

53 x

dxe2

1

x I

3

1 2xdxI

dx x1

11

02

I

21

Exercícios

3

2

x-5 )dxe-(x

8

2

4xdxe

5. Determine a integral de pelo método numérico mais preciso.

6. Via Gauss com n = 3 obtenha e compare com a solução exata.

7. Calcule o valor de a partir da relação com 4 sub- intervalos por Simpson.

8. A função

é usada em termodinâmica para o cálculo do calor específico a volume constante de certas substâncias. Calcule uma aproximação para esta função no ponto x = 2 com 3 subintervalos.

π

1

02x1

dx4π

dy 1e

yx3)(

x

0y

3

3 xD

22

Exemplos da aulaTrapézios:

Na tabela é fornecida a velocidade (km/h) de um cavalo em função do tempo. Deseja-se determinar a distancia percorrida pelo cavalo após 24 min

t (h) 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40v (t) 4,2 7,5 9,0 10,5 7,0

Solução: A distância percorrida (d) é dada por 0,4

0

v(t)dtd

Pela fórmula dos trapézios para n = 4 e h = 0,1 resulta

7,0]10,5)9,0(7,5 2[4,22

0,1h)T(v,

Desta forma, a distância percorrida é de aproximadamente

km 3,26h)T(v,d

23

Exemplos da aulaSimpson:

Determine o volume de uma racha supondo que a mesma possa ser aproximada pelos pontos da tabela, onde R(x) é o raio médio na posição x.

Solução: Por Simpson com n = 3 e h = 1 obtêm-se

x 0 1 2 3 4R (x) 0,7 2,6 3,9 2,1 0,2

79,20

]04,0(15,21) 2)41,4(6,76 4[0,493π

](0,2) )(3,9) ( 2)(2,1) ((2,6) 4(0,7) [3π

])(x f))(x f ( 2))(x f)(x f ( 4)(x [f3π V

22222

24

22

23

21

20

24

Exemplos da aulaQuadratura Gaussiana:

Aproxime a integral por quadratura gaussiana com n=2

Solução: O intervalo I = [0,4] deve ser transformado para [-1,1]. Assim, deve-se calcular

4

02x

dx

1

1

4

02

F(t)dt2

abxdx

Via mudança de variáveis

1)(t 22

042

04t 2

ba2

abt x

resulta

6,0

2)(2t1 0,555556

2)(2t1 0,888889

2)(2t1 0,555556 2

)]F(tA)F(tA)F(t[A 2

04xdx

22

21

20

221100

4

02

com t0 = -0,7745967, t1 = 0,000000 e t2 = 0,7745967.

Fonte:•Material do professor Dr. Régis Quadros;•RUGIERO, Márcia A. G. & LOPES, Vera L. R. Cálculo Numérico aspectos Teóricos e Computacionais. 2. Ed. São Paulo, Makron Books do Brasil, 1996.

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