newton cotes

F.A.C Integração Numérica

Manuel Clemente 2001-2002 1/15

FÓRMULAS DE INTEGRAÇÃO DE NEWTON-COTES

O cálculo de ∫=b

adxxffI )()( sob determinadas condições de regularidade de f

em [a,b] pode ser dado pelo Teorema Fundamental do Cálculo, tendo-se

)()()( AFbFfI −=

em que F é uma primitiva de f. Mas existem casos em que não será bem assim. Porexemplo se tivermos

∫ −1

0

2

dxe x

atendendo que a função integranda não é primitivável, não pode ser calculado utilizandoo Teorema Fundamental do Cálculo. Não sendo conhecida a expressão analítica dafunção integranda também não podemos utilizar o teorema citado para efectuar ocálculo do integral. É deste modo importante o desenvolvimento de técnicas numéricasque nos permitam calcular, por aproximação, o integral de uma função, e queespecifiquem estimativas para o erro com que vem afectado o valor determinado.

Suponhamos que a função integranda f , é positiva. Assim I( f ) é igual à medidada área da região limitada pelo gráfico de f e pelas rectas y = 0, x = a e x = b.

Se “substituirmos” o gráfico de f pela recta que passa pelos pontos (a, f(a)) e(b, f(b)) então podemos aproximar I(f) pela medida da área do trapézio assim definidoobtendo-se

))()((2

)( bfafab

fI +−

≈

A dedução de fórmulas de aproximação para o cálculo do integral pode ser feitarecorrendo à teoria de interpolação, se ao substituirmos a função integranda, f, pelo seupolinómio interpolador, Pn(x), obtemos o integral

∫b

a n dxxP )(



em que a função integranda é primitivável. Por aplicação do teorema Fundamental doCálculo obtemos uma fórmula de aproximação para I(f). A determinação de umaestimativa para o erro da aproximação obtida é dada por

∫ −=b

a n dxxPxFfE ))()(()(

Procedendo deste modo, obtemos fórmulas de aproximações que são designadaspor fórmulas de Newton-Cotes.

As fórmulas de Newton-Cotes são os métodos mais comuns de integraçãonumérica e baseiam-se sobretudo no cálculo, por aproximação, do integral de umafunção e onde também é especificada uma estimativa do erro com que vem afectado o

valor determinado. Sendo ∫=b

adxxffI )()( , o integral de uma função f podemos, por

aproximação, escrever:

∫∫ ≈=b

a n

b

adxxfdxxfI )()(

sendo )(xfn um polinómio da forma nn

nnn xaxaxaaxf ++++= −

−1

110 ...)( , e onde n é a

ordem do polinómio.Para as fórmulas de integração de Newton-Cotes, existem duas formas válidas:

formas fechadas – Onde o 1º e o último ponto nos limites de integração sãoconhecidos (para cálculo de integrais definidos).

formas abertas – O 1º e último ponto nos limites de integração não sãoconhecidos (para cálculo de integrais indefinidos). Neste trabalho não se irá abordar estetipo de forma.



A primeira regra de Newton-Cotes que iremos abordar será a fórmula (ou regra) dostrapézios (existem também autores que a designam por regra do trapézio).

Regra do Trapézio

A regra do trapézio corresponde ao caso onde o polinómio fn (x) é de 1ª ordem, ou seja

)()( 1 xfxfn = , então ∫∫ ≈=b

a

b

adxxfdxxfI )()( 1 , onde )(

)()()()(1 ax

ab

afbfafxf −

−−

+=

A área abaixo da recta que une os pontos f(a) e f(b) é uma aproximação dointegral de f(x) entre os limites a e b.

Assim sendo temos que o integral

∫

−

−−

+≈b

adxax

ab

afbfafI )(

)()()( = [ ]

b

a

ba ax

x

ab

afbfxaf

−

−−

+2

)()()(

2

−−−

−−+−= )(

2

)()())((

22

abaab

ab

afbfabaf . Depois de efectuados os cálculos

iremos obter a seguinte expressão 2

)()()()(

bfafabfI

+−≈ , a qual é designada por

Regra do Trapézio.

Quando empregamos a regra do trapézio, o resultado obtido vem afectado porum erro. De seguida mostra-se como calcular uma estimativa para esse erro.

Estimativa para o erro ( Regra do Trapézio)

Seja ∫≈b

adxxfI )(1 , então podemos escrever :

∫

−

′′+∆+=

b

adxh

fafafI )1(*

!2

)()()( 2 αα

ξα

onde f1 (x) é substituída pelo polinómio interpolador de Newton-Gregory (Interpolaçãopor pontos igualmente espaçados) (ver apêndice).



Para simplificar a análise fazemos h

ax −=α , ou seja, hax α+= . Como

hd

dx=

α, então αhddx = .

Para um intervalo (segmento): h = b-a, os limites de integração, a e b,correspondem a = 0 e b = 1. Então a equação

∫

−

′′+∆+=

b

adxh

fafafI )1(*

!2

)()()( 2 αα

ξα

pode ser expressa como ∫

−

′′+∆+=

1

0

2 )1(*2

)()()( ααα

ξα dh

fafafI . Assumindo

que para um pequeno valor de h, o termo )(ξf ′′ é aproximadamente constante, então

[ ]

−

′′+

∆+=

1

0

21

0

32

1

0

210 232

)(2

)()(ααξα

α hf

afafhI , logo

)12

1)((

2

)()( 3 −′′+

∆

+= ξfhaf

afhI (1).

Como ab

afbfaf

−−

=∆)()(

)( e sendo ab − = 1, então )()()( afbfaf −=∆ .

Substituindo esta expressão na expressão (1), obtemos

)(12

1

2

)()( 3 ξfhbfaf

hI ′′−

+

=

O 1º termo é designado por Regra do Trapézio e o 2º termo é o erro detruncagem (aproximação para o erro). Este poderá ser representado em termos de a e bde modo que

3))((12

1abfEt −′′−= ξ

onde ξ ∈ [a,b].

Se a função a integrar, f, for uma função linear, então )(ξf ′′ = 0 ⇒ tE = 0, e

assim sendo, a Regra do Trapézio é exacta.

Aplicação Múltipla da Regra do Trapézio

A aplicação múltipla da Regra do Trapézio consiste em dividir o intervalo totalde integração de a a b, em subintervalos (segmentos) e aplicar o método a cada umdesses subintervalos. As figuras seguintes mostram casos de aplicação múltipla, a (a)quando se tem dois subintervalos e a (b) para cinco subintervalos .



(a)

(b)

A figura seguinte mostra o formato geral e a nomenclatura que se irá utilizar paracaracterizar os integrais da aplicação múltipla.



Existem n+1 pontos igualmente espaçados (x0, x1, x2,..., xn), e consequentementeexistem n subintervalos com igual largura. A largura desses subintervalos é dada por:

n

abh

−=

Se a e b são designados como x0 e xn, respectivamente, o integral total pode serrepresentado por:

∫∫∫ −+++=

nx

n

x

x

x

xdxxfdxxfdxxfI

11)(...)()(

21

0

Aplicando a Regra do Trapézio a cada integral obtemos:

+++

++

+≈ −

2

)()(...

2

)()(

2

)()( 12110 nn xfxfxfxfxfxfhI ,

simplificando e substituindo n

abh

−= , iremos obter a seguinte expressão geral:

n

xfxfxfabI

n

i ni

2

)()(2)()(

1

10 ∑ −

=++

−≈ . (2)

A estimativa para o erro, usando o método da aplicação múltipla da Regra doTrapézio, obtém-se através da soma dos erros individuais de cada subintervalo, e é dadapor:

)(12

)(

1

3

∑=

′′−−=

n

iit f

abE ξ

onde if ξ(′′ ) é a 2ª derivada de f(x) num ponto iξ , localizado no segmento i. Esta

expressão poderá ser simplificada, fazendo para isso uma estimativa do valor médio da

2ª derivada para o intervalo total, ou seja n

ff

n

ii )(

1∑

=

′′≈′′

ξ. Como ∑

=

′′n

iif

1

(ξ ) = n f ′′ ,

então a expressão poderá ser reescrita como:

fn

abEa ′′−

−=2

3

12

)(

Exemplo 1

Utilize a R. do Trapézio ( 2 intervalos) para estimar o integral de a = 0 a b = 0.8,da seguinte função:

f(x) = 400x5 - 900 x4 + 675 x3 - 200 x2 + 25x + 0.2

sabendo que o integral exacto desta função é de 1.64053334.

Como temos dois intervalos, n = 2 e como n

abh

−= , logo h = 0.4. Então



f(0) = 0.2f(0.4) = 2.456f(0.8) = 0.232

Substituindo estes valores na equação (2), temos que:

06688.14

232.0)456.2(22.08.0 =

++≈I , e a estimativa para o erro associado será dada

por 57173.006688.164053334.1 =−=tE , 009.34=tε e 64.0)60(

)2(12

8.02

=−−=aE ,

onde –60 é a média da 2ª derivada.Na tabela seguinte mostram-se os valores para o integral da função

f(x) = 400x5 - 900 x4 + 675 x3 - 200 x2 + 25x + 0.2 para diferentes n’s, como também aestimativa para o erro associado, através da utilização do método da múltipla aplicaçãoda R. do Trapézio.

Regras de Simpson (1/3 e 3/8)

A utilização das Regras de Simpson, implicam que as estimativas para osintegrais que se pretendem calcular sejam ainda mais exactas, devido à utilização deordens superiores. Por exemplo, se temos 1 ponto (a vermelho) entre f(a) e f(b), àmesma distância de a e b, estes podem ser ligados entre si por uma parábola. Ver a fig.seguinte.



Se entre f(a) e f(b) tivermos 2 pontos igualmente espaçados (a vermelho), os 4 pontospodem ser ligados através de um polinómio de ordem 3, como se ilustra na fig. seguinte.

As fórmulas resultantes da integração sob estes polinómios são chamadasRegras de Simpson.

Regra de Simpson 1/3

A Regra de Simpson 1/3 resulta quando um polinómio interpolador de 2ª ordem

é substituído na equação ∫∫ ≈=b

a n

b

adxxfdxxfI )()( , ficando ∫∫ ≈=

b

a

b

adxxfdxxfI )()( 2 .

Se a e b forem designados por 0x e 2x respectivamente e )(2 xf representada por um

polinómio de Lagrange de 2ª ordem, então o integral virá:

dxxfxxxx

xxxxxf

xxxx

xxxxxf

xxxx

xxxxI

x

x∫

−−

−−+

−−−−

+−−

−−=

2

0

)())((

))(()(

))(())((

)())((

))((2

1202

101

2101

200

2010

21

depois de integrar e de se proceder a algumas manipulações algébricas, obtêm-se

( ))()(4)(3 210 xfxfxfh

I ++≈ , onde 2

abh

−= . Esta expressão é conhecida como

Regra de Simpson 1/3. A “etiqueta” 1/3 tem a haver com o facto de h ser multiplicadopor 1/3. A expressão anterior ainda pode ser reescrita na forma geral:



( )6

)()(4)()( 210 xfxfxf

abI++

−≈ (3)

onde a = 0x e b = 2x e 1x é um ponto médio entre a e b o qual é dado por 21

abx

+= .

Podemos calcular a estimativa para o erro, substituindo )(2 xf no integral pelopolinómio interpolador de Newton-Gregory (ver apêndice). Depois da substituição ecalculando o integral obtemos a seguinte expressão:

onde o 1º termo é designado por R. de Simpson 1/3 e o 2º termo o erro de truncagem(Et ). O valor )(4 ξf , é a 4ª derivada de f no pontoξ .

A Regra de Simpson 1/3 é mais exacta que a Regra do Trapézio, pois∝tE ⇒)(4 ξf resultados exactos para polinómios de ordem 3.

Exemplo 2

Utilize a R. de Simpson 1/3 para estimar o integral de a = 0 a b = 0.8, da função:

f(x) = 400x5 - 900 x4 + 675 x3 - 200 x2 + 25x + 0.2

sabendo que o integral exacto desta função é de 1.64053334.

f(0) = 0.2f(0.4) = 2.456

f(0.8) = 0.232

substituindo estes valores na expressão (3)

36746667.16

232.0)456.2(42.08.0 =

++≈I

e a estimativa para o erro associado será dada por:

27306666.036746667.164053334.1 =−=tE , 006.16=tε e

( )273.0)2400(

2880

8.0 5

=−−=aE .

Aplicação múltipla da Regra de Simpson 1/3

Tal como a Regra do Trapézio, a Regra de Simpson 1/3 pode ser melhorada pela

divisão do intervalo e integração em subintervalos igualmente espaçados, n

abh

−= ,

onde n é o nº de subintervalos. Veja a fig. seguinte.

( ) 54210 )(

90

1)()(4)(

3hfxfxfxf

hI ξ−++=



O integral total pode ser representado como:

∫∫∫−

+++= n

n

x

x

x

x

x

xdxxfdxxfdxxfI

2

4

2

2

0

)(...)()(

Aplicando a R.S. 1/3 a cada integral, obtemos a seguinte expressão:

++++

+++

++≈ −−

6

)()()(...

6

)()(4)(

6

)()(4)(2 12432210 nnn xfxfxfxfxfxfxfxfxf

hI

a qual ainda se poderá representar numa forma mais geral,

n

xfxfxfxfabI

n

j nj

n

i i

3

)()(2)(4)()(

2

6,4,2

1

5,3,10 ∑∑ −

=

−

=+++

−≈ (4)

Uma estimativa do erro para a aplicação múltipla da R.S. 1/3, é obtida demaneira análoga que a obtida para a R.T, somando os erros individuais de cadasubintervalo, ou seja

44

5

180

)(f

n

abEa

−−=

Exemplo 3

Usando a mesma equação dos exemplos anteriores, mas com n = 4, vamosutilizar a expressão (4) para aplicação múltipla da Regra de Simpson 1/3. Os resultadosobtidos são os seguintes:

62346667.1≈I01706667.0=tE , 0

004.1=tε , 0170667.0=aE

Regra de Simpson 3/8



De uma maneira similar, tal como para as Regras do Trapézio e de Simpson 1/3,um polinómio de Lagrange de 3ª ordem pode ser ajustado por 4 pontos e integrado,

∫∫ ≈=b

a

b

adxxfdxxfI )()( 3 . Esta expressão pode ser representada numa forma geral do

tipo:( )

8

)()(3)(3)()( 3210 xfxfxfxf

abI+++

−≈ (5)

A estimativa para o erro desta regra é dada por:

)(6480

)( 45

ξfab

Et

−−= , onde ξ ∈ [a,b].

Devido ao denominador da expressão anterior ser maior do aquele que severifica para a R.S.1/3, a R.S. 3/8 é mais exacta. É preferível a R.S. 1/3 , pois sónecessita de 3 pontos, enquanto a R.S. 3/8 requere 4 pontos. Contudo a R.S. 3/8 temmuita utilidade quando o nº de subintervalos ( segmentos ) for um número impar.

Para conseguirmos obter um resultado ainda mais exacto, podemos empregarsimultaneamente os dois tipos de Regras de Simpson, 1/3 e3/8. Vejamos então oexemplo seguinte.

Exemplo 4

a) Utilize a Regra de Simpson 3/8 para integrar a mesma função dos exemplosanteriores.

b) Utilize conjuntamente as Regras de Simpson ,1/3 e 3/8, para 4 pontosigualmente espaçados.

a) Uma simples aplicação da regra 3/8 requere 4 pontos igualmente espaçados,

f(0) = 0.2 f(0.2667) = 1.43272428

f(0.5333) = 3.48717696 f(0.8) = 0.232

então utilizando a expressão (5) temos como resultado I ≈ 1.51917037. Para aestimativa do erro temos Et = 0.12136297, onde 0

04.7=tε e 1213696.0=aE .

b) Utilizando conjuntamente as duas regras, o integral para os dois primeirosintervalos é obtido utilizando a regra 1/3, e para os três últimos a regra 3/8( ver fig.),



e como os pontos necessários para 5 segmentos são:

f(0) = 0.2 f(0.16) = 1.29691904

f(0.32) = 1.74339328 f(0.48) = 3.18601472

f(0.64) = 3.18192896 f(0.8) = 0.232

(5

abh

−= ⇒ h = 0.16), então o integral para os dois primeiros intervalos é dado pela

expressão (3), e tem como resultado I1/3 ≈ 1.26475346.Para os três últimos segmentos, a regra 3/8 ( 5 ) é usada e tem como resultado

I3/8 ≈ 1.26475346. O integral total é a soma destes, ou seja

I = I1/3 + I3/8 = 1.64507716

sendo 1.64053334 o valor exacto do integral da função f(x) = 400x5 - 900 x4 + 675 x3

- 200 x2 + 25x + 0.2, temos que 0028.0−=tε e 00454383.0−=tE .

Como se pode verificar, obtemos uma maior exactidão nos resultados seutilizarmos as duas regras de Simpson conjuntamente. De seguida mostra-se uma tabelaonde estão expostas as fórmulas de Integração de Newton-Cotes tratadas nestetrabalho.

Intervalos(n)

Pontos Fórmula Estimativa para oerro

1 2

2

)()()(

bfafab

+−

( Regra do Trapézio)

)(12

1 3 ξfh ′′−

2 3 ( )6

)()(4)()( 210 xfxfxf

ab++

− 54 )(90

1hf ξ−



(Regra de Simpson 1/3)3 4 ( )

8

)()(3)(3)()( 3210 xfxfxfxf

ab+++

−

(Regra de Simpson 3/8)

54 )(80

3hf ξ−

APÊNDICE

Interpolação por pontos igualmente espaçados (Fórmula de Newton-Gregory)

Se temos pontos estão igualmente espaçados, então a variável independenteassume valores de,

x1 = x0 + hx2 = x0 +2 h

.

.

.xn = x0 + nh

onde h é a distância entre os pontos. As diferenças divididas podem ser expressas deuma forma mais concisa. Por exemplo, a 2ª diferença dividida exprime-se como:

( )

( ) ( ) ( ) ( )

02

01

01

12

12

210 ,,xx

xx

xfxf

xx

xfxf

xxxf−

−−

+−−

= , a qual pode ser expressa como

( ) =210 ,, xxxf2

012

2

)()(2)(

h

xfxfxf ++ (i)

pois 01 xx − = 12 xx − = 2

02 xx − = h . Sabendo que )( 0

2 xf∆ = )()(2)( 012 xfxfxf ++ ,

a expressão (i) pode ser escrita numa forma mais geral como:

( ) =nxxxf ..., 10 nhn

xf

!

)( 02∆



Usando esta equação e a expressão do polinómio interpolador de Newton,iremos obter uma expressão para pontos igualmente espaçados.

( )[ ] nn

n

n Rhnxxhxxxxhn

xfhxxxx

h

xfxx

h

xfxfxf +−−−−−−

∆++−−−

∆+−

∆+= 1)...)((

!

)(...))((

!2

)()(

)()()( 000

0002

02

00

0

Esta equação é conhecida como Fórmula de Newton-Gregory. Esta pode ser

ainda simplificada fazendo h

xx 0−=α , e então ficamos com uma expressão

[ ] n

n

n Rnn

xfxfxfxfxf ++−−

∆++−

∆+∆+= 1)...1(

!

)(...)1(

!2

)()()()( 00

2

00 αααααα ,

onde ( ) ( )( ) ( )nhn

fR n

n

n −−−+

= ++

ααααξ

...211

)( 11

.

Bibliografia

[1] Chapra, Steven C., Numerical Methods for Engineers, 2nd editon, Mc Graw-HillBook Company, 1989.[2] Patrício, M. F., Ferreira, J. A., Análise Numérica – Textos de Apoio, 1998/1999.



Nome: Manuel Eduardo Clemente SilvaCadeira: F.A.CAno lectivo: 2001 / 2002

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