6.1 diferenciaÇÃo numÉrica · acetato 4- diferenciação e integração numérica. 6.2.1 regra...

CAP. VI – DIFERENCIAÇÃO E INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

6.1 DIFERENCIAÇÃO NUMÉRICA

Em muitas circunstâncias, torna-se difícil obter valores de derivadas de

uma função:

derivadas que não são de fácil obtenção;

Exemplo (calcular a 2ª derivada):

f(x) = exp (( x + ln (sin (x2 + arctan (1+x3)1/2)) +1)) x )

de não se conhecer a expressão analítica da função, sendo esta

definida num número finito de pontos.

MÉTODOS NUMÉRICOS

Acetato 1- Diferenciação e Integração Numérica

Seja f(x) uma função contínua com derivadas contínuas até à ordem n+1 no

intervalo [a,b] , e xi , i = 0, ..., n , pontos do intervalo [a,b].

DERIVADAS DE 1ª ORDEM:

Consideremos o polinómio interpolador de Newton de 1º grau que

interpola f(x) nos nós x0 e x1:

)0x.(x10y0y(x)1p −∇+=

então, [ ]1x,0xf10y(x)'

1p =∇=

e, se ( ) ( ) ( ) ( )xpxfxpxf '1

'1 ≈⇒≈ , portanto

[ ]0x1x

)0f(x)1f(x 1x,0xf 1

0y (x)'1p (x)'f

−

−==∇=≈

Fazendo x=x0,

[ ]0x1x

)0f(x)1f(x 1x,0xf 1

0y )0(x'f−

−==∇≈

Sendo h = x1 – x0 , podemos escrever

[ ]

h

10y

10y 1x,0xf )0(x'f

∆=∇=≈

EXEMPLO:

Calcular a 1ª derivada da função f(x)=exp(sinx) no ponto x = 0.5 com h=0.01.


DERIVADAS DE 2ª ORDEM: Consideremos o polinómio interpolador de Newton de 2º grau que

interpola f(x) nos nós x0, x1 e x2:

)1x-)(x0x.(x2

0y)0x.(x10y)0f(x (x)2p = −∇+−∇+

Então, [ ]2x,1x,0xf22

0y2(x)''2p ⋅=∇⋅=

Fazendo x = x0 [ ] 2x,1x,0xf2 2

0y2 )0(x''f ⋅=∇⋅≈

Se os pontos forem igualmente espaçados h = x1 – x0 = x2 – x1, temos

[ ]2h2

)0f(x)1f(x2)2f(x 2 x,1x,0xf

⋅

+⋅−= ou [ ]

2h2!

20y2

0y 2 x,1x,0xf⋅

∆=∇=

donde [ ]

2h

)0f(x)1f(x2)2f(x 2 x,1x,0xf2 )0(x''f

+⋅−=⋅≈

ou [ ]2h

20y2

0y2 2 x,1x,0xf2 )0(x''f∆

=∇⋅=⋅≈

EXEMPLO:

Calcular a 2ª derivada da função f(x)=exp(sinx) no ponto x = 0.5 com h=0.01.

DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR:

Generalização desta técnica ao cálculo de derivadas de ordem superior !!


6.2 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

Se uma função f(x) é contínua no intervalo [a,b], e a sua primitiva F(x) é

conhecida, o integral definido daquela função entre a e b pode ser

calculado pela fórmula fundamental do cálculo integral:

∫ −==b

a)a(F)b(Fdx )x(fI

No entanto, em muitos casos, o processo anterior pode ser complexo ou

mesmo não ser possível, devido ao facto:

de a primitiva de f(x) não ser conhecida ou de fácil obtenção;

de não se conhecer a expressão analítica da função, sendo esta

definida num número finito de pontos.

MÉTODOS NUMÉRICOS

A técnica utilizada consiste em substituir a função integranda f(x) por um

polinómio pn(x) que aproxime f(x) no intervalo [a,b] :

∫ ∫≅=b

a

b

an xpdxxfI dx )( )(

Os métodos numéricos que vamos estudar pertencem ao grupo das

FÓRMULAS DE NEWTON-CÔTES:

Utilizam valores de f(x), onde os pontos são igualmente espaçados


6.2.1 REGRA DOS TRAPÉZIOS ANALITICAMENTE: Seja f uma função com derivadas contínuas até à 2ª ordem em [a, b] e

p1 o polinómio de grau 1 interpolador de f nos pontos a e b. Para a obtenção desta fórmula é utilizado o polinómio de Gregory-Newton de 1º grau:

z.y0y)x(1p 01∆+=

Assim,

dx (x)pdx f(x)Ib

a1

b

a∫∫ ≅= .

Para se aproximar a função f(x) por um polinómio de 1º grau, são

necessários 2 pontos: x0 e x1. Efectuando uma mudança no intervalo de

integração, isto é, passando do intervalo [a,b] para [x0, x1], tem-se:

( )dx .zy∆0y(x)dxpdx (x)p1x

0x0

11x

0x1

b

a1 ∫∫∫ +== .

Fazendo a mudança de variável h

xxz 0−=

h.dzdx xz.h x 0 =⇒+=⇔ e

0z h

xxz xx 000 =⇔

−=⇒=

1hhz

hxxz xx 01

1 ==⇔−

=⇒= ,

obtemos

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +=+≅ ∫ 0

10

1

0

20

10

1

00

10 y∆

21yh .zy∆

21zyh.h.dz ..zy∆yI

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+≅⇒= 01001y y

21y

21yh. I y-y∆ Como

0


( )10 yy.2h I +≅ Fórmula dos Trapézios

ou

( ))b(ff(a).2

a)-(b I +≅

ou

( ))x(f)f(x.2

x-x I 1001 +≅

GRAFICAMENTE :

Pelos dois pontos do extremo do intervalo faz-se passar uma recta e o

integral de f(x) é aproximado pela área sob esta recta (área de um trapézio).


ERRO DE TRUNCATURA :

A diferença entre o integral exacto de f(x) (área sob a curva f(x)) e o

integral aproximado (área do trapézio) é o erro de integração.

Para se determinar o erro cometido ao utilizar a regra dos trapézios, basta

integrar o erro de truncatura da aproximação polinomial:

( ) ba ,2!

f1)z.(zhe ' '

2T <ξ<

ξ−=

Integrando,

( )

∫ −=2!

1)hE1

0

' '2

T h.dzfz.(z ξ

Como z.(z - 1) não muda de sinal em ]a, b[, pelo teorema do valor médio

para integrais,

onde ∈η ]a, b[ ( )

( ) ( ) ( )η−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −η=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−η=

η ∫

' '3

' '31

0

23' '

3

1

0

2 ' 3

f12h

21

31 f

2h

2z

3zf

2!h

dz (z2!

= ' z)-fh

Como h = b – a vem:

( ) ( ) ba ,f

12hf

12a)(bE ' '

3' '

3

T <η<η−=η−

−=

ou

( ) xf maxM ,M

12hM

12a)(bE ' '

bxa22

3

2

3

T≤≤

==−

≤


EXEMPLO:

Calcular o seguinte integral, pela regra dos trapézios, e determinar uma

estimativa para o majorante do erro cometido. Calcular o integral

analiticamente e o erro absoluto cometido.

∫=3.6

3.0dx

x1I


FÓRMULA COMPOSTA DA REGRA DOS TRAPÉZIOS:

Uma forma para melhorar o resultado obtido utilizando a regra dos trapézios é

dividir o intervalo [a, b] em n subintervalos [xi, xi+1] de amplitude

na-bh =

e a cada subintervalo aplicar a regra dos trapézios.

GRAFICAMENTE:

ANALITICAMENTE:

( ) )y(y2h...)y(y

2hyy.

2h I n1n2110 ++++++≅ −

OU ( )n1-n210 y2y...2y2yy.2n

a)-(b I +++++≅ Fórmula dos Trapézios Composta

( )n1-n210 y2y...2y2yy.2h I +++++≅


ERRO DE TRUNCATURA:

O erro total cometido é a soma dos erros cometidos na aplicação da

fórmula dos trapézios a cada um dos subintervalos (h = )n

ab − .

( ) ( ) ] [f

12f

12E

i

'

i

''T ∈η−= ∑∑ i x,x ,hh

i1-in

1

' 3n

1

3

η−=η==

ii

Pelo teorema do valor médio para somas finitas,

( ) ( ) ( ) ( ) ] [ba, ,fn1ff1f ' 'n

1i

n

1i

' '' 'n

1i

' ' ∈ηη⋅=⋅η=η⋅=η ∑∑∑===

ii

Assim, ( ) ] [ ba, , fn

12hE ' '

3

T ∈ηη⋅⋅−=

( ) ( ) ] [ba, ,f h12

a)(bf12.n

a)(bE ' '2' '2

3

T ∈ηη−

=η−

−=

ou

( ) xf M ,Mh

12a)(bM

12.na)(bE ' '

bxa22

222

3

T max≤≤

=−

=−

≤

EXEMPLO:

Calcular o integral utilizando a regra dos trapézios composta considerando

seis subintervalos. Determinar uma estimativa para o majorante do erro

cometido e o erro absoluto cometido.

∫=3.6

3.0dx

x1I


6.2.2 PRIMEIRA REGRA DE SIMPSON

ANALITICAMENTE:

Para a obtenção desta fórmula é utilizado o polinómio de Gregory-Newton

de 2º grau:

)1.z.(z2

0y2∆z0y(x)2P .y∆ 0

1 −++=

Assim,

∫ ∫≅=b

a

b

a2 dx (x)p dx f(x) I

Para se aproximar a função f(x) por um polinómio do 2º grau, são

necessários 3 pontos: x0, x1 e x2, igualmente espaçados.

Efectuando uma mudança no intervalo de integração, isto é, passando de

[a,b] para [x0, x2], tem-se:

∫∫∫ −++==2

0

2

0

x

x0

1x

x2

b

a2 )dx 1).z.(z

20y2∆

.zy∆0y ((x)dxpdx (x)p

h.dzdx xh.zx

hxx

00 =⇒+=⇔

−z =Como

e,

2h2hz

hxxz bxx

0z h

xxz axx

022

000

==⇔−

=⇒==

=⇔−

=⇒==


temos que

zh.d z.yyI2

00

10 )1z.(z.

20y2

∫ −∆

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡+∆+≅

Integrando, obtém-se:

)y∆

312y2(h I 0

20

10 +∆+≅ y

Sabe-se que:

01201120102

010

2)()(y

y

yyyyyyyyy

yy

+−=−−−=∆−∆=∆

−=∆

Logo,

GRAFICAMENTE:

Primeira Regra de Simpson ou Regra do 1/3

)y4y(y3h I

)y2y(y31)y2(y12yh I

210

01200

++≅

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−+−+≅

x0=a x h

Y=f(x)

)f(x0)

Acetato 12- Diferenciaç

f(x1

1 x2=b

h

f(x2)

ão e Integração Numérica

A primeira regra de Simpson utiliza a área sob uma parábola para

aproximar a área sob a curva em dois intervalos adjacentes.

ERRO DE TRUNCATURA:

Tal como para a regra dos trapézios, para se determinar o erro cometido ao

utilizar a primeira regra de Simpson, basta integrar o erro de truncatura da

aproximação polinomial ( e ter em conta que h = 2

ab − ).

( ) ( ) bηa ),η(f

90h)η(f

90.2)ab(E 4

54

5

5

T <<−=−

−=

ou

( ) xf maxM ,M

90hM

2880a)(bE (4)

bxa44

5

4

5

T≤≤

==−

≤

NOTA: Era de esperar que tal como a regra dos trapézios é exacta para polinómios

de grau 1, a regra de Simpson fosse exacta para polinómios de grau 2 ou

menor.

Pela fórmula do erro, a 1ª regra de Simpson fornece valores exactos não só

para o integral de polinómios de grau 2, mas também, para polinómios de

grau 3 (derivada de 4ª ordem é nula).


FÓRMULA COMPOSTA DA PRIMEIRA REGRA DE SIMPSON: ANALITICAMENTE:

Para obter a fórmula composta deve dividir-se o intervalo de integração

[a,b] em n subintervalos iguais de amplitude h e a cada par de subintervalos

aplicar a primeira regra de Simpson.

Nota: Como a regra de Simpson simples é aplicada a pares de

subintervalos, o número de subintervalos tem que ser par e cada

subintervalo tem amplitude h = n

ab − .

Obtém-se então:

)yy4y2 .. .y2y4y2y4y(3hI

)yy4y(3h ... )yy4y(

3h )yy4y(

3hI

n1n2n43210

n1n2n432210

++++++++≅

+++++++++≅

−−

−−

Primeira Regra de Simpson Composta -

ERRO DE TRUNCATURA:

O erro total cometido pela primeira regra de Simpson composta é a soma

dos erros cometidos na aplicação da regra de Simpson simples a cada par

de subintervalos.

( ) ( ) ( ) ( ) ] [ b a, ,.fh180

a)(b f180.n

a)(b E 4444

5

T ∈ηη−

−=η−

−=

ou ( ) xf maxM ,.Mh

180a)(bM

180.na)(bE (4)

bxa44

444

5

T≤≤

=−

=−

≤


EXEMPLO:

Calcular o valor de utilizando a primeira regra de Simpson ∫+

em 4 subintervalos.

=Π2

dx41

0 x1


6.2.3 SEGUNDA REGRA DE SIMPSON Para a obtenção desta fórmula é utilizado o polinómio de Gregory-Newton

de 3º grau:

)2.(z)1.z.(z6

0y3∆)1.z.(z

20y2∆

.zy∆0y(x)3P 01 −−+−++=

Assim,

∫ ∫≅=b

a

b

a3 dx (x)p dx f(x) I

Para se aproximar a função f(x) por um polinómio do 3º grau (n=3), são

necessários 4 pontos: a=x0, x1, x2 e x3=b, igualmente espaçados (h=3

ab − ).

Integrando, obtem-se:

Segunda Regra de Simpson ou Regra dos 3/8

)3y23y130y(

83h I +++≅ y

ERRO DE TRUNCATURA:

Para se determinar o erro cometido ao utilizar a segunda regra de Simpson,

basta integrar o erro de truncatura da aproximação polinomial ( e ter em

conta que h = 3

ab − ).

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] [ b a, ,f6480

abf80h3E 4

54

5

T ∈ηη⋅−

−=η⋅−=

ou

( ) ( ) xf maxM ,M6480

abM80h3E (4)

bxa44

5

4

5

T≤≤

=⋅−

=⋅≤


FÓRMULA COMPOSTA DA SEGUNDA REGRA DE SIMPSON: ANALITICAMENTE:

Para obter a fórmula composta deve dividir-se o intervalo de integração

[a,b] em n subintervalos iguais de amplitude h e a cada conjunto de três

subintervalos aplicar a segunda regra de Simpson.

Nota: Como a regra de Simpson é aplicada a conjuntos de três

subintervalos, o número total de subintervalos pode ser ímpar ou par.

Obtém-se então:

)yy3y3y(

8h3 ...

... )yy3y3y(8h3 )yy3y3y(

8h3I

n1n2n3n

65433210

++++

++++++++≅

)yy3y3y2 .. .y3y2y3y3y(8h3I n1n2n3n43210 +++++++++≅ −−−

-

EXEMPLO:

−−−

Segunda Regra de Simpson Composta

Calcular o integral ( )∫ ++4

1

x3 dx1exln aplicando a 2ª regra de Simpson

com 3 e 9 subintervalos.


6.1 diferenciaÇÃo numÉrica · acetato 4- diferenciação e integração numérica. 6.2.1 regra...

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