diferenciação e integração numérica - @professorenan

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Diferenciação e Integração

Numérica


• Integração Numérica: Fórmulas de Newton-Cotes.

• Primeira Regra de Simpson;

• Regra dos Trapézios;

• Segunda Regra de Simpson.

• Diferenciação Numérica:

• Primeiras Derivadas;

• Segundas Derivadas;

Diferenciação e Integração Numérica


• Diferenciação Numérica


Diferenciação Numérica


Em muitas circunstâncias, torna-se difícil obter valores de derivadas

de uma função:

• Derivadas que não são de fácil obtenção;

• De não se conhecer a expressão analítica da função, sendo esta

definida num número finito de pontos.




O que se faz?

Métodos Numéricos!




Considerações iniciais:


A Diferenciação Numérica, também conhecida como

Aproximação Numérica, é um método utilizado para avaliar as

derivadas de funções por meio de valores funcionais nos pontos

dados.

Conhecendo os valores funcionais, a função pode ser

expressa de uma forma aproximada por meio de uma interpolação

polinomial, pelo que ao diferenciar o polinômio dado, se pode

avaliar duas derivadas.




Em muitas situações é necessário obter valores para as

derivadas de uma função sem recorrer à respectiva expressão

analítica por esta não ser conhecida ou por ser demasiado

complicada.

Por estas razões é conveniente dispor de técnicas

alternativas à derivação analítica que sejam simultaneamente fáceis

de usar e que permitam a precisão necessária. Estas técnicas são

genericamente designadas por Diferenciação Numérica.

Considerações iniciais:



Definição:




Definição: 1ª derivada.


• Fórmulas das Diferenças finitas: Diferença Superior ou Progressiva.


Exemplo: 1ª derivada - Diferença Superior ou Progressiva.


Solução:





• Fórmulas das Diferenças finitas: Diferença Inferior ou Regressiva.


Exemplo: 1ª derivada – Diferença Inferior ou Regressiva.






• Fórmulas das Diferenças finitas: Diferença Centrada ou Intermédio.


Exemplo: 1ª derivada – Diferença Centrada.






• Fórmulas das Diferenças finitas: Diferença Superior ou Progressiva.





• Fórmulas das Diferenças finitas: Diferença Inferior ou Regressiva.





• Fórmulas das Diferenças finitas: Diferença Central ou Intermédio.


• Integração Numérica


Integração Numérica: porque é importante?


• Por vezes, mesmo existindo solução analítica, a solução numérica

é mais fácil!

• Não existe expressão analítica para a primitiva da maior parte das

funções;

• Medições de velocidade ⇒ cálculo de distância;

• Forma e dimensões de balizas ⇒ cálculo de deslocamento;

• Em muitos problemas não temos expressões analíticas, mas sim

séries de medições;


Integração Numérica: ideias base.


Em vez de integrar a função pretendida, vamos integrar

uma função parecida que seja mais fácil de integrar.

Os polinômios são funções fáceis de integrar!


Integração Numérica: ideias base.




• Fórmulas de Newton-Cotes




• Primeira Regra de Simpson;

• Regra dos Trapézios;

• Segunda Regra de Simpson.

• Fórmulas de Newton-Cotes:


• Regra dos Trapézios


Regra dos Trapézios



Regra dos Trapézios



Assim, temos:

Regra dos Trapézios: exemplo.



1) Estimar o valor de:

Solução: Pela regra dos trapézios, temos:





Solução: Pelo Cálculo Integral, teríamos:





Solução: Pela regra dos trapézios, temos:


• Regras de Simpson



• Regras de Simpson


Thomas Simpson

(1710-1761)


• Primeira Regra de Simpson


Primeira Regra de Simpson: definição.



A Regra de Simpson faz aproximações para pequenos

trechos de curvas usando arcos parabólicos. Veja Exemplo:

Primeira Regra de Simpson: definição.



Primeira Regra de Simpson: observação.



Primeira Regra de Simpson: exemplo.




• Segunda Regra de Simpson


Segunda Regra de Simpson: definição.



Do mesmo modo que se deduziu a regra de Simpson

anterior, utilizando um polinómio interpolador de grau dois, é possível

deduzir outras regras utilizando polinómios interpoladores de grau

superior.

Segunda Regra de Simpson: definição.



Essa fórmula é conhecida como Regra 3/8 de Simpson.

Segunda Regra de Simpson: exemplo.



Considerações Finais.


• Diferenciação numérica é mais difícil que integração.

• A diferenciação representa a inclinação de uma função.

• Diferenciação é muito mais sensível a alterações, ainda que

pequenas, na função.

• A diferenciação numérica é evitada, sempre que possível, devido

a essas dificuldades inerentes. Assim, aconselha-se a Integração.

• Se os dados são obtidos experimentalmente, em geral, é melhor

realizar um ajuste de curva polinomial, usando quadrados

mínimos, e então derivar o polinômio resultante.


Exercícios


Exercícios



2) Por meio da regra dos trapézios, estimar o valor de:

Referências Bibliográficas


ARENALES, S.; DAREZZO, A., Cálculo Numérico: Aprendizagem com

apoio de Software. São Paulo: Cengage Learning. 2007.

BARROSO, L. C., BARROSO, M. M. A., CAMPOS Filho, F. F.. Cálculo

Numérico com aplicações. São Paulo: Harbras 1987.

CHAPA, S. C.; CANALE R. P.. Numerical Methods for Engineers. 2a ed..

Mc. Graw-Hill. 1990.

CLÁUDIO, D. M.; MARINS, J. M. Cálculo Numérico Computacional. 2ª

Ed.. São Paulo: Atlas. 2001.

SANTOS, J. D. .SILVA, Z. C. Métodos Numéricos. Editora Universitária

da UFPE, 2006.

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