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PROPRIEDADES DOS QUADRILÁTEROS Prof. Rogério Rodrigues

TERCEIRA SÉRIE ENSINO MÉDIO INTEGRADO

NOME : .................................................... NÚMERO : ............. TURMA : ...................

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IV - QUADRILÁTEROS IV . 1) Quadriláteros Notáveis - Classificação : Chamamos de Quadrilátero todo polígono de quatro lados . Um critério razoável para agrupar os quadriláteros segundo suas características comuns é separá-los em dois grandes grupos : → OS PARALELOGRAMOS : São aqueles que possuem os lados opostos paralelos . → OS NÃO – PARALELOGRAMOS : São aqueles que não possuem lados opostos paralelos . Do primeiro grupo fazem parte o paralelogramo tradicional ou Rombóide , o Retângulo , o Losango e o Quadrado . A B L M D C O N Rombóide Retângulo P U V S Q R Z X Losango Quadrado Do segundo grupo , o principal representante é o Trapézio , que possui dois lados paralelos e dois lados não paralelos . Também fazem fazem parte desse grupo aqueles quadriláteros sem propriedades especiais, que chamaremos de Quadrilátero Qualquer .

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A B D C Trapézio Escaleno ( quatro lados de medidas diferentes ) AB // CD e AD não paralelo a BC . L M = = O N Trapézio Isósceles ( lados não paralelos congruentes ) LM // NO e LO não paralelo a MN . P Q S R Trapézio Retângulo ( tem dois ângulos retos ) PQ // RS e PS não paralelo a QR .

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No grupo dos Paralelogramos , definimos : Exercício de Fixação : Marque V (verdadeiro) ou F (falso) a cada proposição a seguir : a) ( ) Todo paralelogramo é um quadrilátero . b) ( ) Todo losango é um quadrado . c) ( ) Todo quadrado é um losango . d) ( ) Todo quadrado é um retângulo . e) ( ) Todo retângulo é um losango . f) ( ) Todo losango é paralelogramo . g) ( ) Todo retângulo é um paralelogramo . h) ( ) Existem losangos que são retângulos . i) ( ) Existem losangos que não são quadrados . j) ( ) Existem quadrados que não são losangos . Respostas : a) V b) F c) V d) V e) F f) V g) V h) V i) V j) F

LOSANGO É TODO PARALELOGRAMO QUE POSSUI OS LADOS CONGRUENTES .

RETÂNGULO É TODO PARALELOGRAMO QUE POSSUI OS ÂNGULOS INTERNOS CONGRUENTES (RETOS)

QUADRADO É O PARALELOGRAMO QUE POSSUI OS LADOS CONGRUENTES E OS ÂNGULOS INTERNOS CONGRUENTES (RETOS) .

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IV . 2) PROPRIEDADES DOS PARALELOGRAMOS : Em todo Paralelogramo , valem as seguintes propriedades : Exercícios Resolvidos : 1) Mostrar que no paralelogramo os lados opostos têm mesma medida . Considere o paralelogramo AEIO representado na figura abaixo : A E O I A diagonal AI divide o paralelogramo nos triângulos AEI e AIO que são congruentes pelo caso A.L.A , já que a) EÂI = AÎO (alternos internos determinados entre as paralelas AE e OI ; b) AI é lado comum aos dois triângulos ; c) AÎE = IÂO (alternos internos determinados entre as paralelas AO e EI . Então , nos triângulos AEI e AIO , teremos AE = OI e AO = EI. 2) Mostre que no paralelogramos os ângulos opostos têm a mesma medida .

→→→→ OS LADOS OPOSTOS TÊM MEDIDAS IGUAIS ; →→→→ OS ÂNGULOS OPOSTOS TÊM MEDIDAS IGUAIS ; →→→→ AS DIAGONAIS SE CORTAM MUTUAMENTE AO MEIO.

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Considere a figura a seguir : A E = = O I a) Já que OÂI = AÎE e EÂI = AÎO , pois são pares de ân- gulos alternos internos determinados entre paralelas , temos que OÂE = OÎE , já que ambos são somas de parcelas iguais (veja exercício anterior) ; b) Considerando agora a diagonal EO , temos , do mesmo modo anterior , que AÔE = AÊI e EÔI = OÊA , pois são pares de ângulos alternos internos determinados entre paralelas . Então , AÊI = AÔI , pois ambos são somas de parcelas iguais . 3) Mostre que no paralelogramo as diagonais se cortam mutuamente ao meio . A E U = = O I Considerando a figura acima , onde U é o ponto de interseção das diagonais AI e EO , temos que os triângulos AUO e EUI são congruentes pelo caso L.A.Ao , pois a) AO = EI (lados opostos do paralelogramos) ; b) AÔU = OÊI (alternos internos entre paralelas) ; c) AÛO = EÛI (opostos pelo vértice) Então , AU = UI e EU = UO , ou seja , U é o ponto médio das di- agonais .

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Exercícios de Fixação : 1) Em cada caso a seguir , ABCD é um paralelogramo cujos ângulos in- ternos têm medidas respectivamente iguais a a , b , c e d . Calcule as medidas dos ângulos internos desconhecidos : D C a) 60o A B D C b)

x2

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x A B D C c)

x2

1 x

A B

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D C d) 80o A B 50o D e) C A B 100o

D C f) A B 2) Em cada figura a seguir , ABCD é um paralelogramo onde AX e BX são as bissetrizes dos ângulos de vértices A e B , respectivamente. Cal- cule as medidas a , b , c e d dos ângulos internos do paralelogramo.

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a) D C X x A B

x = 2

3 b

b) D C X x A B

x = 2

5 a

Respostas : 1) a) b = 120o , c = 60o e d = 120o b) a = 72o , b = 108o , c = 72o e d = 108o c) a = 60o , b = 120o , c = 60o e d = 120o d) a = 80o, b = 100o , c = 80o e d = 100o e) a = 50o , b = 130o , c = 50o e d = 130o f) a = 100o , b = 80o , c = 100o e d = 80o 2) a) a = 120o , b = 60o , c = 120o e d = 60o b) a = 36o , b = 144o , c = 36o e d = 144o IV . 3) PROPRIEDADES DOS LOSANGOS : Em todos os losangos , verificam-se as seguintes propriedades :

→→→→ As diagonais são bissetrizes dos ângulos cujos vérti- ces elas unem ; →→→→ As diagonais são perpendiculares entre si .

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Exercício Resolvido : Demonstrar as duas propriedades anteriores dos losangos . Consideremos a figura a seguir , onde é representado o losango ABCD e suas diagonais AC e BD :

a) Sabemos que M divide ambas as diagonais ao meio , pois o losango é um paralelogramo . Então , AM = MC e BM = MD ; b) Como AB = BC = CD = DA (lados do losango) , então os triângulos ABM , CBM , CDM e DAM são congruentes pelo caso L.L.L. , lo- go , seus ângulos correspondentes têm a mesma medida , ou seja b1 = b2 = d1 = d2 e as diagonais são bissetrizes dos ângulos cujos vértices elas unem ; c) Ainda pelo caso anterior , temos os ângulos de medidas m1 e m2 congruentes , ou seja m1 = m2 . Pela figura , m1 + m2 = 180o . Então, m1 = m2 = 90o , o que significa que as diagonais são perpendicula- res entre si . IV . 4) PROPRIEDADE DOS RETÂNGULOS : Exercício Resolvido : Mostrar que as diagonais do retângulo têm medidas iguais . Considere a figura a seguir :

EM TODO RETÂNGULO , AS DIAGONAIS TÊM MEDIDAS IGUAIS .

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A B D C Observe que as diagonais determinam os triângulos ACD e ABD que são congruentes pelo caso L.A.L. , pois a) AB = CD (lados opostos do retângulo) ; b) os ângulos de vértices B e D são retos (ângulos internos do retân – gulo ; c) AD = BC (lados opostos do retângulo) . Portanto as diagonais AC e BD têm a mesma medida . IV . 5) TEOREMA DA BASE MÉDIA DO TRIÂNGULO : Exercício resolvido : Mostrar o Teorema acima enunciado . Consideremos as figuras a seguir :

FIGURA 1 FIGURA 2

O SEGMENTO DETERMINADO PELOS PONTOS MÉDIOS DE DOIS LADOS DE UM TRIÂNGULO É PARALELO AO TERCEIRO LADO E TEM MEDI- DA CORRESPONDENTE À SUA METADE

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A figura 1 mostra o triângulo ABC e o segmento MN , onde M e N são , respectivamente , os pontos médios de AB e AC . Prolongue- mos a BASE MÉDIA MN e pelo ponto C tracemos a paralela ao lado AB , até que esta intercepte o prolongamento de MN em D , con- forme figura 2 . Os triângulos AMN e CDN são congruentes pelo ca- so A.L.A. , pois a) os ângulos indicados pelas medidas r e s são congruentes (O.P.V.); b) NA = NC ( N é ponto médio de AC) ; c) os ângulos indicados pelas medidas a e t são congruentes ( alternos internos ) . Então , os lados correspondentes nos dois triângulos são congruentes , ou seja MN = ND , CD = AM e , por hipótese , AM = MB. Em conse- qüência disto , temos que CD = MB . Assim temos que BCDM é um paralelogramo . Desse modo, fica demonstrado que MN // BC . Como MN = ND , conclui-se que N é ponto médio de MD . Então : IV . 6) TEOREMA DA BASE MÉDIA DO TRAPÉZIO : Exercício resolvido : Mostrar o Teorema da Base Média do trapézio . Consideremos a figura que se segue , onde P e O são , respectivamen- te , os pontos médios de AB e CD . A C P O B D

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BC =MN

EM TODO TRAPÉZIO , A BASE MÉDIA É PARA- LELA ÀS OUTRAS BASES E SUA MEDIDA É DA- DA PELA SEMI-SOMA DAS MEDIDAS DAS OU- TRAS BASES .

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Tracemos AO , prolongando-o até que encontre o prolongamen- to de BD em E : A C O P B E D Os triângulos ACO e EDO são congruentes pelo caso L.A.Ao , pois : a) CO = DO ( O é o ponto médio de CD) ; b) AÔC = EÔD ( opostos pelo vértice ) ; c) CÂO = DÊO (alternos internos ) Então , AC = DE e AO = EO ; logo , O é ponto médio de AE e , pelo Teorema da Base Média do Triângulo , aplicado ao triângulo AEB , temos que 1o) PO // BD // AC ; 2o) PO = (BE)/2 = (BD + DE)/2 = (AC + BD)/2 . Então , como que- ríamos demonstrar IV . 7) TEOREMA DO TRAPÉZIO ISÓSCELES : Exercício resolvido : Mostrar que no trapézio isósceles , os ângulos adjacentes a uma mes – ma base são congruentes .

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BD AC

+=PO

EM TODO TRAPÉZIO ISÓSCELES , OS ÂNGU – LOS ADJACENTES A UMA MESMA BASE SÃO CONGRUENTES .

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Consideremos o trapézio AEIO da figura abaixo , onde AO = EI : A E a e o u i O U I Traçando , pelo vértice A , a paralela AU a EI , temos : a) AEIU é um paralelogramo (lados opostos paralelos) ; então EI = AU = AO ; então o triângulo AUO é isósceles e o = u ; b) i = u ( ângulos correspondentes ) ; então i = o . c) como o + a = 180o e i + e = 180o (colaterais internos) , temos também que a = e . Exercícios de Fixação : 1) Marque V (verdadeiro) ou F (falso) a cada proposição a seguir : a) ( ) Toda propriedade dos retângulos vale para os paralelogramos . b) ( ) Toda propriedade dos paralelogramos vale para os retângulos . c) ( ) Toda propriedade dos retângulos vale para os losangos . d) ( ) Toda propriedade dos losangos vale para os retângulos . e) ( ) Toda propriedade dos quadrados vale para os losangos . f) ( ) Toda propriedade dos losangos vale para os quadrados . g) ( ) Um losango pode ter quatro ângulos congruentes . h) ( ) A soma dos ângulos internos de um losango é a mesma de um trapézio . 2) Determine : a) em um retângulo ABCD , a medida de AC , sabendo-se que BD = 5 cm . b) em um losango ABCD , a medida do ângulo formado por suas dia- gonais . c) em um trapézio retângulo ABCD , as medidas dos ângulos internos de vértices C e D , sendo 90o e 30o as respectivas medidas dos ângu- los internos de vértices A e B . d) a medida da base média de um trapézio isósceles , sabendo que seu perímetro é 28 cm e um dos lados transversais mede 4 cm .

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3) Calcule x em cada quadrilátero a seguir : a) A B x 110o

D 70o

80o C b) A B x + 30o 120o

x – 10o 80o

D C 4) As medidas dos ângulos internos de um quadrilátero são expressas x + 10o , 2x , x + 20o e x + 30o . Calcule essas medidas . 5) A figura a seguir representa o paralelogramo OIAU . Calcule : O I n E m x y A U a) IU , sendo OA = 3 cm . b) AU , sendo OI = 4 cm . c) med(AÔI) , sendo med(AÛI) = 120o . d) AE , sendo AI = 12 cm . e) med(IÊO) , sendo x = 30o e y = 40o . f) m , sendo med(AÊO) = 70o e n = 30o . g) med(AÛI) , sendo n = 40o e y = 20o .

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6) Se num paralelogramo um dos ângulos agudos mede 65o , quanto me- dem os outros ângulos internos ? 7) Se num paralelogramo um dos ângulos externos mede 35o , quanto medem os ângulos internos ? 8) A diagonal BD de um paralelogramos ABCD forma , com o lado BC, um ângulo de 30o e com o lado CD , um ângulo de 40o . Calcule os ângulos internos desse paralelogramo . 9) Se uma das diagonais de um losango forma ,com um dos lados, um ângulo de 50o , calcule os ângulos internos do losango . 10) As diagonais de um retângulo formam um ângulo de 108o . Calcule os ângulos que as diagonais formam com os lados . 11) Calcule os ângulos internos de um trapézio , sabendo-se que um dos ângulos mede 120o e um outro vale a terça parte desse valor . 12) Dado um trapézio retângulo ABCD , com os ângulos internos de vértices A e B retos , calcule os ângulos internos de vértices C e D , sabendo-se que as bissetrizes dos ângulos internos de vér- tices A e D formam um ângulo de 95o . 13) A base média de um trapézio mede 11 cm . Calcule as bases desse trapézio , sabendo-se que a sua diferença é de 8 cm . 14) A diferença entre as medidas de dois ângulos consecutivos de um paralelogramo é 28o . Calcule as medidas dos ângulos do paralelo- gramo . 15) Um dos ângulos obtusos de um paralelogramo é o quíntuplo de um dos ângulos agudos . Calcule as medidas desses ângulos . 16) Num trapézio isósceles ABCD , a base menor é congruente aos lados não paralelos . Prove que as diagonais são bissetrizes dos ângulos de vértices C e D do trapézio . 17) Na figura a seguir , prolongando-se a diagonal AC do quadrado ABCD de um segmento CE = CD , obtém-se o triângulo BCE . Quanto medem os ângulos internos do triângulo BCE ?

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E D C A B Respostas : 1) F , V , F , F , V , V , V 2) a) 5 cm b) 90o c) 90o e 150o resp. 3) a) 100o b) 70o 4) 70o , 120o , 80o e 90o 5) a) 3 cm b) 4 cm c) 120o d) 6 cm e) 110o f) 80o g) 60o 6) 65o , 115o e 115o 7) 145o , 35o , 145o e 35o 8) 70o , 110o , 70o e 110o 9) 100o , 100o , 80o e 80o 10) 36o e 54o 11) 120o , 60o , 40o e 140o 12) 80o e 100o 13) 7 cm e 15 cm 14) 76o , 104o , 76o e 104o 15) 30o e 150o 17) 22o 30’ , 135o e 22o 30’ . Exercícios Complementares : 1) No trapézio ABCD da figura , M e N são , respectivamente , os pon- tos médios dos lados AD e BC . Se as bases têm medidas a e b , calcule a medida do segmento PQ , contido em MN e compreendido entre as diagonais AC e BD do trapézio . A b B M P Q N D a C 2) Prove que os pontos médios dos lados de um quadrilátero qualquer são vértices de uma paralelogramo .

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3) Na figura , AIOU é um quadrado e AIE é um triângulo eqüilatero. Calcule as medidas dos ângulos IÊO e UÔE . A I E U O 4) Na figura seguinte , ABDE e ACMN são quadrados e ABC é um triângulo eqüilátero . Calcule as medidas de vértices B e N assinala- dos .

5) Prove que , num triângulo retângulo , a mediana relativa à hipotenusa mede a sua metade . 6) Na figura seguinte, ABCD é um quadrado e BCE é um triângulo eqüi- látero . Calcule a medida do ângulo de vértice D assinalado . A B E

D C 7) Provar que as bissetrizes de dois ângulos consecutivos de um paralelo- gramo se cortam em ângulo reto .

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8) Na figura , ABCD é um retângulo e AME é um triângulo eqüilátero . Calcule as medidas dos ângulos EÂB e BÊM . E A B M 30o D C 9) Na figura seguinte , ABE e BCF são triângulos eqüiláteros e ABCD é um quadrado . Prove que os pontos D , E e F estão alinhados ,isto é, pertencem a uma mesma reta . (SUGESTÃO: basta provar que DÊF= = 180o ) B A F E D C 10) (U.F. Uberlândia – MG) – Num quadrilátero ABCD , o ângulo de vértice C é a terça parte do ângulo de vértice B , o ângulo de vérti – A mede o quíntuplo do de vértice C e o ângulo de vértice D mede 45o . Calcule a diferença entre os ângulos de vértices A e B . 11) (Cesgranrio – RJ) – As bases MQ e NP de um trapézio medem 42 cm e 112 cm , respectivamente . Se o ângulo interno de vértice Q é o dobro do ângulo interno de vértice N , quanto mede o lado PQ ? M Q N P

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12) (ITA – SP) – Considere um quadrilátero ABCD cujas diagonais AC e BD medem , respectivamente , 5 cm e 6 cm . Se R , S , T e U são os pontos médios dos lados do quadrilátero dado , calcule o períme- tro do quadrilátero RSTU . 13) (UFMG ) - Na figura , ABCD é um quadrado e BCE é um triângu – lo eqüilátero . Qual é , em graus , a medida do ângulo AÊB ? A D E B C 14) Na figura , ABCD é um quadrado , onde BC + CE = AE . Sendo F o ponto médio de DC , mostre que BÂE é o dobro de FÂD . D F E C A B

Respostas : 1) PQ = 2

b - a 3) IÊO = 75o e UÔE = 15o 4) 45o ambos

6) 30o 8) EÂB = 30o e BÊM = 60o 10) 70o 11) 70 cm 12) 11 cm 13) 75o