======================================================================= 1) (FUVEST-SP) - Dados: MÔB = OÂB, AO = 3, OB = 2 e AB = 4. Calcule a medida MB.

................................................................................................................................................................ 2) (FUVEST-SP) – Na figura, o triângulo ABC é retângulo em A, ADEF é um quadrado, AB = 2 e AC = 3. Quanto mede o lado do quadrado?

................................................................................................................................................................ 3) (CESGRANRIO-RJ) – O losango ADEF está inscrito no triângulo ABC, como mostra a figura. Se AB = 12 cm, BC = 8 cm e AC = 6 cm, quanto mede o lado do losango?

................................................................................................................................................................ 4) (FATEC-SP)- Num trapézio isósceles ABCD as bases são dadas, respectivamente, por AD = 2

cm e BC = 5 cm. Em tal trapézio, traça-se o segmento MN paralelo à base AD e tal que AM=3

1AB.

Calcule o comprimento MN.

EXERCÍCIOS DE REVISÃO – MATEMÁTICA II →→→→ CONTEÚDO: Relações Métricas nos Triãngulos 3a SÉRIE – ENSINO MÉDIO

5) (ITA-SP) – Considere o triângulo ABC, onde o segmento AD é mediana relativa ao lado BC. Por um ponto arbitrário M do segmento BD, tracemos o segmento MP paralelo ao segmento AD, onde P é o ponto de interseção desta paralela com o prolongamento do lado AC (veja figura a seguir). Se N é o ponto de interseção do lado AB com o segmento MP, calcule a soma MN + MP.

................................................................................................................................................................ 6) (MACKENZIE-SP) – O triângulo ABC da figura é equilátero. AM = MB = 5 e CD = 6. Calcule a medida AE.

................................................................................................................................................................ 7) (PUC-SP) – Na figura, as retas AB e CD são paralelas. AB = 136, CE = 75 e CD = 50. Quanto mede o segmento AE?

................................................................................................................................................................ 8) (FUVEST- SP) – A sombra de um poste vertical, projetada pelo sol sobre um chão plano, mede 12 m. Nesse mesmo instante, a sombra de um bastão vertical de 1 m de altura mede 0,6 m. Qual é a altura do poste? ................................................................................................................................................................ 9) (UFRS) – Num trapézio, cujos lados paralelos medem 4 e 6, as diagonais interceptam-se de tal modo que os menores segmentos determinados em cada uma delas medem 2 e 3. Qual é a medida da menor diagonal? ................................................................................................................................................................ 10) (UFSE) – Na figura a seguir, são dados AC = 8 cm e CD = 4 cm. Calcule a medida BD.

11) (UFMG) – Num círculo, a corda CD é perpendicular ao diâmetro AM no ponto E. Se (AE).(EB) = 3, qual é a medida do segmento CD? ................................................................................................................................................................ 12) (UFMG) – Dois círculos de raios 6 cm e 4 cm têm seus centros na altura relativa à base do triângulo isósceles da figura e são tangentes exteriormente. Calcule a altura relativa à base do triângulo.

................................................................................................................................................................ 13) (UFMG) – Na figura, o triângulo ABC é isósceles, BC é a base e BE, altura relativa ao lado AC. Se AC = 3 cm e CE = 1 cm, calcule, em centímetros, a medida BC.

................................................................................................................................................................ 14) (UFMG) – O triângulo ABC da figura é equilátero, AD = DE = EF = FB e os segmentos DG, EH, FI e BC são paralelos. Se DG + EH + FI = 18, calcule o perímetro do triângulo ABC.

................................................................................................................................................................ 15) (PUC-MG) – Um prédio projeta uma sombra de 6 m no mesmo instante em que uma baliza de 1 m projeta uma sombra de 40 cm. Se cada andar desse prédio tem 3 m de altura, calcule o número de andares.

16) (MACKENZIE-SP) – Num triângulo, a base mede 60 cm, a altura e a mediana em relação a essa base medem, respectivamente, 12 cm e 13 cm. Calcule as medidas dos outros dois lados do triângulo. ................................................................................................................................................................ 17) (CESGRANRIO-RJ) – No retângulo ABCD de lados AB = 4 e BC = 3, o segmento DM é perpendicular à diagonal AC. Quanto mede o segmento AM?

................................................................................................................................................................ 18) (U.F. Uberlândia) – Num triângulo ABC, o ângulo de vértice A é reto. A altura hA divide a hipotenusa a em dois segmentos m e n (m > n). Sabendo-se que o cateto b é o dobro do cateto c, calcule a razão entre m e n. ................................................................................................................................................................ 19) (UFGO) – O perímetro de um triângulo isósceles de 3 cm de altura é 18 cm. Calcule as medidas dos lados do triângulo. ................................................................................................................................................................ 20) (UECE) – Num retângulo, a diagonal mede 25 cm. A diferença entre a base do retângulo e sua altura é de 5 cm. Calcule o perímetro do retângulo. ................................................................................................................................................................ 21) (UCMG) – Num triângulo retângulo de catetos medindo 1 cm e 3 cm, qual é a medida da altura relativa à hipotenusa? ................................................................................................................................................................ 22) (UCMG) – A diagonal de um retângulo mede 10 cm e os lados formam uma proporção com os números 3 e 4. Calcule o perímetro do retângulo. ................................................................................................................................................................ 23)(UFRS) – Na figura, ABC é um triângulo retângulo, os segmentos AP e CB são perpendiculares, CP = 1,8 e PB = 3,2. Calcule o perímetro do triângulo ABC.

................................................................................................................................................................ 24) (PUC – SP) – A soma dos quadrados dos três lados de um triângulo retângulo é igual a 3. Quanto mede a hipotenusa do triângulo? ................................................................................................................................................................ 25) (U. E. Londrina-PR) – Em um triângulo retângulo ABC, as medidas das projeções dos catetos AB e BC sobre a hipotenusa são, respectivamente, m e n. Se a razão entre AB e BC, nessa ordem, é igual a 0,5, qual é a razão entre m e n?

26) (UFSE) – Se nos triângulos retângulos representados na figura, tem-se AB = 1, BC = 2 e AD = 3, qual é a medida do segmento CD?

................................................................................................................................................................ 27) (UFPA) – Num triângulo retângulo, um cateto é o dobro do outro e a hipotenusa mede 10 m. Qual é a soma das medidas dos catetos? ................................................................................................................................................................ 28) (FATEC – SP) – Na figura, ABCD é um retângulo. Qual é a medida do segmento EF?

................................................................................................................................................................ 29) (CESGRANRIO – RJ) – No quadrado ABCD da figura, tem-se AB = 4, AH = CI = 1 e AG = = 2. Quanto mede HI?

................................................................................................................................................................ 30) (UFMG) – Se as medidas, em metros, das diagonais de um losango são a e b, qual é a medida, em metros, do raio do círculo inscrito nesse losango? ................................................................................................................................................................ 31) Um avião levanta voo em linha reta, segundo um ângulo de 30o com a pista horizontal. Se ele voa a uma velocidade constante de 120 km/h em linha reta, durante 5 horas, a que altura estará, em relação à direção horizontal da pista, quando completar 5 horas de voo? ................................................................................................................................................................ 32) Um triângulo ABC é isósceles com AB =AC , BC = 8 cm e BÂC = 120o. Calcule o perímetro do triângulo e sua altura relativa ao lado BC.

33) Num retângulo, a diagonal forma com o maior lado um ângulo de 30o. Se o perímetro do retângulo é de 78 dm, qual é a sua área? ................................................................................................................................................................ 34) Num losango, dois lados consecutivos formam um ângulo reto. Se a diagonal mede 42 cm, qual é o perímetro do losango? ................................................................................................................................................................ 35) Qual é a altura relativa ao maior lado de um paralelogramo em que o menor lado mede 10 cm e o menor ângulo formado por dois lados consecutivos mede 60o? ................................................................................................................................................................ 36) Num quadrado, a soma das medidas do lado e da diagonal é 3(2 + 2 ) cm. Qual é a área do quadrado? ................................................................................................................................................................ 37) A projeção de um segmento sobre uma reta r é de 3,83 cm. Calcule a medida do segmento, sabendo que a sua reta suporte forma com a reta r um ângulo de 40o. (dado: cos 40o = 0,766) ................................................................................................................................................................ 38) Determine o ângulo sob o qual é vista uma torre de 18 m de altura, sabendo que a distância do observador ao ponto mais alto da torre é 36 m. ................................................................................................................................................................ 39) Calcule a área do triângulo AOE, dados AO = 30 m, OE = 16 m e AÔE = 60o. ................................................................................................................................................................ 40) Do Polo Sul, um astrônomo observa que a Lua está colocada sob um ângulo de 89o em relação ao diâmetro da Terra. No mesmo instante, do Polo Norte, outro astrônomo faz a mesma observação, obtendo um ângulo de mesmo valor. Se o diâmetro da Terra é de 12.000 km, calcule a distância da Terra à Lua. (A distância pedida é entre os seus centros. Dado: tg 89o = 57,2) ................................................................................................................................................................ 41) Um observador vê o topo de um prédio, construído em terreno plano, sob um ângulo de 60o. Afastando-se mais 30 m do prédio, o observador passa a ver o topo sob um ângulo de 45o. Qual é a altura do prédio? ................................................................................................................................................................ 42) (E.E. Mauá – SP) – Para obter a altura H de uma chaminé, com um aparelho especial, um engenheiro estabeleceu a horizontal AB e mediu os ângulos α e β, tendo, a seguir, medido BC = h. Determinar a altura da chaminé.

................................................................................................................................................................ 43) (MACKENZIE- SP) – Na figura, calcule a medida AB.

44) (PUC – SP) – Os ângulos internos de um triângulo medem x, 2x e 3x. Se o menor dos lados mede 5, quanto mede o maior lado? ................................................................................................................................................................ 45) (CESGRANRIO – RJ) – Para traçar uma circunferência de 40π cm de comprimento, usa-se um compasso com pernas de 20 cm cada. Qual deve ser o ângulo de abertura das pernas do compasso? ................................................................................................................................................................ 46) (ITA – SP) – Num triângulo isósceles, o perímetro mede 64 m e os ângulos adjacentes são

iguais ao arc cos 25

7. Calcule a área do triângulo.

................................................................................................................................................................ 47) (PUC – SP) – Dois lados de um triângulo medem 6 m e 10 m e formam entre si um ângulo de 120o. Quanto mede o terceiro lado? ................................................................................................................................................................

48) (UFRS) – Na figura, α = rad 6

π, β =

12

π rad e AC = 15 2 . Calcule a distância BC.

................................................................................................................................................................ 49) (CESGRANRIO – RJ) – Em um triângulo ABC, AB = 3, BC = 4 e o ângulo de vértice B mede 60o. Quanto mede o lado AC? ................................................................................................................................................................ 50) (PUC – RS) – Qual é o valor de x no triângulo abaixo?

................................................................................................................................................................ 51) (UEBA) – Um triângulo ABC é tal que AB = AC = 4. Se  = 120o, quanto mede o lado BC? ................................................................................................................................................................ 52) (UFRS) – A figura representa a trajetória de um helicóptero que percorreu 12 km na direção AB, 14 km na direção BC, paralelamente ao solo, ficando distante 20 km de A. Qual é o cosseno da inclinação α?

53) (FUVEST – SP) – Na figura, o triângulo ABC é equilátero de lado 4, AM = MC = 2, AP =3 e PB = 1. Calcule o perímetro do triângulo APM.

*************************************************** ******************************************************************************** *****************************

Exercícios Complementares: 1) (UFRS) – O lampião mostrado na figura está suspenso por duas cordas perpendiculares presas ao

teto. Sabendo que essas cordas medem 2

1 e

5

6 , qual é a distância do lampião ao teto?

(Resp : 13

6 )

2) (UFMG) – Na figura, E é o ponto médio do lado AB no paralelogramo ABCD. Calcule a medida AM, sabendo que a diagonal AC mede 6 cm.

(Resp: 2 cm) ................................................................................................................................................................

3) (UEBA) – Na figura abaixo são dados 3

1=EC

AE , BE = 8 cm e ED = 6 cm. Calcule o

comprimento do segmento AC.

(Resp: 16 cm) ................................................................................................................................................................ 4) (U.C. Salvador - BA) – Na situação do mapa abaixo, deseja-se construir uma estrada que ligue a cidade A à estrada BC, com o menor comprimento possível. Quantos quilômetros medirá essa estrada?

(Resp: 24 km) ................................................................................................................................................................ 5) (UFMG) - Nos triângulos isósceles T1 e T2 , as bases medem, respectivamente, 30 cm e 40 cm, e os demais lados medem 25 cm. Sejam A1 a área do triângulo T1 e A2 a área do triângulo T2 . Determine A1 em função de A2. (Resp: A1 = A2) ................................................................................................................................................................ 6) (UFMG) - Na figura seguinte, o quadrado ABCD está inscrito no triângulo AMN, cujos lados AM e NA medem, respectivamente m e n. Calcule a medida do lado do quadrado.

(Resp: nm

mn

+)

................................................................................................................................................................ 7) ( UFMG) - Nesta figura, os ângulos ABC, CDE e EAB são retos e os segmentos AD, CD e BC medem, respectivamente, x, y e z . Nessa situação, determine a altura do triângulo ADE em relação ao lado AE.

(Resp: z

yzx 22 −)

................................................................................................................................................................ 8) (UFMG) – Observe a figura a seguir. Nessa figura, os segmentos AB e BC são perpendiculares, respectivamente, às retas r e s. Além disso, AP = PB , BQ = QC e a medida do ângulo PÔQ é θ. Calcule a medida do ângulo AÔC, interno do quadrilátero AOCB.

(Resp: 2θ)

9) (UFMG) - Esta figura representa o quadrilátero ABCD:

Sabe-se que AB = 1 cm e AD = 2 cm , o ângulo ABC mede 120o e o segmento CD é perpendicular aos segmentos AD e BC. Então, calcule o comprimento do segmento BD.

(Resp: 3 cm) ................................................................................................................................................................ 10) (UFMG) – Uma folha de papel quadrada ABCD, que mede 12 cm de lado, é dobrada na reta r, como mostrado na figura:

Feita essa dobra, o ponto D sobrepõe-se ao ponto N e o ponto A, ao ponto médio M, do lado BC. Calcule a medida do segmento CE. (Resp: 8 cm) ................................................................................................................................................................ 11) (CEFET-MG) -Na figura seguinte, o triângulo ABC é equilátero. Sabendo-se que AM = MB = CD = = 6 e FB paralelo a AC, determine o valor de FB.

(Resp: 9 )

12) (CEFET – MG) - Um menino mantém uma pipa presa a um fio esticado de 90 m de comprimento, que vai perdendo altura, até que fica preso no alto de um poste de 10 m, formando com a horizontal um ângulo de 300. A pipa atinge o solo ficando com a linha esticada, conforme a figura. Desprezando-se a altura da criança, calcule a distância final entre ela e a pipa, em metros.

(Resp: 50 3 m) ................................................................................................................................................................ 13) (CEFET – MG) - No triângulo ABC, um segmento MN, paralelo a BC, divide o triângulo em

duas regiões de mesma área, conforme representado na figura. Calcule a razão AB

AM .

(Resp: 2

2)

................................................................................................................................................................ 14) (CEFET – MG) - Na figura, os segmentos AB e DE são paralelos. Se BC = 2, CD = 6 e a área do triângulo ABC é n, então, calcule a área do triângulo CDE.

(Resp : 4n) ................................................................................................................................................................ 15) (CEFET – MG) - Refere-se ao trecho de duas ruas paralelas, onde João e Pedro decidem apostar uma corrida, desenvolvendo a mesma velocidade. As dimensões, na figura, estão representadas em metros. João partirá do ponto médio M do quarteirão AB, fazendo o trajeto MBCDP, enquanto Pedro percorrerá MADCP .

Nessas condições, descreva como será o resultado final dessa corrida. (Resp : Pedro ganha com 120 m de vantagem) ................................................................................................................................................................ 16) (CEFET – MG) - Na figura, os ângulos ABC (de vértice C) e CQP (de vértice Q) são retos, BP = 4x, PC = 5x e AB = 12x. Nessas condições, calcule a área do quadrilátero ABPQ.

(Resp : 48x2 ) ................................................................................................................................................................ 17) (CEFET – MG) - No triângulo ABC, BC = a, AH = h, AC = b e o ângulo ABC (de vértice B) mede 45º. Para a + h = 4, qual é o valor mínimo de b2 ?

(Resp : 5

16 )

................................................................................................................................................................ 18) (CEFET – MG) - ABCD é um trapézio isósceles com lados paralelos AB e CD, medindo, respectivamente, 42 cm e 30 cm, e lados não paralelos, BC e AD, medindo 10 cm. Sabendo-se que as diagonais AC e BD se cruzam em um ponto P, calcule a área do triângulo ABP em centímetros quadrados. (Resp : 98 cm2 )