lista 1: introdução ao estudo de limites...
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Daria tudo que sei pela metade do que ignoro. René Descartes 1
Universidade Federal do Vale do São Francisco
Colegiado de Engenharia Elétrica
Prof. Pedro Macário de Moura
Lista – 1: Introdução ao Estudo de Limites 09.03.2015
Parte I Introdução
Problema 01
Fatore os polinômios:
a) xx 52
b) 9124 2 xx
c) 842 23 xxx
d) 94 2 x
e) bbxaax
f) 258064 2 yy
g) 3223 baba
h) 356 65 aaa
i) 222 44 babxxa
j) aba 1812 2
k) 223 yxyyxx
l) 912x
m) 222 abccabbca
n)
o) Determinar o limite para qual tende a
fração decimal 0,12121212...
Problema 02 Os biólogos descobriram que a velocidade do sangue em uma artéria é função
da distância entre o sangue e o eixo central da artéria. De acordo com a lei de Poiseluille, a
velocidade (em centímetros por segundo) do sangue que estar a centímetros do eixo central
de uma artéria e dado pela função onde é uma constante e R o raio da
artéria. Suponha que, para uma certa artéria, e
. Determine a velocidade do sangue no eixo central da artéria.
Problema 03 Em algumas espécies de animais, a ingestão de alimentos é afetada pelo grau de
vigilância que o animal precisa manter enquanto está comendo. Em outras palavras, é difícil
de alimentar adequadamente se você tem que estar em guarda o tempo todo para não ser
comido por um predador. Em um modelo proposto recentemente por (A.W.Willius e
C.Fitzgibbon), se o animal se alimenta de plantas que permite uma mordida de tamanho , a
ingestão de alimentos é dada por uma função da forma.
Onde e são
constantes positivas. O que acontece com a ingestão se o tamanho da mordida aumentar
indefinidamente? Interprete o resultado
Problema 04 A função representa a potência de um
processador de computador em função do tempo. Calcule e interprete fisicamente o
resultado
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Problema 05 A massa do coração de um mamífero é proporcional à massa de seu corpo.
Ou seja . Um ser humano com 70 quilos tem um coração de quilos. Use essa
informação para encontrar a constante de proporcionalidade , encontrada a constante de
proporcionalidade estime a massa do coração de um cavalo cuja massa é de 650 quilos.
Problema 06 A área de superfície de um mamífero satisfaz a equação , onde
é a massa do corpo e a constante de proporcionalidade depende da forma do corpo do
mamífero. Um humano com massa de 70 quilos tem uma área de superfície de 18.600 .
Encontre a constante de proporcionalidade para os humanos. Encontre a área de superfície de
um humano com 60 quilos.
Problema 07 Seja c a velocidade da luz (aproximadamente m/s, o u 300.00km/s).
Pela teoria de Einstein, a fórmula de contração de Lorentz
, especifica a
relação entre o comprimento de um objeto que se move a uma velocidade com respeito a
um observador e seu comprimento em repouso. A fórmula implica que o comprimento do
objeto medido pelo observador é menor quando o objeto está em movimento do que quando
está em repouso. Determine e interprete . E explique por que é necessário um limite
lateral esquerdo.
Problema 08 O custo em dólares para remover p% dos poluentes da água de um pequeno
lago é dado por
em que c é o custo e p é a porcentagem de
poluentes.
a) Determine o custo para remover 50% dos poluentes.
b) Qual a porcentagem de poluentes que pode ser removida por $ 100.000?
c) Calcule e explique sua conclusão.
Problema 09 A taxa de produção na fotossíntese e ligada à intensidade I da luz pela função
, onde e são constantes positivas. Calcule e esboce o gráfico se
.
Problema 10 Encontre as assíntotas verticais e horizontais da função
e esboce o seu
gráfico.
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Problema 11 A Marcenaria Macambira fabrica uma alinha de mesas para executivos. Estima-
se que o custo total da fabricação de mesas de certo modelo é de
reais por ano. Determine o custo médio quando .
Problema 12
Suponha que um peixe nadando uma distância metro a uma velocidade m/s contra a
corrente de m/s tem um gasto total de energia de
onde é medido
em metros/libra e é a constante. Calcule e interprete cada resultado
Problema 13 Um gás (tal como vapor d’água ou
oxigênio) é mantido a temperatura constante no pistão
da figura ao lado. À medida que o gás é comprimido, o
volume decresce até que atinja uma certa pressão
crítica. Além dessa pressão, o gás assume forma
líquida. Use o gráfico para achar e interpretar.
Problema 14 Na teoria da relatividade, a massa de uma partícula com velocidade é
Onde é a massa da partícula no repouso e c é a velocidade da luz. O que acontece se
Problema 15 Para estudar o aprendizado em animais, um estudante de psicologia realizou um
experimento no qual um rato teve que percorrer várias vezes o mesmo labirinto. Suponha que
o tempo que o rato levou para atravessar o labirinto na enésima tentativa tenha sido da ordem
de
, minutos. O que acontece com esse tempo quando o número de
tentativas aumentar indefinidamente? Interprete este o resultado.
Problema 16 O custo por disco em reais que a Quixajuba gravações têm ao fabricar DVD é
dado pela função custo total , calcule o custo médio quando tende ao
infinito e interprete o resultado.
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Problema 17 Se uma cultura é plantada em um solo cujo teor de nitrogênio é , a
produtividade pode ser modelada pela função de Michaelis-Menten
Onde e são constantes positivas. O que acontece com a produtividade se o teor de
nitrogênio aumentar indefinidamente?
Noção Intuitiva de Limite
Seja a função . Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela sua direita
(valores maiores que 1) e pela esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor
correspondente de y:
x y = 2x + 1
1,5 4
1,3 3,6
1,1 3,2
1,05 3,1
1,02 3,04
1,01 3,02
x y = 2x + 1
0,5 2
0,7 2,4
0,9 2,8
0,95 2,9
0,98 2,96
0,99 2,98
Notamos que à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende
para 1, x 1, y tende para 3, y 3, ou seja:
Observamos que quando x tende para 1, y tende para 3 e o limite da função é 3. Esse é o
estudo do comportamento de f(x) quando x tende para 1, x 1. Nem é preciso que x assuma
o valor 1. Se f(x) tende para 3, f(x) 3, dizemos que o limite de f(x) quando x 1 é 3,
embora possam ocorrer casos em que para x = 1 o valor de f(x) não seja 3.
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De forma geral, escrevemos:
Definição formal de limite
Exemplo: Seja
. Como x² + x - 2 = (x - 1)(x + 2), temos:
Podemos notar que quando x se aproxima de 1, x 1, f(x) se aproxima de 3, embora para x=1
tenhamos f(x) = 2. o que ocorre é que procuramos o comportamento de y quando x 1. E, no
caso, y 3. Logo, o limite de f(x) é 3.
Escrevemos:
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Se g: IR IR e g(x) = x + 2, g(x) = (x + 2) = 1 + 2 = 3, embora g(x) f(x) em x = 1.
No entanto, ambas têm o mesmo limite.
Limites Laterais
Propriedades operatórias dos limites
1ª Propriedade: Limite de uma função constante
kxfax
)(lim , f(x) = k
Exemplo: f(x) = 5, 55lim2
x
2ª Propriedade: Limite de uma soma (ou diferença) algébrica
cbxgxfxgxfaxaxax
)()()()( limlimlim
Exemplo: 182416limlimlimlim2
2
2
4
2
24
2
xxxxxxxxxx
3ª Propriedade: Limite de um produto
cbxgxfxgxfaxaxax
.)(.)()(.)( limlimlim
Exemplo: 82.4.44 limlimlim222
xxxxx
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4ª Propriedade: Limite de um quociente
c
b
xg
xf
xg
xf
ax
sx
ax
)(
)(
)(
)(
lim
limlim
Exemplo: 1
3
1
3
1
3
limlim
limlim
lim
limlim
11
1
2
1
1
2
12
1
xx
xx
x
x
x x
x
x
x
x
x
5ª Propriedade: Limite de uma potência
n
n
ax
n
ax
bxfxf
)()( limlim
Exemplo: 932
2
3
2
3limlim
xxxx
6ª Propriedade: Limite de um radical
nn
ax
n
ax
bxfxf
)()( limlim
Exemplo: 522 limlim33
xxxx
7ª Propriedade: Limite de um logarítmo
bxfxf cax
ccax
log)(loglog limlim
Exemplo: 6log2log2log limlim33
xxxx
8ª Propriedade: Limite de uma função polinomial
)()(lim afxfax
Exemplo: 1)1288()12( 23
2lim
xxxx
FORMAS INDETERMINADAS
As sete formas clássicas de indeterminação são:
00 , 1 ,0 ,0 , , ,0
0
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Continuidade
Dizemos que uma função f(x) é contínua
num ponto a do seu domínio se as
seguintes condições são satisfeitas:
Propriedade das Funções contínuas
Se f(x) e g(x)são contínuas em x = a, então:
f(x) g(x) é contínua em a;
f(x) . g(x) é contínua em a;
é contínua em a .
Limites envolvendo infinito
Conforme sabemos, a expressão x (x tende para infinito) significa que x assume valores
superiores a qualquer número real e x (x tende para menos infinitos), da mesma
forma, indica que x assume valores menores que qualquer número real.
Exemplo:
a) , ou seja, à medida que x aumenta, y tende para zero e o limite é zero.
b) , ou seja, à medida que x diminui, y tende para zero e o limite é zero.
c) , ou seja, quando x se aproxima de zero pela direita de zero ou por
valores maiores que zero, y tende para o infinito e o limite é infinito.
d) , ou seja, quando x tende para zero pela esquerda ou por valores menores que
zero, y tende para menos infinito
Parte II Praticando
Problema 18
Determine os seguintes limites, se possível.
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66.
1x
x x
21lim
75.
x
x x5
11lim
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101. 1
1lim
6
5
1
x
x
x
102.
103.
104.
Não me sinto obrigado a acreditar que o mesmo Deus que nos dotou de sentidos, razão e intelecto, pretenda que não os utilizemos.Galileu
12
Problema 19
Calcule o limite: h
)x(f)hx(flim
0h
Para cada um dos casos abaixo:
a) 2)x(f b) x3)x(f c) 2x3)x(f d) 2x5)x(f e) 2x3x5)x(f 2
Problema 20 Determine o valor da constante para que o limite a seguir exista.
Parte III Gráficos
Problema 21 A figura 1.7 mostra a quantidade de
nicotina em miligramas, no fluxo sanguíneo
de uma pessoa em função do tempo , em horas, desde
o instante em que essa pessoa terminou de fumar um
cigarro.
a) Estime e interprete esse valor em termos de
nicotina
b) Se essa pessoa não voltar a fumar mais o que acontece com . Interprete o
resultado.
Problema 22 Esboce o gráfico da função
e determine se existe
ou não os limites.
Problema 23 Dada uma função , definida por
, Determine
os valores de e para que função seja contínua para todo
Problema 24 Calcule o Se
Problema 25 Seja
.Determine para que a seja contínua em
.
Não me sinto obrigado a acreditar que o mesmo Deus que nos dotou de sentidos, razão e intelecto, pretenda que não os utilizemos.Galileu
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Problema 26 No gráfico abaixo está esboçado o gráfico de uma função Complete
as igualdades e responda às questões:
a) Determine se existirem as assíntotas verticais e horizontais.
b) Para que valores de é descontínua?
Problema 27 Seja
. Encontre: e
Problema 28 Esboce o gráfico da função e calcule os limites se existe.
.
Problema 29 Seja
verifique se é continua em
Problema 30 Calcular:
Problema 31 Determine a constante tal que a seguinte função seja contínua:
Não me sinto obrigado a acreditar que o mesmo Deus que nos dotou de sentidos, razão e intelecto, pretenda que não os utilizemos.Galileu
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Problema 32 Determine os seguintes limites, se existe ou sua tendência.
Seja
, verificar se é continua em
Problema 33 Esboce o gráfico da função e calcule os limites se existe.
a) b)
Parte IV Revar
Problema 34 Calcule os limites
a)
b)
c)
d) Resp: 1/10
e) Resp: -6
f) Resp: -3/4
g) : 27
h)
i) Resp: 0
j) . Resp: 2
k) . : 11/4
l) . : 108/7
m) . -1/48
n) . Resp: -1/6
o) . Resp: 27
p) . Resp: 4/3
q) . Resp: 5/3
r) . Resp: 4
s) .
Problema 37
Não me sinto obrigado a acreditar que o mesmo Deus que nos dotou de sentidos, razão e intelecto, pretenda que não os utilizemos.Galileu
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t) . u) . não existe limite
Problema 35 Calcule e justifique os limites abaixo.
Parte V Limite pela Definição
Problema 36 Determine um número para o dado tal que |f(x) – L| < sempre que
0 < |x – a| < .
a) 10)42(lim3
xx
; = 0,01 b) 3)54(lim2
xx
; = 0, 001 c) 7)43(lim1
xx
; = 0,02d)
d) 8)52(lim2
xx
; = 0, 002 e) 9lim 2
3
x
x; = 0, 005
Não me sinto obrigado a acreditar que o mesmo Deus que nos dotou de sentidos, razão e intelecto, pretenda que não os utilizemos.Galileu
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Problema 37 Usando a definição, isto é, para qualquer > 0 encontre um > 0 tal que |f(x) –
L| < sempre que 0 < |x – a| < .
a) 2)35(lim1
xx
b) 11)27(lim2
xx
c) 1lim 2
1
x
x d) 10)3(lim 2
5
xx
x
Problema 38 Calcule:
a) x
x2lim
= b) x
x2lim
= c)
x
x
3
1lim = d)
x
x
4
3lim =
e) x
x2lim
2 = f)
x
x
2
1lim
1 = g) x
x3loglim
h) x
x7
0loglim
i) x
x2
10
loglim
= j) x
x2
10
loglim
= k) 2
2lim
2
x
x
x=
Seja bem vindo ao curso!
Bom estudo!
BIBLIOGRAFIA BÁSICA
1. ANTON, Howard, BIVENS, Irl, DAVIS, Stephen. Cálculo Vol. 1, 10ª ed. Porto Alegre:
Bookman, 2014.
2. GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo, Vol. 01. 5ª ed. [Reimp.]. Rio de
Janeiro: LTC, 2011.
3. STEWART, James. Cálculo, Vol. 1. 7ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2013.
4. THOMAS, George Brinton, [et al]. Cálculo, Vol. 1. 12ª ed. São Paulo: Pearson
Education do Brasil, 2012.
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR
1. BOULOS, Paulo. Calculo Diferencial e Integral, Vol. 1. São Paulo: Pearson Makron
Books, 1999.
2. FLEMMING, Diva Marília e GONÇALVES, Mirian Buss. Cálculo A: Funções, Limite,
Derivação, Integração. Vol. 1, 6ª ed. São Paulo: Pearson, 2006.
3. LEITHOLD, Louis, O Cálculo com Geometria Analítica, Vol. 1. 3ª ed. São Paulo:
Harbra, 1994.
4. ROGAWSKI, Jon. Cálculo vol. 1. Porto Alegre: Bookman, 2009.
UN
IVA
SF