pré-cálculo: uma revisão de conceitos matemáticos para as...

Universidade Federal do Vale do São Francisco

Câmpus Petrolina – PE

Colegiado de Administração

Prof. Pedro Macário de Moura

Matemática Aplicada a ADM – 2015.2

Discente ___________________________________________CPF

Turma A1 – Sala 22 Pavilhão 02 – Data 22 de outubro de 2015

Pré-Cálculo:

Uma Revisão de Conceitos Matemáticos

Para as Disciplinas de Cálculo

Diferencial e Integral

Se quer viver uma vida feliz, amarre-se a uma meta,

não a pessoas nem a coisas. Albert Einstein

Petrolina-PE, Outubro de 2015.

http://www.frasescurtas.net/frases-de-motivacao.html

A ciência é uma grande montanha de açúcar; dessa montanha só conseguimos retirar insignificantes pedacinhos! Malba Tahan.

2

Sistematização dos Conjuntos Numéricos

Conjuntos Numéricos

Os números naturais surgiram na história da humanidade em tempos muito antigos.

São chamados naturais. . Juntando aos números naturais o zero e os

inteiros negativos obtemos o conjunto de todos os números inteiros.

. Se ao conjunto dos números inteiros acrescentarmos as

frações, obtemos o chamado conjunto dos números racionais. Número racional é, então, todo

número que possa ser representados na forma

, onde e são inteiros, com Em

símbolos:

e São exemplos de números racionais. São

exemplos de números racionais: 0533

8

2

3

5

1

7

2

5

3;;;;;;;

;

9

7....77777,0;

100

72626,7

Além das representações decimais finitas e periódicas, têm-se representações decimais

infinitas, porém não periódicas como: ..., 59607921798746380 . Estes são chamados números

irracionais não há símbolo para representa-los. O primeiro número irracional descoberto foi

2 . Também e o número de Euler ...,e 7182 são irracionais. Juntando os números

irracionais aos números racionais, obtém-se o que é chamado de sistema de números reais .

Desta forma, qualquer número racional ou irracional é chamado de número real.

Como a raiz quadrada de um número real não pode ser negativa, a equação 12 x

não tem solução no sistema de números reais. Foi criado então um novo número que foi

denotado por 1i , definido com a propriedade de que 12 i . A criação deste número

levou ao desenvolvimento dos números complexos (C), os quais tem a forma bia onde a e

b são números reais. São exemplos de números complexos: ;1;2;53;32 iii

Observa-se que todo número real a é também número complexo, pois pode ser escrito

como iaa 0 . Assim, os números reais são um subconjunto dos números complexos. Os

números complexos que não são reais são chamados de imaginários. (não estudaremos os

números complexos)

Pode-se ilustrar o relacionamento entre os conjuntos numéricos através da Figura 1.

PS: Não Sabemos dividi por zero, pois leva a inconsistências matemáticas. Por

exemplo, se atribuirmos a

um valor numérico , segue, então que , ou seja,

uma incorreção.


3

Estudo dos Números Reais

Representação Geométrica dos Números Reais

O número a associado ao ponto A de x, é chamado coordenada de A. Uma associação

de coordenadas de x constitui um sistema de coordenadas em x; x é então chamada de reta

coordenada ou reta real. Pode-se orientar x tomando-se como sentido positivo o sentido à

direita, e como sentido negativo, o sentido à esquerda. Indica-se o sentido positivo por meio

de uma seta em x, conforme ilustrado na Figura a seguir.

Valor Absoluto

Definição O valor absoluto de um número real a é denotado por a e definido por:

0

0

asea

ase,aa (1.2)

Exemplos:

33 , pois 3 > 0 3

2

3

2

3

2

, pois 0

3

2 00 , pois 00

Note que valor absoluto de um número, é o número sem sinal.

Relação entre Raízes Quadradas e Valores Absolutos

Da álgebra, sabe-se que a raiz quadrada de é o número que elevado ao quadrado

resulta em . Todo número real positivo tem duas raízes quadradas, uma positiva e outra

negativa. A raiz quadrada positiva é denotada por e a negativa por .

Teorema 1.1

Para todo número real a, tem-se aa 2 (1.3)

Demonstração:

Uma vez que 222 aaa , os números a e a são raízes quadradas de 2a .

Se 0a , então a é a raiz quadrada não negativa de 2a e se 0a , então a é a raiz

quadrada não negativa de 2a . Uma vez que

2a denota a raiz quadrada não negativa de 2a ,

tem-se que:

0

0

2

2

ase,aa

ase,aa Isto é: aa 2


4

Interpretação Geométrica do Valor Absoluto

A noção de valor absoluto surge naturalmente em problemas de distância.

Teorema 1.2

Se A e B são pontos sobre um eixo coordenado com coordenadas a e b,

respectivamente, então à distância d entre A e B é

abd (1.4)

A Figura 1.3 ilustra o teorema:

O número não negativo d chama-se também comprimento do segmento AB .

A distância da origem ao ponto A é aad 0

Frações

Frações são números escritos da seguinte forma:

onde é o numerador da fração e ,

que é diferente de 0 (zero), é o denominador da fração e ambos são números inteiros.

Adição

Quando as frações a serem somadas possuírem os denominadores iguais, basta repetir

o denominador e somar os numeradores. Exemplo:

.

Quando as frações a serem somadas possuírem os denominadores diferentes, basta

igualar os denominares e proceder como no exemplo anterior. Observação: Para igualar os

denominadores utilizamos (mmc) mínimo múltiplo comum, que é o menor múltiplo comum

entre os denominadores. Exemplo:

.

Subtração:

Procede de forma igual à adição, mas com a operação subtração.

Multiplicação

Para multiplicar duas ou mais frações, multiplicamos numeradores por numeradores e

denominadores por denominadores. Exemplo:

.

Divisão

Para realizarmos a divisão de frações, devemos transformar a divisão em

multiplicação. Procedemos da seguinte maneira: mantemos a fração que está no numerador,

invertemos a operação e invertemos a fração que está no denominador. Exemplo:

.

b - a

B A

b a

a - b

A B

a b


5

PRIMEIRA MISCELÂNEA

01. Qual a fração cujo denominador é 14 e o numerador 13?

02. Um mês tem trinta dias. Escreva a fração do mês correspondente a:

a) 2 dia b) 18 dias c) 23 dias

03. Que fração representa uma semana no mês de abril?

04. Que fração do mês de maio representam 10 dias?

05. Que fração do ano representam 5 meses?

06. Que fração do dia representam 17 horas?

07. Que fração da semana representam 4 dias?

08. Indique as frações correspondentes a cada situação:

a) Carolina comeu 3 doces de uma caixa que continha 8 doces.

b) Janice comprou 7 cadernos de um pacote que continha 10 cadernos.

09. Quinze pessoas foram convidadas para uma festa e apenas 8 compareceram.

a) Qual a fração que indica a presença? b) Qual a fração que indica a ausência?

10. Participam de uma conferência 9 brasileiros, 6 ingleses e 4 argentinos. Que fração do total

de membros da conferência representam os brasileiros? E os ingleses? E os argentinos?

Desafio

O Índice de Massa Corporal (IMC) é largamente utilizado há cerca de 200 anos, mas esse

cálculo representa muito mais a corpulência que a adiposidade, uma vez que indivíduos

musculosos e obesos podem apresentar o mesmo IMC. Uma nova pesquisa aponta o Índice de

Adiposidade Corporal (IAC) como uma alternativa mais fidedigna para quantificar a gordura

corporal, utilizando a medida do quadril e a altura. A figura mostra como calcular essas

medidas, sabendo-se que, em mulheres, a adiposidade normal está entre 19% e 26%.

Uma jovem com IMC = 20 kg/m2, 100 cm de circunferência dos quadris e 60 kg de massa

corpórea resolveu averiguar seu IAC. Para se enquadrar aos níveis de normalidade de gordura

corporal, a atitude adequada que essa jovem deve ter diante da nova medida é

(Use √3=1,7 e √1,7=1,3)

A) reduzir seu excesso de gordura em

cerca de 1%.

B) reduzir seu excesso de gordura em

cerca de 27%.

C) manter seus níveis atuais de

gordura.

D) aumentar seu nível de gordura em

cerca de 1%.

E) aumentar seu nível de gordura em

cerca de 27%.

http://www.profcardy.com/exercicios/assunto.php?assunto=Porcentagem


6

Intervalos

Intervalos são conjuntos de números reais, que correspondem a segmentos de reta

sobre um eixo coordenado.

Intervalos Finitos

Se ba , então:

a) Intervalo aberto de a à b, denotado por b,a ou b,a ou bxa/x é o

segmento de reta que se estende de a até b, excluindo-se os extremos. A Figura 1.4 ilustra

este tipo de intervalo.

Figura 1.1. Intervalo Aberto

b) Intervalo fechado de a , denotado por b,a ou bxa/x é o segmento de reta

que se estende de a até b, incluindo-se os extremos. A Figura 1.5 ilustra este tipo de

intervalo.

Figura 1.2. Intervalo Fechado

c) Intervalo semiaberto à esquerda, denotado por b,a ou b,a ou bxa/x é o

segmento de reta que se estende de a até b, excluindo-se a e incluindo-se b. A Figura 1.6

ilustra este tipo de intervalo.

Figura 1.3. Intervalo Semiaberto à Esquerda

d) Intervalo semiaberto à direita, denotado por b,a ou b,a ou bxa/x é o

segmento de reta que se estende de a até b, incluindo-se a e excluindo-se b. A Figura 1.7

ilustra este tipo de intervalo.

Figura 1.4. Intervalo Semi-Aberto à Direita

Intervalos Infinitos

Usaremos o símbolo (infinito positivo) e o símbolo (infinito negativo).

Sendo a um número real, tem-se:

a b

a b

a b

a b


7

a) A notação ,a ou ,a ou ax/x , representa todos os números reais

maiores que a. A Figura 1.8 (a) ilustra este tipo de intervalo.

b) A notação ,a ou ,a ou ax/x , representa todos os números reais maiores

ou igual a a. A Figura 1.8 (b) ilustra este tipo de intervalo.

c) A notação a, ou a, ou ax/x , representa todos os números reais

menores que a. A Figura 1.8 (c) ilustra este tipo de intervalo.

d) A notação a, ou a, ou ax/x , representa todos os números reais

menores ou igual a a. A Figura 1.8 (d) ilustra este tipo de intervalo.

e) A notação , ou , ou simplesmente , indica o conjunto de todos os

números reais. A Figura 1.8 (e) ilustra este intervalo.

Figura 1.5. Intervalos Infinitos

Operações com Conjuntos

Um conjunto pode ser interpretado como uma coleção de objetos de qualquer natureza.

Estes objetos são os elementos do conjunto. Se S é um conjunto, então Sa significa que a é

elemento de S. Se Sa significa que a não é elemento de S. Se todo elemento de um

conjunto S é também elemento de um conjunto T, diz-se que S é subconjunto de T. Dois

conjuntos S e T dizem-se iguais e escreve-se TS se S e T contém precisamente os mesmos

elementos. TS indica que S e T não são iguais.

Se S e T são conjuntos, sua união TS consiste dos elementos que estão em S, ou

em T, ou em ambos.

A intersecção TS consiste dos elementos comuns aos dois conjuntos S e T.

União e Intersecção de Intervalos

Como intervalos são conjuntos é natural que as operações mencionadas possam ser

realizadas. E, trata-se de um procedimento muito comum na resolução de alguns problemas. E

a maneira mais fácil e intuitiva de realizar essas operações é através da representação gráfica

dos intervalos envolvidos. Vamos a um exemplo prático de como efetuar tais operações.

(e)

(c)

a

(d)

a

a

a

(a)

(b)


8

Exemplos:

1) Sejam 61,A e 1 x/xB dois intervalos e vamos determinar BA e BA .

Primeiramente, marcamos todos os pontos que são extremos ou origens dos intervalos

em uma mesma reta. Em seguida, abaixo dessa reta, traçamos os intervalos que representam

graficamente os conjuntos A e B. E, por fim, é só utilizar a definição de união e intersecção

para determinar os trechos que estão em pelo menos um intervalo e os trechos comuns aos

dois intervalos, respectivamente. Veja a solução de BA na Figura 1.9 e de BA na

Figura 1.10 a seguir.

Figura 1.6. Exemplo de União de Intervalos

A resposta é: ,BA 1 ou ,BA 1 ou 1 x/xBA

Figura 1.7. Exemplo de Intersecção de Intervalos

A resposta é: 61,BA ou 61,BA ou 61 x/xBA

2) Sendo 41 x/xA , 3 x/xB e 426 xoux/xC ,

encontre CBA .

Utilizamos a Figura 1.11 para resolver este exemplo:

Figura 1.8. Exemplo de União e Intersecção de Intervalos

6-1

1

-1 1 6BA

-1 6

1

-1 1 6 BA

3

3

2

2

-1

C

4-1

A

4-6

4

4

-1

BA

C)BA(


9

Equações e Inequações

Equações do 1º grau e 2º graus Exemplos:

1) 1432 xx 2) 062 xx

2

2

42

142

3142

S

x

x

x

xx

32

23então2

51

25

6141422

,S

"xe'xx

..acb

Inequações do 1º grau e 2º graus Exemplos:

1) 2)

0)2)(1(

12

0)2)(1(

)1(3)2(1

02

3

1

1

2

3

1

1)3

xx

x

xx

xx

xx

xx

2

1

12

012

x

x

x

1

01

x

x

2

02

x

x

2

112ou

2

11ou2 ;;xx/xS

–2 –1 2

1

– + + +

– – + +

+ + + –

+ – + –

1ou1

1

22

1-22x-

5 3 4x -2x

4x 3- 5-2x

,x/xS

x

x

52

7ou5

2

7

52

7

2

11027

3733234

7324

;x/xS

x

x

x

x

27 5

–1


10

Sistema Cartesiano Ortogonal

Pares Ordenados de números reais.

Dois números reais quaisquer formam um par. Quando a ordem deste par de números

reais está determinada, denominamos par ordenado de números reais. Se x é o primeiro

número e y o segundo, indicamos este par por

Exemplos:

(1 , 2) é diferente de (2 , 1); 6, é diferente de ,6

Plano Cartesiano

O conjunto de todos os pares ordenados de números reais chama-se plano numérico, e

cada par corresponde a um ponto deste plano. Indicaremos este plano por 2 . O

conjunto de pontos para os quais 0y , formam uma reta horizontal, que chamaremos eixo x.

O conjunto de pontos para os quais 0x , formam uma reta vertical, que chamaremos eixo y.

Estes dois eixos, se encontram no ponto (0,0) que será chamada origem do plano cartesiano.

y

+

+

– +

0 x

–

O plano numérico 2 com eixos x e y, é chamado plano cartesiano, e os pares ordenados de

2 são as coordenadas cartesianas dos pontos.

Vizinhança no Plano Cartesiano

Vizinhança O conjunto de todos os pontos (x , y) tais que 0xx , 0yy com 0

, é chamado uma vizinhança retangular de 00 , yx . Vizinhança retangular

y

0y -

0y - P

0y -

0x 0x 0x


11

O conjunto 00 yy , que exclui 00 , yx , é uma vizinhança restrita de 00 , yx .

y

0y -

0y - P

0y -

0x 0x 0x

O conjunto 22

0

2

0 yyxx é uma vizinhança circular de 00 , yx .

y

0y -

0y - P

0y -

0x 0x 0x

Função:

Definição de Função Real de Variável Real

Dados dois conjuntos não vazios e , uma função de em é uma relação que a

cada elemento de faz corresponder um único elemento de .

Para dar nomes as funções costumamos usar as letras f, g, h e outras. Empregamos

também a seguinte notação:

f: AB para indicar uma função f de A em B.

y = f(x) para indicar que y é o correspondente de x.

Exemplo:

a) Dado A= 4,3,2,1 , consideremos a função f: A , definida por f(x) = 2x. Temos:

x y

1 2 A

2 4 1 2

3 6 2 4

4 8 3 6

4 8


12

b) 1,:f

Domínio, contradomínio e imagem de uma função.

A partir da definição, temos:

O domínio da função é o conjunto A e escrevemos D = A

O contradomínio é o conjunto B e escrevemos Cd = B

O conjunto imagem da função é o subconjunto de B formado pelos elementos que tem

correspondente em A e escrevemos Im(f).

Exemplos:

a) Usando o exemplo 2) da seção 3.2.1. temos:

D(f)=A D(f)= (- ; 1,5]

Cd(f)=B Cd(f)=

Im(f)= {2,4,6,8} Im(f)=(- ,1]

Tipos de Funções:

Polinômios:

São funções que tem a forma:

nn

nnn axaxaxaxaxf

1

2

2

1

10 ...)( , onde a 0 , a 1 , ...a n são constantes e n é

um inteiro positivo chamado grau do polinômio se a 0 0.

Observação: Se o grau de um polinômio é n, ele tem exatamente n raízes. Exemplo:

Exemplo:

1- 6x + 7x - 3x =P(x) 23 .

Funções Algébricas:

São funções formadas por um número finito de operações algébricas sobre a função

ccy , (constante) e xy (identidade). Estas operações algébricas incluem adição,

subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação.

Exemplos:

a) Racional algébrica: 625

6224

3

xx

xxy ; b) Irracional algébrica:

223

2

)123(

76

xxx

xxy

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2


13

Funções Transcendentes

São funções que não são algébricas, tais como funções exponenciais, logarítmicas,

trigonométricas, trigonométricas inversas, hiperbólicas e hiperbólicas inversas.

Funções Crescentes e Decrescentes:

Função Crescente:

Uma função é dita crescente, num intervalo, se para qualquer x 1 e x 2 pertencentes a

esse intervalo com x 1 < x 2 , tivermos f (x 1 ) < f (x 2 ).

Exemplo:

1 xy

Função Decrescente:

Uma função é dita decrescente, num intervalo, se para quaisquer x 1 e x 2 pertencentes

a esse intervalo com x 1 < x 2 , tivermos f (x 1 ) > f (x 2 ).

Exemplo:

1 xy

-2

-1

0

1

2

3

4

-3 -2 -1 0 1 2 3

x

y

2121

11

11

21

10

yyxx

yx

yx

-2

-1

0

1

2

3

4

-3 -2 -1 0 1 2 3

x

y

2121

11

11

01

10

yyxx

yx

yx


14

Funções Sobrejetoras, Injetoras e Bijetoras.

Função Sobrejetora:

Seja uma função f de A em B. Dizemos que f é sobrejetora, se e somente se, a imagem de f

for o próprio contradomínio (conjunto B). Em símbolos f é sobrejetora Im (f) = Cd (f).

Exemplos:

a)

b) :f . 2)( xxf

Função Injetora:

Seja uma função f de A em B. Dizemos que f é injetora, se cada elemento do conjunto

contradomínio for imagem de apenas um elemento do conjunto A.

Em símbolos: f é injetora x 1 , x 2 A, com x 1 x 2 temos f (x 1 ) f (x 2 )

Exemplos:

a)

a ●

b ●

c ●

● 1

● 2

B

BCd

AD

Im

Contradomínio e

imagem iguais sobrejetora

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-3 -2 -1 0 1 2 3

x

y

Im

Cd

D

Contradomínio e

imagem iguais sobrejetora

a ●

b ●

c ●

● 1

● 2

● 3

● 4

A B

3,2,1Im

3,2,,1,

BCd

AD

cbaf


15

Como cada elemento da imagem tem um único correspondente no domínio, pode-se

afirmar que esta função é injetora.

b) :f , 2)( xxf

Como cada elemento da imagem tem um único correspondente no domínio, pode-se

afirmar que esta função é injetora.

Função Bijetora:

Seja f uma função de A em B. Dizemos que f é bijetora, se e somente se f for ao

mesmo tempo sobrejetora e injetora. Em símbolos: f é bijetora f é sobrejetora e injetora.

Exemplos:

a)

Esta função é sobrejetora pois a imagem e o contradomínio são iguais. É também

injetora pois cada elemento da imagem tem um único correspondente no domínio. Como é

sobrejetora e injetora é então bijetora.

Domínio Natural:

Se uma função de variável real a valores reais for definido por uma fórmula e se não

houver um domínio determinado explicitamente, então deve ser entendido que o domínio

consiste de todos os números reais para os quais a fórmula resulte em um valor real. Isto é

chamado de domínio natural da função.

Exemplos:

Vamos encontrar o domínio das funções abaixo:

a) xxxf 3)( 2 b) )1).(2(

3)(

xxxf c) 43)( 2 xxxf

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-3 -2 -1 0 1 2 3

x

y

a ●

b ●

c ●

● 1

● 2

● 3

A B

B

BCd

AD

cbaf

Im

3,2,,1,

Im

Cd

D


16

Operações aritméticas sobre funções:

Dadas às funções f e g, definimos:

xg

xfx

g

f

xgxfxgf

xgxfxgf

xgxfxgf

..

O domínio das funções xg

fxgfxgfxgf

,.,, é definido como a

intersecção do domínio de f e g.

Para a função

g

f (x), devem ser excluídos os valores em que g (x) = 0.

Exemplo:

Determine xg

fxgfxgfxgf

,.,, e seus respectivos domínios, sendo

21)( xxf e 3)( xxg :

Funções Compostas:

Dadas as funções f e g, a composta de f e g, denotada por gf , é a função definida

por ))(()( xgfxgf . O domínio de gf consiste em, por definição, todo x no domínio

de g para o qual g (x) está no domínio de f.

Exemplos:

1) Sejam os conjuntos A = {–1, 0, 1, 2}, B = {–3, 0, 3, 6}, C = {–6, 0, 6, 12} e as funções

BAg : com xxg 3)( e CBf : com xxf 2)( .

2) Seja 3)( 2 xxf e xxg )( . Vamos encontrar:

a) )(xgf : b) Domínio de )(xgf : c) )(xfg : d) Domínio de )(xfg :


17

Expressando uma função como uma composta.

Por exemplo, vamos considerar a função 32)( xxh . Para calcular h(x) para um dado

valor de x, faríamos primeiro 2x e então elevaríamos ao cubo. Estas duas operações são

executadas pelas funções.

2)( xxg e 3)( xxf

Podemos então expressar h em termos de f e g.

))(()(2)(33

xgfxgxxh

Então o procedimento extensivo de decomposição de uma função h na composição

gfh , é:

1º) Pense sobre como você calcularia h(x) para um valor específico de x, tentando dividir os

cálculos em dois passos executados sucessivamente;

2º) A primeira operação no cálculo determinará uma g e a segunda uma função f.

3º) A fórmula para h pode, então, ser escrita como ))(()( xgfxh .

Obs.: Vamos chamar:

g função de dentro

f função de fora

Exemplos:

Vamos expressar as funções abaixo como composta de duas funções:

a) 23)( xxh

Função Inversa.

Se f é uma função bijetora de A em B, a relação inversa de f é uma função de B em A

que denominamos função inversa f e indicamos por 1f .

Ainda, fyxxyf ,/,1 é a função inversa de f se para todo By , existe um

único Ax tal que 1),( fxyf .

Obs.:

1º) Os pares ordenados que formam 1f podem ser obtidos dos pares ordenados de f,

permutando-se os elementos de cada par, isto é: 1,, fxyfyx ;

2º) Pela observação anterior, temos:

1,, fxyfyx e se 111 ,, fyxfxy

isto é, a inversa de 1f é a própria função f ou seja ff 11 ;

3º) O domínio da função 1f é B, que é a imagem de f.

A imagem da função 1f é A, que é o domínio de f.


18

A B B f 1 A

)Im(1 fBfD )(Im 1 fDAf

Exemplo:

Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 3, 5, 7}, consideremos a função f de A

em B definida por 12)( xxf ..

x y

1 1

2 3

3 5

4 7

Determinação da Função Inversa.

Regra prática.

Dada à função bijetora f de A em B, definida pela sentença )(xfy , para obtermos a

sentença aberta que define 1f , procedemos do seguinte modo:

1º) Na sentença )(xfy fazemos uma mudança de variável, isto é, trocamos x por y e y por

x, obtendo )(yfx ;

2º) Transformamos algebricamente a expressão )(yfx , expressando y em função de x para

obtermos )(1 xfy .

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

1

3

5

7

1

2

3

4

A B f f é bijetora

BfCd

AfD

)(

)(

4,7,3,5,2,3,1,11 f em que BfD )( 1 e Af )Im( 1

.

Observemos que a função f é definida por 12 xy e 1f é

definida pela sentença 2

1

yx

1

2

3

4

1

3

5

7

B A f--1


19

)( fD

2)Im( f

Exemplos:

a) Vamos encontrar a função inversa da função f dada por 32)( xxf .

b) Vamos encontrar a função inversa da função bijetora f 14: f tal que

4

1)(

x

xxf

Solução:

1º)

2º)

Estudo das Funções:

Função Constante:

Dado um número real c, definimos função constante aquela que a todo número real x

faz corresponder o número c:

ccxff ,)(/:

Exemplo:

2)( xf

1

14)(

1

14

14)1(

1414

4

1

4

1

1

x

xxf

x

xy

xxy

xyxyyxxy

y

yx

x

xy


20

D (f) =

Im (f) =

D(f) =

Im(f) =

D(f) =

Im(f) =

Função Polinomial do 1∘ Grau:

Dados os números reais a e b, sendo a 0, definimos função polinomial do 1º grau aquela

em que a todo número real x faz corresponder o número ax + b:

f : , com f (x) = ax + b (a * , b )

Exemplos:

a) 12 x)x(f

b) 12 x)x(f

c) x)x(f 2

x y

0 0

1 2

Função Polinomial do 2º grau:

Dados os números reais a, b e c, sendo a 0, definimos função polinomial do 2º grau aquela

em que a todo número real x faz corresponder o número ax2

+ bx + c:

c,b*,a,cbxax)x(f/:f 2

x y

0 1

1 3

x y

0 1

1 -2


21

D (f) =

Im (f) = [-4, + )

D (f) =

Im (f) = (- , 4]

D (f) =

Im (f) =

Exemplos:

a) 322 xx)x(f

x y

-4 5

-3 0

-1 -4

1 0

2 5

b) 322 xx)x(f

Funções Polinomiais de grau maior que 2:

Dados os números reais a n , a 1n , ..., a 1 , a 0 , sendo a 0n , definimos função polinomial

de grau n aquela em que a todo número real x faz corresponder o número

01

1

1 ... axaxaxa n

n

n

n

011,01

1

1 ,,...*,)(/: aaaaaxaxaxaxff nn

n

n

n

n

Exemplos:a) 3x)x(f

x y

-4 -5

-3 0

-1 4

1 0

2 -5

x y

-2 -8

-1 -1

-0 0


22

D (f) =

Im (f) =

D (f) =

Im (f) =

D(f) =

Im(f)=

b) 4x)x(f

c) 5x)x(f

d) 22)( 23 xxxxf

x y

-1,5 -5,1

-1 1

0 0

1 1

1,5 5,1

x y

-1,4 -5,4

-1 -1,0

0 0,0

1 1,0

1,4 5,4

x y

-3,0 -8,0

-2,5 -2,6

-2,0 0,0

-1,5 0,6

-1 0,0

-0,5 -1,1

0 -2,0

0,5 -1,9

1 0,0

1,5 4,4


23

D(f) =

Im(f)= [-1,+ )

D(f)= * I

m (f) = *

e) xxxx)x(f 652 234

x y

-2,5 6,6

-2,0 0,0

-1,5 -0,9

-1 0,0

-0,5 0,6

0 0,0

0,5 -0,9

1 0,0

1,5 6,6

Função Racional Fracionária

Uma função que pode ser expressa como uma razão de dois polinômios é chamada de

função racional fracionária. )(

)()(

xQ

xPxf

Esboce o gráfico de uma função racional que você conhece!

Exemplos:

a) x

xf1

)(

x y

-2,5 -0,4

-2,0 -0,5

-1,5 -0,7

-1 -1,0

-0,5 -2,0

-0,2 -5,0

-0,1 -10,0

0,1 10,0

0,2 5,0

0,5 2,0

1 1,0

1,5 0,7

2 0,5

2,5 0,4


24

D(f)= - {-2}

Im (f) = - {1}

2

1)(

x

xxf

D(f)= - {-1, 1}

Im (f) =

b)

c) f (x) = 1

22

2

x

xx

x Y

-6 1,8

-5 2,0

-4 2,5

-3,0 4,0

-2,5 7,0

-2,2 16,0

-1,8 -14,0

-1,5 -5,0

-1 -2,0

0 -0,5

1 0,0

1,5 0,1

2 0,3

3 0,4

x y

-3 0,4

-2 0,0

-1,1 -4,7

-1,1 -5,3

-0,9 5,2

-0,8 2,7

-0,5 1,0

0 0,0

0,8 -6,2

0,9 -13,7

1,1 16,2

1,2 8,7

1,5 4,2

2 2,7

3 1,9


25

D (f) =

Im (f) = *

D (f) = ]

Im (f) = *

0 < a < 1

Função Decrescente

xxf 2log)(

D (f) = *

Im (f) =

a > 0

Função

Crescente

Função Exponencial:

Denominamos função exponencial de base a (a > 0 e a 1) à função f (x) = xa

definida para todo x real.

Exemplos: a) x)x(f 2

b)

x

)x(f

2

1

Função Logarítmica:

Dado um número real a (a > 0 e a 1), chamamos função logarítmica de base e à

função xxf alog)( , definida para todo x > 0.

Exemplos:

a)

x y

-4 0,0625

-3 0,125

-2 0,25

-1,0 0,5

0 1,0

1 2,0

2 4,0

3 8,0

x y

-4 16,0

-3 8,0

-2 4,0

-1,0 2,0

0 1,0

1 0,5

2 0,25

x y

0,125 -3

0,25 -2

0,5 -1

1,0 0

2 1

4 2

a > 0

Função Crescente


26

D (f) = *

Im (f) =

0 < a < 1

Função Decrescente

D(f)=

Im(f)= [0,4]

xxfb

2

1log)()

Função Definida por Várias Sentenças

Uma função f pode ser definida por várias sentenças abertas, cada uma das quais está

ligada a um domínio Di, contido no domínio da f.

Exemplo:

2,4

21,

1,1

)( 2

xse

xsex

xse

xf

Função Modular:

Uma aplicação de

recebe o nome de função modular quando a cada

x

associa o elemento x e se escreve x)x(f .

x y

0,125 -3

0,25 -2

0,5 -1

1,0 0

2 1

4 2

8 3

x y

-3 1

-2 1

-1 1

-1 1

0 0

1 1

2 4

2 4

3 4

4 4


27

D (f) =

Im (f) =

D (f) =

Im (f) = (- , 2]

Exemplos:

a) x)x(f

b) 12 x)x(f

SEGUNDA MISCELÂNEA

01. Um fazendeiro dispõe de 40m de tela e deseja cercar uma área retangular utilizando um muro

como um dos lados, para fazer um jardim. Determine: a) a função A(x), onde x (comprimento de um

dos lados) é a variável independente em metros e A (área do retângulo) é a variável dependente em

metros quadrados. b) A partir do gráfico da função, estime o valor de x para que a área do jardim seja

máxima.

02. Um cientista faz uma experiência na qual o tempo T estimado para um rato percorrer um labirinto

na n-ésima tentativa é dado por n

nT 123)( minutos.

a) Quanto tempo ele demora na 3ª tentativa ? R: 7T min.

b) Quanto tempo ele demora na 6ª tentativa ? R: 5T min.

c) Esboce o gráfico T

n 1264321

d) Que tendência ele observa quando n “aumenta muito”

x y

-3 3

-2 2

-1 1

0 0

1 1

2 2

3 3

x y

-5 -2

-4 -1

-3 0

-2 1

-1 2

0 1

1 0

2 -1

3 -2


28

03. Um retângulo de base x e altura y está inscrito num círculo, de raio igual a 2. Escreva a fórmula da

área A do retângulo em função de x. R: 216. xxA , )40( x

04. Deseja-se construir uma caixa sem tampa com um quadrado de papelão de 50 cm de lado,

cortando-se quadrados de lado x nos cantos e dobrando-se as abas para cima. a) Ache o volume V da

caixa em função de x. b) Esboce o gráfico e c) Estime o valor de x para que o volume seja máximo.

R: a) 32 42025 xxxV ; )250( x ; c) 3,8 xVmáx

05. Uma caixa em forma de paralelepípedo tem base quadrada com lado x, altura y e volume

y igual a 324 3cm . O material da base custa R$ 2,00 por

2cm e o da tampa e dos demais lados

custa R$ 1,00 por 2cm .

a) Escreva a fórmula do custo total C da caixa em função de x. b) Esboce o gráfico.

c) Estime o valor de x para que o custo total seja mínimo. d) Qual é o x valor do custo mínimo?

R: a) x

xC 129623 , )0( x c) 6x e d) 00,324$RCmín

06. (UEPG) Dada à equação 32x

– 4.3x + 3 = 0 assinale o que for correto.

01. A soma entre suas raízes é 4 e o produto é 3.

02. A soma entre suas raízes é nula.

04. Se s é a soma entre suas raízes, então 10s = 10

08. Se p é o produto entre suas raízes, então 3p = 1

16. O produto entre suas raízes é um número ímpar

07. (UFSM) Num raio de x km, marcado a partir de uma escola de periferia, o Sr. Jones

constatou que o número de famílias que recebem menos de 4 salários mínimos é dado por

N(x) = k.22x

, em que k é uma constante e x > 0. Se há 6 144 famílias nessa situação num raio

de 5 km da escola, o número que você encontraria delas, num raio de 2 km da escola, seria:

08. (UEL-PR) O valor da expressão

8log.64

1log

01,0log1log

42

103 é:

a) 4/15 b) 1/3 c) 4/9 d) 3/5 e) 2/3

09. (UEPG-PR) Sendo log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, então log 60 vale:

a) 1,77 b) 1,41 c) 1,041 d) 2,141 e) 0,141

10. (UFSM-RS) A raiz real da equação log10(x + 1) + 1 = log10 (x2 + 35) é:

a) – 5 b) – 1 c) 2 d) 5 e) 10

11. (UFRGS ) A raiz da equação 2x = 12

é:

a) 6 b) 3,5 c) log 12 d) 2.log23 e) 2 + log23

12. (UFSC) O valor de x, que satisfaz a equação. 22x + 1

- 3.2x + 2

= 32, é:


29

13. (ACAFE-07) Num tanque biodigestor, os dejetos suínos sob a presença de determinadas

bactérias se decompõem segundo a lei 4

1

2.)(

t

KtD

, na qual K é uma constante, t indica o

tempo (em dias) e D(t) indica a quantidade de dejetos (em quilogramas) no instante t.

Considerando-se os dados desse processo de decomposição mostrados no gráfico abaixo, a

quantidade de dejetos estará reduzida a 128 g depois de:

a) 16 dias

b) 12 dias

c) 4 dias

d) 20 dias

e) 8 dias

14. (UDESC-08) Sabendo que log3(7x – 1) = 3 e que log2(y3 + 3) = 7, pode-se afirmar que

logy(x2 + 9) é igual a:

a) 6

b) 2

c) 4

d) – 2

e) – 4

15. (UFSM – 07)

O gráfico do desempenho de certo candidato à Câmara Federal foi ajustado através da função

f(x) = loga x + m e está apresentado na figura, onde x representa o número de dias que

precediam o pleito e f(x) o número de votos em milhares de unidades. Sabendo que

g(x) = f(x) – 3, o valor de g –1

(4) é:

a) 1

b) 3

c) 9

d) 27

e) 81


30

16. (UEPG-06) Se log2 N = p, assinale o que for correto.

01. log16 N = 4

p

02. log1/2 N = – p

04. log3 N = p. log32

08. log8 N2 =

3

2 p

16. log2 N = 2.log2 p

17. (UFPR – 08 ) Um método para se estimar a ordem de grandeza de um número positivo N

é usar uma pequena variação do conceito de notação científica. O método consiste em

determinar o valor x que satisfaz a equação 10x = N e usar propriedades dos logaritmos para

saber o número de casas decimais desse número. Dados log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47 use esse

método para decidir qual dos números abaixo mais se aproxima de N = 2120

330

.

a) 1045

b) 1050

c) 1055

d) 1060

e) 1065

18. (UEL-PR) O crescimento de uma colônia de bactérias é descrito por P(t) = α.4 t

onde

t ≥ 0 é o tempo, dado em horas, e P(t) é a população de bactérias no instante t. Se, após 4

horas, a população inicial da colônia triplicou, após 8 horas o número de bactérias da colônia

será:

a) 6 α b) 8 α c) 9 α d) 8 α – 4 e) α + 8

19. (UEL-PR) Um empresário comprou um apartamento com intenção de investir seu

dinheiro. Sabendo-se que este imóvel valorizou 12% ao ano, é correto afirmar que seu valor

duplicou em, aproximadamente:

(dados: log 2 = 0,30 e log 7 = 0,84)

a) 3 anos

b) 4 anos e 3 meses

c) 5 anos

d) 6 anos e 7 meses

e) 7 anos e 6 meses

20. (UEM-PR ) Assinale o que for verdadeiro.

01. Se a > 0, b > 0 e c > 0, então

bcab

caloglog.3log.2

.log

32


31

02. Se log 2 = a e log 3 = b, então log2 72 = a

ba 23

04. Se log21(x + 2) + log21(x + 6) = 1, então x = 1

08. Se log(1000)x – log(0,001)

x = - 1, então x =

6

1

16. log5 7 < log8 3

32. Se f(x) = ))1(log(log2

1 x , então f(9) = 0

21. (UERJ) Pelos programas de controle de tuberculose sabe-se que o risco de infecção

depende do tempo , em anos, do seguinte modo: , em que é o risco de

infecção no início da contagem do tempo e é o coeficiente de declínio. O risco de infecção

atual em Salvador foi estimado em 2%.

Suponha que, com a implantação de um programa nesta cidade, fosse obtida uma redução no

risco de 10% ao ano, isto é, Use a tabela para os cálculos necessários.

8,2 9,0 10,0 11,0 12,2

2,1 2,2 2,3 2,4 2,5

O tempo, em anos, para que o risco de infecção se torne igual a 0,2%, é de:

a) 21 b) 22 c) 23 d) 24

22. Uma maionese mal conservada causou mal-estar nos frequentadores de um clube. Uma

investigação revelou a presença da bactéria salmonela, que se multiplica segundo a lei:

, em que é o número de bactérias encontradas na amostra de maionese

horas após o início do almoço e é uma constante real.

a) Determine o número de bactérias no instante em que foi servido o almoço;

b) Sabendo que após 3 horas do início do almoço o número de bactérias era de 800, determine

o valor da constante ;

c) Determine o número de bactérias após 12 horas da realização do almoço.

23. (UFSM) Num raio de km, marcado a partir de uma escola de periferia, o Sr. Jones

constatou que o número de famílias que recebem menos de 4 salários mínimos é dado por

, em que é uma constante e . Se há 6 144 famílias nessa situação

num raio de 5 km da escola, o número que você encontraria delas, num raio de 2 km da

escola, seria?


32

24. A onça-pintada, também conhecida por jaguar ou jaguaretê, costuma ser encontrada em

reservas florestais e matas cerradas, mas, atualmente, é um dos carnívoros brasileiros que

corre perigo de extinção. Suponha que, em determinada região, a população de onças-

pintadas, daqui a anos, será estimada pela função . Faça

uma estimativa da população de onças-pintadas que habitarão essa região daqui a vinte anos.

Aproxime a resposta para o número inteiro mais próximo.

25. O gráfico representa a fórmula usada para determinar o número de

miligramas de um remédio na corrente sanguínea de um indivíduo, horas depois de lhe ter

sido administrado um medicamento .

a) Determine o valor de ;

b) A função é crescente ou decrescente? Justifique;

c) Quanto tempo leva para que a quantidade do medicamento

administrado se reduza à metade?

26. Determine o domínio de cada função:

a)

b)

27. Observou-se o comportamento das quantidades ofertadas e demandadas, de determinado

bem durável, em relação ao seu preço de venda, obtendo-se:

2 3 4 5 6 7

4,1 3,4 2,1 1,5 1 0,1

0 1 1,9 2,4 3,5 4,1

Onde é o preço é a quantidade de demanda e é a quantidade de oferta. Determine as

funções de demanda e oferta e depois encontre o ponto de equilíbrio e faça o gráfico das duas

funções no mesmo sistema de eixos.

28. Dadas as funções , represente-as graficamente,

Identificando qual é a função de demanda e qual é a função de oferta e determine o ponto de

equilíbrio.


33

29. Uma loja compra camisetas ao custo de R$ 7,00 a unidade. Estima-se que, se cada camisa

for vendida por R$ , os consumidores comprarão camisetas por mês.

a) Estabeleça a fórmula que forneça o lucro mensal em função do preço de venda de cada

camisa.

b) Suponha que a loja não considere centavos nos preços de suas mercadorias, por quanto à

loja deveria vender cada camiseta para o lucro ser máximo?

30. Determina o ponto crítico e esboça os gráficos das funções receita, custo total e lucro total

em cada caso:

a) e

b) e

31. Uma empresa produz um certo produto de tal forma que suas funções de oferta diária e

demanda diária são: e – , respectivamente. Determina:

a) O preço para que a quantidade ofertada seja igual a 50;

b) A quantidade vendida quando o preço é 10 reais;

c) Os gráficos das funções de oferta e demanda no mesmo sistema de eixos; interpreta o

resultado obtido em (b).

32. Uma construtora tem um terreno e calculou que gastará um total de 100.000 tijolos para

construir o muro que o cercará. Após construí-lo, acredita que precisará de 10.000 tijolos por

semana para a construção de casas no terreno.

a) Construir um modelo linear que descreva o número de tijolos necessários para as obras,

incluindo o muro, em função do número de semanas decorridas a partir do término do muro.

b) Após quatro semanas, qual é a quantidade utilizada de tijolos?

c) Se estiver previsto a construção de 20 casas no terreno, e cada casa consumir 20.000 tijolos,

qual o domínio da função construída no item (a)?

33. O custo de estoque é modelado por

e depende dos custos de pedido e

armazenamento, em que é o número de unidades vendidas por anos, é o custo de

armazenamento de uma unidade por 1 ano, é o custo de fazer o pedido e é o número de

unidades no pedido. Determine o tamanho do pedido que minimize o custo quando

e


34

34. As funções de demanda e do custo de um produto são dadas por e

em que é o preço por unidade, é o número de unidades e é o

custo total. O lucro da produção de unidades é dado por em que é o

imposto sobre produtos industrializados por unidade. Determine os lucros máximos para um

imposto sobre produtos industrializados de e .

35. Em um cinema, verificou-se que o número de frequentadores por seção relaciona-se

com o preço de ingresso segundo a função Qual o preço que deve ser

cobrado para maximizar a receita, se o total de lugares for 600?

36. A massa do coração de um mamífero é proporcional à massa de seu corpo. Ou seja

. Um ser humano com 70 quilos tem um coração de quilos. Use essa informação

para encontrar a constante de proporcionalidade , encontrada a constante de

proporcionalidade estime a massa do coração de um cavalo cuja massa é de 600 quilos.

37. A área de superfície de um mamífero satisfaz a equação , onde é a massa

do corpo e a constante de proporcionalidade depende da forma do corpo do mamífero. Um

humano com massa de 70 quilos tem uma área de superfície de 18.600 . Encontre a

constante de proporcionalidade para os humanos. Encontre a área de superfície de um humano

com 90 quilos.

Bom estudo!

Bibliografia

1. ANTON, Howard, BIVENS, Irl, DAVIS, Stephen. Cálculo Vol. 1, 10ª ed. Porto Alegre:

Bookman, 2014.

2. BOULOS, Paulo. Calculo Diferencial e Integral, Vol. 1. São Paulo: Pearson Makron

Books, 1999.

3. FLEMMING, Diva Marília e GONÇALVES, Mirian Buss. Cálculo A: Funções, Limite,

Derivação, Integração. Vol. 1, 6ª ed. São Paulo: Pearson, 2006.

4. HOFFMANN, Laurence D., BRADLEY, Gerald L. Cálculo - Um Curso Moderno e

Suas Aplicações, 11a ed. Rio de Janeiro: LTC, 2015.

5. Leithold, Louis. Matemática aplicada à economia e administração. São Paulo: Harbra,

2001.

6. TAN, Soo Tang. Matemática Aplicada à Administração e Economia. (tradução da 9ª

ed. norte-americana). São Paulo: Cengage Learning, 2014.

pré-cálculo: uma revisão de conceitos matemáticos para as...

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