fundação universidade federal do vale do são francisco...

As artes e as ciências históricas são modos de experimentação nos quais nossa própria compreensão da existência entram diretamente em ação. Gadamer

1 1

Fundação Universidade Federal do Vale do São Francisco

Colegiado de Engenharia Elétrica

Prof. Pedro Macário de Moura

[email protected]

Geometria Analítica

VETORES

Definições:

O estudo de vetores será fundamentado no conjunto de todos os pontos do espaço

tridimensional ou Euclidiano, que será indicado por R³. Os pontos de R³ serão denotados por

letras latinas maiúsculas as retas, por letras latinas minúsculas os

planos, por letras gregas minúsculas e números reais, ou escalares por letras

minúsculas latinas ou gregas.

Grandezas Escalares e Vetoriais

As grandezas físicas se subdividem em escalares e vetoriais. As grandezas escalares se

caracterizam por sua intensidade ou tamanho (um número e sua unidade correspondente),

como por exemplo: o tempo, a massa, a temperatura, comprimento, etc. As grandezas

vetoriais se caracterizam por três componentes, ou sejam, intensidade, direção e sentido,

como por exemplo: a força, o momento linear, o deslocamento, e por ai vai.

Segmento Orientado

Um segmento orientado é determinado por um par ordenado de pontos sendo o

primeiro chamado de origem e o segundo de extremidade. Sua representação geométrica é

feita por uma seta indo do ponto A para o ponto B, conforme na figura abaixo.

A direção de um segmento orientado é dada pela sua reta suporte, isto é, pela reta que

contém os pontos que o define ou por qualquer reta paralela a ela.

O sentido de um segmento orientado é definido pela orientação do ponto origem para

o ponto extremidade ou pela seta na sua representação geométrica.

O comprimento de um segmento orientado é a medida do segmento geométrico que

vai desde o ponto origem até o ponto extremidade. Veja o exemplo seguinte


2 2

Segmentos orientados nulos são aqueles cuja origem e cuja extremidade é o mesmo

ponto. Exemplos: e por ai vai.

Segmentos opostos são dois segmentos com mesma direção, mesmo comprimento e

sentidos opostos. Por exemplo, se , então os segmentos e são segmentos

opostos.

Dois segmentos orientados, e são equipolentes quando têm a mesma

direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento ou quando ambos forem nulos. A notação

para segmentos equipolentes é a seguinte: Veja na figura abaixo

representações de segmentos orientados equipolentes.

A relação de equipolência de segmentos orientados tem as seguintes propriedades:

a) Reflexiva:

b) Simétrica: Se ( então

c) Transitiva: Se e se então

Portanto, a relação de equipolência é uma relação de equivalência. Denomina-se classe

de equipolência do segmento orientado ao conjunto de todos os segmentos orientados

equipolentes a

Vetor

Definição: Vetor é uma classe de equipolência de segmentos orientados do Espaço

Euclidiano O conjunto de todos os vetores é indicado por

Notação:

I. Se é um segmento orientado, o vetor correspondente é denotado por AB.

II. Usam-se também letras latinas minúsculas para indicar vetores. Por exemplo e por

ai vai.

III. Vetor nulo – é aquele cujo representante é um segmento orientado nulo e é representado

por


3 3

IV. Vetores iguais – Dois vetores e são iguais se, e somente se , ou

seja,

Vetores opostos – Dado um vetor , o vetor é o oposto de e se indica por

ou por .

Norma (intensidade ou módulo) de um vetor é o comprimento de qualquer um de seus

representantes. Por exemplo, seja u um vetor qualquer, a norma de u é |u|.

Vetor unitário - é o vetor cuja norma é igual à unidade, ou seja, u é unitário, | u | 1.

Versor - de um vetor não nulo é o vetor unitário com mesma direção e mesmo sentido que

v, ou seja:

Adição de vetores

Para todos os vetores e de , a operação de adição de e faz corresponder um

vetor chamado soma, indicado por .

Regra do Paralelogramo para a Adição de Vetores –

Sejam os vetores u e v dados por seus representantes

e respectivamente, então a soma é

dada pelo representante como pode ser visto na

figura ao lado.

Propriedades da adição de vetores

Sejam os vetores e quaisquer e 0 o vetor nulo, então as seguintes propriedades

são válidas para a adição de vetores:

I. Propriedade Associativa.

II. Propriedade Comutativa.

III. Elemento Neutro.

IV. Elemento Oposto. –

PS. Subtração de vetores – u, v V³.


4 4

Multiplicação de escalar (número real) por vetor

Seja v um vetor qualquer de V3 e seja um número real qualquer. A multiplicação do

escalar pelo vetor v é a operação “externa” em V3 que a cada escalar e a cada vetor v

associa um vetor v tal que:

I. Se =0 ou v 0, então v 0 (por definição).

II. Se 0 e 0 v, então v é caracterizado por:

III. v é paralelo a v.

IV. v e v tem mesmo sentido se 0 e sentidos contrários de 0.

V. isto é, a norma de v é igual ao produto do módulo de pela norma de v.

Propriedades da multiplicação de escalar por vetores

Sejam os vetores u e v quaisquer e os escalares e quaisquer, então as seguintes

propriedades são válidas para a multiplicação de escalar por vetor:

I.

II.

III. Elemento Neutro

IV

Soma de ponto com vetor Definição: Sejam um ponto qualquer do Espaço

Euclidiano um vetor qualquer do Espaço Vetorial Tridimensional. Chama-se

operação de soma de um ponto com um vetor a operação que associa um único ponto

de R³ a , ou seja:

PS. é a soma de P com o inverso de v. Também, como consequência dessa operação,

um vetor pode ser definido como diferença de dois pontos, ou seja,

Propriedades dessa Operação:

I.

II. Se P + u = P + v u v

III. (P +u) + v = P + (u + v)

IV. Se


5 5

Dependência e Independência Linear

Combinação linear: Se um vetor x pode ser escrito da forma

então dizemos que é uma combinação linear de v1 , v2 , ... e vn.

Definição informal de independência linear: Um grupo de vetores é dito linearmente

independente se não for possível escrever qualquer deles como combinação linear

dos outros. A dependência e a independência linear de vetores são conceitos

fundamentais no estudo de espaços vetoriais. Por isso, sua conceituação será feita

sob dois enfoques: o geométrico e o algébrico. Porém, para isso necessita-se do

conceito de paralelismo entre vetor e reta e entre vetor e plano.

Diz-se que um vetor v é paralelo a uma reta r se algum representante de v

tiver a reta r como reta suporte. Dois vetores são paralelos quando suas retas

suportes forem paralelas.

Diz-se que um vetor v é paralelo a um plano se algum representante de v

tiver como reta suporte uma das retas do plano .

Conceituação geométrica da dependência linear de vetores

A definição geométrica da dependência linear de vetores é feita por etapas,

dependendo das quantidades de vetores envolvidos.

Definição 1

a) Um único vetor v V³ é Linearmente Dependente (LD) se v 0. Se v 0 então v

é Linearmente Independente (LI);

b) Dois vetores u, v V³ são linearmente dependentes se, e somente se, forem

colineares ou paralelos. Caso contrário, são linearmente independentes;

c) Três vetores u, v, w V³ são linearmente dependentes se, e somente se, forem

paralelos a um mesmo plano . Caso contrário, são linearmente independentes;

d) Quatro ou mais vetores de V³ são sempre linearmente dependentes.

Caracterização algébrica da dependência linear de vetores

Definição 2 Sejam v1, v2,..., vn (n vetores de V³ e sejam 1, 2 ... n números

reais. Chama-se COMBINAÇÃO LINEAR dos vetores v1, v2, ... vn ao vetor u

definido por .

PS. Diz-se também que u é gerado pelos vetores v1, v2,... vn .


6 6

Definição 3 Sejam v1,v2,...,vn V³. Dizemos que o conjunto {v1,v2,....,vn} é

linearmente independente (LI), ou que os vetores v são LI, se a equação

, implicar em que a única solução seja 1= 2=...= n=0. No

caso em que exista algum i 0 diz-se que {v1, v2,..., vn} é linearmente dependente

(LD), ou que os vetores v1, v2,..., v n são LD.

Teorema 1 {v1, v2,..., vn} é LD se, e somente se um destes vetores for combinação

linear dos outros, isto é, se existe pelo menos um valor 1 0 tal que

Corolário 1 Os vetores u, vV³ são linearmente dependentes se, e somente se,

existir um número real tal que u v ou se existir um número real tal que v = u.

Corolário 2 Se os vetores u, v V³ são linearmente independentes e se os vetores u,

v, w V 3 são linearmente dependentes, então w é combinação linear de u e v, isto é,

existem escalares e tais que w= u + v.

Corolário 3 Se os vetores u, v, wV³ são linearmente independentes, então todo

vetor x V³ é gerado pelos vetores u, v e w, isto é, para todo o vetor x V³, existem

números reais , e y, tais que:

Base

Base do espaço vetorial V³

Definição Chama-se base de V³ a qualquer tripla ordenada, E = (e1, e2, e3), de

vetores linearmente independentes de V³.

PS. A base “E” gera todos os vetores de V³, isto é, qualquer vetor de V³ é uma

combinação linear de e1, e2 e e3, ou seja, existem escalares a1, a2, a3, tais que

v = a1e1 + a2e2 + a3v3 para qualquer vetor v.

Coordenadas do Vetor

Escolhida uma base “E” de V³, fica associado univocamente a cada vetor v um terno

ordenado de escalares (a1, a2, a3). Esse terno é denominado “coordenado do vetor

v” em relação à base “E”.

Notação: A ordem dos escalares é importante, pois se trata de um terno ordenado.


7 7

Adição de vetores em função das coordenadas

Sejam os vetores

Então se define adição de u e v por

Multiplicação de escalar por vetor em função das coordenadas

Seja um vetor qualquer u= ( a1, a2, a3 )E = a1 e1 a2 e2 a3 e3 e seja um escalar

qualquer . Então, define-se produto do escalar pelo vetor u por

Dependência linear de vetores em função das coordenadas

Teorema 4 Os vetores u (a1, a2, a3)E e v (b1, b2, b3)E são LINEARMENTE

DEPENDENTES se, e somente se, são proporcionais a , isto é,

constante.

Teorema 5 Os vetores u (a1, a2, a3)E e v (b1, b2, b3)E w (c1, c2, c3)E são

LINEARMENTE INDEPENDENTES se, e somente se:

Ortogonalidade de vetor com Reta e Plano

Diferenciação entre retas perpendiculares e ortogonais

Definição:

I. O vetor u 0 é ortogonal à reta r (ao plano ) se existir um representante (A,B) de

u tal que AB é ortogonal a r (a ). O vetor nulo é considerado ortogonal a toda reta r

e a todo plano .

II. Os vetores u e v são ortogonais se um deles é nulo ou, caso contrário, admitirem

representantes perpendiculares (símbolo de ortogonalidade ).

Teorema 6 Os vetores u e v são ortogonais se, e somente se

Base ortonormal

Definição Uma base E = (e1, e2, e3) é ortonormal (ou canônica) se e1 ,e2 e e3 são

unitários e ortogonais dois a dois.

Teorema 6 Se E = (e1, e2, e3) é uma base ortonormal, e se

u = xe1 + ye2 + ze3 (x, y, z)E , então a norma de u é dada por


8 8

Cossenos Diretores

Ângulos diretores e cossenos diretores de um vetor

Seja uma base ortonormal (i, j, k) e seja o vetor v 0. Chamam-se cossenos

diretores de v, relativamente à base (i, j, k), aos números reais cos , cos ,

cos onde, , e são as medidas dos ângulos que v forma com i, j, k

respectivamente.

Os cossenos diretores do vetor v são dados pelas seguintes expressões:

Paralelismo Entre Dois Vetores

Dois vetores u (x1, y1, z1) e v (x2, y2, z2) são paralelos (ou colineares) se forem

LD, isto é, se existir um número real tal que . Ou ainda, se

.

PRODUTO DE VETORES

Ângulo entre dois vetores

Definição Sejam os vetores não nulos u e v e sejam os pontos A, B e C tais que

u AB e v AC (veja a figura abaixo). Seja a medida em radianos (graus) do

“ângulo BÂC” satisfazendo a restrição 0 (0 180).

Então, o número é chamado medido em radianos (graus) do ângulo entre u e v.

Produto escalar

Definição Chama-se produto escalar dos vetores u e v ao número real dado

por sendo a medida do ângulo entre u e v .

Corolário Se as coordenadas dos vetores u (x1, y1, z1) e v (x2, y2, z2) se referem a

uma base ortonormal, então o produto escalar, , pode ser dado por

.

Corolário Se |u| 0 e |v| 0, então da Definição anterior vem:

e


9 9

Propriedades do produto escalar

Teorema – Para quaisquer u v w V³ e para qualquer número real , tem-se:

1. u v+ w)= u v + u w

2. u ( v)= ( u) v= (uv)

3. uv = v u

4. u u 0; u u 0 u 0

Norma de vetor como função do Produto Escalar

Definição – Seja um vetor qualquer u= (x y z) com as coordenadas referindo-se a

uma base ortonormal. Então, da definição de produto escalar, temos:

u.u = |u|² cos 0, e:

Condição de ortogonalidade de dois vetores

Teorema 2.2: Sejam dois vetores quaisquer u e v de V³. O vetor u é ortogonal a v

(uv ) se, e somente se, uv 0.

Projeção do vetor u na direção do vetor v

Sejam os vetores u e v, sendo u 0 e v 0, e o ângulo entre eles. A projeção do

vetor u sobre o vetor v, representada por proj u, é o vetor definido por:

I Miscelânea Introdutória

01. Dados os pontos e encontre

os seguintes vetores.

02. Sejam e Determine o vetor tal que. a) b) c)

d) e) – f)


10 10

03. Dados os vetores a

=(1,–1,0), b

=(3,–1,1), c

=(2,2,1) e d

=(4,–3,1). Determinar o

vetor v

=(x,y,z), tal que : ( v

+ a

) b

e ( v

+c

) d

. RESP: v

=( –10,4,–3) 04. Determinar a medida, em radianos, do ângulo entre os vetores e 05. Determinar se os pontos A = (0; 1; 0), B = (1; 1; 1) e C = (2; 1; 2) são colineares ou não. 06. Sejam , E verifiquemos

que: a) e são LD b) e são LI

07. Sejam k2-ji2b e k3j2ia

. Determine um versor dos vetores abaixo:

a) a

+ b; b) 2a

–3;b

c) 5a

+4b

.

Respostas. a) 43

1u

(3, 3, –5); b) )0,1,4(17

1u

c)

894

1u

(13, 14, –23)

08. Num paralelogramo ABCD sabe-se que A (1, 3,–2) e que as diagonais são

CA

=(4,2,–3) e DB

=(–2,0,1).Calcule as coordenadas dos outros três vértices. Respostas. C(5, 5,–5) ,B( 4,4,–4) e D( 2,4,–3)

09. Dados os vetores u

=(3,2), v

=(2,4) e w

=(1,3), exprimir w

como a combinação

linear de u e v

. Resposta.

10. Demonstre a Desigualdade de Cauchy-Schwarz e a Desigualdade triangular.

11. Sendo u

= ( 2,3,1) e v

= ( 1,4, 5) . Calcular:

a) u v

b) u– v c)(u

+ v

)2 d) (3u

– 2 v

)2 e) (2u

-3 v

)(u

+2 v

).

Resposta a) 19 b)18 c)94 d)66 e) –205

12. Sejam os vetores a – – b

– e c

–

Determinar m para que ab

=(a

+b

)c

. Resposta 13. Determinar a, de modo que o ângulo Â do triângulo ABC, seja 600. Dados:

A(1,0,2), B(3,1,3) e C(a+1,–2,3). Resposta: –1 ou

14. Dados a

=(2,1,–3) e b

=(1,–2,1), determinar o vetor va

, vb

e v=5.

Resposta 1 ,1 ,1 3

35v

15. Os vértices de um triângulo são M(1,1,2) ,N(5,1,3) e Q(–3,9,3). Calcule as

coordenadas do vetor HM

, onde H é o pé da altura relativa ao lado NQ. Resposta

HM

=(2,2,1)


11 11

16. Seja o cubo de aresta a representado na figura abaixo. Determinar:

Respostas. a) 0 b) 0 c) 0 d) 3a e 2a e) a2

f) 333 a,a,a g) 44543

3cos arc 0 h) 1370

3

1 cos arc 0

17. Determinar o que se pede em cada caso: a) Mostrar que o quadrilátero cujos vértices são os pontos A(1,-2,3), B( 4,3,-1), C( 5,7,-3) e D(2,2,1) é um paralelogramo e calcule a sua área;

b) Achar um vetor de mesma direção e sentido do vetor e módulo 18. Em que ponto a reta que passa por A(2,3,4) e B( 1,0,-2) Intercepta o plano x0z

19. Se ,

,

, , calcule:

20. O vetor é ortogonal aos vetores e ) e forma um ângulo

agudo com o eixo dos determine , sabendo que

21. Sejam k2-ji2b e k3j2ia


a)a

+ b

b) 2a

–3b

c) 5 a

+4b

Resp. a) 43

1u

(3, 3, –5) b) )0,1,4(17

1u

c) 894

1u

(13, 14, –23)

22. Sabendo que A (1,1), B(5,1) e C(6,4) são vértices de um paralelogramo,determinar o quarto vértices de cada um dos três paralelogramos possíveis de serem formados.Resposta. (2,2), (0,−4), e (10,6).

23. Que características de um vetor precisamos conhecer para que ele fique determinado? 24. O que são vetores iguais? E vetores opostos? Dê exemplo de cada um deles. 25 Observe a figura:Qual o módulo,

direção e sentido do vetor , em cada caso:

a) = +

b) = +

c) = +

d) = + e) = + + f) = + +

cubo. do diagonais duas por formado agudo ângulo h)o

aresta; uma e cubo do diagonal a entre agudo ângulo o)g

OGABEDf) OBOE)c

CGEGe) ODOA)b

OG e OBd) OCOA)a


12 12

26. A soma de dois vetores de um módulo diferente pode ser nula? Tente explicar. 27. Quais as condições para que o módulo do vetor resultante de dois vetores, não nulos, seja igual a zero?

28. Dados os vetores , , , e , Ao lado representado, obtenha graficamente os vetores e .

a) = + +

b) = 2 - +

II Miscelânea Introdutória 1) A figura abaixo é constituída de nove quadrados congruentes (de mesmo tamanho). Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações:

Respostas. a)V b)V c)F d)V e)V f)V g)F h)V i)F j)V k)V l)V m)F n)V o)V p)V q)V r)F s)V t)V 2) A figura a baixo representa um paralelepípedo retângulo. Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações abaixo:

BCAF)d

CGAB)c

HGAB)b

BFDH)a

coplanares são CG e BC,AB)h

ED//BG)g

|DF||AG|)f

HFAC)e

coplanares são EG e FG,AB)i

coplanares são HF e CB,EG)j coplanares são FG e DB,AC)k

coplanares são CF e BG,AB)l coplanares são CF e DC,AB)m

ABCplano ao ortogonal é AE)n BCG plano ao ortogonal é AB)o

HEF. plano ao paralelo é DC)p

Respostas. a)V b)F c) V d)V e)V f)V g)F h)F i)V j)V k)V l)F m)V n)V o)V p)V

EDDE)e

MCBL)d

OPBC)c

PHAM)b

OFAB)a

FG//AJ)j

LD//JO)i

HI//AC)h

FIKN)g

MGAO)f

AMPN)o

NBPN)n

ECPE)m

BLAM)l

EGAB)k

|BL||AM|)t

NP2AO)s

|AC||AJ|)r

MFIF)q

|FP||AC|)p


13 13

3) A figura abaixo representa um losango EFGH inscrito no retângulo ABCD, sendo O, o ponto de interseção das diagonais desse losango. Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações:

DHOH)e

BOOC)d

HGDO)c

CHAF)b

OGEO)a

HG//GF)j

CD//AF)i

DB2

1OA)h

BDAC)g

COEH)f

FEOB)o

HFAO)n

CBEO)m

OHAB)l

OC//AO)k

Respostas. a)V b)F c)V d)V e)F f)F g)V h)V i)V j)F k)V l)V m)V n)F o)V 4) Com base na figura do exercício1, determinar os vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A:

AKAC)d

DCAC)c

BDAB)b

CNAC)a

OEAO)h

ANAK)g

BLAM)f

EOAC)e

PBBNBL)l

NFPNLP)k

CBBC)j

NPMO)i

Respostas. a) AN b) AD c) AB d) AO e) AM f) AK

g) AH h) AI i) AC j) AC k) AE l)0 5) Com base na figura do exercício 2, determinar os vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A:

EHBF)c

DEBC)b

CGAB)a

FBEF)f

EHCG)e

BCEG)d

FHDAEG)h

AEADAB)g

Respostas. AF)a AE)b HA)c AB)d AH)e AF)f AG)g AD)h 6) Com base na figura do exercício 3, determinar os vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A:


14 14

AF2AE2)c

FGEH)b

CHOC)a

OC2OE2)f

BGEO)e

EFEH)d

FGFE)h

EHBC2

1)g

AOFOAF)j

HOOG)i

Resposta AE)a AC)b c) AC AB)d AO)e AD)f AH)g AD)h AO)i AC)j

7) Determine as somas que se pedem:

Resposta. ACe) BGd)2 BGc)2 EFb) AC)a .

8) A figura abaixo representa um paralelepípedo retângulo de arestas paralelas aos eixos coordenados e de medidas 2,1 e 3. Determinar as coordenadas dos vértices deste sólido, sabendo que A (2, –1,2).

Resp B(2, –3,2), C(3, –3,2) , D(3, –1,2), E(3, –1,5), F(2, –1,5), G(2, –3,5) e H(3, –3,5)

9) Determine x para que se tenha DCBA

, sendo A (x,1), B(4,x+3), C(x,x+2) e D(2x,x+6).RESP: x=2

GCFGEFAE)e

BHBGFGEFHE)d

BCBGBF)c

BFDBED)b

AGHBGCDHCDAD)a


15 15

10) Escreva o vetor (7,–1), como a soma de dois vetores, um paralelo ao vetor (1,–1) e outro paralelo ao vetor (1,1). Resposta x = 3 e y = 4

11) Dados A(–1,–1) e B(3,5), determinar C, tal que a) AB2

1AC b) BA

3

2CA

Resposta a) x = 1 e y = 2 b) 3

5x e y =3

12) Dados os vetores a

=( 2,–1 ) e b

=( 1,3) , determinar um vetor x

, tal que:

a) 2

xab)ax(2

2

1x

3

2

b) 2

axb

3

1x2a4

Resposta a) x

=

7

12,

7

3 b)

9

33,

9

52x


=(–1,1,2) e b

=( 2,0,4), determine o vetor v

, tal que:

2

vabav2

3

v2)a

2

av

4

bbav2v

3

2)b

Resposta

5

6,3,

5

27v)a

5

12,3,

5

24v)b

14) Sendo A(1, –1,3) e B(3,1,5), até que ponto se deve prolongar o segmento AB, no sentido de A para B, para que seu comprimento quadruplique de valor? Res. (9,7,11) 15) Sendo A(–2,1,3) e B(6, –7,1) extremidades de um segmento, determinar: a) os pontos C , D e E, nesta ordem, que dividem o segmento AB em quatro partes de mesmo comprimento; b) os pontos F e G, nesta ordem que dividem o segmento AB em três partes de mesmo comprimento.

Resposta

2

5,1,0C)a , 2,3,2D e

2

3,5,4E ; b)

3

7,

3

5,

3

2F e

3

5,

3

13,

3

10G .

16) Dadas as coordenadas, x=4, y=–12, de um vetor v

do 3, calcular sua terceira

coordenada z, de maneira que v= 13 Resposta z= 3

17) Sejam os pontos M(1,2,2) e P(0,1,2), determine um vetor v

colinear à PM e

tal que .3v Resposta

6

4,

6

1,

6

1v

18) Achar um vetor x

de módulo igual a 4 e de mesmo sentido que o vetor

v

=6 i

–2 j

–3k

. Resposta

7

12,

7

8,

7

24x

19) No triângulo ABC, os vértices A (1,2), B(–2,3) e C(0,5): a) determinar a natureza do triângulo; b) calcular o comprimento da mediana AM. Sendo M o ponto médio do lado BC.

Respostas a) isósceles b) MA= 22


16 16

20) Sejam k2-ji2b e k3j2ia


a)a

+ b

b) 2a

–3b

c) 5a

+4b

Respostas: a) 43

1u

(3,3,–5) b) )0,1,4(17

1u

c) 894

1u

(13,14,–23)

21) Determine um vetor da mesma direção de v

= 2 i

– j

+2k

e que:

a) tenha norma (módulo) igual a 9;

b) seja o versor de v

;

c) tenha módulo igual a metade de v

.

Respostas: a) w

=(6,–3,6) b)3

1u

(2,–1,2) c)2

1p

(2,-1,2)


=(3,–2,1),b

=(–1,1,–2) e c

=(2,1,–3), determinar as

coordenadas do vetor v

=(11,–6,5) na base c,b,a

. Resposta cb3a2v

23) Escreva o vetor v

=(4,1,0) , na base 321 v,v,v

,sendo 1v

=(1,0,0) ,

2v

=(3,2,1) e 3v

=(1,1,1). Resposta 321 v3

3

1v

3

1v

3

16v

24) Dois vetores a

=(2,–3,6) e b

=(–1,2,–2), tem uma mesma origem. Calcular as

coordenadas do vetor c

sobre a bissetriz do ângulo formado pelos vetores a

eb

sabendo que c= 423 . Resposta c

=( 3, 15, 12)

Produto Escalar

25) Sendo u

= ( 2,3,1) e v

= ( 1,4, 5) . Calcular:

a) u v

b) (u

– v

) c)(u

+ v

)2 d) (3u

– 2 v

)2 e) (2u

-3 v

)(u

+2 v

)

Resposta a) 19 b)18 c)94 d)66 e) –205 f)–28

26) Sendo a

=(2,–1,1), b

=(1,–2,–2) e c

=(1,1,–1). Calcular um vetor v

=(x,y,z), tal

que v a

= 4, v b

= –9 e v c

= 5. Resposta v

=(3,4,2)

27) Sejam os vetores a

=(1,–m,–3),b

=(m+3,4–m,1)e c

=(m,–2,7).Determinar m para

que ab

=(a

+b

)c

. Resposta m=2

28) Determinar a, de modo que o ângulo Â do triângulo ABC, seja 600. Dados:

A(1,0,2), B(3,1,3) e C(a+1,–2,3). Resposta –1 ou 5

13

29) Dados os pontos A (4,0,1), B(5,1,3) C(3,2,5) e D(2,1,3). Determine: a) se eles foram alguma figura. Em caso afirmativo, qual?

b) O ângulo entre as retas paralelas aos vetores AC e BD .

Resposta a) Paralelogramo b) 22,446310221

21arccos 0 .


17 17

30) Os vetores u

e v

formam um ângulo de 600. Sabe-se que u=8 e

v=5, calcule:

a)u

+ v b) u

– v c) 2u

+3 v

d) 4u

– 5 v

Resposta a) 129 b)7 c) 721 d) 849

31) Os vetores a

e b

formam um ângulo de 1500, sabe-se que a= 3 e que

b= 2 , Calcule:

a) a

+b b) a

–b c) 3a

+2b

d) 5a

– 4b

Resposta a) 235 b) 235 c) 21835 d) 260107

32) Determinar o valor de x para que os vetores 1v

= x i

–2 j

+3k

e 2v

=2 i

– j

+2k

,

sejam ortogonais. Resposta x = –4

33) Determine um vetor unitário ortogonal aos vetores a

=(2,6,–1) e b

=(0,–2,1).

Resposta

3

2,

3

1,

3

2c

34) Dados a

=(2,1,–3) e b

=(1,–2,1), determinar o vetor va

, vb

e v= 5.

Resposta 1 ,1 ,1 3

35v

35) Dados dois vetores a

=(3,–1,5) e b

=(1,2,–3), achar um vetor x

, sabendo-se que

ele é perpendicular ao eixo OZ , e que verifica as seguintes relações: xa

=9, e x

b

=–4. Resposta x

=(2,–3,0) 36) Calcule o ângulo formado pelas medianas traçadas pelos vértices dos ângulos

agudos de um triângulo retângulo isósceles. Resposta: =arc cos5

4 , 360 52'11,6''

37) Um vetor v

forma ângulos agudos congruentes com os semi-eixos coordenados

positivos. Calcule suas coordenadas sabendo que v= 3. Resposta 1,1,13v

.

38)Um vetor unitário v

forma com o eixo coordenado OX um ângulo de 600 e com

os outros dois eixos OY e OZ ângulos congruentes. Calcule as coordenadas de v

.

Resposta

4

6,

4

6,

2

1v

ou

4

6,

4

6,

2

1

39) O vetor 2,1,1v forma um ângulo de 600 com o vetor BA

, onde A (0,3,4) e

B(m, 1,2). Calcular o valor de m. Resposta m=–34 ou m=2


18 18

40)Os vetores a

e b

formam um ângulo = 6

, calcular o ângulo entre os vetores

p

=a

+b

e q

= a

– b

, sabendo que a= 3 e b

= 1.

Resposta cos=7

72,40053'36,2''

41) Dados u

=(2,–3,–6) e v

=3 i

–4 j

–4k

, determine:

a) a projeção algébrica de v

sobre u

( norma do vetor projeção de v

sobre u

);

b) 0 vetor projeção de v

sobre u

. Resposta a)6 b) 6,3,27

6

42) Decomponha o vetor v

=(–1,2,–3) em dois vetores a

e b

, tais que aw

e b

w

com w

=(2,1,–1). Resposta:

2

1,

2

1,1a

e

2

5,

2

3, 2b

43) São dados os vetores 1v

= (1,1,1), 2v

=(–1,2,3) e 3v

=(26,6,8). Decompor o

vetor 3v

em dois vetores x

e y

ortogonais entre si, sendo x

simultaneamente

ortogonal a 1v

e a 2v

. Resposta x

=(1,–4,3) e y

=(25,10,5)

44) São dados 1v

=(3,2,2) e 2v

=(18,–22,–5), determine um vetor v

, que seja

ortogonal à 1v

e a 2v

, tal que forme com o eixo OY um ângulo obtuso e que

v=28. Resposta v

=(–8,–12,24)

IV Miscelânea Introdutória Tratamento Algébrico

1) Dados os vetores

jiu 32 ,

jiv e

jiw 2 , determinar:

a)

vu2 b)

wuv 2 c)

wvu 22

1 d)

wvu2

1

2

13

2) Dados os vetores 1,3

u e 2,1

v , determinar o vetor

x tal que:

a)

xuxvu 23

1)(4 b) )34(2)2(3

uxuvx

3) Dados os pontos A(-1, 3), B(2, 5), C(3, -1) e O(0, 0), calcular:

a)

ABOA b)

BCOC c)

CBBA 43

4) Dados os vetores )6,12()1,5(),4,2(

wevu , determinar 21eaa , e escreva as

novas coordenadas do vetor resultante

w , tais que

vauaw 21.

5) Dados os pontos A(3, -4) e B(-1, 1) e o vetor )3,2(

v , calcular:

a) (B - A) + 2

v b) (A - B) -

v c) B + 2(B - A) d) 3

v -2(A - B)


19 19

6) Sejam os pontos A(-5, 1) e B(1, 3). Determinar o vetor

v = (a, b) tal que:

a) B = A + 2

v b) A = B + 3

v c) Construir o gráfico correspondente a cada

situação.

7) Representar no gráfico o vetor

AB e o correspondente vetor posição, nos casos: a) A(-1, 3) e B(3, 5) b) A(-1, 4) e B(4, 1) c) A(4, 0) e B(0, -2) d) A(3, 1) e B(3, 4)

8) Qual o ponto inicial do segmento orientado que representa o vetor

v = (-1, 3), sabendo que a sua extremidade está em (3, 1)? Representar graficamente este segmento. a) Sejam os pontos P(2, 3), Q(4, 2) e R(3, 5). Representar em um mesmo gráfico os

vetores posição

wevu, de modo que Q = P +

u , R = Q +

v e P = R +

w .

b) Determinar

wvu .

9) Dados os vetores

u = (1, -1),

v = (-3, 4) e )6,8(

w , calcular:

a)

u b)

v c)

w d)

vu e)

wu2 f)

uw 3 g)

v

v h)

u

u

10) Calcular os valores de a para que o vetor

u = (a, -2) tenha módulo 4.

11) Calcular os valores de a para que o vetor

u =

2

1,a seja unitário.

12) Provar que os pontos A(-2, -1), B(2, 2), C(-1, 6) e D(-5, 3), nessa ordem, são vértices de um quadrado. 13) Encontrar um ponto P de eixo 0x de modo que a sua distância ao ponto A(2, -3) seja igual a 5. 14) Dados os pontos A(-4, 3) e B(2, 1), encontrar o ponto P nos casos: a) P pertence ao eixo 0y e é equidistante de A e B; b) P é equidistante de A e B e sua ordenada é o dobro abscissa; c) P pertence à mediatriz do segmento de extremos A e B.

15) Encontrar o vetor unitário que tenha (I) o mesmo sentido de

v e (II) sentido

contrário a

v , nos casos:

a)

jiv b)

jiv 3 c) 3,1

v d) 4,0

v

16) Dado o vetor

v =(1, -3), determinar o vetor paralelo a

v que tenha:


20 20

a) Sentido contrário ao de

v e duas vezes o módulo de

v ;

b) O mesmo sentido de

v e módulo 2:

c) Sentido contrário ao de

v e módulo 4. 17) Dados os pontos A(-3, 2) e B(5, -2), determinar os pontos M e N pertencentes ao

segmento AB tais que

ABAM2

1 e

ABAN3

2. Construir o gráfico, marcando os

pontos A, B, M, N e P, devendo P ser tal que

ABAP2

3.

18) Sendo A(-2, 3) e B(6, -3) extremidades de um segmento, determinar: a) Os pontos C, D e E que dividem o segmento AB em quatro partes de mesmo comprimento; b) Os pontos F e G que dividem o segmento AB em três partes de mesmo comprimento.

19) Dados os pontos A(2, -2, 3) e B(1, 1, 5) e o vetor

v =(1, 3, -4), calcular:

a) A + 3

v b) (A - B) -

v c) B + 2(B - A) d) 2

v - 3(B - A)

20) Verificar se são unitários os seguintes vetores:

u =(1, 1, 1) e

6

1,

6

2,

6

1v

21) Determinar o valor de n para que o vetor

4

3,

2

1,nv seja unitário.

22) Determine o valor de a para que aaau 2,2,

seja um versor.

23) Dados os pontos A(1, 0, -1), B(4, 2, 1) e C(1, 2, 0), determinar o valor de m para

que 7

v , sendo

BCACmv .

24) Determinar o valor de y para que seja equilátero o triângulo de vértices A(4, y, 4), B(10, y, -2) e C(2, 0, -4). 25) Resolva os sistemas abaixo:

a)

2)kj2i4(x

0)kj3i2(x

2)ki2(v

k8i8)kj2i(v)b

k3j2i3)0,3,2(v

2)2,1,3(v)c

Resposta a)(4,6,-2) b)(2,4,–2) c)(1,3,–1)

26) Dados os vetores u

=(2,1,1) e v

=(1,1, ), calcular o valor de para que a

área do paralelogramo determinado por u

e v

seja igual a 62 u.a


21 21

27) Dados os vetores u

=(1,1,1) e v

=(2,3,4), calcular:

a) A área do paralelogramo de determinado por u

e v

; a)A= .a.u6

b)a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor u

. b) .c.u2h

28) Os vértices de um triângulo ABC são os pontos A (0,1,1), B(2,0,1) e C(1,2,0).

Determine a altura relativa ao lado BC. Resposta .c.u7

353h

29) Determine a área do triângulo ABD, obtido pela projeção do vetor BA sobre o

vetor BC , onde A (5,1,3), B(3,9,3) e C(1,1,2). Resposta ua9

2128A

30) Escreva o vetor unitário na direção de: a) (3, 4) b) (-8, 6) c) (1, 2, 3) d) (-3, 12, -4).

BIBLIOGRAFIA BÁSICA

1. BOULO, Paulo; CAMARGO, Ivan de. Geometria Analítica um Tratamento Vetorial.

3ª ed. São Paulo: Prentice Hall, 2005.

2. REIS, Genésio Lima dos; SILVA, Valdir Vilmar da. Geometria Analítica, 2ª ed.,

[Reimpr.]. Rio de Janeiro: LTC, 2014.

3. STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica, 2ª ed. São Paulo:

Pearson Makron Books, 1987.

4. WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica, 2ª ed. São Paulo: Pearson Education

do Brasil, 2014.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR:

1. ANTON, Howard, BIVENS, Irl, DAVIS, Stephen. Cálculo Vol. 2, 10ª ed. Porto Alegre:

Bookman, 2014.

2. ESPINOSA, Isabel C. de O. Navarro; BARBIERI FILHO, Plínio. Geometria Analítica

para computação. Rio de Janeiro: LTC, 2009.

3. Santos, Fabiano José dos, FERREIRA, Silvimar Fábio. Geometria Analítica. Porto

Alegre: Bookman, 2009.

SANTOS, Nathan Moreira dos. Vetores e Matrizes: Uma introdução à Álgebra Linear, 4ª

ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010.

fundação universidade federal do vale do são francisco...

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