dsoft amintas engenharia. integração numérica unidade 8

DS

OF

T

AmintasAmintas

engenhariaengenharia

DS

OF

T

Integração Numérica

Unidade 8

DS

OF

TIntegração Numérica

Ementa:

8.1 – Introdução

8.2 – Regra dos trapézios

8.3 – Primeira Regra de Simpson

8.4 – Segunda Regra de Simpson

8.5 – Quadratura Gaussiana

DS

OF


8.1 – Introdução

Dada uma função f(x), integrável no intervalo [a,b], definimos a integral como sendo:

Onde F’(x)=f(x).

Mas quando a forma analítica de F(x) for de difícil obtenção, ou quando conhecermos somente valores discretos de f(x) (como uma tabela de dados), precisamos recorrer a métodos numéricos para a sua resolução.

)()()( aFbFdxxfb

a

DS

OF


8.2 – Regra dos trapézios

Esta regra aproxima pequenos trechos da curva y=f(x) por segmentos de reta igualmente espaçados no intervalo [a,b].

000 , yxP

111 , yxP

222 , yxP

ax 0 1x 2xx 1nx bxn

nnn yxP ,

111 , nnn yxP

xfy

x

y

DS

OF


A região entre a curva e o eixo x é aproximada por trapézios. Realizando a soma das áreas dos trapézios, encontramos a integral de f(x). De forma geral, a fórmula para obtenção da integral é:

Onde h é a largura do trapézio, geralmente dada através do número “n” de intervalos:

h=(b-a)/n

nn yyyyyh

T 1210 2222

DS

OF


Exemplo: Calcular a integral definida abaixo, utilizando a regra dos trapézios com:

a)n = 5 intervalos.

b)n= 10 intervalos.

4

1

1dx

x

DS

OF


Solução:

a) O método prático de cálculo envolve preencher uma tabela com os valores de x e y, bem como os coeficientes de y:

i x y c

0 1,0 1,000 1

1 1,6 0,625 2

2 2,2 0,454 2

3 2,8 0,357 2

4 3,4 0,294 2

5 4,0 0,250 1

xy

n

abh

1

6,05

14

DS

OF


Portanto, utilizando a regra do trapézio:

O valor exato desta integral é 1,3863.

413,1)71,4.(3,0

)250,0588,0714,0908,025,11.(3,0

25,0294,0.2357,0.2454,0.2625,0.212

6,0

22222 543210

T

T

T

yyyyyyh

T

DS

OF


b) Considerando agora 10 intervalos:i x y c

0 1,0 1,000 1

1 1,3 0,769 2

2 1,6 0,625 2

3 1,9 0,526 2

4 2,2 0,454 2

5 2,5 0,400 2

6 2,8 0,357 2

7 3,1 0,322 2

8 3,4 0,294 2

9 3,7 0,270 2

10 4,0 0,250 1

xy

n

abh

1

3,010

14

DS

OF


Levando os dados à equação dos trapézios:

Como pode-se notar, um maior número de pontos torna o resultado mais próximo do valor real.

393,1)288,9(2

3,0

2...2222 1093210

T

yyyyyyh

T

DS

OF


8.3 – Primeira Regra de Simpson

Também conhecida como regra do 1/3 de Simpson, este método aproxima os pontos da tabela por equações do 2º grau. A equação geral para a primeira regra de Simpson é:

Onde os coeficientes ci são iguais a 1, para c0 e cn, 4 para os “i” ímpares e 2 para os “i” pares. Um detalhe importante:

O número de subintervalos “m” deve ser par.

m

iii yc

hI

02 ..

3

DS

OF


Exemplo:

Calcule a integral abaixo, utilizando m=4 intervalos.

Solução: Como temos m=4 intervalos, utilizamos n=m+1=5 pontos. Assim:

4

1

1dx

x

75,04

14

m

abh

DS

OF


De acordo com a primeira regra de Simpson:

i x y c c.y

0 1 1 1 1

1 1,75 0,571 4 2,285

2 2,5 0,4 2 0,8

3 3,25 0,308 4 1,230

4 4 0,25 1 0,25

3915,1)566,5.(25,0

)25,0.1308,0.44,0.2571,0.41.1.(3

75,0

......3

2

2

44332211002

I

I

ycycycycych

I

DS

OF


8.4 – Segunda Regra de Simpson

Também conhecida como regra dos 3/8 de Simpson, este método aproxima os pontos da tabela por equações do 3º grau. A equação geral para a segunda regra de Simpson é:

Onde os ci são iguais a 1, para c0 e cn, 2 para os “i” múltiplos de 3 e, 3 para os demais.

O número de subintervalos “m” deve ser múltiplo de 3.

m

iii yc

hI

13 ..

8

.3

DS

OF


Exemplo:

Calcule a integral abaixo, utilizando m=6 intervalos.

Solução: Colocamos os dados em forma de tabela, para facilitar a interpretação:

4

1

1dx

x

5,06

14

m

abh

DS

OF


i x y c c.y

0 1 1 1 1

1 1,5 0,667 3 2,001

2 2,0 0,500 3 1,500

3 2,5 0,400 2 0,800

4 3,0 0,333 3 0,999

5 3,5 0,286 3 0,858

6 4,0 0,250 1 0,25

DS

OF


De acordo com a primeira regra de Simpson:

Como pôde-se ver, este método aproxima ainda mais o valor real da integral.

3890,1)408,7.(1875,0

)25,0858,0999,08,05,1001,21.(1875,0

)25,0.1

286,0.3333,0.34,0.25,0.3667,0.31.1.(8

5,0.3

........8

.3

3

3

3

665544332211003

I

I

I

ycycycycycycych

I

DS

OF


8.5 – Quadratura Gaussiana

Os métodos mostrados até aqui necessitam de valores de x igualmente espaçados escolhidos por quem está trabalhando no método. Na quadratura Gaussiana, a escolha segue um padrão bem definido.

Este método tem como desvantagem a necessidade de se conhecer a forma analítica da função f(x). Sua principal vantagem é oferecer resultados exatos para polinômios de ordem até n-1.

DS

OF


Este método consiste em transformar a integral definida:

Em outra integral, na seguinte forma:

Através de uma troca de variáveis, vista a seguir.

b

a

dxxfI )(

1

1

)( dttFI

DS

OF


Trocamos a variável x por:

Então, a função F(t) será:

).(2

1)..(

2

1abtabx

).(

2

1)..(

2

1)..(

2

1)( abtabfabtF

DS

OF


Com isso, a equação geral da Quadratura Gaussiana será:

Onde:

n= número de pontos (escolhido)

Ai = coeficientes (tabela)

ti = raízes (tabela)

A tabela a seguir mostra alguns valores dos coeficientes e raízes.

1

0

1

1

)(.)(n

iii tFAdttFI

DS

OF


n i ti Ai

1 0 0 2

20 -0,57735027 1

1 0,57735027 1

3

0 0,77459667 5/9=0,555556

1 -0,77459667 5/9=0,555556

2 0 8/9=0,888889

4

0 0,86113631 0,34785484

1 -0,86113631 0,34785484

2 0,33998104 0,65214516

3 -0,33998104 0,65214516

DS

OF


Exemplo:

Calcule a integral abaixo, utilizando n=3 pontos.

Solução:

Inicialmente, fazemos a substituição da variável x por t:

4

1

1dx

x

DS

OF


Portanto, F(t) será:

5,2.5,1

)14.(2

1).14.(

2

1

).(2

1)..(

2

1

tx

tx

abtabx

5,2.5,1

5,1

5,2.5,1

1.5,15,2.5,1).14.(

2

1)(

).(2

1)..(

2

1)..(

2

1)(

tttftF

abtabfabtF

DS

OF


Para n=3, temos os seguintes valores tabelados:

Assim, temos a seguinte equação Gaussiana:

n i ti Ai

3

0 0,77459667 5/9=0,555556

1 -0,77459667 5/9=0,555556

2 0 8/9=0,888889

2

0

1

0 5,2.5,1

5,1.)(.

i ii

n

iii t

AtFAI

DS

OF


Assim:

38367,1

5333334,06227717,02275690,0

5,20.5,1

5,1.888889,0

5,2)77459667,0.(5,1

5,1.555556,0

5,277459667,0.5,1

5,1.555556,0

5,2.5,1

5,1.

5,2.5,1

5,1.

5,2.5,1

5,1.

5,2.5,1

5,1.

22

11

00

2

0

I

I

I

tA

tA

tAI

tAI

i ii

DS

OF

T Integração NuméricaFórmula de Newton-Cotes

Regra dos Trapézios

Amintas Paiva Afonao

CÁLCULO NUMÉRICO

DS

OF


• Introdução

• Fórmulas de Newton-Cotes– Regra dos Trapézios– Regra dos Trapézios Repetida– Regra de Simpson– Regra de Simpson Repetida

• Quadratura Gaussiana

DS

OF

T• Os métodos mais utilizados são classificados em

dois grupos:– Fórmulas de Newton-Cotes – empregam

valores de f(x), onde os valores de x são igualmente espaçados

– Fórmulas de Quadratura Gaussiana – utilizam pontos diferentemente espaçados, onde este espaçamento é determinado por certas propriedades de polinômios ortogonais


DS

OF


Interpretação geométrica da integralO valor numérico da integral

b

a

dxxf )(

é igual à área entre a função e o eixo x no

intervalo [a, b].Para calcular a integral

divide-se o intervalo [a, b] em N sub-intervalos iguais

e escreve-se

N

abx

)(

1

00

)(lim)(N

nn

Nx

b

a

xxfdxxf

DS

OF


Interpretação geométrica da integralNumericamente, toma-se x pequeno o suficiente para que o erro do cálculo seja inferior a um certo valor pré-determinado

o que é equivalente à soma de áreas de retângulos, como diagramado na figura ao lado.

xffff

xxfdxxf

N

N

nn

b

a

)(

)()(

1210

1

0

DS

OF


Interpretação geométrica da integral• É evidente na figura que, a não ser que tomemos x muito

pequeno, os erros serão grandes:

– as “quinas” que sobram do retângulo

• O erro pode ser minimizado, sem diminuir o tamanho de x:

– escolhendo uma figura geométrica mais adequada para calcular a área sob a função, como um trapézio, por exemplo.

• É interessante observar que aproximar a área sob a função pela soma de áreas de trapézios é o equivalente a:

– realizar interpolação linear de f(x), ou seja, ligar os pontos {xn, yn} com retas.

DS

OF

TFórmulas de Newton-Cotes

Regra dos TrapéziosSe usarmos a fórmula de Lagrange para expressar o polinômio p1(x) que interpola f(x) em x0 e x1 temos:

dxxfh

xxxf

h

xxdxxpdxxf

x

x

xb

xa

b

a

1

0

1

0

)()(

)()(

)()( 10

01

1

DS

OF


Regra dos TrapéziosAssim

,que é a área do trapézio de altura h = x1 – x0 e bases

f(x0) e f(x1).

,)()(2 10 xfxfh

IT

a = x0 b = x1

P0

f(x)

p1(x)f(x1)

f(x0)

DS

OF


Regra dos Trapézios Repetida• Este método de integração numérica consiste em:

– dividir a área sob a função em trapézios e

– somar a área dos trapézios individuais.

• Então, para intervalos x iguais:

xff

xff

xff

xff

dxxf nnb

a

2222)( 1322110

2

2222)( 13210

xffffffdxxf nn

b

a

DS

OF

T

37

Exemplo

Calcular

2

0 1 x

dxI usando a regra dos trapézios, usando

5

.1

1)(

xxf

sub-intervalos.

Um possível procedimento é o indicado na tabela ao lado.

Nesta tabela,

x f(x) p pf(x)

0,00

1,0000

1 1,0000

0,40

0,7143

2 1,4286

0,80

0,5556

2 1,1111

1,20

0,4545

2 0,9091

1,60

0,3846

2 0,7692

2,00

0,3333

1 0,3333

5513,5)(xpf

p é o número pelo qual f(xn) é multiplicada na expressão da

integral e p f(x) indica a soma dos termos entre colchetes, na

mesma expressão.

;4,05

02

x

1103,12

4,05513,5

2)(x

xpfI

A função a ser integrada é, então,

2

2222)( 13210

xffffffdxxf nn

b

a

DS

OF

TEstimativa para o Erro

Há duas maneiras de estimar incertezas no uso da regra dos trapézios:

•quando se conhece f(x): ),('')(12

2 fxab

onde é o valor para o qual a derivada segunda de f(x) é máxima no intervalo a ≤ ≤ b.

•quando não se conhece f(x):

. e 12

1 nnnnnn ffffff

,12

2fab

e de médio valor do módulo o é 22nffonde

DS

OF

T

39

ExemploTomando o exemplo anterior,

x f(x) f 2f

0,0 1,0000

0,4 0,7143

-0,285

7

0,8 0,5556

-0,158

7

0,1270

1,2 0,4545

-0,101

1

0,0576

1,6 0,3846

-0,069

9

0,0312

2,0 0,3333

-0,051

3

0,0186

0,0586

Então,

.01,0

0586,012

0,00,212

2

fab

Então, a maneira correta de expressar o resultado da integração numérica do exemplo anterior é

01,01103,101,02

4,05513,5

2)( xxpfI

f2

12

1

nnn

nnn

fff

fffnff 22 de médio valor do módulo -

DS

OF

T

40

Calcular a integral da função tabelada abaixo, usando a regra dos trapézios, e estimar o erro.

x 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

f(x) 0,000 0,164 0,268 0,329 0,359 0,368

Exercício

DS

OF

T

41

Integração NuméricaQuadratura Gaussiana

Amintas Paiva Afonso

CÁLCULO NUMÉRICO

DS

OF

T

42


• Introdução

• Fórmulas de Newton-Cotes– Regra dos Trapézios– Regra dos Trapézios Repetida– Regra 1/3 de Simpson– Regra 1/3 de Simpson Repetida

• Quadratura Gaussiana

DS

OF

T

43

Polinômios OrtogonaisAo lado das fórmulas de Newton-Cotes para integração

numérica, as fórmulas de Quadratura de Gauss se destacam por fornecerem resultados altamente precisos.

Tais fórmulas, baseiam-se em propriedades de polinômios ortogonais.

.ortogonais dizem se ...,)( ,)( ),( polinômios os então

0, para ,0))( ),((

j,i para ,0))( ),(( Se

. . . 2, 1, 0, grausde polinômios de família uma ...,,)( ,)( ),(

210

iii

ji

210

xxx

xx

xx

xxxSejam

DS

OF

T

44

Polinômios OrtogonaisNeste estudo, estamos considerando o produto escalar:

peso. função a é w(x)onde b], [a, em contínua e 0 w(x) com

,)()()(),( dxxgxfxwgfb

a

:seguinte doatravés obtidos ser podem ., . . 2, 1, 0, i ),( polinômios Os i x

:por definidos ., . . 2, 1, 0,graus de ...,,)( ,)( ),( polinômios os Sejam :Teorema 210 xxx

,))()()( x)(3,... 2, 1, k para e,

1,(1,1)

(x,1)x)(

))(),0((

))0(),0(()(

,1)(

1-kkk1k

000

001

0

xxxx

xx

xxx

x

kk

DS

OF

T

45

Polinômios Ortogonaisonde:

satisfazem é, isto ,ortogonais dois a dois sãodefinidos, assim ...,,)( ,)( ),( polinômios Os 210 xxx

.))(),((

))(),(( ;

))(),((

))(),((

1-k1-k

kk

kk

kk

xx

xx

xx

xxxkk

0. para ,0))( ),((j,i para ,0))( ),((

iii

ji

xxxx

DS

OF

T

46

Principais Polinômios Ortogonais

• A seqüência de polinômios 0(x), 1(x), 2(x),...,

evidentemente, depende do produto escalar adotado.

• Os mais conhecidos (inclusive já tabelados) e com os quais trabalharemos são os seguintes:

– Polinômios de Legendre

– Polinômios de Tchebyshev

– Polinômios de Laguerre

– Polinômios de Hermite

DS

OF

T

47

Principais Polinômios Ortogonais•Polinômios de Legendre

Os polinômios de Legendre P0(x), P1(x),..., são obtidos segundo o produto escalar:

, )()(),(1

1

dxxgxfgf

isto é, com w(x)=1, a = -1, b = 1. •Polinômios de Tchebyshev

O produto escalar para obter os polinômios de Tchebyshev T0(x), T1(x),..., é dado por:

, )()(1

1),(

1

12

dxxgxfx

gf

1. b e 1- a ,1

1 w(x)seja, ou

2

x

DS

OF

T

48

Principais Polinômios Ortogonais

•Polinômios de Laguerre

Os polinômios de Laguerre L0(x), L1(x),..., são obtidos segundo o produto escalar:

, )()(),(0

dxxgxfegf x

•Polinômios de HermiteO produto escalar para obter os polinômios de

Hermite H0(x), H1(x),..., é dado por:

. b e 0 a , w(x)portanto, xe

, )()(),(2

dxxgxfegf x

. b e - a , w(x)é, isto2

xe

DS

OF

T

49

ExemploPara obter os polinômios

de Legendre, devemos utilizar o teorema dos polinômios ortogonais e o produto escalar definido pelo mesmo. Assim:

1)(0 xP

xxPx

xx

dx

dxxx

xxxP

)(

2

1)1,1(

)1,()(

1

1

1

2

1

1

1

1

1

3

11

3

10)(

3

1

2

323

))(),((

))(),((

03

4

))(),((

))(),((

)()()()(

222

1

1

3

1

1

1

1

2

00

111

1

1

3

4

1

1

2

1

1

3

11

111

011112

xxxxP

x

x

dx

dxx

xPxP

xPxP

x

x

dxx

dxx

xPxP

xPxxP

xPxPxxPxP

Obter os primeiros polinômios de Legendre.

DS

OF

T

50

Propriedades dos Polinômios Ortogonais

Vejamos algumas das propriedades dos polinômios ortogonais que serão importantes para a obtenção das fórmulas de Quadratura de Gauss.

).( ,...,)( ),( de linear combinaçãocomo escrito ser pode n a igual ou menor grau de polinômio

qualquer Então, qualquer. escalar produto um segundo nulos, não,ortogonais polinômios ),...,( ,)( ),( Sejam - 1 ePropriedad

n10

210

xxx

xxx

n. que menor grau deQ(x) polinômio qualquer a ortogonal é )( Então 1. epropriedad da

condições nas )( ...,,)( ),( Sejam - 2 ePropriedad

n

n10

xxxx

DS

OF

T

51

b]. [a, em distintas (reais) raízes n possui (x) Entãob]. [a, em contínua e 0 w(x)

,)()()(),(

:escalar produto o segundoortogonais polinômios ),...,( ,)( ),( - 3 ePropriedad

n

210

com

dxxgxfxwgf

xxxSejam

b

a

.)()( onde ),()()(

:então 1, 2n a igual ou menor grau de polinômio um é f(x) Se.)( de raízes as x,...,x, xSejam 3. epropriedad

da condições nas ),...,( ,)( ),( - 4 ePropriedad

0

1nn10

210

dxxxwAxfAdxxfxw

xxxxSejam

b

a

kk

n

kkk

b

a

Propriedades dos Polinômios Ortogonais

DS

OF

T

52

Quadratura Gaussiana

• Consideraremos integrais da forma: ,)()( dxxfxwb

a

onde w(x) 0 e contínua em [a, b].• A função w(x) é chamada função peso e é

igual a zero somente num número finito de pontos.

• Usaremos Fórmulas de Quadratura para aproximar a integral.

• Fórmulas de quadratura são aquelas que aproximam a integral usando combinação

linear dos valores da função, isto é:

n

kkk

b

a

xfAdxxfxw0

),()()(

DS

OF

T

53

Fórmulas de Quadratura de Gauss

• São fórmulas usadas para se calcular:

,)()( dxxfxwb

a

• Calculamos o valor aproximado da integral usando:

n

kkk

b

a

xfAdxxfxw0

),()()(

• onde

).( de x,,x,x

raízes as sobre Lagrange de polinômios os são )(

1nn10 x

xe k

dxxxwAb

a

kk )()(

DS

OF

T

54

Assim, o procedimento para se calcular uma integral usando Quadratura de Gauss, é o seguinte:

b]. [a, intervalo no e w(x)peso função a com é, isto e,convenient escalarproduto o segundo ,)( ortogonal polinômio o determinar ) 1n xa

).( de x,,x, xraízes as calcular ) 1nn10 xb

.b) em obtidos x,,x, xpontos os

usando n, 1,..., 0, k ,)( Lagrange de polinômios os determinar )

n10 xc k

n. 1,..., 0, k ,)()( calcular ) dxxxwAdb

a

kk

.x,,x, xem f(x) de valor o calcular ) n10 e

,finalmente calcular, )f

n

kkk

b

a

xfAdxxfxw0

),()()(

Fórmulas de Quadratura de Gauss

DS

OF

T

55

Exemplo

Usando quadratura de Gauss, calcular: . )5(1

1

3 dxxx

• Na integral, vemos que: a = −1, b = 1, w(x) = 1, e f(x) = x3 − 5x.

• Assim f(x) é um polinômio de grau 3, e pela propriedade 4, temos que: se f(x) é um

polinômio de grau 2n + 1, o resultado da integral é exato (a menos de erros de

arredondamento).• Portanto, fazendo 2n + 1 = 3, obtemos que n =

1. :será (x), obter para escalar, produto O integral. a resolverpara (x), (x) de zeros os utilizar devemos Assim,

2

21n

. )()(1

1

dxxgxf

DS

OF

T

56

Exemplo

• Logo o polinômio procurado é x2 − 1/3.• Portanto, fazendo x2 − 1/3 = 0, obtemos x0 = −0.57735 e x1 =

0.57735 , (que são os zeros de 2(x) em [−1, 1]).• Temos que:

12

2

)(2)(

1)(

)(

1

)(

)()(

1

1

1

1

1

2

10

1

1

110

1

1 10

11

1

00

x

x

xxx

xxdxxx

xx

dxxx

xxdxxA

e portant

o,

,)(

)()(,

)(

)()(

01

01

10

10 xx

xxx

xx

xxx

.02

e que desde1

1

2

10

xxx

DS

OF

T

57

• Do mesmo modo:

12

2

)(2)(

1

)()(

1

)(

)()(

0

0

1

1

0

2

01

1

1

001

1

1 01

01

1

11

x

x

xxx

xx

dxxxxx

dxxx

xxdxxA

• Agora, calculamos a f nos zeros de 2(x). Assim: f(x0) = f(−0.57735) = (−0.57735)3 −

5(−0.57735) f(x1) = f(0.57735) = (0.57735)3 − 5(0.57735)

• Finalmente, podemos calcular a integral, isto

é:

0]5(0.57735) - (0.57735)[1

)]5(-0.57735 - (-0.57735)[1

)()( )5(

3

3

1100

1

1

3

xfAxfAdxxx

Exemplo

DS

OF

T

58

Fórmulas de Gauss•Fórmula de Gauss-Legendre•Para utilizar a fórmula de Gauss-Legendre a integral a ser calculada deve ter

a função peso w(x) = 1 , a = −1 e b = 1. Caso o intervalo de integração não coincida com o intervalo [−1, 1], devemos fazer uma mudança de variável.

•Fórmula de Gauss-Tchebyshev•Para utilizar as fórmulas de Gauss-Tchebyshev

a integral a ser calculada deve ter a função peso

1. b e 1- a ,1

1w(x)

2

x

•Novamente, caso o intervalo de integração não coincida com o intervalo [−1, 1], devemos

fazer uma mudança de variável.

DS

OF

T

59

•Fórmula de Gauss-Laguerre

•Para utilizar a fórmula de Gauss-Laguerre a integral a ser calculada deve ter a função peso w(x) = e-x, a = 0 e b =.

•Novamente, caso o intervalo de integração não coincida com o intervalo [0, ], devemos fazer uma mudança de variável.

•Fórmula de Gauss-Hermite•Para utilizar as fórmulas de Gauss-Hermite a

integral a ser calculada deve ter a função peso w(x) = e-x2, a = - e b =.

•Neste caso, se o intervalo de integração não coincidir com o intervalo [-, ], não podemos

utilizar a fórmula de Gauss-Hermite.

Fórmulas de Gauss

DS

OF

T

60

Erro nas Fórmulas de Gauss

• Quando f(x) é um polinômio, sabemos que as fórmulas de quadratura fornecem um resultado exato a menos, é claro, dos erros de arredondamento.

• Na maioria das situações reais, f(x) não é um polinômio e, portanto, sua integral é aproximada quando calculada através das fórmulas de quadratura.

• Exibiremos algumas expressões do termo do resto (ou erro de truncamento) para as várias fórmulas apresentadas.

• Não nos preocuparemos com a dedução de tais expressões por ser extremamente trabalhosa e sem nenhum interesse prático.

DS

OF

T

61

Fórmula de Gauss-Legendre

)()!22(

])!1[(E )22(

2

n

nfn

n

Fórmula de Gauss-Tchebyshev

)(])!22)[(32(

])!1[(2E )22(

3

432

n

nn

fnn

n

Fórmula de Gauss-Laguerre

Fórmula de Gauss-Hermite

)()!22(2

)!1(E )22(

1n

nn

fn

n

)()!22(

2E )22(

)22(n

nn

fne

b) ,a(

Erro nas Fórmulas de Gauss

DS

OF

T

62

Usando quadratura de Gauss, calcular

:

e estimar o erro.

Exercício

1

121dx

x

senx

DS

OF

T

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