ensino superior 2. integral definida amintas paiva afonso cálculo 2
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Ensino Superior
2. Integral Definida
Amintas Paiva Afonso
Cálculo 2
b
af x dx
Simbolo de Integração(integral)
Limite inferior de integração
limite superior de integração
integrandoVariável de integração
(diferencial)
Notação para a Integral Definida
)dx
-5/2
b
adxxfS )(
3
1
4 dx
2
1
4y
Avalie as seguintes integrais definidos usando fórmulas de área geométrica.
2
1
22
-2
4 x dx2 2 24 4y x x y
Metade superior só!
3
0
( 2)x dx
2
1
2y x
Teorema: Se f(x) é contínua e não negativa em [a, b], então a integral definida representa a área da região sob a curva e acima do eixo x entre as linhas verticais x = a e x = b .
a b
A Integral de uma Constante
Se F(x) = c, onde c é a constante, no intervalo [a, b], então
b
a
b
a
o abccdxdxxf )()(
( ) ( )b b
a a
f x dx g x dx
( ) 0b
a
f x dx
Se f é integrável e não negativa em [a, b] então
Se f e g são integráveis e não negativa em [a, b] e f (x) < g (x) para todo x em [a, b], então
Usando regras de integrais definidas
Avaliar a usar os seguintes valores:
4
3
2
2x dx
4 4 4
3 3
2 2 2
2 2x dx x dx dx
4 4 4
3 3
2 2 2
2 2x dx x dx dx = 60 + 2(2) = 64
Quando as funções são não-negativos, as somas de Riemann representam as áreas sob as curvas, acima do eixo x, sobre algum intervalo [a, b].
Quando as funções são negativos, no entanto, as somas de Riemann representam o negativo (ou oposto) os valores das referidas zonas. Em outras palavras, as somas de Riemann NÃO tem sentido e pode assumir valores negativos.
18
f
a b
A
Adxxfb
a )(
a b
fA1
A2
A3
231)( AAAdxxfb
a
= área superior - área abaixo
Para resumir esse pensamento ...
ax3 + bx2 + cx + d = 0
2
1
4dxx65
198
2
1
34 dx)x8x5(24
37
2
0dx)x2sen(
2
2
23
dx1x7x23
x
4
0dx)1x2(
2
1dx)1x6(
2
1
3 dx)x1(x10
81
1) Calcule as integrais definidas abaixo:
- 6,667
8,667
8
0
.a.u6
73
.a.u3
8
xy .a.u3
16
.a.u3
16
2) Calcular a área determinada pelas curvas de equações y = x2 – 3x – 4; y = 0; x = 0 e x = 5.
3) Calcular a área compreendida entre a curva y = x2, o eixo x, e as ordenadas correspondentes às abcissas x = 0 e x = 2.
4) Calcule a área compreendida entre os gráficos das funções
; y = 0 e a reta x = 4
5) Calcule a área compreendida entre a curva y = 5x + 1, o eixo x e as retas x = – 3 e x = 1. R: 23,2 u.a 6) Calcular a área entre as curvas y = – x2 + 4 e y = 1 no intervalo [–1, 1].
7) Calcular a área entre as curvas y = x2 – 4 e y = x – 3 . R: 1,86 u.a.
Relações de GirardRelações de Girard
02 cbxax
a
bxx 21
a
cxx 21
PolinômiosPolinômios
Relações de GirardRelações de Girard
023 dcxbxax
a
bxxx 321
a
cxxxxxx 323121
a
dxxx 321
PolinômiosPolinômios
Relações de GirardRelações de Girard
0...22
110
nnnn axaxaxa
0
1321 ...
a
axxxx n
0
21413121 ...
a
axxxxxxxx nn
0
312421321 ...
a
axxxxxxxxx nnn
0
321 1...a
axxxx nnn
PolinômiosPolinômios
