ensino superior 3- volume de sólidos amintas paiva afonso cálculo 2

Ensino Superior

3- Volume de Sólidos

Amintas Paiva Afonso

Cálculo 2

Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução


Dados um plano a, uma reta r desse plano e uma região R do plano a inteiramente contida num dos semi-planos de a determinado por r, vamos considerar o sólido de revolução gerado pela rotação da região R em torno da reta r.

Para isso usaremos ainda seções transversais e tomaremos como eixo orientado o eixo de rotação (a reta r).

Introdução:

a

Volume de SólidosVolume de Sólidos

Volume de um sólido quando é conhecida a

área de qualquer secção transversal.

Exemplo 1:

Usando o Cálculo Integral, mostre que o volume de uma pirâmide reta de base quadrada - sendo b a medida da aresta da base e h a altura da pirâmide – é

Colocando o sistema de eixos de modo que o eixo y seja perpendicular à base da pirâmide reta, passando pelo centro, temos:

.3

1 2hb

Para cada corte transversal na altura h - y, temos que a secção obtida é um quadrado, paralelo à base, cuja área é (2x)2.Examinando o corte longitudinal ao lado, por semelhança de triângulos, podemos escrever:

e daí


2x


Exemplo 1:

Logo, o volume da pirâmide é dado por:

e daí

22 4)2()( xxyA

Exemplo 2:

Usando o Cálculo Integral, mostre que o volume de um cilindro reto, de altura h e cuja base é um círculo de raio r, é V = r2h.

Colocando o sistema de eixos de modo que a origem do sistema esteja no centro da base do cilindro e o eixo x seja perpendicular à base do cilindro, temos:

Para cada corte transversal na altura x, temos que a secção obtida é um círculo, paralelo à base, cuja área é r2.

Logo, o volume do cilindro é dado por:


h


Exemplo 3: Considere a região delimitada por , o eixo x e as retas x = -a e x = a, sendo girada ao redor do eixo x. O sólido originado é uma esfera de raio a. Mostre que seu volume é .

O volume da esfera gerada é:


Exemplo 3:

Exemplo 4:

Usando o Cálculo Integral, mostre que o volume de um cone reto, de altura h e cuja base é um círculo de raio r, é V = r2h/3.

Colocando o sistema de eixos de modo que a origem do sistema esteja no vértice do cone e o eixo x seja perpendicular à base do cone, temos:


Exemplo 4:

Para cada corte transversal na altura x, temos que a secção obtida é um círculo, paralelo à base, cuja área é y2.

Examinando o corte longitudinal ao lado, por semelhança de triângulos, podemos escrever:

e daí ou seja, a área de cada secção transversal é.

Logo, o volume do cilindro é dado por:



Exemplo 5: Seja o triângulo R, dado na figura abaixo. Calcular o volume do cone gerado pela rotação de R em torno do eixo OY.Para cada y [0,1] a seção transversal ao eixo OY é um círculo gerado pela rotação do segmento horizontal de comprimento x. Logo, possui área A = x2 e o volume do cone é igual a:

Usando semelhança de triângulos temos:

Portanto:


Exemplo 6: Seja a região R do plano limitada pela curva y = -x2 + 1 e o eixo OX. Determinar o volume do sólido obtido com a rotação de R em torno do eixo de OX.A intersecção da curva com o eixo OX é dada por: -x2 + 1 = 0.: x2 = 1.: x = ± 1.Para cada x [-1, 1] a seção transversal ao eixo OX é um círculo gerado pela rotação do segmento vertical de comprimento y. Logo, possui área A = y2 e o volume do sólido é igual a:

Portanto:

y


Exemplo 7: Seja a região R do plano limitada pelo eixo OY e pelas curvas Determinar o volume do sólido obtido com a

rotação de R em torno do eixo de OY. Na figura temos representada a região R. Como R é simétrica em relação OY, uma das duas regiões R1 ou R2 girando em torno de OY gera todo o sólido. Vamos considerar a região R1.

Para cada y [1/4, 4] a seção transversal ao eixo OY é um círculo gerado pela rotação do segmento horizontal de comprimento x. Logo, possui área A = x2 e o volume do sólido é igual a:


Exemplo 7:

Portanto:

http://www.dmat.ufba.br/mat042/anima1/su-revf1/Maple-2.htm


Exemplo 8: Seja a ciclóide de equações paramétricas

8.1. Esboce a curva.Usando as derivadas

obteremos a curva abaixo.


8.2. Seja R a região do plano limitada pela ciclóide e pela reta y = -1. Determinar uma expressão em integrais que represente o volume do sólido obtido com a rotação de R em torno do eixo de OX.

Seja a função y = f(x) tal que seu gráfico é a ciclóide. Para cada x [-4, 0] a seção transversal ao eixo OX é um anel circular de raio interno igual a 1 e raio externo igual a y. Logo possui área igual a: A = y2 - .12 = y2 - e o volume do sólido é igual a:


Substituindo x em função de t na integral anterior temos:


8.3. Determinar uma expressão em integrais que represente o volume do sólido obtido com a rotação de R em torno da reta x = 1. Sejam as funções x1 = x1(y) e x2 = x2(y), funções

cujos gráfico são respectivamente os arcos da ciclóide obtidos para t [ , 2 ] e para t [0, ]. Para cada y [-5 , -1] a seção transversal ao eixo OY é um anel circular de raio externo respectivamente é 1 - x1 e 1 – x2 .


Logo, a seção transversal tem área A = (1- x1)2 - (1- x2 )2 e o volume do sólido é igual a:

Substituindo y em função de t nas integrais acima temos:


Exemplo 9: Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo OY, do círculo de raio 1 e centro em (4,0).

Tomemos as equações paramétricas do círculo:

Sejam x1 = x1(y) e x2 = x2(y), funções cujos gráfico são

respectivamente os semi–círculos obtidos para t [-/2, /2] e para t [/2, 3/2]. Para cada y [-1 , 1] a seção transversal ao eixo OY é um anel circular de raios externo e interno respectivamente iguais a x1(y) e x2(y). Logo, a seção transversal

tem área A = .x12 - x2

2 e o volume do sólido é igual a:


ou usando simetria

Substituindo por t temos:

http://www.dmat.ufba.br/mat042/anima1/su-rev3f/Maple-5.htm

Nesses problemas observamos que temos um sólido compreendido entre dois planos paralelos e que é conhecida a área da secção transversal obtida por um plano qualquer paralelo aos planos inicialmente dados, então o volume do sólido é dado por

Examinando o corte longitudinal ao lado, por semelhança de triângulos, podemos escrever:

conforme a secção transversal seja perpendicular ao eixo x ou y, respectivamente.


ou

Essa é uma primeira maneira de encontrarmos o volume de um sólido, quando a área de qualquer secção transversal é conhecida.


Volume de um sólido de revolução, obtido pela

rotação em torno ao eixo x - ou y - de um conjunto A.


Cálculo do volume

Seja f uma função contínua num intervalo [a,b], sendo f(x) 0 para todo x, tal que a x b. Considere o conjunto A, delimitado pelo eixo x, o gráfico de f e as retas x1 = a e x2 = b.

A

x1=a x2=b

B

Seja B o sólido obtido através da rotação do conjunto A em torno do eixo x:


Cálculo do volume

Considerando uma partição P do intervalo [a,b]: P = {a = x0, x1, x2, ..., xn = b},

tal que a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b, seja:


Cálculo do volume

- Seja ainda xi = xi – xi-1 o comprimento do intervalo [xi-1 , xi].

- Para cada intervalo [xi-1 , xi], escolhemos um ponto qualquer ci.

- Para cada i, i = 1, ..., n, construímos um retângulo Ri, de base xi e

altura f(ci).

- Fazendo cada retângulo Ri girar em torno do eixo dos x, o sólido de

revolução obtido é um cilindro, cujo volume é dado por:

ii

base

xcfV

alturaAV

.)(

.2


Cálculo do volume

A soma dos volumes dos n cilindros, que representaremos por Vn, é dada

por:

n

iiin

nnn

xcfV

xcfxcfxcfV

1

2

22

221

21

)]([

)]([...)]([)]([


Cálculo do volume

– A medida que n cresce muito e cada xi torna-se muito

pequeno, a soma dos volumes dos n cilindros aproxima-se do que intuitivamente entendemos como o volume do sólido B.

Definição

– Seja y = f(x) uma função contínua não negativa em [a,b]. Seja R a região sob o gráfico de f de a até b. O volume do sólido B, gerado pela revolução de R em torno do eixo x, é definido por:

n

iii

xmáxn xcfV

i 1

2

0)]([lim


Cálculo do volume

– A soma que aparece no slide anterior pode ser substituída pelo símbolo de integral, uma vez que a função é contínua no intervalo e o limite existe. Logo:

– Vamos analisar agora o volume de alguns sólidos

em certas situações especiais.

A

x1=a x2=b

B

dxxfVb

a

n 2)]([


Quando a função f(x) é negativa em alguns pontos de [a,b].

- A fórmula do volume permanece válida, pois |f(x)| = (f(x))2.

(b)

(a) O sólido gerado pela rotação da figura (a)

é o mesmo gerado pela rotação da figura (b).

(b)


Exercício 1: Se f(x) = x2, determine o volume do sólido gerado pela

revolução, em torno do eixo x, da região sob o gráfico de f no intervalo [1, 2].

De acordo com a definição: dxxfVb

a 2)]([


Exercício 2: Se f(x) = x2 + 1, determine o volume do sólido gerado

ela revolução, em torno do eixo x, da região sob o gráfico de f no intervalo [-1, 1].

- De acordo com a definição: dxxfVb

a 2)]([

15

561

3

2

5

11

3

2

5

1

3

2

5

1

)12(

]1[

1

1

35

1

1

24

1

1

22

xxx

dxxx

dxxV


Exercício 3: Seja f(x) = sen x, x [a, b]. Calcule o volume do sólido

gerado pela rotação do gráfico de f, ou seja pela rotação da região

delimitada pelo eixo x, o gráfico de f e as retas x = 0 e x = .

O volume do sólido é dado por:

0 0

C4

2xsen

2

xxsen2

0

2 dxxsenV

24

0

24

2

2

2

00

2

xsenxdxxsenV

Integral Indefinida

Sejam as identidades trigonométricas:

2

cos2x1xcos

2

cos2x1xsen 22

Assim,

dxcos2x2

1dx

2

1dx

2

cos2x1dxxsen2

2

sen2x

2

1

10

x

2

1 10

Cusen2

1

duucos2

1dxcos2x

dx2

du2

dx

du

2xu

dxcos2x

C4

2xsen

2

xxsen2

Revisão

INTEGRAÇÃO DE POTÊNCIAS QUADRÁTICAS DASFUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS SEN(X) E COS(X)


Quando, ao invés de girar ao redor do eixo dos x, a região A gira em torno do eixo dos y.

- Neste caso, temos: dyygVd

c

)]([ 2


Exercício 4: Calcule o volume do sólido que se obtém por rotação da

região limitada por y = x3, y = 0 e x = 1 em torno do eixo y.


Exercício 5: Considere a região do plano delimitada pelo eixo x, o

gráfico de y = x, para 0 x 2, sendo girada primeiro ao redor do

eixo x e depois ao redor do eixo y. Calcule o volume dos dois sólidos gerados.

a) A região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de , para é girada ao redor do eixo x:


0 2 0 2


Exercício 5:

b) A região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de , para é girada ao redor do eixo y:


2

0

2

0

2

0

42

0

22 dyydyy


Exercício 5:

b) A região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de , para é girada ao redor do eixo y:


2

0

2

0


Exemplo 6: Calcule o volume de um sólido de revolução obtido pela rotação ao redor do eixo x da região compreendida pelo gráfico de y = x e y = 1/x, no intervalo [1/2, 3]. Calcule também o volume do sólido obtido ao girar a mesma região ao redor do eixo y.

a)

1

1

1/2 3

S1

S2 V1

V2


Logo, o volume do sólido é:

Efetuando os últimos cálculos, temos:

Exemplo 6:


Exemplo 6:

b)

1

1

1/2 3

S1

S2


Nesse caso, o volume do sólido gerado, calculado pelo método das cascas, é:

Efetuando os últimos cálculos, temos:


Quando a região A está entre os gráficos de duas funções f(x) e g(x) de a até b:

Supondo f(x) g(x), para qualquer x que pertença ao intervalo [a, b], o volume do sólido B, gerado pela rotação de R em torno do eixo x, é dado por:

dxxgxfxVb

a

)()( )( 2 2

2 2 )()()( xgxfxA


dxxgxfxVb

a

)()( )( 2 2

2 2 )()()( xgxfxA


Exercício 6: Calcule o volume do sólido que se obtém por rotação da região

limitada por x2 = y - 2, 2y - x - 2 = 0 e x = 0 em torno do eixo x.


Exercício 7: Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região limitada pela parábola

e pela reta

De acordo com a definição: dxxgxfVb

a 22 )]([)]([

dxxxV })]5(2

1[ )]13(

4

1{[ 222

1

3

)13(4

1 2xy

)5(2

1 xy

dxxxxx

V ]}4

25

4

10

4[)]

1616

26

16

169({[

2421

3

dxxxxx

V ]}16

10040426169{[

1

3

242

dxxxx

V ]16

694030[

1

3

24


Exercício 7: dxxxxV )694030(16

1

3

24

)3()1(|692

40

3

30

516

1

3

235

FFx

xxxV

1

3

235

|692010516

xxxx

V

)3(69)3(20)3(10

5

)3(692010

5

1

1623

5V

207180270

5

2436930

5

1

16

V

117

5

24339

5

1

16

V


156

5

244

16

V

5

780244

16

V

80

1024

5

1024

16

V

Exercício 7:


Exercício 8: A região limitada pela parábola cúbica y = x3, pelo eixo

dos y e pela reta y = 8, gira em torno do eixo dos y. Determinar o volume do sólido de revolução obtido. De acordo com a definição:

dyygVd

c

.)]([ 2

dyyV .][8

0

23

dyyV .8

0

3

2

)0()8(|5

3.

8

0

3

5

FFyV

5

96

5

32.3

5

)2(3

5

830)8.(

5

3

3 35

3 53

5

V


Quando a rotação se efetua ao redor de uma reta paralela a um dos eixos coordenados.

a b

y = f(x)

AdxLxfV

b

a

])([ 2

Se o eixo de revolução

for a reta y = L, temos:

L


Quando a rotação se efetua ao redor de uma reta paralela a um dos eixos coordenados.

c

d

y = f(x)

A

Se o eixo de revolução

for a reta x = M, temos:

M

dyMygVd

c

])([ 2


Volume de um sólido pelo método dos invólucros

cilíndricos.


Cálculo do volume

Podemos imaginar o sólido como sendo constituído por cascas cilíndricas.

O volume de cada uma das cascas é dado por:

ou ainda, colocando e ,


Cálculo do volume

Seja f uma função contínua num intervalo [a,b], com a x < b. Considere o conjunto A, delimitado pelo eixo x, o gráfico de f e as retas x1 = a e x2 = b.

Suponhamos que a região gira ao redor do eixo y, gerando um sólido D, cujo volume queremos calcular.

onde

indica o raio de cada invólucro

e indica sua altura.


Exercício 10: Através do método dos invólucros cilíndricos encontre o volume do sólido gerado pela rotação da região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de y = x , para 0 x 2, ao redor do eixo y.

Usando o método dos invólucros cilíndricos, temos:


Exemplo 11: Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região compreendida entre os gráficos de y = x3 e y = x, para 0 x 1, ao redor do eixo y.

As duas funções se encontram nos pontos (0,0) e (1,1).

O volume do sólido pode ser calculado pelo método das cascas e, portanto, é igual a:


Exemplo 12: Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno ao eixo x, do conjunto de todos os pontos (x, y) tais que 0 x y e x2 + y2 2.


Inicialmente, para obter a região do plano, assinalada na primeira figura, precisamos encontrar a intersecção da reta com a circunferência, sendo x 0:

Logo, x = 1:

Assim, a variação de x ocorre no intervalo e o volume procurado é dado por:


Exemplo 13: Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno ao eixo x, do conjunto x2 + (y – 2) 1.

Após a rotação, obtemos o seguinte sólido, que é denominado toro.


Inicialmente, a região pode ser encarada como delimitada pelos gráficos das funções:

Logo, a integral que nos fornece o volume do sólido será:


Vamos calcular o mesmo volume pelo método dos invólucros cilíndricos:

Vamos encontrar primeiramente as primitivas da integral:

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