ensino superior 4.1. derivadas parciais amintas paiva afonso cálculo 3

Ensino Superior

4.1. Derivadas Parciais

Amintas Paiva Afonso

Cálculo 3

Funções de várias Funções de várias variáveisvariáveis


Cálculo Variacional x Cálculo Diferencial A diferença básica entre esses dois cálculos é o

domínio dos respectivos objetos a serem otimizados.

Enquanto o domínio no cálculo diferencial são os números, o do cálculos variacional são as funções (curvas).


Exemplo 1Qual dos números: 2, 3, 4, 5 ou 6 produz em f(x) = -x2 + 8x + 12 o valor máximo?

f(x)

x = 2

x = 3

x = 4

x = 5

x = 6

f(x) = 24

f(x) = 27

f(x) = 28

f(x) = 27

f(x) = 24


Exemplo 2 Qual dos funções abaixo delimita uma área máxima sob

seu traçado quando integrada de 2 a 6? f1(x) = 180,18 lnx –121,13; f2(x) = 49,48x-95,21; f3(x) = -228,57 sen .x/3 + 201,71; f4(x) = 6,18x2 – 20,98.

A1= 482,0

A2 = 410,9

A3 = 1.139,2

A4 = 344,9

f1(x)

f2(x)

f3(x)

f4(x)

6

2

)( dxxfA


Propriedades de curvasAssim cada curva tem sua propriedade. Cabe escolher aquela que se adequa melhor

ao projeto.MATEMÁTICAMATEMÁTICA

Curva Propriedade Uso em:

Catenáriaf(x) = cos hx Resistência Cúpulas

Retaf(x) = ax + b Menor distância Rotas

Ciclóidey = a( - sen )x = a(1 – cos )

Menor Tempo

Relógios

Semicírculo Maior Área Jóias

Parábolaf(x) = ax2 +bx + c Focal faróis

22)( xrxf


Derivadas Parciais Para este curso, discutiremos o caso de funções de duas

variáveis independentes, que permitem uma visualização gráfica, possibilitado desta maneira, uma tradução de maneira simples do conceito de derivadas parciais. Mas, os resultados aqui obtidos podem ser generalizados para os casos de funções com um número maior de variáveis.


Definição

Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis reais, a derivada

parcial de f(x,y) em relação a x no ponto (x0,y0), designada

por (x0,y0), é a derivada dessa

função em relação a x aplicada no ponto (x0,y0), mantendo-se

y constante, Analogamente, em relação a y aplicada no ponto

(x0,y0), designando por mantendo-se x constante.

x

f

y

f


Exemplo 1 Calcule a derivadas parciais da função f(x,y) = yx3 + xy2.

20

20000 3),( yxyyx

x

f

003

000 2),( yxxyxy

f


Exemplo 2 Calcule as derivadas parciais da função no

ponto (1,2). 1.º método

3),(

34 xyxyxf

34

33 yx

x

f

22

3

3xy

xy

y

f

3

20

3

84

3

)2()1(4)2,1(

33

x

f

42.1)2,1( 2 y

f


Exemplo 2 2.º método

Encontramos a derivada parcial de f(x,y) em relação a x no ponto (1,2) fazendo y=2 e derivando a função para uma única variável.

3

20

3

84)1('

3

84)('

3

8)2,()(

3

4

g

xxg

xxxfxg


Analogamente, para x=1:

Logo,

4)2('

)('

31),1()(

2

3

h

yyh

yyfyh

4)2,1( y

f

3

20)2,1(

x

f e


Interpretação geométrica Sob a ótica geométrica, a obtenção das derivadas

parciais nos dá a intersecção da curva com o plano de y (ou de x), já uma das variáveis se mantém constante enquanto calcula-se a derivada da outra.

Manter x (ou y) constante significa interceptar a superfície definida pelo gráfico de f com o plano x = x0 (ou y = y0).


Derivadas Parciais de ordens superiores Calculam-se as derivadas parciais de ordem superior

computando as derivadas parciais das funções já derivadas. Essas derivadas são derivadas obtidas parcialmente e de uma ordem a menos.

Exemplo Calcule as derivadas parciais de segunda ordem da

função f(x,y) = 2x3.e5y. Temos que: yexyx

x

f 52.6),(

yexyxy

f 53.10),(


Portanto, a segunda derivada, em relação a x é:

E a segunda derivada, em relação a y é:

yexyxx

f 52

2

.12),(

yexyxy

f 532

2

.50),(


Ainda podemos calcular a segunda derivada da derivada parcial em relação a y, calculada agora em relação a x:

E a segunda derivada da derivada parcial em relação a x, calculada agora em relação a y:

yy exexx

yxyx

f 52532

.30)10(),(

yy exexy

yxxy

f 52522

.30)6(),(


Derivadas Parciais de ordens superiores As duas primeiras derivadas parciais apresentadas

acima são chamadas de puras ;

As duas últimas são chamadas de mistas.


Notação Se z=f(x,y), podem-se computar quatro derivadas

parciais de segunda ordem com suas respectivas notações de acordo com as expressões abaixo:

),(),(2

2

yxfyxzx

z

xx

zxxxx

),(),(2

2

yxfyxzy

z

yy

zyyyy

),(),(2

yxfyxzx

z

xyx

zyxyx

),(),(2

yxfyxzx

z

yxy

zxyxy


Derivadas Parciais de ordens superiores Em nosso exemplo as duas últimas derivadas (as

mistas) deram o mesmo resultado. Isto não é coincidência. A igualdade ocorre desde certas condições sejam satisfeitas.


Derivadas Parciais de ordens superiores Em nosso exemplo as duas últimas derivadas (as mistas)

deram o mesmo resultado. Isto não é coincidência. A igualdade ocorre desde certas condições sejam satisfeitas.

Proposição

Se f(x,y) está definida numa certa vizinhança de (x0,y0) e

é tal que as derivadas existem e são

contínuas nessa vizinhança, então .

xy

feyx

f

y

f

x

f

22

,,

xy

f

yx

f

22


Regra da Cadeia A regra da cadeia para funções de várias variáveis tem

o intuito de calcular derivadas parciais de funções compostas de várias variáveis.

Suponha que a função P = p(x,y) com derivadas parciais contínuas represente a quantidade produzida de um determinado bem a partir de matérias-primas x e y, que por sua vez, variam com o tempo, ou seja, x = x(t) e y = y(t).


A quantidade produzida expressa-se como função do tempo, de acordo com a seguinte expressão:

P = p(x(t) , y(t)) = P(t)

A regra da cadeia para a composição desta natureza é dada por:

dt

dy

x

p

dt

dx

x

ptP ..)('


Exemplo Considere uma firma cuja receita expressa-se através

da função R(x,y) = xy2, onde x e y representam as quantidades de dois bens produzidos. Suponha que estas quantidades dependam do capital k e do trabalho l, de acordo com as funções x = 4k + 3l e y = 3k + l. Calcule as derivadas parciais da receita em relação ao capital e ao trabalho, como funções de tais variáveis.

Antes de aplicar a Regra da Cadeia, precisamos calcular

as seguintes derivadas parciais: .l

yek

y

l

x

k

x

y

R

x

R

,,,,


Exemplo

3l

x

22 )13(

kyx

R

)13)(34(22

klkxyy

R

4k

x

3k

y

1l

y


Exemplo Aplicando a Regra da Cadeia, temos:

3).3)(34(24.)3( 2 lklklkk

y

y

R

k

x

x

R

k

R

1).3)(34(23.)3( 2 lklklkl

y

y

R

l

x

x

R

l

R


Aplicação A temperatura no ponto (x,y) de uma placa de metal

situada no plano XOY é dada por: T = 10.(x2 + y2)2.

Determine a taxa de variação de T em relação à distância no ponto (-1, 2) e na direção de OU;

Partindo-se do ponto (-1, 2) e deslocando-se na direção do eixo OX a temperatura aumenta ou diminui?


Solução

)(402)(20 2222 yxyyyxy

T

)(402)(20 2222 yxxxyxx

T

400)21(2.402.2)21(20)2,1( 2222 y

T

200)1.(2]2)1[(20)2,1( 22 x

T


Curvas de nível As curvas de nível são maneiras de descrever,

geometricamente, o comportamento das funções de duas variáveis. A idéia básica é semelhante ao mapeamento do relevo de um terreno.

Dando-se um valor particular para z, digamos z=c,obtemos uma equação em duas variáveis f(x, y) = c.

Esta equação define uma curva no plano xy, que se chama uma curva de nível da função f(x, y) referente ao valor c.

Esta curva é a projeção ortogonal sobre o plano xy da curva-intersecção do plano z=c com o gráfico da função z = f(x, y)


Curvas de nível Para traduzir um gráfico de z = f(x,y) em curvas de nível,

basta esboçar as curvas-intersecção de f(x,y) com z = c, para diferentes valores de c.

Exemplo-1 Reconhecer e representar graficamente o gráfico da

função z = f(x,y) = x2 + y2. Fazendo z=c, desde que c > 0, obtemos a equação:

x2+y2=c. Isto significa que a projeção no plano xy da curva-intersecção do plano horizontal z = c com o gráfico da função possui tal equação. Essa projeção é a circunferência de centro na origem e raio .

Como o corte z = c é um círculo, o gráfico desta função é um parabolóide de revolução obtido pela rotação da parábola z = x2 em torno do eixo z.

c


Exemplo 1


Exemplos de outras curvas


Gradiente de uma função O gradiente de uma função f(x,y) num ponto (x0,y0),

designado por f(x0,y0) ou grad f(x0,y0), é o vetor livre cujas coordenadas são:

),( 00 yxx

f

),( 00 yxy

f

e


Simbolicamente:

Exemplo 2 Calcule o gradiente da função f(x,y) = 3x2y-x2/3.y2 no

ponto (1,3).

),(),,(),( 000000 yxy

fyx

x

fyxf


Resolução Calculemos a derivada parcial da função f(x,y) em

relação a x e y:

No ponto (1,3):

23

1

00 3

26),( yxxyyx

x

f

yxxyx

y

f 3

22

00 23),(

)3,1(),3,1()3,1(y

f

x

ff

12618)3()1(3

23.1.6)3,1( 23

1

x

f

3)3()1(2)1(3)3,1( 3

22

y

f

Portanto, o gradiente da função f(x,y) no ponto (1,3)

é o vetor f(1,3)=[12,-3].


Gradiente de uma função

Convenciona-se representar este vetor com origem no ponto em relação ao qual se calcula o gradiente.


Gradiente de uma função Dessas considerações é possível pensar num campo de

vetores gradiente de uma função, que podem ser representados geometricamente por um conjunto de vetores que fornecem em cada ponto distinto do plano o vetor gradiente da função.


Relação entre Gradiente Curvas de Nível Dizemos que um vetor u é ortogonal a uma curva plana,

dada pelas equações paramétricas x = x(t) e y = y(t), se ele é ortogonal ao vetor [x’(t), y’(t)], que é o vetor tangente à curva.

Teorema O gradiente de uma função f(x,y) no ponto (x0,y0) é

ortogonal à curva de nível da função que passa por esse ponto.


Prova Os pontos (x,y) que satisfazem essa equação podem, por

pertencerem a uma curva plana, ser parametrizados por uma variável t: x = x(t) e y = y(t);

Como f(x0,y0) = C, então, f(x(t),y(t)) = C; Derivando ambos os membros da igualdade em relação

a t, obtemos, pela regra da cadeia:

0)(')].(),([)(')].(),([

tytytxy

ftxtytx

x

f


Prova O primeiro membro dessa igualdade é o produto escalar

dos vetores f(x(t),y(t)) e [x’(t),y’(t)]; Mas, [x’(t),y’(t)] é o vetor tangente à curva de nível no

ponto (x(t),y(t)); Portanto, o gradiente da função f no ponto (x,y) é

ortogonal ao vetor tangente à curva de nível no ponto (x,y).


Exemplo 3 Se f(x,y) = x2 + y2, então, g(x,y) = f(x,y) = 2x + 2y. Calculado no ponto (a,b) teremos o vetor g(x,y) = f(x,y)

=

= 2a + 2b.

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