análise numérica - integração numérica 1 integração numérica fórmulas de quadratura

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Análise Numérica - Integração numérica 1 Integração numérica Fórmulas de quadratura

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Page 1: Análise Numérica - Integração numérica 1 Integração numérica Fórmulas de quadratura

Análise Numérica - Integração numérica1

Integração numérica

Fórmulas de quadratura

Page 2: Análise Numérica - Integração numérica 1 Integração numérica Fórmulas de quadratura

Análise Numérica - Integração numérica2

Integração Numérica

xRxPxf nn )( b

a nba n

ba

dxxRdxxPdxxfI )(

- +f(x)

Pn(x)

Quadratura

Operação estável

Quadratura erro

a x0 b x2x1

Page 3: Análise Numérica - Integração numérica 1 Integração numérica Fórmulas de quadratura

Análise Numérica - Integração numérica3

Tipos de métodos

Métodos de Newton-CotesPontos equidistantes

Fórmulas fechadas

Fórmulas abertas

xi = x0 + i h i=0,…,n

nabhbxax n

e,0a b

2

n

abh xi i=1,...,n+1

a b

Page 4: Análise Numérica - Integração numérica 1 Integração numérica Fórmulas de quadratura

Análise Numérica - Integração numérica4

Tipos de métodos

Métodos de Gauss Pontos escolhidos de modo a que

ba n dxxPI )(12

a bx0 x1

dxxPba n

Page 5: Análise Numérica - Integração numérica 1 Integração numérica Fórmulas de quadratura

Análise Numérica - Integração numérica5

Fórmula de Quadratura

Fórmula de Lagrange

n

kkkn xfxxP

0)()(

nkxxxx

n

kii ik

ik x

,,00

n

n

kkk Exfw

0

ba nk

n

kk Edxxxf

0

ba n

ba

n

kkk

ba

dxxRdxxfxdxxf0

)()(

I ≅ Soma pesada de f(xk) k=0,…,n

Page 6: Análise Numérica - Integração numérica 1 Integração numérica Fórmulas de quadratura

Análise Numérica - Integração numérica6

Métodos de Newton-Cotes: Regra dos trapézios

Se a≡x0, b≡x1 e h=x1-x0

a b

bfb,afa,xP

xRxPxf,por passa

)(

1

11

2

)( 1

afbfabdxxPdxxfIb

a

b

a

Área do trapézio

1010 2

xfxfhdxxfxx

Page 7: Análise Numérica - Integração numérica 1 Integração numérica Fórmulas de quadratura

Análise Numérica - Integração numérica7

Regra dos trapéziosQual o erro que cometemos?

1

0

1

0101 !2

)(x

x

x

xT dxxxxxxfdxxRE

xRxPxf 11)(

< 0 ∀ x∈[x0, x1]

Teorema da média do cálculo integral

Se fC2(a, b)

fhET 12

3

10 x,x

x1 = x0+h

Page 8: Análise Numérica - Integração numérica 1 Integração numérica Fórmulas de quadratura

Análise Numérica - Integração numérica8

Exemplo:Use a regra dos trapézios para determinar

20

sin

dxx =1

220 10

hx,x ,

102xfxfhhT 2

3

12MhET

33.01

12

32

TE

....sinsinT 78539801042

042

8.0sin20

dxx

Como f (x)=cos x; f (x)=-sen x,

M2=1 < 0.5 e 0 c.d..

Page 9: Análise Numérica - Integração numérica 1 Integração numérica Fórmulas de quadratura

Análise Numérica - Integração numérica9

Fórmulas Compostas Regra dos Trapézios (composta)

∴ n+1 pontos (n=m)

mm

xx

xx

xx

ba dxxfdxxfdxxfdxxfI

121

10

)()()()( nabhihxxi

0

x0 x1 x2 xn-1 xn

f(x)

...h h h

)()(2

)( 11

iix

xxfxfhdxxfi

i

Pesos (h/2) (1 2 2 2 1)

m subintervalos iguais

Page 10: Análise Numérica - Integração numérica 1 Integração numérica Fórmulas de quadratura

Análise Numérica - Integração numérica10

Regra dos Trapézios (composta) Para i=1,…,n

iii

iii

xx

xxhfxfxfhdxxfi

i

, 122)(

1

31

1

e se fC2(xi-1, xi)

hExfxfxfhdxxf T

n

knk

xbxa

n

1

10 22)(

0

T(h) ou Tn

Page 11: Análise Numérica - Integração numérica 1 Integração numérica Fórmulas de quadratura

Análise Numérica - Integração numérica11

Erro da Regra dos Trapézios Se fC2(xi-1, xi) i=1,...,n.

Se fC2(a, b)

n

iiT fhhE

1

3

12 xi pontos de

descontinuidade

ban

ff

n

ii

,1

nabh

fabh )(122

fnabhET 2

3

12)(

Page 12: Análise Numérica - Integração numérica 1 Integração numérica Fórmulas de quadratura

Análise Numérica - Integração numérica12

Qual o melhor valor para n?

cometido = método + arredondamento

n

método

arredondamento

cometido

n*

Page 13: Análise Numérica - Integração numérica 1 Integração numérica Fórmulas de quadratura

Análise Numérica - Integração numérica13

Regra dos trapézios - Exercício Calcular o integral anterior com 3 pontos (m=n=2)

20

sin

dxx

erro=|ET|+cal+dados

081.0

41212

32

22

3

M

nabET

2,1,0 e 42

02

ihixn

abh i

........

sinsinsinT

948059010710678120208

2420

84

< 0.5 0 c.d. quase 1

9.0sin20

dxx

Page 14: Análise Numérica - Integração numérica 1 Integração numérica Fórmulas de quadratura

Análise Numérica - Integração numérica14

Estimativa do erro Fórmulas adaptativas Regra dos trapézios

212

)( hhfabhET

constante) ( 2 KhK

hfhf ~ se

)41(2)(202

hKhThT

2

22

hKhTI

2)( KhhTI -( )3

)(222

2 hThThKhET

Page 15: Análise Numérica - Integração numérica 1 Integração numérica Fórmulas de quadratura

Análise Numérica - Integração numérica15

Regra dos trapézios - Exercício Calcular o erro do integral anterior com 3 pontos (m=2)

Pode não ser um limite superior do erro (neste caso é) Está mais próximo da realidade

1sin20

dxx

0810.ET

....T 94805904

324

4

TTET

....T 78539802

05503

785398094805904

.........ET

Page 16: Análise Numérica - Integração numérica 1 Integração numérica Fórmulas de quadratura

Análise Numérica - Integração numérica16

Regra de Simpson (usa P2(x))

, x0≡a e x2≡b

Se fC4(a, b)

xi = x0+ih i=0,1,2

2abh

210 43

2

0xfxfxfhdxxf

x

x

bafhES ,90

45

Regra de Simpson é exacta quando

f(x)P3(x)área + = área -

+-P3(x)

P2(x)

a x0 b x2x1

2

0210!3

x

xS dxxxxxxxxfE

Page 17: Análise Numérica - Integração numérica 1 Integração numérica Fórmulas de quadratura

Análise Numérica - Integração numérica17

Exemplo:Use a regra de Simpson para determinar

20

sin

dxx =1

45

90MhES

200.1sin20

dxx

Como f(3) (x)=-cos x; f(4)(x)= sin x, M4=1 < 0.5 10-2

2,1,0 e 42

02

ihixn

abh i

210 43

xfxfxfhhS

0034.01

90

54

SE 2 c.d.c.

.....

sinsinsinS

00227987711707106781204012

2440

124

Page 18: Análise Numérica - Integração numérica 1 Integração numérica Fórmulas de quadratura

Análise Numérica - Integração numérica18

Fórmulas Compostas Regra de Simpson (composta)

∴ n+1 pontos (n = 2m) nabhihxxi

0

x0 x2 x4 x2m-2 x2m

f(x)

...h h h

)()(4)(3

)( 212222

22iii

x

xxfxfxfhdxxfi

i

Pesos (h/3) (1 4 2 4 2 ... 2 4 1)

m subintervalos iguais

mm

xx

xx

xx

ba dxxfdxxfdxxfdxxfI 2

2242

20

)()()()(

x1 x3 x2m-1

Page 19: Análise Numérica - Integração numérica 1 Integração numérica Fórmulas de quadratura

Análise Numérica - Integração numérica19

Regra de Simpson (composta) Para i=1,…,m e se fC4(x2i-2, x2i)

S(h) ou Sn

ii

iiii

xx

xxhfxfxfxfhdxxfi

i

222i

54

21222

, 9043)(2

22

hExfxfbfafhdxxf S

m

k

m

kkk

xbxa

n

1

1

1212 24)()(3)(

0

n=2m

Page 20: Análise Numérica - Integração numérica 1 Integração numérica Fórmulas de quadratura

Análise Numérica - Integração numérica20

bam

ff

m

ii

,)(

)(

1

4

4

Se fC4(x2i-1, x2i) i=1,...,n.

Se fC4(a, b)

m

iiS fhhE

1

)4(5

90

Erro da Regra de Simpson

xi pontos de descontinuidade

mnn

abh2

)4(4

)(180 fabh )4(4

5

180)( f

nabhES

Page 21: Análise Numérica - Integração numérica 1 Integração numérica Fórmulas de quadratura

Análise Numérica - Integração numérica21

Regra de Simpson - Exercício Calcular o integral anterior com 5 pontos (m=2, n=4)

34

52

44

51021.0

4180180

M

nabET

4,,1,0 e 84

02

ihixn

abh i

000134585.124

2sin

83sin4

4sin2

8sin40sin

248

19238795325.047071067812.02...382683424.040

S

< 0.510-3

3 c.d.c

20

sin

dxx

1000.1sin20

dxx

Page 22: Análise Numérica - Integração numérica 1 Integração numérica Fórmulas de quadratura

Análise Numérica - Integração numérica22

4)4(180

)( hhfabhES

Estimativa do erro Fórmulas adaptativas Regra de Simpson

constante) ( 4 KhK

hfhf ~ se )4()4(

)21(2)(20 44

hKhShS

4

22

hKhSI

4)( KhhSI -( )15

)(222

4 hShShKhES

Page 23: Análise Numérica - Integração numérica 1 Integração numérica Fórmulas de quadratura

Análise Numérica - Integração numérica23

Regra de Simpson- Exercício Calcular o erro do integral anterior com 5 pontos (m=2)

Pode não ser um limite superior do erro (neste caso é) Está mais próximo da realidade

310210 .ES

0001345818

.S

15

)4

(8

8

SSES

00227987714

.S

31015015

00227987710001345818

...ES

20

sin

dxx