cálculo numérico -unidade 8 - integração numérica

7/17/2019 Clculo Numrico -Unidade 8 - Integrao Numrica

1/63

D

SOF

T

AmintasAmintas

engenhariaengenharia


2/63

D

SOF

TIntegrao Numrica

Unidade 8


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D

SOF

T

Integrao Numrica

Ementa:8.1 Introduo

8.2 Regra dos trapzios

8.3 Primeira Regra de Simpson8.4 Segunda Regra de Simpson

8. !uadratura "aussiana


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SOF

T

Integrao Numrica

8.1 Introduo

#ada uma $uno $%&'( integr)*e+ no inter*a+o

,a(-( de$inimos a integra+ /omo sendo:

0nde %&'$%&'.

as 5uando a $orma ana+6ti/a de %&' $or dedi$6/i+ o-teno( ou 5uando /on7e/ermos

somente *a+ores dis/retos de $%&' %/omo uma

ta-e+a de dados'( pre/isamos re/orrer a

mtodos numri/os para a sua reso+uo.

)()()( a-d&&$

-

a=


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T

Integrao Numrica

8.2 Regra dos trapziosEsta regra apro&ima pe5uenos tre/7os da

/ur*a $%&' por segmentos de reta

igua+mente espaados no inter*a+o ,a(-.

( )000 ,&P

( )111 ,&P

( )222 ,&P

a& =0 1& 2&& 1n& -&n=

( )nnn &P ,

( )111 , nnn &P

( )&$=

&


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D

SOF

T

Integrao Numrica

9 regio entre a /ur*a e o ei&o & apro&imada por trapzios. Rea+izando a soma

das )reas dos trapzios( en/ontramos a

integra+ de $%&'. #e $orma gera+( a $rmu+a

para o-teno da integra+ :

0nde 7 a +argura do trapzio( gera+mente

dada atra*s do n;mero a'?n

( )nn 888887

@ +++++= 1210 2222


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T

Integrao Numrica

E&emp+o: Aa+/u+ar a integra+ de$inida a-ai&o(uti+izando a regra dos trapzios /om:

a'n inter*a+os.

-'n 1B inter*a+os.

4

1

1d&

&


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T

Integrao Numrica

So+uo:a' 0 mtodo pr)ti/o de /)+/u+o en*o+*e

preen/7er uma ta-e+a /om os *a+ores de & e (

-em /omo os /oe$i/ientes de :i x y c

0 1,0 1,000 1

1 1,6 0,625 2

2 2,2 0,454 2

3 2,8 0,357 2

4 3,4 0,294 2

5 4,0 0,250 1

&8

n

a-7

1

6,05

14

=

=

=

=


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D

SOF

T

Integrao Numrica

Portanto( uti+izando a regra do trapzio:

0 *a+or e&ato desta integra+ 1(38C3.

( )

( )

413,1)71,4.(3,0

)250,0588,0714,0908,025,11.(3,0

25,0294,0.2357,0.2454,0.2625,0.212

6,0

22222

543210

==+++++=

+++++=

+++++=

@

@

@

8888887

@


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D

SOF

T

Integrao Numrica

-' Aonsiderando agora 1B inter*a+os:i x y c

0 1,0 1,000 1

1 1,3 0,769 2

2 1,6 0,625 23 1,9 0,526 2

4 2,2 0,454 2

5 2,5 0,400 2

6 2,8 0,357 27 3,1 0,322 2

8 3,4 0,294 2

9 3,7 0,270 2

10 4,0 0,250 1

&

n

a-7

1

3,010

14

=

=

=

=


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D

SOF

T

Integrao Numrica

De*ando os dados e5uao dos trapzios:

Aomo pode>se notar( um maior n;mero de

pontos torna o resu+tado mais pr&imo do*a+or rea+.

( )

393,1)288,9(23,0

2...2222

1093210

==

++++++=

@

8888887

@


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D

SOF

T

Integrao Numrica

8.3 Primeira Regra de Simpson

@am-m /on7e/ida /omo regra do 1?3 de

Simpson( este mtodo apro&ima os pontos da

ta-e+a por e5uaFes do 2G grau. 9 e5uao

gera+ para a primeira regra de Simpson :

0nde os /oe$i/ientes /i so iguais a 1( para /B

e /n( 4 para os


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T

Integrao Numrica

E&emp+o:Aa+/u+e a integra+ a-ai&o( uti+izando m4

inter*a+os.

So+uo: Aomo temos m4 inter*a+os(uti+izamos nm1 pontos. 9ssim:

41

1 d&&

75,0

4

14=

=

=

m

a-7


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D

SOF

T

Integrao Numrica

#e a/ordo /om a primeira regra de Simpson:

i x y c c.y

0 1 1 1 1

1 1,75 0,571 4 2,285

2 2,5 0,4 2 0,8

3 3,25 0,308 4 1,2304 4 0,25 1 0,25

( )

3915,1)566,5.(25,0

)25,0.1308,0.44,0.2571,0.41.1.(3

75,0

......3

2

2

44332211002

==

++++=

++++=

I

I

/////7I


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D

SOF

T

Integrao Numrica

8.$ Segunda Regra de Simpson

@am-m /on7e/ida /omo regra dos 3?8 de

Simpson( este mtodo apro&ima os pontos da

ta-e+a por e5uaFes do 3G grau. 9 e5uao

gera+ para a segunda regra de Simpson :

0nde os /i so iguais a 1( para /Be /n( 2 para

os


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D

SOF

T

Integrao Numrica

%&emp!o'Aa+/u+e a integra+ a-ai&o( uti+izando mC

inter*a+os.

So+uo: Ao+o/amos os dados em $orma deta-e+a( para $a/i+itar a interpretao:

41

1 d&&

5,0

6

14=

=

=

m

a-7


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SOF

T

Integrao Numrica

i x y c c.y

0 1 1 1 1

1 1,5 0,667 3 2,001

2 2,0 0,500 3 1,500

3 2,5 0,400 2 0,8004 3,0 0,333 3 0,999

5 3,5 0,286 3 0,858

6 4,0 0,250 1 0,25


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D

SOF

T

Integrao Numrica

#e a/ordo /om a primeira regra de Simpson:

Aomo pJde>se *er( este mtodo apro&ima

ainda mais o *a+or rea+ da integra+.

( )

3890,1)408,7.(1875,0

)25,0858,0999,08,05,1001,21.(1875,0

)25,0.1286,0.3333,0.34,0.25,0.3667,0.31.1.(8

5,0.3

........8

.3

3

3

3

665544332211003

==

++++++=+

+++++=

++++++=

I

I

I

///////7

I


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D

SOF

T

Integrao Numrica

8.( )uadratura *aussiana0s mtodos mostrados at a5ui ne/essitam de

*a+ores de & igua+mente espaados es/o+7idos

por 5uem est) tra-a+7ando no mtodo. Ka5uadratura "aussiana( a es/o+7a segue um

padro -em de$inido.

Este mtodo tem /omo des*antagem a

ne/essidade de se /on7e/er a $orma ana+6ti/a

da $uno $%&'. Sua prin/ipa+ *antagem

o$ere/er resu+tados e&atos para po+inJmios de

ordem at n>1.


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D

SOF

T

Integrao Numrica

Este mtodo /onsiste em trans$ormar aintegra+ de$inida:

Em outra integra+( na seguinte $orma:

9tra*s de uma tro/a de *ari)*eis( *ista a

seguir.

=

-

a

d&&$I )(

=1

1 )( dtt1I


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D

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T

Integrao Numrica

@ro/amos a *ari)*e+ & por:

Ento( a $uno %t' ser):

).(2

1)..(

2

1a-ta-& ++=

++= ).(

2

1)..(

2

1)..(

2

1)( a-ta-$a-t1


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D

SOF

T

Integrao Numrica

Aom isso( a e5uao gera+ da !uadratura"aussiana ser):

0nde:

n n;mero de pontos %es/o+7ido'

9i /oe$i/ientes %ta-e+a'ti ra6zes %ta-e+a'

9 ta-e+a a seguir mostra a+guns *a+ores dos

/oe$i/ientes e ra6zes.

=

==1

0

1

1

)(.)(n

i

ii t19dtt1I


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D

SOF

T

Integrao Numrica

n i ti Ai

1 0 0 2

20 -0,57735027 1

1 0,57735027 1

3

0 0,77459667 5/9=0,555556

1 -0,77459667 5/9=0,555556

2 0 8/9=0,888889

4

0 0,86113631 0,347854841 -0,86113631 0,34785484

2 0,33998104 0,65214516

3 -0,33998104 0,65214516


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D

SOF

T

Integrao Numrica

E&emp+o:Aa+/u+e a integra+ a-ai&o( uti+izando n3

pontos.

So+uo:Ini/ia+mente( $azemos a su-stituio da

*ari)*e+ & por t:

4

1

1 d&&


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D

SOF

T

Integrao Numrica

Portanto( %t' ser):

5,2.5,1

)14.(2

1).14.(

2

1

).(21)..(21

+=

++=

++=

t&

t&

a-ta-&

( )5,2.5,1

5,1

5,2.5,1

1.5,15,2.5,1).14.(

2

1)(

).(2

1)..(2

1)..(2

1)(

+

=

+

=+=

++=

tt

t$t1

a-ta-$a-t1


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D

SOF

T

Integrao Numrica

Para n3( temos os seguintes *a+oresta-e+ados:

9ssim( temos a seguinte e5uao "aussiana:

n i ti Ai

30 0,77459667 5/9=0,5555561 -0,77459667 5/9=0,555556

2 0 8/9=0,888889

=

= +==

2

0

1

0 5,2.5,1

5,1.)(.

i i

i

n

i

iit

9t9I


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D

SOF

T

Integrao Numrica

9ssim:

38367,1

5333334,06227717,02275690,0

5,20.5,15,1.888889,0

5,2)77459667,0.(5,15,1.555556,0

5,277459667,0.5,1

5,1.555556,0

5,2.5,1

5,1

.5,2.5,1

5,1

.5,2.5,1

5,1

.

5,2.5,1

5,1.

22

11

00

2

0

=++=

++++

+=

+++++=

=+

==

I

I

I

t9t9t9I

t9I

i i

i


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D

SOF

T Integrao Numr!"a

#$rmu%a &e Ne'ton-ote*egra &o +ra!o

m!nta a!a onao

CLCULO NUMRICO


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D

SOF

T

Integrao Numr!"a

Intro&uo #$rmu%a &e Ne'ton-ote

*egra &o +ra!o

*egra &o +ra!o *eet!&a*egra &e !mon

*egra &e !mon *eet!&a

ua&ratura au!ana


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D

SOF

T

mto&o ma! ut!%!a&o o "%a!!"a&o em&o! gruo

Frmula de Ne!ton"#ote emregama%ore &e (), on&e o a%ore &e o

!gua%mente eaa&oFrmula de $uadratura %auiana ut!%!am

onto &!erentemente eaa&o, on&e ete

eaamento &eterm!na&o or "ertaror!e&a&e &e o%!n:m!o ortogona!

Integrao Numr!"a


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D

SOF

T

Integrao Numr!"aInterretao geomtr!"a &a !ntegra%

a%or numr!"o &a !ntegra%

b

a

dxxf )(

igual rea entre afuno e o eixo x no

intervalo [a, b].

Para calcular a integral

dividese ! interval! "a# $%em N su$interval!s iguais

e escreve

se

N

abx

)( =

=

=1

00

)(lim)(N

n

n

Nx

b

a

xxfdxxf


32/63

D

SOF

T

Integrao Numr!"aInterretao geomtr!"a &a !ntegra%

Numer!"amente, toma-e e;ueno o u!"!ente ara;ue o erro &o "


33/63

D

SOF

T

Integrao Numr!"aInterretao geomtr!"a &a !ntegra% > e!&ente na !gura ;ue, a no er ;ue tomemo mu!to

e;ueno, o erro ero gran&e

a ?;u!na@ ;ue oAram &o retBngu%o

erro o&e er m!n!m!a&o, em &!m!nu!r o tamanCo &e e"o%Cen&o uma !gura geomtr!"a ma! a&e;ua&a ara

"a%"u%ar a


34/63

D

SOF

T

#$rmu%a &e Ne'ton-ote

*egra &o +ra!oe uarmo a $rmu%a &e Gagrange ara erear oo%!n:m!o 1() ;ue !ntero%a () em 0 e 1temo

dxxfhxxxf

hxxdxxpdxxf

x

x

xb

xa

b

a +=

=

=

1

0

1

0

)()()()()()( 10

01

1


35/63

D

SOF

T

#$rmu%a &e Ne'ton-ote

*egra &o +ra!oAssim#

&ue a 'rea d! tra*+i! de alturah = x1 x0e $ases

f(x0)e f(x1).

[ ],)()(2

10 xfxfh

IT +=

a = x0 b = x1

P0

f(x)

p1(x)f(x1)

f(x0)


36/63

D

SOF

T

#$rmu%a &e Ne'ton-ote*egra &o +ra!o *eet!&a

Hte mto&o &e !ntegrao numr!"a "on!te em &!!&!r a


37/63

D

SOF

T

Hem%o

a%"u%ar

+=

2

0 1 x

dxI usand! a regra d!s tra*+i!s# usand!

,.

1

1)(

xxf

+=

su$interval!s.

Um *!ss-vel *r!cediment! !

indicad! na ta$ela a! lad!.Nesta ta$ela#

x f(x) p pf(x)

#

/#

/ /#

#0

#1/02

3 /#0345

#4

#,,,5

3 /#////

/#3

#0,0,

3 #66/

/#5

#240

5

3 #156

3 = 5513,5)(xpf

* ! n7mer! *el! &ual 89:n; multi*licada na e:*ress

integral e p f(x) indica a s!mad!s term!s entre c!lchetes# na

mesma e:*ress

;4,05

02==x

== 1103,12

4,05513,5

2

)( x

xpfI

A 8un=

[ ]2

2222)( 13210x

ffffffdxxf nna

++++++


38/63

D

SOF

T

Ht!mat!a ara o Hrro

< &ua mane!ra &e et!mar !n"ertea no uo &a regra &otra!o

;uan&o e "onCe"e () ),('')(12

2 fxab

=

!nde ! val!r *ara ! &ual a derivadasegunda de 89:; m':ima n! interval! a > > $.?&uand! n

.e 12

1 == nnnnnn ffffff

,12

2

f

ab

=edemdiovalordomduloo 22 nffonde

ff 22 demdiovalordomdulo


39/63

D

SOF

T

Hem%o

+oman&o o eem%o anter!or,x f(x) f 2f

# /#

#0 #1/02

#34,

1

#4 #,,,5

#/,4

1

#/31

/#3 #0,0,

#//

/

#,15

/#5 #240

5

#566

#2/

3

nt

.01,0

0586,012

0,00,2

12

2

=

= fab

nt

=== 01,01103,101,02

4,05513,5

2

)( x

xpfI

f2

1

2

1

=

=

nnn

nnn

fff

fffnff demdiovalordomdulo-


40/63

D

SOF

T

Calcular a integral da 8un=

: # #3 #0 #5 #4 /#

89:; # #/50 #354 #236 #2,6 #254

Exerccio


41/63

D

SOF

T

41

Integrao Numr!"a

ua&ratura au!ana

m!nta a!a ono

CLCULO NUMRICO


42/63

D

SOF

T

Integrao Numr!"a

Intro&uo #$rmu%a &e Ne'ton-ote

*egra &o +ra!o

*egra &o +ra!o *eet!&a*egra 1/3 &e !mon

*egra 1/3 &e !mon *eet!&a

ua&ratura au!ana


43/63

D

SOF

T

o%!n:m!o rtogona!o %a&o &a $rmu%a &e Ne'ton-ote ara !ntegrao

numr!"a, a $rmu%a &e ua&ratura &e au e &eta"amor orne"erem reu%ta&o a%tamente re"!o.

+a! $rmu%a, Aae!am-e em ror!e&a&e &e o%!n:m!oortogona!.

.ortoo!ai"di#em"e...,)(,)(),($oli!%mio"o"e!t&o0,$ara,0))(),((

',i$ara,0))(),((e

...2,1,0,rau"

de$oli!%mio"defamliauma...,,)(,)(),(

210

iii

'i

210

xxxxx

xx

xxxSejam

=


44/63

D

SOF

T

o%!n:m!o rtogona!Nete etu&o, etamo "on!&eran&o oro&uto e"a%ar

$e"o.fu!*&oa+(x)o!de,a,em/o!t!uae0+(x) com

,)()()(),( dxxgxfxwgfb

a

=

"eui!tedoatrav"otido""er$odem.,..2,1,0,i),($oli!%mio"" i =x

$ordefi!ido".,..2,1,0,

rau"de...,,)(,)(),($oli!%mio"o"eameorema 210 xxx

=

=

===

+ ,))()()(x)(

3,...2,1,$arae,

1,(1,1)

(x,1)x)(

))(),0((

))0(),0(()(

,1)(

1-1

0

00

001

0

xxxx

xx

xxx

x

kk


45/63

D

SOF

T

o%!n:m!o rtogona!on&e

"ati"fa#em,i"to,ortoo!ai"doi"adoi""&odefi!ido",a""im...,,)(,)(),($oli!%mio"" 210 xxx

.))(),((

))(),((;

))(),((

))(),((

1-1-

xx

xx

xx

xxxkk

==

=0.$ara,0))(),((

',i$ara,0))(),((

iii

i

xx

xx

! ! ! %! : ! !


46/63

D

SOF

T

r!n"!a! o%!n:m!o rtogona!

e;JKn"!a &e o%!n:m!o 0(), 1(), 2(),...,e!&entemente, &een&e &o ro&uto e"a%ar a&ota&o.

ma! "onCe"!&o (!n"%u!e < taAe%a&o) e "om o ;ua!traAa%Caremo o o egu!nte

o%!n:m!o &e Gegen&re

o%!n:m!o &e +"CeAECe

o%!n:m!o &e Gaguerre

o%!n:m!o &e erm!te


47/63

D

SOF

T

r!n"!a! o%!n:m!o rtogona!&olin'mio de (egendre

o%!n:m!o &e Gegen&re 0(), 1(),..., o oAt!&oegun&o o ro&uto e"a%ar

,)()(),(1

1

dxxgxfgf

=

ist! # c!m B9:;/# a /# $ /.

?!olin"#io$ %e &cheb'$hevO *r!dut! escalar *ara !$ter !s *!linDmi!s de

Eche$Fshev E9:;# E/9:;#...# dad! *!r@,)()(

1

1),(

1

12

dxxgxfx

gf

=

1.e1-a,

1

1+(x)"ea,ou

2==

=x


48/63

D

SOF

T

r!n"!a! o%!n:m!o rtogona!

&olin'mio de (aguerre

o%!n:m!o &e Gaguerre G0(), G1(),..., o oAt!&oegun&o o ro&uto e"a%ar

,)()(),(0

dxxgxfegf x

=

?!olin"#io$ %e er#iteO *r!dut! escalar *ara !$ter !s *!linDmi!s de

Germite G9:;# G/9:;#...# dad! *!r@

.e0a,+(x)$orta!to, === xe

,)()(),(2

dxxgxfegf x

=

.e-a,+(x),i"to

2

=== x

e


49/63

D

SOF

T

Hem%oara oAter o o%!n:m!o

&e Gegen&re, &eemo ut!%!aro teorema &o o%!n:m!oortogona! e o ro&uto e"a%ar&e!n!&o e%o memo. !m

1)(0 =xP

xxP

x

xx

dx

dxxx

xxxP

=

=

=

=

)(

2

1)1,1(

)1,()(

1

1

1

2

1

1

1

1

1

3

11

3

10)(

3

1

2

323

))(),((

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03

4

))(),((

))(),((

)()()()(

22

2

1

1

3

1

1

1

1

2

00

111

1

1

3

4

1

1

2

1

1

3

11

111

011112

==

==

=

==

=

=

==

=

xxxxP

x

x

dx

dxx

xPxP

xPxP

x

x

dxx

dxx

xPxP

xPxxP

xPxPxxPxP

O$ter !s *rimeir!s *!linDmi!s deLegendre.


50/63

D

SOF

T

ror!e&a&e &o o%!n:m!ortogona!

Leamo a%guma &a ror!e&a&e &o o%!n:m!oortogona! ;ue ero !mortante ara a oAteno &a$rmu%a &e ua&ratura &e au.

).(,...,)(),(deli!ear/omi!a*&o

/omoe"/rito"er$ode!aiualoume!orraude$oli!%mio

ualuer!t&o,ualuer.e"/alar$rodutoum"eu!do!ulo",!&o,ortoo!ai"$oli!%mio"),...,(,)(),(e'am-1ero$riedad

!10

210

xxx

xxx

!.ueme!orraude

7(x)$oli!%mioualueraortoo!al)(!t&o1.e$ro$riedadda/o!di*8e"!a")(...,,)(),(eam-2e6ro$riedad

!

!10

xxxx


51/63

D

SOF

T

.a,emdi"ti!ta"(reai")ra#e"!$o""ui(x)!t&o

.a,em/o!t!uae0+(x)

,)()()(),(

e"/alar$rodutoo"eu!do

ortoo!ai"$oli!%mio"),...,(,)(),(-3e6ro$riedad

!

210

=

comdxxgxfxwgf

xxxSejam

b

a

.)()(o!de),()()(

e!t&o1,2!aiualoume!orraude$oli!%mioumf(x)e.)(dera#e"a"x,...,x,xeam3.e$ro$riedad

da/o!di*8e"!a"),...,(,)(),(-4e6ro$riedad

0

1!!10

210

dxxxwAxfAdxxfxw

x

xxxSejam

b

a

kk

n

k

kk

b

a

==+

=

+

ror!e&a&e &o o%!n:m!ortogona!

& t !


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D

SOF

T

ua&ratura au!ana

on!&eraremo !ntegra! &a orma,)()( dxxfxw

b

a!nde B9:; e c!nt-nua em "a# $%.

? A 8un=

igual a +er! s!mente num n7mer! )nit! de*!nt!s.? Usarem!s Hrmulas de Juadratura *ara

a*r!:imar a integral.

? Hrmulas de &uadratura s

=

n

k

kk

b

a

xfAdxxfxw

0

),()()(

#$ % & & &


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D

SOF

T

53

#$rmu%a &e ua&ratura &e au

o $rmu%a ua&a ara e "a%"u%ar

,)()( dxxfxwb

a

? Calculam!s ! val!r a*r!:imad! da integral usand

=

n

k

kk

b

a

xfAdxxfxw0

),()()(

? !nde

).(dex,,x,x

ra#e"a""ore9ara!ede$oli!%mio"o""&o)(

1!!10 x

xe k

+

dxxxwA

b

akk

= )()(

#$ % & & t &


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D

SOF

T

!m, o ro"e&!mento ara e "a%"u%ar uma !ntegra%

uan&o ua&ratura &e au, o egu!nte

.a,i!tervalo!oe+(x)$e"ofu!*&oa/om,i"toe,/o!ve!ie!te"/alar

$rodutoo"eu!do,)(ortoo!al$oli!%mioodetermi!ar) 1! xa +

).(dex,,x,xra#e"a"/al/ular)1!!10

xb+

.)emotido"x,,x,x$o!to"o"

u"a!do!,1,...,0,,)(9ara!ede$oli!%mio"o"determi!ar)

!10

=xc k

!.1,...,0,,)()(/al/ular) ==

dxxxwAd

b

a

kk

.x,,x,xemf(x)devaloro/al/ular) !10 e

,fi!alme!te/al/ular,)f =

n

k

kk

b

a

xfAdxxfxw0

),()()(

#$rmu%a &e ua&ratura &e au

H %


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D

SOF

T

Hem%o

Man&o ;ua&ratura &e au, "a%"u%ar.)5(

1

1

3

dxxx ? Na integral# vem!s &ue@ a K/# $ /# B9:;

/# e 89:; :2K ,:.? Assim 89:; um *!linDmi! de grau 2# e *ela

*r!*riedade 0# tem!s &ue@ se 89:; um*!linDmi! de grau 3n /# ! resultad! da

integral e:at! 9a men!s de err!s dearred!ndament!;.

? P!rtant!# 8a+end! 3n / 2# !$tem!s &ue n /. "er:(x),oter$arae"/alar,$rodutoi!teral.are"olver

$ara(x),(x)de#ero"o"utili#ardevemo";""im,

2

21!

=+

.)()(

1

1

dxxgxf

H %


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D

SOF

T

Hem%o

Gogo o o%!n:m!o ro"ura&o 2 1/3. ortanto, aen&o 2 1/3 = 0, oAtemo 0= 0.57735 e 1=

0.57735 , (;ue o o ero &e 2() em O1, 1P). +emo ;ue

12

2

)(2)(

1)()(

1

)(

)()(

1

1

1

1

1

2

10

1

1

1

10

1

1 10

1

1

1

00

=

=

=

=

==

x

x

xxxxx

dxxxxx

dxxx

xxdxxA

e*!rtant!#

,)(

)(

)(,)(

)(

)( 01

0

110

1

0 xx

xx

xxx

xx

x

=

=

.02

euede"de

1

1

2

10 =

=

xxx

H em%o


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D

SOF

T

Qo memo mo&o

12

2

)(2)(

1

)()(

1

)(

)()(

0

0

1

1

0

2

01

1

1

0

01

1

1 01

01

1

11

=

=

=

=

==

x

x

xxx

xx

dxxxxx

dxxx

xxdxxA

? Ag!ra# calculam!s a 8 n!s +er!s de 39:;. Assim@

89:; 89K.,112,; 9K.,112,;2K,9K.,112,;

89:/; 89.,112,; 9.,112,;2K ,9.,112,;

? Hinalmente# *!dem!scalcular a integral# ist!

@

0

5(0.5


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D

SOF

T

#$rmu%a &e auFrmula de %au"(egendre

ara ut!%!ar a $rmu%a &e au-Gegen&re a !ntegra% a er "a%"u%a&a &ee ter auno eo '() = 1 , a = 1 e A = 1. ao o !ntera%o &e !ntegrao no"o!n"!&a "om o !ntera%o O1, 1P, &eemo aer uma mu&ana &e ar!

#$rmu%a &e au


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D

SOF

T

Frmula de %au"(aguerre

ara ut!%!ar a $rmu%a &e au-Gaguerre a !ntegra% a er"a%"u%a&a &ee ter a uno eo '() = e-, a = 0 e A =.

Noamente, "ao o !ntera%o &e !ntegrao no "o!n"!&a "omo !ntera%o O0, P, &eemo aer uma mu&ana &e ar!B9:; e:3

# a e $ .?Neste cas!# se ! interval! de integra=


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D

SOF

T

Hrro na #$rmu%a &e au

uan&o () um o%!n:m!o, aAemo ;ue a $rmu%a &e;ua&ratura orne"em um reu%ta&o eato a meno, "%aro,&o erro &e arre&on&amento.

Na ma!or!a &a !tuaRe rea!, () no um o%!n:m!o e,ortanto, ua !ntegra% aro!ma&a ;uan&o "a%"u%a&a atra

&a $rmu%a &e ;ua&ratura. H!A!remo a%guma ereRe &o termo &o reto (ou erro

&e trun"amento) ara a


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D

SOF

T

Frmula de %au"(egendre

)(

)=22(

)=1(5 )22(

2

! +

+

+= nf

n

n

*r#ula %e +au$$&cheb'$hev

)()=22)(32(

)=1(2 )22(

3

432

! +

+

+++

= nn

fnn

n

*r#ula %e +au$$-a.uerre

*r#ula %e +au$$er#ite

)()=22(2

)=1( )22(

1! +

+ ++

= nn

fn

n

)()=22(

2 )22()22(!

++ += nn fne

),a(

Hrro na #$rmu%a &e au

Exerccio


62/63

D

SOF

T

Usand! &uadratura de auss# calcular

@

e estimar ! err!.

Exerccio

1

121dx

x

senx


63/63

D

SOF

T

BBB.matemati&ues.c!mBBB.matemati&ues.c!m

.$r.$r

engenhariaengenharia

cálculo numérico -unidade 8 - integração numérica

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