Cálculo Numérico

Prof. Guilherme Amorim17/07/2014

Aula 26 – Integração Numérica - Erros

O que vimos na última aula?

O que vimos na última aula?

Fórmulas de Newton-Cotes Ideia geral: Integrar o polinômio

interpolador da função 𝑓 Método Trapézio:

Método de Simpson:

O que ficou faltando?

O estudo do erro para os dois métodos.

Erros em Integração Numérica Na maior parte dos casos, a

determinação de erros em integrações numéricas só será possível se conhecermos a expressão analítica da função que se deseja calcular sua integral.

Erro no Método dos trapézios Pelo teorema fundamental do cálculo,

temos:

Pelo método do trapézio, temos:

Logo, podemos afirmar que Sendo Ti o erro entre e

Revisão

Polinômio de Taylor

Revisão

Polinômio de Taylor Representa uma aproximação polinomial

para a função ao redor do ponto .

Erro no Método dos trapézios Desenvolvendo pela série de Taylor em

torno de e calculando em , obtemos:

Substituindo em , temos:

Erro no Método dos trapézios Por outro lado, temos:

Como

Sabendo que F é integral de f, ou seja,

Erro no Método dos Trapézios Com isso,

Considerando a soma dos n erros,

Erro no Método de Simpson

De maneira similar, obteremos:

Exemplo

Determine os erros cometidos pelos métodos dos trapézios e de simpson no cálculo da integral usando 7 pontos no intervalo [0,0;0,6]:

Trapézios:

Exemplo

Simpson:

Exercício 1 Cap. 6

Exercício 1 Cap. 6 - Resposta

Trapézio

Exercício 1 Cap. 6 - Resposta Simpson

Bibliografia

[1] Santos, J.D.; Silva, Z. C. Métodos Numéricos, Ed. Universitária UFPE. 3ª ed. Recife-PE, 2010.

[2] Notas de aula Luiza Amalia Pinto Cantão (UNESP) Disponível em: http://www2.sorocaba.unesp.br/professor/luiza/CDI-III/series7.pdf