Cálculo Numérico

Integração Numérica

Prof. Jorge Cavalcanti – jorge.cavalcanti@univasf.edu.br

MATERIAL ADAPTADO DOS SLIDES DA DISCIPLINA CÁLCULO NUMÉRICO DA UFCG - www.dsc.ufcg.edu.br/~cnum/

2

Em determinadas situações, integrais são difíceis, ou mesmo impossíveis de se resolver analiticamente.

Exemplo: o valor de f(x) é conhecido apenas em alguns pontos, num intervalo [a, b]. Como não se conhece a expressão analítica de f(x), não é possível calcular

Forma de obtenção de uma aproximação para a integral de f(x) num intervalo [a, b] Métodos Numéricos.

b

a

dxxf )(

Integração Numérica

3

Idéia básica da integração

numérica substituição da função f(x) por um polinômio que a aproxime razoavelmente no intervalo [a, b].

Integração numérica de uma função f(x) num intervalo [a,b] cálculo da área delimitada por essa função, recorrendo à interpolação polinomial, como, forma de obtenção de um polinômio –pn(x).

Integração Numérica

4

Fórmulas de Newton-Cotes –São fórmulas de integração do tipo:

Fórmulas de integração (fórmulas de quadratura):

x0 , ... , xn - pontos conhecidos, pertencentes ao intervalo [a, b] (nós de integração).

A0 , ... , An - coeficientes a determinar, independentes da função f (x) (pesos).

,...,n,[a,b],ix

xfAxfAxfAdxxf

i

nn

b

a

10

1100

),(...)()()(

n

iiin

xfAfI0

)()(

Integração Numérica

5

O uso desta técnica decorre do fato de:

Por vezes, f(x) ser uma função muito difícil de integrar, contrariamente a um polinômio;

Conhecer-se o resultado analítico do integral, mas, seu cálculo é somente aproximado;

A única informação sobre f(x) ser um conjunto de pares ordenados.

Integração Numérica

6

Métodos de integração numérica mais utilizados

Fórmulas de Newton-Cotes Fechadas Regra dos Trapézios.

Regra 1/3 de Simpson

Fórmulas de Newton-Cotes Abertas os xi têm de pertencer ao intervalo aberto de a até b

Integração Numérica

7

Regra dos Trapézios Simples - consiste em considerar um polinômio de primeiro grau que aproxima uma função f(x), ou seja, n=1.

Este polinômio terá a forma y=a0 + a1x e trata-se da equação que une dois pontos: a=x0 e b=x1.

Regra dos Trapézios

8

Área do trapézio: A=h . (t+T) /2

h - altura do trapézio

t - base menor

T - base maior

De acordo com a figura:

h= b – a = x1 – x0

t= f(a) = f(x0)

T = f(b) = f(x1)

Logo,

1

0

102

x

x

xfxfh

dxxf )()()(

Regra dos Trapézios Simples

a = x0 b = x1

P0

f(x)

p1(x)f(x1)

f(x0)

h = b-a

9

a) Pela Regra dos Trapézios Simples:

I = h/2 [f(x0) + f(x1)]

h= x1 – x0 = 3,6 – 3,0 = 0,6

f(x) = 1/x, f(x0) = 1/3 e f(x1) = 1/3,6

I=0,6/2 (1/3 + 1/3,6) = 0,18333

b) Pelo Cálculo Integral:

Exercício: Estimar o valor de:

Pela regra dos trapézios simples e depois verificar o valor exato da integral.

Regra dos Trapézios

6,3

0,3x

dxI

6,3

0,3x

dxI = ln (x) = ln (3,6) – ln (3,0) = 0,18232

3,0

3,6

10

Intervalo [a, b] relativamente pequeno

Aproximação do valor do integral é aceitável.

Intervalo [a, b] de grande amplitude

Aproximação defasada.

Pode-se subdividi-lo em n subintervalos, e em cada um a função é aproximada por uma função linear.

A amplitude dos subintervalos será h=(b-a)/n .

A integral no intervalo é dado pela soma das integrais definidas pelos subintervalos.

Regra dos trapézios simples aplicada aos subintervalos.

Uso da Regra dos Trapézios Composta (Repetida):soma da área de n trapézios, cada qual definido pelo seu subintervalo.

Regra dos Trapézios Simples

11

Intervalo [a, b] de grande amplitude.

Soma da área de n trapézios, cada qual definido pelo seu sub-intervalo.

Regra dos Trapézios Composta (Repetida)

12

A Regra aproxima pequenos trechos da curva y = ƒ(x) por segmentos de reta. Para fazer uma aproximação para a integral de f de a até b, somamos as áreas ‘assinaladas’ dos trapézios obtidos pela união do final de cada segmento com o eixo x.

É interessante observar que aproximar a área sob a função pela soma de áreas de trapézios é o equivalente a:

Realizar interpolação linear de f(x), ou seja, ligar os pontos (xn, yn) com retas.

13

Fórmula:

Só os termos f(x0) e f(xn) não se repetem, assim, esta

fórmula pode ser simplificada em:

)()(...

)()()()()(

NN

x

x

xfxfh

xfxfh

xfxfh

dxxfm

1

2110

2

220

Nx

x

NNxfxfxfxfxf

hdxxf

0

12102

2)()(...)()()()(

Regra dos Trapézios Composta (Repetida)

14

a=3,0; b=3,6; f(x) = 1/x

h= (b-a)/n = (3,6 – 3,0)/6 = 0,6/6 = 0.1

ITR= h/2 [f(x0) + 2[f(x1)+f(x2)+f(x3)+ f(x4)+f(x5)]+f(x6)]

ITR= 0,18235

Exercício: Estimar o valor de:

Pela regra dos trapézios repetida, subdividindo o intervalo em 6 subintervalos.

Regra dos Trapézios Composta (Repetida)

6,3

0,3x

dxI

x f(x)=1/x

3.0 0,3333

3.1 0,3225

3.2 0,3135

3.3 0,3030

3.4 0,2941

3.5 0,2857

3.6 0,2778

15

Regra dos Trapézios Simples - 2 pontos (n=1) (x0=0.0 e x1=4.0, h=4)

I=h/2(f(x0)+f(x1))=2x(1.00000+0.24254) = 2.48508

Regra dos Trapézios Composta - 3 pontos(x0=0.0,x1 =2.0,x2 =4.0, h=(b-a)/n =(4-0)/2=2

I=h/2(f(x0)+2f(x1)+f(x2)=1x(1.00000+2x0.44722+ 0.24254) = 2.1369

Regra dos Trapézios Composta - 9 pontos

(x0=0.0,x1 =2.0,x2 =4.0, h=(b-a)/n = (4-0)/8 = 0.5

I=(0.5/2).(f(x0)+2f(x1)+2f(x2)+2f(x3)+2f(x4)+2f(x5)+2f(x6)+2f(x7)+f(x8)) =2.0936

x y=(1+x²)-1/2

0.0 1.00000

0.5 0.89445

1.0 0.70711

1.5 0.55475

2.0 0.44722

2.5 0.37138

3.0 0.31623

3.5 0.27473

4.0 0.24254A aproximação para 9 pontos é melhor, dado que o valor real é 2.0947.

Exemplo: Estimar o valor de

para 02 pontos (Trapézio Simples), 3 e 9 pontos (Repetida)

Regra dos Trapézios

4

0

2121 dxx /)(

16

Regra de 1/3 de Simpson

Seja I= . Para este caso vamos considerar novamente uma subdivisão do intervalo [a,b] em um número de subintervalos n (par).

A Regra de Simpson faz aproximações para pequenos trechos de curvas usando arcos parabólicos.

b

a

dxxf )(

17

Podemos usar a fórmula de Lagrange para estabelecer a fórmula de integração resultante da aproximação de f(x) por um polinômio interpolador de grau 2.

Seja p2(x) que interpola f(x) nos pontos:

x0 = a

x1 = x0 + h

x2 = x0 + 2h = b

Regra de 1/3 de Simpson

18

O Polinômio de Lagrange de grau 2 que estabelece a função de interpolação de f(x) nos pontos [xi,f(xi)] será:

Regra de 1/3 de Simpson

P2(x)=L0(x)f(x0) + L1(x)f(x1)+ L2(x)f(x2)

))((

))(()(

2010

210

xxxx

xxxxxL

)1)((

))(()(

201

201

xxxx

xxxxxL

))((

))(()(

1202

102

xxxx

xxxxxL

x0 = a; x1 = x0 + h;x2 = x0 + 2h = b

(x0 - x1) = a – (a+h) = -h

(x0 – x2) = a – (a+2h) = -2h

(x1 – x0) = (a+h) - a = h

(x1 – x2) = (a+h) – (a+2h)= -h

(x2 – x0) = (a+2h)-a = 2h

(x2 – x1) = (a+2h)-(a+h) = h

19

O Polinômio será:

Regra de 1/3 de Simpson

)())(2(

))(()(

))((

))(()(

)2)((

))(()( 2

101

200

212 xf

hh

xxxxxf

hh

xxxxxf

hh

xxxxxP

S

x

x

x

x

x

x

x

x

b

a

Idxxxxxh

xfdxxxxx

h

xf

dxxxxxh

xfdxxpdxxf

2

0

2

0

2

0

2

0

))((2

)())((

)(

))((2

)()()(

1022

2021

2120

2

Então se f(x) P2(x):

20

Regra de 1/3 de Simpson

As integrais podem ser resolvidas, por exemplo, usando a mudança das variáveis x – x0 = zh.

Assim, x = x0 + zh, então x – x1 = x0 + zh – (x0 + h) = (z – 1)h x – x2 = x0 + zh – (x0 + 2h) = (z – 2)h

e, para x = x0 , z = 0; x = x1 , z = 1; x = x2 , z = 2;

Após essas mudanças, com dx = hdz :

dzzzhhxf

dzzzhxfdzzzhxf

IS

2

0

22

0

1

2

0

0 )1)((2

)()2)(()()2)(1(

2

)(

21

Regra de 1/3 de Simpson

Resolvendo as integrais, obtemos a Regra de 1/3 de Simpson:

2

0

x

x

210 xfxf4xf3

hdxxf )]()()([)(

)]()()([ 210s xfxf4xf3

hI

22

a) Pela Regra de 1/3 de Simpson:

IS= h/3 [f(x0) + 4f(x1) + f(x2)]

h= (x2 – x0)/2 = (3,6 – 3,0) = 0,6/2 = 0,3

f(x) = 1/x; f(x0) = 1/3,0; f(x1) = 1/3,3 e f(x2) = 1/3,6;

IS =0,3/3 (1/3 +4*(1/3,3) + (1/3,6) = 0,18232

b) Pelo Cálculo Integral:

Exercício: Estimar o valor de:

Pela Regra de 1/3 de Simpson (com dois intervalos) e comparar com o valor exato da integral.

Regra de 1/3 de Simpson

6,3

0,3x

dxI

6,3

0,3x

dxI = ln (x) = ln (3,6) – ln (3,0) = 0,18232

3,0

3,6

23

Regra de 1/3 de Simpson Repetida

Pela Regra de Simpson, foram necessários 3 pontos para a interpolação de Lagrange, o que significou a divisão do intervalo de integração em 2 subintervalos.

A Regra de Simpson Repetida consiste em subdividirmos o intervalo [a, b] em n subintervalos de amplitude h, onde n é um número par de subintervalos, pois cada parábola utilizará 03 pontos consecutivos.

24

Regra de 1/3 de Simpson Repetida

Aplica-se então a regra para cada 03 pontos, isto é, a cada 2 subintervalos obtendo:

2

1

2

22

0

)()()(m

k

x

x

x

x

b

a

k

k

m

dxxfdxxfdxxf

)()(4)(

)()(4)()()(4)(3

12

432210

mmm xfxfxf

xfxfxfxfxfxfh

SRm

mm

x

x

Ixfxfxf

xfxfxfxfxfh

dxxfm

)()()(2

)()()(4)()(3

)(

242

13100

...

...

...

25

Exemplo

Calcular usando a regra de Simpson,

usando 10 sub-intervalos.

5

1

dxx)ln(

x f(x) A Af(x)

1,00 0,0000 1 0,0000

1,40 0,3365 4 1,3459

1,80 0,5878 2 1,1756

2,20 0,7885 4 3,1538

2,60 0,9555 2 1,9110

3,00 1,0986 4 4,3944

3,40 1,2238 2 2,4476

3,80 1,3350 4 5,3400

4,20 1,4351 2 2,8702

4,60 1,5261 4 6,1042

5,00 1,6094 1 1,6094

30,3522xAf )(

4010

15h ,

4,047030,35223

40

xAf3

hdxxf

m

0

x

x

,

)()(

26

Exercício

Calcular usando a regra de

Simpson, para 2, 4 e 6 sub-intervalos.

3

0

x dx1xe )(