métodos numéricos computacionais integração numérica parte i

Métodos Numéricos Computacionais

Integração NuméricaParte I

2

Em determinadas situações, integrais são difíceis, ou mesmo impossíveis de se resolver analiticamente.

Exemplo: o valor de f(x) é conhecido apenas em alguns pontos, num intervalo [a, b]. Como não se conhece a expressão analítica de f(x), não é possível calcular

Forma de obtenção de uma aproximação para a integral de f(x) num intervalo [a, b] Métodos Numéricos.

b

a

dxxf )(

Integração Numérica

3

Idéia básica da integração numérica substituição da função f(x) por um polinômio que a aproxime razoavelmente no intervalo [a, b].

Integração numérica de uma função f(x) num intervalo [a,b] cálculo da área delimitada por essa função, recorrendo à interpolação polinomial, como, forma de obtenção de um polinômio – pn(x).


4

As fórmulas terão a expressão abaixo:

Fórmulas de integração (fórmulas de quadratura):

x0 , ... , xn - pontos conhecidos, pertencentes ao intervalo [a, b] (nós de integração).

A0 , ... , An - coeficientes a determinar, independentes da função f (x) (pesos).

n

iiin xfAfI

0)()(


5

O uso desta técnica decorre do fato de:

por vezes, f(x) ser uma função muito difícil de integrar, contrariamente a um polinômio;

conhecer-se o resultado analítico do integral, mas, seu cálculo é somente aproximado;

a única informação sobre f(x) ser um conjunto de pares ordenados.


6

Métodos de integração numérica mais utilizados

Fórmulas de Newton-Cotes Fechadas Regra dos Trapézios, x0=a e xn=b. Regra 1/3 de Simpson

Fórmulas de Newton-Cotes Abertas os xi têm de pertencer ao intervalo aberto de a até

b


7

Regra dos Trapézios Simples - consiste em considerar um polinômio de primeiro grau que aproxima uma função f(x), ou seja, n=1.

Este polinômio terá a forma y=a0 + a1x e trata-se da equação que une dois pontos: a=x0 e b=x1.

Regra dos Trapézios

8

Regra dos Trapézios Simples

Área do trapézio: A=h . (T+t) /2

h - altura do trapézio t - base menor T - base maiorDe acordo com a figura: h= b – a = x1 – x0 t = f(b) = f(x1) T = f(a) = f(x0)

Logo,

1

0

102

x

x

xfxfhdxxf )()()(

9

Intervalo [a, b] relativamente pequeno aproximação do valor do integral é aceitável.

Intervalo [a, b] de grande amplitude aproximação defasada. pode-se subdividi-lo em n sub-intervalos, e em cada um a

função é aproximada por uma função linear. A amplitude dos sub-intervalos será h=(b-a)/n . A integral no intervalo é dado pela soma dos integrais definidos

pelos sub-intervalos. Regra dos trapézios simples aplicada aos sub-intervalos. Uso da Regra dos Trapézios Composta (Repetida): soma

da área de n trapézios, cada qual definido pelo seu sub-intervalo.

Regra dos Trapézios Simples

10

Intervalo [a, b] de grande amplitude. Soma da área de n trapézios, cada qual definido

pelo seu sub-intervalo.

Regra dos Trapézios Composta

11

Fórmula:

Só os termos f(x0) e f(xn) não se repetem, assim, esta fórmula pode ser simplificada em:

)()(...

)()()()()(

NN

x

x

xfxfh

xfxfhxfxfhdxxfm

1

2110

2

220

Nx

xNN xfxfxfxfxfhdxxf

0

1210 22

)()(...)()()()(

Regra dos Trapézios Composta

12

Regra dos Trapézios Simples - 2 pontos (x0=0.0 e x1=4.0) I=y0+y1=2x(1.00000+0.24254) = 2.48508

Regra dos Trapézios Composta - 3 pontos (x0=0.0,x1 =2.0,x2 =4.0) I=y0+2y1+y2=1x(1.00000+2x0.44722+ 0.24254) = 2.1369

Regra dos Trapézios Composta - 9 pontos I=(0.5/2)x(y0+2y1+2y2+2y3+2y4+2y5+2y6+2y7+y8) =2.0936

x y=(1+x²)-1/2

0.0 1.00000 0.5 0.894451.0 0.707111.5 0.554752.0 0.447222.5 0.371383.0 0.316233.5 0.274734.0 0.24254A aproximação para 9 pontos é

melhor, dado que o valor real é 2.0947.

Exemplo: Estimar o valor de


4

0

2121 dxx /)(

13

Erro da Regra dos Trapézios simples

E(f)=I(f)-T(f)=I(f)-I(p1)=I(f-p1)

T(f) - valor da integral obtida pela regra dos trapézios.

I(f) - valor da integral obtida pela integração de f(x).


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Erro da Regra dos Trapézios simplesE( f ) = I ( f ) - T ( f ) = I ( f ) - I ( p1 ) = I ( f -

p1 )

Da fórmula do erro de interpolação temos f (x) - p1(x) = f [ a, b, x ] ( x - a ) ( x - b )

Como ( x - a ) ( x - b ) não muda de sinal no intervalo [a, b] pode-se aplicar o Teorema do Valor Médio para Integrais e obtém-se:

b[ ]a,ξ certo um para

))((,,,,

b

a

b

a

dxbxaxbafdxbxaxxbaf


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Erro da Regra dos Trapézios Simples Supondo que f é C2[a, b], obtém-se a fórmula do erro:

Erro da Regra dos Trapézios Composta

Aplicando o Teorema do Valor Médio à média das 2as derivadas, obtém-se:

b[ ]a, certo um para ),´´()´´()()(

fhfabfE1212

33

N

iii

N

iN f

NNhfhfE

1

3

1

3 11212

)´´()´´()(

1212

3

1

3 )´´()´´()( ii

N

iN

fNhfhfE


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Não é possível calcular exatamente ,visto que não se conhece o ponto . Quando for possível, calcula-se um limitante superior para o erro.

Tem-se:

Sendo f´(x) contínua em [a, b] então existe

Assim

)´´( if

12

3 )´´()( iN

fNhfE

)´´(],[

xfmáxMbax

2

122

3MNhETR


17

Exemplo: Seja ,

calcule uma aproximação para I usando a Regra dos Trapézios Simples. Estime o erro cometido.


1

0

dxeI x

8591411

21

101

1

0

01

0

,

dxeI

eedxeI

abh

x

x 1

0

102

x

x

xfxfhdxxf )()()(

18

Estimativa do erro cometido:


2265230121

10121

10

3

,

),( ,)(

][máx

:Portanto

x

,xTR

TR

eE

eE

x

,xee

][máx

10

1

19

Exemplo: Seja ,

calcule uma aproximação para I usando 10 subintervalos e a Regra dos Trapézios Composta. Estime o erro cometido.


1

0

dxeI x

7197131

2222210

1

0

9080201001

0

,

..., ,,,,

0,1h com lossubinterva 10 em ossubdividid [0,1]

dxeI

eeeeeedxeI

x

x

Nx

xNN xfxfxfxfxfhdxxf

0

1210 22

)()(...)()()()(

20

Estimativa do erro cometido:


00227012010

10121010

10

3

,,

),( ,),(

][máx

:Portanto

x

,xTR

TR

eE

eE

x

,xee

][máx

10

1

Regra 1/3 de Simpson

No caso da regra 1/3 de Simpson, o polinômio escolhido para aproximar a função é o polinômio de Lagrange de grau 2.

Temos:2

0

0 1 2( ) ( ( ) 4 ( ) ( ))3

b x

a x

hf x dx f x f x f x

Regra 1/3 de Simpson

No caso da regra 1/3 de Simpson, a integral é aproximada pela integral da curva de segundo grau que interpola a função nos valores a, (a+b)/2 e b.

Regra 1/3 de Simpson repetida

Como no caso da regra dos trapézios, para diminuir o erro cometido na aproximação da integral, podemos subdividir o intervalo inicial em n intervalos de mesmo comprimento. Para poder aplicar 1/3 de Simpson, a condição é que n seja par.

Temos: 0

1 3 1

2 4 2

( ) [ ( ) ( )3

4( ( ) ( ).. ( ))2( ( ) ( ) ... ( )

b

na

n

n

hf x dx f x f x

f x f x f xf x f x f x

Erros cometidos

O calculo de erro apóia-se sobre o erro conhecido dos polinômios de interpolação:

Grau 1:

Grau 2:1 0 1 0

"( )( ) ( )( ) , ( , )

2x

x nf

E x x x x x x x

2 0 1 2 0'''( )( ) ( )( )( ) , ( , )6

xx n

fE x x x x x x x x x

Erro cometido: caso grau 1

O erro cometido é a integral sobre o intervalo do erro cometido aproximando a função com o polinômio de grau 1:

Podemos mostrar que:

1

0

0 1 0"( )( )( ) , ( , )2

xx

T x nx

fE x x x x dx x x

0 1

3

2 2 [ , ]; max "( )

12T x x x

hE m m f x


No caso da regra dos trapézios repetida, temos:

3

2 2 [ , ]; max "( )

12TR x a b

h b aE m M M f x emh


No caso da regra de Simpson, podemos mostrar que:

Que no caso repetido, da um erro:0 2

5( )

4 4 [ , ]; max ( )

90iv

S x x x

hE m m f x

5( )

4 4 [ , ]; max ( )

180iv

SR x a b

h b aE m M M f x emh

Exercícios28

1-

2-

métodos numéricos computacionais integração numérica parte i

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