conhecimentos numéricos-

Relações de Dependência

entre Grandezas

Guilherme Melo

Relações de Dependência entre Grandezas

• Na natureza encontramos inúmeros

exemplos de grandezas variáveis inter-

relacionadas.

– Chuva/umidade;

– Sol/calor;

– Arborização/temperatura.

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 2


• A relação de dependência entre

grandezas, isto é, a variação de uma

conforme as mudanças sofridas pela

outra, é um fenômeno que pode ser

observado e, muitas vezes, traduzido

através do estabelecimento de uma lei

matemática que rege a referida relação.



• Muitas grandezas variam na dependência de

outras, e é muito difícil, às vezes impossível,

garantir que determinada grandeza varie

independentemente de qualquer outra.

• Alguma grandeza varia independentemente?


NÃO, TODAS AS GRANDEZES ESTÃO RELACIONADAS DE ALGUMA FORMA!


• Para estabelecer uma relação, a dificuldade, muitas vezes, reside em selecionar a variável que se deseja estudar na dependência de qual outra.

• Quando esta questão está clara e decidida, dizemos que a primeira grandeza varia em função da segunda grandeza.



• Chuva – umidade;

• Estudar – Tirar boas notas ;

• Prestar atenção – aprender;



• Estudar a variação de uma grandeza em

função da variação de outra tem-se

mostrado uma ideia tão importante que,

em diferentes campos

do conhecimento, percebemos a

constante busca de novas

correspondências, com o estabelecimento

das mais variadas dependências.



• Pode acontecer que uma grandeza varie

na dependência de apenas uma, ou de

várias outras, sendo difícil isolar uma

única variável independente.

• Chuva – enchentes - temperatura –

umidade – vegetação...



• Exemplo


O Manual de Instruções - Digital Blood Pressure Meter UA-701

Tarde e Noite Manhã TEMPO

Pre

ssão

San

guín

ea

(mm

Hg)

Sono


• No gráfico anterior observa-se a relação entre a pressão sanguínea e as horas do dia.

• Com o passar das horas desenvolvemos atividades diferentes, isso reflete de forma direta na mudança da pressão sanguínea.

• Observe também que durante o período da manhã, a pressão não apresenta grandes variações.



• Resumindo, a relação de dependência

entre grandezas nada mais é do que uma:


FUNÇÃO

Introdução a Funções

• Na matemática, o conceito de função é inteiramente ligado às questões de dependência entre duas grandezas variáveis.

• Toda relação possui uma lei de formação algébrica que relaciona dois ou mais conjuntos através de cálculos matemáticos.



• Uma função 𝑓 de 𝐴 em 𝐵 , onde os elementos de 𝐵 são iguais ao quadrado dos elementos em 𝐴, pode ser definida por:

𝑓: 𝐴 → 𝐵, 𝑓 𝑥 = 𝑥2

Ou

𝑓: 𝐴 → 𝐵, 𝑦 = 𝑥2



• Veja também que representamos 𝒇(𝒙) ou

𝒚 em função de 𝒙. A variável 𝒇(𝒙) ou 𝒚 é

chamada de variável dependente, pois

depende de 𝒙, já a variável 𝒙 é chamada

de variável independente, pois

independentemente de 𝒚, pode

representar qualquer elemento

do domínio.



• Pode-se estabelecer uma relação de

dependência entre o preço do litro de um

combustível e a quantidade de litros

usados no abastecimento de um carro.

Suponhamos que o preço do litro de

gasolina seja R$2,50, dessa forma,

podemos determinar a seguinte

função 𝒚 = 𝟐, 𝟓𝒙.



• O que essa função determina? Em

relação a que tem-se essa determinação?

• 𝒚 = 𝟐, 𝟓𝒙.

• Determina o preço a pagar 𝒚 em

decorrência da quantidade de litros

abastecidos 𝒙.



• Aplicando valores, tem-se:


𝒙(𝑙) 𝒚 = 2, 𝟓𝑥 (𝑅$) 𝒚 (𝑅$)

1 𝑦 = 2,5 . 1 2,5

2 𝑦 = 2,5 . 2 5,00

3 𝑦 = 2,5 . 3 7,50

4 𝑦 = 2,5 . 4 10,00

5 𝑦 = 2,5 . 5 12,50

6 𝑦 = 2,5 . 6 15,00

7 𝑦 = 2,5 . 7 17,50


• As funções possuem grande

aplicabilidade nas situações em geral

relacionadas ao ensino da Matemática.

• Utilizamos funções na Administração, na

Economia, na Física, na Química, na

Engenharia, nas Finanças, entre outras

áreas do conhecimento.



• Exemplo 1

• Uma indústria de brinquedos possui um

custo mensal de produção equivalente a

R$5.000,00 mais R$3,00 reais por

brinquedo produzido. Determine a lei de

formação dessa função e o valor do custo

na produção de 2.000 peças.



• A lei de formação será formada por uma parte fixa e outra variável. Observe:

C = 5000 + 3p, onde C é custo da produção e p é o número de brinquedos produzidos.

Como serão produzidos 2.000 brinquedos temos:

C = 5000 + 3 x 2000 C = 5000 + 6000 C = 11.000

• O custo na produção de 2.000 brinquedos será de R$11.000,00.



• No século XIV, Oresme - teólogo e

matemático francês - tem a brilhante ideia

de traçar uma figura ou gráfico das

grandezas que variam. Esta foi, talvez, a

primeira sugestão do que hoje é chamado

de representação gráfica de uma função.


../../Apl1-pré-enem.ggb


• Exemplo 2

• Em uma corrida de táxi é cobrada uma taxa fixa de R$3,00 mais R$2,50 por quilômetro rodado.

A) Qual a fórmula matemática dessa relação?

B) Se um passageiro percorrer 10km, qual o valor que ele deve pagar?

C) Se um passageiro pagou R$23,00 numa corrida, quantos quilômetros o táxi percorreu?



• Resposta

A) Com base nos dados fornecidos no problema, monta-se a equação:

𝑦 = 3,00 + 2,5𝑥

Onde 𝑦 é o valor a ser pago e 𝑥 é a quantidade de quilômetros rodados.



• Resposta

B) A partir da equação: 𝑦 = 3,00 + 2,5𝑥

Para 𝑥 = 10𝑘𝑚, tem-se:

𝑦 = 3,00 + 2,5 . 10

𝑦 = 3,00 + 25,00

𝑦 = 28,00𝑅$



• Resposta

C) Neste caso, temos o valor de 𝑦 , logo, basta substituirmos na equação encontrada na letra A.

23,00 = 3,00 + 2,5𝑥

2,5𝑥 = 23,00 − 3,00

2,5𝑥 = 20,00

𝑥 =20,00

2,50= 8𝑘𝑚



• Dizemos que para toda função temos um

conjunto denominado domínio e sua

respectiva imagem.


Domínio Imagem


• Domínio e imagem de uma função.

• Com os conjuntos A={1, 4, 7} e B={1, 4, 6, 7, 8, 9, 12} criamos a

função f: A B, definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 5 que também pode ser

representada por 𝑦 = 𝑥 + 5 . A representação desta função,

utilizando conjuntos, é:


1 1 4

4 8

7

12

7

9 6

A B


• O conjunto A é o conjunto de saída e o B é o conjunto de

chegada (ignore o conjunto azul por enquanto).

• Domínio é um sinônimo para conjunto de saída, ou seja,

para esta função o domínio é o próprio conjunto A = {1, 4, 7}.


1 1 4

4 8

7

12

7

9 6

A B


• Como, em uma função, o conjunto de saída (domínio)

deve ter todos os seus elementos relacionados, sendo

assim, não precisamos ter subdivisões para o

domínio.

• O domínio de uma função também é chamado

de campo de definição ou campo de existência da

função, e é representado pela letra "D".

O conjunto de chegada "B", também possui um

sinônimo, é chamado de contradomínio.



• Note que podemos fazer uma subdivisão dentro do

contradomínio (conjunto azul da figura). Podemos ter

elementos do contradomínio que não são relacionados

com algum elemento do Domínio e outros que são. Por

isso, devemos levar em consideração esta subdivisão

(esta é até mais importante do que o próprio

contradomínio).


1 1 4

4 8

7

12

7

9 6

A B


• Este subconjunto é chamado de conjunto imagem, e é

composto por todos os elementos em que as flechas de

relacionamento chegam.

• O conjunto Imagem é representado por "Im", e cada ponto

que a flecha chega é chamado de imagem.


1 1 4

4 8

7

12

7

9 6

A B


• Obs.: Note que existe uma diferença entre imagem e conjunto imagem, o primeiro é um ponto em que a flecha de relacionamento toca, e o segundo é o conjunto de todos elementos que as flechas tocam.

• No nosso exemplo, o domínio é D = {1, 4, 7}, o contradomínio é = {1, 4, 6, 7, 8, 9, 12} e o conjunto imagem é Im = {6, 9, 12} e:

a imagem do ponto x = 1 é y = 6, indicado por f(1) = 6;

a imagem do ponto x = 4 é y = 9, indicado por f(4) = 9;

a imagem do ponto x = 7 é y = 12, indicado por f(7) = 12.



• Exemplo 3

• Dados os conjuntos 𝐴 = *4; 2; 3; 1; 6; 7+ e

𝐵 = 5,3,21,13,9,6,7,1,18,25 . Represente

utilizando diagramas: o conjunto do

domínio, do contradomínio e das imagens,

sendo 𝑓(𝑥) = 4𝑥 − 3.



• Exemplo 3

• Primeiramente, constrói-se a tabela com os domínios e suas respectivas imagens, utilizando a função abaixo:

𝑓(𝑥) = 4𝑥 − 3


𝑥 𝑓(𝑥)

4 13

2 5

3 9

1 1

6 21

7 25


• Resposta - Exemplo 3


4

3

2

1

6

7

5 13

21 7

18

25

9

3

1 6

Domínio

Imagem

Contradomínio

EXERCÍCIOS

1) Um botijão de gás de cozinha completamente cheio contém 13kg de gás. Na casa de Elvira consome-se, em média, 0,6kg do gás desse botijão por dia.

• A) Que fórmula relaciona a massa de gás restante no botijão e o tempo decorrido?

• B) Que massa de gás resta nesse botijão após 1 dia, 2 dias, 4 dias e 15 dias de uso?

• C) Quantos dias terão decorridos quando restar 1kg de gás no botijão?

• D) Esse botijão pode ser usado durante 1 mês? Porquê?


EXERCÍCIOS

• Resposta – Exercício 1

A) Que fórmula relaciona a massa de gás restante no botijão e o tempo decorrido?

Pelas informações dadas no problema, a fórmula que relaciona a massa de gás restante no botijão e o tempo decorrido é 𝑓(𝑥) = 13 − 0,6𝑥 , onde 𝑥 representa o tempo em dias e 𝑓(𝑥) a massa de gás que resta no botijão de gás, com o passar dos dias.

Perceba que quando 𝑥 = 0, a massa inicial de gás é de 13kg, como informa o problema. Além disso, verifica-se que para cada unidade de 𝑥, tem-se um decréscimo de 0,6 unidades de 𝑓(𝑥).

𝑓(𝑥) = 13 − 0,6𝑥


EXERCÍCIOS


B)Que massa de gás resta nesse botijão após 1 dia, 2 dias, 4 dias e 15 dias de uso?

𝑓(𝑥) = 13 − 0,6𝑥

1 dia : 𝑓 𝑥 = 13 − 0,6 . 1 = 12,4𝑘𝑔

2 dias:𝑓 𝑥 = 13 − 0,6 . 2 = 11,8𝑘𝑔

4 dias: 𝑓 𝑥 = 13 − 0,6 . 4 = 10,6𝑘𝑔

15 dias:𝑓 𝑥 = 13 − 0,6 . 15 = 4𝑘𝑔


EXERCÍCIOS


C) Quantos dias terão decorridos quando restar 1kg de gás no botijão?

𝑓(𝑥) = 13 − 0,6𝑥

Restando 1kg, nosso 𝑓(𝑥) = 1.

1 = 13 − 0,6𝑥 ⇒ 0,6𝑥 = 13 − 1 ⇒ 𝑥 = 12

0,6

𝑥 = 20 𝑑𝑖𝑎𝑠


EXERCÍCIOS


D) Esse botijão de gás pode ser usado durante 1

mês? Porquê?

𝑓(𝑥) = 13 − 0,6𝑥

Faremos 𝑓(𝑥) = 0 𝑘𝑔. Com isso, veremos a quantidade máxima

de dias que ele pode durar, ou seja, o tempo que leva para o

botijão de gás secar.

0 = 13 − 0,6𝑥 ⇒ 0,6𝑥 = 13 ⇒ 𝑥 =13

0,6 𝑥 = 21,66 𝑑𝑖𝑎𝑠


EXERCÍCIOS


D) Esse botijão pode ser usado durante 1 mês?

Porquê?

Encontramos que para essa situação, 𝑥 = 21,66 𝑑𝑖𝑎𝑠.

Com isso, conclui-se que o botijão NÃO pode ser usado

durante 1 mês (30 dias), pois, ele dura um pouco mais de

21 dias.


QUESTÃO 146 – ENEM 2009

• Uma pousada oferece pacotes promocionais para atrair casais a se hospedarem por até oito dias. A hospedagem seria em apartamento de luxo e, nos três primeiros dias, a diária custaria R$150,00, preço da diária fora da promoção. Nos três dias seguintes, seria aplicada uma redução no valor da diária, cuja taxa média de variação, a cada dia, seria de R$20,00. Nos dois dias restantes, seria mantido o preço do sexto dia. Nessas condições, um modelo para a promoção idealizada é apresentado no gráfico a seguir, no qual o valor da diária é função do tempo medido em número de dias.




Valor diário


De acordo com os dados e com o modelo, comparando o

preço que um casal pagaria pela hospedagem por sete

dias fora da promoção, um casal que adquirir o pacote

promocional por oito dias fará uma economia de:

A) R$ 90,00.

B) R$ 110,00.

C) R$ 130,00.

D) R$ 150,00.

E) R$ 170,00.


EXERCÍCIOS


Analisando a despesa do casal que não aderiu a promoção

𝑓 𝑥 = 150,00𝑥

Para 7 dias, tem-se:

𝑓 𝑥 = 150,00.7 = 1.050,00

Logo, o casal pagaria 𝑅$ 1.050,00.


EXERCÍCIOS


Analisando a despesa do casal que aderiu a promoção.

3 primeiros dias: 150,00 . 3 = 450,00 R$

4° dia : 150,00 − 20,00 = 130,00 𝑅$

5 ° dia: 130,00 − 20,00 = 110,00 𝑅$

6 ° dia: 110,00 − 20,00 = 90,00 𝑅$

7 ° dia: 90,00 𝑅$

8 ° dia: 90,00 𝑅$

Somando os valores, obtém-se :

450,00 + 130,00 + 110,00 + 90,00 + 90,00 + 90,00 = 960,00 𝑅$


EXERCÍCIOS


Comparando os dois valores:

Casal sem promoção (7 dias ) = 1.050,00 𝑅$

Casal com promoção (8 dias) = 960,00 𝑅$

Logo, 1.050,00 – 960,00 = 90,00 𝑅$.



De acordo com os dados e com o modelo, comparando o

preço que um casal pagaria pela hospedagem por sete

dias fora da promoção, um casal que adquirir o pacote

promocional por oito dias fará uma economia de:

A) R$ 90,00.

B) R$ 110,00.

C) R$ 130,00.

D) R$ 150,00.

E) R$ 170,00.


A economia será de 𝑅$ 90,00

QUESTÃO 159 –ENEM 2009

Um experimento consiste em

colocar certa quantidade de bolas

de vidro idênticas em um recipiente

com água até certo nível e medir o

nível da água, conforme ilustrado na

figura ao lado. Como resultado do

experimento, concluiu-se que o

nível da água é função do número

de bolas de vidro que são colocadas

dentro do recipiente.



O quadro a seguir mostra alguns resultados do experimento realizado.

Qual a expressão algébrica que permite calcular o nível da água (y) em função do número de bolas (x)?

A) y = 30x

B) y = 25x + 20,2

C) y = 1,27x

D) y = 0,7x

E) y = 0,07x + 6


EXERCÍCIOS


Sabendo que a expressão algébrica que queremos

encontrar é do primeiro grau, tem-se: 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑦 .

Atribuindo os valores tabelados, obtemos:

5𝑎 + 𝑏 = 6,35

10𝑎 + 𝑏 = 6,7

15𝑎 + 𝑏 = 7,05


EXERCÍCIOS


Primeiramente, iremos somar as duas primeiras equações e multiplicar a terceira por menos dois. Observem que as equações obtidas terão dois valores que podem ser determinados!

5𝑎 + 𝑏 = 6,35

10𝑎 + 𝑏 = 6,7

15𝑎 + 2𝑏 = 13,05


+ 15𝑎 + 𝑏 = 7,05 x (–2) −30𝑎 − 2𝑏 = − 14,01

EXERCÍCIOS


Agora podemos somar as equações obtidas e

eliminar a variável 𝑏.


15𝑎 + 2𝑏 = 13,05 −30𝑎 − 2𝑏 = − 14,01

−15𝑎 = −1,05

+

𝑎 =−1,05

−15= 0,07 ⇒

EXERCÍCIOS


Podemos substituir o valor de 𝑎 em qualquer uma

das 3 equações e encontrar o valor de 𝑏.

Escolhendo a primeira equação, tem-se:

5𝑎 + 𝑏 = 6,35 ⇒ 5.0,07 + 𝑏 = 6,35 ⇒ 𝑏 = 6,35 − 0,35 ⇒ 𝑏 = 6


𝑎 = 0,07

EXERCÍCIOS


Com os valores de 𝑎 e 𝑏 , montamos nossa

equação do primeiro grau.


𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏

𝑦 = 0,07𝑥 + 6


O quadro a seguir mostra alguns resultados do experimento realizado.

Qual a expressão algébrica que permite calcular o nível da água (y) em função do número de bolas (x)?

A) y = 30x

B) y = 25x + 20,2

C) y = 1,27x

D) y = 0,7x

E) y = 0,07x + 6


𝑦 = 0,07𝑥 + 6

Referências

• ORESTES. Exercícios Pré-ENEM - Competência 4.

Disponível em:

<http://www.pensevestibular.com.br/enem/exercicios-do-

enem-competencia-4>. Acesso em:15 maio 2012.

• NOÉ, Marcos. Introdução à Função. Disponível em:

http://www.brasilescola.com/matematica/introducao-

funcao.htm. Acesso em 15 maio 2012.

• BONJORNO, J. R.; BONJORNO, R. A.; OLIVARES, Ayrton.

Matemática: Fazendo a diferença. São Paulo: FTD, 2006.


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