UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRODEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUMICA MESTRADO EM ENGENHARIA QUMICAINSTITUTO DE TECNOLOGIA

SOLUO NUMRICA DE SISTEMAS DE EQUAES ALGBRICAS LINEARES E EQUAES ALGBRICAS NO-LINEARES

Seropdica, RJ2015

UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRODEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUMICA MESTRADO EM ENGENHARIA QUMICAINSTITUTO DE TECNOLOGIA

Trabalho apresentado disciplina Mtodos Matemticos Aplicados, do curso de Ps-graduao em Engenharia Qumica da Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro, como recurso parcial para obteno de nota.Profa. Mrcia VegaDiscente: Frederico Martins Costa

Seropdica, RJ20151 METODOLIGA

Este trabalho trata-se de uma pesquisa cientifica, com base na engenharia qumica, em artigos que apresentam sistemas de equaes algbricas lineares, equaes e sistemas algbricos no-lineares, e equao diferencial ordinria. Atravs do software Matlab, 2013, implementou-se algoritmos para os mtodos de solues Cramer, Eliminao Gaussiana, Gauss-Saidel e Gauss-Jordan para os sistemas de equaes algbricas lineares, Bisseo, Newton-Raphson, Secante e Regula-Falsi para a equao algbrica no-linear, Newton Raphson para sistemas de equaes no lineares e mtodo de Range kutta de quarta ordem e mtodo de Euler para equaes diferenciais ordinrias.

2 REVISO DA LITERATURA

2.1 Sistemas de Equaes Algbricas Lineares

A soluo de modelos matemticos associados a grande maioria dos problemas de engenharia requer a utilizao de mtodos computacionais eficientes para efetuar as mais diversas operaes matriciais. Em larga escala, esta universalidade se deve ao fato de praticamente todos os mtodos numricos utilizados para a soluo de equaes diferenciais ordinrias ou parciais encontrados atualmente na literatura envolverem, em algum momento, a soluo de um sistema algbrico e linear de equaes (GILAT; SUBRAMANIAM, 2008).Um sistema algbrico linear (com m equaes e n incgnitas) com coeficientes num corpo K da forma,

onde aij e bi (com i= 1,2,......,m e j= 1,2,.....n) so escalares (i.e. so elementos de K) e representa-se abreviadamente por Ax = b.2.1.1 Mtodos de solues

2.1.1.1 Mtodo de Cramer

A regra de Cramer um teorema, que d a soluo de um sistema de equaes lineares em termos de determinantes. Se A x = b um sistema de equaes (A a matriz de coeficientes do sistema, x o vetor coluna das incgnitas e b o vetor coluna dos termos independentes (PINTO; LAGE P, 1997).

Ento a soluo ao sistema se apresenta assim:

Em que Aj a matriz que se obtm da matriz A substituindo a coluna j pela coluna dos termos independentes b.

Sejam:

Usando as propriedades da multiplicao de matrizes:

Ento

2.1.1.2. Mtodo da Eliminao Gaussiana

O mtodo de eliminao de Gauss um procedimento usado para resolver sistemas de equaes lineares, descrito em forma de algoritmo, que visa transformar uma matriz arbitrria numa matriz em escada de linhas, atravs de operaes elementares, um sistema de equaes genrico manipulado at apresentar a forma triangular, que ento resolvida com o emprego da substituio mediante trocas de linhas e adies de mltiplos de certas linhas a outras linhas (GILAT; SUBRAMANIAM, 2008).

Considere o sistema dado, apresentada na forma de matriz aumentada

onde i,j = 1,2....n., aij(1) = aij e bij(1) = bi para a11(1) 0 e det (A1) 0

Atravs dos passos de eliminao apresentados nas referncias deste trabalho, ontem a matriz triangular.

2.1.1.3. Mtodo de Gauss-Seidel

O mtodo de Gauss-Seidel um mtodo iterativo para resoluo de sistemas de equaes lineares. semelhante ao mtodo de Jacobi (e como tal, obedece ao mesmo critrio de convergncia). condio suficiente de convergncia que a matriz seja estritamente diagonal dominante, fica garantida a convergncia da sucesso de valores gerados para a soluo exata do sistema linear (GILAT; SUBRAMANIAM, 2008).

Procuramos a soluo do conjunto de equaes lineares, expressadas em termos de matriz como a interao Gauss-Seidel :

onde A = D + L + U, as matrizes D, L e U, representam respectivamente os coeficientes da matriz: a diagonal, triangular estritamente inferior, e triangular estritamente superior; e o contador da iterao. Esta expresso matricial utilizada principalmente para analisar o mtodo. Quando implementada, Gauss-Seidel, uma aproximao explcita de entrada por entrada utilizada:

2.1.1.4. Mtodo de Gauss-Jordan

O mtodo de Gauss-Jordan um procedimento utilizado para resolver sistemas de equaes lineares na forma A x = b. Nesse procedimento, um sistema de equaes fornecido na forma geral manipulado at que se obtenha um sistema equivalente na forma diagonal, com elementos normalizados. Isso significa que a forma diagonal da matriz de coeficientes [A] reduzida matriz identidade, o novo vetor [b] a soluo. O ponto de partida do procedimento um sistema de equaes genrico (GILAT; SUBRAMANIAM, 2008).Exemplo:

Observe que o sistema correspondente matriz ampliada R fornece a soluo de imediato:

2.2 Equaes ou Sistemas Algbricos No-Lineares

O processo de soluo numrica de uma equao algbrica no-linear, bem como sistemas de equaes algbricas no-lineares baseia-se no princpio da sobreposio de efeitos (GILAT; SUBRAMANIAM, 2008). Para tanto, os sistemas no-lineares criam novas freqncias em regime permanente, ou seja, o sinal de sada pode apresentar freqncias que no esto presentes no sinal de entrada. Neste trabalho, foram implementados os seguintes mtodos: Bisseo, Newton-Raphson, Secante e Reguala-Falsi .

Exemplo: equao diferencial linear ordinria de 2a ordem

,

2.2.1. Mtodo da Bisseo

O mtodo da bisseo um mtodo de confinamento usado para se obter a soluo de uma equao na forma f(x) = 0 quando se sabe que, dentro de um dado intervalo [a, b], f(x) contnuo e a equao possui uma soluo. Quando esse o caso, f(x) tem sinais opostos nos pontos finais do intervalo (PINTO e LAGE P, 1997).

2.2.2. Mtodo de Newton-Paphson

Em anlise numrica, o mtodo de Newton-Raphson tem o objetivo de estimar as razes de uma funo. Para isso, toma-se um ponto qualquer do domnio da funo, calcula-se a equao da tangente (derivada) da funo nesse ponto, calcula-se o intercepto da tangente ao eixo das abscissas a fim de encontrar um novo ponto do domnio da funo e repete-se o processo, que deve tender a uma das razes da funo rapidamente, ou no tender a nada, deixando isso claro. Em notao matemtica representa-se desta forma:

onde n indica a n-sima iterao do algoritmo e f(xn) a derivada da funo f em xn. Para que se obtenha sucesso na iterao deve-se primeiramente delimitar um intervalo, a fim de escolher um valor estimado inicial adequado, para que a convergncia de (xn) seja propcia. Para tanto existem apenas quatro condies a serem satisfeitas:

O intervalo delimitado deve conter a raiz de f; A funo f deve ser diferencivel em todo o intervalo; A primeira derivada no intervalo no deve trocar de sinal; A segunda derivada no intervalo no deve trocar de sinal.

Uma vez delimitado um intervalo que cumpra tais exigncias, escolhe-se para o valor-inicial o ponto mais esquerda se o produto da primeira pela segunda derivada for negativo, ou escolhe-se o ponto mais direita se ocorrer o contrrio, se o produto for positivo (GILAT; SUBRAMANIAM, 2008).

Figura 1 : Representao geomtrica do mtodo de Newton-Raphson

2.2.3. Mtodo da Secante

O mtodo da secante um esquema usado para se obter a soluo numrica de uma equao na forma f(xk) = 0. O mtodo usa dois pontos na vizinhana da soluo para determinar a nova soluo estimada. Os dois pontos (xk e xk-1) so usados para definir uma linha reta (reta secante), e o ponto onde essa reta intercepta uma nova soluo estimada.

Figura 2 : Representao geomtrica do mtodo da secante2.2.4 Mtodo Regula-Falsi

O mtodo Regula Falsi, uma variao do mtodo da secante. Ele consiste em tomar duas aproximaes iniciais x0 e x1, tais que f(x0) e f(x1) tenham sinais opostos, isto , uma nova aproximao determinada usando o mtodo das secantes, ou seja:

Se

Para um pr-fixado, ento x2 a raiz procurada. Caso contrrio, calculamos f(x2) e escolhemos entre x0 e x1 aquele cuja f tenha sinal oposto ao do f(x2). Com x2 e esse ponto calculamos x3 usando a frmula das secantes. O processo interativo deve ser contnuo at que se obtenha a raiz com a previso pr-fixada.

Uma interpretao geomtrica do mtodo regula falsi dada na Figura abaixo

Figura 3 : Representao geomtrica do mtodo regula-falsi

2.3. Equao diferencial ordinria 2.3.1. Mtodo de Euler

Segundo GILAT e SUBRAMANIAM (2008), o mtodo de Euler a mais simples tcnica de soluo de EDO de primeira ordem, podendo ser formulado de forma explicita ou implicitamente. A forma do mtodo implcito de Euler igual forma do mtodo implcito, exceto pelo fato de, para uma pequena distncia h na vizinhana (xi, yi), a inclinao da funo y(x) ser tomada como uma constante igual inclinao no ponto final do intervalo.

Por exemplo: Seja a soluo de uma equao diferencial do tipo:

com valor inicial

A soluo desta equao resulta numa funo

como mostrado a Figura 2:

Figura 2: Representao grfica do mtodo de Euler simples

A partir da equao diferencial h = x1 + x0, pode-se observar que a derivada da funo y(x) em um ponto qualquer x dada por f(x,y). Conhecendo-se a derivada da funo y(x) no ponto x0, ou seja [ f(x0,y0) ], pode-se estimar o valor da funo y(x) no ponto x1por meio de relaes trigonomtricas (Figura 3), (PINTO e LAGE, 1997).

Figura 3: Tringulo representativo

Esta relao pode ser generalizada para um ponto i qualquer, resultando na forma de recorrncia para soluo de equaes diferenciais pelo mtodo de Euler:

2.3.2. Mtodo de Runge-Kutta

Segundo PINTO e LAGE (1997), o mtodo de Runge-Kutta compem uma famlia de tcnicas numricas explcitas de passos simples usadas na soluo de EDOs de primeira ordem. O mtodo de Runge-Kutta determinado a partir da srie de Taylor e sua expresso de recorrncia dada por:

onde (xi, yi, h) chamado de funo incremento e pode ser interpretada como uma inclinao mdia sobre o intervalo.

Genericamente:

2.3.2.1. Mtodo de Runge-Kutta de Segunda Ordem

A forma geral do mtodo de Runge-Kutta de segunda ordem

yi+1= yi + (c1k1+c2k2)hcom k1= f (xi, yi)k2= f (xi + a2h, yi + b21k1h)

onde c1, c2, a2 e b21 so constantes. Os valores dessas constantes variam com o mtodo de segunda ordem especfico.

2.3.2.1. Mtodo de Runge-Kutta de Quarta Ordem

A forma geral dos mtodos de Runge-Kutta de quarta ordem :

O mtodo de Runge-Kutta de quarta ordem est entre os mtodos mais comumente utilizados.

3 RESULTADOS E DISCUSSES

A soluo de modelos matemticos associados a engenharia qumica requer a utilizao de mtodos computacionais para auxiliar na obteno dos resultados cientficos. Dessa forma, a gerao de trabalhos de carter terico e experimental aproxima os discentes da vida acadmica e cientfica.

3.1. Sistemas de equaes algbricas lineares

O sistema de equaes algbricas lineares foi obtido do artigo A novel multivariate linear prediction model for the marine rotay desiccant air-conditioning by adding a dynamic correction fator. E com base no mtodo de anlise de regresso linear mltipla, este artigo apresentou um modelo de predio simples e de alta preciso, adicionando um fator de correco dinmica.Realizou-se uma programao com implementao de algoritmos para os mtodos de solues de sistemas de equaes algbricas lineares:

Mtodo de Cramer

% Resoluo pelo Mtodo de Cramer%%Sistema:%%Eq1=-0,011*RT+1,67*RH+0,0868*DT=2,91%Eq2=0,0971*RT+7,205*RH+0,2087*DT=22,82%Eq3=0,0263*RT+7,1483*RH+0,03911*DT=21.19%*********************************************************************%Resoluo de Ax=B%Matriz AxA=[-0.011 1.67 0.0868; 0.0971 7.205 0.2087; 0.0263 7.1483 0.3911]%Matriz BB=[2.91; 22.82; 21.19]A1=A;A1(:,1)=B;A2=A;A2(:,2)=B;A3=A;A3(:,3)=B;

A1A2A%X1DT=det(A1)/det(A);%x2DH=det(A2)/det(A);%x3RT=det(A3)/det(A);%Soluo: x=[x1, x2, x3]%disp('Portanto, o vetor soluo :');x=[DT DH RT]

Eliminao Gaussiana%Eliminao de Gauus%A=[-0.011 1.67 0.0868; 0.0971 7.205 0.2087; 0.0263 7.1483 0.3911];% Vetor b %b=[2.91; 22.82; 21.19];AA=[-0.011 1.67 0.0868 2.91; 0.0971 7.205 0.2087 22.82; 0.0263 7.1483 0.3911 21.19]%Forma geral A=[a11 a12 a13 a14; %a21 a22 a23 a24; %a31 a32 a33 a34; %Nova linha 2 - pivo a11AA(2,:)=AA(2,:)-AA(1,:)*(AA(2,1)/AA(1,1));AA(3,:)=AA(3,:)-AA(1,:)*(AA(3,1)/AA(1,1));%Novo pivo- a22- nova linha 3AA(3,:)=AA(3,:)-AA(2,:)*AA(3,2)/AA(2,2);AADT=AA(3,4)/AA(3,3)RH=(AA(2,4)-AA(2,3)*DT)/AA(2,2)RT=AA(1,4)-(AA(1,3)*DT)-(AA(1,2)*RH)/AA(1,1)disp('Portanto, o vetor soluo :');b=[RT RH DT]

Gauss-Seidel%Metodo de Gauss Seidel:

clear allclc% OBS: A matriz A deve ser 'Diagonal Dominante'% Estimativa Inicialx0=[90;0.4;25];% Matriz A (Coeficientes)

A=[-0.011 1.67 0.0868; 0.0971 7.205 0.2087; 0.0263 7.1483 0.3911];% Vetor b (Termos Independentes)b=[2.91; 22.82; 21.19];% Criterio de Parada: Tolerancia Permitida (0.00001)tol=1.e-4;erro=1;% Calculo do Numero de Linhas e de Colunas de x[nl,nc]=size(A);% Dedinio dos Parametros e Valores Iniciais de xx_k=x0; % Vetor x(soluo) na iterao kx_k1=x0; % Vetor x (soluo) na iterao k+1% Iteraoiter=1;% Variaveis Auxiliaressomatorio=0;while erro>tol %Criterio de Parada for i=1:nl for j=1:nc if i~=j somatorio=somatorio+(A(i,j)*x_k1(j,1)); end end x_k1(i,1)=(b(i,1)/A(i,i))-(somatorio/A(i,i)); somatorio=0; end teste=abs(x_k1-x_k); erro=max(teste); x_k=x_k1; % Atualiza a estimativa de x para a proxima iterao resp(iter,:)=[iter,x_k',erro]; % Vetor resposta iter=iter+1; % Proxima iteraoenddisp(' Iterao x1 x2 x3 erro');disp(resp);disp(' ')disp('Vetor Soluo:')disp(x_k);

Gauss-Jordan%Eliminao de Gauus%A=[-0.011 1.67 0.0868; 0.0971 7.205 0.2087; 0.0263 7.1483 0.3911];% Vetor b %b=[2.91; 22.82; 21.19];AA=[-0.011 1.67 0.0868 2.91; 0.0971 7.205 0.2087 22.82; 0.0263 7.1483 0.3911 21.19]%Forma geral A=[a11 a12 a13 a14; %a21 a22 a23 a24; %a31 a32 a33 a34; %IGUAL A ELIMINAO DE GAUUS%Nova linha 2 - pivo a11AA(2,:)=AA(2,:)-AA(1,:)*(AA(2,1)/AA(1,1));AA(3,:)=AA(3,:)-AA(1,:)*(AA(3,1)/AA(1,1));AA

%Novo pivo- a22- nova linha 3AA(3,:)=AA(3,:)-AA(2,:)*AA(3,2)/AA(2,2);AA

%PARA ZERAR A CIMA DA DIAGONAL SUPERIOR%%Nova linha 2 - pivo a33AA(2,:)=AA(2,:)-AA(3,:)*(AA(2,3)/AA(3,3));AA(1,:)=AA(1,:)-AA(3,:)*(AA(1,3)/AA(3,3));AA

%%Nova linha 1 - pivo a22AA(1,:)=AA(1,:)-AA(2,:)*(AA(1,2)/AA(2,2));%MATRIZ IDENTIDADEAA(3,:)=AA(3,:)/AA(3,3);AA(2,:)=AA(2,:)/AA(2,2);AA(1,:)=AA(1,:)/AA(1,1);AA

3.2. Mtodos de solues para equaes algbricas no-lineares

A equao algbrica no-linear foi obtida do artigo Aplication of mass baleance of kick fluid in well control.

Soluo de Equaes Algbricas No-Lineares Bisseo%Bisseoclcclear all%Pmax=(((P-P2)*G1*PBH*(ZT))/(q))^(1/2);P=1400; %psi/mimP2=275; %psi/minG1=50; %PBH=11420; %psiZT=4.4075; %Pmax=5321.12;%Estimativa inicial:qe=50; qd=150; qm=(qe+qd)/2;% Critrio de Parada(Tolerncia permitida):tol=1.e-2; % 10^-2erro=abs(qe-qd);i=1;% Algoritmo da Bisseco:while erro > tol % Critrio de paradaf_qe=(-Pmax)+(((P-P2)*G1*PBH*(ZT))/(qe))^(1/2); f_qd=(-Pmax)+(((P-P2)*G1*PBH*(ZT))/(qd))^(1/2);f_qm=(-Pmax)+(((P-P2)*G1*PBH*(ZT))/(qm))^(1/2); if f_qe*f_qm < 0; qe=qe; qd=qm; f_qe=f_qe; f_qd=f_qm; qm=(qe+qd)/2; else f_qe*f_qm > 0 qe=qm; qd=qd; qm=(qe+qd)/2; f_qe=f_qm; f_qd=f_qd; end erro=abs(qe-qd);resp(i,:)=[i,qm,f_qm,erro];i=i+1;endf_qm=(-Pmax)+(((P-P2)*G1*PBH*(ZT))/(qm))^(1/2);; disp('qm');disp(qm);disp('f_qm');disp(f_qm);disp(' Iterao q fq Erro');disp(resp);Secante% Mtodo da Secante:clearclcP=1400; %psi/mimP2=275; %psi/minG1=50; %PBH=11420; %psiZT=4.4075; %Pmax=5321.12;q0=30;q1=180; % Estimativa inicial;tol=10^(-4); % Estipular a tolerncia;% equao no linearfq0=(-Pmax)+(((P-P2)*G1*PBH*(ZT))/(q0))^(1/2);fq1=(-Pmax)+(((P-P2)*G1*PBH*(ZT))/(q1))^(1/2);% Aplicao da frmula de recorrncia:q0=50;q1=150; % Estimativa inicial;tol=10^(-4); % Estipular a tolerncia;% Algortimo para as iteraes:erro=abs(q1-q0);i=1;while erro > tolq=q1-(fq1*(q1-q0)/(fq1-fq0));fq=(-Pmax)+(((P-P2)*G1*PBH*(ZT))/(q))^(1/2);erro=abs(q-q1);q0=q1;q1=q;fq0=fq1;fq1=fq;enddisp('q')disp(q)

Regula falsi% Mtodo Regula Falsi

clearclc% Determinar o chute inicial e tolerncia:%Pmax=(((P-P2)*G1*PBH*(ZT))/(q))^(1/2);P=1400; %psi/mimP2=275; %psi/minG1=50; %PBH=11420; %psiZT=4.4075; %Pmax=5321.12;qe=50;qd=150;

% equao no linear

fqe=(-Pmax)+(((P-P2)*G1*PBH*(ZT))/(qe))^(1/2);fqd=(-Pmax)+(((P-P2)*G1*PBH*(ZT))/(qd))^(1/2);% Aplicao da frmula de recorrncia:qm=(qe*fqd-qd*fqe)/(fqd-fqe);fqm=(-Pmax)+(((P-P2)*G1*PBH*(ZT))/(qm))^(1/2);% Deciso dos novos b's:if fqe*fqm>0qe=bm;fqe=(-Pmax)+(((P-P2)*G1*PBH*(ZT))/(qe))^(1/2);else qd=qm;fqd=(-Pmax)+(((P-P2)*G1*PBH*(ZT))/(qd))^(1/2);end% Loop usado para repetir a operao at a tolerncia ser alcanada:tol=1e-8;i=1;while abs(fqm)>tol qm=(qe*fqd-qd*fqe)/(fqd-fqe);fqm=((-Pmax)+(((P-P2)*G1*PBH*(ZT))/(qm))^(1/2));

if fqe*fqm>0 qe=qm;fqe=((-Pmax)+(((P-P2)*G1*PBH*(ZT))/(qe))^(1/2));else qd=qm;fqd=((-Pmax)+(((P-P2)*G1*PBH*(ZT))/(qd))^(1/2)); end i=i+1; endiq=qm

Newton Raphson% Mtodo de Newton- Raphson:

clearclc

% Determinar o chute inicial e tolerncia:

%Pmax=(((P-P2)*G1*PBH*(ZT))/(q))^(1/2);

P=1400; %psi/mimP2=275; %psi/minG1=50; %PBH=11420; %psiZT=4.4075; %Pmax=5321.12;%Estimativa inicial:q0=70;tol=10^(-4);% Determinar a equao em que o mtodo sera aplicado e sua derivada primeira:fq0=(-Pmax)+(((P-P2)*G1*PBH*(ZT))/(q0))^(1/2); fqd0=(((-0.5*(P-P2)*G1*PBH*(ZT)))*(((P-P2)*G1*PBH*(ZT))/(q0))^(-0.5)/(q0^2));% Algoritmo para as iteraes:erro=1;i=1;

while erro > tol q=q0-(fq0/fqd0); fq=(-Pmax)+(((P-P2)*G1*PBH*(ZT))/(q))^(1/2); fqd=(((-0.5*(P-P2)*G1*PBH*(ZT)))*(((P-P2)*G1*PBH*(ZT))/(q))^(-0.5)/(q^2));erro=abs(q-q0); q0=q; fq0=fq; fqd0=fqd;resp(i,:)=[i,q,fq,fqd,erro];i=i+1;end

% Estabelecer o que ser exibido no MATLAB:

disp('q')disp(q)disp('q0')disp(q)disp('fq')disp(fq)disp('fqd')disp(fqd)disp(' Iterao q f(q) fd(q) Erro ')

Sistema de Equaes algbricas No-LinearesO sistema implementado nesse trabalho foi obtido no artigo Comparing software for the solution of systems of nonlinear algebraic equatioons arsing in cgemical engineeringNewton Raphson para sistemas:clcclear%T=Temperatura [K]%x=converso%f1(x)= 120x-75k(1-x)=0%f2(x)= x(873-T)+11(T-300)

%Definio das funes:%k=0.12*exp(12581*(T-298)/(298*T));syms x Tf(1)=120*x-(75*(0.12*exp(12581*(T-298)/(298*T)))*(1-x));f(2)=x*(873-T)+11*(T-300);V=[x T];J=jacobian(f,V);pretty(J)x0=0.5;T0=300;Tk=1600;xk=0.7;X=[f(1);f(2)];tol=1e-7;k=1;while abs(xk-x0)> tol | abs(Tk-T0)>tol;j=eval(subs(J,V,[x0 T0]));F0=eval(subs(X,V,[x0 T0]));deltaV=j\(-F0);xk=x0+deltaV(1,1);Tk=T0+deltaV(2,1);errox=abs(xk-x0);erroT=abs(Tk-T0);x0=xk;T0=Tk;resp(k,:)=[Tk, x0, T0]; k=k+1; end%disp(' Iterao x0 T0 errox erroT')%disp (resp)T=resp(:,1)x=resp(:,2)%plot(T,x)%plot(resp(:,1),resp(:,2))

Mtodos de solues para equaes diferenciais ordinrias

A equao diferencial do presente trabalho foi obtida no artigo Na artifitial Neural Network aproximation based decomposition approach for parameter estimation of system of ordinary differential euqacion

Mtodo de Euler

% EDO:

% Mtodo de Euler

% condicao de contorno% Runge-Kutta de 4a ordem% Para t=0 ==>> z=1% Numero de intervalos %n =((tf - t(1)) / h );h=0.01;Z(1)=1;t(1)=0;i=1;d=[Z(i) t(i)];for i=1:20 f=-5*Z(i); Z(i+1)=Z(i)+h*f; t(i+1)=t(i)+h; d=[d;Z(i+1) t(i+1)]; end% Solucao da EDO - Para um tempo finalte = 0:0.1:t(i+1)ze = exp(-5*te) plot(t,Z)holdplot(te,ze)xlabel('tempo')ylabel('z') Mtodo de Runge Kutta%E.D.O: dz/dt=-5*z % Solucao analitica: z(t) = exp(-5*t)%% Condio Inicialt(1) = 0; % condicao de contorno% Runge-Kutta de 4a ordem% Para t=0 ==>> z=1z4(1) = 1;%Passoh = 0.01; %Tempo finaltf = 1;% Numero de intervalos %n =((tf - t(1)) / h );syms zf=-5*z;for i = 1:100 t(i+1) = t(i) + h; % Metodo de Runghe-Kutta de 4a ordem k14 = eval(subs(f,z,z4(i))); k24 = eval(subs(f,z,z4(i)+(h/2)*k14)); k34 = eval(subs(f,z,z4(i)+(h/2)*k24)); k44 = eval(subs(f,z,z4(i)+(h)*k34)); z4(i+1) = z4(i) + h/6*(k14 + 2*k24 + 2*k34 + k44); % forma de runge end% Solucao da EDO - Para um tempo finalte = 0:0.1:tfze = exp(-5*te) xlabel('tempo')ylabel('z')plot(t,z4)holdplot(te,ze)

4.REFERNCIAS

PINTO, J. C.; LAGE P. L. C. Mtodos numricos em problemas de engenharia qumica. Programa de engenharia qumica / Coppe. Universidade Federal do Rio de Janeiro , 1997.

GILAT, A.; SUBRAMANIAM, V. Mtodos numricos para engenharia e cientistas. Ed. Bookman, 2008.23