métodos numéricos em finanças

7/28/2019 Mtodos Numricos em Finanas

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Mtodos Numricos em Finanas

Maria do Rosrio Grossinho

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Figura 1:

ISEG2009

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Contedo

Introduo vii

1 Conceitos bsicos 1

1.1 Formulao do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Arbitragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Tipos de investidores e utilidade das opes . . . . . . . . . . 6

1.4 Outros tipos de opes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5 Taxas de juro e valor actual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.6 Noes bsicas de opes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6.1 O valor de uma opo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6.2 Estratgias e diagramas de payoff . . . . . . . . . . . . 9

1.6.3 Paridade Put - Call . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Opes europeias. Soluo exacta 13

2.1 Transformao da equao de Black-Scholes . . . . . . . . . . 14

2.1.1 Problema de difuso equivalente . . . . . . . . . . . . 24

2.1.2 Soluo exacta da equao de difuso . . . . . . . . . 26

2.1.3 Comportamento assinttico da soluo exacta . . . . . 30

2.2 Retorno equao de Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2.1 Put europeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.2.2 Observao numrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3 Cdigos em C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.3.1 Prog21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.3.2 Prog22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3 Solues numricas. Mtodo explcito 47

3.1 Derivao numrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.1.1 Derivadas parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.2 Resoluo numrica da equao de difuso . . . . . . . . . . . 57

iii


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iv CONTEDO

3.3 Aplicao ao caso Black-Scholes (call europeia) . . . . . . . . 65

3.4 Cdigos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.4.1 Programa prog42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4 Diferenas finitas: mtodo implcito 73

4.1 Mtodo implcito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.2 Resoluo do sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.2.1 Decomposio L U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.2.2 Caso tri-diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.3 Mtodo de Crank-Nicholson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.3.1 O mtodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5 Opes americanas 87

5.1 O problema de fronteira livre e as opes americanas . . . . . 88

5.2 Problema do obstculo e as opes americanas . . . . . . . . 90

5.2.1 O problema do obstculo . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.2.2 A formulao linear de complementaridade . . . . . . 92

5.2.3 Opes americanas e a equao de difuso . . . . . . . 93

5.2.4 Opes americanas e a formulao de complementari-dade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

6 Modelo binomial 1036.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.2 Modelo binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6.2.1 Determinao de p, u e d . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6.2.2 Tringulo dos preos futuros . . . . . . . . . . . . . . 108

6.2.3 Tringulo do valor das opes . . . . . . . . . . . . . . 110

6.3 Opes europeias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6.3.1 Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.3.2 Valor esperado do payoff na maturidade . . . . . . . . 115

6.4 Opes Americanas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1166.4.1 Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

7 Introduo ao Mtodo de Monte Carlo 121

7.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

7.2 Clculo de reas e valor esperado . . . . . . . . . . . . . . . . 122

7.3 Mtodo de Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

7.4 Monte Carlo e o clculo de reas . . . . . . . . . . . . . . . . 127

7.5 Opes financeiras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131


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CONTEDO v

7.5.1 Call europeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

7.5.2 Opo asitica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1337.6 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

8 Sries Pseudo-Aleatrias 1398.1 Gerador de nmeros aleatrios . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

8.1.1 Congruncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1398.1.2 Gerao de nmeros pseudo-aleatrios . . . . . . . . . 1438.1.3 Distribuio uniforme e sries pseudo-aleatrias . . . . 144

8.2 Gerao de variveis aleatrias . . . . . . . . . . . . . . . . . 1478.2.1 Mtodo da inversa da funo distribuio . . . . . . . 147

8.2.2 Gerao da distribuio exponencial . . . . . . . . . . 148

9 Vectores Aleatrios Normais 1499.1 Gerao de varivel aleatria normal . . . . . . . . . . . . . . 1499.2 Gerao de vectores aleatrios normais . . . . . . . . . . . . . 151

9.2.1 Vector normal de dimenso 2 . . . . . . . . . . . . . . 1519.2.2 Mtodo de Box Muller . . . . . . . . . . . . . . . . . 1529.2.3 Vector aleatrio normal de dimenso n . . . . . . . . . 1549.2.4 Factorizao de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . 155

A Apndice 157A.1 Convergncia de variveis aleatrias . . . . . . . . . . . . . . 157A.2 Lei Forte dos Grandes Nmeros. Teorema do Limite Central 158

B Bibliografia 161


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vi CONTEDO


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Introduo

Mtodos Numricos em Finanas uma disciplina que emerge da aplicaoda Anlise Numrica e da Teoria das Probabilidades s Finanas. Comefeito, os modelos matemticos das finanas geram frequentemente proble-mas complexos de resoluo muito difcil pelos meios analticos tradicionais.As tcnicas numricas revelam-se eficientes ao permitirem contornar essasdificuldades fornecendo solues implementveis computacionalmente.

O presente texto resulta de notas primeiramente escritas para apoio dis-ciplina do mesmo nome, leccionada no curso de ps-graduao em Gesto deRisco e Derivados, recentemente ampliadas para a leccionao no Mestradode Matemtica Financeira. No deixando de enquadrar a matria de formafundamentada, o enfoque contudo de carcter numrico, complementando,na vertente calculatria, conhecimentos tericos integrados em disciplinas deanlise estocstica das finanas.

Os primeiros captulos tratam de aspectos analticos e numricos do mo-delo de Black-Scholes para opes financeiras europeias e americanas. exposta a resoluo analtica dos problemas de equaes de derivadas par-ciais subjacentes, incluindo problemas de fronteira livre. Passa-se ento resoluo numrica. Introduz-se o mtodo o mtodo de diferenas finitas explcito, implcito e de Crank-Nicholson. Em seguida, apresenta-se omodelo binomial, ao nvel descritivo e calculatrio. Finalmente, faz-se uma

introduo ao mtodo de Monte Carlo pondo em evidncia a sua utilidadena estimao de valores esperados e aplicando-o simulao de opes fi-nanceiras. abordada a questo de gerao de amostras de populaesque seguem determinadas distribuies, nomeadamente as distribuies uni-forme, exponencial e normal.

Ao longo da exposio so apresentados exemplos numricos e tabelasilustrativas, algumas das quais incluindo o cdigo dos programas de cl-culo, sendo outros deixados para apresentao em aula. So utilizados, com

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viii INTRODUO

alguma frequncia, termos em ingls. Isso deve-se circunstncia de a res-

pectiva traduo, que tambm se inclui, revelar perda de expressividade ecomunicao. Acresce tambm o facto de ser esse o uso corrente, quer emdocumentos escritos quer nas exposies orais da especialidade, o que levaa que os estudantes devam estar familiarizados com a nomenclatura.

Sendo um documento de apoio leccionao, este texto constitui umaetapa de um projecto didctico mais amplo que se encontra em desenvolvi-mento.

ISEG, 2009

Maria do Rosrio Grossinho


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Captulo 1

Conceitos bsicos

Apreamento, Cobertura de Risco e Arbitragem

1.1 Formulao do problema

Neste captulo vamos tratar de derivados, com especial interesse em opes.A designao de derivado decorre do facto de o seu valor depender deactivos subjacentes. Ao longo do texto utilizaremos com muita frequncia

termos em ingls pelo facto de, na prtica, o seu uso se ter tornado quaseuniversal.

O objectivo o estudo de modelos que permitam determinar o valorde derivados, bem como salientar o seu interesse na utilizao de coberturade riscos. Estes dois aspectos so comummente designados por pricing ehedging. Apresentaremos modelos discretos e contnuos. Antes, porm,vamos introduzir algumas noes bsicas bem como aflorar o interesse daaplicao dos conhecimentos fornecidos no processo de pricing e hedging.Comecemos por ver um exemplo que suscita o uso de opes:

Exemplo Uma empresa no ramo da indstria alimentar assumiu comuma cadeia de supermercados o compromisso de manter inalterados at data de entrega os preos dos seus produtos fabricados a partir dos cereaistrigo e milho. Uma vantagem desse contrato que a empresa tem partidaa garantia do escoamento da sua produo. Contudo, um dos problemas o facto de a empresa correr o risco de ter de enfrentar um eventual au-mento do preo de matria-prima bsica, o trigo e o milho, sem que possa

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2 CAPTULO 1. CONCEITOS BSICOS

introduzir correces nos preos dos seus produtos no momento da entrega.

Para se defender deste risco a indstria alimentar pode fazer um contratocom os fornecedores de trigo e milho em que adquire o direito (mas noa obrigao) de comprar trigo e milho aos seus fornecedores por um preopre-fixado (preo de exerccio) numa data estipulada (maturidade).

Assim se o preo da matria prima subir no mercado acima do acordado, elaexerce o direito de opo adquirindo-a ao preo pre-fixado. Com isso, poderfabricar os seus produtos dentro dos clculos financeiros previamente feitos,estando defendida do aumento do preo do trigo e do milho. Se o preobaixar no exerce o direito de compra, pois seria prejudicada. E nem pre-cisa, pois neste caso o compromisso assumido inicialmente no ter prejuzo.H aqui um pormenor a ter em conta. que o direito de opo entre poderou no comprar tem um preo inicial, o prmio. Embora seja um valor a pa-gar, um valor fixo, sem risco, o que permite fazer clculos financeiros certos.

No exemplo apresentado, estamos perante uma opo de compra con-tratada entre a empresa de indstria alimentar e os fornecedores de trigo emilho.

Exemplo Suponhamos agora que uma empresa de investimentos vendeum fundo garantindo aos seus clientes que o valor desse fundo no cairabaixo de um certo plafond. Neste contrato, a empresa est a correr o riscode, no caso de vir a verificar-se uma queda assinalvel no valor dos activos,assistir a uma descida do valor do fundo abaixo do mnimo valor contratado.Para realizar uma estratgia de defesa, o gerente do fundo poder fazer ocontrato em que adquire, junto de algum interessado, o direito(mas no aobrigao) de vender activos que compem o fundo por um preo pre-fixado

(preo de exerccio), dentro das suas convenincias, numa data estipulada(maturidade).

Assim, se o preo dos activos cair abaixo do preo de exerccio, ele podervender esses activos pelo preo de exerccio, o que, de acordo com a avaliaoda situao previamente feita, lhe permitir cumprir o compromisso com osseus clientes sem ter prejuzo. Mais uma vez h que ter em conta a despesafixa que constitui a aquisio do direito de venda (o prmio).


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1.1. FORMULAO DO PROBLEMA 3

Neste caso, estamos perante uma opo de venda.

Poderemos dizer que a compra de opes pode ser uma forma de criarum mecanismo de cobertura para o risco assumido.

Tipicamente h a considerar dois tipos de opes:

Opo de Compra Call Option C(S, t), que confere o direito decomprar um activo dentro, ou no fim, de um certo perodo de tempo,por um preo fixado, cabendo outra parte contratante o dever de ovender.

Opo de Venda Put Option, P(S, t), que confere o direito devender um activo dentro, ou no fim de um certo perodo de tempo,por um preo fixado, cabendo outra parte contratante o dever de ocomprar.

O preo e a data de exerccio da opo so fixados no momento do estabe-lecimento do contrato e designam-se, respectivamente, por preo de exerccioK (strike price ou exercise price) e maturidade, expirao ou data de exe-cuo T (maturity ou expiration date). As opes americanas podem serexercidas em qualquer momento at maturidade enquanto as opes eu-ropeias s podem ser exercidas na maturidade. Sublinha-se que a aquisiode uma opo confere ao seu detentor (holder) um direito e no um dever.Por outro lado, a outra parte contratante (writer) obrigada a vender oucomprar, caso se trate de call ou put, respectivamente, se o detentor daopo quiser exercer o seu direito.

O valor de uma call no momento da expirao, isto , o payoff, dadopor

C(S, T) = max(S E, 0);isto

C(S, T) =

S E se S E

0 se S < E.

Analogamente, o payoff de uma put, no momento da expirao,

P(S, T) = max(E S, 0),isto ,

P(S, T) =

E S se S E

0 se S > E


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As opes so produtos derivados na medida em que o seu valor depende de

activos subjacentes. So transaccionadas em mercados de opes em todo omundo e os activos subjacentes podem ser de muitos tipos, desde aces amoeda estrangeira, ou produtos agrcolas, por exemplo.

Um outro tipo de derivados so os futuros. Nestes, o comprador nopode optar por exercer, ou no, o contrato. Este tem mesmo de ser exercido.Da resulta que um contrato de futuros no tem custos no momento do seuestabelecimento. Pelo contrrio, como j foi referido, as opes tm preode aquisio denominado premium, cujo clculo constitui uma questo del-icada.

Referindo uma lista de exemplos de derivados, temos.

Calls e puts europeias

Opes americanas

Futuros

Obrigaes

Formulamos agora os dois principais problemas que abordaremos nestecaptulo

Problemas principais. Tomemos um derivado

Qual o preo adequado para o contrato, isto , o fair price dopremium?

Suponhamos que vendemos um derivado, por exemplo, uma call sobreopes. Recebemos o premium. Mas, por outro lado, expusemo-nos,portanto, a um certo risto no momento da maturidade, em que teremos

de possuir as referidas aces para vender, no sabendo que preo teronessa altura Como que nos protejemos contra esse risco?

Os problemas enunciados so respectivamente referidos na literatura por

Pricing apreamento

Hedging cobertura de risco

Teremos de ter presentes algumas ideias principais, tais como:


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1.2. ARBITRAGEM 5

Um derivado financeiro define-se em termos de activos subjacentes, j

existentes no mercado

O valor do derivado no pode ser determinado arbitrariamente em re-lao aos preos subjacentes, para evitar discrepncias entre os valoresdos derivados e dos activos subjacentes

Temos, portanto, de determinar o valor do derivado de modo consis-tente com os activos subjacentes

No podemos calcular o preo dos derivados de forma absoluta, massim tendo em conta o preo que estes tm no mercado.

1.2 Arbitragem

Um dos conceitos fundamentais inerentes teoria de option pricing o dearbitragem. Ausncia de arbitragem consiste em afirmar que no existemoportunidades de lucro instantneo sem risco, ou mais correctamente, a suaexistncia ser sempre num perodo de tempo no significativo pois a actu-ao dos agente intervenientes levar a que os preos se movam no mercadode forma a eliminarem essa situao.

O conceito de risk-free sem risco um elemento base na teoriaactual dos modelos das finanas. Um investimento sem risco aquele cujoretorno dado pelo que decorre da aplicao da taxa de juro ao montanteinvestido quando colocado no banco.

Em arbitragem as palavras chave so "instantneo"e "risk-free". Numinvestimento, poderemos vir a obter um retorno superior ao que o bancodaria pelo valor investido, mas no o sabemos partida. Quanto maior foro lucro que procurarmos obter maior ser o risco a correr. Com efeito, sesoubessemos de antemo que o retorno seria superior ao da aplicao da

taxa de juro bancrio, valeria a pena, de forma garantida, que contrasse-mos emprstimos junto da banca para aplicar no referido investimento. Estefacto, pela certeza inerente, levaria muitos investidores a fazer o mesmo. Oaumento da procura de emprstimos bancrios conduziria ao aumento dataxa de juro, o que a certa altura faria com que j no fosse vantajoso,recorrer ao crdito para investir. O mercado tinha corrigido naturalmente asituao.A no existncia de oportunidades de lucros instntaneos sem riscoremete-nos para a conhecida expresso "no h almoos grtis". O exem-plo apresentado documenta o facto de a existncia de tais oportunidades


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1.4. OUTROS TIPOS DE OPES 7

1.4 Outros tipos de opes

Para alm das opes europeias e americanas j referidas, existem outrostipos de opes, tais como as exticas ou "path-dependent". Os seusvalores no dependem somente do preo de exerccio mas tambm da histriado activo subjacente. Referimos:

opes barreira - a opo pode surgir ou perder o valor consoante oactivo subjacente atinja algum valor pre-fixado antes da expirao.

opes asiticas - o preo depende de algum tipo de mdia (arit-

mtica, geomtrica, por exemplo).

opes "lookback" - o preo depende do preo mximo ou mnimodo activo subjacente.

1.5 Taxas de juro e valor actual

Iremos considerar quase sempre que a taxa de juro funo conhecida dotempo, no necessariamente constante. Esta hiptese razovel na medidaem que o valor das opes tem um tempo de vida de aproximadamente

nove meses, o que leva a que pequenas variaes na taxa de juro no serevelem significativas. Contudo, em investimentos de longa durao, ttulosdo tesouro, por exemplo, o tempo de durao tipicamente 10 ou 20 anos,pelo que se deve entrar em conta com taxa de juro como varivel aleatria.

Na determinao do valor das opes, o conceito mais importante quefaz intervir taxas de juro o de valor actual ou descontado (present valueou discounting) posto em evidncia na pergunta seguinte

Quanto dever ser pago agora, t = 0, para que num tempo futuro T

seja recebida garantidamente a quantia K?

Assumindo que a taxa de juro constante, obtm-se o valor actual de-scontando no valor K o juro composto contnuo durante o tempo T. Se Mfor uma quantia de dinheiro depositada no banco e sujeita continuamente auma taxa de juro constante r, o seu valor evolui de acordo com a equaodiferencial

dM

dt= rM.


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A soluo dada por

M(t) = cert, com c R.

Como para t = T a quantia de dinheiro dada por M(T) = K, tem-se

K = cerT

donde

c = KerT

e, portanto,

M(t) = Ker(T

t)

.

Se a taxa de juro no for constante mas seguir uma evoluo dada por umfuno r(t), a resoluo da equao diferencial de primeira ordem leva a que

M(t) = KeUTt

r(s)ds.

Por exemplo, aplicando opes put, poderemos dizer que, sob a condiode a taxa de juro r permanecer constante, temos

P(0, t) = Ker(Tt).

1.6 Noes bsicas de opes

1.6.1 O valor de uma opo

O valor de uma opo designa-se genericamente por V. Trata-se de umafuno de duas variveis, V(S, t), nomeadamente o valor do activo subja-

cente S e o instante t. No caso de querermos precisar que se trata de umacall ou uma put, escrever-se- C(S, t) e P(S, t). O valor da opo dependede parmetros (alguns j referidos ao longo do texto) que enumeramos emseguida:

, a volatilidade do activo subjacente;

K, o preo de exerccio (exercise ou strike price)

T, a expirao ou maturidade (expiry ou maturity)


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1.6. NOES BSICAS DE OPES 9

r, a taxa de juro

Num contrato de opo h dois intervenientes: o comprador, ou detentor,do direito de opo (holder) e o vendedor desse direito (writer). Na griafinanceira, diz-se que o primeiro adquiriu uma posio longa (long position)enquanto o segundo tomou uma posio curta (short position). O writerrecebe dinheiro no momento do contrato (premium) mas pode vir a terperdas mais tarde, no momento do exerccio. O comprador lucrar se ovendedor perder e reciprocamente.

1.6.2 Estratgias e diagramas de payoff

Vejamos mais de perto o que se passa com os dois tipos de opes, call eput. Comecemos por analisar o caso das opes europeias

CallSuponhamos que o investidor compra uma call com preo de exerccio

100 euros para adquirir, passados quatro meses, 100 shares de aces deuma empresa X de computadores. Suponhamos que o preo actual de cadashare de 98 euros e que o preo de uma opo para adquirir 1 share 5 euros, o que corresponde a um investimento inicial de 500 euros. Se, na

maturidade, o valor de cada share for inferior a 100 euros, no vale a penaexercer o direito de compra, pois pagaria directamente no mercado, pelomesmo share, um valor inferior. Nesse caso, contudo, o investidor perderiao investimento inicial de 500 euros

Se na maturidade o preo for superior a 100 euros, a opo dever serexercida. Por exemplo se for de 115 euros, o investidor exerce o seu direitocomprando cada share por 100 euros e pode vender de imediato no mercadopor 115, com um diferencial positivo de 15 euros em cada e, na totalidade,de 1500. Subtraindo o investimento inicial, e esquecendo eventuais taxas detransaco, o lucro final ser de 1000 euros.

O exemplo anterior ilustra a frmula j apresentada no incio

C(S, T) =

S K se S K

0 se S < K.

PutContrariamente ao que acontece com o investidor numa call, cujo desejo

que o valor do activo subjacente suba, o investidor numa put espera que


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ele decresa. Com efeito, suponhamos que um investidor compra uma put

para vender 100 shares de uma empresa Y por um preo de exerccio 70euros. Suponhamos que o preo actual de cada share de 65 euros, o preode cada opo de 7 euros e a maturidade de 3 meses. O investimentoinicial de 700 euros. Na maturidade, a opo s dever ser exercida se opreo de cada share for inferior a 70 euros, pois, se for superior, prefervelir vender directamente no mercado. Repare-se que neste caso, o investidorperde o investimento inicial, ou seja, 700 euros.

Suponhamos que, pelo contrrio, no exerccio o preo de cada share de 55 euros. Ento, exercendo o direito de opo, isto , vendendo por 70euros, h um diferencial de 15 euros em cada e, portanto, 1500 na totalidade.Descontando, novamente o investimento inicial, e no entrando em contacom eventuais taxas de transaco, o lucro ser de 800 euros.

Como podemos ver este exemplo ilustra a frmula j apresentada noincio

P(S, T) =

K S se K S

0 se S > K.

Exerccio antecipadoNos exemplos que acabmos de expor, as opes consideradas eram eu-

ropeias, isto , s podiam ser exercidas na maturidade. As opes ameri-canas podem ser exercidas at maturidade. Ver-se- mais tarde que exis-tem circunstncias que aconselham ao exerccio da opo americana antesda maturidade

1.6.3 Paridade Put - Call

A paridade put-call exprime-se pela equao finita

C P = S K er(Tt).

Trata-se de um princpio importante em opes. Traduz a relao entre oactivo subjacente e as respectivas opes call e put, em cada momento t.Com efeito, suponhamos que constituimos um portfolio adquirindo umactivo e uma put sobre esse activo (long) e vendendo uma call (short) sobreo mesmo activo, isto

= S+ P C.


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1.6. NOES BSICAS DE OPES 11

Suponhamos que ambas as opes C e P tm o mesmo valor de exerccio

e a mesma maturidade. O valor do payoff deste portfolio no momento daexpirao dado por

(T) = S+ max(K S, 0) max(S K, 0)

= K,

isto , precisamente K, quer S seja maior ou menor do que K. Este factoconstitui um exemplo de eliminao do risco num investimento atravs datransaco de um activo e de opes.

Sendo K o payoff do portfolio no momento da expirao T, um valoradequado para este portfolio em cada momento t ser ento

K er(Tt),

isto , o valor de K descontado da taxa de juro r pelo tempo (T t). Estefacto mostra que a valorizao do portfolio coincide com a que seria obtidapor depsito bancrio (risk free). A expresso "valor adequado"traduz ofacto de esse valor no permitir que seja gerada uma oportunidade de fazerum lucro instantneo sem risco, atravs de aquisio ou venda de opes e

activos usando emprstimos bancrios, isto , no permite arbitragem.


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Captulo 2

Opes europeias. Soluo

exacta

A equao de Black-Scholes para uma call europeia C, cujo valor no instantet e para um certo valor do activo subjacente S, se designa por C(S, t),escreve-se

C

t+

1

22S2

2C

S2+ rS

C

S rC = 0, (2.1)

onde S]0, +[ e t ]0, T[

Sendo K o preo de exerccio da opo e T a maturidade, C deververificar as condies seguintes:

- condio final

C(S, T) = max {S K, 0} (2.2)

- condio de fronteira

C(0, t) = 0 (2.3)

- e condio assinttica (ou de fronteira no infinito)

C(S, t) v S quando S

(2.4)

Interpretaremos esta ltima condio como significando exactamente

limS

C(S, t)

S= 1. (2.5)

Referimos ainda que o tempo medido em qualquer unidade (de tempo),mas com preferncia absoluta pela unidade ano1

1 O ano a unidade de tempo mais usada em anlise financeira, a comear pela taxade juro que exprime uma fraco de capital a pagar por ano.

13


22/169

14 CAPTULO 2. OPES EUROPEIAS. SOLUO EXACTA

2.1 Transformao da equao de Black-Scholes

Nesta seco vamos transformar a equao (2.1) numa equao equivalenteque tem a vantagem de ser matematicamente mais simples. possvel in-dicar a soluo exacta desta equao transformada e, partindo desta soluoexacta, inverter o percurso de modo a encontrar a soluo exacta da call eu-ropeia.

Tomemos K e T definidos anteriormente e designemos por a vola-tilidade e por r a remunerao do capital sem risco. Faamos a seguintemudana das variveis S e t, para as novas variveis x e :

S = K e

x

t = T 12

2

e escrevamos

C(S, t) = C(K ex, T 12

2) = K v (x, ) (2.6)

ou, reciprocamente,

x = log

S

K

(2.7)

=

1

2

2

(T t)tendo-se

v =C(S, t)

K.

claro que (S, t) ]0, +[ ]0, T[ se e s se (x, ) ] , +[ ]0, 122T[.Em consequncia, iremos reescrever a equao (2.1). Comecemos por

exprimir as derivadas usando como habitualmente a regra da cadeia:

C

t= K

v

d

dt= K v

1

22

C

S= K

v

x

dx

dS= K

v

x

1

S

2C

S2= K

2v

x2

dx

dS

1

S v

x

1

S2

= K

2v

x2

1

S2 v

x

1

S2


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2.1. TRANSFORMAO DA EQUAO DE BLACK-SCHOLES 15

Substituindo ficar

K v

1

22 +

1

22S2K

2v

x2

1

S2 v

x

1

S2

+ rSK

v

x

1

S rKv = 0

ou seja,

12

2v

+

1

22

2v

x2 1

22

v

x+ r

v

x rv = 0,

ou aindav

2v

x2+

v

x r1

22

v

x+

r12

2v = 0,

o que pode escrever-sev

2v

x2+

1 r1

22

!

v

x+

r12

2v = 0.

Se definirmos a quantidadek1 =

r12

2(2.8)

encontra-se finalmente

v

=

2v

x2+ (k1 1) v

x k1v, (2.9)

com (x, ) ] , +[ ]0, 122T[, que a forma que a equao (2.1) tomaaps a mudana de variveis.

Prosseguiremos a simplificao da equao. Porm, de imediato teremosque ver qual o efeito desta mudana de variveis nas condies inicial e defronteira.

Condies inicial e de fronteira Com estas mudanas de variveis,a condio inicial e as condies de fronteira modificam-se naturalmente.Dividindo ambos os membros de (2.2) por K ficar

C(S, T)

K= max

S K

K, 0

ou seja, nas novas variveis e dado que t = T equivale a = 0,

v (x, 0) = max

K ex K

K, 0

ou seja,v (x, 0) = max {ex 1, 0} (2.10)


24/169


Por outro lado, C(S, t) escreve-se como

C

Kex, T 1

22

!,

e para encontrar a expresso equivalente a C(0, t) = 0 temos que ter emconta que C(0, t) = lim

S0C(S, t) , uniformemente em t, o que alis corres-

ponde realidade financeira. Ora, sendo S = K ex, tem-se que S 0 se es se x , isto ,

limx

Kex = 0

donde

C(0, t) = 0

equivalente a

limS0

C(S, t) = limx

C

Kex, T 1

22

!= 0

o que o mesmo que escrever

limx

v (x, ) = 0, (2.11)

o que mostra que a condio de fronteira (2.3) de que partimos transfor-mada numa condio assinttica .

Finalmente, consideremos a condio assinttica (2.5) que se pode escre-ver desde logo

limx+

C

Kex, T 122

K ex

= 1

isto ,

limx+

1E C

Kex, T 12

2

ex

= 1

donde se obtem a expresso para a segunda condio assinttica

limx+

v (x, )

ex= 1 (2.12)

nas novas variveis.


25/169


Dimenses das quantidades

Na equao (2.1) temos a considerar 3 variveis C, S, t dotadas de dimen-so. De facto, C um preo, uma varivel cujo valor depende do padromonetrio escolhido. Logo, podemos dizer que tem a dimenso de um preo.O mesmo ocorre com S. Por outro lado, t tem a dimenso do tempo. Paraformalizar o que acabamos de dizer, escreve-se

dim[C] = P

dim[S] = P

dim[t] = T

As constantes que entram na equao de Black-Scholes (2.1) so r e .Consideremos a dimenso de r. Sendo, num emprstimo, Q a quantidade dedinheiro emprestada, q a remunerao e p o perodo de tempo do emprs-timo, a taxa r determina-se pela expresso

r = (q/Q) /p

ou seja

r =

q

Q

p =

q

Q p

o que nos indica qual a dimenso de r:

dim[r] =P

P T= T1

Para determinar a dimenso da volatilidade vamos atender definiodesta. Sabemos que a varincia da varivel aleatria

X = log

S(y + h)

S(y)

(2.13)

igual a h2, logo o desvio-padro respectivo vale h. Por outro lado,a varivel (2.13) adimensional, o mesmo acontecendo com o seu desvio-padro. Sendo assim,

dimh

hi

= 1

donde, visto que h tem a dimenso do tempo,

dim[] =1

dimh

hi = T1/2


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logo, em concluso,

dim

2

= T1

Com esta informao, podemos examinar a prpria equao de Black-Scholes

C

t+

1

22S2

2C

S2+ rS

C

S rC = 0

sob o ponto de vista dimensional. Temos

dim

C

t

= P T1

porque Ct o quociente entre um preo e um tempo. Por razes anlo-gas tem-se

dim

C

S

=P

P= P0 = 1

(quantidade adimensional) e

dim

2C

S2

=P

P2= P1

Sendo assim,

dim

2S2

2C

S2

= T1 P2 P1 = T1 P

dim

rS

C

S

= T1 P P0 = T1 P

dim[rC] = T1 P

o que significa que a equao tem homogeneidade dimensional, uma vezque todas as parcelas apresentam a mesma dimenso. Esta questo temimportncia decisiva quando se procede a uma mudana de variveis comona situao que estamos a tratar.

Por outro lado, a equao obtida aps a mudana de variveis adimen-sional. Constatemos esse facto.

O parmetro K tem a dimenso de um preo, logo o quocienteC

K

adimensional, isto , o seu valor independente da unidade monetria (oude qualquer outro padro). Como temos

v =C(S, t)

K


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conclumos que v tambm uma quantidade adimensional. O mesmo ocorre

com x uma vez que S tambm um preo e da a as quantidadesS

Ke x = log

S

K

serem independentes do padro monetrio.Por outro lado, t uma varivel de tempo, ou seja, tem a dimenso do

tempo porque mede o tempo decorrido desde o instante do contrato at aoinstante particular que se considere. O seu intervalo de variao

0 t T

em que, como sabemos, T designa o instante do exerccio da opo. A novavarivel relaciona-se com t pela equao

=1

22 (T t)

Ora,dim[] = dim

2

dim[T t] = T1 T = T0

logo, uma varivel adimensional.Finalmente, no tocante a k1 tem-se

dim[k1] =dim[r]

dim[2]=T1

T1= T0

logo, k1 adimensional. Ento, na equao (2.9) somente entram quanti-dades (variveis ou no) adimensionais.

Expresso final

Retomemos a equao (2.9):

v

=

2v

x2+ (k1 1) v

x k1v

e passemos a uma nova mudana da varivel dependente:

v (x, ) = ex+ u (x, ) .

Como veremos em seguida, uma escolha adequada dos parmetros e ,permitir reduzir a equao anterior a uma outra mais simples. Derivemos

v

= ex+ u (x, ) + ex+

u

= ex+

u (x, ) +u


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e

v

x= ex+ u (x, ) + ex+

u

x

= ex+

u (x, ) +u

x

donde se calcula a 2a derivada

2v

x2= 2 ex+ u (x, ) + ex+

u

x+

+ ex+ u

x + ex+ 2u

x2 ,

cuja forma final fica

2v

x2= ex+

2 u + 2 u

x+

2u

x2

.

Substituamos na equao (2.9):

u +u

= 2 u + 2

u

x+

2u

x2+ (k1 1)

u +u

x

k1u,

donde

u

=

2u

x2+ [2 + (k1 1)] u

x+

2 + (k1 1) k1

u.

A expresso anterior mostra que podemos escolher e de modo a eliminar

as parcelas contendo u eu

x. Bastar que sejam respectivamente cumpridas

as seguintes igualdades:

2 + (k1 1) k1 = 0

2 + (k1 1) = 0

Resolvendo a segunda temos

= 12

(k1 1)

e substituindo na primeira vir

= 14

(k1 + 1)2 .


29/169


Assim, a mudana de varivel dependente v u referida no princpio destepargrafo assume a forma

v (x, ) = exp12 (k1 1) x 14 (k1 + 1)2 u (x, ) , (2.14)

ou seja,

u (x, ) = exp12 (k1 1) x + 14 (k1 + 1)2 v (x, ) (2.15)

e podemos escrever a equao na forma simplificada (equao do calor)

u

=

2u

x2. (2.16)

Condies iniciais e de fronteira Com a ltima mudana de vari-veis, as condies (2.10) (2.11) e (2.12) transformam-se respectivamente nasseguintes:

- condio inicial

u (x, 0) = u0 (x) , (2.17)

em que

u0 (x) = max

e12(k1+1)x e

12(k11)x, 0

- condio assinttica em

limx

e

12(k11)x

14 (k1+1)

2 u (x, )

= 0, (2.18)

- e condio assinttica em +

limx+

u (x, )

e12 (k1+1)x+

14 (k+1)

2= 1. (2.19)

Observemos que, em particular, a condio (2.18) implica limx

u (x, ) = 0.

Vejamos como se deduzem as condies acima referidas.

Condio inicial. Na condio (2.10)

v (x, 0) = max {ex 1, 0}

multipliquemos ambos os membros por

e12(k11)x > 0


30/169


Esta operao d-nos

e12(k11)x v (x, 0) = max

e12 (k11)x ex e

12(k11)x, 0

e, visto que

e12(k11)x v (x, 0) = u (x, 0) ,

teremos

u (x, 0) = max

e12(k1+1)x e

12(k11)x, 0

.

Consequentemente, a condio inicial (2.10) equivalente a

u (x, 0) = u0 (x)

em que os dados iniciais u0 (x) tm a expresso seguinte:

u0 (x) = max

e12(k1+1)x e

12 (k11)x, 0

ou seja, escrevendo como uma funo contnua definida por ramos,

u0 (x) =

e12 (k1+1)x e 12 (k11)x se x 0

0 se x < 0,

(2.20)

uma vez que

e12(k1+1)x e

12(k11)x

se e s se1

2k1x +

1

2x 1

2k1x

1

2x,

isto ,1

2x 1

2x

o que se verifica se e s sex 0.

O grfico de u0(x) est representado na figura 2.1.

Condio assinttica em . claro que, por (2.14), escrever acondio (2.11)

limx

v (x, ) = 0

o mesmo que escrever


31/169


- 1 - 0. 5 0. 5 1 1. 5 2

5

10

15

Figura 2.1: Grfico da funo u0 (x) traado para o valor tpico de k1 = 2, 5

limx

e

12(k11)x

14(k1+1)

2 u (x, )

= 0

Daqui podemos deduzir que, se k1 > 1,

limx

u (x, ) = 0,

uma vez que

limx

e12(k11)x

14(k1+1)

2 = +.

Em contrapartida, o facto de

limx

u (x, ) = 0

no implica, por si s, a condio (2.18). Deste modo, a funo u (x, ),soluo da equao de difuso (2.16), ter que satisfazer no quadro do mo-

delo de Black-Scholes condio assinttica (2.18).

Condio assinttica em +. Quanto segunda condio assin-ttica

limx+

v (x, )

ex= 1

multipliquemos ambos os termos da fraco por e12(k11)x+ 14 (k+1)

2. Ento

limx+

e12(k11)x+ 14 (k+1)

2 v (x, )

e12 (k11)x+

14 (k+1)

2 ex= 1,


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ou seja,

limx+

u (x, )ex e

12(k11)x+ 14 (k+1)

2= 1,

o que d, finalmente,

limx+

u (x, )

e12 (k1+1)x+

14 (k+1)

2= 1,

como condio assinttica em +.

2.1.1 Problema de difuso equivalente

Como concluso dos clculos efectuados anteriormente, podemos dizer que:

O modelo de Black-Scholes para uma call europeia equivalente ao pro-

blema de Cauchy para a equao de difuso seguinte (equao do calor):

u

t=

2u

2,

com a condio inicial respectiva

u (x, 0) = u0 (x) , < x < +,

em que, por (2.20),

u0 (x) =

e12(k1+1)x e 12 (k11)x se x 0

0 se x < 0,

juntamente com as condies assintticas

- em

limxe

12(k11)x14(k1+1)

2 u (x, ) = 0

- em +

limx+

u (x, )

e12(k1+1)x+

14(k+1)2

= 1.

Vamos em seguida estudar a existncia de soluo deste problema e, a partir

dela, derivar a soluo do problema de Black-Scholes que dar a expresso

da call europeia C(S, t) .


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Frmula de Poisson para a equao do calor

Vamos neste pargrafo sair do quadro estrito da equao de Black-Scholese considerar a teoria geral da equao do calor. Seja a equao

u

t= a2

2u

x2(2.21)

(a > 0), juntamente com os dados iniciais a que deve estar sujeita a soluou (x, t),

u (x, 0) = u0 (x) , < x < +Procuramos uma soluo definida para t > 0, sob a hiptese de que a funou0

(x) contnua e dominada por uma funo de crescimento exponencial.A teoria das equaes de difuso garante o seguinte resultado de existnciae unicidade.

Teorema 1 Seja u0 (x) uma funo contnua em R tal que, para certasconstantes M0 0 e b 0, se verifique

|u0 (x)| M0 eb|x|, x R.

Ento a funo

u (x, t) =1

2at Z

u0 (s) e

(sx)2

4a2t ds (2.22)

tem derivadas de todas as ordens a respeito de x e de t, para t > 0, e a

nica soluo da equao (2.21) com a condio inicial

u (x, t) = u0 (x)

para < x < +.

A expresso (2.22) designada por frmula de Poisson para a equaodo calor.

Tome-se a expresso da soluo

u (x, t) =1

2a

t

Z

u0 (s) .e (sx)

2

4a2t ds. (2.23)

Considerando a mudana de varivel s y tal que

s = x + y

2at,

ds =

2atdy,


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tem-se

y =s

x

2at ,donde,

y2

2a=

(s x)24a2t

.

Em consequncia, a partir de (2.23)

u (x, t) =1

2a

t

Z

u0 (s) .e (sx)

2

4a2t ds

=1

2a

t

Z

u0

x + y

2at

.e

y2

2a .

2atdy,

isto ,

u (x, t) =12a

Z

u0

x + y

2at

.ey2

2a dy, (2.24)

que uma nova forma de apresentar esta soluo da equao de difuso. claro que

u (x, t) > 0.

2.1.2 Soluo exacta da equao de difuso

Retomemos a equao de difuso, obtida da equao Black-Scholes, (2.16)

u

t=

2u

2,

com a condio inicial respectiva

u (x, 0) = u0 (x) , < x < +,

em que, por (2.20),

u0 (x) =

e12 (k1+1)x e 12 (k11)x se x 0

0 se x < 0.Como vimos na subseco anterior, sendo a = 1, a soluo da equao dedifuso dada por

u (x, ) =1

2

Z+

u0 (s) .e(sx)2

4 ds,

ou, na forma equivalente (2.24),

u (x, ) =12

Z

u0

x + y

2 .ey2

2 dy. (2.25)


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em que a expresso dos dados iniciais se torna:

u0

x + y

2 =

e[12(k1+1)(x+y

2)] e[ 12 (k11)(x+y

2)], se y x

2

0, se y < x2

,

Esta expresso de u0

x + y

2

, substituda em (2.25), conduz-nos a es-crever

u (x, ) = I1 (x, ) I2 (x, ) (2.26)

sendo

I1 (x, ) =12

Z+x/

2

e12(k1+1)(x+y

2) e

y2

2 dy,

I2 (x, ) =12

Z+x/

2

e12(k11)(x+y

2) e

y2

2 dy.

Tratando de forma adequada os integrais de I1 (x, ) e I2 (x, ) , veremos emseguida que

u (x, ) = e12(k1+1)x+

14(k1+1)

2 N(q1)

e12(k11)x+

14(k11)

2 N(q2) (2.27)

onde N(y) a funo gaussiana

N(y) =12

Zy

e12 q

2

dq

eq1 =

x2

+1

2(k1 + 1)

2,

q2 =x2

+1

2(k1 1)

2.

Tratamento de I1

Mostremos que

I1 (x, ) =12

Z+x/

2

e12(k1+1)(x+y

2)y

2

2 dy

=12

e12(k1+1)x e

14(k1+1)

2

Z+x/

2

e12

y12(k1+1)

22

dy.

(2.28)


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De facto, a primeira passagem trivial pois

e12 (k1+1)(x+y

2) e

y2

2 = e12(k1+1)(x+y

2)y

2

2 .

Agora, consideremos o expoente que iremos reorganizar:

1

2(k1 + 1)

x + y

2 y2

2=

= 12 (k1 + 1) x +12 h(k1 + 1) y

2 y2i

= 12 (k1 + 1) x 12h

y2 (k1 + 1) y

2i

= 12 (k1 + 1) x 12h

y2 (k1 + 1) y

2 + 14 (k1 + 1)2 2 14 (k1 + 1)2 2i

,

o que se obteve somando e subtraindo

1

4(k1 + 1)

2 2.

Continuando,1

2(k1 + 1)

x + y

2 y2

2=

= 12 (k1 + 1) x 12

y 12 (k1 + 1)

22 12 (k1 + 1)2

= 12 (k1 + 1) x +14 (k1 + 1)

2 12

y 12 (k1 + 1)

22

,

o que mostra a validade da igualdade (2.28).

Posto isto, para melhorar a expresso do integral, faamos uma novamudana de varivel:

q = y 12 (k1 + 1)

2 ,

isto ,

y = q+ 12 (k1 + 1)

2 .

Logo os diferenciais so iguais,

dq= dy


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e, quanto ao limite inferior de integrao, fica

y = x2

= q+ 12 (k1 + 1)

2

dondeq = x

2 1

2(k1 + 1)

2

Assim, pondo como notao

q1 = q1 (x, ) =x2

+1

2(k1 + 1)

2 ,

temos

I1 = 12

e12(k1+1)x+14(k1+1)2 Z

+

q1e12 q

2dq.

simples verificar queZ+q1

e12 q

2

dq=

Zq1

e12q

2

dq.

donde, considerando a funo gaussiana

N(y) =12

Zy

e12q

2

dq,

podemos escrever finalmente

I1 (x, ) = e12(k1+1)x+

14 (k1+1)

2 N(q1) . (2.29)

Tratamento de I2

Passemos ao clculo da expresso de I2 (x, ). Adoptando a mesma sequn-cia de clculos utilizada no tratamento de I1 e escrevendo

q2 =x2

+1

2(k1

1)

2,

chegamos a

I2 (x, ) = e12(k11)x+

14 (k11)

2 N(q2) . (2.30)

Algoritmo de clculo de N(y)

Na definio da funo gaussiana

N(y) =12

Zy

e12q

2

dq,


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a funo integranda no primitivvel no sentido em que no conhecida

uma primitiva expressa por combinao de funes elementares. Todos oslivros de Probabilidades contm tabelas de N(y) para 0 y 3, 5, compasso igual a 0, 01 e quatro casas decimais. Para os valores no intervalo[3, 5; 0] usa-se a equao

N(y) = 1 N(y)

Para fins de programao prefervel dispr de uma expresso algbrica quenos d o valor aproximao de N(y) como a que vamos apresentar. Seja,para y 0, a funo

(y) = 1 12

ey22

a1z + a2z2 + a3z

3 + a4z4 + a5z

5

sendo

z =1

1 + 0, 2316419 ya1 = 0, 319381530

a2 = 0, 356563782a3 = 1.781477937

a4 =

1.821255978

a5 = 1.330274429

A partir de (y) podemos dar a expresso aproximada, exacta a 6 casasdecimais, de N(y):

N(y) =

(y) se y 0

1 (y) se y < 0(2.31)

2.1.3 Comportamento assinttico da soluo exacta

Recordemos que o modelo de uma call europeia, dado pela equao de Black-Scholes (2.1) com as condies (2.2), (2.3) e (2.4), assume a forma daequao de difuso (2.16) com a condio inicial (2.17) e com as condiesassintticas (2.18) e (2.19). Vimos anteriormente que a soluo da equaode difuso referida satisfaz a condio inicial (2.17). A questo bvia (cujaresposta no decorre directamente da teoria das equaes de difuso) aseguinte: ser que a soluo tambm satisfaz as condies assintticas? Aresposta afirmativa como veremos em seguida.


39/169


Como sabemos a soluo da equao de difuso associada equao de

Black-Scholes tem a expresso (2.26)

u (x, ) = I1 (x, ) I2 (x, )

onde, por (2.29) e (2.30),

I1 (x, ) = e12(k1+1)x+

14(k1+1)

2 N(q1)

I2 (x, ) = e12(k11)x+

14(k11)

2 N(q2) ,

sendo N(y) a funo gaussiana

N(y) =12

Zy

e12 q

2

dq

e

q1 =x2

+1

2(k1 + 1)

2,

q2 =x2

+1

2(k1 1)

2.

Tem-se, evidentemente

limx

q1 (x, ) = ,

limx+

q1 (x, ) = +;

logo, pelas propriedades da gaussiana,

limx

N(q1 (x, )) = 0,

limx+

N(q1 (x, )) = 1.

Pelos mesmos argumentos,

limx

N(q2 (x, )) = 0,

limx+

N(q2 (x, )) = 1.


40/169


Condio assinttica em . Segundo (2.18) a condio assintticaem

limx

e

12(k11)x

14(k1+1)

2 u (x, )

= 0.

Para ver que verificada, basta provar que

L1 = L2 = 0,

uma vez que so vlidas as seguintes igualdades:

limx

e1

2(k11)x1

4 (k1+1)

2

u (x, )

=

= limx

e

12 (k11)x

14(k1+1)

2 I1 (x, )

limx

e

12 (k11)x

14(k1+1)

2 I2 (x, )

= L1 L2

= 0.

Ora,

L1 = limx

e

12(k11)x

14(k1+1)

2 I1 (x, )

= limx

e

12(k11)x

14(k1+1)

2 e12 (k1+1)x+

14(k1+1)

2 N(q1)

= limx

(ex N(q1))

= limx

ex limx

N(q1)

= 0 0 = 0

e


41/169


L2 = limx

e12 (k11)x14(k1+1)

2 I2 (x, )

= limx

e

12 (k11)x

14(k1+1)

2 e12(k11)x+

14(k11)

2 N(q2)

= limx

ek1 N(q1)

= ek1 limx

N(q1)

= ek1 0 = 0

pelo que a condio assinttica em verificada.

Condio assinttica em +. Vamos verificar (2.19), isto ,

limx+

u (x, )

e12 (k1+1)x+

14 (k+1)

2= 1.

Ora

limx+

I1 (x, )

e 12 (k1+1)x+14(k+1)2

= limx+

e12 (k1+1)x+

14 (k1+1)

2 N(q1 (x, ))

e 12 (k1+1)x+14(k+1)2

= limx+

N(q1 (x, ))

= 1

e

limx+

I2 (x, )

e12 (k1+1)x+

14(k+1)

2= lim

x+e12(k11)x+ 14 (k11)

2 N(q2)

e12 (k1+1)x+

14(k+1)

2

= limx+

e12 (k11)x

e12(k1+1)x

e14 (k11)

2

e14 (k+1)

2 N(q2)

=e14 (k11)

2

e14(k+1)

2 lim

x+ex lim

x+N(q2)

= 0.


42/169


x u (x, ) , = 0, 005 = 0, 010 = 0, 015

0, 7 0, 000000 0, 000000 0, 0000010, 3 0, 000041 0, 000972 0, 003450

0, 0 0, 046862 0, 071029 0, 091846

0, 5 0, 976801 1, 010285 1, 044411

0, 9 2, 935717 3, 005860 3, 077155

Tabela 2.1: Tabela contendo valores numricos da soluo exacta da equao dedifuso associada a uma call europeia. Existem 3 colunas, uma para cada valor de. O valor de u(x, ) encontra-se no cruzamento da linha e da coluna respectivas.Usam-se os seguintes valores: taxa de juro r = 0, 05, volatilidade = 0, 2, o que

conduz ao valor k1 = 2, 5. Clculos efectuados com o programa prog21a includono fim do captulo.

Logo

limx+

u (x, )

e12 (k1+1)x+

14(k+1)

2= lim

x+I1 (x, ) I2 (x, )e12 (k1+1)x+

14(k+1)

2

= 1 0 = 1.

Ocorre, portanto, esta situao extraordinria que consiste no facto de asoluo exacta do problema de Cauchy para uma call europeia ser tambma soluo do problema completo, isto , incluindo as condies assintticas.

A tabela 2.1 contm valores numricos da soluo exacta estudada acima.

Por uma questo de completude, resumimos o estudo que acabmos defazer sobre o problema de difuso associado ao problema de Black-Scholespara uma call europeia no resultado seguinte:

(i) A soluo u (x, ) da equao de difuso

u

t=

2u

t2

com condio inicial

u0 (x) =

e12 (k1+1)x e12 (k11)x se x 0

0 se x < 0


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2.2. RETORNO EQUAO DE BLACK-SCHOLES 35

tem a seguinte expresso

u (x, ) = I1 (x, ) I2 (x, )

sendo

I1 (x, ) = e12(k1+1)x+

14(k1+1)

2 N(q1)

I2 (x, ) = e12(k11)x+

14(k11)

2 N(q2)

em que N(y) a funo gaussiana

N(y) =12

Zy

e12q

2

dq

e

q1 = q1 (x, ) =x2

+1

2(k1 + 1)

2

q2 = q2 (x, ) =x2

+1

2(k1 1)

2.

(ii) Alm disso u (x, ) satisfaz as condies assintticas seguintes:

- condio assinttica em

limx

e

12(k11)x

14 (k1+1)

2 u (x, )

= 0,

- condio assinttica em +

limx+u (x, )

e12 (k1+1)x+

14 (k+1)

2 = 1.

2.2 Retorno equao de Black-Scholes

Vamos deduzir uma soluo para a equao de Black-Scholes (2.1) com ascondies (2.2), (2.3) e (2.4) a partir da soluo da equao de difuso (2.16),com a condio inicial (2.17) e com as condies assintticas (2.18) e (2.19),utilizando a equivalncia estabelecida anteriormente entre os dois problemas.


44/169


Notando que, a partir de (2.14), (2.6) e (2.7),

v (x, ) = e12(k11)x

14(k1+1)

2 u (x, )

= e12(k11)x

14(k1+1)

2 (I1 (x, ) I2 (x, ))

= e12(k11)x

14(k1+1)

2 e12 (k1+1)x+

14(k1+1)

2 N(q1)

e12(k11)x

14(k1+1)

2 e12(k11)x+

14(k11)

2 N(q2)

= ex N(q1) ek1 N(q2)

e, relembrando a mudana de variveis,

x = log

S

K

,

=1

22 (T t) ,

v =C(S, t)

K,

k1 = r12

2 = 2r2 ,

dondek1 =

2r

2

1

22 (T t) = r (T t) ,

e, portanto,

v

log

S

K

,

1

22 (T t)

= elog(SE ) N(q1) e

2r2

122(Tt) N(q2)

=S

K

N(q1)

er(Tt) N(q2) .

Usando (2.14), obtemos

C(S, t) = K v

log

S

K

,

1

22 (T t)

= E

S

K N(q1) er(Tt) N(q2)

= S N(q1) K er(Tt) N(q2) .


45/169


Os valores N(q1) e N(q2) podem calcular-se pela equao (2.31). Porm,

q1 e q2 devem ser tambm expressos directamente em S e t:

q1 =log(S/K) +

r + 122

(T t)

T t

q2 =log(S/K) +

r 122

(T t)

T t

O foi dito anteriormente constitui uma demonstrao detalhada, do re-sultado fundamental deste captulo que enunciamos em seguida.

Teorema 2 O valor da call europeia C(S, t) , modelada pela equao deBlack-Scholes

C

t+

1

22S2

2C

S2+ rS

C

S rC = 0,

com

- condio final

C(S, T) = max {S K, 0}- condio de fronteira

C(0, t) = 0

- condio assinttica

C(S, t) v S quando S ,

dado por

C(S, t) = S N(q1) K er(Tt) N(q2) , (2.32)onde N(y) a funo gaussiana

N(y) =12

Zy

e12 q

2

dq

e

q1 =log(S/K) +

r + 122

(T t)

T t

q2 =log(S/K) +

r 122

(T t)

T tA expresso (2.32) conhecida por Frmula de Black-Scholes.


46/169


2.2.1 Put europeia

O valor de uma put europeia P(S, t) pode obter-se a partir da call europeiacom os mesmos parmetros K,r, e T. Basta atender paridade put-call:

C P = S K er(Tt)

dondeP = C S+ K er(Tt). (2.33)

2.2.2 Observao numrica

Como vimos, foi possvel estabelecer uma expresso explcita para o clculode uma call europeia. Contudo, nem sempre assim. Por exemplo, no casodas opes americanas ser necessrio resolver numericamente a equao dedifuso e, depois, determinar os valores correspondentes para a opo. Porisso, apesar de sabermos que, no caso presente, foi possvel levar os clculosmais longe, vamos indicar o caminho decorrente de um esquema tpico deuma situao em que no existe uma soluo exacta da equao de difuso.

Observemos que as frmulas que estabelecem o retorno equao deBlack-Scholes so as seguintes:

v (x, ) = e12(k11)x

14(k1+1)

2 u (x, )

e

C(S, t) = K v

log

S

K

,

1

22 (T t)

.

Na formulao da teoria, T aparece como um parmetro indicador dadata de exerccio da opo contada a partir do dia zero, ou seja do dia emque se inicia o contrato respectivo. Para ser coerente com os sistema deunidades T expresso em anos e tipicamente ser uma fraco do ano. Por

outro lado, t uma varivel que indica o dia para o qual se calcula o valorda opo tendo em conta o preo do activo subjacente.

Quando passamos transformao da equao de Black-Scholes ns ve-rificamos que a soluo depende de T e de t apenas pela diferena destes,T t. Ou seja, ceteris paribus o valor da opo depende do tempo que faltapara o exerccio.

Dito isto, o processo de clculo atravs da equao de difuso e retorno equao de Black-Scholes pode resumir-se e exemplificar-se no esquema


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S x u C P

2, 0 1, 6094 0, 0000 0, 0000 7, 75313, 0 1, 2040 0, 0000 0, 0000 6, 75314, 0 0, 9163 0, 0000 0, 0000 5, 75315, 0 0, 6931 0, 0000 0, 0000 4, 75316, 0 0, 5108 0, 0000 0, 0001 3, 75327, 0 0, 3567 0, 0003 0, 0037 2, 75688, 0 0, 2231 0, 0040 0, 0456 1, 79879, 0 0.1054 0, 0224 0, 2349 0, 9880

10, 0 0, 0000 0, 0710 0, 6889 0, 4420

11, 0 0, 0953 0, 1559 1, 4075 0, 160612, 0 0, 1823 0, 2713 2, 2952 0, 0483

13, 0 0, 2624 0, 4091 3, 2593 0, 0124

14, 0 0, 3365 0, 5640 4, 2497 0, 0028

15, 0 0, 4055 0, 7334 5, 2475 0, 0006

16, 0 0, 4700 0, 9164 6, 2470 0, 0001

Tabela 2.2: Tabela contendo valores numricos da soluo exacta da equaode Black-Scholes para uma call europeia C e a respectiva put P. Situaoa 6 meses antes do exerccio, ou seja, T t = 0, 5. Usam-se os seguintesvalores: preo de exerccio E = 10 euros, taxa de juro r = 0, 05, volatilidade = 0, 2. Os valores da tabela foram calculados com o prog22 includo nofim do captulo. Valor de igual a 0, 01. Comparar com Wilmott, OptionPricing, pg. 283.

seguinte:

S = 12 T t = 0, 25

x = 0, 1823 = 0, 005 u = 0, 2485v = 0, 21348

C = 2, 1348

A tabela 2.2 contm valores da call para T t = 0, 5.A equao (5.2) foi utilizada para escrever a ltima coluna da tabela 2.2,

que diz respeito ao valor da put europeia.


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2.3 Cdigos em C

Apresentam-se os programas em C que foram usados para o clculo dastabelas 2.1 e 2.2.

2.3.1 Prog21

Dados o parmetro k1 e os valores de x e de , o programa calcula o cor-respondente valor de u (x, ). O programa est estruturado tomando comobase as seguintes funes:

1. q1(z,s,k) e q2(z,s,k) correspondentes s funes q1 e q2. k corres-ponde ao valor de k1.

2. fac1(z,s,k) e fac2(z,s,k) correspondentes aos primeiros factores deI1 e I2, respectivamente.

3. normal(z) =12

Rz exp(0.5 s s) ds, pela aproximao (2.31).

4. main(). Esta funo l os valores de k1, x e t e escreve o valor de ucorrespondente.

Cdigo

#include

#include

#include

#include

#include

float q1(float z, float s, float k);


float fac1(float z, float s, float k);


float normal(float z);

void main() {

float tau, x, k1, I1, I2;

float u, z1, z2;

printf("SOLUCAO DA EQUACAO DE DIFUSAO\n");

printf("valores a entrar: k1, x, tau\n\n");

printf("k1 = ");


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2.3. CDIGOS EMC 41

scanf("%f", &k1);

printf("x = ");scanf("%f", &x);

printf("tau = ");

scanf("%f", &tau);

printf("\n");

z1 = q1(x,tau,k1);

z2 = q2(x,tau,k1);

I1 = fac1(x,tau,k1) * normal(z1);

I2 = fac2(x,tau,k1) * normal(z2);

u = I1 - I2;

printf("x = %f tau = %f u = %f\n",x, tau, u);

}

float q1(float z, float s, float k) {

float h;

h = z/ sqrt(2*s)+ 0.5 * (k+1) * sqrt(2*s);

return h;

}


float h;h = z/ sqrt(2*s) + 0.5 * (k-1) * sqrt(2*s);

return h;

}

float fac1(float z, float s, float k) {

float p1, p2;

p1 = 0.5 * (k+1)* z;

p2 = 0.25* (k+1)*(k+1)* s;

return exp(p1 + p2);

}


float p1, p2;

p1 = 0.5 * (k-1)* z;

p2 = 0.25* (k-1)*(k-1)* s;


}

float normal(float z) {


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float const pi = 3.14159265;

float const a1 = .319381530, a2 =-.356563782;float const a3 = 1.781477937;

float const a4 = -1.821255978, a5 = 1.330274429;

float zu, gauss, y, p1, pol, FI;

if(z=0) return FI;

else return 1-FI;

}

2.3.2 Prog22

Dados os parmetros T t, , r, e os valores de S e de t, o programacalcula os correspondentes valores de C(x, ) e de P(S, t). O programa est

estruturado tomando como base as mesmas funes do programa prog21 emais as seguintes:

1. difu(z,s,k) que calcula a soluo da equao de difuso chamando asfunes q1, q2, fac1, fac2 e normal descritas anteriormente.

2. reg(z,s,k) que ir multiplicar a soluo da equao de difuso demodo a obter-se o valor da call, de acordo com (??) e (2.14).

3. main(). Esta funo l os valores de , r, E, S e T t e escreve osvalores correspondentes de C e P. Com clculos intermdios obtm-sek1, x = log (S/E), , u =difu(x , , k1). O valor da put obtm-se deC pela paridade (5.2).

Cdigo

#include

#include

#include

#include


51/169

2.3. CDIGOS EMC 43

#include





float normal(float z);

float difus(float xx, float tt, float kk);

float reg(float z, float s, float k);

void main() {

float sigma, r, E, S, Tt, C, P;float tau, x, k1, I1, I2, u;

printf("CALL/PUT EUROPEIAS--SOLUCAO DA EQUACAO DE BLACK-SCHOLES\n\n");

printf("Parametros a entrar: taxa de juro, volatilidade,

custo de exercicio\n\n");

printf("Valores a entrar: precco do activo, tempo que falta

para o exercicio\n\n");

p r i n t f ( - - - - - - - - - - - - - - - - - \n\n");

printf("volatilidade sigma = ");

scanf("%f", &sigma);

printf("taxa de juro r = ");

scanf("%f", &r);

printf("custo do exercicio E = ");

scanf("%f", &E);

printf("precco do activo S = ");

scanf("%f", &S);

printf("tempo restante para o exercicio, em anos, T-t

= ");

scanf("%f", &Tt);

printf("\n");

k1 = r/(.5 * sigma * sigma);

x = log(S/E);

tau = .5 * sigma *sigma * Tt;

u = difus(x,tau,k1);

C = E * reg(x,tau,k1) * u;

P = C - S + E * exp(-r * Tt);;

p r i n t f ( - - - - - - - - - - - - - - - - - \n\n");


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printf("Equaccao de difusao\n\n");

printf("x = %f tau = %f u = %f\n\n",x, tau, u);printf("Equaccao de Black-Scholes\n\n");

printf("S = %f T-t = %f C = %f P = %f\n\n",S, Tt, C, P);

}


float h;

h = z/ sqrt(2*s)+ 0.5 * (k+1) * sqrt(2*s);

return h;

}


float h;

h = z/ sqrt(2*s) + 0.5 * (k-1) * sqrt(2*s);

return h;

}


float p1, p2;

p1 = 0.5 * (k+1)* z;

p2 = 0.25* (k+1)*(k+1)* s;


}


float p1, p2;

p1 = 0.5 * (k-1)* z;

p2 = 0.25* (k-1)*(k-1)* s;


}

float normal(float z) {

float const pi = 3.14159265;

float const a1 = .319381530, a2 =-.356563782;

float const a3 = 1.781477937;

float const a4 = -1.821255978, a5 = 1.330274429;

float zu, gauss, y, p1, pol, FI;

if(z


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2.3. CDIGOS EMC 45

else zu = z;

gauss = 1/sqrt(2*pi) * exp(-0.5 * zu*zu);y = 1 / (1 + .2316419 *zu);

p1 = a1* y + a2*y*y + a3* y*y*y + a4* y*y*y*y;

pol = p1 + a5* y*y*y*y*y;

FI = 1 - gauss * pol;

if(z>=0) return FI;

else return 1-FI;

}

float difus(float xx, float tt, float kk) {

float z1, z2, I1, I2;

z1 = q1(xx,tt,kk);

z2 = q2(xx,tt,kk);

I1 = fac1(xx,tt,kk) * normal(z1);

I2 = fac2(xx,tt,kk) * normal(z2);

return I1 - I2;

}

float reg(float z, float s, float k) {

return exp(-.5*(k-1)*z -.25*(k+1)*(k+1)*s);

}


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Captulo 3

Solues numricas. Mtodo

explcito

Aps as mudanas de varivel que expusemos no captulo anterior, podemosafirmar que o problema concreto que tivemos de resolver se enuncia sob aforma mais geral:

Dadas 3 funes u0 (x), f(x, ), g (x, ), encontrar uma soluo u (x, )da equao diferencial parcial

u

=

2u

x2

sujeita s condies inicial e assintticas

u (x, 0) = u0 (x) (3.1)

limx

u (x) f(x, ) (3.2)lim

x+u (x) g (x, ) (3.3)

No captulo anterior este problema encontrou uma soluo exacta para acall europeia no sentido em que existia uma funo com expresso conhecidaque era soluo do problema. Porm, esta situao raramente se verificapelo que necessrio desenvolver mtodos de aproximao numrica cujaaplicao conduza a uma funo que seja aproximada da soluo exacta.Neste captulo, vamos expor um desses mtodos, o mtodo das diferenasfinitas na verso de mtodo explcito. No captulo seguinte abordaremos omtodo implcito.

47


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48 CAPTULO 3. SOLUES NUMRICAS. MTODO EXPLCITO

3.1 Derivao numrica

Como introduo, comearemos por rever o caso de uma funo de umavarivel. Sempre que tal se manifeste necessrio para dar sentido s afir-maes, ser assumida a regularidade necessria relativamente s funesem causa, mesmo que tal no seja dito explicitamente.

Sendo dada uma funo genrica (x), por definio, a sua derivada noponto x0, se existir, igual ao limite:

0 (x0) = limh0

(x0 + h) (x0)h

.

Por exemplo, sendo (x) = x2 vir

0 (x0) = limh0

(x0 + h)2 (x0)2h

= 2 x0.

Porm, a situao no ser to simples se a funo (x) no tiver umaexpresso analtica semelhante ao exemplo dado. Em todo o caso, se h forsuficientemente pequeno, o quociente

(x0 + h) (x0)h

ter um valor prximo de 0 (x0), tanto mais prximo quanto menor for ovalor de h. Seja de novo (x) = x2 e faamos x

0= 2 e h = 0, 001. Ento

teremos

(x0 + h)2 (x0)2h

=2, 0012 22

0, 001=

4, 004001 40, 001

=0, 004001

0, 001= 4, 001,

valor prximo do valor exacto da derivada e que 4. Se tivssemos feitoh = 0, 0001 a aproximao encontrada seria 4, 0001, etc.

Este processo baseia-se na frmula de Taylor cuja expresso pode ser

escrita no modo seguinte (x0 + h) = (x0) + h

0 (x0) + h O (h; x0) (3.4)

sendolimh0

O (h; x0) = 0

A equao (3.4) pode ainda escrever-se, passando (x0) ao 1o membroe dividindo ambos os membros por h,

(x0 + h) (x0)h

= 0 (x0) + O (h; x0) , (3.5)


57/169

3.1. DERIVAO NUMRICA 49

expresso que d consistncia terica aproximao da derivada pelo quo-

ciente:0 (x0) (x0 + h) (x0)

h. (3.6)

Equao diferencial

Este raciocnio til como base de um processo numrico para as equaesdiferenciais. Por exemplo, seja a equao diferencial ordinria

dy

dx= 2 y (3.7)

cuja soluo y (x), com y (0) = 3, pretendemos determinar para o valorx = 1. Consideremos o intervalo [0, 1] que dividimos em 100 sub-intervalosatravs dos valores

0 = x0, x1, x2, x3, . . . , x98, x99, x100 = 1

A amplitude de cada sub-intervalo vale h = 0, 01. claro que

x1 = h

x2 = x1 + h = 2 h

x3 = x2 + h = 3 h

(3.8)

xi = xi1 + h = i h

xi+1 = xi + h = (i + 1) h

Seja y (x) a soluo que sabemos que existe mas que desconhecida apriori. Ela satisfaz identidade

y0 (x) 2 y (x)

Partindo do princpio de que este valor h suficientemente pequeno nocontexto do problema, poderemos fazer a aproximao

y0 (xi) y (xi + h) y (xi)h

ou

y0 (xi) y (xi+1) y (xi)

h


58/169


dado que xi e xi+1 so dois pontos contguos da partio. Deste modo, para

conseguir uma soluo aproximada, a equao (3.7) pode ser substitudapela equao finita

y (xi+1) y (xi)h

= 2 y (xi)

ouy (xi+1) = (2h + 1) y (xi)

Adoptaremos a seguinte designao

u(k) = y (xk) (3.9)

relembrando que os valores de y (xk) so desconhecidos, excepto para k = 0porque se temu(0) = y (x0) = y (0) = 3

Est definido o processo iterativo seguinte:

u(k+1) = u(k) (3.10)

sendo = 2h + 1

o qual dever ser executado 100 vezes at se conseguir o resultado final

pretendido, a saber, uma aproximao do valor de y (1). Teremos, uma vezque

= 2h + 1 = 1, 02

a sequncia:

u(0) = 3

u(1) = u(0)

u(2) = u(1) =

u(0)

= 2 u(0)

u(3) = u(2) = 2 u(0) = 3 u(0)

u(100) = u(99) =

99 u(0)

= 100 u(0)

donde chegamos aproximao

y (1) u(100) = 100 3 = 22, 1229.

A figura 3.1 apresenta os valores da soluo aproximada, para x entre0 e 1, calculados com passo h = 0, 1. O grfico comparado com o grfico


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0. 2 0. 4 0. 6 0. 8 1

5

10

15

20

Figura 3.1: O grfico inferior representa os valores da soluo aproximada,para x entre 0 e 1, calculados com passo h = 0, 1. O grfico superiorrepresenta a soluo exacta.

da soluo exacta. De facto, para comparao podemos calcular a soluoda equao diferencial (3.7) correspondente condio inicial y (0) = 3.

Escrevamos 12

dy

y= dx

logo,1

2log y = x + C

oulog

y = x + C

donde y = exp (x + C)

e finalmentey (x) = K exp(2x)

como K > 0. Das condio inicial y (0) = 3 tira-se o valor de K e fica

y (x) = 3 e2x.

O processo pode ser melhorado apertando o passo, ou seja, tomando hmais pequeno. Na tabela 3.1 esto includas vrias situaes correspondentesa valores diferentes do passo h.


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y (1) = 3 e2 ya (1; h) hya(1;h)y(1)

y(1)

22, 167168 18, 575209 0, 1 16, 2%22, 167168 21, 733931 0, 01 1, 95%22, 167168 22, 122923 0, 001 0, 20%22, 167168 22, 162769 0, 0001 0, 02%

Tabela 3.1: Na primeira coluna est o valor exacto. Na segunda colunaesto os valores aproximados correspondentes aos passos h = 0, 1, h = 0, 01,h = 0, 001 e h = 0, 0001. O smbolo ya(x; h) representa genericamente asoluo aproximada calculada com o passo h. Na quarta coluna est o errorelativo cometido em relao ao valor exacto, expresso em percentagem deste

valor.

Seja a equao diferencial (3.7) com as condies iniciais y (x0) = y0.Genericamente, este processo permite obter um valor (aproximado) da soluoy (x) correspondente a qualquer valor do argumento. Sendo x > x0 umvalor do argumento seguiremos o algoritmo seguinte.

Algoritmo

1. Escolhe-se uma aproximao h0 ao passo.

2. Calcula-se o quociente

q =x x0

h0e designa-se por N o maior inteiro contido em q.

3. Recalcula-se o valor do passo que ser

h =x x0

N.

4. Aplica-se o algoritmo iterativo

u(k+1) = u(k)

sendo = 2h + 1, u(0) = y0, para k = 0, 1, 2, . . . , N 1. Isto ,

u(0) = y0

u(1) = u(0)

u(2) = u(1)

u(N) = u(N1)


61/169


sendo que o valor aproximado de y (x) justamente

u(N) = N u(0)

Equao linear de 2a ordem

Seja uma equao diferencial ordinria linear de 2a ordem

d2y

dx2+

dy

dx+ y = 0

com as condies iniciais

y (0) = 0

y0 (0) = 2

e usemos o mesmo processo para calcular aproximadamente y (1). Fazendoa partio do intervalo em N intervalos com passo h, substituiremos

y0 (xi) y (xi+1) y (xi)h

.

Porm, agora pe-se um problema de aproximar y00.Seja uma funo (x) diferencivel. Sendo h > 0, suficientemente pe-

queno, aproximmos a derivada de pela expresso:

0 (x) (x + h) (x)h

Todavia, devemos notar que tambm poderamos ter procedido a outraaproximao com a mesma validade

0 (x) (x h) (x)h . (3.11)

Isto , enquanto no primeiro caso aproximmos a derivada pela direita, nosegundo caso estamos a aproxim-la pela esquerda. No processo seguido paraaproximar y00 iremos combinar os dois processos. Comeamos por notar que,

fazendo a aproximao pela direita,

y00 (x) y0 (x + h) y0 (x)

h. (3.12)

Procedendo a aproximaes pela esquerda,

y0 (x + h) y (x) y (x + h)h(3.13)

y0 (x) y (x h) y (x)h


62/169


e substituindo em (3.12),

y00 (x) y (x) y (x + h)

h y (x h) y (x)

hh

(3.14)

ou seja,

y00 (x) y (x + h) y (x)

h y (x) y (x h)

hh

y (x + h) 2 y (x) + y (x h)hh

o que permite escrever

y00 (x) y (x + h) 2 y (x) + y (x h)h

. (3.15)

De acordo com o que foi dito anteriormente, a equao ficar

y (xi+1) 2 y (xi) + y (xi1)h2

+y (xi+1) y (xi)

h+ y (xi) = 0, (3.16)

ou seja,

y (xi+1) 2 y (xi) + y (xi1) + h y (xi+1) h y (xi) + h2 y (xi) = 0,

e mantendo as notaes anteriores, isto u(k) = y (xk),

u(k+1) 2 u(k) + u(k1) + h u(k+1) h u(k) + h2 u(k) = 0.

Arrumando as parcelas,

u(k+1) + h u(k+1) 2 u(k) h u(k) + h2 u(k) + u(k1) = 0, (3.17)

ou seja,(1 + h) u(k+1) 2 + h h2 u(k) + u(k1) = 0. (3.18)

Isolando u(k+1) fica

(1 + h) u(k+1) =

2 + h h2 u(k) u(k1),donde,

u(k+1) =

2 + h h2

1 + h

u(k) 1

1 + hu(k1).


63/169


Escrevendo

= 2 + h h21 + h

=1

1 + h,

ficar finalmenteu(k+1) = u(k) u(k1). (3.19)

Este processo permite calcular cada iterao a partir dos valores das duasiteraes anteriores. De acordo, com as definies temos

u(0) = y (x0

) = y (0)

u(1) = y (x1) ,

e temos que estimar o valor de y (x1). Ora, pela frmula de Taylor,

y (x1) = y (x0 + h) y (x0) + h y0 (x0) (3.20)e o valor de y0 (x0) vem dado nas condies iniciais.

Procedamos ao clculo de forma a obter o valor de y(0, 931), de acordocom a sequncia anteriormente estabelecida.

1. Escolhe-se uma aproximao h0 = 0, 01.

2. Calcula-se o quociente

q=0, 931 0

0, 01= 93, 1

e designa-se por N o maior inteiro contido em q, isto N = 93.

3. Recalcula-se o valor do passo que ser definitivamente

h =0, 931

93= 0, 010011

4. Aplica-se o algoritmo iterativo

u(k+1) = u(k) u(k1)tendo em conta que

h = 0, 010011

y (0) = 0

y (0, 01) = h 2 = 0, 020022

= 1, 989989

= 0, 990088


64/169


k xk y (xk) = uk

0 0, 000000 0, 000000

1 0, 010011 0, 020022

2 0, 020022 0, 039844

3 0, 030032 0, 059463

4 0, 040043 0, 078884...

......

91 0, 910978 1, 047139

92 0, 920989 1, 050876

93 0, 931000 1, 054471

Tabela 3.2: Primeiras e ltimas linhas da folha Excel para o clculo numricodo valor aproximado da soluo y(x) da equao linear y00 + y0 + y = 0, parax = 0, 931. O valor procurado encontra-se na ltima clula, u93 = 1, 054471.

Efectuando os clculos numa folha Excel obtm-se os resultados contidosna tabela 3.2. Encontra-se o valor aproximado

y (0, 931) 1, 054471

Poderemos agora comparar com resultado obtido com a soluo exactada equao diferencial

yr (x) =4

3 exp12x sin32 x (3.21)

Temos

yr (0, 931) = 1, 046401

portanto, com um erro relativo igual a 0, 77%.

3.1.1 Derivadas parciais

A aproximao das derivadas pode aplicar-se s derivadas parciais, especi-ficamente, no caso de uma funo de duas variveis u (x, ). De facto, arespeito de u(x, .) e u(., ), a frmula de Taylor pode escrever-se

u (x, + h) u (x, )h

=u

(x, ) + O (h; x, ) ,

eu (x + k, ) u (x, )

k=

u

x(x, ) + O (k; x, ) , (3.22)


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3.2. RESOLUO NUMRICA DA EQUAO DE DIFUSO 57

respectivamente, com

limh0

O (h; x, ) = 0

limk0

O (k; x, ) = 0

donde

u

(x, ) u (x, + h) u (x, )

h(3.23)

u

x (x, ) u (x + k, )

u (x, )

k .

Na equao de difuso surge tambm a 2a derivada. Consideraessemelhantes s anteriores levam a escrever, relativamente a u(., ),

2u

x2(x, ) =

u (x + k, ) 2u (x, ) + u (x k, )k2

+ k2 O (k; x, ) (3.24)

donde poderemos resumir as aproximaes s derivadas parciais:

u

(x, )

u (x, + ) u (x, )

u

x(x, ) u (x + x,) u (x, )

x(3.25)

2u

x2(x, ) u (x + x,) 2u (x, ) + u (x x,)

(x)2

onde se designaram os acrscimos por e x.

3.2 Resoluo numrica da equao de difuso

Comecemos por uma situao simples. Resolver numericamente a equaode difuso

u

=

2u

x2

na semi-banda infinita

1 x 10 < +


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com as condies

u (x, 0) = u0 (x) = x2

u (1, ) = f() = cos2 u (1, ) = g () = + 1

O processo consiste em aproximar numericamente u (x, ) para valoresespecificados de (x, ), porm o desenvolvimento do mtodo apresenta al-gumas particularidades que preciso ter em conta. Seja um valor fixo econsidere-se o rectngulo

1 x 10 <

imagem do que se fez com a equao diferencial ordinria

dy

dx= y

dividamos este rectngulo em 2N M rectngulos com lados x e t,assegurando-nos, por razes tcnicas, que tm a ver a garantia da esta-bilidade do mtodo,1

=

(x)2 < 0, 5

Ver a figura 3.2.Constitui-se, assim uma malha cujos ns tm uma dupla numerao

(m, n) e tm coordenadas(m , n x)

sendo

0 m M

N n N

e, no caso vertente,

N x = 1N x = 1

M =

1 De facto, se este quociente for maior do que 0,5 o mtodo apresenta um comportamentoerrtico.


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3.2. RESOLUO NUMRICA DA EQUAO DE DIFUSO 59

1 2 3 4

- 1

- 0. 5

0. 5

1

Figura 3.2: Na banda infinita considera-se o rectngulo 1 x 1,0 . Este rectngulo divide-se em 2N M sub-rectngulos, o queorigina (2N + 1) (M + 1) ns. Registe-se que, na aplicao do mtodo dasdiferenas finitas, as alturas dos sub-rectngulos so muito maiores dos que

as larguras, isto , x.


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Considerada u (x, ) a soluo da equao de difuso podemos escrever

os valores que esta soluo (desconhecida) assume nos ns da malha:

u(m)n = u (n x,m ) (3.26)

Por outro lado, usando as expresses (3.25) a equao de difuso podeescrever-se aproximadamente

u (x, + ) u (x, )

=u (x + x,) 2u (x, ) + u (x x,)

(x)2

e considerando apenas os valores nos ns,

u (n x,m + ) u (n x,m )

=

=u (n x + x,m ) 2u (n x,m ) + u (n x x,m )

(x)2

ouu (n x, (m + 1) ) u (n x,m )

=

=u ((n + 1) x,m ) 2u (n x,m ) + u ((n 1) x,m )

(x)2

o que fica, de acordo com a notao (3.26),

u(m+1)n u(m)n

=

u(m)n+1 2u(m)n + u(m)n1

(x)2(3.27)

o que se pode escrever

u(m+1)n u(m)n =

(x)2

u(m)n+1 2u(m)n + u(m)n1

(3.28)

ouu(m+1)n = u

(m)n +

(x)2

u(m)n+1 2u(m)n + u(m)n1

(3.29)

donde a forma final

u(m+1)n = u(m)n +

u(m)n+1 2u(m)n + u(m)n1

(3.30)

em que

=

(x)2

mantendo-se a presuno de que

0, arbitrrio,

|u (x, ) f(x, )| < (3.37)

desde que x seja suficientemente prximo de . A questo prtica quese pe saber quais os valores de x que so suficientemente pequenos, ou


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seja, suficientemente prximos de . De facto, se a desigualdade (3.37) forvlida para muito pequeno, no contexto do nosso problema, para x < x 0. Sendo assim, a matriz M invertvel e osistema linear (4.12) tem uma nica soluo. Vamos procur-la.

4.2.1 Decomposio L U

Suponhamos que a matriz quadrada (n n) A = [aij] se decompe noproduto de uma matriz L = [lij] triangular inferior com uma matriz U =[uij] triangular superior:

A = L U


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4.2. RESOLUO DO SISTEMA 77

isto ,

a11 a12 a1na21 a22 a2n

......

. . ....

an1 an2 ann

=

l11 0 0

l21 l22 0...

.... . .

...ln1 ln2 lnn

u11 u12 u1n0 u22 u2n...

.... . .

...0 0 unn

Se tivermos o sistema

a11 a12 a1na21 a22 a2n

......

. . ....

an1 an2 ann

x1

x2...

xn

=

q1

q2...

qn

ou sejaA x = q

podemos resolv-lo em duas etapas. Atendemos a que

(L U) x = q

ouL (U x) = q

e desgnando y = U x

esta ser a nova incgnita. Sendo assim, a primeira etapa consiste em re-solver os sistema

L y = q

o que fcil visto que L triangular inferior. A soluo designa-se por y.A segunda etapa consiste em resolver o sistema

U x = y

o que tambm fcil porque U triangular superior.

Sistema triangular inferior

Primeiro resolvemos o sistema

l11 0 0

l21 l22 0...

.... . .

...ln1 ln2 lnn

y1

y2...

yn

=

q1

q2...

qn


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78 CAPTULO 4. DIFERENAS FINITAS: MTODO IMPLCITO

cuja soluo hy1 y2 yniT

obtida por clculo recorrente de cima para baixo

y1 =q1l11

, etc.

Em dimenso 4 seria

l11 y1 = q1l21 y1 + l22 y2 = q2l31 y1 + l32 y2 + l33 y3 = q3

l41 y1 + l42 y2 + l43 y3 + l44 y4 = q4

logo,

y1 =q1l11

y2 =1

l22(q2 l21 y1)

y3 =1

l33(q3 l31 y1 l32 y2)

y4 =1

l44

(q4 l41 y1 l42 y2 l43 y3)

Sistema tringualar superior

A seguir resolve-se o sistema linear

u11 u12 u1n0 u22 u2n...

.... . .

...0 0 unn

x1

x2...

xn

=

y1y2...

yn

num crescendo de baixo para cima:

x1 =yn

unn, etc.

Em dimenso 4,

u11 x1 + u12 x2 + u13 x3 + u14 x4 = y1

u22 x2 + u12 x3 + u24 x4 = y2

u33 x3 + u34 x4 = y3

u44 x4 = y4


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4.2. RESOLUO DO SISTEMA 79

o que d

x4 =y4

u44

x3 =1

u33(y3 u34 x4)

x2 =1

u22(y2 u12 x3 u24 x4)

x1 =1

u11(y1 u12 x2 u13 x3 u14 x4)

Exemplo

Sejam o sistema linear 4 4 na forma matricial

4 5 1 212 13 13 16

8 17 50 1920 22 35 56

x1x2

x3

x4

=

1

23

3

A matriz admite a decomposio L U seguinte:

4 5 1 212 13 13 16

8 17 50 1920 22 35 56

=

1 0 0 0

3 2 0 02 7 4 0

5 3 8 7

4 5 1 20 1 8 50 0 2 30 0 0 1

A soluo de L y = q

y1 = 1; y2 =

52

; y3 = 458 ; y4 =

10114

e a soluo de U x = y

x1 =5207

64; x2 =

141

2; x3 =

1527

112; x4 =

101

14

e esta tambm a soluo do sistema inicial M x = q.


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80 CAPTULO 4. DIFERENAS FINITAS: MTODO IMPLCITO

4.2.2 Caso tri-diagonal

No caso tri-diagonal, situao que nos interessa, estas expresses tornam-seainda mais simples. De facto, a matriz apresenta-se na forma

a1 c1 0 0 0 0

b1 a2 c2 0 0 0

0 b2 a3 c3 0 0

0 0 b3 a4 c4 0

0 0 0 b4 a5. . .

......

......

.... . . . . . cn1

0 0 0 0 bn1 an

e podemos tentar decomp-la num produto L U em que estas matrizesassumem formas especiais:

L =

1 0 0 0 0 0

l1 1 0 0 0 0

0 l2 1 0 0 0

0 0 l3 1 0 0

0 0 0 l4 1. . .

......

.

.....

.

.... .

.. . 0

0 0 0 0 ln1 1

e

U =

u1 z1 0 0 0 0

0 u2 z2 0 0 0

0 0 u3 z3 0 0

0 0 0 u4 z4 0

0 0 0 0 u5. . .

......

......

.... . . . . . zn1

0 0 0 0 0 un

Efectuando o produto L U e igualando a M podemos deduzir os va-lores de li, ui, zi. Antes de passarmos ao caso geral, vamos expor um casoparticular com dimenso 4 4. Sejam

L =

1 0 0 0

l1 1 0 0

métodos numéricos em finanças

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