mÉtodos numÉricos engenharia de produÇÃo

MÉTODOS NUMÉRICOS

ENGENHARIADE

PRODUÇÃO

EXERCÍCIOSTEÓRICO-PRÁTICOS

2001/2002

Métodos NuméricosExercícios

Erros e estabilidade

Folha 1

1. O resultado de uma operação não tem necessariamente o mesmo número de algar-ismos signi…cativos do que as parcelas.

Comprove a a…rmação, calculando

x+ y

com x = 0:123£ 104 e y = 0:456£ 10¡3.

2. Para x = 0:433£ 102, y = 0:745 £ 100 e z = 0:100£ 101, calcule usando aritméticade três algarismos signi…cativos

a) x + y

b)y

xc) xz

Quantos algarismos signi…cativos apresentam os resultados? Estime os erros dearredondamento cometidos.

3. Calcule um limite superior do erro absoluto no cálculo da expressão

f (x; y; z) =2xy

x2 + z

Sabendo que são usados os seguintes valores aproximados:

x = 3:1415 de ¼

y = 1:732 dep3

z = 1:4142 dep2

Estime também o erro relativo em f.

Quantos algarismos signi…cativos apresenta o resultado obtido?

4. Reformule a expressão1 ¡ cos(x)

x

por forma a tornar-se estável para x 6= 0 e jxj ¿ 1.

2

5. Comente as duas alíneas seguintes, com base no conceito da “estabilidade matemática”:

(a) Dada uma função f (x) de…namos o conjunto

S = fx¤ 2 ICjf (x¤) = 0g:Considere, agora,

i. f(x) = x2 ¡ 3x + 2 com S = f1; 2g;ii. g(x) = x2 ¡ 3:0001x+ 2 com S = f0:9999; 2:0002g;i. A solução da equação diferencial

@2u

@t2+@2u

@x2= 0 t > 0; x 2 IR

com as condições auxiliares

u(x; 0) = 0 e@u

@t(x; 0) = 0 x 2 IR

é

u(x; t) = 0;

ii. A solução da equação diferencial

@2u

@t2+@2u

@x2= 0 t > 0; x 2 IR

com as condições auxiliares

u(x; 0) = 0 e@u

@t(x; 0) = 10¡4sen(104x) x 2 IR

éu(x; t) = 10¡8sen(104x)senh(104t):

6. Considere o sistema linear:½10¡20x1 + x2 = 1x1 + x2 = 2

e a seguinte tabela:

solução solução por solução por eliminação deexacta eliminação de Gauss Gauss com escolha parcial de pivot

x1 =1

1¡10¡20 x1 = 0 x1 = 1

x2 = 1¡ 10¡201¡10¡20 x2 = 1 x2 = 1

Comente a tabela dada, com base no conceito da “estabilidade numérica”.

3


Solução de uma equação não linear

Folha 2

1. Determine através de métodos grá…cos e por dois processos distintos, a localizaçãodo zero das funções

(a)f (x) = x+ ln(x):

g(x) = x3 ¡ 3x+ 1

2. A equaçãof(x) = x2 + tg(x) = 0

tem uma raiz no intervalo [1; 2].

(a) Use o método da secante para a calcular. Pare o processo iterativo quando

jxk+1 ¡ xkjjxk+1j

· 0:01

ejf(xk+1)j · 0:05

(b) Estude a convergência da implementação anterior.

3. A equaçãof (x) = 1 + (sec (x))

12 ¡ tg (x) = 0

surge na teoria das reacções nucleares e tem várias raízes. Calcule a raiz que per-tence ao intervalo [1; 1:5] usando um método iterativo que não precise do cálculodas derivadas. Pare o processo iterativo quando os critérios de paragem forem veri-…cados:

jxk+1 ¡ xkjjxk+1j

· 0:05

ejf(xk+1)j · 0:05

4


Solução de uma equação não linear

Folha 3

1. Considere a equação não linear f(x) = x+ ln(x) que tem uma única raiz. Sabe-seque esta pertence ao intervalo [0:5; 1:0].

(a) Determine uma aproximação a essa raiz através do método da secante. Con-sidere os seguintes critérios de paragem

jxk+1 ¡ xkjjxk+1j

· 0:005

ejf(xk+1)j · 0:0005

(b) Determine uma aproximação a essa raiz agora através do método de Newton.Considere o mesmo critério de paragem da alínea anterior.

(c) Repita o processo, para o método de Newton, tomando agora x0 = 3:0. Queconclusões pode tirar desta implementação?

(d) Estude a convergência das implementações anteriores.

2. Dada a função G (x) de…nida por um quociente de dois polinómios em x,

G (x) =p1 (x)

p3 (x)=

3x +2

x3 + 5x2 + 11x + 15;

pretende-se calcular os zeros do polinómio p3 (x). A equação polinomial p3 (x) = 0tem duas raízes complexas e uma real.

(a) Calcule a raiz real usando o método da secante. Tome como aproximação inicialo intervalo [¡1; 0] e pare o processo iterativo quando os critérios de paragemforem veri…cados

jxk+1 ¡ xkjjxk+1j

· 0:01

ejf(xk+1)j · 0:001

(b) Para calcular as outras raízes qual é o método mais e…ciente? Justi…que a suaresposta.

5

3. Uma bola esférica de raio r = 10 cm feita de uma substância cuja densidade é½ = 0:638, foi colocada num recipiente com água. Calcule a distância x da partesubmersa da bola sabendo que

f (x) =¼ (x3 ¡ 3x2r + 4r3½)

3= 0

usando o método de Newton. Pare o processo iterativo quando os critérios deparagem forem veri…cados

jxk+1 ¡ xkjjxk+1j

· 0:001

ejf(xk+1)j · 0:001

ou ao …m de 3 iterações (completas).

r = 10 x

-1000

0

1000

2000

5 10 15 20

2 32552 30y x x= − +

6


Determinantes, Inversas,Valores e Vectores próprios de matrizes

Folha 4

1. Dada a matriz

A =

0BB@

2:4 6:0 ¡2:7 5:0¡2:1 ¡2:7 5:9 ¡4:03:0 5:0 ¡4:0 6:00:9 1:9 4:7 1:8

1CCA

(a) Veri…que se o determinante da matriz A é igual a ¡4:872.(b) Calcule A¡1.

2. Considere a matriz A quadrada de ordem 4,

A =

0BB@

0:5 0:25 0 00:25 0:5 ¡0:25 00 ¡0:25 0:5 0:250 0 0:25 0:5

1CCA

(a) Calcule o determinante da matriz A.

(b) Calcule A¡1.

(c) Calcule o valor próprio de maior módulo e o correspondente vector próprio. Oprocesso iterativo deve terminar quando os critérios de paragem forem veri…-cados ¯̄

¸(k+1) ¡ ¸(k)¯̄

j¸(k+1)j · 0:1

e °°x(k+1) ¡ x(k)°°

kx(k+1)k · 0:5

7

3. Considere a seguinte matriz quadrada

A =

0@4 2 42 1 24 2 4

1A

(a) Calcule o valor próprio de maior módulo e o correspondente vector próprio.Pare o processo iterativo quando os critérios de paragem forem veri…cados

¯̄¸(k+1) ¡ ¸(k)

¯̄

j¸(k+1) j · 0:01

e °°x(k+1) ¡x(k)°°

kx(k+1)k · 0:01

ou quando atingir as 3 iterações (completas).

(b) Calcule usando um método directo e estável o determinante da matriz dada.

8


Sistemas de equações linearesMétodos Directos

Folha 5

1. Dada a matriz

A =

0BB@

2:4 6:0 ¡2:7 5:0¡2:1 ¡2:7 5:9 ¡4:03:0 5:0 ¡4:0 6:00:9 1:9 4:7 1:8

1CCA

e o vector b = (14:6; ¡11:4; 14:0; ¡0:9)T .

Resolva o sistema correspondente recorrendo a um método directo e estável.

2. Considere o seguinte sistema linear8<:

4x1+ 13x2+ 2x3 = ¡15¡8x1 +10x2 +8x3 = 6

2x1 +6:5x2 + 5:5x3 = ¡3:

(a) Resolva-o pelo método de eliminação de Gauss com pivotagem parcial.

(b) Calcule o determinante da matriz dos coe…cientes.

(c) Calcule a inversa da matriz dos coe…cientes.

3. Considere o seguinte sistema linear8<:

x1 + 2x2 + x3 = 12x1 + x2+ 2x3 = 3x1 + 2x2 + x3 = 0

:

resolva-o recorrendo ao método de eliminação de Gauss com pivotagem parcial.

4. Dada a matriz

A =

0@8 2 15 4 11 2 2

1A

e o vector b = (1; 3; 0)T .

Resolva o sistema correspondente recorrendo a um método directo e estável.

9


Sistemas de equações linearesMétodos Iterativos

Folha 6

1. Considere o seguinte sistema linear

8<:8x1+ 2x2 + x3 = 15x1+ 4x2 + x3 = 3x1 +2x2 + 2x3 = 0

(a) Mostre que a matriz de iteração de Jacobi é

CJ =

0@

0 ¡0:25 ¡0:125¡1:25 0 ¡0:25¡0:5 ¡1 0

1A :

(b) Estude as condições su…cientes de convergência do método de Jacobi.

(c) Sabendo que os valores próprios da matriz CJ são f¡0:911438; 0:411438; 0:5g(com seis casas decimais), que pode concluir quanto à convergência do métodode Jacobi?

(d) Aplique o método iterativo de Jacobi, considerando x(0) = (0; 1:2;¡0:8)T e

°°x(k+1) ¡x(k)°°

kx(k+1)k · 0:25

2. Considere o sistema

8<:x1 +0:5x2 + 0:5x3 = 20:5x1+ x2 + 0:5x3 = 20:5x1+ 0:5x2 + x3 = 2

(a) Veri…que as condições su…cientes de convergência do método de Gauss-Seidel.

(b) Use o método de Gauss-Seidel para calcular a solução, com°°x(k+1) ¡ x(k)

°°kx(k+1)k · 0:3

10

3. Considere o seguinte sistema de equações lineares

8>>>><>>>>:

2x1 +0:5x2 = 10:5x1 + x2 = 12x3 = ¡1x4 + x5 = 1x4 +2x5 = ¡1

Pretende-se resolvê-lo usando o método de Gauss-Seidel.

(a) Estude a convergência do referido método.

(b) Implemente o método para resolver o sistema. Pare o processo iterativo quandouma das seguintes condições for veri…cada:

i.

°°x(k+1) ¡ x(k)°°

kx(k+1)k · 0:5

ii. número máximo de iterações = 3.

4. Considere o seguinte sistema de equações lineares8>><>>:

¡x1 + x2 = 1x1 +4x2 + x3 = 0x2 +4x3 + x4 = 0x3 ¡ x4 = 1

Estude a convergência do método iterativo de Gauss-Seidel.

Se tiver de implementar algum processo iterativo para poder tirar conclusões de…n-itivas sobre a convergência, faça apenas 3 iterações nesse processo.

11


Sistemas de equações não linearesFolha 7

1. Determine uma aproximação à solução do sistema não linear8>><>>:

2x1 = sin

µx1 + x22

¶

2x2 = cos

µx1 ¡ x22

¶

através do método de Newton. Considere como aproximação inicial o vector (0; 0)T epara o critério de paragem use os valores

°°x(k+1) ¡ x(k)°°

kx(k+1)k · 0:01

e. °°f (x(k+1))°° · 0:005

2. Calcule a solução do sistema de equações não lineares½x21 + x

22 = 5

ex1 + x2 = 3

Tome para aproximação inicial o vector (¡0:1; 2)T.Pare o processo iterativo quando o critério de paragem for veri…cado para

°°x(k+1) ¡ x(k)°°

kx(k+1)k · 0:05

e. °°f (x(k+1))°° · 0:01

ou quando atingir as 2 iterações (completas).

3. Calcule uma aproximação à raiz de

f(z) = z3 + z + 1 = 0

(z é um número complexo) através do método de Newton para sistemas não lineares.

Considere para aproximação inicial o vector (0:3; 1:1)T e para os critérios de paragemuse °°x(k+1) ¡ x(k)

°°kx(k+1)k · 0:01

e. °°f (x(k+1))°° · 0:01

12

4. O sistema de equações não lineares½

x21 ¡ x22 ¡ 1 = 0(x21 + x

22 ¡ 1) (x21 + x22 ¡ 2) = 0

tem uma raiz na vizinhança do ponto (1; 1)T . Calcule-a usando o método iterativode Broyden. Pare o processo iterativo quando o critério de paragem for veri…cadopara °°x(k+1) ¡ x(k)

°°kx(k+1)k · 0:5

e. °°f(x(k+1))°° · 0:5

ou ao …m da primeira iteração.

5. Calcule uma das soluções do seguinte sistema8<:x51 + x

32x43 + 1 = 0

x21x2x3 = 0x43 ¡ 1 = 0

usando o método de Broyden. Inicie o processo com a aproximação (¡1; 0; 1:5)T .

Pare o processo iterativo ao …m de 2 iterações.

6. Resolva a equação não linear na variável z

f (z) = z3 + (1¡ 2i) z2 +2z ¡ (4 + 5i) = 0

em que z = x + yi.

Tome como aproximação inicial à solução o ponto (0; 0)T . Faça apenas uma iteração.

Nota: f (z) = f (x + yi) = g (x; y) + h (x; y) if (z) = 0 se g (x; y) = 0 e h (x; y) = 0:

e

13


Interpolação polinomial

Folha 8

1. Dada a tabela de valores de uma função f (x)

xi 1 2 3 4 5 6 10f(xi) 0:0000 0:3010 0:4771 0:6021 0:6990 0:7782 1:0000

(a) Estime uma aproximação a f(2:75) através do polinómio interpolador de La-grange de grau 2.

(b) Estime uma aproximação a f(2:75) através do polinómio interpolador de New-ton de grau 2.

(c) Estime o erro de truncatura cometido nas alíneas anteriores.

(d) Sabendo que f (x) = log10 x;determine um majorante do erro de truncaturacometido nas alíneas anteriores .

(e) Se se pretendesse estimar uma aproximação a f(6:5) através do polinómiointerpolador de grau 2, que pontos usaria?.


xi 0:0 0:1 0:2 0:3 0:4 0:5 0:8 1:0f(xi) 0 1 1 2 2 3 3 4

(a) Pretende-se aproximar f(0:6) usando um polinómio de grau 3. Use a fórmulainterpoladora de Newton baseada em diferenças divididas.

(b) Estime o erro de truncatura cometido na alínea anterior.

(c) Estime f (0:6) usando todos os pontos da tabela.

(d) Represente gra…camente os dois polinómios de colocação calculados (de (a) e(c)).

3. Considere a função f (x) dada pelos pontos da tabela:

x 0 1 3 4 10

f (x) =1

(1 + x2)1 0.5 0.1 0.0588 0.0099

Calcule uma estimativa para f (2) usando um polinómio de grau 3 de colocaçãobaseado em diferenças divididas.

14


Interpolação polinomial segmentada

Folha 9


xi 0:0 0:1 0:2 0:3 0:4 0:5 0:8 1:0f(xi) 0 1 1 2 2 3 3 4

Use interpolação segmentada baseada numa spline cúbica natural para aproximarf(0:6). Nos cálculos utilize apenas os pontos (0.3, 2), (0.4, 2), (0.5, 3) e (0.8, 3).

2. Considere a seguinte tabela matemática

xi 0:0 0:2 0:4 0:6 0:8 1:0fi 0:0000 0:2227 0:4284 0:6039 0:7421 0:8427

(a) Estime f(0:5) através de uma “spline” cúbica completa.


3. De uma tabela de logaritmos obteve-se o seguinte quadro de valores:

xi 1 1:5 2 3 3:5ln(xi) 0 0:4055 0:6931 1:0986 1:2528

(a) Usando uma funçao “spline” cúbica completa calcule uma aproximação a ln(2:5);


4. A resistência de um certo …o de metal, f (x), varia com o diâmetro desse …o, x.Foram medidas as resistências de 6 …os de diversos diâmetros:

xi 1:5 2:0 2:2 3:0 3:8 4:0f (xi) 4:9 3:3 3:0 2:0 1:75 1:5

Como se pretende estimar a resistência de um …o de diâmetro 1.75,

(a) Use uma “spline” cúbica completa para calcular esta aproximação.

(b) Estime o erro de truncatura cometido com a aproximação da alínea anterior.

15

5. Considere a função f (x) = sen (x) cos (x) dada pela tabela:

xi 0¼

4

¼

2

3¼

4sen (xi) cos(xi) 0 0.5 0 -0.5cos2 (xi) ¡ sen2 (xi) 1 0 -1 0¡4 sen (xi) cos (xi) 0 -2 0 216 sen (xi) cos (xi) 0 8 0 -8

(a) Cosntrua uma função “spline” cúbica completa para aproximar f (x) no inter-

valo·0;3¼

4

¸. Estime f

³ ¼16

´:

(b) Calcule um limite superior do erro de truncatura cometido com a aproximaçãoda alínea anterior.

(c) Construa uma função “spline” linear para aproximar f (x) no intervalo·0;3¼

4

¸.

Estime, com esta aproximação f³ ¼16

´:

(d) Calcule um limite superior do erro de truncatura cometido com a aproximaçãolinear da alínea (c).

16


Aproximação dos mínimos quadradosModelo linear

Folha 10

1. De uma tabela de logaritmos obteve-se o seguinte quadro de valores:

xi 1 1:5 2 3 3:5ln(xi) 0 0:4055 0:6931 1:0986 1:2528

(a) Calcule uma aproximação a ln(0:5), tendo como base o polinómio dos mínimosquadrados de grau dois que melhor se ajusta aos pontos do quadro.

2. Pretende-se ajustar o modelo

M (x; c1; c2; c3) = c1e¡x+ c2x+ c3

à função f(x) dada pela tabela:

xi ¡1 0 1 2f(xi) 1:4 0 0:75 2:3

no sentido dos mínimos quadrados. Determine os coe…cientes do modelo apresen-tado. Apresente uma estimativa para f(0:5):

3. Considere a seguinte tabela matemática

xi 0 2 4fi ¡1:0 0:0 4:0

:

Qual dos modelos a seguir indicados ajusta melhor os dados da tabela, no sentidodos mínimos quadrados?

i) p1(x) = 1 + 1:25(x ¡ 2)ii) p2(x) = 1 + 1:25(x ¡ 2) + 0:37 [(x¡ 2)2 ¡ 2:67]iii) M (x; a; b) = ¡1:97 + 0:80e x2

17

4. Um carro inicia a sua marcha num dia frio de inverno e um aparelho mede o consumode gasolina veri…cado no instante em que percorreu xKm. Os resultados obtidosforam:

xdistância em Km

0 1.25 2.5 3.75 5 6.25

f (x)consumo em l

Km

0.260 0.208 0.172 0.145 0.126 0.113

Construa um modelo quadrático, para descrever o consumo de gasolina em funçãoda distância percorrida, usando a técnica dos mínimos quadrados.

5. A resistência de um certo …o (de uma certa substância), f (x), varia com o diâmetrodesse …o, x. A partir de uma experiência registaram-se os seguintes valores:

xi 1.5 2.0 3.0 4.0f (xi) 4.9 3.3 2.0 1.5

Foram sugeridos os seguintes modelos para ajustar os valores de f (x), no sentidodos mínimos quadrados:

- uma recta

- M (x; c1; c2) =c1x+ c2x

(a) Calcule a recta.

(b) Calcule o modelo M (x) :

(c) Qual dos modelos escolheria? Justi…que a sua escolha.

18


Aproximação dos mínimos quadrados não linearMétodo de Newton e de Gauss-Newton

Folha 11

1. Implemente o método de Newton, com o objectivo de ajustar o melhor possível omodelo

M (x; c1; c2) = c1x + e(c2x)

à função f (x) dada pela seguinte tabela de 3 pontos

xi -1 0 1fi 0 1 2

no sentido dos mínimos quadrados. Como aproximação inicial aos parâmetros con-sidere o vector (1; 1)T. Páre o processo iterativo quando o critério de paragem forveri…cado para "2 = 0:75:

2. Implemente o método de Gauss-Newton, com o objectivo de ajustar o melhor pos-sível o modelo

M (x; c1; c2) = c1 + sen (c2x)

à função f (x) dada pela seguinte tabela de 3 pontos

xi -1 0 1fi 0.9 1.0 1.1

no sentido dos mínimos quadrados. Como aproximação inicial aos parâmetros con-sidere o vector (1; 3)T. Páre o processo iterativo quando o critério de paragem forveri…cado para "1 = "2 = 0:02:

19


Integração numérica

Folha 12

1. Calcule a melhor aproximação ao integral

Z 1:4

0

f(x)dx

sendo a função f (x) dada por:

xi 0:0 0:1 0:2 0:3 0:45 0:6 0:75 0:9 1:0 1:1 1:2 1:3 1:4f (xi) 0 1 2 3 2 1 0 1 2 3 2 1 0

Estime o erro de truncatura cometido no intervalo [0:9; 1:4].

2. Determine uma aproximação ao valor do integral de…nido

Z 1

0

µx2+

1

x+ 1

¶dx

através da fórmula de Simpson, com um erro de truncatura, em valor absoluto,inferior a 0.0005.

3. Foram registados os consumos, f (x), de um aparelho em determinados instantes,xi (em segundos):

xi 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 3.6 6.6 9.6 9.8 10f (xi) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.6 0.6 0.6 0.7 0.8

Calcule o consumo total ao …m de 10 segundos.

4. Considere a seguinte tabela de valores da função P (x) :

xi 0 0.1 0.2 0.3 0.5 0.7 1P (xi) 0 0.1 0.2 0.29 0.46 0.61 0.79

(a) Calcule a melhor aproximação ao integralZ 1

0

sen (xP (x)) dx

usando toda a informação da tabela.

20

(b) Estime o erro de truncatura cometido no intervalo [0:7; 1] com a aproximaçãoda alínea anterior.

5. Considere o seguinte integral

I =

Z 1

0

x2exdx:

Calcule uma aproximação ao integral I obtida a partir da fórmula composta dotrapézio, de tal forma que o erro (de truncatura) cometido não exceda 0.005.

6. O comprimento do arco da curva y = f (x) ao longo do intervalo [a; b] é dado por

Z b

a

q1 + (f 0 (x))2dx:

Calcule uma aproximação numérica ao comprimento do arco da curva f (x) = e¡x

no intervalo [0; 1], usando 5 pontos igualmente espaçados no intervalo.

7. A função f (x)é de…nida por:

f (x) =

(g (x) se ¡¼

4· x · 0

h (x) se 0 · x · ¼

comxi ¡¼

4 ¡¼6 ¡ ¼

12 0g (xi) = sen (xi) -0.70711 -0.5 -0.25882 0

exi 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 ¼

4¼2 ¼

h (xi) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.56 0.7 0.9 0.1

(a) Calcule numericamente Z ¼

¡ ¼4

f (x) dx

(b) Estime o erro de truncatura cometido no intervaloh¡¼4;¼

4

i:

8. Dado o integral de…nido por:

2p¼

Z 0:5

0

e¡t2dt

(a) Calcule, usando 2 pontos (n = 1) e a fórmula Gaussiana mais indicada, umaapróximação ao integral.

(b) Calcule o erro de truncatura do cálculo do integral, mas se apenas tivesse usadoum ponto (n = 0).

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