métodos numéricos para engenharia

Universidade de Tufts
Universidade de Michigan
Tradução Técnica Helena Castro
Professora Doutora do Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo — IMEUSP
Versão impressa
Métodos Numéricos para Engenharia Tradução da Quinta Edição ISBN 978-85-86804-87-8
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negócios da McGraw-Hill Companies Inc., 1221 Avenue of the Americas, New York, NY, 10020.
© 2006 by McGraw-Hill Companies, Inc.
Edições publicadas anteriormente sob o título Numerical Methods for Engineers: With Software and
Programming Applications.
ISBN: 0-07-291873-X
Produção Editorial: Nilcéia Esposito
Preparação de Texto: Marcos Soel e Maria Alice da Costa Design de Capa: Ron Bissell Ilustração de Capa: © Jack Novak/ SuperStock
Diagramação: ERJ Composição Editorial e Artes Gráficas Ltda.
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C467m Chapra, Steven C.
eletrônico] / Steven C. Chapra, Raymond P. Canale ;
tradução técnica: Helena Castro. 5. ed. Dados
eletrônicos. Porto Alegre : AMGH, 2011.
Publicado também como livro impresso em 2008.
ISBN 978-85-8055-011-5
P. II. Título.

SOBRE OS AUTORES xxi
PARTE UM MODELAGEM, PT1.1 Motivação 2 COMPUTADORES, E PT1.2 Fundamentos Matemáticos 4
ANÁLISE DE ERROS 1 PT1.3 Orientação 6
CAPÍTULO 1 Modelagem Matemática e Resolução de Problemas de Engenharia 9 1.1 Um Modelo Matemático Simples 9 1.2 Leis de Conservação e Engenharia 15 Problemas 18
CAPÍTULO 2 Programação e Software 21
2.1 Pacotes e Programação 21 2.2 Programação Estruturada 22 2.3 Programação Modular 30 2.4 Excel 31 2.5 MATLAB 35 2.6 Outras Linguagens e Bibliotecas 38 Problemas 39
CAPÍTULO 3 Aproximações e Erros de Arredondamento 43 3.1 Algarismos Significativos 41 3.2 Exatidão e Precisão 45 3.3 Definições de Erros 46 3.4 Erros de Arredondamento 49 Problemas 62
CAPÍTULO 4 Erros de Truncamento e Séries de Taylor 63
4.1 A Série de Taylor 63 4.2 Propagação de Erros 77 4.3 Erro Numérico Total 81 4.4 Enganos, Erros de Formulação e Incerteza nos dados 82 Problemas 83
vii

EPÍLOGO: PARTE UM 86 PT1.4 Prós e Contras 86 PT1.5 Relações e Fórmulas Importantes 89 PT1.6 Métodos Avançados e Referências Adicionais 89
PARTE DOIS RAÍZES DE PT 2.1 Motivação 92 EQUAÇÕES 92 PT 2.2 Fundamentos Matemáticos 94
PT 2.3 Orientação 95
CAPÍTULO 5 Métodos que Isolam a Raiz em Intervalos 98
5.1 Métodos Gráficos 98 5.2 Método da Bisecção 101 5.3 O Método da Falsa Posição 108 5.4 Buscas Incrementais e Determinação de Aproximações Iniciais 113 Problemas 114
CAPÍTULO 6 Métodos Abertos 116 6.1 Iteração de Ponto Fixo Simples 116 6.2 O Método de Newton-Raphson 121 6.3 O Método da Secante 125 6.4 Raízes Múltiplas 130 6.5 Sistemas de Equações Não Lineares 132 Problemas 136
CAPÍTULO 7 Raízes de Polinômios 138
7.1 Polinômios na Engenharia e Ciência 138 7.2 Cálculos Computacionais com Polinômios 140 7.3 Métodos Convencionais 143 7.4 O Método de Miller 144 7.5 O Método de Bairstow 147 7.6 Outros Métodos 152 7.7 Localização de Raízes com Bibliotecas e Pacotes 152 Problemas 160
CAPÍTULO 8 Estudos de Caso: Raízes de Equações 162
8.1 Leis dos Gases Ideais e Não-Ideais (Engenharia Química e Bioquímica) 162 8.2 Escoamento de Canal Aberto (Engenharia Civil/Ambiental) 164 8.3 Projeto de um Circuito Elétrico 168 8.4 Análise de Vibração (Engenharia Mecânica/Aeroespacial) 170 Problemas 175
EPÍLOGO: PARTE DOIS 184 PT2.4 Prós e Contras 184 PT2.5 Relações e Fórmulas Importantes 185 PT2.6 Métodos Avançados e Referências Adicionais 185
PARTE TRÊS EQUAÇÕES PT3.1 Motivação 188
ALGÉBRICAS PT3.2 Fundamentos Matemáticos 190 LINEARES 188 PT3.3 Orientação 196
viii SUMÁRIO
SUMÁRIO ix
CAPÍTULO 9 Eliminação de Gauss 199 9.1 Resolução de um Número Pequeno de Equações 199 9.2 Eliminação de Gauss Ingênua 205 9.3 Armadilhas nos Métodos de Eliminação 211 9.4 Técnicas para Melhorar Soluções 215 9.5 Sistemas Complexos 221 9.6 Sistemas de Equações Não-Lineares 222 9.7 Gauss-Jordan 223 9.8 Resumo 225 Problemas 225
CAPÍTULO 10 Decomposição LU e Inversão de Matrizes 228 10.1 Decomposição LU 228 10.2 A Matriz Inversa 236 10.3 Análise de Erro e Condicionamento do Sistema 239 Problemas 244
CAPÍTULO 11 Matrizes Especiais e Gauss-Seidel 246
11.1 Matrizes Especiais 246 11.2 Gauss-Seidel 250 11.3 Equações Algébricas Lineares com Bibliotecas e Pacotes 256 Problemas 262
CAPÍTULO 12 Estudos de Caso: Equações Algébricas Lineares 264 12.1 Análise do Estado Estacionário de um Sistema de Reatores
(Engenharia Química/ Bioengenharia) 264 12.2 Análise de uma Treliça Estaticamente Determinada
(Engenharia Civil/Ambiental) 267 12.3 Correntes e Voltagens em Circuitos Resistores (Engenharia Elétrica) 269 12.4 Sistemas Massa/Mola (Engenharia Mecânica/Aeroespacial) 271 Problemas 273
EPÍLOGO: PARTE TRÊS 282 PT3.4 Prós e Contras 282 PT3.5 Relações e Fórmulas Importantes 283 PT3.6 Métodos Avançados e Referências Adicionais 283
PARTE QUATRO OTIMIZAÇÃO 285 PT4.1 Motivação 286
PT4.2 Fundamentos Matemáticos 290 PT4.3 Orientação 292
CAPÍTULO 13 Otimização Unidimensional sem Restrições 294
13.1 Busca da Razão Áurea 295 13.2 Interpolação Quadrática 300 13.3 O Método de Newton 302 Problemas 304

CAPÍTULO 15 Otimização Restrições 323 15.1 Programação Linear 323 15.2 Otimização com Restrições Não-lineares 332 15.3 Otimização com Pacotes 333 Problemas 343
CAPÍTULO 16 Estudos de Caso: Otimização 345
16.1 Projeto de Menor Custo de um Tanque (Engenharia Química/Bioengenharia) 345 16.2 Tratamento de Baixo Custo para Dejetos Líquidos (Engenharia Civil/Ambiental) 349 16.3 Potência Máxima Transferida para um Circuito (Engenharia Elétrica) 353 16.4 Projeto de Montain Bike (Engenharia Mecânica/Aeroespacial) 356 Problemas 358
EPÍLOGO: PARTE QUATRO 363 PT4.4 Prós e Contras 363 PT4.5 Referências Adicionais 364
PARTE CINCO AJUSTE DE PT5.1 Motivação 366 CURVAS 366 PT5.2 Fundamentos Matemáticos 368
PT5.3 Orientação 376
CAPÍTULO 17 Regressão por Mínimos Quadrados 379 17.1 Regressão Linear 379 17.2 Regressão Polinomial 393 17.3 Regressão Linear Múltipla 396 17.4 Mínimos Quadrados Linear Geral 398 17.5 Regressão Não Linear 403 Problemas 406
CAPÍTULO 18 Interpolação 409 18.1 Polinômios Interpoladores por Diferenças Divididas de Newton 409 18.2 Polinômios Interpoladores de Lagrange 419 18.3 Coeficientes de um Polinômio Interpolador 423 18.4 Interpolação Inversa 424 18.5 Comentários Adicionais 425 18.6 Interpolação por Splines 426 Problemas 436
CAPÍTULO 19 Aproximação de Fourier 438
19.1 Ajuste de Curvas com Funções Senoidais 439 19.2 Série de Fourier Contínua 444 19.3 Domínios de Freqüência e Tempo 447 19.4 Integral e Transformada de Fourier 450 19.5 Transformada de Fourier Discreta (TFD) 452 19.6 Transformada Rápida de Fourier (FFT) 454 19.7 O Espectro de Potência 459
x SUMÁRIO
SUMÁRIO xi
19.8 Ajuste de Curvas com Bibliotecas e Pacotes 460 Problemas 467
CAPÍTULO 20 Estudos de Caso: Ajuste de Curvas 470 20.1 Regressão Linear e Modelos Populacionais
(Engenharia Química/Bioengenharia) 470 20.2 Uso de Splines para Estimar Transferência de Calor
(Engenharia Civil/Ambiental) 473 20.3 Análise de Fourier (Engenharia Elétrica) 475 20.4 Análise de Dados Experimentais (Engenharia Mecânica/Aeroespacial) 476 Problemas 477
EPÍLOGO: PARTE CINCO 486 PT5.4 Prós e Contras 486 PT5.5 Relações e Fórmulas Importantes 487 PT5.6 Métodos Avançados e Referências Adicionais 489
PARTE SEIS INTEGRAÇÃO PT 6.1 Motivação 491 DERIVAÇÃO PT 6.2 Fundamentos Matemáticos 499 NUMÉRICAS 491 PT 6.3 Orientação 501
CAPÍTULO 21 Fórmulas de Integração de Newton-Cotes 504
21.1 A Regra do Trapézio 505 21.2 Regras de Simpson 513 21.3 Integração com Segmentos Desiguais 521 21.4 Fórmulas de Integração Abertas 524 21.5 Integrais Múltiplas 524 Problemas 526
CAPÍTULO 22 Integração de Equações 528 22.1 Algoritmos de Newton-Cotes para Equações 528 22.2 Integração de Romberg 530 22.3 Quadratura de Gauss 534 22.4 Integrais Impróprias 540 Problemas 543
CAPÍTULO 23 Derivação Numérica 545
23.1 Fórmulas de Derivação de Alta Precisão 545 23.2 Extrapolação de Richardson 548 23.3 Derivadas de Dados Desigualmente Espaçados 549 23.4 Derivadas e Integrais para Dados com Erros 550 23.5 Integração e Derivação Numéricas com Bibliotecas e Pacotes 551 Problemas 554
CAPÍTULO 24 Estudos de Caso: Integração e Derivação Numéricas 545 24.1 Integração para Determinar a Quantidade Total de Calor (Engenharia
Química/Bioengenharia) 545 24.2 Força Efetiva no Mastro de um Veleiro de Corrida
(Engenharia Civil/Ambiental) 559 24.3 Corrente Eficaz por Integração Numérica (Engenharia Elétrica) 561

Problemas 566
EPÍLOGO: PARTE SEIS 575 PT6.4 Prós e Contras 575 PT6.5 Relações e Fórmulas Importantes 576 PT6.6 Métodos Avançados e Referências Adicionais 576
PARTE SETE EQUAÇÕES PT7.1 Motivação 578 DIFERENCIAIS PT7.2 Fundamentos Matemáticos 582 ORDINÁRIAS 578 PT7.3 Orientação 584
CAPÍTULO 25 Métodos Runge-Kutta 587
25.1 Método de Euler 588 25.2 Melhorias no Método de Euler 597 25.3 Métodos de Runge-Kutta 604 25.4 Sistemas de Equações 612 25.5 Métodos de Runge-Kutta Adaptativos 617 Problemas 623
CAPÍTULO 26 Rigidez e Métodos de Passo Mútiplo 625 26.1 Rigidez 625 26.2 Métodos de Passo Múltiplo 628 Problemas 646
CAPÍTULO 27 Problemas de Contorno e de Autovalor 648
27.1 Métodos Gerais para Problemas de Contorno 649 27.2 Problemas de Autovalor 654 27.3 EDOs e Autovalores com Bibliotecas e Pacotes 664 Problemas 670
CAPÍTULO 28 Estudos de Caso: Equações Diferenciais Ordinárias 673 28.1 Usando EDOs para Analisar a Resposta Transiente de um Reator
(Engenharia Química/Bioengenharia) 673 28.2 Modelos Predador-Presa e Caos (Engenharia Civil/Ambiental) 788 28.3 Simulando Correntes Transientes para um Circuito Elétrico
(Engenharia Elétrica) 682 28.4 O Pêndulo Oscilante (Engenharia Mecânica/Aeroespacial) 686 Problemas 689
EPÍLOGO: PARTE SETE 695 PT7.4 Prós e Contras 695 PT7.5 Relações e Fórmulas Importantes 696 PT7.6 Métodos Avançados e Referências Adicionais 696
PARTE OITO EQUAÇÕES PT8.1 Motivação 699 DIFERENCIAIS PT8.2 Orientação 702 PARCIAIS 699
xii SUMÁRIO
SUMÁRIO xiii
CAPÍTULO 29 Diferenças Finitas: Equações Elípticas 705 29.1 A Equação de Laplace 705 29.2 Técnicas de Solução 707 29.3 Condições de Contorno 712 29.4 A Abordagem por Volume de Controle 717 29.5 Software para Resolver Equações Elípticas 720 Problemas 721
CAPÍTULO 30 Diferenças Finitas: Equações Parabólicas 722
30.1 A Equação de Condução do Calor 722 30.2 Métodos Explícitos 723 30.3 Um Método Implícito Simples 726 30.4 O Método de Crank-Nicolson 730 30.5 Equações Parabólicas em Duas Dimensões Espaciais 732 Problemas 735
CAPÍTULO 31 Método dos Elementos Finitos 736
31.1 A Abordagem Geral 737 31.2 Aplicação de Elementos Finitos em uma Dimensão Um 740 31.3 Problemas Bidimensionais 748 31.4 Resolvendo EDPs com Bibliotecas e Pacotes 751 Problemas 756
CAPÍTULO 32 Estudos de Caso: Equações Diferenciais Parciais 758 32.1 Balanço de Massa Unidimensional de um Reator
(Engenharia Química/Bioengenharia) 758 32.2 Deflexões em uma Placa (Engenharia Civil/Ambiental) 762 32.3 Problemas de Campo Eletrostáticos Bidimensionais (Engenharia Elétrica) 763 32.4 Solução por Elementos Finitos de uma Série de Molas
(Engenharia Mecânica/Aeroespacial) 766 Problemas 769
EPÍLOGO: PARTE OITO 771 PT 8.3 Prós e Contras 771 PT 8.4 Relações e Fórmulas Importantes 771 PT 8.5 Métodos Avançados e Referências Adicionais 772
APÊNDICE A: A SÉRIE DE FOURIER 773
APÊNDICE B: INICIAÇÃO AO MATLAB 774
BIBLIOGRAFIA 781
PREFÁCIO
Já se passaram 20 anos desde a publicação da primeira edição deste livro. Nesse período,
nossa asserção de que os métodos numéricos e os computadores figurariam mais proemi-
nentemente nos currículos de engenharia — particularmente em seus primeiros anos —
se tornou dramaticamente verdadeira. Muitas universidades agora oferecem cursos tanto
em introdução à computação quanto de métodos numéricos em seus primeiros três anos.
Além disso, muitos de nossos colegas estão integrando problemas orientados para o com-
putador em outros cursos em todos os níveis do currículo. Logo, esta nova edição ainda
está fundamentada na premissa básica de que é preciso oferecer aos estudantes de enge-
nharia uma introdução forte e o mais cedo possível aos métodos numéricos. Conseqüen-
temente, embora tenhamos expandido nossa cobertura nesta nova edição, tentamos man-
ter muitas das características que tornaram a primeira edição acessível a estudantes tanto
do início quanto do final da graduação. Elas incluem:
• Orientação para problemas. Os estudantes de engenharia aprendem melhor
quando motivados por problemas. Isso é particularmente verdadeiro para matemá-
tica e computação. Então, adotamos uma abordagem de uma perspectiva de reso-
lução de problemas.
• Pedagogia Orientada para o Estudante. Desenvolvemos diversas características para
tornar este livro tão amigável ao estudante quanto possível. Elas incluem a organização
geral, o uso das introduções e dos epílogos para consolidar os tópicos principais e o uso
extensivo de exemplos trabalhados e estudos de casos de todas as áreas da engenharia.
Tentamos também manter nossas explicações simples e orientadas para a prática.
• Abordagem por “Caixas Transparentes”. Embora enfatizemos a resolução de pro-
blemas, acreditamos que é autolimitante para os engenheiros abordar os algoritmos
numéricos como “caixas pretas”. Assim, incluímos teoria suficiente para permitir que
os usuários entendam os conceitos básicos por trás dos métodos. Em particular, enfa-
tizamos a teoria relacionada à análise de erros, as limitações desses métodos e os prós
e contras entre os métodos.
• Orientação para Computadores Pessoais. Inicialmente, quando escrevemos este
livro, existia um grande abismo entre o mundo batch dos computadores de grande
porte e o mundo interativo dos PCs. Hoje em dia, conforme o desempenho dos PCs
aumenta, essa distinção está desaparecendo. Dito isso, este livro ainda enfatiza as vi-
sualizações e os cálculos iterativos, que são os marcos dos computadores pessoais.
• Capacitação dos Estudantes. Obviamente, introduzimos os estudantes aos recursos-
padrão, prontos para o uso, de pacotes como o Excel e o software MATLAB. Entre-
tanto, também é mostrado aos estudantes como desenvolver programas simples, bem
estruturados, para estender os recursos básicos desses ambientes. Esse conhecimento
se transporta para linguagens de programação padrão como Visual Basic, Fortran 90
e C/C++. Acreditamos que a fuga da programação de computadores representa um
pouco de uma queda nos currículos de engenharia. O ponto principal é que, enquanto
os engenheiros não estiverem satisfeitos em ficar limitados pelas ferramentas, preci-
sarão escrever códigos. Só que agora eles podem ser chamados de “macros” ou
“M-files”. Este livro é projetado para capacitá-los a fazer isso.
xv

Além desses cinco princípios originais, a principal melhoria da quinta edição é uma
grande revisão e expansão dos conjuntos de problemas dos finais dos capítulos. A maio-
ria dos problemas foi modificada, de modo que fornecem soluções numéricas diferentes
das edições anteriores. Além disso, diversos novos problemas foram incluídos. Como nas
edições anteriores, incluímos tanto problemas matemáticos quanto aplicados de todos os
ramos da engenharia. Em todos os casos, nosso propósito é fornecer aos estudantes exer-
cícios para verificarem seu entendimento e para ilustrar como os métodos numéricos
podem ajudá-los a resolver problemas mais eficientemente.
Como sempre, nossa principal intenção ao escrever este livro é fornecer aos estu-
dantes uma sólida introdução aos métodos numéricos. Acreditamos que os estudantes
motivados que apreciem os métodos numéricos, a computação e a matemática irão, no
final, tornar-se melhores engenheiros. Se nosso livro estimular um entusiasmo por esses
assuntos, consideraremos nossos esforços um sucesso.
Agradecimentos. Gostaríamos de agradecer a nossos amigos na McGraw-Hill. Em
particular, Amanda Green, Suzanne Jeans e Peggy Selle, que forneceram uma atmosfera
positiva e de apoio para a criação desta edição. Como sempre, Beatrice Sussman fez um
excelente trabalho na edição do manuscrito e Michael Ryder fez importantes con-
tribuições durante a produção do livro. Agradecimentos especiais aos professores Wally
Grant, Olga Pierrakos, Amber Phillips, Justin Griffee e Kevin Mace (Virginia Tech) e à
professora Theresa Good (Texas A&M), que contribuiu com problemas para nosso livro
ao longo dos anos. Como nas edições passadas, David Clough (Universidade do Co-
lorado) e Jerry Stedinger (Universidade de Cornell) generosamente compartilharam seu
discernimento e suas sugestões. Sugestões úteis também foram feitas por Bill Philpot
(Universidade de Cornell), Jim Guilkey (Universidade de Utah), Dong-Il Seo (Universi-
dade Nacional de Chungnam, Coréia) e Raymundo Cordero e Karim Muci (ITESM, Mé-
xico). A presente edição também se beneficiou das revisões e sugestões fornecidas pelos
seguintes colegas:
Betty Barr, University of Houston
Florin Bobaru, University of Nebraska–Lincoln
Ken W. Bosworth, Idaho State University
Anthony Cahill, Texas A&M University
Raymond C. Y. Chin, Indiana University–Purdue, Indianapolis
Jason Clark, University of California, Berkeley
John Collings, University of North Dakota
Ayodeji Demuren, Old Dominion University
Cassiano R. E. de Oliveira, Georgia Institute of Technology
Subhadeep Gan, University of Cincinnati
Aaron S. Goldstein, Virginia Polytechnic Institute and State University
Gregory L. Griffin, Louisiana State University
Walter Haisler, Texas A&M University
Don Hardcastle, Baylor University
David J. Horntrop, New Jersey Institute of Technology
Tribikram Kundu, University of Arizona
Hysuk Lee, Clemson University
Jeffrey S. Marshall, University of Iowa
George Novacky, University of Pittsburgh
Dmitry Pelinovsky, McMaster University
Greg P. Semeraro, Rochester Institute of Technology
Jerry Sergent, Faifield University
xvi PREFÁCIO
Kumar Vemaganti, University of Cincinnati
Peter Wolfe, University of Maryland
Yale Yurttas, Texas A&M University
Nader Zamani, University of Windsor
Viktoria Zoltay, Tufts University
Devemos enfatizar que, embora tenhamos recebido sugestões úteis das pessoas men-
cionadas, somos responsáveis por quaisquer imprecisões ou erros que possam ser detec-
tados nesta edição. Por favor, contate Steve Chapra por e-mail se detectar algum erro.
Finalmente, gostaríamos de agradecer a nossa família, amigos e estudantes por sua
paciência e seu apoio permanentes. Em particular, Cyntia Chapra e Claire Canale estão
sempre lá, fornecendo compreensão, perspectiva e amor.
Steven C. Chapra
informações unificadoras nos elementos Motivação,
Fundamentos Matemáticos, Orientação e Epílogo.
Todos os capítulos contêm problemas para casa
novos e revisados. Oitenta por cento dos problemas
são novos ou revisados. No texto, são incluídos
problemas desafiadores tirados de todas as
disciplinas de engenharia.
são dedicados à implementação de métodos
numéricos com o Excel da Microsoft e o software
MATLAB do The MathWorks, Inc.
PT 3.1
Orientação
Equações Algébricas Lineares
PT 3.6 Métodos
11.2 Gauss- Seidel
11.1 Matrizes especiais
Matrizes
10.3 Condicionamento
do sistema
18.6.4 Algoritmo Computacional para Splines Cúbicos
O método para calcular splines cúbicos delineados na seção anterior é ideal para imple-
mentação computacional. Lembre-se de que, por algumas manipulações engenhosas, o
método reduziu o problema à resolução de n − 1 equações simultâneas. Um benefício
adicional da dedução é que, como especificado pela Equação (18.37), o sistema de
equações é tridiagonal. Como descrito na Seção 11.1, estão disponíveis algoritmos para
resolver tais sistemas de maneira extremamente eficiente. A Figura 18.18 esboça um es-
quema computacional que incorpora essas características.
Observe que a rotina na Figura 18.18 retorna um único valor interpolado, yu, para
um dado valor da variável independente xu. Essa é apenas uma das formas como a inter-
polação por splines pode ser implementada. Por exemplo, você poderia querer determinar
os coeficientes uma única vez e então fazer muitas interpolações. Além disso, a rotina re-
torna tanto a primeira (dy) quanto a segunda (dy2)derivadas em xu. Embora não seja
necessário calcular essas quantidades, elas se mostram úteis em muitas aplicações de in-
terpolação por splines.
PROBLEMAS
18.1 Faça uma estimativa do logaritmo comum de 10 usando inter-
polação linear.
(a) Interpole entrelog 8 0,9030900e log12 1,0791812.
(b) Interpole entre log 9 0,9542425 e log 11 1,0413927. Para
cada interpolação, calcule o erro relativo percentual baseado no
valor verdadeiro.
18.2 Ajuste um polinômio interpolador de Newton de 2o grau para
fazer uma estimativa de log 10 usando os dados do Problema 18.1
em x 8, 9 e 11. Calcule o erro relativo percentual verdadeiro.
18.3 Ajuste um polinômio interpolador de Newton de 3 o grau
usando os dados do Problema 18.1.
18.4 Considere os dados
x 1,6 2,5 3,2 4 4,5
18.9 Use interpolação inversa para determinar o valor d e x que cor-
responde a f ( x ) 0,85 para os seguintes dados tabulados:
x 0 1 2 3 4 5
f (x ) 0 0,5 0,8 0,9 0,941176 0,961538
Observe que os valores na tabela foram gerados com a função
f ( x ) x 3(2 x 3).
(a) Determine o valor correto analiticamente.
(b) Use interpolação cúbica de x em função de y.
(c) Use interpolação inversa com interpolação quadrática e a fór-
mula quadrática.
(d) Use interpolação inversa com interpolação cúbica e bissecção.
Para as partes (b) a (d) calcule o erro relativo percentual ver-
ad .
7.7.2 MATLAB
Como resumido na Tabela 7.1, o software MATLAB é capaz de localizar raízes de uma
única equação algébrica ou transcendental. Ele é excelente na manipulação e determi-
nação de raízes de polinômios.
A função fzero é projetada para localizar uma raiz de uma única equação. Uma re-
presentação simplificada de sua sintaxe é
fzero(f ,x 0,options)
onde f é a função que você está analisando, x 0 é a aproximação inicial, e options são os
parâmetros de otimização (estes são mudados usando-se a função optimset ). Se options
for omitido, serão usados valores-padrão. Observe que podem ser utilizadas uma ou duas
aproximações. Se forem usadas duas aproximações, é s uposto que elas cerquem uma raiz.
O exemplo a seguir ilustra como fzero pode ser usado.
TABELA 7.1 Funções comuns no MATLAB relacionadas com a localização de raízes e manipulação de polinômios.
Função Descrição
fzero Raiz de uma única função. r oo ts E nc ont ra ra íz es de p olin ômi os . pol y Con st ró i pol in ôm io s com ra íz es especi fi cada s. pol yval Cal cu la val or es de po li nômios . polyvalm Calcula valores de polinômios com argumentos matriciais. res idue Expansão em f rações parc ia is (res íduos) . polyder Deriva polinômios. conv Multiplica polinômios. deconv Divide polinômios.
7. Us o B p a L liza de Raíz
xviii
para fornecer ao estudante ilustrações passo a passo
de como os métodos numéricos são implementados.
Há 28 estudos de casos de engenharia para ajudar
os estudantes a ligar os métodos numéricos aos
principais campos da engenharia.
Recursos Disponíveis no Site
endereço www.mhhe.com/chapra oferece recursos para o estudante e para o professor. Esses materiais estão disponíveis em inglês e alguns
são comerciais, ou seja, você precisa comprá-los. Os professores
brasileiros necessitam obter uma senha junto à McGraw-Hill do Brasil
para acessarem os recursos on-line. Asenha deve ser solicitada por
e-mail ([email protected]). Na Europa, a senha deve ser
obtida junto à McGraw-Hill de Portugal ([email protected]).
Todos os softwares utilizados nos recursos on-line foram desenvolvidos pela McGraw-Hill dos EUA.
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10.2 A MATRIZ INVERSA 237
EXEMPLO 10.3 Inversão de Matrizes
Enunciado do Problema. Utilize a decomposição LU para determinar a inversa da
matriz do sistema do Exemplo 10.2.
[ A] =
Lembre-se de que a decomposição resultou nas seguintes matrizes triangulares superior e
inferior:
[U ] =

Solução. A primeira coluna da matriz inversa pode ser determinada efetuando-se o
procedimento de solução da substituição progressiva com um vetor unitário (com o 1 na
primeira linha) como vetor do lado direito. Assim, a Equação (10.8), o sistema triangular
inferior, pode ser escrito como

=

e resolvido com substituição progressiva para determinar { D}T = 1 −0,03333

=

a qual pode ser resolvida por substituição regressiva para determinar
{ X }T = 0,33249 −0,00518 −0,01008, que é a primeira coluna da matriz,
[ A]−1 0,33249 0 0
−0,00518 0

Estudos de Caso: Raízes de Equações O propósito deste Capítulo é usar os procedimentos numéricos discutidos nos Capítulos
5, 6 e 7 para resolver problemas reais de engenharia. As técnicas numéricas são impor-
tantes nas aplicações práticas porque a engenharia freqüentemente encontra problemas
que não podem ser abordados usando-se técnicas analíticas. Por exemplo, modelos
matemáticos simples que podem ser resolvidos analiticamente nem sempre são aplicáveis
quando problemas reais estão envolvidos. Logo, modelos mais complicados precisam ser
usados. Nesses casos, é apropriado implementar uma solução numérica com o computa-
dor. Em outras situações, problemas de projeto de engenharia exigem soluções para as
variáveis implícitas em equações complicadas.
Os estudos de caso a seguir são encontrados rotineiramente nos cursos de graduação
mais avançados e nos de pós-graduação. Além disso, são representativos dos problemas
tratados profissionalmente. Tais problemas são tirados de quatro ramos importantes da
engenharia: química, civil, elétrica e mecânica. Essas aplicações também servem para
ilustrar os prós e contras entre as diversas técnicas numéricas.
A primeira aplicação, tirada da engenharia química, fornece um exemplo excelente
de como os métodos para l ocalizar raízes permitem usar fórmulas realísticas na prática da
engenharia. Além disso, também ilustra como a eficiência da técnica de Newton-Raphson
é usada com vantagem quando um grande número de localizações de raízes é necessário.
Os problemas de projeto em engenharia seguintes são tirados da engenharia civil,
elétrica e mecânica. ASeção 8.2 usa tanto os métodos que isolam as raízes em intervalos
quanto os métodos abertos para determinar a profundidade e a velocidade da água es-
coando em um canal aberto. A Seção 8.3 mostra como as raízes das equações transcen-
dentais podem ser utilizadas no projeto de um circuito elétrico. As Seções 8.2 e 8.3 tam-
bém ilustram como os métodos gráficos fornecem percepção do processo de localização
de raízes. Finalmente, a Seção 8.4 usa a localização de raízes de polinômios para analisar
a vibração de um automóvel.
8C A P Í T U L O 8
.

Steve Chapra leciona no Departamento de Engenharia Civil e Ambiental na Universi-
dade de Tufts, onde ocupa a posição de Louis Berger Chair na Computação e Engenharia.
Seus outros livros incluem Surface Water-Quality Modeling and Applied Numerical
Methods with MATLAB.
Dr. Chapra recebeu diplomas de engenharia do Manhattan College e da Universi-
dade de Michigan. Antes de se juntar ao corpo docente da Tufts, trabalhou para a Agência
de Proteção Ambiental e para a Administração Nacional Atmosférica e Oceânica e lecio-
nou na Universidade A&M do Texas e na Universidade do Colorado. Seus interesses
gerais em pesquisa se concentram na modelagem da qualidade da água superficial e em
aplicações computacionais avançadas na engenharia ambiental.
Ele recebeu diversos prêmios por suas contribuições acadêmicas, incluindo a
medalha Rudolph Hering (ASCE) de 1993 e o Prêmio de Autor Notável da Meriam-
Wiley de 1987 (Sociedade Norte-Americana para Educação em Engenharia). Também foi
reconhecido como um professor destacado entre o corpo docente tanto da Universidade
A&M do Texas (Prêmio Tenneco de 1986) quanto da Universidade do Colorado (Prêmio
Hutchinson de 1992).
Raymond P. Canale é professor emérito da Universidade de Michigan. Durante sua
carreira de mais de 20 anos na universidade, e ministrou diversos cursos na área de com-
putadores, métodos numéricos e engenharia ambiental. Também dirigiu programas de
pesquisa extensivos na área de modelagem matemática e computacional de ecossistemas
aquáticos. Ele foi autor ou co-autor de diversos livros e publicou mais de cem artigos e re-
latórios científicos. Também projetou e desenvolveu software para computadores pes-
soais para facilitar a educação em engenharia e a solução de problemas de engenharia. Ele
ganhou o Prêmio de Autor Notável da Meriam-Wiley da Sociedade Norte-Americana
para Educação em Engenharia por seus livros e software e diversos prêmios por suas pu-
blicações técnicas.
O professor Canale está atualmente dedicando suas energias a problemas aplica-
dos, nos quais trabalha com empresas e indústrias de engenharia e agências governamen-
tais como consultor e perito.
SOBRE OS AUTORES
MODELAGEM, COMPUTADORES E ANÁLISE DE ERROS
Os métodos numéricos são técnicas pelas quais os problemas matemáticos são formula- dos de modo que possam ser resolvidos com operações aritméticas. Embora existam muitos tipos de métodos numéricos, eles têm uma característica em comum: invariavel- mente envolvem grande número de cálculos aritméticos tediosos. Não é nada surpreen- dente que, com o desenvolvimento de computadores digitais rápidos e eficientes, o papel dos métodos numéricos na resolução de problemas de engenharia aumentou dramaticamente nos últimos anos.
PT1.1.1 Métodos Não-computacionais
Além de fornecer uma capacidade computacional aumentada, a disponibilidade muito di- fundida dos computadores (especialmente dos computadores pessoais) e a parceria com métodos numéricos vêm tendo uma influência significativa na resolução moderna de problemas de engenharia. Na era antes do computador, em geral havia três formas diferentes pelas quais os engenheiros abordavam a solução de problemas:
1. As soluções eram deduzidas para alguns problemas usando-se métodos analíticos ou exatos. Essas soluções eram freqüentemente úteis e forneciam uma visão excelente do comportamento de alguns sistemas. Entretanto, as soluções analíticas podem ser deduzidas apenas para uma classe limitada de problemas, que incluem os que podem ser aproximados por modelos lineares e aqueles que têm uma geometria simples e dimensão baixa. Conseqüentemente, as soluções analíticas têm valor prático limitado porque, em sua maioria, os problemas reais são não-lineares e envolvem formas e processos complexos.
2. As soluções gráficas eram usadas para caracterizar o comportamento dos sistemas; em geral, elas tinham a forma de gráficos ou nomógrafos. Embora as soluções gráficas freqüentemente possam ser usadas para resolver problemas complexos, os resultados não são muito precisos. Além disso, soluções gráficas (sem a ajuda de computadores) são extremamente tediosas e inconvenientes para implementar. Finalmente, as técnicas gráficas, com freqüência, são limitadas a problemas que podem ser descritos usando-se três dimensões ou menos.
3. Calculadoras e regras de cálculos eram usadas para implementar os métodos numéricos manualmente. Embora, em teoria, tais abordagens fossem perfeitamente adequadas para resolver problemas complexos, na realidade, eram encontradas muitas dificuldades. Os cálculos manuais são lentos e tediosos. Além disso, resultados consistentes são esquivos por causa de enganos simples que acontecem quando tarefas manuais numerosas são realizadas.
Na era pré-computador, uma quantidade significativa de energia era gasta na técnica de resolução propriamente dita, em vez de na definição e interpretação do problema (Figura PT1.1a). Essa situação lamentável existia porque muito tempo e trabalho pesado eram necessários para obter respostas numéricas usando-se as técnicas pré-computador.
Hoje em dia, os computadores e os métodos numéricos fornecem uma alternativa para tais cálculos complicados. Usando o poder do computador para obter diretamente soluções, é possível abordar esses cálculos sem o recurso de hipóteses simplificadoras ou
PT1.1 MOTIVAÇÃO
PT1.1 MOTIVAÇÃO 3
técnicas para economizar tempo. Embora as soluções analíticas ainda sejam extremamente valiosas tanto para soluções dos problemas quanto para fornecer uma visão geral, os métodos numéricos representam alternativas que aumentam enormemente os recursos para confrontar e resolver problemas. Como resultado, mais tempo fica disponível para ser usado em habilidades criativas. Portanto, mais ênfase pode ser posta na formulação do problema e na interpretação da solução e na incorporação do sistema total, ou percepção “holística” (Figura PT1.1b).
PT1.1.2 MÉTODOS NUMÉRICOS E PRÁTICA DA ENGENHARIA
Desde o fim da década de 1940, a vasta disponibilidade dos computadores digitais levou a uma verdadeira explosão no uso e desenvolvimento dos métodos numéricos. Inicial- mente, esse crescimento foi um pouco limitado pelo custo do acesso a computadores de grande porte — conseqüentemente, muitos engenheiros continuaram a usar a abordagem analítica simples em uma parte significativa do seu trabalho. É claro que a recente evolução dos computadores pessoais baratos forneceu pronto acesso a recursos computacionais poderosos. Existem diversas razões adicionais pelas quais se deve estudar méto- dos numéricos:
1. Os métodos numéricos são ferramentas extremamente poderosas na resolução de problemas. Eles são capazes de lidar com um grande número de equações, não- linearidades e geometrias complicadas que não são incomuns na prática da engenharia e, em geral, são impossíveis de resolver analiticamente. Dessa forma, eles aumentam enormemente a capacidade de resolver problemas.
2. Durante a carreira, o profissional da engenharia freqüentemente terá ocasião de usar pacotes comercialmente disponíveis, ou programas de computador “enlatados” que envolvem métodos numéricos. O uso inteligente desses programas depende, com freqüência, do conhecimento da teoria básica fundamental dos métodos.
INTERPRETAÇÃO
Facilidade de cálculos permite o desenvolvimento de pensamentos
holísticos e da intuição; a sensibilidade e o comportamento do sistema podem ser estudados
FORMULAÇÃO
e as leis fundamentais
SOLUÇÃO
problemas tratáveis
(a)

3. Muitos problemas não podem ser abordados utilizando programas enlatados. Se o engenheiro estiver familiarizado com métodos numéricos e souber programar o computador, poderá projetar seu próprio programa para resolver problemas sem ter de comprar ou contratar softwares caros.
4. Os métodos numéricos são um veículo eficiente para o aprendizado do uso de computadores. É bem conhecido que uma forma eficiente de aprender a programar é realmente escrever um programa de computador. Como os métodos numéricos são, na maior parte, projetados para implementação em computadores, eles se mostram ideais para esse propósito. Além disso, são especialmente adequados para ilustrar o poder e as limitações dos computadores. Quando se implementam com sucesso métodos numéricos em um computador e, então, eles são aplicados para resolver problemas intratáveis de outra forma, tem-se acesso a uma demonstração dramática de como os computadores podem ajudar o desenvolvimento profissional. Ao mesmo tempo, aprende-se a identificar e a controlar os erros das aproximações, que são parte essencial de cálculos numéricos em grande escala.
5. Os métodos numéricos fornecem um veículo para o profissional reforçar seu entendimento da matemática. Como uma função dos métodos numéricos é reduzir a matemática mais avançada a operações aritméticas básicas, eles chegam aos detalhes práticos de alguns tópicos que, de outra forma, seriam obscuros. Aprimoramento do entendimento e da percepção pode resultar dessa perspectiva alternativa.
4 MODELAGEM, COMPUTADORES E ANÁLISE DE ERROS
PT1.2 FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
Todas as partes deste livro usam alguns fundamentos matemáticos. Conseqüentemente, o material introdutório para cada parte inclui uma seção, como a presente seção, sobre fundamentos matemáticos. Como a Parte Um propriamente dita é devotada à revisão de material em matemática e computadores, esta seção não envolve uma revisão de um tópico matemático específico. Em vez disso, aproveita-se a oportunidade para introduzir o tipo de assuntos da matemática cobertos neste livro. Como resumido na Figura PT1.2, esses assuntos são:
1. Raízes de Equações (Figura PT1.2a). Esses problemas dizem respeito ao valor de uma variável ou a um parâmetro que satisfaz uma única equação não-linear. Eles são especialmente importantes no contexto de projetos de engenharia, em que freqüentemente é impossível resolver explicitamente as equações para os parâmetros do projeto.
2. Sistemas de Equações Algébricas Lineares (Figura PT1.2b). Esses problemas são similares aos das raízes de equações, no sentido de que dizem respeito aos valores que satisfazem tais equações. Entretanto, em contraste a satisfazer uma única equação, é procurado um conjunto de valores que satisfaça simultaneamente um conjunto de equações algébricas lineares. Essas equações aparecem em uma grande variedade de contextos de problemas e em todas as disciplinas da engenharia. Em particular, elas se originam na modelagem matemática de grandes sistemas de elementos interconectados, como estruturas, circuitos elétricos e redes de fluidos. Entretanto, também são encontradas em outras áreas dos métodos numéricos, como ajustes de curva e equações diferenciais.

I
(a) Parte 2: Raízes de equações Resolva f ( x ) = 0 determinando x .
(c) Parte 4: Otimização
(b) Parte 3: Equações algébricas lineares Dados os a’s e os c’s, resolva
a11 x 1 + a12 x 2 = c1
a21 x 1 + a22 x 2 = c2
para determinar os x ’s.
Determine x que dê o valor ótimo de f ( x ).
(e) Parte 6: Integração
x
y
x
resolva, encontrando u como função
de x e y
= f ( x, y) 2u
y
t
( f ) Parte 7: Equações diferenciais ordinárias Dada
resolva, encontrando y como função de t .
yi + 1 = yi + f (t i , yi ) t
= f (t, y) dy

4. Ajuste de Curvas (Figura PT1.2d ). Freqüentemente é necessário ajustar curvas a conjuntos de dados. As técnicas desenvolvidas para esse propósito podem ser divididas em duas categorias gerais: regressão e interpolação. A regressão é empregada quando existe um grau significativo de erro associado aos dados. Os resultados experimentais são geralmente desse tipo. Para tais situações, a estratégia é desenvolver uma única curva que represente a tendência geral dos dados, sem necessariamente coincidir com nenhum ponto individual. Em contraste, a interpolação é usada quando o objetivo é determinar valores intermediários entre dados relativamente livres de erros — usualmente, é o caso para informações tabuladas. Para tais situações, a estratégia é ajustar a curva diretamente pelos pontos dados e usar essa curva para prever os valores intermediários.
5. Integração (Figura PT1.2e). Como descrito, uma interpretação física de integração numérica é a determinação da área sob a curva. A integração tem muitas aplicações na prática da engenharia, variando da determinação de centróides de objetos de forma estranha a cálculos de quantidades totais baseados em conjuntos de medidas discretas. Além disso, as fórmulas de integração numérica desempenham um papel importante na solução de equações diferenciais.
6. Equações Diferenciais Ordinárias (Figura PT1.2 f ). As equações diferenciais ordinárias têm um grande significado na prática da engenharia, e isso ocorre porque muitas leis físicas são descritas em termos da taxa de variação de uma quantidade em vez do valor da quantidade propriamente dita. Os exemplos variam de modelos de previsão populacional (taxa de variação da população) à aceleração de um corpo em queda livre (taxa de variação da velocidade). Dois tipos de problemas são tratados: problemas de valor inicial e valor de contorno. Além disso, o cálculo de autovalores também é coberto.
7. Equações Diferenciais Parciais (Figura PT1.2g). As equações diferenciais parciais são usadas para caracterizar sistemas de engenharia nos quais o comportamento de uma quantidade física é determinado pela sua taxa de variação em relação a duas ou mais variáveis independentes. Os exemplos incluem a distribuição estacionária de temperaturas em uma chapa aquecida (duas dimensões espaciais) ou a temperatura dependendo do tempo de uma haste aquecida (tempo e uma dimensão espacial). Duas abordagens fundamentalmente diferentes são empregadas para resolver equações diferenciais parciais numericamente. Neste texto, serão enfatizados os métodos de diferença finita, que aproximam a solução de maneira pontual (Figura PT1.2 g). Entretanto, também será apresentada uma introdução aos métodos de elementos finitos, que usam uma abordagem por partes.
PT1.3 ORIENTAÇÃO
Alguma orientação pode ser útil antes de prosseguir com a introdução aos métodos numéricos. O que segue deve ser visto como uma visão geral do material na Parte Um. Além disso, alguns objetivos foram incluídos para focalizar os esforços do aluno ao estudar este material.
PT1.3.1 Escopo e Visão Geral
A Figura PT1.3 é uma representação esquemática do material na Parte Um. Esse diagrama foi projetado para fornecer uma visão global desta parte do livro. O sentido de “perspectiva geral” é crítico no desenvolvimento da intuição nos métodos numéricos. Quando se lê um texto, é fácil perder-se nos detalhes técnicos. Sempre que o estudante sentir que está perdendo a perspectiva geral, deve consultar a Figura PT1.3 para se reorientar. Todas as partes deste livro incluem uma figura similar.

PT1.3 ORIENTAÇÃO 7
bilidades computacionais que é necessário adquirir para aplicar de forma eficiente as in- formações que vêm a seguir. Os Capítulos 3 e 4 dizem respeito ao importante tópico da análise de erros, que precisa ser entendido para o uso eficiente dos métodos numéricos. Além disso, é incluído um epílogo, no qual são introduzidos os prós e contras, que têm um grande significado para a implementação efetiva dos métodos numéricos.
PT1.3.2 Metas e Objetivos
Objetivos de Estudo. Após completar a Parte Um, o estudante deverá estar adequada- mente preparado para embarcar em seus estudos sobre os métodos numéricos. Em geral, deve ter adquirido um entendimento fundamental sobre a importância dos computadores e sobre o papel das aproximações e dos erros na implementação e no desenvolvimento dos métodos numéricos. Além dessas metas gerais, deve ter dominado cada um dos objetivos de estudo específicos listados na Tabela PT1.1.
CAPÍTULO 1 Modelagem
PARTE 1 Modelagem,
CAPÍTULO 2 Programação
EPÍLOGO
importantes
4.3 Erro numérico
PT 1.3 Orientação
PT 1.1 Motivação
1.2 Leis de
conservação e engenharia
1.1 Um modelo
matemático simples

Objetivos Computacionais. Quando completar a Parte Um, o estudante deve ter adquirido habilidades computacionais suficientes para desenvolver seu próprio software para os métodos numéricos neste texto. Deve ser capaz de desenvolver programas de computador bem estruturados e confiáveis com base em pseudocódigo, fluxogramas e outras formas de algoritmos. Também deve ter desenvolvido a capacidade de documentar seus programas de forma que eles possam ser usados efetivamente pelos usuários. Finalmente, além dos seus próprios programas, o aluno pode usar pacotes de softwares juntamente com este livro. Os pacotes como Excel ou The MathWorks, Inc. MATLAB ® são exemplos de tais softwares. O estudante deve estar familiarizado com esses pacotes, de forma que possa usá-los confortavelmente para resolver problemas numéricos mais adiante neste texto.
TABELA PT1.1 Objetivos de estudo específicos para a Parte Um.
1. Reconhecer a diferença entre soluções analítica e numérica. 2. Entender como as leis de conservação são empregadas para desenvolver modelos matemáticos do
sistema físico. 3. Definir projeto por refinamento e modular. 4. Definir as regras que fundamentam a programação estruturada. 5. Ser capaz de compor programas estruturados e modulares em uma linguagem de computação de
alto nível. 6. Saber como traduzir fluxogramas estruturados e pseudocódigos para códigos em uma linguagem de
alto nível. 7. Começar a se familiarizar com todos os pacotes de software que serão usados junto com este texto. 8. Reconhecer a distinção entre erros de truncamento e de arredondamento. 9. Entender os conceitos de algarismos significativos, acurácia e precisão.
10. Reconhecer a diferença entre erro relativo verdadeiro εt , erro relativo aproximado εa, e erro aceitável εs, e entender como εa e εs são usados para finalizar um cálculo iterativo.
11. Entender como os números são representados em computadores digitais e como essa representação induz a erros de arredondamento. Em particular, saber a diferença entre precisão simples e estendida.
12. Reconhecer como a aritmética do computador pode introduzir e ampliar erros de arredondamento nos cálculos. Em par ticular, analisar o problema do cancelamento na subtração.

1C A P Í T U L O 1 Modelagem Matemática e Resolução de Problemas de Engenharia O conhecimento e o entendimento são pré-requisitos para a implementação efetiva de qualquer ferramenta. Não importa quão incrível seja sua caixa de ferramentas, você terá dificuldades para consertar um carro se não entender como ele funciona.
Isso é particularmente verdade quando se usam computadores para resolver problemas de engenharia. Embora tenham uma utilidade potencial imensa, os computadores são praticamente inúteis sem um entendimento fundamental de como os sistemas da engenharia funcionam.
Esse conhecimento é adquirido inicialmente de forma empírica — isto é, por obser- vação e experiência. Entretanto, embora tal informação adquirida empiricamente seja essencial, ela é apenas metade da história. Durante anos e anos de observação e experiên- cia, os engenheiros e cientistas notaram que certos aspectos dos seus estudos empíricos ocorrem repetidamente. Tal comportamento geral pode então ser expresso como leis fundamentais que essencialmente representam o conhecimento acumulado da experiência passada. Portanto, a resolução da maioria dos problemas de engenharia usa uma abordagem com as duas vertentes, a do empirismo e a da análise teórica (Figura 1.1).
Deve ser enfatizado que as duas vertentes são intimamente ligadas. Conforme novas medidas são feitas, as generalizações podem ser modificadas, ou novas generalizações desenvolvidas. Analogamente, as generalizações podem ter uma forte influência nas experiências e observações. Em particular, as generalizações podem servir como princí- pios organizatórios empregados para resumir resultados de observações e experiências em uma estrutura coerente e abrangente, a partir das quais são tiradas conclusões. Da perspectiva de resolução de problemas de engenharia, tal estrutura é mais útil quando expressa na forma de um modelo matemático.
O objetivo primário deste capítulo é introduzi-lo à modelagem matemática e ao seu papel na resolução de problemas de engenharia. Vamos também ilustrar como os métodos numéricos figuram no processo.
1.1 UM MODELO MATEMÁTICO SIMPLES
Um modelo matemático pode ser definido, de forma geral, como uma formulação ou equação que expressa as características essenciais de um sistema ou processo físico em termos matemáticos. Em um sentido muito geral, ele pode ser representado como uma relação funcional da forma
Variável dependente
(1.1)
onde a variável dependente é uma característica que usualmente reflete o comportamento ou estado do sistema; as variáveis independentes usualmente são dimensões, como tempo e espaço, ao longo das quais o comportamento do sistema está sendo determinado; os parâmetros refletem propriedades ou composição do sistema; os termos forçantes são as influências externas agindo sobre o sistema.
9

A expressão matemática real da Equação (1.1) pode variar de uma simples relação algébrica a um conjunto grande e complicado de equações diferenciais. Por exemplo, com base em suas observações, Newton formulou sua segunda lei do movimento, que afirma que a taxa de variação no tempo do momento de um corpo é igual à força resultante agindo nele. A expressão matemática, ou modelo, da segunda lei é a equação bem conhecida
F = ma (1.2)
onde F é a força resultante agindo no corpo (N, ou kg m/s 2), m massa do objeto (kg) e a é a sua aceleração (m/s2).
A segunda lei pode ser reescrita na forma da Equação (1.1) simplesmente dividindo ambos os lados por m para obter
a = F
m (1.3)
onde a é a a variável dependente refletindo o comportamento do sistema, F é o termo forçante e m é um parâmetro representando uma propriedade do sistema. Observe que, para esse caso simples, não há nenhuma variável independente, porque não estamos pre- vendo como a aceleração varia no tempo ou no espaço.
A Equação (1.3) tem diversas características que são típicas de modelos matemáticos do mundo físico:
1. Ela descreve um processo ou sistema natural em termos matemáticos. 2. Ela representa uma idealização e simplificação da realidade. Isto é, o modelo ignora
detalhes desprezíveis do processo natural e se concentra nas suas manifestações essenciais. Portanto, a segunda lei não inclui os efeitos da relatividade, que são de importância mínima quando aplicados a objetos e forças que interagem sobre a ou perto da superfície da Terra, com velocidades e em escalas visíveis aos humanos.
10 MODELAGEM MATEMÁTICA E RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA
Implementação
FIGURA 1.1 O processo de resolver problemas de engenharia.

1.1 UM MODELO MATEMÁTICO SIMPLES 11
3. Finalmente, ela produz resultados que podem ser reproduzidos e, conseqüentemen- te, ser usados para propósitos de previsão. Por exemplo, se a força sobre um objeto e a massa de um objeto são conhecidas, a Equação (1.3) pode ser usada para calcular a aceleração.
Por causa de sua forma algébrica simples, a solução da Equação (1.2) é facilmente obtida. Entretanto, outros modelos matemáticos de fenômenos físicos podem ser muito mais complexos e, ou não podem ser resolvidos exatamente, ou exigem técnicas matemáticas mais sofisticadas que a álgebra simples para sua solução. Para ilustrar um modelo mais complexo deste tipo, a segunda lei de Newton pode ser usada para determinar a velocidade terminal de um corpo em queda livre, perto da superfície da Terra. Nosso corpo em queda livre será um pára-quedista (Figura 1.2). Um modelo para esse caso pode ser deduzido expressando a aceleração como taxa de variação no tempo da velocidade (d v / dt ) e substituindo-a na Equação (1.3) para obter
d v
m (1.4)
onde v é a velocidade (m/s) e t é o tempo (s). Portanto, a massa multiplicada pela taxa de variação da velocidade é igual à força resultante agindo no corpo. Se a força resultante for positiva, o objeto irá acelerar. Se for negativa, o objeto vai desacelerar. Se a força resultante for nula, a velocidade do objeto permanecerá em um nível constante.
A seguir, vamos expressar a força resultante em termos das variáveis e parâmetros mensuráveis. Para um corpo em queda livre na vizinhança da Terra (Figura 1.2), a força resultante é composta de duas forças opostas: a força gravitacional, para baixo, F D e a força da resistência do ar, para cima, F U :
F = F D + F U (1.5)
Se associarmos um sinal positivo à força para baixo, a segunda lei pode ser usada para escrever a força devida à gravidade como
F D = mg (1.6)
onde g é a constante gravitacional, ou a aceleração devida à gravidade, que é aproximadamente igual a 9,8 m/s2.
A resistência do ar pode ser formulada de diversas maneiras. Uma abordagem simples é assumir que ela é linearmente proporcional à velocidade 1 e age no sentido para cima, como em
F U = −cv (1.7)
onde c é uma constante de proporcionalidade chamada de coeficiente de arrasto (kg/s). Portanto, quanto maior a velocidade de queda, maior a força para cima devida à resistên- cia do ar. O parâmetro c representa as propriedades de objetos em queda livre, como a forma ou a aspereza da superfície, que afetam a resistência do ar. No caso presente, c
poderia ser uma função do tipo de macacão ou da orientação usada pelo pára-quedista durante a queda livre.
A força resultante é a diferença entre a força para baixo e a força para cima. Portanto, as Equações (1.4) até (1.7) podem ser combinadas para fornecer
d v
d v
dt = g −
F U
F D
FIGURA 1.2 Diagrama esquemático das forças agindo em um pára- quedista em queda livre. F D é a força devida à gravidade, para baixo. F U é a força devida à resistência do ar, para cima.

A Equação (1.9) é um modelo que relaciona a aceleração do objeto em queda às forças agindo nele. Ela é uma equação diferencial porque é escrita em termos da taxa de variação diferencial (d v/dt ) da variável que estamos interessados em prever. Entretanto, em contraste com a solução da segunda lei de Newton na Equação (1.3), a solução exata da Equação (1.9) para a velocidade de um pára-quedista em queda livre não pode ser obtida usando manipulação algébrica simples. Em vez disso, técnicas mais avançadas como aquelas do cálculo devem ser aplicadas para se obter uma solução exata ou analítica. Por exemplo, se o pára-quedista estiver inicialmente em repouso ( v = 0 em t = 0), o cálculo pode ser usado para resolver a Equação (1.9), fornecendo
v(t ) = gm
(1.10)
Observe que a Equação (1.10) está escrita na forma geral da Equação (1.1), onde v(t ) é a variável independente, t é a variável independente, c e m são parâmetros, e g é o termo forçante.
EXEMPLO 1.1 Solução Analítica para o Problema do Pára-quedista em Queda Livre
Enunciado do Problema. Um pára-quedista de massa 68,1 kg pula de um balão de ar quente parado. Use a Equação (1.10) para calcular a velocidade anterior à abertura do pára-quedas. O coeficiente de arrasto é igual a 12,5 kg/s.
Solução. Inserindo os parâmetros na Equação (1.10), obtemos
v(t ) = 9,8(68,1)
t, s v, m/s
0 0,00 2 16,40 4 27,77 6 35,64 8 41,10
10 44,87 12 47,49 53,39
De acordo com o modelo, o pára-quedista acelera rapidamente (Figura 1.3). Uma velocidade de 44,87 m/s (100,4 mi/h) é atingida após 10 s. Observe também que, após um tempo suficientemente longo, é atingida uma velocidade constante, chamada de veloci-
dade terminal, de 53,39 m/s (119,4 mi/h). Essa velocidade é constante porque, eventual- mente, a força da gravidade estará em equilíbrio com a resistência do ar. Portanto, a força resultante é nula e a aceleração deixa de existir.
A Equação (1.10) é chamada uma solução analítica ou exata porque ela satisfaz exatamente a equação diferencial original. Infelizmente, existem muitos modelos matemáticos que não podem ser resolvidos exatamente. Em muitos desses casos, a única alternativa é desenvolver uma solução numérica que aproxime a solução exata.
Como mencionado previamente, os métodos numéricos são aqueles nos quais os problemas matemáticos são reformulados de forma que possam ser resolvidos por ope- rações aritméticas. Isso pode ser ilustrado para a segunda lei de Newton, observando que a taxa de variação no tempo da velocidade pode ser aproximada por (Figura 1.4):
d v
t i +1 − t i (1.11)

1.1 UM MODELO MATEMÁTICO SIMPLES 13
ondev et são diferenças na velocidade e no tempo, respectivamente, calculados sobre intervalos finitos, v(t i) é velocidade em um instante inicial t i , e v(t i +1) é velocidade em um instante posterior t i +1. Observe que d v/dt ∼= v/t é aproximado porque t é finito. Lembre-se, do cálculo, que
d v
dt = lim
t →0
v
t
A Equação (1.11) representa o processo reverso. A Equação (1.11) é chamada de aproximação por diferença dividida finita da
derivada no instante t i . Ela pode ser substituída na Equação (1.9) para fornecer
v(t i+1)− v(t i)
t i +1 − t i = g −
c
v(t i +1) = v(t i) +

0 0
Velocidade terminal
FIGURA 1.3 A solução analítica do problema do pára-quedista em queda livre, como calculada no Exemplo 1.1. A velocidade aumenta com o tempo e se aproxima assintoticamente da velocidade terminal.
v(t i +1)
=
t

Observe que o termo entre colchetes é o lado direito da equação diferencial propriamente dita [Equação (1.9)]. Isto é, ela fornece um meio de calcular a taxa de variação ou a inclinação de v. Portanto, a equação diferencial foi transformada em uma equação que pode ser usada para determinar algebricamente a velocidade em t i +1 usando a incli- nação e os valores anteriores de v e t. Se for dado um valor inicial para a velocidade em algum instante t i , pode-se facilmente calcular a velocidade em um instante posterior t i +1. Esse novo valor da velocidade em t i+1 pode, por sua vez, ser usado para estender o cál- culo da velocidade a t i +2, e assim por diante. Portanto, em qualquer instante ao longo do caminho,
Valor novo valor velho inclinação tamanho do passo
Observe que essa abordagem é chamada oficialmente de método de Euler .
EXEMPLO 1.2 Solução Numérica para o Problema do Pára-quedista em Queda Livre
Enunciado do Problema. Faça os mesmos cálculos que no Exemplo 1.1, mas use a Equação (1.12) para calcular a velocidade. Use um passo de tamanho 2 s para os cálculos.
Solução. No início dos cálculos (t i = 0), a velocidade do pára-quedista é zero. Usan- do essa informação e os valores dos parâmetros do Exemplo 1.1, a Equação (1.12) pode ser utilizada para calcular a velocidade em t i +1 = 2 s:
v = 0 +
2 = 19,60 m/s
Para o intervalo seguinte (de t 2 a 4 s), os cálculos são repetidos, com o resultado
v = 19,60 +
2 = 32,00 m/s
Continua-se os cálculos, de forma análoga, para se obter valores adicionais:
t , s v , m/s
0 0,00 2 19,60 4 32,00 6 39,85 8 44,82
10 47,97 12 49,96 53,39
O resultado está representado graficamente na Figura 1.5, juntamente com a solução exata. Pode-se ver que o método numérico retrata as características essenciais da so- lução exata. Entretanto, como foram usados segmentos de retas para aproximar uma função que se curva continuamente, existe alguma discrepância entre os dois resultados. Uma forma de minimizar tais discrepâncias seria usar um passo de tamanho menor. Por exemplo, a aplicação da Equação (1.12) em intervalos de 1 s resulta em um erro menor,
já que os segmentos de retas seguem a solução verdadeira mais de perto. Fazendo-se os cálculos à mão, o esforço associado ao uso de passos cada vez menores tornaria tais soluções numéricas não-práticas. Entretanto, com o auxílio do computador, grandes números de cálculos podem ser feitos facilmente. Portanto, pode-se modelar com exati- dão a velocidade do pára-quedista em queda livre sem ter de resolver a equação diferencial exatamente.

1.2 LEIS DE CONSERVAÇÃO E ENGENHARIA 15
há um balanceamento entre a acurácia e o esforço computacional. Tais prós e contras figuram de forma proeminente nos métodos numéricos e constituem um tema importante neste livro. Conseqüentemente, devotamos o Epílogo da Parte Um a uma introdução a mais desses prós e contras.
0 0
Solução analítica, exata
Solução numérica, aproximada
FIGURA 1.5 Comparação das soluções numéricas e analíticas do problema do pára-quedista em queda livre.
Além da segunda lei de Newton, existem outros princípios de organização importantes na engenharia. Entre os mais importantes deles estão as leis de conservação. Embora elas formem a base para uma variedade de modelos matemáticos complicados e poderosos, as grandes leis de conservação da ciência e da engenharia são conceitualmente fáceis de entender. Todas elas se reduzem a
Variação aumento diminuição (1.13)
Essa é precisamente a forma empregada quando se usa a lei de Newton para deduzir o balanço de forças para um pára-quedista em queda livre [Equação (1.8)].
Embora simples, a Equação (1.13) engloba uma das formas mais fundamentais nas quais as leis de conservação são usadas em engenharia — isto é, para predizer variações com relação ao tempo. Dá-se à Equação (1.13) o nome especial de cálculo dependente do
tempo (ou transiente). Além de predizer variações, uma outra forma na qual as leis de conservação são
aplicadas é no caso em que não existe a variação. Se a variação for nula, a Equação (1.13) se torna
Variação 0 aumento diminuição
Aumento diminuição (1.14)
Portanto, se não ocorrer nenhuma variação, o aumento e a diminuição devem estar balanceados. Esse caso, que também possui um nome especial — o cálculo de estado
estacionário — tem muitas aplicações em engenharia. Por exemplo, para escoamentos de fluidos incompressíveis e estacionários em tubos, o escoamento entrando em uma junção deve ser balanceado pelo escoamento saindo, como em
Escoamento entrando escoamento saindo

Para a junção na Figura 1.6, o balanço pode ser usado para calcular que o escoamento saindo do quarto tubo deve ser 60.
Para o pára-quedista em queda livre, as condições estacionárias corresponderiam ao caso em que a força resultante fosse nula ou [Equação (1.8) com d v/dt = 0]
mg = cv (1.15)
Desse modo, no estado estacionário, as forças para baixo e para cima estão balan- ceadas e a Equação (1.15) pode ser resolvida para se determinar a velocidade terminal
v = mg
c
Embora as Equações (1.13) e (1.14) possam parecer trivialmente simples, elas en- globam as duas formas fundamentais nas quais as leis de conservação são empregadas em engenharia. Assim, elas constituirão uma parte importante de nossos esforços nos capítu- los subseqüentes para ilustrar a conexão entre os métodos numéricos e a engenharia. Nos- sos veículos primários para fazer essa conexão são as aplicações em engenharia que aparecem no final de cada parte deste livro.
A Tabela 1.1 resume alguns dos modelos simples de engenharia e as leis de conser- vação associadas que formarão a base para muitas dessas aplicações em engenharia. A maioria das aplicações em engenharia química será focalizada no balanço de massa para reatores. O balanço de massa é deduzido da conservação de massa. Ele especifica que a variação de massa de um produto químico no reator depende da diferença da quantia de massa escoando para dentro e da quantia de massa escoando para fora.
As aplicações tanto em engenharia civil quanto em engenharia mecânica serão foca- lizadas em modelos desenvolvidos a partir da conservação do momento. Para a engenharia civil, os balanços de força são utilizados para analisar estruturas como a treliça simples na Tabela 1.1. Os mesmos princípios são usados nas aplicações em engenharia mecânica para analisar o movimento transiente para cima e para baixo ou as vibrações de um automóvel.
Finalmente, as aplicações em engenharia elétrica usam tanto balanço de corrente quanto de energia para modelar os circuitos elétricos. O balanço de corrente, que resulta da conservação da carga, é parecido — em essência — com o balanço de escoamento mostrado na Figura 1.6. Da mesma forma como o escoamento deve ser balanceado em uma junção de tubos, a corrente elétrica deve ser balanceada em uma junção de fios elétri- cos. O balanço de energia especifica que a variação de voltagem ao redor de qualquer laço de um circuito deve totalizar zero. As aplicações em engenharia são planejadas para ilustrar como os métodos numéricos são realmente empregados no processo de resolução de problemas de engenharia. Assim, elas vão permitir explorar questões práticas (Tabela 1.2) que aparecem em aplicações do mundo real. Fazer essas conexões entre as técnicas matemáticas, como os métodos numéricos, e a prática da engenharia é um passo crítico para usar seu verdadeiro potencial. Um exame cuidadoso das aplicações de engenharia vai ajudá-lo a dar esse passo.
Tubo 2 Escoamento para dentro = 80
Tubo 3 Escoamento para fora = 120
Tubo 4 Escoamento para fora = ?
Tubo 1 Escoamento para dentro = 100

1.2 LEIS DE CONSERVAÇÃO E ENGENHARIA 17
TABELA 1.1 Dispositivos e tipos de balanços que são comumente usados nas quatro áreas principais da engenharia. Para cada caso, a lei de conservação na qual o balanço é baseado está especificada.
Estrutura
Conservação da massa
Balanço de força:
Engenharia elétrica Conservação da carga Balanço de corrente:
Conservação da energia Balanço de voltagem:
Balanço de massa
Reatores Entrada Saída
massa = entrada – saída
Em cada nó
Para cada nó
corrente (i ) = 0
por resistores = 0
= força para baixo – força para cima
TABELA 1.2 Algumas questões práticas que serão exploradas nas aplicações de engenharia no final de cada parte deste livro.
1. Não-linear versus linear . Muito da engenharia clássica depende da linearização para permitir soluções analíticas. Embora muitas vezes isso seja apropriado, pode-se aumentar a percepção ao se examinar os problemas não-lineares.
2. Sistemas grandes versus pequenos. Sem um computador, em geral não é possível examinar sistemas com mais de três componentes interagindo. Com computadores e métodos numéricos, sistemas com muitos componentes, mais realistas, podem ser examinados.
3. Não-ideal versus ideal. As leis idealizadas abundam em engenharia. Em geral, existem alternativas não-idealizadas que são mais realistas, mas que exigem mais do ponto de vista computacional. Abordagens numéricas apropriadas podem facilitar a aplicação dessas relações não-ideais.
4. Análise de sensibilidade. Como esse tipo de análise é bastante complicado, muitos cálculos manuais requerem uma grande quantidade de tempo e esforço para uma implementação bem-sucedida. Algumas vezes, isso desencoraja o analista de implementar os cálculos múltiplos que são necessários para examinar como o sistema responde sob diferentes condições. Tais análises de sensibilidade são facilitadas quando os méto- dos numéricos permitem que o computador assuma toda a carga computacional.

1.1 A água é responsável por aproximadamente 60% do peso total do corpo. Assumindo que ela pode ser categorizada em seis regiões, as percentagens são como a seguir. O plasma é respon- sável por 4,5% do peso do corpo e por um total de 7,5% da água total do corpo. O tecido conectivo denso e as cartilagens ocupam 4,5% do peso total do corpo e 7,5% da água total do corpo. O tecido intersticial é 12% do peso do corpo, o que dá 20% da água total

métodos numéricos para engenharia

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