UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINASFACULDADE DE ENGENHARIA QUMICAMESTRADO EM ENGENHARIA QUMICA

TRABALHO 1

Trabalho apresentado como requisito parcial para avaliao na matria de Mtodos Matemticos para Engenharia Qumica (IQ303A).Professor: Dr. Reginaldo Guirardello.

Aluna: Sara Cristina SilvaR.A.: 162755

CAMPINAS2015

Questo 1 - Calcular a derivada numrica de 1 ordem usando frmulas com erro proporcional a h, para 5 intervalos h diferentes, comparar com o valor exato, e analisar (em grfico log-log) o comportamento do erro em funo do intervalo h.

em

O valor exato de para conhecido e igual a 10. Todavia, para o clculo da derivada numrica foram utilizadas duas expresses obtidas atravs de uma expanso em srie de Taylor para diferentes numros de pontos, como demonstrado abaixo:

(1) (2)

As Tabelas 1 e 2 contm os valores adotados para h assim como os resultados para a derivada calculados de acordo com a Eq. (1) e (2), respectivamente. O erro foi obtido atravs do mdulo da diferena do valor exato e do valor aproximado da derivada.

Tabela 1: Dados obtidos utilizando a Eq. (1)hxixi+hxi-hf(xi+h)f(xi-h)f'(xi)Erro

0,500,5-0,5-0,958920,95892-1,9178511,91785

0,300,3-0,30,14112-0,141120,470409,52960

0,100,1-0,10,84147-0,841478,414711,58529

0,0100,01-0,010,09983-0,099839,983340,01666

0,00100,001-0,0010,01000-0,010009,999830,00017

A Figura 1 apresenta o comportamento do erro com o tamanho do passo (h) (em grfico log-log) para a Eq. (1).

Figura 1: Comportamento do erro em funo do intervalo h (Tabela 1).

Tabela 2: Dados obtidos utilizando a Eq. (2).hxixi-hxi-2hf(xi)f(xi-h)f(xi-2h)f'(xi)Erro

0,50-0,5-100,958920,54402-3,2916813,29168

0,30-0,3-0,60-0,141120,279421,406498,59351

0,10-0,1-0,20-0,84147-0,9093012,282932,28293

0,010-0,01-0,020-0,09983-0,1986710,033220,03322

0,0010-0,001-0,0020-0,01000-0,0200010,000330,00033

A Figura 2 apresenta o comportamento do erro com o tamanho do passo (h) (em grfico log-log) para a Eq. (2).

Figura 2: Comportamento do erro em funo do intervalo h (Tabela 2).

Atravs das Figuras (1) e (2) possvel observar que o erro do clculo da derivada numrica diminui com o decrscimo do intervalo adotado.A Figura (3) faz uma comparao entre o comportamento Erro x h obtidos pelas Eqs (1) e (2).

Figura 3: Tendncias do erro em relao a h obtidos atravs das Eq. (1) e (2).Segundo a Figura 3, pode-se observar que a Eq. (1), a qual utiliza dois pontos para a estimativa da derivada, para h < 0,1, apresentou erro menor que a Eq. (2), que utiliza trs pontos com posies diferentes dos pontos usados na Eq. (1). Questo 2 - Calcular a derivada numrica de 1 ordem usando frmulas com erro proporcionais a h, para 5 intervalos h diferentes, comparar com o valor exato, e analisar (em grfico log-log) o comportamento do erro em funo do intervalo h. em

O valor exato de para conhecido e igual a 994,0858337. Todavia, para o clculo da derivada numrica foram utilizadas as equaes (1) e (2) apresentadas na questo 1. O erro foi obtido atravs do mdulo da diferena do valor exato e do valor aproximado da derivada.As Tabelas 3 e 4 foram construdas de acordo com as Equaes (1) e (2), respectivamente, utilizando a funo fornecida neste problema. As Figuras (4) e (5) apresentam o comportamento (em grfico log-log) do erro em funo ao intervalo h para as Tabelas (3) e (4), respectivamente.

Tabela 3: Dados obtidos utilizando a Eq. (1).hxixi+hxi-hf(xi+h)f(xi-h)f'(xi)Erro

0,00040,0010,00140,0006-6,58049-7,423031053,1801359,09430

0,00020,0010,00120,0008-6,73351-7,136611007,7418613,65603

0,00010,0010,00110,0009-6,81994-7,01943997,437643,35181

0,000050,0010,001050,00095-6,86617-6,96566994,920000,83417

0,000010,0010,001010,00099-6,90478-6,92466994,119150,03332

Figura 4: Comportamento do erro em funo do intervalo h (Tabela 3).

Tabela 4: Dados obtidos utilizando a Eq. (2).hxixi-hxi-2hf(xi)f(xi-h)f(xi-2h)f'(xi)Erro

0,00040,0010,00060,0002-6,91467-7,42303-8,51890536,54660457,53923

0,00020,0010,00080,0006-6,91467-7,13661-7,42303948,4761845,60965

0,00010,0010,00090,0008-6,91467-7,01943-7,13661985,582308,50353

0,000050,0010,000950,0009-6,91467-6,96566-7,01943992,213351,87248

0,000010,0010,000990,00098-6,91467-6,92466-6,93475994,017670,06816

Figura 5: Comportamento do erro em funo do intervalo h (Tabela 4).

Atravs das Figuras 4 e 5 possvel observar que o erro entre o clculo da derivada numrica e o valor exato dimininui quando o intervalo (h) adotado diminiu. A Figura 6 apresenta uma comparao entre os comportamentos nos Figuras (4) e (5) (em grfico log-log).

Figura 6: Tendncias do erro em relao a h obtidos atravs das Eq. (1) (em cinza) e (2) (em preto).Segundo a Figura 6, pode-se observar que a Eq. (1), a qual utiliza dois pontos para a estimativa da derivada apresentou, em todo o intervalo de h adotado, erro menor que a Eq. (2), que utiliza trs pontos com posies diferentes dos pontos usados na Eq. (1).Questo 3 - Calcular a integral, utilizando as regras do trapzio, de Simpson e Hermite, para 5 intervalos h diferentes, comparar com o valor exato, e analisar (em grfico log-log) o comportamento do erro em funo do intervalo h.

O valor exato da integral conhecido e igual a 0,785398163. A Regra do Trapzio pode ser aplicada a esse caso de acordo com as equaes abaixo.

Onde:

Sendo n o nmero de pontos e h o tamanho do intervalo. Desta forma, a Tabela 5 contm os nmeros de pontos adotados, o tamanho do intervalo, o resultado da integral e o erro em relao ao valor exato.Tabela 5: Dados obtidos utilizando a Regra do Trapzio.nhIntegralErro

20,7853980,7854333,4739E-05

60,2617990,7854101,1580E-05

100,1570800,7854056,9477E-06

200,0785400,7854023,4739E-06

500,0314160,7854001,3895E-06

A Figura 7 apresenta o comportamento do erro em funo do tamanho do intervalo h de acordo com dados da Tabela 5.

Figura 7: Comportamento do erro em funo do intervalo h (Tabela 5).

A Regra de Simpson pode ser aplicada resoluo da integral de acordo com as equaes a seguir.

Onde:

Sendo 2n o nmero de pontos e h o tamanho do intervalo. Desta forma, a Tabela 6 contm os nmeros de pontos adotados, o tamanho do intervalo, o resultado da integral e o erro em relao ao valor exato utilizando a Regra de Simpson.

Tabela 6: Dados obtidos utilizando a Regra de Simpson.2nhIntegralErro

20,7853980,7854212,3159E-05

60,2617990,7854067,7197E-06

100,1570800,7854034,6318E-06

200,0785400,7854002,3159E-06

500,0314160,7853999,2636E-07

A Figura 8 apresenta o comportamento (em grfico log-log) do erro em funo do tamanho do intervalo h de acordo com dados da Tabela 6.

Figura 8: Comportamento do erro em funo do intervalo h (Tabela 6).De acordo com as Figuras 7 e 8, possvel observar que o erro decresce quando o intervalo h adotado decresce, ou seja, quanto menor h, menor a diferena entre o resultado exato da integral e o resultado numrico.A Figura 9 apresenta uma comparao entre os erros obtidos a partir das regras do Trapzio e de Simpson.

Figura 9: Comparao entre os mtodos para clculo numrico da integral, Regra do Trapzio e Regra de Simpson.

A Figura 9 compara os resultados obtidos a partir dos dois mtodos utilizados, e o que se observa que a Regra de Simpson se mostra mais precisa em relao Regra do Trapzio.

O mtodo de Hermite no se aplica a esse caso, uma vez que o intervalo de integrao para esse mtodo [-, +].

Questo 4 - Calcular a integral, utilizando as regras do trapzio, de Simpson e Hermite, para 5 intervalos h diferentes. Para esse caso o valor exato no dado, de tal forma que o erro precisa ser estimado pelo comportamento da integral numrica em funo de h. Analisar (em grfico log-log) o comportamento do erro em funo do intervalo h.

As frmulas a serem utilizadas para integrao numrica pela Regra do Trapzio e Regra de Simpson so as mesmas apresentadas na Questo 3. Mais uma vez, o mtodo de Gauss-Hermite no se aplica a este caso, uma vez que o intervalo de integrao se difere de [-, +]. A Tabela 7 apresenta os parmetros utilizados e resultados obtidos pela Regra do Trapzio.

Tabela 7: Dados obtidos utilizando a Regra do Trapzio.nhIntegralErro

21,570805,08320

60,523604,520975,62235E-01

100,314164,514526,44872E-03

200,157084,514411,09020E-04

500,062834,514415,13732E-09

A coluna Erro, foi calculada entre a diferena do valor da integral para n-i pontos e o valor da integral para n pontos, por isso, para n=2 pontos a coluna Erro est vazia.A Figura 10 apresenta os dados de Erro em funo de h retirados da Tabela 7.

Figura 10: Tendncia do Erro em funo do tamanho do intervalo h (Tabela 7).

A Tabela 8 foi construda com os dados calculados a partir da Regra de Simpson e reporta o nmero de pontos utilizados, tamanho do intervalo (h), valor numrico para a integral e o erro.Mais uma vez, a coluna Erro foi calculada entre a diferena do valor da integral para n-i pontos e o valor da integral para n pontos, por isso, para n=2 pontos a coluna Erro est vazia.

Tabela 8: Dados obtidos utilizando a Regra do Trapzio.2nhIntegralErro

21,570805,73041

60,523604,575051,15536E+00

100,314164,520745,43059E-02

200,157084,514376,36868E-03

500,062834,514413,63348E-05

A Figura 11 apresenta os dados de Erro em funo de h retirados da Tabela 8.

Figura 11: Tendncia do Erro em funo do tamanho do intervalo h (Tabela 8).

Atravs das Figuras 10 e 11, pode-se observar que o Erro, ou seja, a diferena entre valores das integrais calculadas adotando-se um nmero de pontos crescente, diminui com a diminuio do intervalo, ou tambm, o Erro diminui quanto maior o nmero de pontos adotados.A Figura 12 demonstra o comportamento dos valores para integral calculados numericamente atravs das Regras do Trapzio e de Simpson.

Figura 12: Comportamento dos valores da integral em relao h.

De acordo com a Figura 12 e as Tabela 8 e 7, pode-se dizer que ambos os mtodos utilizados convergem para um valor de 4,51441 para a integral.

Questo 5 - Calcular a integral, por quadratura gaussiana, para 5 nmeros de pontos diferentes, comparar com o valor exato, e analisar (em grfico comum) o comportamento do erro em funo do nmero de pontos.

O valor exato da integral conhecido e igual a 0,524723459. Todavia, para o clculo numrico da integral foram utilizados os mtodos de Quadratura Gauss-Legendre e Quadratura Gauss-Tchebyshev que podem ser utilizados de acordo com as equaes (3), (4), (5) e (6) para Gauss-Legendre e (7), (8) e (9) para Gauss-Tchebyshev.

Quadratura Gauss-Legendre

(3)Sendo:

(4)de tal forma que a integral se torna:

(5)onde:

(6)

Quadratura Gauss- Tchebyshev

(7)Onde

(8) (9)

Na Quadratura de Gauss-Legendre os valores de xi e wi so tabelados e variam de acordo com o nmero de pontos adotado. A Tabela 9 contm os 5 nmero de pontos adotados, os valores de xi e wi respectivos, o valor da integral obtida e o erro calculado pelo mdulo da diferena entre o valor exato da integral e o valor numrico encontrado.

Tabela 9: Parmetros e resultados obtidos utilizando Gauss-Legendre.nxiwiIntegralErro

2-0,5773502691-1,990782,51551

0,5773502691

4-0,8611363120,3478550,377650,14707

-0,3399810440,652145

0,3399810440,652145

0,8611363120,347855

6-0,9324695140,1713240,63479-0,11007

-0,6612093860,360762

-0,2386191860,467914

0,2386191860,467914

0,6612093860,360762

0,9324695140,171324

8-0,9602898560,1012291,523192-0,99847

-0,7966664770,222381

-0,525532410,313707

-0,1834346420,362684

0,1834346420,362684

0,525532410,313707

0,7966664770,222381

0,9602898560,101229

10-0,9739065290,066671-0,132490,65721

-0,8650633670,149451

-0,6794095680,219086

-0,4333953940,269267

-0,1488743390,295524

0,1488743390,295524

0,4333953940,269267

0,6794095680,219086

0,8650633670,149451

0,9739065290,066671

A Figura 13 representa o comportamento do Erro para o mtodo de Gauss-Legendre em funo do nmero de pontos.

Figura 13: Tendncia do erro em funo do nmero de pontos.

Ao contrrio das outras questes discutidas anteriormente, o erro, neste caso, parece no decrescer ao se aumentar o nmero de pontos. Desta forma, o valor da integral no converge, como demonstrado na Figura 14.

Figura 14: Relao entre valores para integral numrica e valor exato.

A fim de tentar atingir o valor exato atravs do clculo numrico, o mtodo de Gauss- Tchebyshev foi empregado. A Tabela 10 apresenta os valores utilizados para este caso.

Tabela 10: Parmetros e resultados obtidos utilizando Quadratura de Gauss- Tchebyshev. nIntegralErro

51,01237910,4876557

10-0,82455041,3492739

150,41991920,1048043

200,52497700,0002536

500,57555930,0508359

800,56100450,0362810

A Figura 15 representa o comportamento do Erro para o mtodo de Gauss- Tchebyshev em funo do nmero de pontos.

Figura 15: Tendncia do erro em funo do nmero de pontos (Gauss- Tchebyshev).

Pode-se observar pela Figura 15 que para este mtodo, o erro, a partir de n>15, tende a zero. Ou seja, o mtodo converge para o valor exato da integral.

Questo 6 - Calcular a integral, por quadratura gaussiana, para 5 nmeros de pontos diferentes, comparar com o valor exato, e analisar (em grfico comum) o comportamento do erro em funo do nmero de pontos.

O valor exato da integral conhecido e igual a 0,577863675. Todavia, para o clculo numrico da integral foi utilizado o mtodo de Quadratura Gauss-Laguerre que pode ser utilizado de acordo com a equao (10).

(10)

Neste caso, necessrio adaptar a funo f(x) para que se encaixe no modelo da Eq. (10).Podemos fazer, sem prejuzos:

Ento, a equao para Laguerre a ser utilizada :

Os valores e so tabelados e podem ser encontrados na Tabela 11 juntamente com o nmero de pontos utilizados, o valor da integral numrica e o erro em relao ao valor exato.

Tabela 11: Parmetros e resultados obtidos utilizando Quadratura de Gauss- Laguerre.nixie^xi*wiIntegralErro

210,5857861,5333260,6125880,034724

23,4142144,450957

510,263560,6790940,6235180,045654

21,4134031,638488

33,5964262,769443

47,085814,315657

512,64087,219186

810,170280,4377230,5477870,030077

20,9037021,033869

32,2510871,66971

44,26672,376925

57,0459053,208541

610,758524,268576

715,740685,818083

822,863138,906226

1210,1157220,297210,5690860,008778

20,6117570,696463

31,512611,107781

42,8337511,538464

54,5992281,998328

66,8445252,500746

79,6213173,065322

813,006053,723289

917,116864,529814

1022,151095,597258

1128,487977,212995

1237,0991210,54384

Continuao da Tabela 11.

nixie^xi*wiIntegralErro

1510,0933080,2395780,5868170,008953

20,4926920,560101

31,2155950,887008

42,269951,223664

53,6676231,574449

65,4253371,944752

77,5659162,341502

810,120232,774042

913,130283,255643

1016,654413,806312

1120,776484,458478

1225,623895,270018

1331,407526,359563

1438,530688,031788

1548,0260911,52777

A Figura 16 representa o comportamento do Erro para o mtodo de Gauss- Laguerre em funo do nmero de pontos, dados retirados da Tabela 11.

Figura 16: Erro em funo do nmero de pontos (Tabela 11).

A figura acima parece indicar que o erro tende a zero medida que o nmero de pontos aumenta. A Figura 17 mostra o comportamento dos resultados numricos para integral em relao ao valor exato.

Figura 17: Valores para integral obtidos pelo mtodo de Gauss-Laguerre em relao ao valor exato.

Pela Figura 17, pode-se perceber que a funo parece convergir para o valor exato quando n aumenta.