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Raízes : Métodos AbertosIntrodução

Objetivos da Seção

Reconhecer a diferença entre métodos abertos e métodos intervalares para alocalização de raiz.

Compreender o método do ponto �xo e suas características.

Aprender como resolver problemas de raízes usando o método deNewton-Raphson.



Diferenças entre Métodos Abertos e Intervalares

Nos métodos intervalares, a raiz é localizada dentro de um intervalo no qual afunção muda de sinal. As aplicações repetidas desses métodos sempre resultam emestimativas mais próximas do valor verdadeiro da raiz. Tais métodos são ditosconvergentes porque se aproximam da verdade à medida que os cálculo prosseguem.Já os métodos abertos são baseados em fórmulas que exigem apenas um único valorinicial de x ou dois valores iniciais que não necessariamente delimitam a raiz. Assim,algumas vezes divergem, isto é, se afastam da raiz verdadeira à medida que oscálculos prosseguem. Entretanto, quando os métodos abertos convergem, em geral ofaze muito mais rapidamente do que os métodos intervalares.



Diferença entre os métodosintervalares e abertos

Nessa �gura, que mostra ométodo da bisseção, a raiz estárestrita ao interior do intervalode�nido por xmin e xmax . Nesseintervalo, devemos sempre terf (xmin)× f (xmax) < 0.



Diferença entre os métodos intervalares e abertos

Já para o método aberto é usada uma fórmula para avançar de xi a xi+1 de formaiterativa. Assim, o método pode divergir ou convergir rapidamente, dependendo daforma da função e do valor da aproximação inicial.


Raízes : Métodos AbertosPonto Fixo

Introdução

Os métodos abertos usam uma fórmula para prever a raiz. Tal fórmula pode serdeduzida para a iteração do ponto �xo reescrevendo a função f (x) = 0 de tal modoque x esteja isolado no lado esquerdo da equação:

x = g(x)

Pode-se conseguir esta transformação por manipulação algébrica ou simplesmentesomando x de ambos os lados da equação original. A fórmula acima fornece umafórmula para prever um novo valor de x em função de um velho valor de x .Portanto, dada uma aproximação inicial para a raiz xi , a equação acima pode serusada para calcular uma nova estimativa xi+1.

xi+1 = g(xi )



Introdução

Gra�camente, uma raiz da equação f (x) = 0 é a abscissa do ponto de intersecçãode reta y = x e da curva y = g(x).

x = g(x)



Exemplo

Use o método da iteração do ponto �xo para localizar a raiz de f (x) = e−x − x . Usex0 = 0 como aproximação inicial e realize os cálculos até que εa < 2%.



Exemplo


Solução

g(x) = e−x

xi+1 = e−xi

x0 = 0

x1 = e−0 = 1 εa =

∣∣∣∣1− 0

1

∣∣∣∣ = 100%

x2 = e−1 = 0, 3639 εa =

∣∣∣∣0, 3679− 1

0, 3679

∣∣∣∣ = 171, 828%



Exemplo


Solução

Iteração xi εa0 0,0000

1 1,0000 100,000

2 0,3679 171,828

3 0,6922 46,854

4 0,5005 38,309

5 0,6062 17,447

6 0,5454 11,157

7 0,5796 5,903

8 0,5601 3,481

9 0,5711 1,931



Exemplo

Para a equação x2 + x − 6 = 0 temos várias funções de iteração, entre as quais:

g(x) = 6− x2

g(x) =√6− x

g(x) = −√6− x

g(x) =6

x− 1

g(x) =6

x + 1

Com isto vemos que, dada uma equação f (x) = 0, existem in�nitas funções deiteração g(x).



Exemplo

Embora não seja preciso usar método numérico para se encontraras duas raízes reaisx1 = −3 e x2 = 2 da equação x2 + x − 6 = 0, vamos trabalhar com duas dasfunções de iteração dadas para demonstrar numericamente a convergência ou não doprocesso iterativo.

Solução 1

Consideremos inicialmente a raiz X2 = 2 e g(x) = 6− x2. Tomando x0 = 1, 5 temos:

xi+1 = 6− xi2

x0 = 1, 5x1 = 6− 1, 52 = 3, 75 x3 = 6− (−0, 80625)2 = −59, 003906

x2 = 6− (3, 75)2 = −8, 0625 x4 = 6− (−59, 003906)2 = −3475

E podemos ver que a sequência xk não está convergindo para x2 = 2.



Exemplo

Embora não seja preciso usar método numérico para se encontraras duas raízes reaisx1 = −3 e x2 = 2 da equação x2 + x − 6 = 0, vamos trabalhar com duas dasfunções de iteração dadas para demonstrar numericamente a convergência ou não doprocesso iterativo.

Solução 2

Consideremos agora a raiz X2 = 2 e g(x) =√6− x . Tomando x0 = 1, 5 temos:

xi+1 =√6− x

x0 = 1, 5 x3 =√6− 1, 96944 = 2, 00763

x1 =√6− 1, 5 = 2, 12132 x4 =

√6− 2, 00763 = 1, 99809

x2 =√6− 2, 12132 = 1, 96944 x5 =

√6− 1, 99809 = 2, 00048

E podemos ver que a sequência xk está convergindo para x2 = 2.



Exemplos

Exemplos de casos de convergência do método do ponto �xo.



Exemplos

Exemplo de caso de divergência do método do ponto �xo.


Raízes : Métodos IntervalaresExemplos no MATLAB

1 f u n c t i o n PontoFixo ( g , x i , es , max i t )2 % Funcao de l o c a l i z a c a o de r a i z e s p e l o metodo do Ponto F ixo .3 % Ent radas4 % g : funcao i s o l a d a a s e r t r a b a l h ada ( x = g ( x ) ) .5 % x i : aprox imacao i n i c i a l da r a i z6 % es : c r i t e r i o de parada em porcentagem ( padrao = 0 ,0001)7 % maxit : numero maximo de i t e r a c o e s ( padrao = 50)8 % Outras V a r i a v e i s9 % r a i z : r a i z r e a l da funcao f10 % gx : v a l o r da funcao no ponto x11 % ea : e r r o r e l a t i v o aprox imado12 % i t : numero de i t e r a c o e s13 i f n a r g i n < 214 e r r o r ( ' Sao n e c e s s a r i o s no minimo 2 paramet ros ' ) ;15 end16 i f n a r g i n < 317 es = 0 . 0001 ;18 end19 i f n a r g i n < 420 maxi t = 50 ;21 end



1 i t = 1 ; ea = 100 ;2 x i = g ( x i ) ;3 d i s p ( ' ******************************************************** ' ) ;4 f p r i n t f ( ' n x i Er ro \n ' ) ;5 f p r i n t f ( '%2d %8.5 f \n ' , i t , x i ) ;6 wh i l e ( ea >= es ) && ( i t < maxit )7 i t = i t + 1 ;8 a n t e r i o r = x i ;9 x i = g ( x i ) ;10 ea = abs ( ( x i−a n t e r i o r ) / x i *100) ;11 f p r i n t f ( '%2d %8.5 f %8.4 f \n ' , i t , x i , ea ) ;12 end13 end



Exemplos de uso do MatLab

Use o método da iteração do ponto �xo para localizar a raiz de f (x) = e−x − x . Usex0 = 0 como aproximação inicial e realize os cálculos até que εa < 0, 5%.

Solução

� f = @(x) exp(-x);� PontoFixo(f, 0, 0.5)


Raízes : Métodos AbertosMétodo de Newton-Raphson

Introdução

Talvez a fórmula mais utilizada para encontrar uma raiz seja a do método de

Newton-Raphson. Dada uma aproximação xi , pode-se estender uma reta tangente apartir do ponto (xi , f (xi )). O ponto onde passa essa tangente cruza o eixo xnormalmente representa uma estimativa melhora da raiz.

xi+1 = xi −f (xi )

f ′(xi )(1)



Interpretação Grá�ca

xi+1 = xi −f (xi )

f ′(xi )



Exemplo

Use o método de Newthon-Raphson para estimar a raiz de f (x) = e−x − x ,utilizando o método de Newthon-Raphson com uma aproximação inicial x0 = 0 comerro menor que 0, 0001%.



Exemplo

Use o método de Newthon-Raphson para estimar a raiz de f (x) = e−x − x ,utilizando o método de Newthon-Raphson com uma aproximação inicial x0 = 0 comerro menor que 0, 0001%.

Solução

Temos f ′(x) = −e−x − 1, que pode ser substituída na equação 1 para fornecer:

xi+1 = xi −e−x − xi−e−xi − 1


1 0,50000 11,8

2 0,56631 0,147

3 0,56714 0,000022

4 0,56714 < 10−8



Exemplo de uma função que converge lentamente

Use o método de Newthon-Raphson para estimar a raiz de f (x) = x10 − 1,utilizando o método de Newthon-Raphson com x0 = 0, 5 com erro menor que 2%.

Solução

Temos f ′(x) = 10x9, que pode ser substituída na equação 1 para fornecer:

xi+1 = xi −x10i − 1

10x91


1 51,6500 99,032

2 46,4850 11,111

3 37,6528 11,111

: : :41 1,000024 2,130

42 1,000000 0,002



Porque isso acontece?

Descrição grá�ca do método de Newthon-Raphson para um caso com convergêncialenta. A seta na aproximação inicial (xo = 0,5) mostra como uma inclinaçãopróxima de zero inicialmente joga a solução para longe da raiz. Depois disso, asolução converge muito lentamente para a raiz.



Exemplo de convergência insatisfatória

Ocorre um ponto de in�exão, isto é, f ′′(x) = 0 na vizinhança de uma raiz. Asiterações começam em x0 e se afastam progressivamente da raiz.




Ilustra a tendência da técnica de Newthon-Raphson em oscilar em torno de umaposição de máximo ou mínimo. Tais oscilações podem persistir, ou, como na �gura,atingir uma inclinação próxima de zero, em que a solução é afastada da área deinteresse.




Uma inclinação nula f ′(x) = 0 é um desastre, porque provoca a divisão por zero nafórmula. Isso signi�ca geometricamente que a solução dispara horizontalmente enunca atinge o eixo x .


Raízes : Métodos AbertosConclusão

Objetivos da Seção

Não existe nenhum critério para garantir a convergência do método deNewthon-Raphson.

Sua convergência depende da natureza da função e do ponto inicial escolhido.

A única solução é ter um aproximação inicial que esteja �su�cientemente perto�da raiz.

Para algumas funções, nenhuma aproximação funcionará.



1 f u n c t i o n NewtonRaphson ( f , df , xr , es , max i t )2 %NewtonRaphson : L o c a l i z a c a o de Ra i z e s a t r a v e s de Newton−Raphson3 %Ent radas :4 % f : funcao ( Funcao I n L i n e )5 % df : Der i vada da funcao f ( Funcao I n l i n e )6 % xr : Aproximacao i n i c i a l7 % es : Er ro r e l a t i v o de s e j ado ( padrao = 0 ,0001%)8 % maxit : Numero Maximo de I t e r a c o e s Pe rm i t i d a s ( padrao = 50)9 i f n a r g i n < 310 e r r o r ( ' Sao n e c e s s a r i o s no minimo 3 paramet ros ' ) ;11 end12 i f n a r g i n < 413 es = 0 . 0001 ;14 end15 i f n a r g i n < 516 maxi t = 50 ;17 end18 i t = 0 ; ea = 100 ;19 d i s p ( ' ************************************************* ' ) ;20 f p r i n t f ( ' I t e r a c a o x r Er ro \n ' ) ;21 f p r i n t f ( '%2d %8.4 f %8.4 f \n ' , i t , xr , ea ) ;



1 wh i l e ( ea > es ) && ( i t < maxit )2 i t = i t + 1 ;3 a n t e r i o r = x r ;4 x r = x r − f ( x r ) / d f ( x r ) ;5 i f x r ~= 06 ea = abs ( ( xr−a n t e r i o r ) / x r *100) ;7 end8 f p r i n t f ( '%2d %8.4 f %8.4 f \n ' , i t , xr , ea ) ;9 end10 d i s p ( ' ************************************************* ' ) ;11 end


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