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Universidade Nova de LisboaFaculdade de Ciências e Tecnologia

Departamento de Engenharia Civil

Modelação Computacional emEngenharia Civil

AULAS PRÁTICAS

Copyright c� 2002 DEC/FCT

Conteúdo

List of tables iii

List of figures v

1 Modelação Física 11.1 Grandezas físicas .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Análise Dimensional . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2.1 Classificação das equações . . . . . .. . . . . . . . . . . 21.2.2 Conversão entre sistemas de unidades. . . . . . . . . . . 31.2.3 Forma das relações . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Modelos físicos e semelhança .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Modelação Matemática 192.1 Introdução . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.1 Importância da Computação nos Modelos Matemáticos . . 202.2 Estática de cabos com cargas paralelas distribuídas .. . . . . . . 21

2.2.1 Cabo parabólico . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.2 Catenária .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3 Dinâmica dos cabos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.3.1 Hipóteses simplificativas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.3.2 Equação das ondas uni-dimensionais .. . . . . . . . . . . 342.3.3 Método de separação de variáveis. Séries de Fourier . . . 35

2.4 Vibrações longitudinais em barras . . . . . .. . . . . . . . . . . 432.4.1 Hipóteses simplificativas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.4.2 Equação das ondas uni-dimensionais .. . . . . . . . . . . 45

2.5 Vibrações transversais em vigas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.5.1 Hipóteses simplificativas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.5.2 Equação das ondas . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.6 A transmissão de calor . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.6.1 Regime estacionário bidimensional .. . . . . . . . . . . 58

3 Métodos Numéricos para Equações Diferenciais Parciais 633.1 Equações elípticas .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.1.1 Problemas Dirichlet . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

i

ii Conteúdo

3.1.2 Problemas Neumann e mistos . . . . . .. . . . . . . . . 693.2 Equações parabólicas .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.2.1 O método de Crank-Nicolson . . . . . .. . . . . . . . . 723.3 Equações hiperbólicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Bibliografia 87

Lista de Tabelas

2.1 Solução�� em vários momentos� . . . . . . . . . . . . . . . 422.2 Deslocamento, velocidade e aceleração em vários momentos� . . 442.3 Primeiros três modos de vibração longitudinal da barra encastrada 472.4 Primeiros três modos de vibração transversal da barra simples-

mente apoiada . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.5 Soluções da equação transcendental�� . . . 552.6 Primeiros três modos de vibração transversal da viga em consola . 562.7 Solução do problema Dirichlet para vários�� . . . . . . . . . . 62

3.1 Os valores da temperatura nos pontos da barra obtidos com o mé-todo Crank-Nicolson . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.2 Erro relativo [%] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.3 Os valores da temperatura nos pontos da barra obtidos com o mé-

todo directo,� � � . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.4 Comparação entre o método de Crank-Nicolson, o método directo

e a solução analítica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.5 �� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

iii

iv Lista de Tabelas

Lista de Figuras

1.1 Barra cilíndrica recta sujeita a forças de tracção . . .. . . . . . . 121.2 Barragem de gravidade . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3 Viga de madeira, de que se pretende determinar a flecha no ponto� 16

2.1 Cabo sujeito as cargas paralelas distribuídas .. . . . . . . . . . . 212.2 Cabo parabólico . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3 Apoios ao mesmo nível . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4 Apoios desnivelados . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.5 Catenária . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.6 Deslocamento do cabo no momento� . . . . . . . . . . . . . . . 332.7 Modos normais de vibração . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.8 Segundo modo normal em vários momentos� . . . . . . . . . . . 382.9 Função�� e a sua extensão periódica ímpar,� �� . . . . . . . 402.10 Interpretação da função� �� . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.11 Deslocamento da barra no momento� . . . . . . . . . . . . . . . 432.12 Viga sujeita à acção dinâmica: propriedades e coordenadas . . . . 512.13 Forças resultantes num troço diferencial da viga . . .. . . . . . . 522.14 As componentes da equação transcendental .. . . . . . . . . . . 562.15 Rectângulo� e as condições de fronteira . .. . . . . . . . . . . 58

3.1 Pontos na aproximação das derivadas parciais. . . . . . . . . . . 653.2 Região no plano�� coberta por uma malha equidistante . . . . . 663.3 Placa rectangular homogénea: condições de fronteira e a malha

para as diferenças finitas . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.4 Região�: condições de fronteira e malha . .. . . . . . . . . . . 693.5 Malha e pontos nodais correspondente a equação (3.28) . . . . . . 713.6 Os seis pontos utilizados nas fórmulas de Crank-Nicolson . . . . . 733.7 Malha utilizada no método de Crank-Nicolson. . . . . . . . . . . 743.8 Distribuição da temperatura na barra . . . . .. . . . . . . . . . . 773.9 Malha e pontos nodais para o problema de difusão . .. . . . . . . 793.10 Penetração de cloreto no betão .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.11 Penetração de cloreto no betão após 2 anos . .. . . . . . . . . . . 823.12 Pontos da malha utilizados nas aproximações (3.38) e (3.39) . . . 833.13 Malha utilizada . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

v

vi Lista de Figuras

Capítulo 1

Modelação Física

1.1 Grandezas físicas

As diversas grandezas físicas podem-se exprimir em termos de grandezas conside-radas como fundamentais. Dá-se o qualificativo de puramente mecânicas às gran-dezas que se podem exprimir em função de apenas três grandezas fundamentais:massa (M), comprimento (L) e tempo (T)ou força (F), comprimento (L) e tempo(T).

Algumas grandezas, que intervêm nos fenómenos comportando trocas de quan-tidades de calor, os fenómenos ditos térmicos, necessitam de uma quarta grandezafundamental. Facto análogo ocorre com certas grandezas a considerar nos fenóme-nos eléctricos.

A dimensão de uma grandeza, em relação a qualquer das grandezas fundamen-tais, é o expoente com que a grandeza fundamental considerada aparece na expres-são dimensional da grandeza em questão. Por exemplo, a expressão dimensional davelocidade é LT��, onde� é a dimensão da velocidade em relação a comprimentoe�� é a dimensão em relação ao tempo.

1.2 Análise Dimensional

A análise dimensional baseia-se nos dois axiomas seguintes:

� só se pode estabelecer um estado de igualdade entre duas grandezas que te-nham as mesmas dimensões;

� a razão entre duas grandezas é independente da unidade em que são medidas,desde que se empregue a mesma unidade para ambas.

A análise dimensional é utilizada para:

- classificar as equações que traduzem os fenómenos físicos e verificar-lhes ageneralidade;

1

2 Capítulo 1. Modelação Física

- passar de um sistema de unidades para outro;

- prever a forma das relações entre as grandezas que intervêm em um dadofenómeno físico;

- estabelecer condições de semelhança para a concepção, operação e interpre-tação de modelos físicos.

1.2.1 Classificação das equações

Do ponto de vista dimensional, as equações que regem os fenómenos físicos podemclassificar-se em:

Equações não homogéneas: em que os diferentes termos não apresentamtodos as mesmas dimensões. Estas equações só são válidas em um deter-minado sistema de unidades e não traduzem uma lei física geral. Decorremgeralmente de experiências conduzidas empiricamente.

Exemplos de equações não homogéneas: as fórmulas para cálculo de escoa-mento em tubos de secção transversal circular para tubos de:

- fibrocimento � � � ��

- ferro galvanizado � � ��

onde� é a velocidade média do escoamento através da secção transversaldo tubos, em metros por segundo,� é o diâmetro da secção transversal emmetros e� é a declividade.

Equações homogéneas: em que todos os termos têm as mesmas dimensõese os coeficientes porventura existentes são adimensionais. Tais equações sãoválidas em qualquer sistema coerente de unidades. Note que a homogenei-dade constitui uma condição necessária, mas não suficiente, para a validadede equações.

Exemplo de equações homogéneas: a fórmula que fornece a distância per-corrida por um corpo em queda livre, no vácuo, sem velocidade inicial:

� ��

�� (1.1)

Equações homogéneas restritas: em que figuram coeficientes com dimen-sões. Só são válidas em um determinado sistema de unidades, no qual os re-feridos coeficientes assumes os valores particulares que figuram na fórmula.Assim, por exemplo, se escrevemos a expressão (1.1) sob a forma

� � � �� (1.2)

1.2. Análise Dimensional 3

tal equação só será válida para� expresso em metros, e� em segundos. Se aescrevemos sob forma

� � �� (1.3)

só poderemos utilizá-la no sistema inglês, com� em pés e� em segundos.

1.2.2 Conversão entre sistemas de unidades

Ocorre, muitas vezes, em cálculos de Engenharia, a necessidade de converter ovalor de uma certa grandeza de um dado sistema de unidades para outro. Doiscasos podem apresentar-se:

Os dois sistemas de unidades têm as mesmas grandezas fundamentais:Neste caso, basta escrever a expressão dimensional da grandeza nos doissistemas e substituir cada um dos símbolos figurados em tal expressão, pelovalor da razão entre as unidades respectivas.

Exemplo: Converter uma força expressa em dines (a unidade de força dosistema CGS) para newtons (a unidade de força do sistema MKS). Os doissistemas são de tipo LMT. Escrevemos então a expressão dimensional deforça, F=MLT��. Em seguida, substituímos F, M, L e T pelos valores dasrespectivas unidades nos sistemas MKS e CGS.

Utilizando, por exemplo, o programaUnits [12] (disponível em plataformasUNIX/Linux), temos:

1 newton = k g m / s^2 = 1 kg m / s^21 dyne = gram cm / s^2 = 1e-05 kg m / s^2

Resultará:

1 newton = 100000 dyne

Isto é, um newton é equivalente a�� dines. Por conseguinte, dividindo por�� o valor conhecido da grandeza em dines, teremos o valor correspondenteem newtons.

Os dois sistemas de unidades têm grandezas fundamentais diferentes:Neste caso, temos de exprimir as grandezas fundamentais de um dos sistemasem função das grandezas fundamentais do outro.

Exemplo: Dado um valor de coeficiente de viscosidade dinâmico no sistemainglês, pretende-se exprimi-lo em unidades de sistema CGS, sabendo que aexpressão dimensional do coeficiente é

� � M L�� T�� (1.4)


num sistema do tipo L, M, T, e

� � F L�� T (1.5)

num sistema do tipo F, L, T.

O sistema inglês é do tipo F, L, T, com as unidades fundamentais respectivasde libra, pé e segundo. O sistema CGS é do tipo L, M, T, sendo o centímetro,o grama e o segundo as unidades fundamentais.

Pode ser utilizada qualquer das expressões (1.4) ou (1.5). Assim, a unidadedo coeficiente de viscosidade dinâmica resulta,

Utilizando a definição (1.4)Sistema inglês: slug / f t s = 47.880259 kg / m s

Sistema CGS: gram / c m s = 0.1 kg / m s

Utilizando a definição (1.5)Sistema inglês: lbf s / ft^2 = 47.880259 k g / m s

Sistema CGS: dyne s / cm^2 = 0.1 k g / m s

Resulta que a unidade de viscosidade dinâmica do sistema inglês equivale a �� unidades de viscosidade dinâmica do sistema CGS.

1.2.3 Forma das relações

Os dois instrumentos de que a análise dimensional dispõe para prever a forma dasrelações entre as grandezas que intervêm num fenómeno físico qualquer, são oteorema de Bridgman e o teorema de Buckingham.

Teorema de Bridgman

Toda grandeza secundária pode ser expressa por um produto de potênciasdas grandezas primárias.

Suponhamos que uma grandeza secundária� seja uma função das grandezasprimárias��, ��, . . . ,��. O teorema de Bridgman diz que se poderá escrever,

� � � ��

� ��

� ��

sendo� uma constante adimensional e��, ��, . . . ,��, expoentes positivosou negativos, inteiros ou fracionários.

Exemplo 1: Se pretende determinar a forma da relação entre a distância�,percorrida na vertical por um corpo em queda livre, no vácuo, a partir dorepouso, e a aceleração da gravidade�, e a duração da queda,�.

Utilizando o teorema de Bridgman, podemos escrever,

� � � ��


Trata-se de determinar os valores dos expoentes�� e�� pela análise dimen-sional. Sendo� adimensional, seu valor só poderá ser determinado experi-mentalmente.

Escrevemos as expressões dimensionais de�, � e �. Temos:

[ � ] � L[ � ] � LT��

[ � ] � T

Substituímos as grandezas, na expressão fornecida pela teorema de Bridg-man, pelas respectivas expressões dimensionais, e resulta:

L � (LT��)�� T��

ouL � L�� T��

Igualando, para os dois membros desta equação, os expoentes das mesmasgrandezas fundamentais, resulta:

��

Assim, o teorema de Bridgman conduziu-nos à conclusão de que a distânciavertical percorrida por um corpo em queda livre, no vácuo, a partir do re-pouso, é proporcional à aceleração da gravidade e ao quadrado da duração daqueda:

� � � � ��

O valor do coeficiente adimensional� só poderá ser determinado experimen-talmente.

Exemplo 2: Pretende-se determinar a forma da relação entre a distância�,percorrida na vertical por um corpo em queda livre, no vácuo, a partir dorepouso, e a aceleração da gravidade�, a duração da queda�, e o peso� .

Utilizando o teorema de Bridgman, teríamos,

� � � ��

Escrevemos as expressões dimensionais de�, �, � e� . Temos:

[ � ] � L[ � ] � LT��

[ � ] � T[ � ] � MLT��

Substituímos as grandezas, na expressão fornecida pela teorema de Bridg-man, pelas respectivas expressões dimensionais, e resulta:

L � (LT��)�� T�� (MLT��)��


ouL � L�� M�� T��

Igualando, para os dois membros desta equação, os expoentes das mesmasgrandezas fundamentais, resulta:

��

Conclui-se que�, o expoente do peso, é igual a ou, em outras palavras,que a distância procurada é independente do peso do corpo, sendo dada por

� � � � ��

Exemplo 3: Se se supusesse que a distância percorrida por um corpo emqueda livre, no vácuo e a partir do repouso, só dependesse da duração daqueda, escrever-se-ia:

� � � ��

e, dimensionalmente,L � T��

resultando� � e ��

A primeira das duas equações é um absurdo, e mostra que o raciocínio departida é errado, e a segunda equação está em contradição com o que seadmitiu inicialmente.

Notas:

– Só se pode aplicar o teorema de Bridgman a grandezas entre as quaishá alguma razão teórica ou experimental que permita admitir queexista uma relação.

– O teorema só permite determinar inteiramente os valores dos expoentesincógnitas quando o número de tais incógnitas é igual ao número deequações independentes de condição a que podemos recorrer.

Redução do número de variáveis

Se um fenómeno físico qualquer se rege por uma relação entre� grandezas,

��

podem ser localizados conjuntos de variáveis que constituem agrupamentosnaturais e, trabalhando com eles, reduzir a dimensionalidade do problema.

Buckingham sugeriu que se formasse grupos de parâmetros adimensionaisa partir de uma série de parâmetros definidores do fenómeno. Tais grupos


seriam formados por multiplicação, facto que poderá explicar a utilização dotermo simbólico� para os representar. Um termo� forma-se como se segue,

� � ��

� ��

� ��

multiplicando todos os parâmetros da série descritiva depois de os elevarmosàs potências��, ��, . . . , ��. Buckingham argumentou que uma adequadaselecção dos expoentes levaria a um termo� adimensional. Para escolher��, adopta-se a regra da homogeneidade dimensional. Esta regra estabeleceque as equações analiticamente deduzidas que regem os fenómenos, terão deser válidas para todos os sistemas de unidades.

Assim, por exemplo, para um corpo em queda, a relação

� ��

��

é dimensionalmente homogénea. A distância percorrida num segundo, novácuo, próximo da superfície da Terra é

� ��

��

�

� �� ft

para um observador “inglês”, e

� ��

��

�

� �� m

para um observador “métrico”. Obtêm-se distâncias idênticas se se efectuara necessária mudança de unidades.

Este exemplo tem outra propriedade surpreendente:

��

��

Um corpo caindo livremente num vácuo próximo da superfície da Terra caide tal forma que o valor�� se mantém constante e igual a.

Aplicando a regra de homogeneidade dimensional a este problema da quedade um corpo,

��

Deduzimos o(s) grupo(s) adimensional(is) a partir de

� � �� (1.6)

As expressões dimensionais de�, � e � contêm a dimensão fundamental com-primento, L, e tempo, T. A dimensão fundamental comprimento encontra-se


presente no conjunto de parâmetros: surge em� e em� como L�, e em� e �como L�. Assim, a equação (1.6) pode exprimir-se da seguinte forma,

L� � L��L��L�

obtendo-se a equação exponencial:

� ��

O mesmo raciocino para a dimensão fundamental tempo, conduz à seguinteforma para a equação (1.6),

T� � T��L�L��

e a equação exponencial: � ��

Como não figuram outras dimensões fundamentais no conjunto de parâme-tros, as equações exponenciais são:�

��

Temos duas equações e três incógnitas. Uma poderá ser escolhida arbitra-riamente em função das nossas conveniências. Uma vez que estamos inte-ressados numa expressão para�, forcemos� aparecer no grupo adimensionalelevada à primeira potência. Fazendo�� , resulta�� e � � �,e o grupo adimensional é definido por:

� � ��

��

Portanto, dado um conjunto de parâmetros que descreve um fenómeno, paraidentificar os grupos adimensionais:

– identificámos o número de dimensões fundamentais presentes nesseconjunto;

– escrevemos as equações exponenciais em número igual ao das dimen-sões;

– fixámos arbitrariamente todos os expoentes que matematicamente po-deríamos fixar e determinamos os expoentes remanescentes.

Estabelecimento de um conjunto completo de variáveis adimensionais

Considere-se de novo a série de parâmetros�� e a função procurada

��

Seja� o número de dimensões fundamentais na série de parâmetros e seja�� a expressão simbólica do conjunto de dimensões presentes.Seja�� o expoente da dimensão�� na variável��. Podemos formar agorauma matriz de dimensões (matriz dimensional):


�� . . . �� . . . �� . . . ��. . . . . . . . . . . . .

�� . . . ��

Os elementos desta matriz fundamental representam os coeficientes das equa-ções exponenciais:

��

�� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .��

Há� equações exponenciais e� expoentes. A característica� desta matriz éa ordem do maior determinate diferente de zero susceptível de ser construídoa partir dela. O número de grupos adimensionais susceptíveis de serem en-contrados na série completa é�� , em que� é o número de parâmetros e� é a ordem da matriz dimensional. Nota-se que� � �.

Escreve-se então a matriz de soluções

�� . . . �� . . . ��

�� . . . �� . . . . . . . . . . . . . . . .

�� . . . �

Ao grupo de termos� à esquerda chama-se série completa de parâmetrosadimensionais para o femómeno descrito por��, ��, . . . ,��. O quadro ficarácompleto quando se determinarem os valores dos expoentes�� à ��,correspondente a escolha particular de�� à��.

Teorema de Buckingham

Agora, que em princípio determinámos os termos�, segue o teorema de Buc-kingham:

Se um fenómeno físico qualquer se rege por uma relação entre� grandezas,

��

o fenómeno poderá ser exprimido por uma relação entre� � � grandezasadimensionais e independentes entre si,

��

onde� é a característica da matriz das dimensões.


Este método permite reduzir drasticamente o custo experimental. Se são ne-cessários� pontos para definir satisfatoriamente uma curva e� parâmetrospara descrever o fenómeno, o número de experiências necessárias para des-crever o fenómeno, é� � �� na abordagem directa, e� � � �� nocaso da utilização de parâmetros adimensionais. A razão

� �

��

��

��

��

Exemplo 1: Determinar a relação existente entre a energia cinética,��, deuma partícula sujeita a um movimento de translação, a sua massa,�, e a suavelocidade,�.

��

Utilizando um sistema de unidades fundamentais de tipo M, L, T, as expres-sões dimensionais de��, � e� são:

[ �� ] � FL � MLT��L � ML �T��

[ � ] � M[ � ] � LT��

e a matriz de dimensões é

�� M � � L �T � ��

A característica da matriz é a ordem do maior determinante não nulo que sepode construir a partir dela. Como a matriz é quadrada, o maior determi-nante é ��

� � ��

�� e, por isso, a característica é menor do que três. O determinante de ordem 2no canto superior direito da matriz das dimensões é

��

�� e, por isso, a característica da matriz das dimensões é dois.

Com o número das dimensões fundamantais do conjunto de parâmetros�� é três e a característica da matriz das dimensões é dois, resulta� � � e � � . O número de grupos adimensionais na série completa é�� . A matriz de soluções é:


��

��

Temos um expoente que pode ser escolhido arbitrariamente. Escrevemos asequações exponenciais a partir da matriz dimensional,

��

��

e escolhendo�� temos�� e� � �.A matriz de soluções fica completa,

��

��

e a série completa é�� .

A “poupança” de trabalho experimental que conseguimos é ilustrada na se-guinte Tabela.

Abordagem directa Utilização de parâmetros adimensionais

��

��

��

��

��

��

� � ��

01

2

3

4

5 0

1

2

3

4

5

0

20

40

60

01

2

3

4

��

��

0.5 1 1.5 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1�

��

� �

��

��(se� � ��, o trabalho experimental reduz-se� vezes)


Exemplo 2: Considere uma barra cilíndrica recta solicitada por forças de trac-ção. Determinar a relação existente entre o alongamento,Æ, o comprimento, , a força de tracção,� , a área da secção transversal,! e o módulo de elasti-cidade do material,�.

��Æ� �� !� ��

��

Æ

�

��

�

�

Figura 1.1: Barra cilíndrica recta sujeita a forças de tracção

Podemos definir as dimensões dos parâmetros do fenómeno em função dasdimensões fundamentais, por exemplo, numa sistema do tipo F, L, T.

[ Æ ] � L[ � ] � F[ ! ] � L�

[ � ] � FL��

[ ] � L

Esta informação é representada pela seguinte matriz dimensional:

Æ � ! � F � � L � � �

O determinante direito da matriz dimensional é diferente de zero,��

�� e, por consequência, a característica da matriz é dois. Deste modo, a teoremade Buckingham,

� � ��


indica que três variáveis sem dimensões permitem descrever o fenómeno.

Os elementos da matriz dimensional são os coeficientes das equações ex-ponenciais. A partir da primeira e segunda linhas da matriz dimensional,resulta: �

��

Para estabelecer a matriz de soluções, começamos por construir à esquerdaa matriz de identidade, que é composta por uma diagonal principal com ele-mentos iguais à unidade e todos os outros elementos nulos.

��

��

Asseguramos deste modo que, em��, apareçaÆ, mas não� nem!, que, em��, apareça� , mas nãoÆ nem!, e que, em�, apareça!, mas nãoÆ nem� .

Para completar a fila de elementos da matriz de soluções para��, resolvem-se as equações exponenciais para�� , �� , obtendo-se�� e�� .Para completar os restantes elementos da fila correspondente a��,resolvem-se as equações exponenciais para�� , �� , obtendo-se�� e �� .Os restantes elementos da fila correspondente a� obtêm-se, resolvem-seas equações exponenciais para� � �, �� , obtendo-se�� e�� .A matriz de soluções completa é

��

��

Os termos adimensionais resultam:

�� Æ� �� !� �

e o fenómeno pode ser representado pela função

��


Exemplo 3: Considere a barragem de gravidade representada.

��

� Æ

�

�

�

Figura 1.2: Barragem de gravidade

Determine a relação existente entre o deslocamento horizontal do topo,Æ,as dimensões e o módulo de elasticidade da barragem,�, � e �, e o pesoespecífico da água,".

��Æ� �� "� �

Num sistema FLT, as dimensões dos parâmetros definem-se em função dasdimensões fundamentais:

[ Æ ] � L[ � ] � L[ � ] � FL��

[ � ] � L[ " ] � FL�

e a matriz das dimensões resulta

Æ � � � "F � �L � � � � ��

A característica da matriz é dois, e aplicando a teorema de Buckinhham re-sulta,

� � ��

1.3. Modelos físicos e semelhança 15

Como os elementos da matriz dimensional são os coeficientes das equaçõesexpenenciais, escreve-se

��

A matriz de soluções completa é

��

��

resultando os seguintes termos adimensionais:

�� Æ

��

�

��

�

�"

O fenómeno pode ser representado pela função

��

1.3 Modelos físicos e semelhança

Considere-se uma viga de madeira (� � �� N/mm2), com secção recta de15 por 30 cm, simplemente apoiada, colocada sobre um vão de 365 cm e suportandouma carga de 21 kN a 152 cm do apoio da esquerda. A figura 1.3 representa a vigacom os respectivos parâmetros assinalados.

A relação funcional entre os parâmetros é

��

em que� é a flecha sob a carga na posição�.As dimensões dos parâmetros são, num sistema do tipo F, L, T:

[ � ] � L [ � ] � L[ � ] � L [ � ] � F[ � ] � L [ � ] � FL��

[ � ] � L [ ] � L

e a matriz de dimensões resulta

� � � � � � � F � � L � � � � � � �


��

��

�

Figura 1.3: Viga de madeira, de que se pretende determinar a flecha no ponto�

O determinante da direita é diferente de zero e, por conseguinte, a caracterís-tica da matriz dimensional é dois e o número de variáveis adimensionais ma sériecompleta é

� � �� As equações exponenciais são

��

resultando a seguinte matriz de soluções:

��

��

A série completa é

��

e a relação funcional entre os parâmetros poderá exprimir-se da seguinte forma:

�

��

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

� �

�

Esta relação caracteriza o problema para qualquer dimensões, módulo de elas-ticidade ou carga aplicada. Se, considerando uma viga com outros parâmetros,todos os termos adimensionais� são idênticos, dizemos que as duas vigas sãosemelhantes e que cada uma é um modelo da outra. Tais modelos podem ser geo-metricamente semelhantes, isto é, terem dimensões proporcionais.

A análise das equações sugere-nos que a existência de um valor único paraqualquer termo� não implica a existência de um valor único para os parâmetros

1.3. Modelos físicos e semelhança 17

que constituem o termo�, facto que nos indica a possibilidade de construirmos ummodelo físico da viga de madeira, de tamanho e até de material diferentes (de aço,por exemplo).

Considerando a viga de madeira como o protótipo, a série de termos� para omodelo é a seguinte:�� , �� , �� , �� , �� e�� .

Se os termos� do modelo e do protótipo forem idênticos, o modelador temliberdade para decidir:

- a escala linear em que o modelo é construído;

- o material de que deverá ser construído.

As medidas do modelo linear são obtidas a partir de uma expressão de género:

dimensão de modelo� factor de escala� dimensão do protótipo

No caso da flecha�,

��

�

��

� ��

� � ��

em que� é o factor de escala. Para as outras dimensões lineares, segue-se que�� , �� , �� e �� . O sexto termo� resulta

��

� ��

��

��

��

� ��

�

Para um modelo de aço (� � �� N/mm2) à escala�/�,

� � �� cm

�� cm

�� cm

�� cm

��

�� kN

O ponto do modelo onde se deve medir a flecha é o ponto�� e a flecha doprotótipo (viga real) é� � �� .

Nota:

Quando se formulam condições de semelhança a partir da aplicação do teo-rema de Buckingham ao modelo e ao protótipo, ao igualarmos os termos adi-mensionais para os dois sistemas e deduzirmos valores de escalas, a análisedimensional nada nos diz, por si mesma, se, ao proceder assim, continuamosou não dentro dos limites de validade da lei que rege o fenômeno.


Por conseguinte, ao deduzirmos valores de escalas a partir das igualidades dostermos adimensionais, precisamos estar alerta para não sair dos limites de validadeda lei.

Por exemplo, no caso da viga de madeira simplesmente apoiada e do seu modeloem aço, devemos verificar se o comportamento dos materiais é elástico nos doiscasos.

Da Resistência dos Materiais, [16], sabe-se que a tensão normal máxima nasolicitação de flexão circular é

#máx�$máx

%��

��

e, para a viga de madeira resulta

#máx��

�� N/mm2

Como#máx� �� N/mm2& #

� madeira� �� N/mm2

resulta que a viga de madeira está solicitada em regime elástico.A relação entre a tensão normal máxima no modelo e no protótipo, resulta

aplicando a propriedade de semelhança:

#máx �#máx

��

�

��

��

��

�

��

��

��

��

��

��

�

�

��

��

�

Por conseguinte, a tensão normal máxima no modelo de aço será

#máx � ��

�#máx�

�� N/mm2

Como#máx � � �� N/mm2& #� aço� N/mm2

resulta que também o modelo de aço está solicitada em regime elástico e a análisedo protótipo pode ser substituida por a análise do modelo.

Poderá ser utilizado o modelo em aço para qualquer valor da carga? Vamos vero que acontece se a carga aplicada na viga de madeira cresce de 21 para 31 kN.

Utilizando as mesmas fórmulas, a tensão normal na viga de madeira vai ser� N/mm2, o que significa que a viga de madeira está solicitada ainda em regimeelástico.

Contudo, a tensão normal máxima no modelo de aço pasa a ser � N/mm2,ultrapassando a limite elástica.

Significa que, enquanto o protótipo por hipótese tem um comportamento elás-tico, o modelo passa a ter um comportamento elasto-plástico e portanto não é com-pativel com o protótipo.

Capítulo 2

Modelação Matemática

2.1 Introdução

A simulação de uma situação ou de um fenómeno físico através de hipóteses tradu-zidas por expressões matemáticas que conduzem a funções que permitem prever ocomportamento relevante de um sistema, sob o ponto de vista técnico de interessepara o avalista dessa situação ou fenómeno, constitui o que se designa por modelomatemático.

Sempre que a exploração das potencialidades do modelo exigem a introduçãode técnicas numéricas ou computacionais, diz-se, embora com rigor discutível, queo modelo (matemático) é numérico ou computacional.

A procura de definição mais rigorosa de modelo matemático não parece indis-pensável, podendo satisfazer a seguinte: um modelo matemático é uma construçãoabstracta, simplificada, relacionada com uma parte da realidade, criada para anali-sar um problema, traduzida na linguagem própria da Matemática [4].

Ao falar em simplificações está a reconhecer-se que há variáveis que não sefazem intervir no modelo, sob a hipótese de se poderem desprezar as respectivascontribuições para o fenómeno que se pretende entender. Algumas destas variáveispoderão ser indispensáveis ao estudo do mesmo sistema físico se o objecto do es-tudo for diverso daquele que se está a considerar: e.g. se for desejado conhecer adeformação de uma viga sob a acção do próprio peso, o respectivo modelo não in-clui a representação do amortecimento ou das acelerações induzidas por uma acçãosísmica sobre a mesma viga.

Há, ainda, nos modelos parâmetros ou relações que são dados, e.g. as forças ex-ternas ou a relação tensão-deformação (em certos problemas) e que se consideramvariáveis exógenas.

As quantidades que se pretende que o modelo permita prever e quantificarchamam-se variáveis endógenas.

As definições das variáveis constituem as hipóteses do modelo. Ao modelar umsistema tem que se ter uma atitude de observação ampla do fenómeno e do sistema,evitando desprezar ou ignorar o que é significativo ou concluir apressadamente apartir de uma observação parcial.

19

20 Capítulo 2. Modelação Matemática

Os modelos têm que ser ensaiados, i.e. tem que se comparar as previsões quepossibilitam com os resultados conhecidos para casos concretos.

A eventual divergência de resultados obriga a rever as hipóteses feitas e as va-riáveis escolhidas e a proceder a alterações até que o modelo pareça fiável e certifi-cado. Nem sempre esta verificação é possível, seja pelos custos, pelas dificuldadeslogísticas ou pelo carácter extremo da realidade simulada (war games), mas deveser sempre tentada.

Em Engenharia Civil a modelação pratica-se e.g. em análise de estruturas, namecânica de fluidos, nos isolamentos acústicos e térmicos, na formação de filasde espera nos terminais de transportes e no estudo de propriedades de difusão dehumidade em materiais de construção.

No caso dos sistemas mecânicos, desde a publicação dos Princípios da Mecâ-nica por I. Newton em 1687 que se considera que os sistemas mecânicos, em geral,se podem estudar como mecanismos sujeitos a leis de movimento que é possívelestudar.

Há, assim, um conjunto reduzido de expressões da Física que rege o compor-tamento mecânico do sistema. A procura de traduzir por expressões matemáticasa complexidade do movimento e da deformação do corpo conduz aos respectivosmodelos matemáticos.

O rigor aparente das expressões deduzidas dos modelos matemáticos não per-mite, no entanto, concluir que são exactas sob o ponto de vista do fenómeno naturalconcretizado. A fase de criação de modelo é crítica para a qualidade dos resultadosobtidos e estes têm que ser examinados por comparação com aproximações muitosimples, bem como, inicialmente, por bench marking adequado.

O conhecimento das limitações e dos limites dos erros implícitos no modelo éimperativo sempre que há riscos para a vida humana ou para o bem estar e segu-rança das pessoas e obriga à análise detalhada das metodologias usadas.

2.1.1 Importância da Computação nos Modelos Matemáticos

A modelação matemática no seu rápido desenvolvimento inicial assentou em sec-tores do conhecimento matemático que, nos casos em que a admissibilidade dassimplificações permitiu, asseguravam a existência de soluções e a sua estabilidadee, em muitos casos, conduziam a soluções analíticas.

O refinamento da modelação, o aparecimento de novos materiais, a possibili-dade e o interesse de trabalhar com níveis de tensão e deformação cada vez maisaltos, o próprio progresso científico conduziram, porém, a casos em que a não li-nearidade das formulações, por exemplo, ou o muito grande número de incógnitastornaram inviável quer soluções analíticas, quer a obtenção de resultados a partirde algumas soluções analíticas, elas próprias complexas.

O aparecimento de meios de computação de capacidade vertiginosamente cres-cente veio, nas últimas décadas, tornar possível a solução numérica de problemasdessa natureza e tornou-se indissociável da exploração da maioria dos modelos ma-temáticos gerados em Engenharia.

2.2. Estática de cabos com cargas paralelas distribuídas 21

Os computadores surgem de vários modos na solução de problemas físicos [9],desde a aplicação programada de métodos numéricos, à exploração de bases dedados, à implementação heurística de sistemas periciais e ao próprio cálculo sim-bólico.

Nesta disciplina procurar-se-à motivar os alunos (i) Construindo modelos ma-temáticos para problemas correntes de engenharia civil; (ii) Explorando a via dassoluções analíticas; (iii) Recorrendo a algoritmos numéricos e também ao cálculosimbólico para obter e interpretar resultados e fazer estudos de sensibilidade para-métrica.

2.2 Estática de cabos com cargas paralelas distribuí-das

Os cabos são elementos de resistência utilizados em muitas aplicações de engenha-ria, tal como pontes suspensas e atirantadas, teleféricos, cabos de fixação de torresaltas, estruturas em tendas, etc.

De acordo com o carregamento a que estão sujeitos, os cabos dividem-se emduas categorias: cabos que suportam cargas concentradas e cabos que suportamcargas distribuídas. O estudo que segue refere-se a segunda categoria, pois é o tipode carregamento mais encontrado na prática.

Considere-se que o cabo é flexível (a sua resistência à flexão é pequena e podeser desprezada) e é inextensível (o comprimento entre dois pontos do cabo é cons-tante).

�

�

�

�

�

��

�

�

�

Figura 2.1: Cabo sujeito as cargas paralelas distribuídas

Considerando o caso mais geral de cargas paralelas distribuídas, Figura 2.1,escrevam-se as equações de equilíbrio do troço do cabo compreendido entre o pontomais baixo do cabo,�, e um dado ponto�. As forças que actuam são a força detracção� � em�, que é horizontal, a força de tracção� no ponto�, tangente aocabo nesse ponto, e a resultante� da carga distribuída.

'� � � ( �� ) � (� (2.1)


'� � � ( �� ) � � (2.2)

( ��

( �� e �� ) �

�

(�(2.3)

Verifica-se que a componente horizontal da força de tracção� é igual em todosos pontos do cabo e que a componente vertical de� é igual à resultante� da cargaaplicada entre o ponto mais baixo e o ponto�. A intensidade de� é portantomínima no ponto mais baixo do cabo.

2.2.1 Cabo parabólico

Considere-se o cabo!* sob a acção de uma carga uniformemente distribuída nadirecção horizontal, assim como se mostra na Figura 2.2. Carregamentos deste tipopodem ser considerados quando o peso dos cabos é pequeno quando comparadocom a carga (por exemplo uma ponte suspensa em que o peso do tabuleiro é muitomaior do que o peso dos cabos).

�

�

�

�

��

�

�

�

�

� � ��

��

��

Figura 2.2: Cabo parabólico

Designa-se por� a carga por unidade de comprimento horizontal. Escolhendoo ponto mais baixo do cabo,�, para origem do sistema de eixos coordenados, aresultante da carga aplicada entre o ponto mais baixo do cabo� e um dado ponto�de coordenadas� e � tem a intensidade� � �� e é aplicada a metade da distânciahorizontal entre� e�. De (2.3) resulta que

( ��

( �� e �� ) �

��

(�(2.4)

Escrevendo o equilíbrio dos momentos em relação ao ponto�,

$� � � � �

��

(�(2.5)

Portanto, a curva formada por cabos uniformemente carregados na direcçãohorizontal é uma parábola.


Quando os suportes!e * do cabo estão nomesmo nível, a distância� entre apoios é desig-nada por vão, e a distân-cia vertical dos apoiosao ponto mais baixo docabo, por flecha.

�

�

�

�

�

�

Figura 2.3: Apoios ao mesmo nível

Se o vão, a flecha e a carga horizontal são dados, a intensidade mínima da forçade tracção resulta:

(� ��

� (2.6)

Quando os apoios têmcotas diferentes, a posi-ção mais baixa do cabonão é conhecida e ascoordenadas dos apoiosdevem satisfazer a equa-ção (2.5), e ainda:

�� (2.7)

�� (2.8)

�

�

��

�

��

�

�

Figura 2.4: Apoios desnivelados

O comprimento do troço do cabo, por exemplo entre o ponto mais baixo� e oponto B, pode ser obtido pela fórmula:

��

�

��

��

��

� ��

�

��

��

( ��

�� (2.9)

Problema 2.1 Um cabo leve está ligado a um apoio em!, passa por uma roldanaem*, e suporta uma carga+. Sabendo que a flecha do cabo é de� m e que amassa por unidade de comprimento do cabo é 0.75 kg/m, determine: (a) a intensi-dade da carga+; (b) a inclinação do cabo em*; (c) o comprimento total do cabo.Tendo em conta que a flecha é pequena em relação ao vão, considere que o cabo éparabólico. Despreze também o peso do troço do cabo entre* e �.


� � �� m

� � �� m

�

�

�

� (a) Carga�. Supondo que a carga é uniformemente distribuída segundo ahorizontal:

� � �� N/m

A resultante das forças distribuídas no troço�* é:

� � �� N

As equações de equilíbrio para o troço�* são:

'� � � (� �� ) � (�

'� � � (� �� ) � �

$� � � �

�

� (� �

�

�

��

��

�

�

�

��

Resulta:

(� ��

�� N

(� ��

( ��

�� N

Dado que a força de tracção é igual em ambos os lados da roldana, a intensi-dade da carga+ � (� � � � N.

� (b) Inclinação do cabo em�

�� ) ��

(��

� � � � ) � ��Æ

� (c) Comprimento do caboComo o cabo é simétrico, o comprimento totaldo cabo é duas vezes o comprimento do troço*�.

��

�

��

��

( ��

��

�

��

��

�

�� m

�� m


Problema 2.2 O cabo!* suporta uma carga uniformemente distribuída segundoa direcção horizontal, como se representa na figura. (A) Sabendo que em* o caboforma com a horizontal um ângulo)� � ��Æ, determine: (a) a força máxima detracção no cabo; (b) a distância vertical� de! ao ponto mais baixo do cabo. (B)Sabendo que o ponto mais baixo do cabo está localizado à distância� � �m abaixo do ponto!, determine: (a) a força máxima de tracção no cabo; (b) oângulo)� que o cabo forma em* com a horizontal.

�

�

��

�� m

�

� � �� m

� � �� kg/m

� A. Tomando em conta que a força de tracção no cabo e dirigida segundo atangente à curva no ponto considerado,,� � -� �� )�. A resultante dascargas aplicadas tem a intensidade� � � � � e é aplicada no ponto médioda distância�. Considerando o equilíbrio do cabo inteiro, e escrevendo osomatório de momentos em ponto!, resulta:

�� -�� ,��

-� ��

�� )� � ��

-� � �� Æ � �� N

,� � �� Æ � �� N

��

�

�

�

��

��

��

��

�

��

– (a) Força máxima de tracção no cabo

(� ��

-�� , �

� �� N

– (b) Distância vertical� A resultante das cargas aplicadas no troço*�do cabo tem a intensidade�� e é aplicada no ponto médio dadistância*�. Escrevendo as equações de equilíbrio, resulta:


'� � � (� � -�

'� � � ,� � ��

$� � � (��

��

��

��

�

�

�

��

��

� �,�

� ��

��

�� m

��

-�

� ��

� �� m

� � �� m

� B. Dadas as distâncias�, � e�, e sabendo que o cabo é parabólico, podemosescrever: ��

��

�� .��(�

�� .��(�

��

�

��

��

��

��

��

onde. � � � é a carga uniformemente distribuída medida em N.

Tomando em conta que�� & e�� / , resulta:

��

��

e ��

� �

��

��

� �

��

� � m e ��

� � m

(� �.��

� ��

� � �� N

Escrevendo as equações de equilíbrio no troço*�:

-� � (� � �� N

,� � �� N


– (a) Força máxima de tracção

(� ��

-�� , �

� �� N

– (b) Ângulo )�

�� )� �,�

-��

�� )� � ��

Æ

2.2.2 Catenária

Considere-se o cabo!* sob a acção de uma carga uniformemente distribuída aolongo do seu comprimento, assim como se mostra na Figura 2.5. Os cabos suspen-sos sob a acção do peso próprio estão nestas condições.

�

� �

��

��

� �

�

�

�

�

�

�

� � ��

�

Figura 2.5: Catenária

Designa-se por� a carga por unidade de comprimento medida ao longo do cabo.A intensidade� da carga aplicada a um troço do cabo�� com comprimento� é� � ��.

Escrevendo as equações de equilíbrio para o troço��, resulta:

( ��

( �� (2.10)

Para simplificar os cálculos subsequentes, introduz-se a constante � (��. As-sim, tem-se:

(� � � � � �� ( � ��

� � �� (2.11)

Para obter a equação da curva formada pelo cabo, observe-se que:

�� ) �(�

(��

� ��

��

� � ��

��

(2.12)

Escolhendo a origem0 do sistema de eixos coordenados a uma distância,directamente abaixo de� e integrando entre�� e�� , obtém-se:

� ��

�

��

� ��

(2.13)


ou� � ��

�

(2.14)

Esta equação relaciona o comprimento� do troço�� do cabo com a distânciahorizontal�.

A relação entre as coordenadas� e � pode ser obtida agora escrevendo,

�� ) ��

(��

�

��

�

�� (2.15)

e integrando entre�� e �� :

� � ��

��

�

��

��

�

��

��

�

� �

�(2.16)

ou� � ��

�

(2.17)

Esta é a equação de uma catenária de eixo vertical. A ordenada do ponto maisbaixo do cabo, chama-se parâmetro da catenária.

Elevando ao quadrado ambos os membros das equações (2.14) e (2.17) esomando-os, obtém-se a seguinte relação entre� e �:

�� (2.18)

Utilizando este resultado, as relações (2.11) podem ser escritas:

(� � � � � �� ( � �� (2.19)

A última relação indica que a força de tracção em qualquer ponto do cabo é pro-porcional à distância vertical do ponto à linha horizontal que representa o eixo�.

Nota-se que certos problemas de catenárias envolvem equações transcendentes.No entanto, quando a flecha do cabo é pequena em relação ao vão, a carga pode serconsiderada uniformemente distribuída na direcção horizontal, e a catenária podeser substituída por uma parábola.

Problema 2.3 Um cabo uniforme com� N/m de peso está suspenso em dois pon-tos,! e*, como se mostra na figura. Determine: (a) os valores máximos e mínimosda intensidade da força de tracção no cabo; (b) o comprimento do cabo.

��

�� m

� m


� Equação do cabo

A equação do cabo é dada pela equação:� � ��

��

�

�

�

�

��

As coordenadas do ponto* são

�� m �� m

Substituindo estas coordenadas na equação do cabo, obtém-se a seguinteequação transcendente:

� � � ��

O valor de é determinado utilizando o método de Newton-Raphson1. Con-sideramos a função não-linear

��

e a sua primeira derivada

� ��

��

��

A aproximação inicial da solução é escolhida� � �. O processo iterativopara a determinação da solução é:

� � � � ��

� ��

��

��

� � � � ��

� ��

� ��

� ��

� � � ��

� ��

��

��

� � � ��

� ��

� � ��

� ��

e o valor do parâmetro da catenária resulta � �� .

1Neste método, a solução de uma equação não-linear,�� , é obtida por iterações su-cessivas, começando com uma aproximação inicial da solução. A fórmula iterativa é dada por��

��. O método é pormenorizado, por exemplo, em [2].


� (a) Valores máximo e mínimo da força de tracção

(máx� (� � �� N

(mín� (� � � � �� N

� (b) Comprimento do cabo

Metade do comprimento do arco é obtido utilizando a relação entre� e �:

�� m

O comprimento total do cabo é, então:

�� m

Problema 2.4 O cabo!* tem massa por unidade de comprimento de � kg/m.Sabendo que o ponto mais baixo do cabo está localizado à distância� � � mabaixo do apoio!, determine: (a) a localização do ponto mais baixo�; (b) aforça de tracção máxima no cabo.

� �� m

�

�

�

�

� � �� m

�

��

�

� Dadas as distâncias�, � e �, e sabendo que a curva de equilíbrio é umacatenária, podemos escrever:

��

��

��

��

�

��

��

��

��

��

� � ��

��

��

��

��

��

��

��

��

��


Tomando em conta que�� & e� � �� / , resulta:

��

� �

� ��

��

�

�

��

� � � �

� ��

��

��

� � ��

��

��

� ��

��

�

�

O valor do parâmetro da catenária é determinado utilizando o método deNewton-Raphson, com2

��

��

��

� � �

� ��

��

�

��

� ��

�

� � ��

� � �

��

��

�

��

��

� � �

Substituindo os valores numéricos, a função e a sua derivada são

��

��

�

��

��

��

� ��

�

� � ��

� ��

��

�

��

��

�

e começando com uma aproximação inicial� � �, resulta:

� � �� 0 10.0000 �� 0.526373 13.33671 13.3367 �� 0.454486 13.61992 13.6199 �� 0.449652 13.62143 13.6214 �� 0.449627 13.6214

O parâmetro da catenária é, portanto, � �� m.

� (a)Localização do ponto�

��

�

��

��

�

��

�

�� m �� m

� (b) Força de tracção máxima

(máx� �� N

2Se a expressão analítica da derivada é difícil de ser encontrada, pode ser utilizada a aproximação

da derivada� ��

�, onde� é um intervalo pequeno, por exemplo��.


Os cabos suspensos sob a acção do peso próprio são uniformemente carregadosao longo do comprimento e não na direcção horizontal, e portanto não formam umparábola. O erro introduzido ao supor-se a forma parabólica é pequeno quando aflecha é suficientemente pequena em relação ao vão. Para exemplificar, os resulta-dos obtidos emProblema 2.2e Problema 2.4são presentados juntos. Na Tabela,aparece também o comprimento� e a representação gráfica da curva de equilíbrio.

Cabo parabólico Catenária� m 12 12� m 1.8 1.8� m 0.6 0.6

�� m 4 4.028�� m 8 7.972

(� N 5886 6013.17(máx N 6864.20 7072.65

Equação � � ��

�

��

�

� m 12.5161 12.5219

Gráfico -4 -2 2 4 6 8

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

�

�

-4 -2 2 4 6 8

13.6

13.8

14.2

14.4

14.6

14.8

15

�

�

O comprimento das curvas de equilíbrio foi calculado a partir da definição,

� ��

��

� ��

��

��

��

��

Os integrais foram calculados utilizando o programaMathematica[18]. O mesmofoi utilizado para representar graficamente as curvas de equilíbrio. Assim, para ocabo parabólico,

In[1]:= Integrate[Sqrt[1+(0.075 x)^2],{x,-4,8}]Out[1]= 12.5161In[2]:= Plot[0.0375 x^2,{x,-4,8}]Out[2]= -Graphics-

enquanto para a catenária,

In[3]:= Integrate[Sqrt[1+(Sinh[x/13.6214]^2)],{x,-4.028,7.972}]Out[3]= 12.5219In[4]:= Plot[13.6214 Cosh[x/13.6214],{x,-4.028,7.972}]Out[4]= -Graphics-

2.3. Dinâmica dos cabos 33

Para uma variável qualquer�, o erro relativo introduzido ao supor-se a formade equilíbrio parabólica em vez de catenária, é definido como

1 �

��catenária� �parábola

�catenária

�� %

Assim sendo, os erros relativos introduzidos no valor do comprimento e da tensãomínima e máxima são:

1� � �� %1�� %

1�máx� � �� %

2.3 Dinâmica dos cabos

Os cabos, vistos como elementos de resistência em aplicações de engenharia, sãosujeitos a várias solicitações dinâmicas, tais como cargas móveis, acção do vento,sismos, etc. Tais solicitações induzem em cabos pequenas vibrações que consti-tuem o assunto do estudo que segue.

Considere-se um cabo traccionado de comprimento�, entre dois apoios fixos.Em certo momento,��, o cabo é retirado da posição de equilíbrio e depois libertado.O problema é determinar as vibrações do cabo, isto é, determinar o deslocamento�� de cada ponto� para cada momento� / ��.

� � ��

��

�

� �

��

��

�

Figura 2.6: Deslocamento do cabo no momento�

2.3.1 Hipóteses simplificativas

Na derivação das equações diferenciais, assuma-se que:

- A massa do cabo por unidade de comprimento é constante, ou seja, o cabo éhomogéneo;

- O cabo tem um comportamento perfeitamente elástico e é flexível, ou seja, asua resistência à flexão é pequena e pode ser desprezada;


- A força de tensão no cabo é grande quando comparada com o seu peso pró-prio e assim o peso pode ser desprezado;

- O cabo tem pequenos movimentos transversais num plano vertical, isto é,cada partícula do cabo tem um movimento vertical e o deslocamento e atangente em cada ponto são pequenos em valor absoluto.

Considerando válidas estes hipóteses simplificativas, a solução�� da equa-ção diferencial que vai ser obtida descreverá razoavelmente as pequenas vibraçõesdo cabo físico real, homogéneo, com massa pequena e força de tensão grande.

2.3.2 Equação das ondas uni-dimensionais

Para obter a equação diferencial de equilíbrio, considere-se as forças que actuam notroço do cabo�+, veja Figura 2.6. Como o cabo não oferece resistência à flexão,a tensão é tangente ao cabo em todos os pontos. Seja(� e (� a tensão nos pontosterminais do troço,� e+.

Como não há movimento horizontal, as equações de equilíbrio do troço�+são:

�'� � � (� ��2 � (� �� 3 � ( � 4�� (2.20)

�'� � �� (� ��3 � (� ��2 � 5��

6��

6��(2.21)

A equação (2.21) é dividida em seguida por( , e tomando em conta o resul-tado (2.20), resulta:

(� ��3

(� �� 3� (� ��2

(� ��2� �� 3 � ��2 �

5��

(

6��

6��(2.22)

Mas, em cada momento�, as��2 e �� 3 são as tangentes no cabo em� e +e portanto:

��2 �

�6�

6�

�

��3 �

�6�

6�

��

(2.23)

Dividindo a equação (2.22) por�� e utilizando as igualdades (2.23), segue,

�

��

��6�

6�

��

��

6�

6�

�

��

5

(

6��

6��(2.24)

Se�� tende para zero, de (2.24) resulta a equação das ondas uni-dimensional,

6��

6��

6��

6��com� �

(

5(2.25)


2.3.3 Método de separação de variáveis. Séries de Fourier

Para determinar o movimento do cabo, devemos achar a solução da equação (2.25),�� , que satisfaz as condições impostas pelo problema físico. Como o cabo temdois apoios fixos, temos duascondições de fronteira, para� � e� � �:

�� e �� (2.26)

A forma de movimento do cabo vai depender do deslocamento e da velocidadeinicial (no � � ). Considerando o deslocamento inicial�� e a velocidade inicial��, temos duascondições iniciais:

�� e6�

6�

��

� �� (2.27)

Determinar o movimento do cabo significa, portanto, determinar a solução daequação (2.25) que satisfaz as condições (2.26) e (2.27). Esta solução vai ser obtidade seguinte modo:

- Aplicando o método de separação de variáveis, vão resultar duas equaçõesdiferenciais ordinárias;

- Vai ser determinada a solução que satisfaz as condições de fronteira para cadauma destas equações;

- Utilizando as séries de Fourier, as soluções vão ser compostas de modo a ob-ter a solução da equação das ondas (2.25) que satisfaz também as condiçõesiniciais.

Duas equações diferenciais ordinárias

No método de separação de variáveis, a solução da equação das ondas (2.25) éprocurada de forma

�� ' ��7�� (2.28)

que é um produto de duas funções, o cada uma dependente de uma só variável,�e �, respectivamente. Diferenciando a equação (2.28) e utilizando como notação oponto, para a derivada em relação ao�, e a linha, para a derivada em relação ao�,obtém-se,

6��

6�� ' �7 e

6��

6�� ' ��7 (2.29)

Inserindo os resultados (2.29) na equação (2.25), resulta,

' �7 � �' ��7

ou, dividindo por�'7,


�7

�7�

' ��

'

Como a expressão da esquerda só depende de� e a expressão da direita sódepende de�, para que a igualdade exista para qualquer� e �, resulta que as duasexpressões devem ser constantes. Portanto,

�7

�7�

' ��

'� �

e, logo daí, as duas equações diferenciais ordinárias,

' �� ' � (2.30)

�7� �� 7 � (2.31)

com a constante�, arbitrária.

Satisfação das condições de fronteira

As soluções' da equação (2.30) e7 da equação (2.31) serão determinadas de talmodo que� � '7 satisfaz as condições de fronteira (2.26), ou seja,

�� ' ��7�� e �� ' ��7��

As soluções' � e7 � não são de interesse, pois resulta� � , e portantoo cabo estaria em repouso.

� Solução da equação (2.30)

As condições de fronteira para' �� são:

' �� e ' �� (2.32)

Procurando uma solução de forma' � 8��, a equação característica obtém-se de forma,

9� � � �

com as soluções9� � ��

� e 9� ��

�. Se a constante arbitrária é positiva,� � ��, a solução general de (2.30) é

' � ! 8�� * 8��

e, tomando em conta as condições (2.32), resulta' � .A única alternativa é de escolher a constante� negativa,� � ��. Nestecaso, a solução general pode ser escrita como

' � ! �� * ��


e tomando em conta (2.32),

' �� ! � e ' �� * ��

Deve ser escolhido* �� , para não obter de novo' � , o que significaque�� , ou

��

�� inteiro

Escolhendo* � �, é obtida uma infinidade de soluções,'��, todas elassatisfazendo as condições (2.32)

'��

�� (2.33)

� Solução da equação (2.31)

A constante� é restrita aos valores� � �� e, portanto, aequação (2.31) toma a forma,

�7� 9��7 � 9� �

��

�

cuja solução geral é

7�� *� ��9��*�

� ��9�� (2.34)

As funções�� '��7��, definidas por

�� *� ��9�� *�

� ��9��

�� (2.35)

são soluções da equação das ondas (2.25) e satisfazem as condições de fron-teira (2.26).

Cada �� representa um movimento harmónico com a frequência9�� ciclos por unidade de tempo. Estes movimentos são conhe-cidos pormodos próprios de vibração. O primeiro modo próprio, obtido por� � �chama-seo modo fundamental.

Como em (2.35),

��

�� para � �

�

��

��

��

��

o modo próprio� tem � � � nodos, ou seja, pontos na corda que não se movem(além dos dois apoios fixos, veja Figura 2.7).

Figura 2.8 mostra o segundo modo normal em vários momentos�. Em cadainstante, o cabo tem a forma de uma sinusóide. Quando a parte da esquerda docabo desce, a parte da direita sobe, e ao contrário. Para os outros modos, a situaçãoé similar.


L0 L0 0 L L0

� � � � � � � � � �

L0 L0 L0 L0

� � � � � � � � � � � �

Figura 2.7: Modos normais de vibração

L0

Figura 2.8: Segundo modo normal em vários momentos�

Solução do problema

Uma solução�� definida por (2.35), não vai satisfazer as condições inici-ais (2.27). Como a equação (2.25) é linear e homogénea, se�� é uma solução,também a soma de várias soluções�� é solução da (2.25).

Para obter a solução que satisfaz as condições iniciais (2.27), considere-se asérie infinita,

��

��

�*� ��9�� *�

� ��9��

�� (2.36)

onde9� � ��.


� Satisfazer o deslocamento inicial

Introduzindo a expressão (2.36) na expressão (2.27) para as condições inici-ais, obtém-se, para o deslocamento inicial,

��

*� ��

�� (2.37)

Os coeficientes*� resulta, aplicando a teoria das séries de Fourier [10],

*� �

�

� �

��

��

�� (2.38)

� Satisfazer a velocidade inicial

De modo similar, diferenciando (2.36) em relação ao tempo, obtém-se,

6�

6�

��

��

*�

�9� ��

��

resultando

*�

�9� �

�

� �

��

��

��

ou,

*�

� �

��

� �

��

��

�� (2.39)

� Solução

A solução do problema definido pela equação (2.25) e pelas condições (2.26)e (2.27), é dada por (2.36) com coeficientes (2.38) e (2.39), com a restriçãoque a série (2.36) deve ser convergente, assim como as séries obtidas dife-renciando duas vezes (2.36) em relação ao� e �.

Considerando, para simplicidade, o caso em que a velocidade inicial�� ézero, os coeficientes*�

� são zero, e a solução (2.36) toma a forma:

��

*� ��9��

�9� �

��

�(2.40)

Utilizando as fórmulas trigonométricas3, pode escrever-se:

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

3 ��

��

��

�


e a equação (2.40) pode ser escrita como,

��

��

*� ��

��

��

��

*� ��

��

�

Estas duas séries podem ser obtidas substituindo� por�� e�� na sériede Fourier definida por (2.37), e portanto, podemos escrever

��

�� (2.41)

onde� � é a extensão periódica ímpar da função� , cuja período é�, assimcomo está representado na Figura 2.9.

��

� �

�

Figura 2.9: Função�� e a sua extensão periódica ímpar,� ��

Observando que o gráfico da função� �� é obtido fazendo uma trans-lação para a direita com� unidades do gráfico da função� ��, veja Fi-gura 2.10, resulta que� �� , para / , representa uma onda que sepropaga para a direita, enquanto� �� representa uma onda que se pro-paga para a esquerda. A solução�� é a sobreposição destas duas ondas.

�

�

��

Figura 2.10: Interpretação da função� ��

A constante tem dimensões de velocidade e representa a velocidade depropagação da onda.


Problema 2.5 Determine a solução da equação das ondas (2.25), correspondentea um deslocamento inicial,

��

��

�

�� para � � � �

�

�� para

�

� � � �

e a velocidade inicial nula.Como�� , os coeficientes*�

� são zero e a solução pode ser escrita, vejaequação (2.40), como

��

*� ��

��

��

�

onde os coeficientes*� são dados por:

*� �

�

� �

��

��

��

Introduzindo o deslocamento inicial na definição dos coeficientes*�, resulta:

*� �

�

��

�

��

��

��

��

� �

��

�

��

��

��

�

*� � �

��

��

��

��

��

� �

��

��

��

�

Utilizando o programaMathematica[18], resulta,

In[1]:= 4*k/L^2*(Integrate[x*Sin[n*Pi*x/L],{x,0,L/2}]+Integrate[(L-x)*Sin[n*Pi*x/L],{x,L/2,L}])

n Pi n Pi 332 k Cos[----] Sin[----]

4 4Out[1]= ----------------------------

2 2n Pi

ou seja,

*� ��

��

e a consequente solução�� :

��

��

��

��

��

��

�

A série representando a solução, é definida dentro deMathematicacomo umafunção de�, � e de números de termos em série,��,


u[x_, t_, Nt_] := Sum[Bn*Cos[c n Pi t/L]*Sin[n Pi x/L],{n,1,Nt}]

A representação gráfica da solução�� , obtida para vários números de ter-mos na série de Fourier, em vários momentos�, é apresentada na Tabela 2.1.

� ��

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

�� 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

��0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

�� 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

��0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

Tabela 2.1: Solução�� em vários momentos�

Problema 2.6 Determine a solução da equação das ondas (2.25), para o cabo comdois apoios fixos situados a uma distância� � � um de outro, e cuja constante� � (�5 � �, se o deslocamento inicial�� e a velocidade inicial�� sãodefinidos por:

��

Segundo a definição, os coeficientes*� são definidos por

*� �

�

�

��

��

�

��

��

e os coeficientes*�

�, por

*�

� �

��

�

��

��

� ��

��

��

2.4. Vibrações longitudinais em barras 43

O deslocamento�� , resulta, conforme à definição (2.36),

��

Diferenciando em relação ao tempo, obtêm-se as expressões da velocidade eda aceleração:

��

��

As representações gráficas do deslocamento�� , da velocidade�� e daaceleração�� , em vários momentos�, são apresentadas na Tabela 2.2.

2.4 Vibrações longitudinais em barras

Os elementos de resistência podem sofrer pequenas vibrações devido as solicita-ções dinâmicas longitudinais. Assim, por exemplo, quando um martelo cai de umacerta altura sobre uma espia fazendo que esta penetra o solo, o choque entre omartelo e a espia induz vibrações ao longo da espia. Este tipo de vibrações serãoestudadas em que segue.

Considere-se uma barra de comprimento� e secção transversal constante. Àum certo momento,��, aplica-se uma solicitação longitudinal sobre a barra, quedepois é libertada. O problema é determinar o deslocamento�� de cada ponto� da barra, para cada momento�.

��

� ��

�

Figura 2.11: Deslocamento da barra no momento�


Na derivação das seguintes equações diferenciais, assuma-se que:

- A massa da barra por unidade de comprimento é constante, ou seja a barra éhomogénea;


� ��

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0.05

0.1

0.15

0.2

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

�� 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

� 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

�� 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0.05

0.1

0.15

0.2

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

� 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

�� 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

�� 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

�� 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

�� 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

�� 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

� 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

Tabela 2.2: Deslocamento, velocidade e aceleração em vários momentos�


- Os deslocamentos são pequenos de tal modo que a lei de Hooke pode seraplicada, ou seja, a barra tem um comportamento perfeitamente elástico;

- As forças de compressão ou tracção desenvolvidas são grandes quando com-paradas com o peso próprio da barra, pelo que o peso pode ser desprezado;

- As secções transversais da barra ficam planas durante o movimento;

- Os deslocamentos dos apoios ou os deslocamentos iniciais da barra são to-dos ao longo da barra e constantes em cada secção transversal, causando omovimento das secções na direcção longitudinal.

As equações diferenciais que descrevem as pequenas oscilações da barra serãodeduzidas em seguida.

2.4.2 Equação das ondas uni-dimensionais

Considere-se um troço de barra de comprimento��, veja Figura 2.11. No mo-mento�, o deslocamento longitudinal da secção� é �� . No mesmo momento,o deslocamento da secção�� é �� . Isto significa que, o troço dabarra de comprimento�� tem uma deformação�� . Por hipó-tese esta deformação respeita a lei do Hooke e considerando que�� tende parazero, a força provocada por esta deformação numa secção� é dada por

�� ! ��

��

�� ! ��

Escrevendo as equações de equilíbrio do troço da barra, resulta

��

5!��

e dividindo por5!�� e tomando em conta que�� tende para zero,

6��

6��

6��

6��com� �

�

5(2.42)

Note-se que a equação das ondas que governa as pequenas oscilações longitudi-nais na barra é similar à equação das ondas em cabos, (2.25), com a única diferençana definição da constante. Resulta daí que para determinar a solução de (2.42)devem ser utilizados os mesmos métodos que foram utilizados no caso da equaçãodas ondas em cabos.


Problema 2.7 Determine e represente os primeiros três modos de vibração paraa barra representada sujeita à deformações axiais livres.

�

��

�� ! = constantes

A equação diferencial do movimento é

6��

6��

6��

6��com� �

�

5

Utilizando a solução�� : ��

e separando as variáveis resulta

�:

�:� ��

� ��

e daí, as duas equações diferenciais ordinárias,

��

�: � .�: �

com.� � �� e a constante� arbitrária.Os modos de vibração são dados pela solução independente de tempo,

��

Esta solução deve satisfazer as condições de fronteira, portanto:

��

�� ! ��

implicando�� , e, excluindo a solução trivial�� ,

��

�

Os modos de vibração são dados por

� � ��

��

�

��

onde�� é a amplitude arbitrária. As correspondentes frequências circular são

.� � ��

��

5��

Os primeiros três modos de vibração e as correspondentes frequências são pre-sentadas na Tabela 2.3.


� � ��

�

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

.� ��

��

5��

� � ��

�0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.5

0.5

1

.� ��

��

5��

� ��

�0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.5

0.5

1

. ��

��

5��

Tabela 2.3: Primeiros três modos de vibração longitudinal da barra encastrada

Problema 2.8 Determine a expressão�� das pequenas vibrações longitudi-nais da barra de comprimento�, que tem um apoio fixo em� � e é livre naoutra extremidade, se os deslocamentos iniciais são dados pela�� e avelocidade inicial é zero.

A função�� que representa as vibrações longitudinais da barra é a soluçãodo problema definido pela equação diferencial,

6��

6��

6��

6��com� �

�

5

e as seguintes condições de fronteira,

��

�� (porque a força na extremidade livre é zero)

e condições iniciais��

��


Utilizando o método de separação de variáveis, veja o parágrafo 2.3.3, procu-ramos uma solução que pode ser escrita de forma�� ' ��7��. Utilizandoa solução geral para' ,

' �� ! �� * ��

e tomando em conta as condições de fronteira,�� ' ��7�� e�� ' ��7�� , resulta

' �� ! �� * ��

' �� ! � e ' �� * ��

�ou seja, escolhendo* � �,

'��

�

A solução geral para a função7� resulta

7�� *� ��9�� *�

� ��9�� 9� ��

�

e então, a funções�� '��7�� são definidas por

�� *� �� *�

� ��

�

As constantes*� e*�

� são determinadas forçando a solução

��

��

�*� �� *�

� ��

a satisfazer as condições iniciais.

��

��

*� ��

*� �

�

� �

��

��

��

��*�

� ��

*�

� �

A solução do problema é, portanto,

��

*� ��

onde

*� �

�

� �

�� e ��

��


Problema 2.9 A barra uniforme de comprimento� tem uma extremidade fixa ea extremidade livre é alongada uniformemente até a um comprimento�� e emseguida libertada no momento� � . Determine as resultantes vibrações longitu-dinais.

�

��

�

De acordo com o resultado obtido noProblema 2.8, a solução geral para barrascom uma extremidade fixa e a outra livre é dada por

��

�*� �� *�

� ��

�

com � � ��5 e onde as constantes*� e *�

� são determinadas das condiçõesiniciais do problema:

��

�� (2.43)

�6�

6�

��

� (2.44)

Da condição inicial (2.44), resulta

��

��

�*�

� ��

�� *�

� �

Da condição inicial (2.43), resulta

��

*� ��

��

��

��

e aplicando as séries de Fourier [10], os coeficientes*� são dados por

*� ��

��

� �

��

��

��

�� Portanto, a vibração longitudinal da barra é dada por

��

��

��

��

��

��

��

�


Problema 2.10 Determine a vibração longitudinal forçada da barra uniforme decomprimento� actuada por uma força sinusoidal'� ��.� na extremidade livre,assim como se mostra na Figura.

Considera apenas a solução estacionária.

A equação diferencial que governa as pequenas osci-lações longitudinais na barra é

6��

6��

6��

6��

onde� é o deslocamento duma secção transversal dabarra e� � ��5.Seja�� ;�� .� a solução geral das vibra-ções forçadas estacionárias. Substituindo esta solu-ção na equação do movimento, resulta:

��;

��

.

��; �

"� ��#

�

A solução; pode ser escrita como

;�� !� ��

.�

�� !� ��

�.�

�

resultando,

�� !� ��

�.�

�� !� ��

�.�

��.�

As condições de fronteira para este problema são

�� !� �

e

�!6�

6�

��

� '� ��.� � �!.!�

��

.�

��.� � '� ��.�

!� �'�

�!.�!��

.�

�

Resulta que, as vibrações longitudinais forçadas da barra, no regime estacio-nário, são dadas por

�� '�

�!.�!��

.�

��

.�

��.�

2.5. Vibrações transversais em vigas 51

2.5 Vibrações transversais em vigas

As solicitações dinâmicas em vigas, tal como a circulação dos veículos nas pon-tes, induzem vibrações transversais. As equações diferenciais que governam estesmovimentos podem ser deduzidas, num caso simplificado, considerando uma vigade secção transversal constante e apenas o efeito do momento flector. Outros efei-tos, tal como amortecimento, elasticidade dos apoios, forças axiais, etc., podem serincorporados também na formulação.

O estudo que segue resuma-se no caso elementar, em que só é considerado oefeito do momento flector.


A derivação das equações diferenciais de movimento é feita considerando a vigarecta, não-uniforme, apresentada em Figura 2.12.

� �

��

�

$��

�%�� !��

�

Figura 2.12: Viga sujeita à acção dinâmica: propriedades e coordenadas

As propriedades da viga, consideradas significativas, são a rigidez na flexão,�<�� e a massa por unidade de comprimento,5��, ambas poder variar ao longodo vão� da viga. Assuma-se que a carga transversal�� pode variar arbitraria-mente com a posição e o tempo e que a resposta da viga, o deslocamento transversal�� , é também uma função destes variáveis. As condições de fronteira da vigasão arbitrárias, embora, para ilustrar, a viga está representada como simplesmenteapoiada.

2.5.2 Equação das ondas

A equação do movimento da viga deriva considerando o equilíbrio das forças queactuam no segmento diferencial da viga de comprimento��, representado em Fi-gura 2.13.

Escrevendo o equilíbrio dinâmico na direcção vertical,

5�� 6��

6�� , ��

�, ��

6, ��

6��

�

resulta:6, ��

6�� 5��

6��

6��(2.45)


��

��

� ��

&�� '&��

'��&��

��

� �� '� ��

'��

Figura 2.13: Forças resultantes num troço diferencial da viga

Considerando que só há movimentos transversais, e portanto desprezando arotação da secção transversal, do equilíbrio de momentos,

$�� , �� $��

6$��

6��

��

resulta:6$��

6�� , �� (2.46)

Juntando as relações (2.45) e (2.46), se pode escrever,

6�$��

6�� 5��

6��

6��

e tomando em conta a relação básica entre o momento flector e a curvatura,

$ � �<6��

6��

e equação diferencial de equilíbrio dinâmico resulta

6�

6��

��<��

6��

6��

�� 5��

6��

6�� (2.47)

A solução desta equação deve satisfazer as condições de fronteira para� � e� � �.

Se a barra é homogénea e uniforme,�< e 5 são constantes, e se as forças exte-riores são nulas, obtêm-se a equação diferencial das vibrações transversais livres:

6��

6��

6��

6��

�<

5


Problema 2.11 Determine os modos normais de vibração transversal para umaviga simplesmente apoiada, homogénea, de comprimento� e secção transversalconstante.

A equação diferencial que governa as vibrações transversais da viga homogé-nea de secção transversal constante, é

6��

6��

6��

6��

com� ��

�<�5. Assuma-se uma solução de tipo�� ;��( �� e substi-tuindo esta solução na equação diferencial obtêm-se:

; �( � ��;�� ( �

onde;�� ;��. Esta equação pode ser escrita

;��

;� �

�(

��(� ��

com � uma constante arbitrária, de onde resulta as duas equações diferenciaisordinárias:

;�� ; � (2.48)

e�( � .�( � .� � �� (2.49)

A solução da equação (2.49) é:

( �� ! ��.��* ��.�

A solução da equação (2.48) procura-se de tipo;�� 8��, resultando

9� � �� 9 � �� î�

e daí4

;��

No caso de uma viga simplesmente apoiada, o deslocamento e o momento flec-tor são zero nas extremidades da viga, o que significa que as quatro condições defronteira são:

; �� ; �� ;

��

��

� ��;

��

��

�

4Foram utilizadas as seguintes fórmulas trigonométricas:

�� (î�� (�î�

�î� ��

(î� � (�î�

��

(� � (��

��

(� � (��

��


Utilizando estas condições de fronteira, as constantes� � podem ser calculadas:

; �� ;

��

��

� ��

de onde�� , e

; ��

��;

��

��

� ��

de onde�� e �� , ou seja,

�� . � ��

��<

5��

Os primeiros três modos de vibração e as correspondentes frequências são pre-sentadas na Tabela 2.4.

;� � ��

�

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

.� � ��

��<

5��

;� � ��

�0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.5

0.5

1

.� � ��

��<

5��

; � ��

�0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.5

0.5

1

. � ��

��<

5��

Tabela 2.4: Primeiros três modos de vibração transversal da barra simplesmenteapoiada


Problema 2.12 Determine os modos normais de vibração transversal para umaviga em consola, homogénea, de comprimento� e secção transversal constante.

Os modos normais de vibração da barra vão ser obtidos forçando a soluçãoindependente do tempo,

;��

a satisfazer as condições de fronteira (vejaProblema 2.11), que desta vez são deslo-camento e rotação nulas no encastramento e momento flector e esforço transversonulos na extremidade livre:

;�� ; ��

$�� <; �� , �� <; ��

As constantes�� são portanto obtidas do seguinte sistema de equações linea-res:�

��

��

��

��

��

�

��

��

��

��

Das primeiras duas equações resulta� � �� e �� . Substituindo estesresultados e simplificando, resulta:�

��

��

��

!�

�

!

Para o sistema admitir uma solução não trivial, o determinante deve ser zero, re-sultando:

��

��

Utilizando o método de Newton-Raphson, implementado emMathematica[18],obtêm-se as soluções presentadas na Tabela 2.5.

� �� 1 �� 2 �� 3 �� 4 �� 5 � ��

Tabela 2.5: Soluções da equação transcendental��


2 4 6 8

−1

−0.5

0.5

1

)�

�)��

�)��)��

�

�

�� )�

�� )�

Figura 2.14: As componentes da equação transcendental

;�

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-2

-1.5

-1

-0.5

.� � ��

��<

5��

;� 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

.� � � ��

��<

5��

;

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

. � ��

��<

5��

Tabela 2.6: Primeiros três modos de vibração transversal da viga em consola

2.6. A transmissão de calor 57

Assim como resulta da Tabela 2.5 e da Figura 2.14, as soluções desta equaçãotranscendental aproxima-se do valor

��

��

para� � . As frequências de vibração resultam

.� � ��

��<

5��

e a constante�� pode ser exprimida em função de��,

��

�� =� ��

assim que, os modos normais de vibração são exprimidos por

;��

��

��

�

onde�� é uma constante arbitrária.

2.6 A transmissão de calor

O comportamento higrotérmico dos elementos da envolvente exterior de edifíciosé um problema importante em engenharia civil. O estudo destes fenómenos e aaplicação dos resultados na fase de projecto traduzem-se num melhoramento signi-ficativo do conforto higrotérmico dos edifícios.

A temperatura�� >� �� num corpo homogéneo é dada pela equação de calor

6�

6��

?

#5� (2.50)

onde� é a difusibilidade térmica,? é a conductibilidade térmica,# é o calorespecífico e5 a massa volumétrica.

O Laplacian da temperatura,��, é definido em relação a um sistema Cartesi-ano de coordenadas�, �, >,

�� 6��

6��

6��

6��

6��

6>�

Se a distribuição do calor no volume do corpo é estacionária (o seja indepen-dente do tempo,�), então6��6� � e a equação de calor reduz-se à equação deLaplace

�� (2.51)

Um problema de calor no regime estacionário, consiste em considerar a equaçãode Laplace definida numa região� do espaço e uma condição de fronteira na curva� que delimita a região�. Um tal problema é conhecido comoproblema de valoresna fronteira.

Os problemas de valores na fronteira podem ser:


� problema Dirichlet:� é prescrito na fronteira�;

� problema Neumann: a derivada normal�� 6��6� é prescrita na fron-teira�;

� problema misto:� é prescrito num troço da fronteira� e o�� é prescrito noresto do�.

2.6.1 Regime estacionário bidimensional

A equação de calor bidimensional em regime estacionário é

�� 6��

6��

6��

6�� (2.52)

Considera-se o problema Dirichlet para a equação (2.52), definida no rectângulo� e considerando que a temperatura�� iguala a função dada,��, no ladosuperior e é zero nos outros três lados do rectângulo.

�0 � � �

*

� � �

�

� � ��

�

� � �

Figura 2.15: Rectângulo� e as condições de fronteira

Para a resolução deste problema utiliza-se o método de separação de variáveis.Substituindo

�� ' ��7��

na equação (2.52) e dividindo por'7 obtém-se:

�

' �

�'

��

7 �

�7

�� (2.53)

onde� é uma constante.Aplicando as condições de fronteira para� � e� � �, resulta:

��'

�� ' � � ' �� ' ��

' � �� "�

��#� ��

"��#


' ��

' �� "�

��#�

obtendo-se� � �� e as correspondentes soluções

' �� '��

�� (2.54)

A equação para o7 torna-se

��7

��

��

�

��7 �

cuja solução geral é

7�� 7�� !�8�� *�8��

A condição de fronteira para� � implica

7�� *� � �!�

7�� !�

"8�� 8��

#� !� ��

��

�

Notando!� � !�

� e juntando o resultado (2.54), resulta

�� '��7�� !�

� ��

��

��

�(2.55)

Para obter uma solução que satisfaz também a condição de fronteira

�� (2.56)

consideramos a série infinita

��

��

obtendo-se

��

!�

� ��

��

��

�

ou

��

�!�

� ��

�

��

��

�

o que mostra que a expressão entre parêntesis deve ser o coeficiente Fourier�� dafunção��, ou seja:

�� !�

� ��

��

�

� �

��

��

��

A solução final é portanto


��

!�

� ��

��

��

�(2.57)

com

!�

� �

� ��

� �

��

��

�� (2.58)

Utilizando o programaMathematica[18], a solução deste problema foi calcu-lada para várias funções��. Os resultados obtidos utilizando� termos na série,bem com o código de entrada paraMathematica, são apresentados na Tabela 2.7.


Código de entrada emMathematica:a = 2.b = 1.f[x_] := Sin[Pi*x/a]Int[n_] := Integrate[f[x]*Sin[n*Pi*x/a],{x,0,a}]A[n_] := 2/(a*Sinh[n*Pi*b/a])*Int[n]Sx[n_,x_] := Sin[n*Pi*x/a]Sy[n_,y_] := Sinh[n*Pi*y/a]u[x_,y_,nmax_] := Sum[A[n]*Sx[n,x]*Sy[n,y],{n,1,nmax}]Plot3D[u[x,y,10],{x,0,a},{y,0,b},PlotPoints -> 50]ContourPlot[u[x,y,10],{x,0,a},{y,0,b},PlotPoints -> 50]

�� Plot3D ContourPlot

�

0

0.5

1

1.5

2 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

00.250.5

0.751

0

0.5

1

1.5

0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

�=��

�

0

0.5

1

1.5

2 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.25

0.5

0.75

1

0

0.5

1

1.5

0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Continua na página seguinte . . .


. . . continuação da página anterior�� Plot3D ContourPlot

�=��

�

0

0.5

1

1.5

2 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1

-0.5

0

0.5

1

0

0.5

1

1.5

0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

�

0

0.5

1

1.5

2 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.5

1

1.5

2

0

0.5

1

1.5

0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tabela 2.7: Solução do problema Dirichlet para vários��

Capítulo 3

Métodos Numéricos para EquaçõesDiferenciais Parciais

Os métodos numéricos desenvolvidos para obter a solução das equações diferenci-ais são de grande importância para engenheiros, pois inúmeros problemas práticasconduzem a equações diferenciais que não tem solução analítica, ou, em caso te-nham, a expressão da solução é tão complexa que não pode ser utilizada do pontode vista prático. Nestas situações, é preferível obter a solução sob forma de umatabela de valores por intermédio dum método numérico.

O estudo que segue refere-se aos métodos numéricos para equações diferenciaisparciais e em particular para a equação de Laplace, equação do calor e a equação deondas que representam modelos de equações elípticas, parabólicas e hiperbólicas.

Uma equação diferencial parcial chama-sequase linearse pode ser escritacomo uma combinação linear de derivadas de ordem superior. Assim, uma equaçãoquase linear de segunda ordem em duas variáveis independentes,� e �, pode serescrita:

�6��

6��

6��

6�6��

6��

6�� '

��

6�

6��6�

6�

(3.1)

onde� é a função incógnita. A equação é chamada

� elíptica, se�� / (exemplo: equação de Laplace);

� parabólica, se�� (exemplo: equação do calor,� é o tempo�);

� hiperbólica, se�� & (exemplo: equação das ondas,� é o tempo�).

Os coeficientes�, � e podem ser funções de� e�, portanto a equação 3.1 podeser diferente em várias regiões do plano��.

Esta classificação é importante, pois o comportamento das soluções é diferentepara cada tipo de equação, assim como as condições de fronteira e iniciais quedevem ser consideradas.

63

64 Capítulo 3. Métodos Numéricos para Equações Diferenciais Parciais

3.1 Equações elípticas

As equações elípticas conduzem as problemas de valores na fronteira do domínio�, conhecidas por

– problema de Dirichlet, se� é dado na fronteira� do domínio�;

– problema de Neumann, se�� (derivada normal do�) é dada na fronteira�do domínio�;

– problema misto, se� é dado numa parte da fronteira e�� na parte que restada fronteira�.

As mais importantes equações elípticas que aparecem em aplicações de enge-nharia são a equação de Laplace

�� 6��

6��

6��

6�� (3.2)

e a equação de Poisson

�� 6��

6��

6��

6�� (3.3)

Para obter a solução por intermédio dum método numérico, as derivadas parci-ais são substituídas pelas diferenças divididas correspondentes. Assim, utilizandoo desenvolvimento em série de Taylor,

�� 6��

6��

�

6��

6��

�

6��

6�� (3.4)

�� 6��

6��

�

6��

6��

�

6��

6�� (3.5)

Subtraindo (3.5) do (3.4) e desprezando os termos em , �, . . . ,obtêm-se

6��

6��

�� (3.6)

De mesmo modo, considerando uma perturbação segundo�, obtêm-se

6��

6��

�� (3.7)

As segundas derivadas obtêm-se somando (3.5) e (3.4) e desprezando os termosem �, �, . . . ,

�� 6��

6��(3.8)

3.1. Equações elípticas 65

ou6��

6��

�� (3.9)

De mesmo modo, a segunda derivada em� resulta

6��

6��

�� (3.10)

Aplicando a mesma técnica, resulta também

6��

6�6��

��

�� (3.11)

��

�� )�

�� )�

��

��

)

)

Figura 3.1: Pontos na aproximação das derivadas parciais

Substituindo os resultados (3.9) e (3.10) na equação de Poisson (3.3) e esco-lhendo� � , obtêm-se

��

�� (3.12)

onde é a dimensão da malha. A equação (3.12) relaciona� no ponto�� de�calculado nos quatro pontos vizinhos.

Utilizando uma representação esquemática para os coeficientes dos cinco pon-tos, a equação diferencial (3.3) pode ser escrita,��

��

� � ��

�� (3.13)

3.1.1 Problemas Dirichlet

Para obter a solução numérica dum problema Dirichlet definido numa região�,escolha-se e define-se em� umamalhaconstituída por rectas horizontais e ver-ticais equidistantes, na distância uma de outra. As intersecções destas rectas sãoospontos da malha.


� �

�

��

��

��

��

��

Figura 3.2: Região no plano�� coberta por uma malha equidistante

Aproxima-se depois a equação diferencial que governa o problema por sua re-presentação em diferenças finitas, o que relaciona os valores incógnitos da função� nos pontos da malha em� e com os valores dados na fronteira. Obtêm-se as-sim um sistema linear de equações algébricas, cuja solução são os valores de� nospostos da malha em�. Como em cada ponto,� só é relacionado aos valores dospontos vizinhos, obtêm-se umamatriz esparsa, o seja, uma matriz com poucos ele-mentos não nulos. Tomando em conta o elevado o índice de esparsidade do sistemaresolutivo é conveniente armazenar, processar e resolver estes sistemas recorrendoàs técnicas disponíveis para a manipulação de sistemas esparsos [11, 17].

Admita-se a seguinte notação simplificada para os pontos da malha e os respec-tivos valores da solução, veja também a Figura 3.2,

�� = � @ � �� = � @ � (3.14)

Com esta notação, a equação de Poisson passa a ter a seguinte forma:

�� (3.15)

Problema 3.1 Os quatro lados da placa rectangular homogénea de� cm de lado,são mantidos na temperatura constante deÆC e�ÆC, assim como se mostra naFigura 3.3. Utilizando uma malha de cm, determine a temperatura em regimeestacionário nos pontos da malha.

A equação de calor no regime estacionário reduz-se a equação de Laplace. Uti-lizando a notação simplificada, escreve-se para cada ponto interior uma equação detipo (3.15), tomando em conta que�� .


0

12

0 12

� � �

� � ��

� � ��*

�

� � ��

Figura 3.3: Placa rectangular homogénea: condições de fronteira e a malha para asdiferenças finitas

Obtêm-se o seguinte sistema de equações algébricas lineares:

��

��

(3.16)

Substituindo os valores na fronteira, resulta um sistema de quatro equaçõeslineares com quatro incógnitas, os valores de� nos pontos interiores da malha:

��

��

(3.17)

A solução deste sistema é:

�� (3.18)

Um exemplo que mostra como pode ser resolvido este problema utilizando oprogramaMathematica[18] é apresentado em que segue. A região é dividida em�� pontos internos e as condições de fronteira para= � , = � �� ,@ � �� e @ � são*��, *�, *�� e*�, respectivamente.


Nd = 2

A = Array[a,{Nd*Nd,Nd*Nd}]For[i=1, i<=Nd*Nd, i++,

For[j=1, j<=Nd*Nd, j++, A[[i,j]]=0]]

B = Array[b,Nd*Nd]For[i=1, i<=Nd*Nd, i++, B[[i]]=0]

BC1[i_]:=100BC2[j_]:=100BC3[i_]:=0BC4[j_]:=100

For[i=1, i<=Nd, i++,For[j=1, j<=Nd, j++,

row = i+(j-1)*Nd;If[i+1<=Nd,A[[row,i+1+(j-1)*Nd]]=1,

B[[row]]=B[[row]]-BC2[j]];If[j+1<=Nd,A[[row,i+j*Nd]]=1,

B[[row]]=B[[row]]-BC3[i]];If[i-1>=1,A[[row,i-1+(j-1)*Nd]]=1,

B[[row]]=B[[row]]-BC4[j]];If[j-1>=1,A[[row,i+(j-2)*Nd]]=1,

B[[row]]=B[[row]]-BC1[i]];A[[row,row]]=-4

]]

X = Inverse[A] . B

u[i_,j_]:= X[[i+(j-1)*Nd]]

Solution = Array[s,{Nd+2,Nd+2}]

For[i=1, i<=Nd, i++, For[j=1, j<=Nd, j++,Solution[[i+1,j+1]]=u[i,j]]]

For[i=1, i<=Nd+2, i++, Solution[[i,1]]=BC1[i]]For[i=1, i<=Nd+2, i++, Solution[[i,Nd+2]]=BC3[i]]For[j=1, j<=Nd+2, j++, Solution[[1,j]]=BC4[j]]For[j=1, j<=Nd+2, j++, Solution[[Nd+2,j]]=BC2[j]]

ListPlot3D[Solution]


3.1.2 Problemas Neumann e mistos

No caso de problemas Neumann e mistos somos confrontados com uma situaçãonova, pois existem pontos na fronteira onde é prescrita a derivada normal da função�, 6��6�, mas a função� não é conhecida nestes pontos. O modo como se trataestes pontos é explicado através do exemplo que segue.

Problema 3.2 Resolve o problema misto de valores na fronteira apresentado naFigura 3.4, definido para a equação do Poisson

��

Vamos utilizar a malha apresentada na Figura 3.4, com � �. Os valoresfronteira resultam aplicando as condições de fronteira.

��

��=3 ��=6

��=0

��=0

��=0.375

��=3

��=0��=0

�� *

� ��

�

��

�

��

� � �

� � �

� � �

Figura 3.4: Região�: condições de fronteira e malha

Para obter os valores da função� nos pontos interiores da região aplicamos denovo a equação (3.15), resultando:

��

��

ou, tomando em conta os valores na fronteira e os valores da função� ,

� �� (3.19)

�� (3.20)

A dificuldade é que estas equações envolvem as incógnitas�� e ��, represen-tando os valores da função� nos pontos da fronteira onde são dados os valores daderivada normal��, e não da função�.


Para ultrapassar essa dificuldade, imagina-se a região� extendida para cima,de modo a incluir primeira fila de pontos externos (correspondentes ao� � ��),e assuma-se que a equação diferencial é válida também na região extensa. Assim,podemos escrever mais duas equações, correspondentes aos pontos�� e��:

��

��

ou

�� (3.21)

�� (3.22)

Observa-se que, nas equações (3.21) e (3.22), aparecem mais duas incógnitas,os valores da função� nos pontos externos�� e��. Para eliminar estas incógnitasadicionais, utiliza-se a condição de fronteira no lado superior, escrevendo:

� �6��

6��

� �� ou ��

� �6��

6��

� �� ou ��

Substituindo estes resultados em (3.21) e (3.22) e simplificando, resultam

�� (3.23)

�� (3.24)

Juntando as equações (3.19), (3.20), (3.23) e (3.24) resulta um sistema de quatroequações lineares com quatro incógnitas, que escreve-se em forma matricial,

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

A solução do sistema é

�� (exacto�) �� (exacto)

�� (exacto��) �� (exacto�)

onde, entre parêntesis, e apresentada a solução exacta.

3.2. Equações parabólicas 71

3.2 Equações parabólicas

O método numérico que foi utilizando para as equações elípticas, que consta emsubstituir a equação diferencial com diferenças finitas, vai ser utilizado também nocaso das equações parabólicas. Contudo, este método, quando aplicado a equaçõesparabólicas ou hiperbólicas, não garanta a convergência da solução para ��.Nesse caso, precisamos de condições suplementares para poder garantir a conver-gência e a estabilidade1 da solução.

A solução numérica que segue vai ser explicada considerando o protótipo dasequações parabólicas, a equação do calor uni-dimensional

6�

6��

6��

6�� 4��

A equação é considerada para � � � � e � � . As condições iniciais (tem-peratura inicial) é dada,�� , assim como as condições de fronteira em� � e � � � para todos� � , por exemplo�� e �� . Pode-mos assumir uma normalização do problema, de tal modo que e � passam a serunitários e então, a equação do calor e as condições associadas são

6�

6��

6��

6��(3.25)

�� (3.26)

�� (3.27)

.

.

.

00 1

�

)

�

� � � � � �

� � ��

+ � �

+ � ��

)

Figura 3.5: Malha e pontos nodais correspondente a equação (3.28)

Uma aproximação em diferenças finitas da equação (3.25) é

�

��

�

�� (3.28)

1Pequenas perturbações ou erros nos dados iniciais ficam pequenas ao longo do tempo.


A malha e as correspondentes pontos nodais são apresentados na Figura 3.5. Adimensão da malha é em direcção� e� em direcção�.

A fórmula (3.28) envolve os quatro pontos apresentados na Figura 3.5. O mem-bro esquerdo da fórmula, represente uma diferença finitapara frente, porque nãohá informação sobre a função para� negativo. De (3.28) calcula-se�� , cor-respondente ao tempo�@ � ��, função aos três valores de� correspondentes aotempo@�:

��

�(3.29)

Aplicação da fórmula (3.29) é fácil e directo, mas, pode ser demonstrado que acondição para convergência é

� ��

��

(3.30)

Com outras palavras, isto significa que não podemos avançar demasiado rápidoem direcção ao�.

3.2.1 O método de Crank-Nicolson

A condição (3.30) é um impedimento na utilização deste método em prática. Paraatingir uma precisão suficiente, deve-se escolher um pequeno, o que faz� muitopequeno. Por exemplo, se � �, então� � �. Um refinamento da malhapara � quadruplica o número de passos de tempo necessários para chegar a umdado momento�.

Um método que não impõe qualquer restrição sobre o� � �� é o método deCrank-Nicolson, que utiliza o valor da função� em seis pontos. A ideia é substituira diferença dividida do lado direito da equação (3.28) por a soma das diferençasdivididas calculadas para dois momentos de tempo. A equação (3.28) transforma-se então em

�

��

�

��

��

�� (3.31)

Multiplicando por� e utilizando a notação� � �� , obtêm-se

� � �� (3.32)

Como se aplica a equação (3.32)? Em geral, os três valores de lado esquerdosão incógnitas, enquanto os três valores de lado direito são conhecidas. Aplicando aformula, para cada momento de tempo@ obtêm-se um sistema de equações lineares


Tempo+

Tempo+ � �

)

� �

Figura 3.6: Os seis pontos utilizados nas fórmulas de Crank-Nicolson

de onde resultam as incógnitas função as condições de fronteira e as condiçõesiniciais.

Apesar do facto que� � �� já não é restrito, um valor pequeno do� vaiproduzir resultados melhores. Habitualmente, escolha-se um� de modo a reduziro esforço computacional, mas sem fazer� demasiado grande. Um valor do� queé normalmente recomendável, é� � �. Com este valor, a equação (3.32) toma aforma simplificada

�� (3.33)

Problema 3.3 Considere uma barra de aço isolada de comprimento� com as ca-racterísticas de tal modo que o� � � na equação do calor. As extremidades dabarra são mantidas na temperatura constante deÆ C e a temperatura inicial aolongo da barra é dada por

��

Aplicando o método de Crank-Nicolson, com � e � � �, calcula a tempera-tura �� da barra no intervalo de tempo � � � . Compare os resultadoscom a solução exacta. Aplique depois a equação (3.28) com um� que satisfaz acondição (3.30), por exemplo� � �, e com um valor que não satisfaz a condi-ção (3.30), por exemplo� � � e � � �.

Solução utilizando o método de Crank-NicolsonA equação do calor, para � � � �, � � � e aplicando o método de Crank-

Nicolson, com � e � � �, é

��

Como � e � � �, resulta� � � � e para cobrir todo o intervalode tempo devemos fazer 5 passos. A malha utilizada na resolução do problema éapresentada na Figura 3.7. Os valores iniciais da função� resultam das condiçõesiniciais. Assim,

��


, � � , � , � �, � � , � � , � �

0 0.6 1.00.2 0.4 0.8

0.200.160.120.080.04

0

+ � �+ � �+ � + � �+ � �+ � �

�

Figura 3.7: Malha utilizada no método de Crank-Nicolson

��

Para cada momento@, há quatro pontos internos da malha, o que significa quepara cada passo de tempo é preciso resolver um sistema linear de quatro equaçõescom quatro incógnitas. Das condições de fronteira, resulta�� . Comoa distribuição inicial da temperatura, assim como as condições de fronteira sãosimétricas em relação ao� � �, vamos obter�� e�� para primeiropasso de tempo e similar para os passos seguintes. Tomando em conta esta simetria,podemos trabalhar para cada passo de tempo com sistemas de apenas duas equaçõese duas incógnitas.

Para o passo de tempo@, tomando em conta a simetria e as condições de fron-teira, resulta

� ��

��

��

A solução deste sistema foi obtida com o programaMathematica, utilizando asseguintes instruções:

u1 = Array[uu1,6]u2 = Array[uu2,6]

u1[[1]] = Sin[0.2*Pi]u2[[1]] = Sin[0.4*Pi]

For[i=1, i<=5, i++,u1[[i+1]]=(u1[[i]]+4*u2[[i]])/11;u2[[i+1]]=(4*u1[[i]]+5*u2[[i]])/11]

Os resultados, os valores da temperatura nos pontos da barra em vários momen-tos, são apresentados na Tabela 3.1.


� � � � � � � � � � � � � � � �0.00 0 0.587785 0.951057 0.951057 0.587785 00.04 0 0.399274 0.646039 0.646039 0.399274 00.08 0 0.271221 0.438844 0.438844 0.271221 00.12 0 0.184236 0.298100 0.298100 0.184236 00.16 0 0.125149 0.202495 0.202495 0.125149 00.20 0 0.085012 0.137552 0.137552 0.085012 0

Tabela 3.1: Os valores da temperatura nos pontos da barra obtidos com o métodoCrank-Nicolson

Comparação com a solução analíticaA solução exacta deste problema pode ser obtida utilizando o método de sepa-

ração de variáveis. Considerando a equação diferencial

6�

6��

6��

6��

e procurando uma solução de forma

�� ' ��7��

que satisfaz as condições de fronteira

��

e as condições iniciais��

resulta�� !"#��

O erro relativo entre a solução obtida por diferenças finitas e a solução analíticae apresentado na Tabela 3.2.

� � � � � 0.00 0.00 0.000.04 0.81 0.810.08 1.63 1.630.12 2.45 2.450.16 3.28 3.280.20 4.12 4.12

Tabela 3.2: Erro relativo [%]


Solução por método directo (3.29), com� � �Para � e � � �� , resulta� � �. Isto significa que, para o

mesmo intervalo de tempo, devemos fazer quatro vezes mais passos de que foramfeitos utilizando o método de Crank-Nicolson. Para� � �, a fórmula (3.29)transforma-se em

��

Para o passo de tempo@, tomando em conta a simetria e as condições de fron-teira, resulta �

��

A solução deste sistema foi obtida com o programaMathematica, utilizando asseguintes instruções:

u1 = Array[uu1,21]u2 = Array[uu2,21]

u1[[1]] = Sin[0.2*Pi]u2[[1]] = Sin[0.4*Pi]

For[i=1, i<=20, i++,u1[[i+1]]=0.25*(2*u1[[i]]+u2[[i]]);u2[[i+1]]=0.25*(u1[[i]]+3*u2[[i]])]

� � � � � 0.01 0.531657 0.8602390.02 0.480888 0.7780930.03 0.434967 0.7037920.04 0.393432 0.6365860.05 0.355862 0.5757970.06 0.321880 0.5208130.07 0.291144 0.4710800.08 0.263342 0.4260960.09 0.238195 0.3854080.10 0.215449 0.348604

� � � � � 0.11 0.194876 0.3153160.12 0.176267 0.2852060.13 0.159435 0.2579710.14 0.144210 0.2333370.15 0.130439 0.2110550.16 0.117983 0.1909010.17 0.106717 0.1726720.18 0.096527 0.1561830.19 0.087309 0.1412690.20 0.078972 0.127779

Tabela 3.3: Os valores da temperatura nos pontos da barra obtidos com o métododirecto,� � �

Uma comparação das soluções obtidas por método de Crank-Nicolson (CN)e por método directo (D), assim como a solução analítica (A), é apresentada naTabela 3.4. Observa-se que, apesar do número maior de passos que foram efectua-dos no método directo, a precisão dos resultados é a mesma ao método de Crank-Nicolson.


0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

�

��

� ��

� ��

Figura 3.8: Distribuição da temperatura na barra

� � � � � CN D A CN D A

0.04 0.399274 0.393432 0.396065 0.646039 0.636586 0.6408460.08 0.271221 0.263342 0.266878 0.438844 0.426096 0.4318180.12 0.184236 0.176267 0.179829 0.298100 0.285206 0.2909700.16 0.125149 0.117983 0.121174 0.202495 0.190901 0.1960630.20 0.085012 0.078972 0.081650 0.137552 0.127779 0.132112

Tabela 3.4: Comparação entre o método de Crank-Nicolson, o método directo e asolução analítica


Aplicação para problemas de difusão

O transporte físico de substâncias miscíveis em água é caracterizado poradvecção,difusão, dispersãoeadsorpção. Em casos concretos, os processos interagem e nãoé fácil distingui-los, mas a descrição em separado é mais simples e, por isso, serefere abaixo.

A advecção corresponde ao transporte da substância associado ao movimentoda água em que está dissolvida. A velocidade do fluido� no meio poroso é dadapela lei de Darcy,

� � ��

em que� é a pressão e� a permeabilidade do meio poroso. Este processo prevalecepara velocidades de fluxo relativamente altas,/ �� m/s.

A difusão corresponde ao transporte conseguido por movimentos molecularesaleatórios, o chamado movimento Browniano, de natureza comparável à da condu-ção do calor. Esta analogia foi reconhecida por Fick [7] que, em 1855, a utilizoupara derivar as equações fundamentais da difusão a partir das leis estabelecidas porFourier [8], em 1822, para o calor.

A primeira lei de Fick só é aplicável a regimes de concentração temporalmenteestacionária e afirma que o fluxo' da substância que se difunde é proporcional aogradiente da concentração, sendo� o coeficiente de difusão:

' � �� 6

6�

A segunda lei de Fick aplica-se a regimes não estacionários e é estabelecidausando a primeira lei e o princípio da conservação da massa que conduzem a:

6

6��

O coeficiente de difusividade� pode ser dependente da concentração. Na difu-são, o fluido não se desloca e a migração deve-se à transferência de partículas dasregiões de mais elevada concentração para as de concentração mais baixa. O fenó-meno prevalece em fluxos de baixa velocidade,& �� m/s.

A dispersão é devida a fenómenos transientes associados à velocidade variávelde diferentes partículas do fluido em movimento.

A adsorpção é um processo de interacção entre o soluto e a fase sólida, em queuma parte da substância dissolvida é retirada do fluido transportador.

Problema 3.4 A segunda lei de Fick aplica-se à difusão de cloretos no betão. Nocaso uni-dimensional, a equação de difusão é

6

6��

6�

6��


Considere uma laje semi-infinita de betão situada na zona húmida de marés oude embate de ondas cuja coeficiente de difusividade� é constante. Assuma quea condição de contorno é permanente e impõe uma concentração de cloreto, nasuperfície, dada por�.

Determine a concentração de cloreto à distância� do contacto com a águasalgada, no instante� contado após início do contacto da superfície com a água.

(Valores numéricos:� � �� kg/m, � � �� m�/s)

Solução em diferenças finitas

.

.

.

00

�

)

��

� � ��

+ � �

+ � ��

)

Figura 3.9: Malha e pontos nodais para o problema de difusão

O problema é definido pela equação diferencial

6

6��

6�

6��

a condição de fronteira��

e a condição inicial

��

��

A equação de difusão escrita em diferenças finitas conduz à

� ��

�

em que e � são as dimensões da malha em direcção� e �. A condição paraconvergência é


� ��

��

Será analisada uma profundidade de 30 cm com uma malha de 3 cm, o queimplica 11 pontos nodais. O passo de tempo será 1 mês, o que implica

� ��

��

��

��

ou seja, a condição de convergência é satisfeita.A análise será extensa por 10 anos, o que implica 121 pontos nodais em direcção

ao tempo. UtilizandoMathematica, o problema pode ser resolvido com a seguintesequência de instruções.

Nx = 11Nt = 12*10+1c0 = 19DD = 5.27 /10^12 (*: difussion coeficient *)k = 3600*24*30 (*: time step *)h = 0.03 (*: space step *)r = DD*k/h^2c = Array[cc,{Nx,Nt}]

For[i=1, i<=Nx, i++,For[j=1, j<=Nt, j++,

c[[i,j]] = 0 ]]

For[j=1, j<=Nt, j++, c[[1,j]] = c0]

For[j=1, j<Nt, j++,For[i=2, i<Nx, i++,

c[[i,j+1]] = (1-2*r)*c[[i,j]] +r*(c[[i+1,j]]+c[[i-1,j]])]]

L = Array[ll,Nt]For[j=1, j<=Nt, j++,

L[[j]] = Table[c[[i,j]],{i,1,Nx}]]

Frames = Table[ListPlot[L[[i]],PlotJoined ->True,AxesOrigin ->{1,0}],{i,1,Nt}]

<< Graphics‘Animation‘ShowAnimation[Frames]


A penetração de cloreto no betão ao longo do tempo é apresentada na Fi-gura 3.10, onde no eixo horizontal temos os pontos nodais,=. A distância� édada por�=� �� .

2 4 6 8 10

2.5

5

7.5

10

12.5

15

17.5

2 4 6 8 10

2.5

5

7.5

10

12.5

15

17.5

0 anos 1 ano

2 4 6 8 10

2.5

5

7.5

10

12.5

15

17.5

2 anos

Figura 3.10: Penetração de cloreto no betão

Comparação com a solução analítica

A solução analítica deste problema é

��

�� erf

��

�

��

�

em que a função erro [1] é definida por

erf�>� �

�

� �

�8��

�

��

Uma comparação entre a solução analítica e a solução numérica, para� iguala dois anos, é apresentada na Figura 3.11. O erro obtido na solução numérica (a)é explicável pela malha grosseira adoptada, � � m. Uma solução melhoradapode ser obtida refinando a malha, assim como se mostra no caso (b) em que ��m.


1

3

3

9

5

15

7

21

9 cm

27 cm

2.5

2.5

5

c %

5

c %

7.5

7.5

10

10

12.5

12.5

15

15

17.5

17.5

solução analítica

solução numérica

(b)

solução analítica

solução numérica

(a)

Figura 3.11: Penetração de cloreto no betão após 2 anos

3.3. Equações hiperbólicas 83

3.3 Equações hiperbólicas

Considere-se o protótipo das equações hiperbólicas, a equação das ondas,

6��

6��

6��

6��

�

5(3.34)

Para simplicidade, e sem perder a generalidade, o método numérico vai serapresentado para o caso das pequenas vibrações transversais dum cabo de compri-mento unitário, com as extremidades fixas e � �. O problema é definido entãopor

6��

6��

6��

6�� (3.35)

�� 6��

6�� (condições iniciais) (3.36)

�� (condições de fronteira) (3.37)

Substituindo as derivadas por diferenças finitas, resulta de (3.35)

�

��

�

�� (3.38)

onde é a dimensão da malha em� e� é a dimensão da malha em�. A equação emdiferenças finitas (3.38), relaciona os cinco pontos apresentados na Figura 3.12, oque sugere uma malha rectangular, similar a malha utilizada no caso das equaçõesparabólicas. Escolhendo�� , resulta:

�� (3.39)

+ � �

+

+ � �

)

)

� �

(a) Fórmula (3.38) (b) Fórmula (3.39)

Figura 3.12: Pontos da malha utilizados nas aproximações (3.38) e (3.39)

Pode ser mostrado que, para & �� o método é estável. Contudo, aequação (3.39) contem três passos de tempo,@� �, @ e @��, enquanto as fórmulas


no caso das equações parabólicas só contem dois passos de tempo. Todavia, destavez temos duas condições iniciais em vez de uma só.

Para poder começar, utilizamos a condição inicial em velocidades, para obter

�

�� ou �� (3.40)

onde,�� = �.A equação (3.39) escrita para� � , ou seja,@ � , é

��

Depois de substituir o valor do�� dado por (3.40), resulta

��

�� (3.41)

ou que exprima�� função aos dados iniciais.

Problema 3.5 Aplica o método numérico apresentado com � � � no pro-blema definido pelas equações (3.35)-(3.37), onde

��

, � � , � , � �, � � , � � , � �

0 0.6 1.00.2 0.4 0.8

1.00.80.60.40.2

0

+ � �+ � �+ � + � �+ � �+ � �

�

Figura 3.13: Malha utilizada

A malha utilizada na resolução do problema é apresentada na Figura 3.13. Osvalores iniciais da função� resultam das condições iniciais. Assim,

��

��

3.3. Equações hiperbólicas 85

De (3.41) e tomando em conta que�� , obtêm-se

��

��

e calcula-se

��

��

��

��

Tomando em conta a simetria,�� e�� .De (3.39), com@ � � e utilizando as condições de fronteira, obtêm-se

��

�� e tomando em conta a simetria,�� e�� .

Os valores obtidos para os seguintes passos de tempo são apresentados na Ta-bela 3.5.

� � � � � � � � � � � � � � � �0.0 0 0.588 0.951 0.951 0.588 00.2 0 0.476 0.769 0.769 0.476 00.4 0 0.182 0.294 0.294 0.182 00.6 0 -0.182 -0.294 -0.294 -0.182 00.8 0 -0.476 -0.769 -0.769 -0.476 01.0 0 -0.588 -0.951 -0.951 -0.588 0

Tabela 3.5:��

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