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Conjuntos NumricosIntroduo Os conjuntos numricos mostram a evoluo

do homem no decorrer do tempo mostrando que, de acordo com suas necessidades, criava novos nmeros para atend-las. Os conjuntos podem ser divididos em:

Naturais Inteiros Racionais Reais

Neste material no veremos nmeros complexos, contedo explorado em vestibulares no em concursos

Conjunto dos Nmeros NaturaisRepresentamos o conjunto dos nmeros

naturais com a letra maiscula N, daqui para frente sempre designados apenas nmeros naturais.

Os nmeros naturais so uma sequncia numrica que inicia no nmero zero e segue at infinito.

N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ... }

Sua criao esta ligada necessidade do homem contar.

Representamos o conjunto dos nmeros inteiros com a letra maiscula Z, daqui para frente sempre designados apenas nmeros inteiros.

Os nmeros inteiros so uma sequncia numrica em que nmero zero marca o valor central. Cada nmero a direita do zero tem seu o oposto a esquerda com sinal negativo

Z = { ..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }Os nmeros inteiros tm como

representao geomtrica a reta numerada

Sua criao esta ligada a necessidade do homem em representar valores que no possua, como por exemplo, a dvida.

Conjunto dos Nmeros RacionaisO conjunto dos nmeros racionais

representado pela letra maisculaQ, daqui para frente sempre designados apenas nmeros racionais.

Os nmeros racionais no todos os nmeros que podes ser escritos na forma em quea e b so nmeros inteiros, e o nmero b diferente de zero. Podemos, ento, dizer que nmeros naturais so os nmeros que podem ser escritos como frao.

Ex.:

Sua criao esta ligada necessidade do homem em representar valores que representam partes de um inteiro.

Conjunto dos Nmeros ReaisO conjunto dos nmeros reais

representado pela letra maiscula R, daqui para frente sempre designados apenas nmeros reais.

O conjunto dos nmeros reais rene os nmeros que podem ser escritos como frao (racionais), unidos com os que no podem ser escritos como frao (irracionais).

Nmeros irracionais, ou seja, que no podem ser escritos como fraes temos como mais usuais os que no tm raiz exata e o nmero .

Representao por diagrama

Por meio do diagrama podemos verificar que:

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Operaes com nmeros e suas Propriedades nmeros consecutivos, sucessor e antecessor

Os conceitos de consecutivos, sucessor e antecessor so utilizados em nmeros naturais e nmeros inteiros.

Dois nmeros inteiros so consecutivos quando entre eles no houver outro nmero inteiro.

Ex1.: Os nmeros 3 e 4 so consecutivos pois entre eles no temos nenhum outro nmero inteiro.

Ex2.: Os nmeros -3 e -2 so consecutivos pois entre eles no temos nenhum outro nmero inteiro.

Ex3.: Os nmeros 3 e 6 no so consecutivos pois entre eles temos outros nmeros inteiros, como 4 e 5.

Adio e subtrao de Inteirosa) (+ 4) + (+ 7) = + 4 + 7 = +11 (tiramos os

parnteses e conservamos os sinais dos nmeros)

b) (- 4) + (- 7) = - 4 - 7= -11 (tiramos os parnteses e conservamos os sinais dos nmeros)

c) (+ 4) + (- 7) = + 4 - 7 = - 3 (tiramos os parnteses e conservamos os sinais dos nmeros)

d) (+ 4) - (+ 7) = + 4 - 7 = -3 (tiramos os parnteses e trocamos o sinal do nmero que estava depois da subtrao)

e) (- 4) - (- 7) = - 4 + 7 = + 3 (tiramos os parentes e trocamos o sinal do nmero que estava depois da subtrao)

Multiplicao e diviso de inteirosNa multiplicao de inteiros alm de

multiplicarmos ou dividirmos temos que usar o jogo de sinais:

Sinais iguais resulta em positivo e sinais diferentes resulta em negativo.

a) Exemplos de Multiplicao:

(-2) x (+5)= -10(-3) x (-5)= +15(+6) x (-4)= -24(+5) x (+4)= +20b) Exemplos de diviso:(-20) (+5)= -4(-35) (-5)= +7(+56) (-4)= -14(+48) (+4)= +12

Mltiplos dos Nmeros NaturaisUm nmero natural x mltiplo de um

nmero natural y se existir um nmero natural k que, multiplicado por y, seja igual a x.

Ex.:15 mltiplo de 5, pois 15 = 3 5.24 mltiplo de 4, pois 24 = 6 4.24 mltiplo de 6, pois 24 = 4 x 624 mltiplo de 12, pois 24 = 2 12.27 mltiplo de 9, pois 27 = 3 9.

M (7) = { 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, ... }M (11) = { 0, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88,... }

Sendo 0 um nmero natural, ento o zero ser mltiplo de todos os nmeros naturais, pois tudo nmero multiplicado por zero zero.

Divisores de um Nmero NaturalA definio de divisor est relacionada com

a de mltiplo. Um nmero natural divisor de outro nmero natural, se este for mltiplo do mesmo. Por exemplo: 4 divisor de 20, pois 20 = 4 5, logo 20 mltiplo de 4 e tambm mltiplo de 5.

Ex.:Divisores de 60: D (60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10,

12, 15, 20, 30, 60}Divisores de 18: D (18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}Divisores de 20: D (20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}Divisores de 30: D (20) = {1, 2, 3, 5, 6, 12,

15, 30}

x y k=

3

a) Mltiplos Zero mltiplo de qualquer dos nmeros

naturaisO nmero de mltiplos de um nmero

natural infinito.b) Divisores1 divisor de qualquer um dos nmeros

naturais.O nmero de divisores de um nmero

natural finito.

Critrios de DivisibilidadeOs critrios de divisibilidade so regras que

nos permitem verificar se um determinado nmero divisvel por outro sem a necessidade de efetuarmos a diviso.

As divisibilidades por 2, 3, 5, 6, 9 e 10 so as mais importantes e de fcil fixao.

Divisibilidade por 2Um nmero natural ser divisvel por 2

quando ele for par, ou seja, se termina em 0, 2, 4, 6, ou 8.

Ex1.: 3746 divisvel por 2, porque um numero par, pois termina em 6.

Ex2.: 235 no divisvel por 2, pois no um nmero par, pois termina em 5.

Divisibilidade por 3Um nmero ser divisvel por 3 quando a

soma dos valores dos seus algarismos for um nmero divisvel por 3.

Ex1.: 432 divisvel por 3, pois a soma de seus algarismos igual a 4+3+2=9, e como 9 divisvel por 3, temos que 432 divisvel por 3.

Ex2.: 253 no divisvel por 3 pois a soma de seus algarismos igual a 2+5+3=10, e como 10 no divisvel por 3, temos que 253 no divisvel por 3

Divisibilidade por 4Um nmero divisvel por 4 quando termina

em 00 ou quando o nmero formado pelos seus dois ltimos algarismos, o da dezena e o da unidade for um nmero divisvel por 4.

Ex1.: 1900 divisvel por 4, pois termina em 00.

Ex2.: 2416 divisvel por 4, pois 16 divisvel por 4.

Ex3.: 2524 divisvel por 4, pois 24 divisvel por 4.

Ex4.: 3750 no divisvel por 4, pois no termina em 00 e 50 no divisvel por 4.

Divisibilidade por 5Um nmero divisvel por 5 quando o

algarismo das unidades for 0 ou 5.Ex1.: 95 divisvel por 5, pois termina em 5.Ex2.:110 divisvel por 5, pois termina em 0.Ex3.:117 no divisvel por 5, pois termina com

7 e no com 0 ou 5. Divisibilidade por 6

Quando um nmero divisvel por 2 e por 3, ele tambm divisvel por 6.

Ex1.: 312 divisvel por seis, pois par logo divisvel por 2 e tem soma dos algarismos 6 logo divisvel por 3.

Ex2.: 5214 divisvel por seis, pois par logo divisvel por 2 e tem soma dos algarismos 12 logo divisvel por 3.

Ex3.: 716 no divisvel por seis, pois apesar de ser par e divisvel por 2 sua soma dos termos 14 que no divisvel por 3.

Ex4.: 3405 no divisvel por seis, a soma dos seus algarismos 12 logo divisvel por 3 mais no divisvel por 2 pois o numero impar.

Divisibilidade por 9Um nmero divisvel por 9 se a soma dos

valores absolutos dos seus algarismos for divisvel por 9.

Ex.: 2880 divisvel por 9, pois a soma de seus algarismos igual a 2+8+8+0=18, e como 18 divisvel por 9, ento 2880 divisvel por 9.

Divisibilidade por 10Um nmero natural divisvel por 10

quando o algarismo das unidades zero.Ex1.: 4150 divisvel por 10, pois termina

em 0.Ex2.: 2126 no divisvel por 10, pois no

termina em 0.Ex3.: 890 divisvel por 10, pois termina em

0.

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Nmeros PrimosSo nmeros naturais primos os que tm

apenas dois divisores distintos: o nmero 1 e ele mesmo.

Ex1.: 2 tem apenas dois divisores o nmero 1 e ele mesmo 2, portanto 2 um nmero primo.

Ex2.: 13 tem apenas os divisores o nmero 1 e ele mesmo 13, portanto 13 um nmero primo.

Ex3.: 9 tem os divisores 1, 3 e 9, portanto 9 no um nmero primo.

Considerando os nmeros naturais at 100 os primos so:

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}

Decomposio em Fatores PrimosTodo nmero pode ser representado por

uma multiplicao que envolve somente nmeros primos

Regra prticaExiste uma regra prtica para fatorar um

nmero.Pelo dispositivo prtico dividimos o nmero

pelo seu menor divisor primo, at atingirmos o quociente um.

Ex.: Decomponha em fatores primos o nmero 420.

Temos, ento, que 420 = 2 x 2 x 3 x 5 x 7, representado em matemtica como 2 x 3 x 5 x 7

Ex2.: Decomponha em fatores primos o nmero 72.

Temos que 72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3, ou 2 x 3.

Divisores de um Nmero InteiroUm nmero inteiro alm dos divisores

positivos tambm tem os divisores negativos, isso significa que quando consideramos os nmeros inteiros temos o dobro de divisores em relao aos nmeros naturais.

Ex.: Divisores de 18: D (18) = {-18, -9, -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6, 9, 18}

Veja o dispositivo para encontrar dispositivo para encontra o nmero de divisores inteiros

Primeiramente, decomponha o nmero em fatores primos, depois some 1 aos expoentes e multiplique os resultados e depois dobre o valor.

Ex.: o nmero 18 tem quantos divisores inteiros?

Logo temos 2 x 3.Somando 1 aos expoentes e multiplicando

temos (1 + 1) x (2